圆盘定理在严格对角占优矩阵中的应用

Gerschgorin 圆盘定理在严格对角占优矩阵中的应用
【摘要】：利用 Gerschgorin 圆盘定理给出严格对角占优矩阵中的一些重要结论的证明，简化了原证明过程。

关键词：Gerschgorin 圆盘定理；矩阵；对角占优矩阵；特征值
Application of Gerschgorin theorem in strictly diagonally
dominant matrix
An Yu Shuan
（University of Electronic Science and Technology of China chengdu gaoxinxiquxiyuandadao2006 hao 611731）
Abstract ：Using Gerschgorin theorem gave the proof about a number of important conclusions on strictly diagonally dominant matrice ，and the proof is very simple ．
Key words ：Gerschgorin theorem ；matrix ；diagonlly dominant matrice ；eigenvalue
1 引言及预备知识
Gerschgorin 圆盘定理是矩阵理论中的一个十分重要的定理，在矩阵理论中占有很重要的地位，在很多方面均有应用，尤其在严格对角占优矩阵中．本文利用 Gerschgorin 圆盘定理给出了严格对角占优矩阵中的一些重要结论的证明，简化了原证明过程．
定义[1]
设n n ij a A ×)(=，若∑≠≥n
i
j j ij
i ii a
A R a ,1==
)( )n 21
=( ，，i ，则称A 为对角占优的；若∑
≠n
i
j j ij i ii a A R a ,1==
)(> )n 21=( ，，i ，则称为严格对角占优的。

Gerschgorin 圆盘定理[2]
设 n n ij a A ×)(=是复方阵，记∑
≠n
i
j j ij i a A R ,1==
)(，
{}
)(-=A R a z C z G i ii i ≤∈ )n 21=( ，，i ，则A 的任意特征值一定属于n 个圆盘的并
集 n
i i
G
A G 1
==
)(；若在)(A G 中，有k 个互相连通且与其余k -n 个不相交，则 A 恰有k 个
特征值含在此k 个圆盘组成的区域内。

２ 主要结果及证明
定理 1 严格对角占优矩阵的特征值全不为零．
证明：假设矩阵A 有某一个特征值0=λ，则由Gerschgorin 圆盘定理可知，必有某个i ，使得)(≤A R a i ii ，与矩阵A 严格对角占优即)(>A R a i ii 相矛盾，因此严格对角占优矩阵的特征值全不为零。

定理 2 严格对角占优矩阵必是非奇异矩阵。

证明：由定理1可知，严格对角占优矩阵A 的特征值全不为零，则0=AX 只有零解，
否则必有一个特征值为0，由0=AX 只有零解可得0≠
det A ，从而A 为非奇异矩阵。

定理 3 设n n ij a A ×)(=严格对角占优实方阵，且0>ij a ，则 A 的任一特征值的实部必
大于零．
证明：设矩阵n n ij a A ×)(=，R a ij ∈，bi a λ+=为A 的任一特征值，由Gerschgorin
圆盘定理可知，）（A R ≤--i bi a a ii ，则2i 2
2))A (R (+
-≤）（）（bi a a ii ，因此）
（A R ≤-i a a ii ，又因为n n ij a A ×)(=严格对角占优实方阵，所以)(>A R a i ii ，由于0>ii a ，因此必有0>a 。

定理 4 设n n ij a A ×)(=为严格对角占优实方阵，且0>ii a ，则0>det A 。

证明：令xB D x f +=)(，[0,1]∈x ，其中：)a ,diag(a D nn ,2211 a =；
D A B -=。

则)(x f 为[0,1]上的连续实变值函数，易见0>=
)0(∏1
=n
i ii
a
f ，若0<det =)1(A f ，则
由根的存在性定理可知，必存在(0,1)∈ξ，使得0=+=)(B ξD ξf 。

由于n n ij a A ×)(=严格对角占优，则∑∑
≠≠n
i
j j ij n
i
j j ij i ii a ξa A R a ,1=,1=≥=
)(>，即B ξD +亦为严格对角占优，由定
理3可知0≠
)(ξf ，与0=)(ξf 相矛盾，因此0>det =)1(A f 。

定理 5 主对角元为正的严格对角占优实对称阵的任何主子式必大于零。

证明：由于严格对角占优对称阵的任何主子式仍为严格对角占优的，因此由定理4可知其必大于零。

定理 6 若)(∈)(=×C M a A n n n ij 为严格对角占优矩阵，则矩阵A I 1
-H -的所有特征值的模小于1，其中)a ,diag(a H nn ,2211 a =。

证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛------
=00
0H -2122
2222111111121
-
nn
n nn
n n
n a a a a a a a
a a a a a A I ，记B A I =H -1-，则∑
≠n
i
j j ii
ij i a a B R ,1==
)(。

由于A 为严格对角占优的，即∑
≠n
i
j j ij ii a a ,1=>
，则1<)(B R i 。

设λ为
A I 1-H -的任一特征值，则由 Gerschgorin 圆盘定理知，()
B R λi <，则1<λ
定理 7[3]
若)(∈)(=×C M a A n n n ij 为严格对角占优矩阵，则()()
∏n
i ii
a
A 1
=i A R -≥
det 。

证明：设n 21λλλ，，， 为A 的n 个特征值，
由Gerschgorin 圆盘定理的第２部分， 在)(A G 中， 若有k 个互相连通且与其余k n -个不相交，则 A 恰有k 个特征值含在此k 个圆
盘组成的区域内，另k -n 个特征值含在k -n 个圆盘内，即每个特征值λ必属于某个圆盘，n 个特征值恰属于n 个圆盘，因此)(≤-a A R λi ii )n 21=( ，，i ，从而)(-a A R λi ii ≤，
）（A R -a >ii λ，又因为n 21=detA λλλ ，所以()()
∏n
i ii a A 1
=i A R -≥det 。

由上所述，利用Gerschgorin 圆盘定理可以得到严格对角占优矩阵的许多重要结论，而且其推导过程也十分简捷。

由此可见，Gerschgorin 圆盘定理是矩阵中的一个十分重要的定理，其应用也非常广泛。

参考文献
[1] 屠伯埙，徐诚浩，王芬．高等代数学[M]．上海：上海科学技术出版社，1987 [2] 刘丁酉．矩阵分析[M]．武汉：武汉大学出版社，2003
[3] 王松桂，吴密霞，贾忠贞．矩阵不等式[M]．北京：科学出版社，2006。