北师大版必修一数学2.2函数的表示法导学案
高中数学 2.2.2函数的表示法教学设计 北师大版必修1
2．2 函数的表示法整体设计教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图像法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图像的直观作用．在研究图像时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．三维目标1．了解函数的一些基本表示法(列表法、图像法、解析法)，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用，提高应用函数解决实际问题的能力，增加学习数学的兴趣．3．会用描点法画一些简单函数的图像，培养学生应用函数的图像解决问题的能力．重点难点教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．教学难点：分段函数的表示及其图像．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag！西班牙文中称iFeliz CumpleaRos！印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag！在俄语中则是Сднемрождения！……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？引出课题：函数的表示法．思路 2.我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题)．推进新课新知探究提出问题初中学过的三种表示法：解析法、图像法和列表法各是怎样表示函数的？讨论结果：(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫作解析法，这个数学表达式叫作函数的解析式．(2)图像法：以自变量x 的取值为横坐标，对应的函数值y 为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图像，这种用图像表示两个变量之间函数关系的方法叫作图像法．(3)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫作列表法．应用示例思路1例1 请画出下面函数的图像：y ＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，－x ，x ≥0，x <0.活动：学生思考函数图像的画法：①一次函数是基本初等函数，其图像是直线，可直接画出；②利用变换法画出图像，根据绝对值的概念来化简解析式．解法一：函数y ＝|x |的图像如图1所示．图1解法二：画函数y ＝x 的图像，将其位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方，与函数y ＝x 的图像位于x 轴上方的部分合起来得函数y ＝|x |的图像(如图1所示)．点评：本题主要考查分段函数．所谓分段函数是指在定义域的不同部分，其解析式不同的函数．注意：分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等. 变式训练1．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x 2－2x ，－x ＋2，x ≤0，0<x ≤4，x >4.(1)求f {f [f (5)]}的值； (2)画出函数的图像．分析：本题主要考查分段函数及其图像．f (x )是分段函数，要求f {f [f (5)]}，需要确定f [f (5)]的取值范围，为此又需确定f (5)的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解．画出函数在各段上的图像，再合起来就是分段函数的图像．解：(1)∵5＞4，∴f (5)＝－5＋2＝－3. ∵－3＜0，∴f [f (5)]＝f (－3)＝－3＋4＝1. ∵0＜1＜4，∴f {f [f (5)]}＝f (1)＝12－2×1＝－1， 即f {f [f (5)]}＝－1.图2(2)图像如图2所示．2．画函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－x ，x ≤0，x >0的图像．步骤：①画整个二次函数y ＝(x ＋1)2的图像，再取其在区间(－∞，0]上的图像，其他部分删去不要；②画一次函数y ＝－x 的图像，再取其在区间(0，＋∞)上的图像，其他部分删去不要；③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图像．如图3所示．图3点评：函数y ＝f (x )的图像位于x 轴上方的部分是y ＝|f (x )|的图像的一部分，函数y ＝f (x )的图像位于x 轴下方的部分对称到上方就是函数y ＝|f (x )|的图像的一部分．这两部分合起来是y ＝|f (x )|的图像，利用函数y ＝f (x )的图像和函数y ＝|f (x )|的图像的这种关系，由函数y ＝f (x )的图像画出函数y ＝|f (x )|的图像.例2 国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资如下表：活动：学生回顾思考常数函数的图像形状和分段函数的含义．教师适当时加以提示． 解：邮资是信函质量的函数，函数图像如图4.图4函数的解析式为M ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.20，0<m ≤20，2.40，20<m ≤40，3.60，40<m ≤60，4.80，60<m ≤80，6.00，80<m ≤100.点评：本题主要考查分段函数的解析式和图像．求分段函数的函数值时，要注意自变量在其定义域的哪一段上，依次代入分段函数的解析式．画分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ，f 2x ，…，x ∈D 1，x ∈D 2，…(D 1，D 2，…，两两交集是空集)的图像步骤是(1)画整个函数y ＝f 1(x )的图像，再取其在区间D 1上的图像，其他部分删去不要； (2)画整个函数y ＝f 2(x )的图像，再取其在区间D 2上的图像，其他部分删去不要； (3)依次画下去；(4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图像．例3 某质点在30 s 内运动速度v 是时间t 的函数，它的图像如图5.用解析法表示出这个函数，并求出9 s 时质点的速度．图5解：速度是时间的函数，解析式为 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10＋t ，3t ，30，－3t ＋90，t ∈[0，，t ∈[5，，t ∈[10，，t ∈[20，30].由上式可得，t ＝9 s 时，质点的速度v (9)＝3×9＝27(cm/s). 变式训练若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________．分析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，2－x ，x ≤1，x >1.画函数f (x )的图像得值域是(－∞，1]．答案：(－∞，1]例4 某种笔记本的单价是5元，买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元，试用三种表示法表示函数y ＝f (x )．活动：学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y ＝f (x )”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图像，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，用解析法可将函数y ＝f (x )表示为y ＝5x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 用列表法可将函数y ＝f (x )表示为用图像法可将函数y＝f(x)表示为图6.图6点评：本题主要考查函数的三种表示法．解析法的特点是：简明、全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域；图像法的特点是：直观形象地表示自变量的变化及相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图像来研究函数的某些性质，图像法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等；列表法的特点是：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等．但是并不是所有的函数都能用解析法表示，只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示．例如：张丹的年龄n(n∈N＋)每取一个值，那么他的身高y(单位：cm)总有唯一确定的值与之对应，因此身高y是年龄n的函数y＝f(n)，但是这个函数的解析式不存在，函数y ＝f(n)不能用解析法来表示．注意：(1)函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等；(2)解析法：必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；(3)图像法：根据实际情境来决定是否连线；(4)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.变式训练1．已知函数f(x)在[－1,2]上的图像如图7所示，求f(x)的解析式．图7解：观察图像，知此函数是分段函数，并且在每段上均是一次函数，利用待定系数法求出解析式为：当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1； 当0＜x ≤2时，f (x )＝－x2，则有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， －1≤x ≤0，－12x ， 0<x ≤2.2．已知2f (x )＋f (－x )＝3x ＋2，则f (x )＝________. 分析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2f x ＋f －x ＝3x ＋2，2f－x ＋f x ＝－3x ＋2，把f (x )和f (－x )看成未知数，解方程即得． 答案：3x ＋23思路2例1 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )＝________.活动：学生思考函数的解析式表达的含义．设1－x1＋x ＝t ，利用换元法，转化为求f (t )．利用整体思想把1－x1＋x 看成一个整体，即可得函数的解析式．要注意函数f (t )与f (x )是同一个函数．分析：可设1－x1＋x ＝t ，则有x ＝1－t1＋t，所以f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t 1＋t2. 所以f (x )＝2x1＋x2.答案：2x 1＋x2 例2已知函数f (x )＝3x ＋7x ＋2.(1)画出函数f (x )的图像；(2)观察图像写出函数的定义域和值域．活动：学生思考函数图像的画法．利用变换法画函数f (x )的图像，利用图像法写出函数的定义域和值域．形如函数y ＝ax ＋b cx ＋d (c ≠0，a 2＋b 2≠0)的图像均可由反比例函数y ＝k x的图像经过平移得到，因此函数y ＝ax ＋b cx ＋d(c ≠0，a 2＋b 2≠0)的图像形状是双曲线． 解：(1)y ＝3x ＋7x ＋2＝3x ＋6＋1x ＋2＝3＋1x ＋2.将y ＝1x 的图像向左平移两个单位得y ＝1x ＋2的图像，再向上平移三个单位得y ＝1x ＋2＋3的图像． 图像如图8所示．图8(2)观察函数的图像图8，可知图像上所有点的横坐标的取值范围是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)， 图像上所有点的纵坐标的取值范围是(－∞，3)∪(3，＋∞)．则函数的定义域是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，值域是(－∞，3)∪(3，＋∞)． 点评：本题主要考查函数的定义域、值域和图像．画不熟悉的函数的图像，可以变形后通过基本函数，利用变换法画出图像，但要注意变形过程是否等价，要注意x ，y 的变化范围．因此必须熟记基本初等函数的图像，如：正、反比例函数，一次、二次函数的图像，在变换函数的解析式中运用了转化和分类讨论的思想．求函数值域的方法：(1)图像法，借助于函数值域的几何意义(图像上所有点的纵坐标的取值范围)，利用函数的图像求值域；(2)观察法，对于解析式比较简单的函数，利用常见的结论如x2≥0，|x|≥0，x≥0等观察出函数的值域；(3)换元法，利用换元法转化为求常见函数如二次函数的值域等．注意：讨论函数的值域要先考虑函数的定义域.变式训练求下列函数的值域：(1)y＝x2－2x(－1≤x≤2)；(2)y＝x4＋1.分析：本题主要考查函数的值域及其求法．(1)借助于函数值域的几何意义，利用函数的图像求值域；(2)观察得x4≥0，得函数的值域，也可以利用换元法转化为求二次函数的值域.(1)解：(图像法)在平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤2)的图像，如图9所示：图9函数y＝x2－2x(－1≤x≤2)的图像上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域，观察图像知函数的值域是[－1,3]．(2)解法一：(观察法)函数的定义域是R，则x4≥0，有x4＋1≥1，即函数y＝x4＋1的值域是[1，＋∞)．解法二：(换元法)函数的定义域是R，设x2＝t，则t≥0，则有y＝t2＋1.利用图像可求得当t≥0时，二次函数y＝t2＋1的值域是[1，＋∞)，即函数y＝x4＋1的值域是[1，＋∞).知能训练1．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，则( )．A．y＝10－x(0＜x≤10)B．y＝10－x(0＜x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)分析：根据等腰三角形的周长列出函数解析式．∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.则20－2x＞0.∴x＜10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x＞20－2x，得x＞5，∴函数的定义域为{x|5＜x＜10}．∴y＝20－2x(5＜x＜10)．答案：D2．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为( )．A．[a，b] B．[a＋1，b＋1]C．[a－1，b－1] D．无法确定分析：将函数y＝f(x)的图像向左平移一个单位得函数y＝f(x＋1)的图像，由于定义域均是R，则这两个函数图像上点的纵坐标的取值范围相同，所以y＝f(x＋1)的值域也是[a，b]．答案：A3．函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是( )．A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]分析：(观察法)定义域是R，由于x2≥0，则1＋x2≥1，从而0＜11＋x2≤1.答案：B拓展提升问题：变换法画函数的图像都有哪些？解答：变换法画函数的图像有三类：1．平移变换：(1)将函数y＝f(x)的图像向左平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x＋a)的图像；(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x－a)的图像；(3)将函数y＝f(x)的图像向上平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)＋b的图像；(4)将函数y＝f(x)的图像向下平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)－b的图像．简记为“左加(＋)右减(－)，上加(＋)下减(－)”．2．对称变换：(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图像关于直线x＝0即y轴对称；(2)函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图像关于直线y＝0即x轴对称；(3)函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图像关于原点对称．3．翻折变换：(1)函数y＝|f(x)|的图像可以将函数y＝f(x)的图像位于x轴下方部分沿x轴翻折到x 轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y＝f(x)的x轴上方部分即可得到．(2)函数y＝f(|x|)的图像可以将函数y＝f(x)的图像y轴右边部分翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y＝f(x)在y轴右边部分图像即可得到．函数的图像是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础．另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图像是同一事物的两个方面，是函数的不同表现形式．函数的图像可以比喻成人的相片，观察函数的图像可以解决研究其性质．当然，也可以由函数的性质确定函数图像的特点．借助函数的图像来解决函数问题，函数的图像问题是高考的热点之一，应引起重视．课堂小结本节课学习了：函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数．作业习题2—2B组2.设计感想本节教学设计容量较大，尽量借助于信息技术来完成．本节的设计重点是函数的三种表示方法，提出了表示法的应用，特别是用图像法求函数的值域，并对求函数值域的方法进行了总结以满足高考的要求．(设计者：张新军)备课资料例1 车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每次一辆0.3元．(1)若设自行车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；(2)若估计前来停放的3 500辆次中，电动车的辆次不小于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围．活动：让学生审清题意读懂题．求解析式时不要忘记函数的定义域，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．然后再根据解析式列不等式求解．总的保管费＝自行车保管费＋电动车保管费．解：(1)由题意得y ＝0.3x ＋0.5(3 500－x )＝－0.2x ＋1 750，x ∈N ＋且0≤x ≤3 500.(2)若电动车的辆次不小于25%，但不大于40%，则3 500×(1－40%)≤x ≤3 500×(1－25%)，即2 100≤x ≤2 625，画出函数y ＝－0.2x ＋1 750(2 100≤x ≤2 625)的图像，可得函数y ＝－0.2x ＋1 750(2 100≤x ≤2 625)的值域是[1 225,1 330]，即收入在1 225元至1 330元之间．点评：本题主要考查函数的解析式和值域，以及应用函数知识解决实际问题的能力．解函数应用题的步骤是：①审清题意读懂题；②恰当设未知数；③列出函数解析式，并指明定义域；④转化为函数问题，并解决函数问题；⑤将数学问题的答案还原为实际答案．例2 水池有2个进水口，1个出水口，每个水口进出水的速度如图10甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图10丙所示(至少打开一个水口)．图10给出以下三个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．其中一定正确的论断是( )．A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③分析：由图10甲可看出，如果进水口与出水口同时打开，每个进水口的速度为出水口速度的一半，即v 进水＝12v 出水； 由图丙可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加，所以在此时间段内一定是两个进水口均打开，出水口关闭，故①正确．由图丙可看出在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少，所以在此时间段内一定是一个进水口打开，出水口打开，故②不正确．由图丙可看出在4点到6点之间蓄水量不变，所以在此时间段内一定是两个进水口打开，出水口打开，或者两个进水口关闭，出水口关闭，故③不正确．综上所述，论断仅有①正确．答案：A。
高中数学第二章函数 函数概念学案含解析北师大版必修1
§2对函数的进一步认识2．1函数概念知识点一函数的有关概念[填一填]1．定义2．相关名称(1)自变量是x.(2)函数的定义域是集合A.(3)函数的值域是集合B.3．函数的记法集合A上的函数可记作：f：A→B或y＝f(x),x∈A.[答一答]1．任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？提示：不是．首先这两个集合必须为数集,其次满足对一个集合中的任意一个数x,在另一个集合中都有唯一确定的数与之对应．2．对于一个函数y＝f(x),在定义域内任取一个x值,有几个函数值与其对应？提示：有唯一确定的一个函数值与其对应．3．f(x)与f(a)的区别与联系是什么？提示：当x和a都表示自变量时,f(x)与f(a)为同一个函数,但自变量表示不同．f(x)表示以x为自变量的函数．f(a)表示以a为自变量的函数．当x表示自变量,a表示常量时,(1)区别：f(a)是当x＝a时函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,一般情况下它是一个变量．(2)联系：f(a)是f(x)的一个特殊值．4．如何理解函数的对应法则？提示：对应法则指的是自变量与因变量之间的存在关系．知识点二区间及有关概念[填一填]1．区间的定义条件：a<b(a,b为实数)．结论：区间闭区间开区间左闭右开区间左开右闭区间符号[a,b](a,b)[a,b)(a,b]定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a} 符号(－∞,＋∞)[a,＋∞)(a,＋∞)(－∞,a](－∞,a)5．数集都能用区间表示吗？提示：不能．连续不间断数集可以用区间表示．不连续数集不能用区间表示．6．“∞”是一个数吗？提示：“∞”不是一个数,它指的是“无穷大”．7．区间之间可以像集合之间那样进行“交、并、补”运算吗？若A＝(1,＋∞),B＝(－∞,2],A∩B如何表示？提示：可以运算．A∩B＝(1,2]．1．对函数概念的三点说明(1)函数必须是建立在非空数集上的一个概念．若自变量的取值为空集,则这时函数是不存在的．(2)根据函数的概念,两个变量之间是否具有函数关系需要检验：定义域和对应法则是否给出；在对应法则之下每一个x是否只与唯一的y对应．(3)由于函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定,这样确定一个函数就只需要函数的定义域和对应法则,从而判定两个函数是否为同一个函数只需看其定义域和对应法则是否相同即可．2．对函数符号y＝f(x)的理解在这个函数符号y＝f(x)中,x是自变量,f表示的是对应法则,它可以看作是对x施行的某种运算法则,可以是一个代数式、也可以是一个表格,还可以是一个图像．3．f(x)与f(a)的区别与联系当x和a都表示自变量时,f(x)与f(a)为同一个函数,但自变量表示不同．f(x)表示以x为自变量的函数．f(a)表示以a为自变量的函数．当x表示自变量,a表示常量时,(1)区别：f(a)是当x＝a时函数f(x)的值,是一个常量．而f(x)是自变量x的函数,一般情况下它是一个变量．(2)联系：f (a )是f (x )的一个特殊值． 4．对区间的四点说明(1)区间表示的就是一个集合,只是一个特殊的集合——非空数集． (2)区间的左端点对应的值一定比右端点对应的值小．(3)区间的端点在区间内则写成闭的,如果不在区间内则写成开的．(4)在数轴上表示区间时,用实心的点表示闭区间的端点,用空心点表示开区间的端点.类型一 相同函数的判断【例1】 下列各组函数是否表示同一个函数？ (1)f (x )＝2x ＋1与g (x )＝4x 2＋4x ＋1； (2)f (x )＝x 2－xx与g (x )＝x －1；(3)f (x )＝|x －1|与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 (x ≥1)，1－x (x <1)；(4)f (n )＝2n －1与g (n )＝2n ＋1(n ∈Z )； (5)f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t .【思路探究】 根据解析式判断两个函数f (x )和g (x )是否是同一个函数的步骤是：①先求函数f (x )和g (x )的定义域,如果定义域不同,那么它们不相同,如果定义域相同,再执行下一步；②化简函数的解析式,如果化简后的函数解析式相同,那么它们相同,否则它们不相同．【解】 (1)g (x )＝|2x ＋1|,f (x )与g (x )的对应关系不同,因此是不同的函数． (2)f (x )＝x －1(x ≠0),f (x )与g (x )的定义域不同,因此是不同的函数．(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 (x ≥1)1－x (x <1),f (x )与g (x )的定义域相同,对应关系相同,因此是相同的函数．(4)f (n )与g (n )的对应关系不同,因此是不同的函数．(5)f (x )与g (t )的定义域相同,对应关系相同,自变量用不同字母表示,仍为同一函数． 规律方法 函数概念含有三个要素,即定义域A ,值域C 和对应关系f ,其中核心是对应关系f ,它是函数关系的本质特征．只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一函数．换言之就是：(1)定义域不同,两个函数也就不同． (2)对应关系不同,两个函数也是不同的．(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系．(1)下列每组函数是同一函数的是( B ) A ．f (x )＝x －1,g (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝|x －3|,g (x )＝(x －3)2C ．f (x )＝x 2－4x －2,g (x )＝x ＋2D ．f (x )＝(x －1)(x －3),g (x )＝x －1·x －3 (2)下列每组中两个函数是同一函数的组数为3. ①f (x )＝x 2＋1和f (v )＝v 2＋1 ②y ＝1－x 2|x ＋2|和y ＝1－x 2x ＋2③y ＝x 和y ＝x 3＋x x 2＋1解析：①中对应法则相同,定义域相同,只是表示自变量的字母不同,所以是同一函数． ②中定义域相同,化简后对应法则相同,所以是同一函数． ③化简后对应法则相同,定义域也都是R ,所以是同一函数． 类型二 求函数的定义域 【例2】 求下列函数的定义域． (1)f (x )＝4－xx ＋1； (2)y ＝－x2x 2－3x －2；(3)f (x )＝2x ＋3－12－x ＋1x； (4)y ＝31－1－x.【思路探究】 若一个函数是由两个或两个以上的数学式子的和、差、积、商构成的,则定义域是使各部分有意义的自变量的取值集合的交集．【解】 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x ＋1≠0，解得x ≤4且x ≠－1.所求定义域为{x |x ≤4且x ≠－1}．(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12.所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤0且x ≠－12. (3)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0，解得－32≤x <2且x ≠0.所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x <2且x ≠0.(4)由已知得⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠0}．规律方法 函数y ＝f (x )以解析式的形式给出时,函数的定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值范围,具体来说,常有以下几种情况：(1)f (x )为整式型函数时,定义域为R ；(2)f (x )为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实数的集合； (3)f (x )为偶次根式型函数时,定义域为使被开方数非负的实数的集合； (4)函数y ＝x 0中的x 不为0；(5)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合,即列出不等式组求各不等式解集的交集．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1x －2； (2)f (x )＝2x ＋6； (3)f (x )＝1－x ＋15＋x ；(4)f (x )＝4－x 22＋x.解：(1)因为使式子1x －2有意义的实数的集合为{x |x ≠2},所以函数f (x )＝1x －2的定义域为{x |x ≠2}．(2)因为使式子2x ＋6有意义的实数的集合为{x |x ≥－3},所以函数f (x )＝2x ＋6的定义域为{x |x ≥－3}．(3)因为使式子1－x 有意义的实数的集合为{x |x ≤1},使式子15＋x有意义的实数的集合为{x |x ≠－5},所以函数f (x )＝1－x ＋15＋x的定义域为{x |x ≤1,且x ≠－5}．(4)因为使式子4－x 22＋x 有意义的实数的集合为{x |x ≠－2},所以函数f (x )＝4－x 22＋x 的定义域为{x |x ≠－2}．类型三 求函数的值域 【例3】 求下列函数的值域： (1)y ＝12x 2－1,x ∈{－1,0,1,2,3,4}；(2)y ＝3＋x 4－x ；(3)y ＝2x 2－4x ＋3； (4)y ＝1－x 21＋x 2.【思路探究】 求函数的值域就是通过函数定义域中x 的取值,根据对应关系确定y 的取值．【解】 (1)(观察法)将x ＝－1,0,1,2,3,4分别代入y ＝12x 2－1,得y ＝－12,－1,－12,1,72,7.∴此函数的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－12，1，72，7.(2)方法1(分离常数法)：y ＝3＋x 4－x ＝－(4－x )＋74－x ＝－1＋74－x. ∵74－x≠0,∴y ≠－1,∴此函数的值域为{y |y ≠－1}． 方法2(反解法)：∵y ＝3＋x4－x ,∴4y －xy ＝x ＋3,∴x ＝4y －3y ＋1,y ≠－1,∴此函数的值域为{y |y ≠－1}．(3)(配方法)∵2x 2－4x ＋3＝2(x －1)2＋1≥1, ∴y ＝2x 2－4x ＋3≥1＝1, ∴此函数的值域为[1,＋∞)．(4)(分离常数法)∵y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2,而该函数的定义域为R , ∴1＋x 2≥1,∴0<21＋x 2≤2,∴－1<－1＋21＋x 2≤1,∴此函数的值域为(－1,1]．规律方法 求函数的值域时,一定要将最终的结果表示成集合或者区间的形式．在用列举法表示函数的值域时,如(1),要注意相同的元素归入一个集合时,只能算作一个．(1)如果f (x )＝x 2－x －6,则f (5)＝14. (2)函数y ＝8x 2(1≤x ≤2)的值域为[2,8]．(3)函数y ＝2x 3x －4的值域是(－∞,23)∪(23,＋∞)．解析：(1)由f (x )＝x 2－x －6得f (5)＝25－5－6＝14. (2)因为1≤x ≤2,所以1≤x 2≤4,14≤1x 2≤1,故2≤8x2≤8.(3)y ＝2x 3x －4＝23(3x －4)＋833x －4＝23＋83(3x －4),因为83(3x －4)恒不为零,而且可以取到其他的所有实数,所以y ≠23.——易错误区—— 忽视函数的定义域导致的错误【例4】 若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2},值域为N ＝{y |0≤y ≤2},则函数y ＝f (x )的图像可能是( )【错解】 选A 或选D.【正解】 B 选项A 中,在集合M 中,当x >0时的元素在N 中没有数与之对应①,不符合函数的定义； 选项C 中,一个变量x 可能对应着两个y 的值,也不符合函数的定义； 选项D 中,一个x 对应着一个y ,但N 为值域②,所以集合N 中的每一个数在M 中也必须有数与之对应,但是N 中存在数在M 中没有数与之对应．故选B.【错因分析】 1.忽视①处即函数定义域中的每一个元素都要有元素与之对应； 2．忽视题目给出的条件即②处N 是函数的值域,而导致错选D. 【防范措施】 1.深刻理解函数定义中的条件对于定义域中的每一个数在对应法则之下都要有唯一一个数与之对应,只要在定义域中存在一个数找不到与之对应的元素,或者是一个数对应着两个或以上的数时均不能称为函数．如本例中的A 项在x >0时,没有数与之对应,故不是函数y ＝f (x )的图像．2．认真审题解题时,除了掌握常规的知识外,还要认真审题,如本例中的集合N 为值域,故也要保证N 中的每个数在M 中也要有数与之对应．设M ＝{x |0≤x ≤2},N ＝{y |0≤y ≤2},给出如图所示的四个图形,其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由函数的定义知,M 中任一元素在N 中都有唯一的元素与之对应,即在x 轴上的区间[0,2]内任取一点作y 轴的平行线,与图像只有一个交点即可．由函数定义知①不是,因为集合M 中1<x ≤2时,在N 中无元素与之对应；③中的x ＝2对应元素y ＝3∉N ,所以③不是；④中x ＝1时,在N 中有两个元素与之对应,所以④不是．一、选择题1．下列关于函数与区间的说法正确的是( D ) A ．函数定义域必不是空集,但值域可以是空集 B ．函数定义域和值域确定后,其对应法则也就确定了 C ．数集都能用区间表示D ．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应解析：函数的定义域和值域都是非空的数值,故A 错；函数的定义域和对应法则确定后,函数的值域也就确定了,故B 错；数集不一定能用区间表示,故C 错,选D.2．符号y ＝f (x )表示( B ) A ．y 等于f 与x 的积 B ．y 是x 的函数C ．对于同一个x ,y 的取值可能不同D ．f (1)表示当x ＝1时,y ＝1解析：符号y ＝f (x )是一个整体符号,表示y 是x 的函数,则A 错,B 正确；由函数的定义知,对于同一个自变量x 的取值,变量y 有唯一确定的值,则C 错； f (1)表示x ＝1对应的函数值,则D 错．故选B.3．与y ＝x 是同一个函数的是( D ) A ．y ＝|x | B ．y ＝x 2 C ．y ＝x 2xD ．y ＝t解析：对于函数y ＝x 定义域和值域均为R ,而选项A 与B 的值域为[0,＋∞),故A 与B 错；对选项C,定义域为{x |x ∈R 且x ≠0},只有D 正确．二、填空题4．函数y ＝x ＋1x的定义域为{x |x ≥－1,且x ≠0}． 解析：本题考查函数定义域,要使y ＝x ＋1x 有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x ≠0,所以解得x ≥－1且x ≠0,即函数定义域为{x |x ≥－1,且x ≠0},求函数定义域和值域的结果都应写成“解集”形式．本题结果还可表示为[－1,0)∪(0,＋∞)等．5．下列函数是同一函数的序号为(3)．(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x ≥0，－1 x <0；(2)f (x )＝x 2与g (x )＝3x 3； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝(t －1)2.解析：对于(1)来说,f (x )的定义域中不含有0,而g (x )的定义域为R ,定义域不同． 对于(2)来说,两个函数的定义域都为R ,但f (x )＝|x |,而g (x )＝x ,解析式不同． 故(1)(2)都不是同一函数．而对于(3)来说,尽管两个函数的自变量一个用x 表示,另一个用t 表示,但它们定义域相同,对定义域内同一个自变量,根据表达式,都能得到同一函数值,因此二者是同一函数．三、解答题6．已知函数f (x )＝x 2＋x －1,求 (1)f (2)； (2)f (1x＋1)；(3)若f (x )＝5,求x 的值． 解：(1)f (2)＝4＋2－1＝5.(2)f (1x ＋1)＝(1x ＋1)2＋(1x ＋1)－1＝1x 2＋3x ＋1.(3)f (x )＝5,即x 2＋x －1＝5. 由x 2＋x －6＝0得x ＝2或x ＝－3.。
北师大版高中数学必修一函数的表示方法学案
函数的表示法【要点导学】1、函数的表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势.2、分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数. 3、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）换元法；（3）方程法 ；（4）配凑法等.4、作函数图象的一般步骤：（1）确定函数定义域；（2）化简或变形函数表达式（一般来说可化简成常见函数或其复合函数）；（3）利用描点法或图象变换法作出图象.5、常见的图象变换有：平移变换、对称变换和翻折变换等.【范例精析】例1 （1）已知)(x f 是一次函数, 且14))((-=x x f f ,求)(x f 的解析式 ； （ 2）已知x x x f 2)1(+=+,求)(x f ； （3）已知)(x f 满足x xf x f 3)1()(2=+，求)(x f 思路剖析 根据题设条件的特点，灵活采用相应的方法求解. 解题示范 （1）（待定系数法）设0,)(≠+=k b kx x f ， 则 14)(-=++x b b kx k ，即14)1(2-=++x b k x k .比较系数，得⎩⎨⎧-=+=1)1(42b k k ，解得，⎪⎩⎪⎨⎧-==312b k 或 ⎩⎨⎧=-=12b k .∴312)(-=x x f 或12)(+-=x x f .（2）法1（换元法）：令t =1+x （ t ≥1），则2)1(-=t x ,∴1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f ∴1)(2-=x x f （x ≥1）法2（配凑法）：∵1)1(2)1(2-+=+=+x x x x f ，又 ∵1+x ≥1， ∴1)(2-=x x f (x ≥1).（3）（方程法）∵x xf x f 3)1()(2=+ ---①，将①中x 换成x1，得 x x f x f 3)()1(2=+---②，①×2-②，得 xx x f 36)(3-=，∴xx x f 12)(-=.回顾反思 求函数解析式的方法：（1）待定系数法：适用于已知函数的类型，求函数的解析式；（2）换元法或配凑法：适用于已知复合函数))((x g f 的表达式，求)(x f 的解析式，但运用时要注意正确确定中间变量)(x g t =的取值范围；（3）方程法：只已知关于)(x f 及)1(xf 的一个条件要求)(x f ，可通过条件再寻找关于)(x f 及)1(x f 的另一个方程，利用解方程组求出)(x f .请思考：若本题中把x1换成x -，你能求)(x f 的解析式吗？（4）由实际问题求函数解析式时， 常根据实际意义（如面积、距离等）确定函数解析式，并注明符合实际问题的定义域.例2 动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B 、C 、D 再回到A .设x 表示P 点的行程，y 表示P A 的长，求y 关于x 的函数关系式.思路剖析 视P 点所处的正方形边的位置分别计算PA 的长.解题示范 如图 ，当P 在AB 边上运动，即10≤≤x 时, P A =x ； 当P 在BC 边上运动，即21≤<x 时， P A =2)1(1-+x ＝222+-x x ；当P 在CD 边上运动，即32≤<x 时，P A =2)3(1x -+＝1062+-x x ；当P 在DA 边上运动，即43≤<x 时， P A =4-x .DA∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+-=x x x x x x y 41062222 )43()32()21()10(≤<≤<≤<≤≤x x x x 回顾反思 由于y 表示的是线段PA 的长度，而x 表示的是P 点从A 点出发后所走的路程，从而计算PA 长度的方式应随着P 点所在正方形边的位置的变化而改变，因此计算PA 时需对P 点的位置进行分类讨论， 故y 不可能用关于x 的一个表达式来表示，应用分段函数来表示.例3 作出函数（1）y =|122--x x |；（2）y =|x |2-2|x |-1的图象.思路剖析 找出所作图象的函数与常见函数间的联系，利用函数的图象变换作图.解题示范 （1） 当122--x x ≥0时， y =122--x x当122--x x <0时，y =-（122--x x ) 作图步骤：①作出函数y =122--x x 的图象②将上述图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方（原在x 轴上方的部分保留不变），即得y =|x 2-2x -1|的图象（如图）. （2）当x ≥0时 y =122--x x 当x <0时 y =122-+x x即 y =(-x )2-2(-x )-1 作图步骤：①作出y =122--x x 的图象；②保留所得图象在y 轴右方的部分，去掉y 轴左方的部分，以y 轴为对称轴将右方部分的图象翻折到y 轴的左方（翻折过程中保留y 轴右方的图象），即得y =|x |2-2|x |-1的图象 （如图）.回顾反思 1、常见的图象变换有：（1）平移变换：用于研究函数)(x f y =的图象与b a x f y ++=)(的图象之间的联系： ①将函数)(x f y =的图象向左（或向右）平移|k |个单位（k >0向左,k <0向右）得)(k x f y +=图象；P②将函数)(x f y =的图象向上（或向下）平移|k |个单位（k >0向上,k <0向下）得k x f y +=)(图象.（2）对称变换： 用于研究函数的图象)(x f y =与)(x f y -=、)(x f y -=及)(x f y --=的图象之间的联系：①函数)(x f y =的图象与)(x f y -=的图象关于x 轴对称； ②函数)(x f y =的图象与)(x f y -=的图象关于y 轴对称； ③函数)(x f y =的图象与)(x f y --=的图象关于原点对称.（3）翻折变换：用于研究函数)(x f y =的图象与|)(|x f y =与|)(|x f y =的图象之间的联系：①将)(x f y =的图象在x 轴上方的部分不变，下方部分以x 轴为对称轴向上翻折即得|)(|x f y =的图象；②将)(x f y =的图象在y 轴右方的部分保留不变，去掉y 轴左方的部分，以y 轴为对称轴将右方部分向左翻折即得|)(|x f y =的图象.2、并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet ）函数D(x )=⎩⎨⎧.x 0x 1是无理数，是有理数，，,我们就作不出它的图象.例4 对于任意的实数x ，规定y 取4-x ，x +1，)5(21x -三个值中的最小值. （1）求y 与x 的函数关系式，并画出此函数的图象. （2）x 为何值时，y 最大？最大值是多少？思路剖析 所谓y 是4-x ，x +1，)5(21x -三个值中的最小值，是对于同一个x 值而言的，从图象上反映应是三个函数y ＝4-x ，y ＝x +1，y ＝)5(21x -的图象中处于最下方的那一个.解题示范 （1）在同一坐标系中作出三个函数y ＝4-x ，y ＝x +1，y ＝)5(21x -的图象.设函数y ＝)5(21x -的图象分别与函数 ABy ＝x +1，y ＝4-x 的图象交于A 、B 两点，由⎪⎩⎪⎨⎧+=-=1)5(21x y x y 解得A (1, 2)； 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=xy x y －4)5(21解得B (3, 1). ∴y 与x 的函数关系式是⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-≤+=3431)5(2111x xx x x x y ，其图象为实线部分.（2）由图象可知，当x = 1时, y 最大，其最大值为m ax y = 2 .回顾反思 求解此题的数学思想方法称为数形结合思想. 数形结合思想是数学中的重要思想方法之一，它在求解数学问题时有着广泛的应用，它在解题中的独到之处在于以形助数，利用形的直观性寻找到解题的突破口.例5 已知函数 3222)(a b x a ax x f -++= .（1） 当x ∈(-2，6)时，其值为正；x ∈),6()2,(+∞--∞ 时，其值为负，求a , b 的值及f (x )的表达式； （2） 设)16(2)1(4)(4)(-+++-=k x k x f kx F ，k 为何值时，函数F (x )的值恒为负值？思路剖析 利用不等式与方程的关系以及数形结合的思想求解. 解题示范 （1）显然0≠a .当x ∈(-2，6)时，其值为正；x ∈),6()2,(+∞--∞ 时，其值为负,∴-2,6是方程02322＝a b x a ax -++的两个根，∴ ⎩⎨⎧=-++=-+-0263602243232a b a a a b a a 解得 a = - 4 ，b = - 8 ∴48164)(2++-=x x x f（2） 24)16(2)1(4)48164(4)(22-+=-+++++--=x kx k x k x x kx F 欲使函数F (x )的值恒为负值，显然0≠k,故 ⎩⎨⎧<+=∆<08160k k ，解得 k < - 2∴当k < - 2时，函数F (x )的值恒为负值.回顾反思 1、 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式间的关系： 设)(x f =c bx ax ++2(0≠a )，则（1）方程c bx ax ++2＝0的两根即为)(x f =c bx ax ++2的图象与x 轴两交点的横坐标；（2）不等式c bx ax ++2>0的解集即为)(x f =c bx ax ++2的图象在x 轴上方部分的横坐标x 的取值范围 ；不等式c bx ax ++2<0的解集即为)(x f =c bx ax ++2的图象在x 轴下方部分的横坐标x 的取值范围 ；（3）若不等式c bx ax ++2>0()0>a 的解集为}|{21x x x x x ><或，则21,x x 是方程c bx ax ++2＝0的两个根；若21,x x ）（21x x < 是方程c bx ax ++2＝0的两个根，则不等式c bx ax ++2>0()0>a 的解集为}|{21x x x x x ><或.2、 设)(x f =c bx ax ++2(0≠a ),由二次函数的图象可直观地得到：当⎩⎨⎧<->0402ac b a 时，0)(>x f 恒成立；当⎩⎨⎧<-<0402ac b a 时，0)(<x f 恒成立，反之也成立. 【能力训练】一、 选择题1、已知11)1(+=x x f ，那么)(x f 的解析式为 （ ）A 、11+xB 、x x +1C 、1+x xD 、x +12、在x 克a %的盐水中，加入y 克b %的盐水，浓度变成c %),0,(b a b a ≠>， 则x 与y 的函数关系式是 （ ） A 、x b c a c y --= B 、x c b ac y --= C 、x c b c a y --= D 、x ac cb y --=3、某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中纵轴表示离学校的距离d ，横轴表示出发后的时间t ，则下列四个图形中较符合该生走法的是 （ ）A 、B 、C 、D 、4、函数2)1(+=x y -2的图象可由函数2x y =的图象经过（ ）得到.A 、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位B 、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位C 、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位D 、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位5、函数1)1(2-+-=x y 的图象与函数1)1(2+-=x y 的图象关于（ ） A 、y 轴对称 B 、x 轴对称 C 、原点对称 D 、以上都不对二、填空题6、已知⎪⎩⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x ，则_______)]}1([{=-f f f .7、已知f (x )=x x 22+，则f (2x +1)= .8、已知x x x f 2)1(+=-，则___________)(=x f .9、将长为a 的铁丝折成矩形，设矩形的长为x ，则面积y 关于x 的函数关系式是 _______ ，其定义域是 ______.10、已知f (x )=⎩⎨⎧>-≤+)0(2)0(12x x x x ,若f (x )=10，则x = .三、解答题11、（1）已知f (x )是一次函数，且满足3f (x +1)-2f (x -1)=2x +17,求f (x )；（2）设二次函数f (x )满足f (x +2)= f (2-x )，且方程f (x )=0的两实根的平方和为10，)(x f 的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式.12、已知[]221)(,21)(x x x g f x x g -=-= (x ≠0)， 求)21(f .13、(1) 已知12)(3)(+=-+x x f x f ，求)(x f .(2)设,)(331--+=+x x x x f 221)(--+=+x x x x g 求f [g (x )].14、作出下列函数的图象：(1)⎩⎨⎧---=14)(22x x x f )20()02(≤<≤≤-x x ； (2)322-+=x x y ；(3)xx x y -+=||)21(015、讨论函数273++=x x y 的图象与xy 1=的图象的关系. 【素质提高】16、已知函数f (x )满足f (a b )= f (a )+ f (b )且f (2)=p ，f (3)= q ，则f (36)= .17、讨论关于x 的方程)(|34|2R a a x x ∈=+-的实数解的个数.18、设函数f (x )=x 2-4x -4的定义域为[t -2, t -1]，对任意t ∈R ，求函数f (x )的最小值ϕ(t )的解析式，并画出)(t ϕ的图象.2.2 函数的表示法1、C2、B3、D4、C5、C6、1+π7、3842++x x 8、)1(342-≥++x x x 9、y = 221x ax -,定义域是(0, 2a ) 10、－3 11、（1）f (x )=2x +7； （2）f (x )=x 2-4x +312、15 13、(1)41)(+-=x x f (2) f [g (x )]=296246-+-x x x 14、略 15、273++=x x y 的图象可由xy 1=的图象先向左平移两个单位，再向上平移三个单位得到 16、2(p +q ) 17、当)0,(-∞∈a 时，没有解；当0=a 或),1(+∞∈a 时，两解；当1=a 时，三解；当)1,0(∈a 时，四解18、⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤-<+-=)4(88)43(8)3(16)(22t t t t t t t t ϕ ，图略。
北师大版高中数学必修第一册2.2.2函数的表示法课件
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为____1____．
当g(f(x))＝2时，x＝____1____．
解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3， ∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
题型1 函数的表示法——自主完成
1.某 学 生 离 家 去 学 校 ， 一 开 始 跑 步 前 进 ， 跑 累 了 再 走 余 下 的 路
(4)在坐标平面上，一个图形就是一个函数图象．( × )
解析：与y轴平行或重合的直线与图形有两个或两个以上的交点时，图形就不 是函数的图象，如圆．
(5)任何一个函数都可以用列表法表示．( × ) (6)函数的图象一定是一条连续不断的曲线．( ×ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若 把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，则图象可能是( )
7．(6分)[多选题]下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x|
B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1
D．f(x)＝－x
答案：ABD
解析：A中，f(2x)＝|2x|＝2|x|，2f(x)＝2|x|，满足f(2x)＝2f(x)；B中，f(2x)＝2x－ |2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)；C中，f(2x)＝2x＋1，2f(x)＝2(x＋1)＝2x ＋2，不满足f(2x)＝2f(x)；D中，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)．故 选ABD.
程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符
合该学生走法的是( )
答案：D
高中数学 1.2.2 函数的表示方法导学案 北师大版必修1
第一课时函数的几种表示方法一、预习目标通过预习理解函数的表示二、预习内容1.列表法：通过列出与对应的表来表示的方法叫做列表法2.图象法：以为横坐标，对应的为纵坐标的点的集合，叫做函数y=f（x）的图象，这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法.3.解析法（公式法）：用来表达函数y=f（x）（x∈A）中的f（x），这种表达函数的方法叫解析法，也称公式法。
4.分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着，这样的函数通常叫做。
三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标1．掌握函数的三种主要表示方法2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系3．会画简单函数的图像学习重难点：图像法、列表法、解析法表示函数二、学习过程表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=602t，A=π2r，S=2rlπ,y=a2x+bx+c(a≠0),y=2-x(x≥2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.DCBA 数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.三、例题讲解例1某种笔记本每个5元，买 x∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像变式练习 1 设,)(331--+=+xxxxf221)(--+=+xxxxg求f[g(x)]。
高中数学 第二章 函数 2.2.2 函数的表示法问题导学案 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学
2.2.2 函数的表示法问题导学一、求函数的解析式活动与探究1(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(3)已知f (x )＋2f (－x )＝x ＋1，求f (x )的解析式．迁移与应用1．已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )．2．(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，求f (x )；(2)已知2f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，求f (x )．求函数解析式的常见方法：(1)若已知函数类型，可用待定系数法求解．(2)若不清楚函数类型，比如已知f [g (x )]的解析式，求f (x )的解析式，可采用配凑法和换元法．配凑法是将f [g (x )]右端的代数式配凑成关于g (x )的形式，进而求出f (x )的解析式；换元法是令g (x )＝t ，然后解出x ，即用t 表示x ，然后代入f [g (x )]中即可求得f (t )，从而求得f (x )．(3)构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．二、作函数的图像活动与探究2作出下列函数的图像： (1)y ＝－x ＋1，x ∈Z ；(2)y ＝2x 2－4x －3,0≤x ＜3.迁移与应用1．函数y ＝|x |x＋x 的图像是( )．2．画出函数y ＝x 2－2x (x ＞1或x ＜－1)的图像．一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再化简解析式(有的要表示为分段函数)，再列表、描点画出图像，并在画图像的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点，分段函数的区间端点等．对于常见的一次、二次函数的图像可直接画出来．三、分段函数及其应用活动与探究3已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≤1，1，|x |>1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (－2)的值；(2)画出f (x )的图像；(3)求f (x )的定义域和值域．迁移与应用1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1，则f (f (2))＝( )．A ．0B ．1C ．2D ．32．画出下列函数的图像，并写出它们的值域： (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，0<x <1，2x ，x ≥1；(2)y ＝|x ＋1|＋|x －3|.(1)分段函数求值时，一定要注意所给自变量的值所在的范围，根据范围选择相应的解析式代入求得．(2)分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图像也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段．(3)分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图像法”，其定义域是自变量x 各段取值的并集，值域是各段值域的并集．当堂检测1．已知函数f (x )则f (2)的值为( )．A ．4B ．2C ．0D ．1 2．f (x )＝|x －2|的图像是( )．3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x ≥1，1，x <1，则f (f (2))＝( )．A ．0B ．1C ．2D ．34．已知f (x )满足f (2x －1)＝4x 2，则f (x )的解析式为__________． 5．某商场进了10台电脑，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．答案：课前预习导学 【预习导引】1．列表法 图像法 解析法 (1)表格 (2)图像 (3)自变量的解析表达式 解析法 预习交流1 (1)提示：(2)提示：它与函数的图像只有一个交点．因为由函数的定义知，一个x 的值只有唯一的y 值与它对应．作与x 轴垂直的直线，如果它与所给的图形最多只有一个交点，那么这个图形就是某个函数的图像．2．取值区间 解析式预习交流2 提示：分段函数虽然由几部分组成，但它却只有一个定义域，只是在定义域内不同区间上有不同的解析表达式而已，所以分段函数是一个函数，而不是几个函数．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究 1 思路分析：第(1)题已知f (x )是一次函数，用待定系数法求解；第(2)题用配凑法或换元法求解；第(3)题可用构造方程组求解法．解：(1)由题意可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17.∴a ＝2，b ＝7.∴f (x )＝2x ＋7.(2)方法一(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 方法二(换元法)：令x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)2＝t 2－1(t ≥1)．∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)因为f (x )＋2f (－x )＝x ＋1，以－x 替换x ，得f (－x )＋2f (x )＝－x ＋1，由以上两式可解得f (x )＝－x ＋13.迁移与应用 1．解：(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 因为f (0)＝1，所以c ＝1. 又因为f (x ＋1)－f (x )＝2x ，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x .所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.从而a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.2．解：(1)设t ＝1x ，则x ＝1t(t ≠0)，∴f (t )＝2·1t ＝2t ，故f (x )＝2x(x ≠0)．(2)∵2f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，以1x替换x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＝1x，由以上两式消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 可得f (x )＝23x ＋13x (x ≠0)．活动与探究2 思路分析：根据一次函数和二次函数的图像，结合函数的定义域，作出函数图像．解：(1)定义域为Z ，所以图像为一群孤立的点．如图(a)．图(a)图(b)(2)定义域不是R ，因此图像不是完整的抛物线，而是抛物线的一部分．如图(b)． 迁移与应用 1．D 解析：函数定义域为{x |x ≠0}，因此可排除选项C ；当x ＝1时，y ＝2，可排除选项B ；当x ＝－1时，y ＝－2，可排除选项A.故选D.2．解：图像如图所示．活动与探究3 思路分析：(1)根据12，－2所在的区间求函数值．(2)(3)可分段画出图像，再结合图像求函数的值域．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14；f (－2)＝1.(2)函数f (x )的图像如图所示．(3)由题意知，函数f (x )的定义域为R .由图像知，当|x |≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]， 当|x |＞1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]． 迁移与应用 1．C 解析：f (2)＝－2＋3＝1， f (f (2))＝f (1)＝1＋1＝2. 2．解：(1)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，0<x <1，2x ，x ≥1的图像如左下图，观察图像，可得函数的值域为(1，＋∞)．(2)将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ≤－1，4，－1<x ≤3，2x －2，x >3，它的图像如右上图．观察图像，得函数的值域为[4，＋∞)．【当堂检测】 1．D2．B 解析：函数的解析式可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2，由描点法画出图像可知选B.3．A 解析：f (2)＝2－1＝1，f (f (2))＝1－1＝0.4．f (x )＝(x ＋1)2 解析：令2x －1＝t ，则x ＝t ＋12，于是f (t )＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝(t ＋1)2，即f (x )＝(x ＋1)2.用图像法表示如图所示．用解析法表示为：y ＝3 000x ，x ∈{1,2,3，…，10}．。
北师大版高中数学必修一函数的表示法教案北师
函数的表示方法教学目标：1.掌握函数的三种表示方法(列表法、解析法、图象法),会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
2.根据实际问题中的条件列出函数解析式,然后解决实际问题.3.了解简单的分段函数，并能简单的应用。
一 课题引入与教材认知：1.以引入函数概念的三个问题为背景，引入函数的表示方法。
2.教材认知。
函数的三种表示方法：（1）列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法。
（2）解析法:用等式来表示两个变量之间函数关系的方法.（3）图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法。
列表法优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值。
缺点：只用于自变量为有限个的函数。
解析法优点：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质。
缺点：一些实际问题很难找到它的解析式。
图象法优点：能直观形象地表示出函数的变化情况。
缺点：只能近似地反映函数的变化情况。
二 典型例题例1、购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元。
若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示x （{}4,3,2,1∈x ）的函数,并指出该函数的值域。
小结：同一个函数可以用不同的方法表示，在实际情境中，能根据不同的要求选择恰当的方法表示函数。
中学阶段研究的函数主要是用解析式表示的函数。
例2、某市出租汽车收费标准如下：在3km 以内（含3km ）路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km 收费,试写出收费关于路程的函数解析式.例2中的函数具有如下特点：在定义域内不同部分上，有不同的解析式。
像这样的函数通常叫做分段函数（注：分段函数是一个函数，而不是几个函数。
）小结：（1）在解决实际问题时，求出函数解析式后，一定要写出定义域。
(2) 回顾初中所学内容，如正比例，一次，二次，反比例函数等若已知函数类型，求函数解析式时常用待定系数法其基本步骤是设出函数的一般式（或顶点式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数。
2.2.2函数的表示法 学案(北师大版必修一)
§2.2.2函数的表示法重点：1掌握函数的常用的三种表示法．2．能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点．难点：理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题．【问题导思】1某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔．每支铅笔的价格为0.5元，共需y元．于是y与x间建立起了一个函数关系．1．函数的定义域是什么？2．y与x的关系是什么？3．试用表格表示铅笔数x与钱数y之间的关系． 4.试用图像表示x与y之间的关系．通过上题完成下表如果笔记本数不超过5本时，每本按5元，如果笔记本数超过5本时，超出的部分按每本4.5元(买的笔记本数不超过10本)．1．该函数能用解析法表示吗？怎样表示？2．上面解析法表示的两段函数能说成是两个函数吗？在函数的定义域内，如果对于自变量x的不同有着不同的，那么这样的函数通常叫做分段函数.当堂测试1. 作出下列函数的图像．(1)y＝1＋x(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))；(3)y＝2x，x∈[2，＋∞)．方法总结：1．描点法作函数图像的“三步曲”：一列二描三连线2．作函数图像的注意事项：(1)应先确定函数的定义域，在定义域内作图；(2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像；(3)要标出某些关键点．例如，图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等，注意分清这些关键的点是实心点还是空心点．2.求函数解析式(1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x－1，求函数f(x)的解析式．(2)若f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)．(3)已知2f(x)＋f(1x)＝x，求f(x)．（4）设)(xf是R上的函数，且满足1)0(=f，并且对任意实数yx、，都有)12()()(+--=-yxyxfyxf，求)(xf的表达式.方法总结：1．已知函数模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)求函数的解析式，常用待定系数法，其步骤为：(1)根据函数模型设出函数解析式；(2)根据题设求待定系数．2．已知f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，常用方法如下：(1)换元法：令t＝g(x)，然后求出f(t)的解析式，最后用x代替t即可．(2)配凑法：可通过配凑把f[g(x)]的解析式用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可．3．方程的思想――已知条件是含有()f x及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于()f x及另外一个函数的方程组。
高中数学第二章函数2.2.2函数的表示法一学案含解析北师大版必
学习资料2.2 函数的表示法(一）内容标准学科素养1。
掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图像法以及各自的优缺点．2。
在实际问题中，能够选择恰当的表示法来表示函数．3。
能利用函数图像求函数的值域，并确定函数值的变化趋势。
加强逻辑推理提升数学运算增强直观想象授课提示：对应学生用书第20页［基础认识]知识点函数的表示法错误!某同学计划买x(x∈{1，2，3,4，5})支2B铅笔,每支铅笔的价格为0。
5元，共需y元，于是y与x之间建立起了一个函数关系．（1)函数的定义域是什么？提示:{1，2,3,4，5｝．(2)y与x有何关系？提示:y＝0.5 x。
（3）试用表格表示y与x之间的关系．提示：表格如下:支数(x）1234 5钱数(y）0。
51 1.52 2.5知识梳理函数的表示方法错误!思考：1。
任何一个函数都能用解析法表示吗？提示：不一定．如一年内每天的气温与日期间的关系，每日股票的价格同开盘时间的关系等等，都不能用解析法表示．2．你能说一下三种表示法各自的优缺点吗？提示：表示法优点缺点解析法简明、全面概括了变量间的关系；利用解析式可以求任一点处的函数值不够形象、直观而且并非所有的函数都有解析式列表法不需计算可以直接看出自变量对应的函仅能表示自变量取较少的有限的对应关数值系图像法能形象直观地表示函数的变化情况只能近似求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大3。
如何判断一个图形是否可以作为函数的图像？提示：任取一条垂直于x轴的直线l，在定义域上移动此直线，若直线l与图形只有一个交点，则是函数的图像，若有两个或两个以上的交点，则不是函数的图像．[自我检测］1．下列各图像中,不可能是函数y＝f(x)的图像的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解析：判断一个图像是否是函数图像，其关键是分析是否满足定义域内的任意一个x，都有唯一确定的y与之对应．故①②可能是函数图像．③④一定不是y＝f（x)的图像．答案：B2．下列用图表给出的函数关系中，当x＝6时，对应的函数值y＝（）x 0＜x≤11＜x≤55＜x≤10x＞10y 123 4A.2 B．解析：5＜x≤10时,y＝3，∴x＝6时，y＝3.答案：B3．已知f(x）是正比例函数且过点(1,1)，则f(x）＝________.解析:设f(x）＝kx（k≠0）,由题意可知f(1)＝k＝1，∴f（x)＝x.答案:x授课提示:对应学生用书第21页探究一函数的三种表示方法［例1]下列式子或表格:①y＝2x,其中x∈｛0,1，2，3｝，y∈{0，2，4｝；②x2＋y2＝2；③y＝x－2＋1－x；④x 1234 5y 9089888595其中表示y是x［思路点拨]解答本题的关键是分析所给式子或表格是否满足函数的定义．[解析］①不表示y是x的函数，因为当x＝3时，y没有值与其对应;②不表示y是x的函数，因为当x＝1时,y＝±1，即y有两个值与x的值对应;③不表示y是x的函数，因为原表达式中x∈∅；④能表示y是x的函数,因为该表格既满足函数概念中的确定性也满足唯一性．[答案]④方法技巧函数表示法的注意事项:(1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．（2)判断所给图像、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．跟踪探究1。
2.2函数的表示方法教学设计-2024-2025学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
3. 函数的表格表示方法：
- 表格的概念：函数的表格是将函数的输入值和输出值列举在一个表格中，以便于观察和分析。
- 表格的编制方法：根据函数的定义，选择合适的输入值，计算对应的输出值，然后将它们放入表格中。
- 表格的作用：表格可以用来查找函数的值，分析函数的特性，以及进行函数的插值和外推等操作。
过程：
开场提问：“你们知道什么是函数的表示方法吗？它与我们的生活有什么关系？”
展示一些关于函数图像的图片或视频片段，让学生初步感受函数图像的魅力或特点。
简短介绍函数的表示方法的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。
2. 函数表示方法基础知识讲解（10分钟）
目标：让学生了解函数的表示方法的基本概念、组成部分和原理。
2. 教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学手段，生动形象地展示函数图像和性质，提高学生的直观理解能力。
3. 教学内容：从基础入手，循序渐进，注重函数表示方法的学习与实际问题的结合，提高学生的应用能力。
4. 教学评价：注重过程性评价与终结性评价相结合，全面评价学生在知识、能力、素质等方面的提升。
4. 对课程学习的影响：基于以上学情分析，本节课的教学设计需要注重以下几个方面：
a. 教学内容要从基础入手，循序渐进，让学生逐步建立起对函数表示方法的认识。
b. 教学过程中要注重引导学生主动参与，激发他们的学习兴趣，提高学习积极性。
c. 针对学生的不同能力水平，设计适当难度的教学任务，让每个学生都能在课堂上找到成就感。
5. 课堂展示与点评（15分钟）
目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对函数表示方法的认识和理解。
新教材高中数学第二章函数2函数 函数的表示法第1课时函数的表示法课件北师大版必修第一册
列表法
量对应的函数值
对应的函数值
基础自测
1．已知 f(x)＝π(x∈R)，则 f(π2)等于
A．π2
B．π
C． π
D．不确定
[解析] 因为π2∈R,所以f(π2)＝π．
( B)
2．已知函数y＝f(x)的图象如图,则f(x)的定
义域是
( C)
A．(－∞,1)∪(1,＋∞)
B．R
C．(－∞,0)∪(0,＋∞)
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
列表法表示函数
例 1某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数x与收 款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[ 分 析 ] 函 数 的 定 义 域 是 {1 , 2 , 3 , … , 10} , 值 域 是 {3 000 , 6 000 , 9 000,…,30 000},可直接列表、画图表示．分析题意得到表达y与x关系的解 析式,注意定义域．
[解析] (1)列表法：
x(台) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 18 21 24 27 30
y(元) 3 000 6 000 9 000 000 000 000 000 000 000 000
(2)图象法：如图所示： (3)解析法：y＝3 000x,x∈{1,2,3,…,10}．
第1课时 函数的表示法
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识
知识点 表示函数的三种方法
解析法 列表法 图象法
用__数__学__表__达__式____表示两个变量之间的对应关系 列出__表__格____来表示两个变量之间的对应关系 用__图__象____表示两个变量之间的关系
学高中数学第二章函数函数函数的表示法教案北师大版必修第一册
第二章函数第２．２节函数的表示法教学设计函数的表示法是“函数及其表示”这一节的主要内容之一．学习函数表示法，可以加深对函数概念的理解，领悟数形结合，化归等函数思想，函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．一．教学目标：（１）明确函数的三种表示方法；（２）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；a（３）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．二. 核心素养1.数学抽象：函数的表示方法的理解2.逻辑推理：通过引导学生回答问题，培养学生的自主学习能力；通过画图像，培养学生的动手操作能力；3.数学运算：会函数图像，根据图像分析函数的定义域，值域4.直观想象：通过一些实际生活应用题，让学生感受到学习函数表示的必要性，并体会数学源于生活用于生活的价值；通过函数的解析式与图像的结合，渗透数形结合思想方法。
5.数学建模:通过本节课的教学，使学生进一步认识到，数学源于生活，数学也可应用于生活，能够解决生活中的实际问题．教学重点函数的三种表示方法，分段函数的概念 教学难点根据题目的已知条件，写出函数的解析式并画出图像PPT1. 函数的表示方法（１）解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。
如初中： 学习的一次函数、一元二次函数、反比例函数的关系式,都是解析法.（２）列表法：列表法直接通过表格读数,不必通过计算，就表示出了两个变量之间的对应值,非常直 观.但任何一个表格内标出的数都是有限个，也就只能表示有限个数值之间的函数关系.若 自变量有无限多个数，则只能给出局部的对应关系.（３）图象法：用函数图象表示两个变量之间的关系。
例如：气象台应用自动记录器，描绘温度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的。
（见课本P ５３页图２—２ 我国人口出生变化曲线）比如心电图：但不是所有函数都可以用图像表示：如狄利克雷函数：{1,0()x x f x =为有理数，为无理数２． 函数表示的三种方法对比： 函数表示方法优点缺点 解析法１、简明、全面地概括了变量间的关系； ２、通过解析式求出任意一个自变量的值对应的函数值。
2020-2021学年北师大版(2019)高中数学必修一：2.2.2 函数的表示法学案
第二章函数第2.2节函数的表示方法导学案（1）了解函数的表示方法（2）掌握函数解析的5种求法（3）会根据函数解析式，画函数图像（1）函数的三种表示方法：________________(2)函数表示的三种方法对比：函数表示方法优点缺点____法____法____法1．为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《村委会组织法》，某乡镇准备在各村推选村民代表．规定各村每15户推选1人，当全村户数除以15所得的余数大于10时再增加1人．那么，各村可推选的人数y与该村户数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y＝[] B．y＝[] C．y＝[] D．y＝[]2．若f（x）满足关系式f（x）+2f（）＝3x，则f（2）的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣D．3．已知函数f（x）＝x|x﹣m|（x∈R），且f（1）＝0．（1）求m的值，并用分段函数的形式来表示f（x）；（2）在如图给定的直角坐标系内作出函数f（x）的草图（不用列表描点）；1．AQI即空气质量指数，AQI越小，表明空气质量越好，当AQI不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某市3月1日到12日AQI的统计数据．则下列叙述正确的是（）A．这12天的AQI的中位数是90 B．12天中超过7天空气质量为“优良”C．从3月4日到9日，空气质量越来越好D．这12天的AQI的平均值为1002．可作为函数y＝f（x）的图象的是（）A．B．C．D．3．已知函数f（x）＝，若f（x）＝5，则x的值是（）A．﹣2 B．2或﹣C．2或﹣2 D．2或﹣2或﹣4．若，则f[f（﹣2）]＝（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知函数f（+2）＝x+4+5，则f（x）的解析式为（）A．f（x）＝x2+1 B．f（x）＝x2+1（x≥2）C．f（x）＝x2D．f（x）＝x2（x≥2）6．已知f（x）是一次函数，且f（x﹣1）＝3x﹣5，则f（x）的解析式为（）A．f（x）＝3x+2 B．f（x）＝3x﹣2 C．f（x）＝2x+3 D．f（x）＝2x﹣3 7．已知函数f（2x﹣1）＝4x+3，且f（t）＝6，则t＝（）A．B．C．D．8．若函数f（x）满足f（3x+2）＝9x+8，则f（x）是（）A．f（x）＝9x+8B．f（x）＝3x+2C．f（x）＝﹣3x﹣4D．f（x）＝3x+2或f（x）＝﹣3x﹣49．已知函数f（x）满足，则f（x）的解析式为10．已知对于任意实数x，函数f（x）都满足f（x）+2f（2﹣x）＝x，则f（x）的解析式为．【答案】：实践研究：1.解：根据规定15推选一名代表，当各班人数除以15的余数大于10时再增加一名代表，即余数分别为11，12，13，14时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加4．因此利用取整函数可表示为y＝[]．故选：B．2.解：∵f（x）满足关系式f（x）+2f（）＝3x，∴，①﹣②×2得﹣3f（2）＝3，∴f（2）＝﹣1，故选：B．3解：（1）∵f（1）＝0，∴|m﹣1|＝0，即m＝1；∴f（x）＝x|x﹣1|＝．（2）函数图象如图：课后巩固：1. C 2. D 3. A 4. C 5. B 6. B7. 1 8. B 9. f（x）＝﹣x﹣+1．10。
高中数学 第二章 函数 2.2.2 函数的表示法学案 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学案
2.2．2 函数的表示法1．掌握函数常用的三种表示法．(重点)2．能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点．3．理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题．(难点)[基础·初探]教材整理 1 函数的表示法阅读教材P28～P29“例2”以上内容，完成下列问题．某汽车司机看见前方约50米处有行人穿过马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图像可能是( )【解析】刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项C，D；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图像较陡，排除选项B，故选A.【答案】 A教材整理 2 分段函数阅读教材P29“例2”～P31，完成下列问题．在函数的定义域内，如果对于自变量x的不同取值范围有着不同的对应关系，那么这样的函数通常叫作分段函数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的图像一定是连续不断的曲线．( )(2)函数的解析式是唯一的．( )(3)分段函数是由多个函数组成的．( )(4)分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的交集．( )【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×[小组合作型]函数图像的作法作出下列函数的图像．(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)．【精彩点拨】(1)中函数的定义域为Z；(2)中函数是二次函数，且定义域为[0,3)，作图像时要注意定义域对图像的影响．【尝试解答】(1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上(∵x∈Z，∴y∈Z)，这些点都为整数点，如图①所示为函数图像的一部分；(2)∵0≤x＜3，∴这个函数的图像是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x＜3之间的一段曲线，且y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3，如图②所示．1．图像法是表示函数的方法之一，画函数图像时，以定义域、对应法则为依据，采用列表、描点法作图．当已知解析式是一次或二次式时，可借助一次函数或二次函数的图像来作图．2．作图像时，应标出某些关键点．例如，图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点，还是空心点．[再练一题]1．作出下列函数的图像． (1)y ＝x2＋1，x ∈{1,2,3,4,5}；(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，0<x <1，1，x ≥1.【导学号：04100018】【解】 (1)函数y ＝x 2＋1，x ∈{1,2,3,4,5}是由⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52，(4,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫5，72五个孤立的点构成，如图：(2)函数的图像如图：求函数解析式求函数的解析式．(1)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝9x ＋4，求f (x )的解析式；(2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(3)已知2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )．【精彩点拨】 (1)可设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，再根据题设列方程组，求待定系数k ，b . (2)在“x ＋2x ”中凑出“x ＋1”或将“x ＋1”整体换元来求解．(3)将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，f (x )看成未知数，通过解方程组求f (x )．【尝试解答】 (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， 则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝9x ＋4.∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝9，kb ＋b ＝4，解得k ＝3，b ＝1或k ＝－3，b ＝－2.∴f (x )＝3x ＋1或f (x )＝－3x －2. (2)法一(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 法二(换元法)：令x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝(t －1)2(t ≥1)， ∴f (t )＝(t －1)2＋2t －12＝t 2－1(t ≥1)．∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，令x 取1x的值，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x.于是得关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x的方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．函数解析式的求法：(1)待定系数法：①设出所求函数含有待定系数的解析式．如一次函数解析式设为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)；反比例函数解析式设为f (x )＝k x(k ≠0)；二次函数解析式可根据条件设为a.一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．b.顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)．c.双根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．②把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组． ③解方程或方程组，得到待定系数的值． ④将所求待定系数的值代回原式． (2)换元法：已知f [g (x )]是关于x 的函数，即f [g (x )]＝F (x )，求F (x )的解析式，通常令g (x )＝t ，由此能解出x ＝e (t )，将x ＝e (t )代入f [g (x )]＝F (x )中，求得f (t )的解析式，再用x 替换t ，便得F (x )的解析式．如本例(2)的法二．(3)配凑法：此法是把所给函数的解析式，通过配方、凑项等方法使之变形为关于“自变量”的表示式，然后以x 代替“自变量”，即得所求函数解析式．如本例(2)的法一．(4)消元法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[再练一题]2．求下列函数的解析式：(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，求f (x )； (2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝－1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋2，求f (x )； (3)已知af (x )＋f (－x )＝bx ，其中a ≠±1，求f (x )． 【解】 (1)法一：(换元法)令t ＝1＋x x ＝1x＋1，则t ≠1.把x ＝1t －1代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，得f (t )＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋11t －1＝(t －1)2＋1＋(t －1)＝t 2－t ＋1.∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．法二：(配凑法)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝1＋x 2＋2x －2x x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x 2－1＋x －x x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x 2－1＋x x ＋1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. 又∵1＋x x ＝1x＋1≠1，∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝－1，∴c ＝－1.∵f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －ax 2－bx －c ＝2ax ＋a ＋b ＝2x ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，∴a ＝1，b ＝1，c ＝－1， ∴f (x )＝x 2＋x －1.(3)在原式中以－x 替换x ，得af (－x )＋f (x )＝－bx ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧afx ＋f －x ＝bx ，af －x ＋f x ＝－bx ，消去f (－x )，得f (x )＝bxa －1. 故f (x )的解析式为f (x )＝ba －1x . [探究共研型]分段函数探究 1 画出函数y ，f (1)的值．【提示】 由绝对值的概念，有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0.所以，图像y ＝|x |的图像为过原点且平分第一、第二象限的两条射线，如图所示．其中f (－3)＝3，f (3)＝3，f (－1)＝1，f (1)＝1.探究 2 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ， x ≤0，x 2， x ＞0，若f (a )＝4，则实数a 等于多少？【提示】 当a ≤0时，f (a )＝－a . ∵f (a )＝4，∴－a ＝4，∴a ＝－4. 当a ＞0时，f (a )＝a 2.∵f (a )＝4，∴a 2＝4，∴a ＝2，或a ＝－2(舍去)． 综上a ＝－4或2.探究 3 国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资如下表． 信函质量(m )/g 0＜m ≤2020＜m ≤4040＜m ≤6060＜m ≤8080＜m ≤100邮资(M )/元1.202.403.604.806.00画出图像，并写出函数的解析式．【提示】 邮资是信函质量的函数，函数图像如图．函数的解析式为M ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.20，0＜m ≤20，2.40，20＜m ≤40，3.60，40＜m ≤60，4.80，60＜m ≤80，6.00，80＜m ≤100.如图222所示，从边长为2a 的正方形铁片的四个角各裁一个边长为x 的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x 与底面正方形边长的比不超过正常数t .试把铁盒的容积V 表示为x 的函数，并求出其定义域．图222【精彩点拨】 可由题意将长方体底面正方形的边长和高度表示出来，但要注意定义域x 不但受解析式的影响，还受t 的限制．【尝试解答】 依题意知，长方体铁盒高为x ，底面正方形的边长为(2a －2x )，则V ＝(2a －2x )2·x ＝4x (a －x )2.∵⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜a ，x2a －2x≤t ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜a ，0＜x ≤2at 1＋2t ，∵a －2at 1＋2t ＝a1＋2t ＞0，∴0＜x ≤2at1＋2t.∴铁盒容积V ＝4x (a －x )2，定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0＜x ≤2at 1＋2t .此类问题要根据题目的特点选择表示方法，一般情况下用解析法表示.用解析法表示时，首先找出自变量x 和函数y ，然后利用题干条件用x 表示y ，最后写出定义域.注意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.[再练一题]3．某质点在30 s 内运动速度v 是时间t 的函数，它的图像如图223，用解析法表示出这个函数，并求出9 s 时质点的速度．图223【解】 速度是时间的函数，解析式为 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋t ， t ∈[0，5，3t ， t ∈[5，10，30， t ∈[10，20，－3t ＋90， t ∈[20，30].由上式可得，t ＝9 s 时，质点的速度v (9)＝3×9＝27(cm/s).1. 如图，函数y ＝|x ＋1|的图像是( )【解析】 y ＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－x －1，x ＜－1.【答案】 A2. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤12x，x ＞1，则f [f (3)]等于( )A.15 B ．3 C.23 D.139 【解析】 ∵f (3)＝23，∴f [f (3)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.【答案】 D3. 已知函数f (x )由下表给出：x 1 2 3 4 f (x )－3－2－1则f (3)＝________.【解析】 由数表可知f (3)＝－1. 【答案】 －13. 已知f (x 2－1)＝x 4－x 2＋1，则f (x )＝________.【解析】 因为f (x 2－1)＝x 4－x 2＋1＝(x 2－1)2＋(x 2－1)＋1，所以f (x )＝x 2＋x ＋1(x ≥－1)．【答案】 x 2＋x ＋1(x ≥－1)4. 如图224，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f 3的值等于________. 【导学号：04100019】图224【解析】 由函数f (x )图像，知f (1)＝2，f (3)＝1， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f 3＝f (1)＝2.【答案】 25. 已知函数y ＝|x －1|＋|x ＋2|. (1)作出函数的图像； (2)写出函数的定义域和值域．【解】 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x ＝1，第二个绝对值的分段点x ＝－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)．所以已知函数可写成分段函数形式：y ＝|x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1x ≤－2，3－2＜x ≤1，2x ＋1x ＞1.在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图像，如图所示，即为所求函数的图像．(2)根据函数的图像可知：函数的定义域为R ，值域为[3，＋∞)．。
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备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间：2013.9
集体备课
个人空间
一、课题：2.2函数的表示法
二、学习目标
（1）掌握函数的表示方法；
（2）通过函数的各种表示及其相互之间的转换来加深对函数概念的理解.
三、教学过程
【温故知新】
问题1、从集合的观点给出函数的定义？
1.信函质量不超过100g时,每20g付邮资80分,即信函质量不超过20g付邮资80分,信函质量超过20g,但不超过40g付邮资160分,依此类推;
2.信函质量大于100g且不超过200g时,每100g付邮资200分,即信函质量超过100g,但不超过200g付邮资(A+200)分,(A为质量等于100g的信函的邮资),信函质量超过200g,但不超过300g付邮资(A+400)分,依此类推.
练2：用图像法做练1
3.解析法：用来表达函数y=f（x）（x A）中的f（x），这种表达函数的方法叫解析法。
跟踪练4：用解析法练1
4.分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着，这样的函数通常叫做。
【巩固提升】
1、作出函数y= 的图像
【检测反馈】
1、y=2x＋1,Байду номын сангаас∈Z且 的图象
2、国内投寄信函(外埠),邮资按下列规则计算:
设一封x g(0<x≤200)的信函应付的邮资为y(单位:分),试写出以x为自变量的函数y的解析式,并画出这个函数的图象.
【学生小结】
谈谈学完本节课有什么收获？
反
思
栏
问题2．什么叫定义域，值域？函数的三要素是什么？
【导学释疑】
认真阅读教材P28—30页,认真独立完成本节的题目.
1.列表法：通过列出与对应的表来表示的方法叫做列表法
练1：某种笔记本的单价是5元/个，买x（x ｛1，2，3，4，｝）个笔记本需要y元，试表示函数y=f（x）
2.图像法：以为横坐标，对应的为纵坐标的点的集合，叫做函数y=f（x）的图像，这种用“图形”表示函数的方法叫做图像法.