知识讲解_对数及对数运算_基础

x 2 0,
（2）由题意

x
1

0,
且x
1

1,
即

x x

2, 1, 且x

2,

x

1,
且x

2
．
(x 1)2 0,
（3）由题意

x
1

0,
且x

1

1,
解得 x 1 且 x 0, x 1．
【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等 于 1．
(2)
log a
M

logc M logc a
(c 0, c 1) ，
令
logaM=b，
则 有 ab=M，
则有
logc ab logc M (c 0, c 1)
即 b logc
a

log c
M
，
即b

logc M logc a
，即 log a
M

logc M logc a
(c
（1） log2 (x 5) ；（2） log(x1) (x 2) ；（3） log(x1) (x 1)2 ．
【答案】（1） x 5 ；（2） x 1,且x 2 ；（3） x 1 且 x 0, x 1
【解析】（1）由题意 x 5 0 ， x 5 ，即为所求．
举一反三：
【变式 1】函数 y log2x1(x 2) 的定义域为
．
【答案】
x
|
x

1 2
且x

1
类型二、指数式与对数式互化及其应用
例 2.将下列指数式与对数式互化：
(1) log2 16 4 ；(2) log1
3
27
3 ；(3) log
3
x
3 ；(4) 53
loga
M N
loga M
loga
N
(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
loga M loga M
要点诠释：
（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能
成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然 log2(-3)(-5)是存在的，但 log2(-3)与 log2(-5)是不存在的.
(1) loga
xy z
;
(2)
loga
(
x3
y
5
);
(3)
log
a
x
x2 y
yz ; (4) loga 3 z
【解析】（1） loga
xy z

loga
x loga
y
loga
z
；
（2） loga (x3 y5 ) loga x3 loga y5 3loga x 5 loga y ；
(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；
loga MN loga M loga N
推广： loga N1N2 L Nk loga N1 loga N2 L loga Nk N1、N2、L 、Nk 0
(2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；
对数及对数运算
【学习目标】
1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；
2.了解常用对数与自然对数的意义；
3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；
4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．
5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用．
【要点梳理】
要点一、对数概念
1.对数的概念
如果 ab N a 0，且a 1 ，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作:logaN=b.其中 a 叫做对数的底
数，N 叫做真数.
要点诠释： 对数式 logaN=b 中各字母的取值范围是：a>0 且 a1， N>0， bR.
2.对数 loga N a 0，且a 1 具有下列性质：
125 ；(5) 21

1 2
1 2 ；(6) 3
9.
【解析】运用对数的定义进行互化.
(1) 24
16
；(2)

1 3 3

27 ；(3)
3
3

x ；(4) log5 125 3 ；(5) log2
1 2
1；(6) log1 9 2 .
（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误
的：
loga(MN)=logaMlogaN， loga(M·N)=logaM·logaN，
M
loga

loga M
.
N loga N
要点三、对数公式
1．对数恒等式：
ab loga
N N

b

a log a
质．
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．
（3）解决这类问题要注意隐含条件“ loga a 1”的灵活运用．
举一反三：
【变式
1】求值：(1)
(log 4
3

log8
3)(log3
2

log 9
2)
；(2)
log8
9

log
27
32
；(3)
91 2
log3
5
.
5
10
3
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
4
9
25
【解析】(1) (log4 3 log8 3)(log3 2 log9 2)

( log2 log 2
3 4

log 2 log 2
3 8 )(log 3
2

log 3 log 3
2 )
9

( log2 2
3

log 2 3
3 )(log3
类型三、利用对数恒等式化简求值
例 3．求值： 71log7 5
【答案】35
【解析】 71log7 5 7 7log7 5 7 5 35 .
【总结升华】对数恒等式 aloga N N 中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值
为真数.
举一反三：
【变式 a 1】求 loga blogb clogc N 的值(a，b，c∈R+，且不等于 1，N>0) 【答案】 N
3
【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问
题的重要手段.
举一反三：
【变式 1】求下列各式中 x 的值：
(1)
log16
x


1 2
(2) logx 8 6
(3)lg1000=x (4) -2 ln e2 x
1 【答案】（1） ；（2） 2 ；（3）3；（4）-4．
2

log 3 2
2 )

5 6

log 2
3
3 2
log 3
2

5 4
；
(2) log8
log36
45

lg lg
45 36

lg(9 5) 182
lg

lg 9 lg 5 2 lg18 lg 9

a lg18 b 2 lg18 a
lg18 lg18

a 2

b a
．
9
解法四：Q log18 9 a ，18a 9.
又Q18b 5,45 5 9 18b g18a 18ab ．
令 log36 45 x ，则 36x 45 18ab ，
即 36x

18 (
g18
)
x

18a
b
,
182 (
)x
18ab ,
33
9

x
log18
182 9

a b.

x

ab log18 182 log18
9

a 2

b a
．
【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性
须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运
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算对应着对数的和、差、积得运算．
举一反三：
【变式 1】求值
(1) 2 log5 25 3log2 64 8 log10 1 (2)lg2·lg50+(lg5)2
(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
lg N .以 e（e 是一个无理数， e 2.7182 ）
由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可
由下图表示.
由此可见 a，b，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.
要点二、对数的运算法则
已知 loga M，loga N a 0且a 1，M、N 0
(4)由 2 ln e2

x，得
x

ln
e2，即e

x 2

e2
所以x 4 .
2
高清课程：对数及对数运算 例 1
【变式 2】计算： log2 4; log2 8; log2 32 并比较． 【解析】 log2 4 log2 22 2;
log2 8 log2 23 3; log2 32 log2 25 5 ．
4
【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出 x.
(1) x

1
(16) 2

(42
)

1 2

2( 1 )
42

41

1
；
4
1
1
1
1
(2) x6 8，所以x (x6 )6 (8)6 (23 )6 22 2 ；
(3)10x=1000=103，于是 x=3；
（3） loga
x yz
loga
x
loga ( yz)

1 2
loga
x
loga
y

loga
z
；
（4） loga
x2
3
y z
= loga (x2 y) loga
3
z

2 loga
x
1 2 loga
y

1 3
log
a
z．
【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必
【答案】（1）22；（2）1；（3）2．
【解析】(1) 2 log5 25 3log2 64 8 log10 1
2 log5 52 3log2 26 8 0 4 18 0 22.
(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1
于是 log36
45

log18 log18
45 36

log18 (9 5) log18 (18 2)

log18 9 log18 1 log18 2
5

1
ab 18
log18 9

ab 2a
．
解法二：Q log18 9 a,18b 5 ，log18 5 b ，
于是
log36
45

log18 log18
45 36

log18 (9 5)
log18
182 9

log18 9 log18 5 2 log18 18 log18 9

a 2

b a
.
解法三：Q log18 9 a,18b 5 ，lg 9 a lg18, lg 5 b lg18 ，
【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.
aloga blogb clogc N (aloga b )logb c logc N (blogb c )logc N clogc N N .
类型四、积、商、幂的对数
高清课程：对数及对数运算例 3
例 4. 用loga x, loga y, loga z 表示下列各式
0, c
1)
当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可
以得到一个重要的结论:
log a
b

1 log b
a
(a 0, a 1,b 0, b 1) .
【典型例题】
类型一、对数的概念
例 1.求下列各式中 x 的取值范围：
(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
类型五、换底公式的运用
例 5.已知 log18 9 a,18b 5 ，求 log36 45 ．
ab
【答案】
2a
【解析】
解法一：Q log18 9 a,18b 5 ，log18 5 b ，
N

N
2．换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在 a>0， a≠1， M>0 的前提下有:
(1) loga M logan M n (n R)
令 logaM=b， 则有 ab=M， (ab)n=Mn，即 (a n )b M n ， 即 b log an M n ，即: log a M log an M n .
(1)0 和负数没有对数，即 N 0 ； (2)1 的对数为 0，即 loga 1 0 ； (3)底的对数等于 1，即 loga a 1.
3．两种特殊的对数
通常将以 10 为底的对数叫做常用对数， log10 N作作作 为底的对数叫做自然对数， loge N简记作 ln N .
4．对数式与指数式的关系