非同心的两圆方程相减的几何意义
两圆方程相减的几何意义(可编辑修改word版)
1 方程 x2 + y 2 + D x + E y + F = 0 与x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0111222相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙ O 1 x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 和⊙ O 2 ：111x 2 + y 2 + D x + E 2 y + F 2 = 0 的 方 程 相 减 所 得 到 的 直 线 l ：(D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 )y + F 1 - F 2 = 0 表示两圆公共弦所在直线方程。
但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。
如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线 l ，但l 的几何意义就改变了。
因而有必要就两圆的5 种位置关系进行讨论直线l 的几何意义。
我就两圆的 5 种位置关系进行研究。
一．两圆相交设 P (x , y )、 P 2 (x 2 , y 2 )是两圆的交点， 则有 x 2 + y 2 + D x+ E y + F = 0 和111111 11 11x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 成 立 ， 即P (x , y )、 P (x , y) 满 足 方 程221 21 21111222(x 2 + y 2 + D x + E y + F ) - (x 2 + y 2 + D x + E y + F ) = 0222111即(D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 )y + F 1 - F 2 = 0 。
所以直线 l 表示两圆相交弦所在直线。
二．两圆相切（内切或外切）当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切， 同时与两圆相交的直线 l 也就与两圆只有一个公共点，直线 l 成为两外切圆的过同一切点的公切线。
因此，直线 l ：(D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 )y + F 1 - F 2 = 0 表示两外切圆的过同一切 点的公切线。
两圆相减
两圆方程相减与圆的根轴直线与圆这一章有这么一个内容，那就是关于两圆的位置关系，相信很多同学都有印象：已知两圆的方程，求这两圆的公共弦所在直线的方程，只需要把两个圆的方程相减即可，当然前提是x2和y2系数要一样。
并且若两圆相切，则得到的直线方程就是他们内公切线方程，若两圆半径相等，则得到的直线方程就是他们的对称轴方程：圆O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0两式相减得：L：(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0当两圆相交时，L为相交弦所在直线方程，若相切，则为他们的内公切线方程，若两圆半径相等，则为他们的对称轴方程。
那么，涉及到两圆位置关系的题目，可以先轻易地将相交弦直线方程求出，然后利用直线与圆的位置关系求解。
我们当然是不能停留在“记住”的层面，我们有两个问题摆在这里：1：为什么如此便能求出两圆的公共弦直线方程？2：当两圆相离半径也不相等的时候，按照上面的方法也能得到一条直线L，这时候的直线L与两圆又有什么关系？我们首先看第一个问题，我们首先看到，L的方程是两圆联立得到的方程，所以两圆的两个交点都在L上，而两点已经可以确定一条直线，故L即为公共弦直线的方程。
当两圆相切时，我们可以从极限的角度去看待这个问题，就跟我们第一次接触“导数”的概念一样，切线就是极限状态下的割线，这样相互联系对学生的学习也是很有好处的。
我们也可以从L与两圆的交点个数看：L与圆O1联立方程的解的个数，与圆O1与圆O2联立出的方程的解的个数是一样的，而O1与O2只有一个解，故L与O1也只有一个交点。
如果你愿意，你还可以从圆心到直线距离等于半径这个角度看。
当两个圆半径相等时，我们可以先求出他们的圆心连线方程，然后观察L与此直线的关系，可以发现他们斜率之间的关系：L： (D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0O1点坐标=(-D1/2，-E1/2);O2点坐标=(-D2/2,-E2/2),简单计算便知，L与O1O2垂直；O1O2的中点坐标为P=(-(D1+D2)/4,-(E1+E2)/4)，结合D12+E12-4F1=D22+E22-4F2(因为两圆半径相等)，便可知P点在L上，从而证明L为两圆的对称轴。
改进学生学习方式的教学尝试——自主探究两圆方程差的几何意义
１ 若 ａ≠ ｃ ｂ≠ｄ， 圆 Ｃ 、 同心 时 ， 、 或 即 。Ｃ 不 方程
③ 是 二 元 一次 方程 ， 示直 线 ， 为 直线 ④ 表 记
当圆 Ｃ 与 圆 Ｃ 。 ：相 交 时 ， 学案 例就 是 笔者进 行 的一 点 尝试 ， 期望 通过 对 教 材 中 的一 个 思 考 题 的探 究 与 拓
展 ， 进学 生 的学 习方 式 ． 改
１ 发 现 问题
程 ① 与 ② ， 以一 定也适 合 方程 ③ ， 以 两交点都 所 所
在直线 ③ 上 ．所以任 意两个相交圆的方程相减， 一 定 是 两 圆公 共 弦所在 直 线 的方程 ．
若Ｒ 。＝ｒ， 圆 ｃ 、： 即 ｃ 重合 时 ， 方程 ③ 化 为 ０＝ ０ 恒成 立 ， 示坐标 平 面上 的任 一点 ； ， 表 若 ≠ ｒ， 即 圆 ｃ 与圆 Ｃ 内含 时 ， 方程 ③ 无 解 ， 不表 示任何 点 ．
师 ： 想到 用方 程 去解 决 问题 ， 明解 析 法 已经 你 说 运 用 自如 ， 同时 利 用分 类讨 论 得 出 的 结 论 也 算 全
一
学生 甲的提 问使 我 意识 到这是 一 个实 施探 究 学
习的不错 素 材 ， 于是 我并 没有 去正 面 回答 他 的问题 ， 而是点拨 几 句让 他 自己去 思 考 ． 师 ： 先， 首 你猜 想 两相 交 圆的 方程 相 减 ， 定 是 一
２、 ａ＝ｃ ｂ＝ｄ 即 圆 Ｃ 、 ： 若 且 ， Ｃ 同心 时 ， 方程 ③
化 简 为 一ｒ ＝ ０ ．
人教 Ａ版 教材必修 ３的４ ２ ２ ． ． 节圆与圆的位置 关系 ， 了如下 例题 ： 给
两圆相减后所得的直线方程的几何意义
方程011122=++++F y E x D y x 与0F y E x D y x 22222=++++两圆相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙1O 0F y E x D y x 11122=++++和 ⊙2O ：0F y E x D y x 22222=++++的方程相减所得到的直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两圆公共弦所在直线方程。
但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。
如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线l ，但l 的几何意义就改变了。
因而有必要就两圆的5种位置关系进行讨论直线l 的几何意义。
我就两圆的5种位置关系进行研究。
一．两圆相交设()111y ,x P 、()222y ,x P 是两圆的交点，则有0F y E x D y x 111112121=++++和0F y E x D y x 121212222=++++成立，即()111y ,x P 、()222y ,x P 满足方程-++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (11122=++++即()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-。
所以直线l 表示两圆相交弦所在直线。
二．两圆相切（内切或外切）当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切，同时与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两外切圆的过同一切点的公切线。
因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两外切圆的过同一切点的公切线。
当把两相交的圆逐渐往中间移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆内切，同时，与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两内切圆的过同一切点的公切线。
因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两内切圆的公切线。
圆与圆的位置关系的判断方法
圆与圆的位置关系的判断方法李吉文一、圆与圆的位置关系的判断方法有两种，一种是~d r 法，另一种是判别式法D .以下详解这两种方法. 1、~d r 法根据两圆心距与两圆径的大小关系来判断： ①外离Ûd R r >+； ②外切Ûd R r =+；③相交ÛR r d R r -<<+； ④内切Ûd R r =-； ⑤内含Ûd R r <-.其中，R 是大圆的半径，r 是小圆的半径，如果是等圆，那么两圆就没有内含这种位置关系了.2、判别式法D已知22111:0C x y D x E y F ++++=1⊙，半径为r 和222222:0C x y D x E y F ++++=⊙，半径为R ，且R r >判断两圆的位置关系：两圆的方程相减，得 121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=简记为 0A x B yC ++= 其中220A B +? （1） 将（1）式代入其中一个圆的方程中，消去x 或y ，可得一个关于y 或x 一元二次方程，记为20ay by c ++=或20ax bx c ++=，其中0a >①0D >?两圆有两个公共点（相交）；②0D =?两圆有一个公共点（内切或外切）； ③0D <?两圆无公共点（内含或外离）；以上②③中，如何区分内切和外切，内含和外离呢？请看以下数学思想方法： 将问题转化为小圆的圆心与大圆的位置关系（亦即点圆位置关系）来判断！如果圆心1C 在圆2C 的外面，即d R >，那么两圆外切或外离；如果圆心1C 在圆2C 的内部，即d R <，那么两圆内切或内含.二、两圆方程作差的意义两圆作差后得到的方程：121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=简记为 0A x B yC ++= 其中220A B +? （1） 其意义为①当两圆相交时，方程（1）是相交弦所在的直线方程； ②当两圆相切时，方程（1）是过切点的公切线的方程； ③当两圆没有公共点时，方程（1）没有特别的含义.三、应用举例例题1 已知22:2440C x y x y ++--=1⊙和222:1090C x y x +-+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程.【解析】方法一：~d r 法圆心1(1,2)C -，半径3r =，圆心2(5,0)C ，半径4R =，则1,7R r R r -=+= 两圆圆心距为(1,7)d =所以，两圆相交，将两圆的方程相减可得 124130x y --= 即为相交弦的方程. 方法二：判别式法D将两圆的方程相减，得 124130x y --= 即 1334y x =-（2） 将（2）式代入222:1090C x y x +-+=⊙得 21604723130x x -+=24724160313224640D =-创=>所以，两圆相交，相交弦所在直线的方程是124130x y --=.【变式训练】 已知22:650C x y y +-+=1⊙和222:870C x y x +-+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程；若两圆相切，则求出过切点的公切线的方程.例题2 已知22:4210C x y x y +--+=1⊙和222:142410C x y x y +--+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程；若两圆相切，则求出过切点的公切线的方程. 【解析】方法一：~d r 法圆心1(2,1)C ，半径2r =，圆心2(7,1)C ，半径3R =，则1,5R r R r -=+= 两圆圆心距为5d R r ===+所以，两圆外切，将两圆的方程相减可得 4x = 即为所求公切线的方程. 方法二：判别式法D将两圆的方程相减，得 4x = （3） 将（3）式代入222:142410C x y x y +--+=⊙得2210y y -+= 2(2)4110D =--创=所以，两圆相切.小圆圆心1(2,1)C ，坐标代入222:142410C x y x y +--+=⊙中，有222214241211422141170x y x y +--+=+-??=>所以，两圆是外切关系，所求公切线的方程4x =.【变式训练】1.已知22:1C x y +=1⊙和222:6890C x y x y +--+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程；若两圆相切，则求出过切点的公切线的方程. 2.已知22:46120C x y x y +--+=1⊙和222:680C x y x y +--=⊙，判断两圆的位置关系.。
(完整版)两圆方程相减的几何意义
方程011122=++++F y E x D y x 与0F y E x D y x 22222=++++相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙1O 0F y E x D y x 11122=++++和⊙2O ：0F y E x D y x 22222=++++的方程相减所得到的直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两圆公共弦所在直线方程。
但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。
如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线l ，但l 的几何意义就改变了。
因而有必要就两圆的5种位置关系进行讨论直线l 的几何意义。
我就两圆的5种位置关系进行研究。
一．两圆相交设()111y ,x P 、()222y ,x P 是两圆的交点，则有0F y E x D y x 111112121=++++和0F y E x D y x 121212222=++++成立，即()111y ,x P 、()222y ,x P 满足方程-++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (11122=++++即()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-。
所以直线l 表示两圆相交弦所在直线。
二．两圆相切（内切或外切）当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切，同时与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两外切圆的过同一切点的公切线。
因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两外切圆的过同一切点的公切线。
当把两相交的圆逐渐往中间移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆内切，同时，与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两内切圆的过同一切点的公切线。
因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两内切圆的公切线。
两圆方程相减的几何意义
两圆方程相减的几何意义稿子一：嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊两圆方程相减这个有趣的话题，你知道它有啥几何意义不？想象一下，两个圆摆在那里，它们都有自己独特的方程。
当我们把这两个方程相减的时候，就好像打开了一个神奇的数学魔法盒。
其实呀，两圆方程相减得到的方程，代表的是一条直线哦！这条直线和这两个圆有着很特别的关系。
比如说，如果两个圆相交，那相减得到的直线就通过这两个交点。
就好像这条直线是两个圆相遇时留下的“足迹”，是不是很有意思？要是两个圆相切，那这条直线就和切点以及两个圆心在同一条线上。
就像是一条隐形的纽带，把这些关键的点都连在了一起。
而且哦，如果两个圆相离，相减得到的直线也和这两个圆有着神秘的联系。
虽然它们没有直接接触，但这条直线像是在默默传递着它们之间的某种信息。
怎么样，是不是觉得数学里也有这么多好玩的东西？稿子二：嗨喽！今天咱们来深入探讨一下两圆方程相减的几何意义，准备好跟我一起探索这个奇妙的数学世界了吗？当我们面对两个圆的方程，然后大胆地把它们相减，这可不是简单的数学操作，背后藏着好多有趣的秘密呢！假设这两个圆是两个可爱的小伙伴，它们各自有着自己的位置和特点。
那相减之后得到的直线，就像是它们之间的“友谊线”。
如果这两个圆大小差不多，位置也比较接近，相减得到的直线可能就像是它们互相靠近时的“通道”。
要是一个圆大，一个圆小，那这条直线也许就是它们在比较大小和位置时产生的“裁判线”，能告诉我们很多关于它们之间关系的信息。
有时候，这条直线还能帮助我们判断两个圆是亲密相交，还是保持一定距离的相离。
呢，两圆方程相减得到的直线，就像是数学世界里的一个神奇密码，只要我们用心去解读，就能发现两个圆之间那些隐藏的故事和联系。
是不是超级有趣呀？。
两圆方程相减后所得方程的几何意义
两圆方程相减后所得方程的几何意义两圆方程相减后所得方程的几何意义
作为数学中的重要概念，圆的概念和方程一直是人们最多的研究内容。
在初等
数学中，学习到的圆的数学模型就是圆的标准方程。
根据圆的特性，圆的标准方程为： $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$ 其中，x0和y0是圆心的坐标，r是圆的半径。
因此，圆的方程与半径和圆心有关，可以用来描述圆的几何形状。
如果相减两个圆的方程，也就是方程的差，它的几何意义就是两个圆之间的距离。
例如，$$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r_1^2$$
$$(x-x_2)^2+(y-y_2)^2=r_2^2$$
相减，即可得到两圆之间的距离：
$$(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=(r_1+r_2)^2-(r_1-r_2)^2$$
因此，从数学上讲，相减两个圆方程，即可得到两圆之间的距离，这就是相减
两个圆方程后所得方程的几何意义。
相减两个圆方程所得方程的几何意义不仅可以应用于两个圆之间的距离的计算，而且可以运用于其他圆形的几何形状的描述。
例如，圆的外接矩形也是一种圆形几何形状，可以根据相减两个圆方程的结果，求出其外接矩形的四个顶点的坐标。
总而言之，相减两个圆方程后所得方程的几何意义既可以应用于圆心之间的距
离的计算，也可以应用于圆形几何形状的描述。
它在几何上是一种简单而有效的方法，为我们提供了一种方便的解决方案
相减两个圆方程后所得方程的几何意义是可以用来求得两个圆之间的距离。
由
此可以求得他们之间所形成的圆形几何形状，如圆的外接矩形等形状，从而可以求得所有形状的参数，让我们能够用最简单的数学模型解决复杂的几何问题。
两圆相减的几何意义
两圆相减的几何意义嘿，朋友们！今天咱来聊聊两圆相减这个有趣的几何意义。
你们看啊，这圆啊，就像一个个小世界。
想象一下，一个大一点的圆和一个小一点的圆，它们就像是两个不同的领域。
当我们把这两个圆放在一起，然后去思考它们相减的时候，那可有意思了。
这就好像是在一个大集体中，去掉一个小部分。
比如说，我们把一个大班级看作一个大圆，里面有各种不同性格、不同爱好的同学。
然后呢，有一个小团体，就像是那个小圆。
当我们把这个小团体从整个班级中减去，剩下的是什么呢？是其他那些有着不同特点的同学们呀！或者说，把一个城市看作大圆，其中有一个特定的区域是小圆。
当我们进行两圆相减，得到的就是城市里除了那个特定区域之外的其他地方。
这不就像是我们在生活中，去掉一些特定的元素，然后去观察剩下的部分嘛。
两圆相减也可以让我们看到差异和独特之处。
就好比两个圆，一个代表白天的活动，一个代表夜晚的活动。
它们相减之后，就能清楚地看到白天和夜晚各自独有的那些部分。
这多神奇啊！而且啊，这两圆相减还能让我们更清楚地认识事物的边界呢。
就像两个领域有了明确的划分，减去之后，我们能更准确地知道哪里是属于这个，哪里是属于那个。
在很多实际问题中，两圆相减也有很大的用处呢。
比如说在规划一个区域的时候，我们要去掉一些已经被占用的部分，才能更好地规划剩下的空间。
这不就是在运用两圆相减的道理嘛。
你们想想，是不是这样？两圆相减看似简单，却蕴含着这么多有趣又实用的意义。
它就像一把钥匙，能打开我们对世界更深入理解的大门。
它让我们看到了整体与部分的关系，看到了差异和独特性，也看到了如何更好地去划分和利用空间。
所以啊，可别小看这两圆相减，它真的是几何世界里的一个奇妙之处呢！。
两相交圆方程相减得公共弦方程
两相交圆方程相减得公共弦方程两相交圆方程相减得公共弦方程在代数几何中，我们经常遇到求解两个相交圆的公共特性的问题。
其中一个问题是求解两相交圆的公共弦方程。
本文将以深度和广度的方式探讨这个问题，并提供一个有价值的解决方案。
1. 了解圆的方程在开始解决问题之前，我们首先需要了解圆的方程。
一个圆可以由其圆心坐标和半径确定。
给定一个圆心坐标为(x0, y0)且半径为r的圆，其方程可以表示为：(x - x0)² + (y - y0)² = r²2. 两个相交圆的方程我们假设有两个相交的圆，其圆心分别为(x1, y1)和(x2, y2)，半径分别为r1和r2。
我们需要求解这两个圆的公共弦方程。
为此，我们需要找到两个圆的交点坐标。
我们可以将两个圆的方程相减，得到一个含有交点坐标(x, y)的方程：(x - x1)² + (y - y1)² - ((x - x2)² + (y - y2)² = r1² - r2²展开上述方程，我们可以得到如下的表达式：x² - 2x1x + x1² + y² - 2y1y + y1² - (x² - 2x2x + x2² + y² - 2y2y + y2²) = r1² - r2²化简上述表达式，我们可以得到：-2x1x + x1² - 2y1y + y1² + 2x2x - x2² + 2y2y - y2² = r1² - r2²3. 公共弦方程的推导我们希望将上述方程进一步转化为公共弦方程的形式。
为此，我们需要找到公共弦的特征。
由于公共弦是两个圆的一个公共部分，我们可以将公共弦的两个端点表示为坐标(x, y)和(x', y')。
峰回路转又一村——两相交圆方程相减所得直线是两圆的公共弦
峰回路转又一村——两相交圆方程相减所得直线是两圆的公
共弦
刘绍华
【期刊名称】《中学生数理化（学研版）》
【年(卷),期】2012(000)006
【摘要】在教学的过程中,碰到这样一个问题：已知圆O1：x^2＋y^2=1,圆O2：（x-1）^2＋（y-1）^2=1.
【总页数】1页(P27-27)
【作者】刘绍华
【作者单位】山东省乐陵第一中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.两圆方程相减后所得直线与两圆的位置关系 [J], 岳彩平
2.在教材中找问题在探索中见提升——对两圆方程相减所得方程表示的直线的认
识 [J], 黄妍屏
3.关于非同心的两圆方程相减的几个结论 [J], 王秋霞
4.不相交两圆的“公共弦方程”意义的探究 [J], 郑观宝
5.“相交两圆公共弦”问题的解法探究 [J], 徐建红
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
(完整版)两圆方程相减的几何意义
方程011122=++++F y E x D y x 与0F y E x D y x 22222=++++相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙1O 0F y E x D y x 11122=++++和⊙2O ：0F y E x D y x 22222=++++的方程相减所得到的直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两圆公共弦所在直线方程。
但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。
如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线l ，但l 的几何意义就改变了。
因而有必要就两圆的5种位置关系进行讨论直线l 的几何意义。
我就两圆的5种位置关系进行研究。
一．两圆相交设()111y ,x P 、()222y ,x P 是两圆的交点，则有0F y E x D y x 111112121=++++和0F y E x D y x 121212222=++++成立，即()111y ,x P 、()222y ,x P 满足方程-++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (11122=++++即()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-。
所以直线l 表示两圆相交弦所在直线。
二．两圆相切（内切或外切）当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切，同时与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两外切圆的过同一切点的公切线。
因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两外切圆的过同一切点的公切线。
当把两相交的圆逐渐往中间移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆内切，同时，与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两内切圆的过同一切点的公切线。
因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两内切圆的公切线。
两个圆的方程相减
两个圆的方程相减【原创版】目录1.圆的一般方程介绍2.两个圆的方程相减的意义3.举例说明如何进行两个圆的方程相减4.结论：两个圆的方程相减的意义和应用正文一、圆的一般方程介绍圆是平面上所有到一个固定点的距离相等的点的集合。
在数学中，圆可以用一般方程来表示，即：(x - a) + (y - b) = r。
其中，(a, b) 是圆心的坐标，r 是半径。
二、两个圆的方程相减的意义在数学中，两个圆的方程相减，可以用来找出两个圆的公共部分，即两个圆的交集。
这通常在解决几何问题时非常有用，例如在求解两个圆的交点或者判断两个圆是否相交等问题时。
三、举例说明如何进行两个圆的方程相减假设我们有两个圆的方程：(x - 1) + (y - 1) = 2 和 (x - 2) + (y - 2) = 8。
我们可以通过将两个圆的方程相减，来找出两个圆的公共部分。
首先，将两个圆的方程相减，得到：(x - 1) + (y - 1) - (x - 2) - (y - 2) = 2 - 8。
化简后，得到：2x - 4y + 7 = 0。
然后，我们可以将这个方程转换为标准的圆的一般方程。
首先，将方程移项，得到：2x - 4y = -7。
然后，将两边同时除以 2，得到：x - 2y = -7/2。
最后，将方程两边同时平方，得到：(x - 2y) = (-7/2)。
因此，我们可以得到一个新的圆的方程：(x - 2y + 7/2) = 49/4。
这个新的圆的方程表示的圆，就是两个原圆的公共部分。
四、结论：两个圆的方程相减的意义和应用通过两个圆的方程相减，我们可以找出两个圆的公共部分，这对于解决许多几何问题都非常有用。
两平面方程相减的几何意义
两平面方程相减的几何意义在几何学中，平面是一个重要的概念。
平面方程是描述平面的一种方式，它可以用数学语言准确地表示一个平面的特征和性质。
当我们将两个平面的方程相减时，我们可以得到一些有趣的几何意义。
让我们来看一个简单的例子。
假设有两个平面分别由方程Ax + By + Cz + D1 = 0和Ex + Fy + Gz + D2 = 0描述。
我们将这两个方程相减，得到(A - E)x + (B - F)y + (C - G)z + (D1 - D2) = 0。
这个新的方程描述了一个新的平面。
那么，这个新平面和原来的两个平面有什么关系呢？我们可以观察到，新平面的法向量是原平面法向量之差。
根据向量的几何性质，我们知道两个平面的法向量之差是与这两个平面正交的向量。
换句话说，新平面与原平面的交线垂直。
我们可以进一步观察新平面的方程。
如果我们将新平面的方程进一步化简，可以得到一个更简洁的形式：n·r + d = 0，其中n是新平面的法向量，r是一个点在新平面上的位置矢量，d是一个常数。
这个形式的方程被称为平面的点法式方程。
从这个方程可以看出，对于新平面上的任意一点，它到原平面的距离都是相同的。
换句话说，新平面是与原平面平行且等距离的平面。
进一步地，我们可以思考一下，当两个平面的方程相减后得到的新平面的特殊情况。
如果两个平面是重合的，即它们描述的是同一个平面，那么相减后得到的新平面方程将为0=0。
这个方程没有实际意义，因为它描述了一个不存在的平面。
因此，我们可以得出结论，当两个平面重合时，它们的方程相减得到的新平面是一个不存在的平面。
另一方面，如果两个平面是平行的，即它们的法向量平行但不重合，那么相减后得到的新平面的方程将为0=常数。
这意味着新平面是一个平面方程的特例，它描述了一个平行于原平面但不与原平面相交的平面。
让我们考虑两个平面相交的情况。
如果两个平面相交于一条直线，那么它们的方程相减后得到的新平面将是一个平面方程。
在教材中找问题 在探索中见提升——对两圆方程相减所得方程表示的直线的认识
在教材中找问题在探索中见提升——对两圆方程相减所得方程表示的直线的认识黄妍屏【摘要】《普通高中数学课程标准试验》中明确提出要注重学生探究知识的过程．因此根据此课程标准编写的实验教科书，一有机会就提问，如同千万颗种子撒向广袤的土地，能否生根、发芽，就在于广大学者的思考探究．学习始于疑问，学而不思则罔．通过问题进行思考、探究活动，无疑是数学发展的一条道路，是学懂数学、认识数学的最好方法．【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2009(000)012【总页数】4页(P6-9)【关键词】圆方程;数学课程标准;教材;直线;实验教科书;标准编写;学生探究;普通高中【作者】黄妍屏【作者单位】萧山中学,浙江萧山311201【正文语种】中文【中图分类】G633.6《普通高中数学课程标准试验》中明确提出要注重学生探究知识的过程．因此根据此课程标准编写的实验教科书，一有机会就提问，如同千万颗种子撒向广袤的土地，能否生根、发芽，就在于广大学者的思考探究．学习始于疑问，学而不思则罔．通过问题进行思考、探究活动，无疑是数学发展的一条道路，是学懂数学、认识数学的最好方法．题目人教A版普通高中课程标准实验教材(必修2)第129页中的例3.已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的关系．解法1 将圆C1与圆C2的方程联立，可得方程组式(1)-式(2)，得……该例题下有一个思考：画出圆C1与圆C2以及方程(3)所表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？从“曲线与方程”以及“两点确定一直线”的角度进行思考、探究，发现一个规律：2个相交圆公共弦所在直线方程可通过两圆方程相减得到．那么,当两圆为非同心圆等位置关系时，2个方程相减同样也能得到1个二元一次方程,其所表示的直线与两圆又有什么关系呢？设圆于是可以得到：结论1 2个圆方程相减所得方程表示的直线与两圆心连线垂直．接下来，对2个圆处于不同位置时对应的直线的位置情况进行探究．(1)圆C1与圆C2相切(外切或内切).设P(x0,y0)为切点，由P(x0,y0)满足方程式(4)和(5)可得P(x0,y0)也满足方程式(6)，因此直线l过点P(x0,y0).因为C1C2⊥l，所以直线l表示相切2个圆的公切线．具体地,就2个圆外切的情况加以证明．证明由圆C1与圆C2外切，可得,(2)圆C1与圆C2相离.此时=当r1=r2时,d=|t|=tgt;(r1+r2)=r1.当r1gt;r2时易得当r1lt;r2时，因为在(r1+r2,+∞)上单调递增，所以(3)圆C1与圆C2内含.不妨设r1gt;r2，此时于是又可以得到：结论2 当两圆相交时，两圆方程相减所得方程表示的直线是两圆公共弦所在的直线；当两圆相切时，该方程所表示的直线是两圆的公切线；当两圆相离或内含时，该方程所表示的直线与两圆均相离．当两圆相交或相切时，这条线有比较明确的几何意义，但当两圆相离或内含时，这条与两圆相离且垂直于两圆圆心连线的直线变得扑朔迷离，增添了几分神秘色彩．它有什么特别之处?不同位置关系的两圆所对应的这条直线是否还具有其他共性？下面先分析两圆外切的情况．如图1，半径为r1的圆C1和半径为r2的圆C2外切于点D,对应的直线l过点D，且l⊥C1C2，显然=.这是否为共性，很快在两圆相交的情况中被否定了，那么这条线上其他点有什么特点呢？设点P是l上不同于点D的点，连结PC1,PC2,可得特别地，当点P与点D重合时，式(7)亦成立．如图2，半径为r1的圆C1和半径为r2的圆C2相交于点A,B，对应地直线l即直线AB交C1C2于点D.设点P是l上任意一点，因为||PC1|2-(|C1D|2+|AD|2)=|PC1|2-|C1D|2-|AD|2=|PD|2-|AD|2,||PC2|2-(|C2D|2+|AD|2)=|PC2|2-|C2D|2-|AD|2=|PD|2-|AD|2,这一结论在两圆相交的情况中也成立，那么两圆相离时是否也有该结论呢？对于这种情况很难立刻得到结论,不过笔者以下的这一想法立刻让局面出现了转机:2个圆方程相减得到的直线方程并不是这两圆所特有的，其他两圆方程相减也有可能得到该直线方程．如图3所示，圆圆直线l是两圆方程相减所得方程表示的直线，l交C1C2于点D.不难发现，分别以C1,C2为圆心，|C1D|,|C2D|长为半径的两圆对应的方程相减所得方程表示的直线也是l，因此|||PC1|2-||PC1|2-|PC2|2-(|C1D|2-|C2D|2)=|PC1|2-|C1D|2-(|PC2|2-|C2D|2)=|PD|2-|PD|2=0,这一方法对两圆在任何位置情况都适用．于是又得到一结论：结论3 两圆方程相减所得方程表示的直线是分别到两圆心距离的平方减去对应半径的平方的值相等的点的集合．若直线上的点在圆外，则这些点到两圆的切线长相等．在射影几何中，一点对于圆的幂等于该点到圆心的距离的平方减去圆半径的平方．因此结论3即为：对两已知圆的幂相等的动点的轨迹是两圆方程相减所得方程表示的直线．这一直线通常称为两圆的等幂轴，又叫根轴．设圆圆动点P(x,y)，点P(x,y)对圆C1的幂为轨迹思想是几何问题代数化，同样可以逆向思考.一个代数式子的得到一定有着它的几何背景,因而可以从这条直线方程的得到过程来探究它的几何意义．反思结论3的探究过程，此方法显得快捷又清晰．分析如下：直线l的方程是由方程(4)减方程(5)得到的，即(1)根轴方程的活用示例.已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求直线l的方程;若不存在，请说明理由．解设以AB为直径的圆C′：x2+y2+Dx+Ey=0(圆C′过原点)，则直线l就是圆C 与圆C′的根轴，于是因此满足条件的直线l存在.当直线l的方程是x-y+1=0时，圆C′:x2+y2+2x=0；当直线l的方程是x-y-4=0时，圆C′:x2+y2-3x+5y=0．这是一道探索性问题，通常利用待定系数法，结合韦达定理及几何性质等知识进行处理，运算繁难．通过深入分析问题的结构，联想两圆根轴方程的知识点，自然而然地展开思维过程，是轻松、顺利解决问题的关键所在．(2)其他相关结论.结论4 设两圆圆心分别为C1,C2,半径分别为r1,r2，|C1C2|=d，根轴l交C1C2于点D，则结论5 圆心不共线的3个圆，每2个圆有1条根轴，此3条根轴共点．结论6 与两圆直交的圆的圆心轨迹方程是两圆的根轴方程，即结论7 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0不同心，λ是参数，λ≠-1，则圆系x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0中任2个圆的根轴就是圆C1与圆C2的根轴．从课本的一个例题的思考提问出发，通过层层深入的探究，经历了对两圆根轴的认识过程．细细反思这一过程，有以下几点体会．①通过根轴方程的得到过程来探究它的几何意义，即透过代数式刻画其几何意义，能较容易地得到根轴等幂的性质．虽然解析几何着力于用代数方法解决几何问题，但代数问题转化为几何问题的能力也必须同步形成．例如,人教版普通高中课程标准实验教材数学必修2有这样2个典型的用几何方法来解决代数问题的习题：1°已知0lt;xlt;1，0lt;ylt;1,求证：+ ++≥2，2°设a,b,c,d∈R，求证：对任意p,q∈R，有②通过这一探究，明白了新课程标准实验教科书编者的良苦用心．教材一有机会就提问，充分发挥问题的作用，使教师和学生的学习活动更主动、更生动、更富探索性，为师生提供了教科书外的广阔的探究空间．③在探究过程中，笔者查阅了相关资料，发现一些结论早已被提出，那么是否这样的探究过程就没有意义了呢？数学发展至今，要有新的发现和突破是件很难的事情．但作为学习者，只有通过积极地探索，努力地再发现、再创造，才能了解数学，认识数学，融入数学，从而得到真正的提升．【相关文献】[1] 蒋声，左宗明．高中数学题典[M]．南京:江苏科学技术出版社，1993.[2] 罗碎海．方程与几何背景的探讨[J]．中学数学教学参考:上旬，2009(3):31-33.[3] 梁瑞芳,刘品德．求两圆根轴方程方法的一个活用[J]．数学通讯:上半月，2005(2):50.。
在教材中找问题 在探索中见提升——对两圆方程相减所得方程表示的直线的认识
在教材中找问题在探索中见提升——对两圆方程相减所得方
程表示的直线的认识
黄妍屏
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2009(000)012
【摘要】《普通高中数学课程标准试验》中明确提出要注重学生探究知识的过程．因此根据此课程标准编写的实验教科书，一有机会就提问，如同千万颗种子撒向广袤的土地，能否生根、发芽，就在于广大学者的思考探究．学习始于疑问，学而不思则罔．通过问题进行思考、探究活动，无疑是数学发展的一条道路，是学懂数学、认识数学的最好方法．
【总页数】4页(P6-9)
【作者】黄妍屏
【作者单位】萧山中学,浙江萧山311201
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.巧设直线方程，解决直线与圆锥曲线相关问题——直线方程x-x0=m（y—y0）的简单运用 [J], 王玉林;邝平军;王仕诚
2.峰回路转又一村——两相交圆方程相减所得直线是两圆的公共弦 [J], 刘绍华
3.两圆方程相减后所得直线与两圆的位置关系 [J], 岳彩平
4.对分析应用题列方程的理论认识--对人民教育出版社初中代数教材中若干问题的商榷 [J], 戴恩清
5.关于非同心的两圆方程相减的几个结论 [J], 王秋霞
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
两圆方程相减的几何意义
两圆方程相减得：①
当即两圆不同心时，上述方程代表一条直线，记作
将①两边除以2得到：
②
由②可知是的一个法向量，所以，也就是说：
性质，非同心两圆方程相减所得直线必定是连心线的垂线。
另外，注意到对于等圆（），连心线中点满足②，也就是说：
结论甲：非同心等圆方程相减，所得直线为连心线中垂线。
把①变形为
即，即
即③
这里是上的点。
由③我们可以看到，上的点必然同在两圆之外或两圆之内，也就是说如果两圆内含，则必然与两圆相离。
当在两圆之外时，③告诉我们到两圆的切线长相等。
下面我们结合③和性质1来讨论外离内含两种情况下，的位置。
结论乙：非同心外离（内含）两圆方程相减，所得直线垂直连心线且直线上的点到两圆切线长相等。
(等切线)
下面结合图形说明结论乙。
如图，只要确定了连心线上的等切点，就可以画出
根据③，及，可以解得的值，然后即有的位置，从而有。
内含的情况与外离类似，前面已经解释过必定与两圆相离，且必定在连心线靠近小圆圆心一侧（证明从略），具体的坐标计算方法与外离情况一样。
结论丙：非同心相交两圆方程相减，所得直线包
含公共弦。
结论丁：非同心相切(内切外切)两圆方程相减，所得直线为过两圆切点的公切线。
结论丙可以用两点确定一条直线来说明，结论丁可以用切点在直线上以及前文性质来说明，较简单，从略。