亚纯函数
浅谈整函数与亚纯函数
浅谈整函数与亚纯函数摘 要: 本文主要介绍整函数，亚纯函数和它们的相关定理，推论以及超越整函数，超越亚纯函数，刘维尔定理，代数学基本定理等等．关键词: 整函数；超越整函数；亚纯函数；超越亚纯函数；刘维尔定理The Discussion of Integral Functionand Meromorphic FunctionsAbstract : This paper mainly introduces integral function and its related theorem ， corollary ， transcendental integral function ， meromorphic functions and its related theorem ， corollary ， transcendental meromorphic functions ， and Liuweier theorem ， algebra fundamental theorem ， etc ．Keywords : I ntegral function;Transcendental integral function;Meromorphicfunction;Transcendental meromorphic functions;Liuweier theorem1 整函数的概念定义1 在整个z 平面上解析的函数称为整函数． 例如，多项式，z e ，sin z 等都是整函数．设()f z 为一整函数，则()f z 只z =∞以为孤立奇点且有()0()0.nnn f z czz ∞==≤<+∞∑定理1 设()f z 为一整函数，则(1)z =∞为()f z 的可去奇点的充要条件为()f z =常数0c ，(2)z =∞为()f z 的m 阶极点的充要条件为是()f z 是一个m 次多项式()010.mm m c c z c zc +++≠(3)z =∞为()f z 的本质奇点的充要条件为展式()0()0nnn f z czz ∞==≤<+∞∑有无穷多个n c 不等于零．由此可见，整函数族按唯一奇点z =∞的不同类型而被分为了三类． 例1 设()f z 为一整函数，试证()()()(0),00,0f z f z g z zf z -⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩也是一个整函数．证 显然，()g z 在0z ≠的点上解析．在0z =点，由()f z 为一整函数知，()f z 在这一点解析，又有()(0)lim ()lim(0)(0)x ax af z fg z f g z→→-'===，故()g z 在0z =这一点也解析．例2 ()f z 为一整函数，且满足下列条件之一，试证()f z 必为常数． (1) ()0f z '=;(2) ()f z 在z 平面上解析; (3) ()f z 为常数;(4) R e (),f z R e (),Im (),,,f z f z M a n 或Im ()f z 为常数．证 (1) 对,z x iy ∀=+有0()x x y y f z u iv v iu '==+=-，从而0y y v u ==，故()f z 为常数．(2) 设(),f z u iv =+则()f z u iv =-解析，易知0x y x y u u v v ====从而,u v 为常数，故()f z 为常数．(3) 若()0f z C ≡=，则显然()0f z ≡．若()0f z C ≡≠，则此时有()0f z ≠，且2()()f z f z C≡，即2()()Cf z f z ≡也是解析函数，则利用（2）即得()0f z =．(4) 设(),f z u iv =+若(),u x y C ≡，则0,0x y u u ≡≡．由C ．--R ．条件得0,0x y y x v u v u =-≡=≡，因此1212,,()u C v C f z C iC ≡≡=+为常数．若Im ()f z 为常数，同理可得()f z 为常数．1．1 超越整函数设()f z 为一整函数，则有()0()0.nnn f z czz ∞==≤<+∞∑若其中有无穷多个nc 不等于零，则()f z 为超越整函数．例如，z e ，sin z ，cos z 等都是超越整函数． 1．2 刘维尔定理有界整函数()f z 必为常数．证 设()f z 的上界为M ，则在柯西不等式中，对无论什么样的R ，均有()M R M ≤．于是令1n =，有(),M f a R '≤上式对一切R 均成立，令R →+∞，即知()0f a '=，而a 是z 平面上任一点，故()f z 在z 平面上的导数为零，从而()f z 必为常数．刘维尔定理，又称模有界定理，刘维尔定理的几何意义是:非常数整函数的值不能全含于一圆之内．它的逆命题为真，即：常数为有界整函数．;它的逆否命题也为真，即：非常数的有界整函数必无界． 1．3 刘维尔定理的扩充定理在扩充z 平面上解析的函数()f z 必为常数．证 ()f z 在z 平面上解析，则()f z 必为整函数，而整函数只以∞点为孤立奇点，而()f z 在∞点解析，故∞点只能是()f z 的可去奇点，从而()f z 必为常数．推论1 实部有界的整函数(),f z z =∞必为常数．证 令()(),f z F z e =则()F z 为整函数．由于()f z 实部有界，则存在0M >，使得R e ()(),f z MF z ee =<从而有界，由刘维尔定理可见()F z 是常数，因此()f z 为常数．推论2 非常数整函数的值不能全含于一圆之外．证 设()w f z =为整函数且非常数，若值全含于一圆之外，即存在0ω及00ε>，使得对任何z ，恒有00()f z ωε->，则有非常数整函数()01()g z f z ω=-(因00()f z ωε->)．所以在z 平面上任何点z ，分母0()0f z ω-≠，从而()g z 在z 平面上解析，即为整函数．又因()f z 非常数，所以()g z 非常数，其值全含于一圆()01g z ε<之内，与刘维尔定理矛盾．从而非常数整函数的值不能全含于一圆之外． 1．4 代数学基本定理在z 平面上，n 次多项式101()nn n p z a z a za -=+++ 0(0)a ≠至少有一个零点．证 反证法，设()p z 在z 平面上无零点．由于()p z 在z 平面上是解析的，1()p z 在z平面上也解析．下面我们证明1()p z 在z 平面上有界．由于10lim ()lim (),nn nz z a a p z z a zz→∞→∞=+++=∞1lim0,()z p z →∞=故存在充分大的正数R ，使得当z R >时，11()p z <．又因1()p z 在闭圆z R ≤上连续，故可设1()Mp z ≤(正常数)，从而，在z 平面上11,()M p z <+于是，1()p z 在z 平面上是解析而有界的．由刘维尔定理知，1()p z 必为常数，即()p z 必为常数．这与定理的假设矛盾．故定理得证．2．亚纯函数定义2 平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数． 亚纯函数族是较整函数族更一般的函数族，因此整函数可看成是亚纯函数的一种特例．定理2一函数()f z 为有理函数的充要条件是()f z 在扩充z 平面上除极点外无其他类型的奇点．证 必要性 设有理函数()(),()P z f z Q z =其中()P z 与()Q z 分别为z 的m 次与n 次多项式，且彼此互质，则（1）当m n >时，z =∞必()f z 为的m n -阶级点； （2）当m n ≤时，z =∞必()f z 的可去奇点，只要置()()lim,()z P z f Q z →∞∞=z =∞就是()f z 的解析点；（3）()Q z 的零点必为()f z 的极点．充分性 若()f z 在扩充z 平面上除极点外无其他类型的奇点，则这些极点的个数只能是有限个．因为如果不是这样，这些极点在扩充z 平面上的聚点就是()f z 的非孤立奇点．与假设矛盾．今令()f z 在z 平面上的极点为12,,,n z z z 其阶分别为12,,,n λλλ 则函数()1212()()()(),nn g z z z z z z z f z λλλ=---至多以z =∞为极点，而在z 平面上解析．故()g z 必为一多项式（或常数）．即()f z 必为有理函数．推论 每一个有理函数必为亚纯函数． 2．1 超越亚纯函数不是有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数． 例3 11ze -是一个超越亚纯函数．证11ze -有无穷多个极点：2(0,1,2),z k i k π==±±其聚点z =∞是一个非孤立奇点．故此函数不可能是一有理函数．例4 证明()f z 是单叶整函数的充要条件是()f z az b=+ (0)a ≠．证 充分性 由于函数()w f z az b ==+(0)a ≠及其反函数1()z w b a=-都是单值整函数（一次多项式），所以()f z az b=+ (0)a ≠．是单叶整函数．必要性 设()f z 是单叶整函数，则整函数分为三类：（1）()f z 为常数，这与单叶性假设矛盾; （2）()f z 为超越整函数，01(),nn f z c c z c z =++++ ()0z ≤<+∞它的唯一奇点是本质奇点z =∞．再由皮卡大定理，对每个,A ≠∞除掉可能的一个值A A =外，必有趋于∞的无限点列{}n z 使()()1,2,.n f z A n == 这也与()f z 的单叶性假设矛盾;（3）()f z 为一多项式，01(),(0).nn n f z c c z c z c =+++≠对任意,A ≠∞由代数学基本定理，()f z A =必有且只有n 个根（是几重根就算作几个根），但由()f z 的单叶性假设，必有 1.n =即必有01()f z c c z =+1(0),c ≠也可写成()f z az b =+ (0)a ≠．参考文献：[1] 钟玉泉．复变函数论[M]．北京：高等教育出版社，2004．[2] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1983． [3] 菲赫金哥尔兹．微积分学教程[M]．北京:人民教育出版社，1955． [4] 吉米多维奇．数学分习题集题解[M]．济南：山东科学技术出版社，198学年论文成绩评定表。
分担四个值的亚纯函数
分担四个值的亚纯函数
1 亚纯函数
亚纯函数是一种关于数学函数在一个给定闭区间上多维函数的一种变体。
它是一种不用计算，可以把闭区间上的函数值均匀分担到四个值的方法。
由于它可以把多维函数的值最大化，因此被广泛的应用于数学计算，机器学习，人工智能等领域。
2 工作原理
亚纯函数的工作原理是通过将多维函数的四个值均匀分担到给定的闭区间上，使得该函数的总体值最大化。
举个简单的例子，如果一个函数在[0,1]范围内为4个值，那么用亚纯函数可以将这4个值均匀分担在这个区间上。
这样，这个函数的最大值可以最大化。
3 应用
亚纯函数技术在数学计算，机器学习，人工智能等领域都有广泛的应用。
在数学计算中，亚纯函数技术主要用于求解控制问题，其中包括线性规划，非线性规划等，也包括最优控制问题的求解。
在机器学习中，亚纯函数技术用于构建机器学习模型，满足特定的预测函数。
亚纯函数技术可以加快求解过程，提高模型的准确性。
在人工智能领域，亚纯函数技术可以用于任务规划，搜索和对抗学习等，它可以加快模型的学习速度，提高结果的准确性。
4 优缺点
但是，亚纯函数技术还是存在一些优点和缺点。
其优点是不用计算，能够有效的将多维函数的值最大化，使之的总体值得到最大化。
缺点是由于把值最大化，可能出现偏差，即模型会偏离准确性，这可能引起一些预期外的结果。
因此，在使用亚纯函数技术时，我们要特别注意它的优缺点，以免出现意料之外的错误结果。
亚纯函数φ(z)f(z)M[f]的值分布
![亚纯函数φ(z)f(z)M[f]的值分布](https://img.taocdn.com/s3/m/5bf58c5dad02de80d4d840c9.png)
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ห้องสมุดไป่ตู้
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２—１ １ —３ ０
基金项 目： 贵 州省科 学技术基金 资助项 目“ 微分 方程 解的理论及应 用研 究” （ ２ ０ １ ２ Ｇ Ｚ １ ０ ５ ２ ６ ） ； 贵州省毕 节地 区科研 基金 资助项 目 “ 喀 斯特地 区石漠化 时空格局及 其评 价体 系的模型研 究” （ ［ ２ ０ １ １ ］ ０ ２ ） ．
第３ ２卷
第 ３期
曲 靖 师 范 学 院 学 报
Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ Ｑ ｕ Ｊ Ｉ Ｎ Ｇ Ｎ Ｏ Ｒ Ｍ Ａ Ｌ Ｕ Ｎ Ｉ Ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ
Ｖ０ １ ． ３ ２ Ｎｏ Ｉ ３
Ｍａ ｙ ２ ０１ ３
２ ０ １ ３年 ５月
■ 数 学 研 究 （ 云 南省 期 刊 优秀 栏 目）
陈怀 惠和方 明亮 独立 地 解决 了 ｎ＝１ 设ｆ （ ｚ ） 为超 越 亚 纯 函数 ， 则
的情 形 ， 并 得 到如 下定 理 ． 定理 Ｂ 【 ４ ｚ ｚ ） 取每 一个 非 零有 穷复 数无 穷 多次 ． Ｓ ｏ ｎ ｓ ， Ｓ ｔ ｅ ｉ ｎ ｍ ｅ ｔ ｚ ， 杨 重俊 ， 杨乐 ， 王跃 飞等 做 了 大量 的工作 并得 到 了许 多漂亮 的结果 Ｌ ６ ¨ ． １ ９ ９ ９年 ， 庞 学诚 和 Ｚ ａ ｌ ｃ ｍ ａ ｎ得 到如下 结果 ． 定理 Ｃ 【 ９ 设 ） 为超 越 整 函数 ， ｋ和 ｎ为
亚 纯 函数 （ ｚ ） ｆ （ ） ［ 的值 分布
浅谈整函数与亚纯函数
浅谈整函数与亚纯函数摘 要: 本文主要介绍整函数，亚纯函数和它们的相关定理，推论以及超越整函数，超越亚纯函数，刘维尔定理，代数学基本定理等等．关键词: 整函数；超越整函数；亚纯函数；超越亚纯函数；刘维尔定理The Discussion of Integral Functionand Meromorphic FunctionsAbstract : This paper mainly introduces integral function and its related theorem ， corollary ， transcendental integral function ， meromorphic functions and its related theorem ， corollary ， transcendental meromorphic functions ， and Liuweier theorem ， algebra fundamental theorem ， etc ．Keywords : I ntegral function;Transcendental integral function;Meromorphicfunction;Transcendental meromorphic functions;Liuweier theorem1 整函数的概念定义1 在整个z 平面上解析的函数称为整函数． 例如，多项式，z e ，sin z 等都是整函数．设()f z 为一整函数，则()f z 只z =∞以为孤立奇点且有()0()0.n n n f z c z z ∞==≤<+∞∑定理1 设()f z 为一整函数，则(1)z =∞为()f z 的可去奇点的充要条件为()f z =常数0c ，(2)z =∞为()f z 的m 阶极点的充要条件为是()f z 是一个m 次多项式()010.m m m c c z c z c +++≠(3)z =∞为()f z 的本质奇点的充要条件为展式()0()0n n n f z c z z ∞==≤<+∞∑有无穷多个n c 不等于零．由此可见，整函数族按唯一奇点z =∞的不同类型而被分为了三类． 例1 设()f z 为一整函数，试证()()()(0),00,0f z f z g z zf z -⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩也是一个整函数．证 显然，()g z 在0z ≠的点上解析．在0z =点，由()f z 为一整函数知，()f z 在这一点解析，又有()(0)lim ()lim(0)(0)x ax af z fg z f g z→→-'===， 故()g z 在0z =这一点也解析．例2 ()f z 为一整函数，且满足下列条件之一，试证()f z 必为常数． (1) ()0f z '=;(2) ()f z 在z 平面上解析; (3) ()f z 为常数;(4) Re (),f z Re (),Im (),,,f z f z M a n 或Im ()f z 为常数．证 (1) 对,z x iy ∀=+有0()x x y y f z u iv v iu '==+=-，从而0y y v u ==，故()f z 为常数．(2) 设(),f z u iv =+则()f z u iv =-解析，易知0x y x y u u v v ====从而,u v 为常数，故()f z 为常数．(3) 若()0f z C ≡=，则显然()0f z ≡．若()0f z C ≡≠，则此时有()0f z ≠，且2()()f z f z C ≡，即2()()C f z f z ≡也是解析函数，则利用（2）即得()0f z =．(4) 设(),f z u iv =+若(),u x y C ≡，则0,0x y u u ≡≡．由C ．--R ．条件得0,0x y y x v u v u =-≡=≡，因此1212,,()u C v C f z C iC ≡≡=+为常数．若Im ()f z 为常数，同理可得()f z 为常数．1．1 超越整函数设()f z 为一整函数，则有()0()0.n n n f z c z z ∞==≤<+∞∑若其中有无穷多个n c 不等于零，则()f z 为超越整函数．例如，z e ，sin z ，cos z 等都是超越整函数． 1．2 刘维尔定理有界整函数()f z 必为常数．证 设()f z 的上界为M ，则在柯西不等式中，对无论什么样的R ，均有()M R M ≤．于是令1n =，有(),Mf a R'≤上式对一切R 均成立，令R →+∞，即知()0f a '=，而a 是z 平面上任一点，故()f z 在z 平面上的导数为零，从而()f z 必为常数．刘维尔定理，又称模有界定理，刘维尔定理的几何意义是:非常数整函数的值不能全含于一圆之内．它的逆命题为真，即：常数为有界整函数．;它的逆否命题也为真，即：非常数的有界整函数必无界． 1．3 刘维尔定理的扩充定理在扩充z 平面上解析的函数()f z 必为常数．证 ()f z 在z 平面上解析，则()f z 必为整函数，而整函数只以∞点为孤立奇点，而()f z 在∞点解析，故∞点只能是()f z 的可去奇点，从而()f z 必为常数．推论1 实部有界的整函数(),f z z =∞必为常数．证 令()(),f z F z e =则()F z 为整函数．由于()f z 实部有界，则存在0M >，使得Re ()(),f z M F z e e =<从而有界，由刘维尔定理可见()F z 是常数，因此()f z 为常数．推论2 非常数整函数的值不能全含于一圆之外．证 设()w f z =为整函数且非常数，若值全含于一圆之外，即存在0ω及00ε>，使得对任何z ，恒有00()f z ωε->，则有非常数整函数()01()g z f z ω=-(因00()f z ωε->)．所以在z 平面上任何点z ，分母0()0f z ω-≠，从而()g z 在z 平面上解析，即为整函数．又因()f z 非常数，所以()g z 非常数，其值全含于一圆()01g z ε<之内，与刘维尔定理矛盾．从而非常数整函数的值不能全含于一圆之外． 1．4 代数学基本定理在z 平面上，n 次多项式101()n n n p z a z a z a -=+++ 0(0)a ≠至少有一个零点．证 反证法，设()p z 在z 平面上无零点．由于()p z 在z 平面上是解析的，1()p z 在z 平面上也解析．下面我们证明1()p z 在z 平面上有界．由于 10lim ()lim (),n n n z z a a p z z a z z→∞→∞=+++=∞ 1lim0,()z p z →∞= 故存在充分大的正数R ，使得当z R >时，11()p z <．又因1()p z 在闭圆z R ≤上连续，故可设 1()M p z ≤(正常数)， 从而，在z 平面上11,()M p z <+ 于是，1()p z 在z 平面上是解析而有界的．由刘维尔定理知，1()p z 必为常数，即()p z 必为常数．这与定理的假设矛盾．故定理得证．2．亚纯函数定义2 平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数． 亚纯函数族是较整函数族更一般的函数族，因此整函数可看成是亚纯函数的一种特例．定理2一函数()f z 为有理函数的充要条件是()f z 在扩充z 平面上除极点外无其他类型的奇点．证 必要性 设有理函数()(),()P z f z Q z =其中()P z 与()Q z 分别为z 的m 次与n 次多项式，且彼此互质，则（1）当m n >时，z =∞必()f z 为的m n -阶级点； （2）当m n ≤时，z =∞必()f z 的可去奇点，只要置()()lim,()z P z f Q z →∞∞=z =∞就是()f z 的解析点；（3）()Q z 的零点必为()f z 的极点．充分性 若()f z 在扩充z 平面上除极点外无其他类型的奇点，则这些极点的个数只能是有限个．因为如果不是这样，这些极点在扩充z 平面上的聚点就是()f z 的非孤立奇点．与假设矛盾．今令()f z 在z 平面上的极点为12,,,n z z z 其阶分别为12,,,n λλλ 则函数()1212()()()(),n n g z z z z z z z f z λλλ=---至多以z =∞为极点，而在z 平面上解析．故()g z 必为一多项式（或常数）．即()f z 必为有理函数．推论 每一个有理函数必为亚纯函数． 2．1 超越亚纯函数不是有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数． 例3 11z e -是一个超越亚纯函数． 证11ze -有无穷多个极点： 2(0,1,2),z k i k π==±±其聚点z =∞是一个非孤立奇点．故此函数不可能是一有理函数．例4 证明()f z 是单叶整函数的充要条件是()f z az b =+ (0)a ≠．证 充分性 由于函数()w f z az b ==+(0)a ≠及其反函数1()z w b a=- 都是单值整函数（一次多项式），所以()f z az b =+ (0)a ≠．是单叶整函数．必要性 设()f z 是单叶整函数，则整函数分为三类：（1）()f z 为常数，这与单叶性假设矛盾; （2）()f z 为超越整函数，01(),n n f z c c z c z =++++ ()0z ≤<+∞它的唯一奇点是本质奇点z =∞．再由皮卡大定理，对每个,A ≠∞除掉可能的一个值0A A =外，必有趋于∞的无限点列{}n z 使()()1,2,.n f z A n == 这也与()f z 的单叶性假设矛盾;（3）()f z 为一多项式，01(),(0).n n n f z c c z c z c =+++≠对任意,A ≠∞由代数学基本定理，()f z A =必有且只有n 个根（是几重根就算作几个根），但由()f z 的单叶性假设，必有 1.n =即必有01()f z c c z =+1(0),c ≠也可写成()f z az b =+ (0)a ≠．参考文献：[1] 钟玉泉．复变函数论[M]．北京：高等教育出版社，2004．[2] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1983． [3] 菲赫金哥尔兹．微积分学教程[M]．北京:人民教育出版社，1955． [4] 吉米多维奇．数学分习题集题解[M]．济南：山东科学技术出版社，198学年论文成绩评定表。
亚纯函数的唯一性定理
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亚纯函数的正规族与正规函数
早在1907年, P.Montel({82])就引入了正规族的概念．一族亚纯函数称为正规的，如果族中任一列函数都含有一个按球面 距离局部一致收敛的子列。最近一二十年中，由于在复解析动力系统中的重要地位，正规族理论焕发了勃勃机．
在正规族理论中，著名的Bloch原理和最近由W.Bergweiler和L.Zal-cman(参{17})建议的变形说，如果有某个性质使得在 全平面上只有常数函数所具有，或者稍广一点，如果有某个性质使得在全平面上具有这个性质的亚纯函数(整函数)形成一个正 规族，那么在某—个区域上具有该性质的亚纯函数(全纯函数)族就是一个正规族．尽管Bloch原理—般而言并不成立 ([96])，本论文§2.6和§3.6中的反例说明它的变形一般也不成立，但在正规族理论的研究中Bloch原理及其变形仍然起着重 要的指导作用．可以说，本论文中所有正规族的结果均与Bloch原理及其变形相关．
（１９８９），７８２－７９１．
５】ｐ戢埠Ｘｕｅｃｈｅｎｇ＆Ｚａｌｃｍａｎ，Ｌ．，Ｓｈａｒｉｎｇ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌｉｔｙ瞬，Ａｖｋｉ”歹拇Ｍａｔｈ８撒８ｔ魄 ３８：１（２０００），１７１ １８２．
６】Ｓｃｈｗｉｃｋ，Ｗ．，Ｓｈａｒｉｎｇ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌｉｔｙ ＩＪｌ，Ａｒｃｈ．Ｍａｔｈ．，５９（１９９２），５０－５４． ７】Ｙａｎｇ Ｌｏ，Ｖａｌｕｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ【Ｍ】，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇｅ，１９９３．
３ ｊ Ｌａｐｐ，≈ｎ，Ｐ．，Ｔｈｅ ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ｝霸，Ａｎｎ。Ａｃａｄ．＆ｉ．托ｎｎ。 Ｓｅｔ．Ａ，Ｍａｔｈ．，３（１９７７），３０１－３１０．
一类亚纯函数的正规性的开题报告
一类亚纯函数的正规性的开题报告一、选题背景亚纯函数在复分析中具有重要的地位，特别是在解析函数论和多复变函数理论中扮演了重要的角色。
其中，正规函数是亚纯函数的一个重要的概念。
正规函数在复平面上的任意紧子集内一族函数列的柯西序列总能收敛于一个正规函数，因此正规函数是一类具有极强收敛性质的亚纯函数。
正规函数的研究具有重要的理论价值和应用价值。
二、选题意义正规函数作为一类重要的亚纯函数，其研究在理论上有着很高的价值，同时其在实际应用中也有着广泛的应用。
正规函数由于具有极强的收敛性质，因此在实际科学研究和工程应用中被广泛应用，特别是在物理和工程领域中。
三、选题内容本课题将介绍正规函数的概念及其基本性质，并重点研究一类亚纯函数的正规性。
具体来说，本课题将从以下几个方面进行研究：1、正规函数的定义及其基本性质2、正规函数的等价概念3、正规函数与调和函数之间的关系4、一类亚纯函数的正规性5、正规函数在应用中的具体例子四、研究方法1、收集相关文献，了解正规函数的基本性质及其在各个领域中的应用。
2、学习调和函数的相关知识，为后续的研究做好铺垫。
3、根据文献和调和函数相关知识，选择合适的分析和证明方法，对一类亚纯函数的正规性进行深入研究。
4、总结研究成果，归纳出正规函数的一些应用实例，并对研究结果进行评价。
五、预期成果1、深入理解正规函数的基本概念和性质。
2、理解正规函数与调和函数之间的关系，及其在分析和实际应用中的重要作用。
3、掌握一类亚纯函数的正规性的分析和证明方法。
4、总结出正规函数在实际应用中的具体例子。
以上是本课题的开题报告，希望能够得到您的认可和支持。
5.5整函数与亚纯函数的概念
f ( z )在 点 ∞ 的 正 则 部 分 是 c 0 , f ( z )在点∞的主要部分是：
∑c z
n =1 n
∞
n
= c1 z + c2 z + c3 z + L
2 3
n= 0 为一整函数， 为一整函数，则 (1) z=∞为其可去奇点的充要条件为： 为其可去奇点的充要条件为： 为其可去奇点的充要条件为
复变函数论
Functions of One Complex Variable
湖南第一师范学院数理系
第五章 解析函数的洛朗展 式与孤立奇点
§5.1 解析函数的洛朗展式 §5.2 解析函数的孤立奇点 §5.3 解析函数在无穷远点的性质 §5.4 整函数与亚纯函数的概念 平面向量场—解析函数的应用 §5.5*平面向量场 解析函数的应用
§5.4 整函数与亚纯函数的概念
1. 整函数 在整个z平面上解析的函数称 为整函数. 为整函数 它只以z=∞为孤立奇点. 为孤立奇点 设整函数 f (z) 在孤立奇点z=∞的去心 的去心 邻域内的洛朗级数为： 邻域内的洛朗级数为： ∞
f ( z) = ∑cn z (0 ≤| z |< +∞)
n )是彼此互质的m, n次多项式. m > n ⇒ z = ∞为f ( z)的(m − n)阶极点； m ≤ n ⇒ z = ∞为f (z)的可去奇点； ∞为 Qn ( z )的零点为f ( z )的极点.
Pm ( z ) ， (必要性 设 f ( z ) = 必要性) 必要性 Qn(z)
e 、 z、 z都是超越整函数. sin cos
z
2. 亚纯函数 在z平面上除极点 外无其他类型奇点的单值解析函数称 为亚纯函数. 为亚纯函数 整函数是特殊的亚纯函数. 整函数是特殊的亚纯函数. 定理5.11 函数 f (z) 为有理函数 定理 的充要条件为： 的充要条件为：f (z) 在扩充复平面上除 极点外没有其他类型的奇点. 极点外没有其他类型的奇点
亚纯函数值分布理论的若干研究
二十世纪二十年代,芬兰数学家R.Nevanlinna引入了亚纯函数特 征函数的概念并建立了著名的Nevanlinna理论.近半个世纪以来, 亚纯函数值分布论取得不断地发展与完善,成为复分析的一个重 要分支.至今,亚纯函数值分布论及其应用仍是数学工作者一直 关注的研究方向,尤其是复微分方程理论和亚纯函数唯一性理论. 本文主要利用亚纯函数Nevanlinna理论研究了一类非线性复微 分方程的亚纯解以及亚纯函数的周期性.论文的结构如下:第一 章预备知识.介绍Nevanlinna的基本理论和一些常用符号,以及 亚纯函数唯一性理论中的几个经典结果.第二章研究一类非线性 复微分方程的亚纯解.首先,介绍了杨重骏,李平,廖良文等关于 涉及指数函数型的复微分方程的解的研究结果,而后在此基础上
亚纯函数的正规定则与奇异方向
2
2$
ACTA MATHEMATICA SINICA
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Vol.39, No. 4 July, 1996
J1:E3W85UTDO6I
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215500)
V L: \mlhgq^ck_ub`ts Julia paod_fn 7<2 q^ck;ubv;jrao QK j\ ;# 6m" A+vM Liouville' =XAil A. Bloch (y( svM ; +vM U, v4MpV;L. Zalcman[1] `!i [2] ./ Picard e4 | , M vM U4 u vM f Y +vb U4 `&{?^;q [3] J =D9 [4] v4MpV9 MSK/ 4+d' Rr N !i &{?^+SK !i %yzV; R+ +?=; ) P^+MpVN U4 ` Julia e?^o+ U vZ=.^+ Q * 1N T +vZ;T ht4V+4z 4N 1 9 Σ = {Pλ | λ ∈ Λ} (λ- ! h) Qm" A+v,f"; +V Mp 1) 5 Pλ ∈ Σ, f, D ∈ Pλ , D ⊂ D, f, D ∈ Pλ . %# f, D ∈ Pλ <m" A f , D 6~ f" Pλ. 2) 9 v Pλ ∈ Σ, & :A k = k(Pλ ) (−∞ < k < +∞) *9 0y ϕ(z ) = az + b f ◦ϕ , ϕ−1 (D) ∈ Pλ . (a = 0, a, b ∈ C), 5 f, D ∈ Pλ , a 3) 9 f, Dn ∈ Pλ , Pλ ∈ Σ, D = ∪ Dn , f, D ∈ Pλ . n 4) 90y, D +m" A, F , 5 f" Pλ ∈ Σ *90y f ∈ F f, D ∈ Pλ , F D U |f | 2 1 dσ , I 1;5 D = {|z | < r}, P;T cht5Jk_ S (D, f ) = π 2 D 1 + |f | r S (r,f ) S (D, f ) ukQ S (r, f ). T (r, f ) = dr, C (z0 , δ ) = {|z − z0 | < δ }, Ω(θ1 , θ2 ) = {z | θ1 < r
角域内亚纯函数及其导数的分担值
厶
关 于 亚 纯 函 数 的 唯 一 性 ， 自 从 １ ２ 年 ９９ Ｎｅ ａ ｌ ｎ 证 明 了其 著名 的五 值 定理 以来 ， ｖ ｎｉ ａ ｎ 国内外
学者 在这 方 面 做 了 许 多 完 美 的 工 作 。 近 ， 建 ］最 郑 华ｌ 首次研 究 了两个 亚 纯 函数 在 角域 内满 足 分 担 ＿ ３
兰 ７） （，） （， ＋Ｑ ｒ ≤ｓｒ厂 ＋ｃｒ ， ，
易 ｒ ，
Ｂ（ ， ） Ｃ（ ， ） Ｄ（ ， ） Ｓ ｒ ｎ 简 计 之 。 了证 明 ｒ 口 ， ｒ口 ， ｒ ｎ ， （ ， ） 为 本 文 的主要 结果 ， 还要 介绍 如下 几个 引理 。 引理 １ 设 厂 ｚ 是 区域 Ｘ（ ，） 的亚纯 函 ’ （） ａｆ 上 ｉ 数， 则对 任意 复数 口 下 列 等式 成 立 Ｓ ｒ。 ， （ ，）一 Ｓ ｒ （， ， ＋ｅ ｒ 口 ， 中 ｅｒ ｎ ＝０（ ） ｒ ∞ ） ） （ ，）其 （ ， ）＝ ＝ １（ 一 。 引理 ２’ 设 厂 是一个 亚 纯 函数 ， ａ ｐ （ ［ （） Ｘ（ ，） ＝ ＝ Ｃ， 则
・３ ０ ・ ４
南 昌大 学 学 报 （ 科 版 ） 理
２ １ 正 ０１
从原 点 出发 的射线 ａｇ ｒｚ一 ０ 为 ｆ（ ）的一 条 无 限 称 级 Ｂ ｒｌ 向 ， ｏｅ方 如果 对任 意 的正数 ｅ 和任 意 复数 ａ ∈
Ｃ， 能有两 个例 外值 ， 可 成立 不等 式
第３ ５卷 第 ４期
２１ ０ １年 ８月
南 昌大 学学 报 （ 科 版 ） 理
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｈ ｎ ｉｅ ｓｔ （ ｔ ｒｌ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒ ａ ｆＮａ ｃ ａ ｇ Ｕｎｖ ｒｉｙ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅ Ｓ
亚纯函数论
亚纯函数论介绍如下:亚纯函数论是复变函数论的重要分支，主要研究定义在某一域内除极点外无其他奇点的复变函数，又称为亚纯函数。
亚纯函数在数学、物理等领域中有广泛的应用，如控制论、量子场论等。
下面分别介绍亚纯函数的相关概念和基本性质。
一、亚纯函数的相关概念1.极点和本性奇点对于复变函数f(z)，若在z0处f(z)有有限的极限，则称z0为f(z)的极点。
若在z0处f(z)无极限，则将z0分为可去奇点、极点和本性奇点三种情况。
当z0为可去奇点时，f(z)在z0处可以连续地延拓；当z0为极点时，f(z)在z0处的振荡趋于无穷大；当z0为本性奇点时，f(z)在z0处的振荡不收敛或收敛缓慢，且对应的留数不为0。
2.费马引理和歧角定理费马引理指的是若f(z)在D中解析，并在D的边界上取相等实数值，则f(z)必在闭包中的D 内始终取该实数值。
歧角定理指的是若f是D中的亚纯函数，则在任意封闭曲线上，f的交角相同。
3.亚纯函数的级数展开式对于一般的复变函数f(z)，在一些不好进行解析运算的情况下，可以将它展开成亚纯函数的级数展开式，如洛朗级数展开、幂级数展开等。
二、亚纯函数的基本性质1.亚纯函数的导数仍为亚纯函数。
2.亚纯函数f(z)的留数定理：若f(z)在D内除极点外解析，C为D内一封闭曲线，n为C中面积不为0的简单闭曲线的环向数，则f(z)在D内所有极点的留数之和等于n次C沿着正方向的积分，即Res(f,z)= 1/2πi∫Cf(z)dz3.埃尔米特函数和齐次亚纯函数：埃尔米特函数是保持希尔伯特模长不变的线性算子，齐次亚纯函数定义为除了常数外，各项次数相等的亚纯函数。
总之，亚纯函数论是复变函数论的重要分支，研究定义在某一域内除极点外无其他奇点的复变函数。
亚纯函数的级数展开和留数定理是亚纯函数论的重要基本性质。
通过亚纯函数论的研究，可以深入了解复变函数的性质，为实际问题的求解提供数学工具。
亚纯函数定义
亚纯函数定义亚纯函数的概念亚纯函数（Meromorphic Function）是在复平面上定义并且满足某些性质的函数。
它既具有全纯函数的部分性质，又允许在有限个点上有极点。
亚纯函数是复分析中的重要概念，它在数学和物理学等领域有广泛的应用。
全纯函数回顾在介绍亚纯函数之前，我们先回顾一下全纯函数的概念。
全纯函数，又称为解析函数或可微函数，是复变函数论中的一个基本概念。
一个函数在复平面上是全纯的，如果它在其定义域的每一点都有导数。
全纯函数具有多种重要性质，包括解析性、调和性和无穷次可微性等。
亚纯函数的定义一个函数f(z)在复平面上是亚纯的，如果它满足以下两个条件：1.f(z)在其定义域上是全纯的，即在定义域的每一点都有导数；2.f(z)在有限个点上有极点，即在这些点上的值无穷大。
亚纯函数是全纯函数的一种推广，它在全纯性的基础上允许函数在有限个点上有极点，这使得亚纯函数的定义更加宽松。
亚纯函数的性质亚纯函数具有许多重要的性质，下面我们将逐一介绍。
极点和奇点亚纯函数在有限多个点上有极点，这些点被称为函数的极点。
极点是函数在某个点处取无穷大值的位置。
极点可以分为可去极点、一阶（或更高阶）极点和本性极点三种类型。
函数在某个点处的极点的阶数表示了函数在该点附近的振荡情况。
阶数越高，振荡越强烈。
阶数为1的极点也被称为简单极点。
亚纯函数的级数展开亚纯函数可以在其定义域的某个闭区域上展开为Laurent级数。
Laurent级数包含正幂次和负幂次的项，因此可以在函数的极点处展开。
Laurent级数的一般形式为：f(z) = ∑ (a_n * (z - z0)^n) + ∑ (b_n * (z - z0)^n)其中a_n和b_n是亚纯函数f(z)的系数，z0是展开点。
第一项中的a_n表示函数的正幂次项，第二项中的b_n表示函数的负幂次项。
通过展开亚纯函数的Laurent级数，我们可以研究函数在极点附近的性质和行为。
亚纯函数的留数亚纯函数在其极点处具有留数。
导数具有三个小函数的亚纯函数
漳州师范学 院学报 （ 自然科学版）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ａ ｇ ｈ ｕＮｏ ｍａ ｉｅｓｔ （ ｔ Ｓ ｉ） ｏ ｒ ａ ｏ Ｚｈ ｎ ｚ ｏ ｒ ｌ Ｕｎｖ ｒｉ ｙ Ｎａ． ｃ．
Ｎｏ １ ２ １ ． ． ０ ０年
Ｇｅ ｅ ａ ． ７ ｎ ｒｌ Ｎｏ ６
共的零点． 我们用 （ ＝口 ） ． ＝ｇ 表示 （） 日 （） 口具有相同重数的公共零点的集合， （ 厂 ｚ一 与ｇ ｚ 一 厂＝口＝ｇ ）
表示 ｆ ｚ一 （） 与 ｇｚ 一ａ （） 具有 公共零点的集合，Ⅳ （，）表示 Ｓ （ ＝ｇ 的计数函数， （， 表示 ｒ 厂＝ ） Ｎｏ ） ｒ （ ＝ｇ 的计数函数， 厂＝ ） 且每个零点仅计一次． 如果
Ｔ ｒ ＝Ｓ ｒ Ｉ ， （， ） （， ） 则称 为 ｌ（） 厂 厂 ｚ 的一个小函数． 设 （） ｇ ｚ 为西个非常数 纯函数， ｚ 与 （） 小函数 ａ 称为
．
厂 ｚ 与ｇ ｚ 的 Ｃ （ ）公共小函数，当且仅当在计重数 （ （） （） Ｍ Ｉ Ｍ 不计重数）之下 ＿（） 与 ｇｚ一口 厂 ｚ一 （） 具有公
文章编号：０ ８７ ２ （０ ００ －０ ２０ １０ ．８ ６２ １）１ ４ ．７ ０
导数具有三个小函数 的亚纯 函数
韩俊锋
（ 州师 范学 院 数学与信 息科学系，祸建 漳州 ３ ３ ０ ） 漳 ６ ０ ０
摘
果．
要：文章主要讨论 了两个亚 纯函数的 Ｋ阶导数 分担三个 小函数 时的唯一性 问题，改进 了邱冶佛的有关结
设尼 为正整数， 为小函数， ）， 以 （７ ） 厂 的零点级数不人。（） ， 表示－ 一 丁≤ 的零点的计数函 数；
5.4整函数与亚纯函数
(1)z=∞为f(z)的可去奇点的充要条为:f(z)=c.
(2)z=∞为f(z)的m级极点的充要条件:f(z)是一个m次多
项式 c0 c1z cm z m (cm 0).
(3)z=∞为f(z)的本性奇点的充要条件为:展式(5.14)有
无穷多个cn不等于零.(我们称这样的f(z)为超越整函数).
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下页Biblioteka 结束铃聚点就是f(z)的非孤立奇点.与假设0矛盾. 今命f(z)在z平面上的极点为
z1、z2、鬃?、zn
其级数分别为l 1、l 2、鬃?、l n则函数
g(z) (z z1)1 (z z2 )2 (z zn )n f (z)
至多以z=∞为极点,而在z平面上解析.故g(z) 必为一多项式(或常数).即必f(z)为有理函数.
由此可见,每一有理函数都是亚纯函数.
定义5.7 非有理的亚纯函数称为超越亚 纯函数
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铃
5.4 整函数与亚纯函数
1、整函数 2、亚纯函数
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1、整函数
在整个z平面上解析的函数f(z)称为整函数.
设f(z)为一整函数,则f(z)只以z=∞为孤立奇点,且
可设
f (z) cn zn (0 | z | ). (5.14)
于是显然有
n0
定理5.10 若f(z)为一整函数,则
其中P(z)与Q(z)分别为z的m次多项式,且彼此互质. 则
(1)当m>n时,z=∞必为f(z)的m-n级极点;
(2)但m≤n时,z=∞必为f(z)的可去奇点,只
亚纯函数的唯一性
） 为ｆ的小函 ｒｚ ， 数． ∑ 称为Ｐ的次 令 ｒ 数．
＝ ｎＸ）九 ｍｉ｛，， 称为Ｆ 的次数， 称为末次数． 如果九 ｔ ０ Ｆ称 ＝． １ ｔ０ ，
为 的 齐次微 分多项 式 ． 厂 ＝ ＋２ 令 Ｊ 。 ｑ ＋…＋ ＋１ ， （ ） Ｆ＝ｍａ ｛， ｒ称 为 、 的权 数 ． ｘＦ） ， 壬 ，
∑ １ ．
＝ｌ
如 果 ， ， 线性 无关，则 由引理２ 有
Ｔ ｒＦ） Ｔ ｒ二） Ｓ ｒ－ （， （，一 ＋ （， ） 厂
、
一
眦，＋ ＋ ， 詈 №，） １ 。 ） ａ №，＋ ） ）
Ⅳ（， ） Ⅳ（，） （，） ， ． 一 ＋ｓ ，
其 中
这 四个 问 题 进 行研 究 ，并 且 回答 了部 分 问题 ．其 中，２０ 年 ＬＰ【ｌ ＹｘＧ 将 定 理 Ａ中的 ６０ 厂 ＞＿ ０４ ．ｉ Ｊ ．．ｕ （， ） ３ ｒ
叶
减弱为８ ， ） 告． （ 厂 ＞ 同时对＝非常数亚纯 ０ Ｆ 数得到了 ：
厶
定理ｃ 设 为非常数亚纯函数，ｋ 正整数，ａｚ ∈Ｓｆ）｛｝ 如果 －与 ａ没有同级 的极点 ， 为 （） （ ＼０ ， 厂
中 图 分类 号 ： ７．２ Ｏ１４５ 文 献标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：０ ５２ ８ （０ ２ ０ —１９０ ２ ９—４ １２ １ ）２０ ２ ．６
１ 引 言 及 主 要 结 果
本 文采 用值分 布论 中的标准 符号 及 术语 【． Ｊ Ｊ
设 为复平面上的非常数亚纯函数， 如果亚纯 函数 口ｚ（ 。 满足 Ｔ ｒａ ＝Ｓ ｒｆ 坝 称 ａｚ 为 （） ） ≠ｏ （，） （， ） ０ （） 的小函数． 厂的所有小 函数组成的集合为 （ ） 记 ＿． 厂 设 和ｇ是复平面上的两个非常数亚纯函数， Ｓ ｆ ｒＳ ｇ ， ｆ—ａ与ｇ—ａ ａ∈ （ ）＾ （ ）如果 、 具有相同的零 点 ， 重数 相 同， ａ为 厂 ｇ的Ｃ 公共小函数． 且 则称 与 Ｍ 特别地， 当ａ为常数时， ａ 则称 为厂与 ｇ的Ｃ 分担值． ＝ｏ时， Ｍ 当ａ ｏ ｆ—ａ的零点意味着 厂的极点．
关于分担值的亚纯函数正规族和唯一性问题的研究的开题报告
关于分担值的亚纯函数正规族和唯一性问题的研究的开题报告题目：关于分担值的亚纯函数正规族和唯一性问题的研究研究背景：分担值是亚纯函数理论中的一个重要概念，是指一个亚纯函数在某个点的零点或极点重复次数。
在研究亚纯函数的相关问题中，分担值是一个关键概念，例如研究亚纯函数的零点、极点、亚纯延拓等问题时，都需要利用分担值的概念。
亚纯函数正规族是一个经典的数学概念，指的是一族函数在一个区域内的局部极限一致收敛于某个函数。
在研究亚纯函数的相关问题时，亚纯函数正规族也是一个基本工具。
研究内容：本文的研究内容主要涉及分担值的亚纯函数正规族和唯一性问题。
具体来说，我们将从以下两个方面展开研究：1. 分担值的亚纯函数正规族的构造和性质研究我们将探讨如何构造一个亚纯函数正规族，使得其分担值具有一定的性质。
具体来说，我们将探讨分担值具有多项式增长或指数增长的亚纯函数正规族的构造方法和性质。
同时，我们也将探讨这些亚纯函数正规族的一些重要应用，例如它们在解析数论中的应用等。
2. 分担值的亚纯函数唯一性问题的研究我们将研究分担值的亚纯函数唯一性问题，即在一些特定条件下，亚纯函数的分担值可以唯一确定该函数。
具体来说，我们将研究亚纯函数的局部唯一性和整体唯一性问题。
我们将探讨这些唯一性结果的证明方法、应用以及可能的推广问题。
研究方法：本文将使用数学分析和复变函数理论的基本方法进行研究。
具体来说，我们将运用复变函数的柯西积分公式、留数定理、亚纯函数的极点和零点以及亚纯函数在无穷远处的渐近性质等基本工具，来研究分担值的亚纯函数正规族和唯一性问题。
研究意义：分担值是亚纯函数理论中的一个基本概念，分担值的亚纯函数正规族和唯一性问题是亚纯函数理论中的两个重要方向。
本文的研究结果具有重要的理论意义和应用价值。
对于理解亚纯函数的相关问题、研究亚纯函数的性质以及解析数论等方面都有一定的参考价值。