《圆周角定理》教学PPT课件初中数学公开课
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九年级数学圆周角定理PPT实用课件
1 解: ∠A = ∠BOC = 25°.
解: ∠A = ∠BOC = 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
2 ∴∠AOC=∠B+∠A.
25°.B 如图(2),在⊙O中,∠BAC=50°,
C 老师提示:能否转化为1的情况?
A
如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
• 说说你的想法,并与同伴交流.
A
A
C
C
A C
●O
●O
●O
B
B B
教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
议一议 4
圆周角和圆心角的关系
• 1.首先考虑一种特殊情况
• 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角
∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
A
∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A.
随堂练习 8
驶向胜利
思考与巩固
的彼岸
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
• 1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小. 老师提示:能否转化为1的情况?
老师提示:能否转化为1的情况? 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
想一想 2
类比圆心角探知圆周角
驶向胜利 的彼岸
• 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. • 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
A C
A C
A C
●O
●O
●O
B
B
为了解决这个问题,我们B先探究一条弧所对的圆周
解: ∠A = ∠BOC = 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
2 ∴∠AOC=∠B+∠A.
25°.B 如图(2),在⊙O中,∠BAC=50°,
C 老师提示:能否转化为1的情况?
A
如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
• 说说你的想法,并与同伴交流.
A
A
C
C
A C
●O
●O
●O
B
B B
教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
议一议 4
圆周角和圆心角的关系
• 1.首先考虑一种特殊情况
• 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角
∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
A
∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A.
随堂练习 8
驶向胜利
思考与巩固
的彼岸
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
• 1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小. 老师提示:能否转化为1的情况?
老师提示:能否转化为1的情况? 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
想一想 2
类比圆心角探知圆周角
驶向胜利 的彼岸
• 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. • 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
A C
A C
A C
●O
●O
●O
B
B
为了解决这个问题,我们B先探究一条弧所对的圆周
圆周角定理课件(PPT 17页)
1 = 2 ∠AOD,∠CBD 1 = 2 ∠COD,
●
C O B
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
一条弧所对的圆周角等于它所 一条弧所对的圆周角等于它所 圆周角 对的圆心角的一半. 圆心角的一半 对的圆心角的一半.
议一议
圆周角定理 圆周角定理
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 的大小关系是 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 圆周角等于它所对的圆心角的一 圆周角定理 : 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 1 半.
A E
●
驶向胜利 的彼岸
A E B D
C
O
C
B D
在同圆内,同弧或等弧所对的 在同圆内 同弧或等弧所对的 圆周角相等. 圆周角相等
圆周角定理: 在同一圆内,同弧或等弧所对的圆周角相等 同弧或等弧所对的圆周角相等, 在同一圆内 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周 都等于该弧所对的圆心角的一半 相等的圆周 角所对的弧相等． 角所对的弧相等．
●
O D C A
●
O C B
O C
D
70o
B
４．如图：四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，则 ∠BAD = 如图：四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，则 ＡＢＣＤ内接于
∠BOD =
例２．ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＤ是⊙Ｏ的弦，延 长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ． 判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
如图：已知ＢＣ为 如图：已知ＢＣ为⊙Ｏ的直径，ＡＤ⊥ＢＣ， ＢＣ 的直径，ＡＤ⊥ ，ＡＤ 垂足为Ｄ，ＢＦ ＡＤ于Ｅ，且 Ｄ，ＢＦ交 垂足为Ｄ，ＢＦ交ＡＤ于Ｅ，且ＡＥ＝ＢＥ． ︵ ︵ 求证：ＡＢ＝ＡＦ （１）求证：ＡＢ＝ＡＦ 3 （２）若sin∠ＦＢＣ＝ , AB = 4 5 , 求AD的长。 ∠
●
C O B
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
一条弧所对的圆周角等于它所 一条弧所对的圆周角等于它所 圆周角 对的圆心角的一半. 圆心角的一半 对的圆心角的一半.
议一议
圆周角定理 圆周角定理
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 的大小关系是 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 圆周角等于它所对的圆心角的一 圆周角定理 : 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 1 半.
A E
●
驶向胜利 的彼岸
A E B D
C
O
C
B D
在同圆内,同弧或等弧所对的 在同圆内 同弧或等弧所对的 圆周角相等. 圆周角相等
圆周角定理: 在同一圆内,同弧或等弧所对的圆周角相等 同弧或等弧所对的圆周角相等, 在同一圆内 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周 都等于该弧所对的圆心角的一半 相等的圆周 角所对的弧相等． 角所对的弧相等．
●
O D C A
●
O C B
O C
D
70o
B
４．如图：四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，则 ∠BAD = 如图：四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，则 ＡＢＣＤ内接于
∠BOD =
例２．ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＤ是⊙Ｏ的弦，延 长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ． 判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
如图：已知ＢＣ为 如图：已知ＢＣ为⊙Ｏ的直径，ＡＤ⊥ＢＣ， ＢＣ 的直径，ＡＤ⊥ ，ＡＤ 垂足为Ｄ，ＢＦ ＡＤ于Ｅ，且 Ｄ，ＢＦ交 垂足为Ｄ，ＢＦ交ＡＤ于Ｅ，且ＡＥ＝ＢＥ． ︵ ︵ 求证：ＡＢ＝ＡＦ （１）求证：ＡＢ＝ＡＦ 3 （２）若sin∠ＦＢＣ＝ , AB = 4 5 , 求AD的长。 ∠
圆周角初中数学原创课件
点A的坐标为(0,4)，M是⊙C上一点，∠BMO＝120°.
(2)求⊙C的半径及圆心C的坐标．
(2)∵四边形ABMO内接于⊙C，
∴∠A+∠M=180 0
∵∠BMO=120°,∴∠A=60 0
∴∠ABO=30 0 ,∴AB=2AO
∵AO=4，∴AB=8,⊙C的半径为4.
例题分析
如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，
A
A
A
A
B
B
D
C
D
C
△ABC
E
E
C
B
F
四边形ABCD
B
D
C
五边形ABCDE
六边形ABCDEF
情境导入
观察下列图形与圆的位置关系
多边形的顶点都在圆上
新知探究
定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多
边形叫做圆内接多边形.这个圆叫做这个多边形的外接圆.
A
A
O
B
B
C
△ABC为⊙O的内接三角形；
24.1.4 圆周角
教学目标
知识技能：
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解掌握圆周角定理及其推理.
3.能应用圆周角定理及推论解决简单的几何问题.
情感目标:
1.通过圆周角定理的证明及推论的得到向学生渗透由“特殊到一般”，再
由“一般到特殊”的研究问题方法，体会分类讨论、化归的思想方法。变
点A的坐标为(0,4)，M是⊙C上一点，∠BMO＝120°.
(3)求圆心C的坐标．
(3)∵过点C作CE⟂BO，
∴
∵AC=CB,
E
∟
∴BE=EO
(2)求⊙C的半径及圆心C的坐标．
(2)∵四边形ABMO内接于⊙C，
∴∠A+∠M=180 0
∵∠BMO=120°,∴∠A=60 0
∴∠ABO=30 0 ,∴AB=2AO
∵AO=4，∴AB=8,⊙C的半径为4.
例题分析
如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，
A
A
A
A
B
B
D
C
D
C
△ABC
E
E
C
B
F
四边形ABCD
B
D
C
五边形ABCDE
六边形ABCDEF
情境导入
观察下列图形与圆的位置关系
多边形的顶点都在圆上
新知探究
定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多
边形叫做圆内接多边形.这个圆叫做这个多边形的外接圆.
A
A
O
B
B
C
△ABC为⊙O的内接三角形；
24.1.4 圆周角
教学目标
知识技能：
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解掌握圆周角定理及其推理.
3.能应用圆周角定理及推论解决简单的几何问题.
情感目标:
1.通过圆周角定理的证明及推论的得到向学生渗透由“特殊到一般”，再
由“一般到特殊”的研究问题方法，体会分类讨论、化归的思想方法。变
点A的坐标为(0,4)，M是⊙C上一点，∠BMO＝120°.
(3)求圆心C的坐标．
(3)∵过点C作CE⟂BO，
∴
∵AC=CB,
E
∟
∴BE=EO
《圆周角》课件精品 (公开课)2022年数学PPT全
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
圆周角定理PPT优秀课件
定理：
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的 圆心角度数的一半
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等
小结：在这个证明过程中你学到了什么：
→解决动态问题：由动到静，找到动静之间的联系; →动态问题要有：分类思想; →在分类讨论时：先特殊再一般，利用特殊情况下的
结论证明其他情况; →多个角相等时可以通过设未知数屡清思路
练习：
完成导学案上的习题
作业：
《天府数学》圆周角与圆心角关 系第一课时
感谢聆听 批评指导
九年级下册
《 圆周角和圆心角的关系》
知识点一：什么是圆周角 顶点在圆周上，角的两边与圆周相交的角叫圆周角
知识点一：什么是圆周角 下图中的都是圆周角吗？
动手做一做：
AB只对应一个圆心角，那么AB能对应几个圆周角呢？
想一想，动手动手画一画
o
Hale Waihona Puke AB一段弧对应 无数个圆周角
证明： 同一条弧所对的圆周角相等
人教版数学九年级上册 第24章 圆 24.1.4 圆周角 课件(共16张PPT)优质课件PPT
2.与圆周角有关的问题： 弦的条件需转化成弧 的条件。
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
初中数学人教九年级上册第二十四章 圆 圆周角定理PPT
(2)∵BA=BC，∴∠A=∠C. 由圆周角定理得∠A=∠E， ∴∠C=∠E，∴DC=DE.
27
28
知识点三：圆周角定理的推论
合作探究
先独立完成导学案互动探究1、3， 再同桌相互交流，最后小组交流；
1.如图，在⊙O中，弦AB＝3cm，点C在 ⊙O上，∠ACB＝30°.求⊙O直径. 2.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦 ，延长BD到点C，使AC＝AB，BD与CD的 大小有什么关系?为什么?
B A
O A
O B
知识点三：圆周角定理的推论
学以致用
1、如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中
点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( ) C
A.55°B.60°C.65°D.70°
B
A
O
2.如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条
弦，且AB＝ 3，则弦AB所对的圆周角的度 A
数为( )D A.30º B.60º C.30º或150 º D.60º或120º
如果AB＝CD，那么∠E和∠F是什么关系？ O1 D
反过来呢？
C
A
F
结合⑴、⑵你能得到什么结论？
O2
B
21
知识点三：圆周角定理的推论
归纳总结
圆周角定理推理1
同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
∵ AB=CD ∴∠E=∠F
在⊙O中∵∠E=∠F ∴AB=CD
E
A
F
O D
对的弧也相等；②两条弦相等，弦所对的弧也相等；③弦
心距弦心距所对的弦相等；④两个圆周角相等，圆周角所
对的弧相等；⑤弧相等弧所对的弦相等；
C
⑥弧相等弧所对的圆周角也相等。
《1.2.2圆周角定理》3精品PPT课件
[悟一法] 圆周角定理可以理解成一条弧所对的圆心角是它所 对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对弧的度数 的一半．
[通一类] 1．已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，
求证：∠BAE＝∠DAC. 证明：连接BE，因为AE为直径， 所以∠ABE＝90° . 因为AD是△ABC的高， 所以∠ADC＝90° . 所以∠ADC＝∠ABE. 因为∠E＝∠C， 所以∠BAE＝180° －∠ABE－∠E， ∠DAC＝180° －∠ADC－∠C. 所以∠BAE＝∠DAC.
[研一题] [例3] 如图，AB是⊙O的直径， AB＝2 cm，点C在圆周上，且∠BAC ＝30°，∠ABD＝120°，CD⊥BD于 D.求BD的长． 分析：本题考查“直径所对的圆周角为直角”的应 用．解答本题可连接BC，然后利用直角三角形的有关知识 解决．
解：连接 BC，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵∠BAC＝30°，AB＝2 cm， ∴BC＝A2B＝1 (cm)． ∵∠ABD＝120°， ∴∠DBC＝120°－60°＝60°. ∵CD⊥BD， ∴∠BCD＝90°－60°＝30°. ∴BD＝B2C＝0.5 (cm)．
[悟一法]
在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是 直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角、线 段又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明 比例式相等．
[通一类] 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝
10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边 交于点P，求BP长． 解：连接 CP，∵AC 为圆的直径， ∴∠CPA＝90°，即 CP⊥AB. 又∵∠ACB＝90°， ∴由射影定理可知 AC2＝AP·AB. ∴AP＝AACB2＝3160＝3.6. ∴BP＝AB－AP＝10－3.6＝6.4.
24.1.4 第1课时 圆周角定理 初中数学人教版数学九年级上册课件
1.圆 周 角 与 圆心 的 位置 有 以下 几 种关 系 ,试 测 量 各图 中 ∠BOC与∠BAC的关系.
圆心在角 圆心在角 的一边上 的内部
圆心在角的外部
通过测量,可得∠BAC=
1∠BOC
2
2.如图,当圆心O在∠BAC内部时,请说明∠A=12∠BOC.
解:如图,连接AO并延长交☉O于点D. ∵OA=OB,OA=OC, ∴∠B=∠3,∠C=∠4.
2
归纳总结 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的 一半 .
合作探究
圆周角定理的推论
1.(1) 如 图 , 在 ☉O 中 , AB = MN , 则
∠MDN与∠ACB的大小关系是
.
(2)直径所对的圆周角是多少度?请说径吗?
请说明理由.
解:(1)∠MDN=∠ACB. (2)因为直径所对的圆心角是180°,所以直径所对的圆周 角是90°.(3)90°圆周角所对的弧是半圆,所以90°圆周 角所对的弦是直径.
(2)当点P在使PC=AB的位置时,有AF=EF. 证明:∵PC=AB,∴∠EBD=∠C. ∵∠FAE=90°-∠C,∠AEF=∠BED=90°-∠EBD,
∴∠FAE=∠AEF,AF=EF.
圆周角定理、推论的应用 认真阅读课本“例4”,体会圆周角定理、推论的应用,解决下 面的问题. 2.如图,在☉O中,弦AB=3 cm,点C在☉O上,∠ACB=30°.求 ☉O的直径.
(1)当AP=AB时,求证:AE=BE. (2)当点P在什么位置时,AF=EF,证 明你的结论.
解:(1)证明:如图,连接AB,AP. ∵AP=AB,∴∠ABP=∠P. ∵BC为☉O直径, ∴∠BAC=90°. 又AD⊥BC,可证∠BAE=∠C. ∵∠C=∠P,∴∠BAE=∠P, ∴∠ABE=∠BAE,∴AE=BE.
圆心在角 圆心在角 的一边上 的内部
圆心在角的外部
通过测量,可得∠BAC=
1∠BOC
2
2.如图,当圆心O在∠BAC内部时,请说明∠A=12∠BOC.
解:如图,连接AO并延长交☉O于点D. ∵OA=OB,OA=OC, ∴∠B=∠3,∠C=∠4.
2
归纳总结 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的 一半 .
合作探究
圆周角定理的推论
1.(1) 如 图 , 在 ☉O 中 , AB = MN , 则
∠MDN与∠ACB的大小关系是
.
(2)直径所对的圆周角是多少度?请说径吗?
请说明理由.
解:(1)∠MDN=∠ACB. (2)因为直径所对的圆心角是180°,所以直径所对的圆周 角是90°.(3)90°圆周角所对的弧是半圆,所以90°圆周 角所对的弦是直径.
(2)当点P在使PC=AB的位置时,有AF=EF. 证明:∵PC=AB,∴∠EBD=∠C. ∵∠FAE=90°-∠C,∠AEF=∠BED=90°-∠EBD,
∴∠FAE=∠AEF,AF=EF.
圆周角定理、推论的应用 认真阅读课本“例4”,体会圆周角定理、推论的应用,解决下 面的问题. 2.如图,在☉O中,弦AB=3 cm,点C在☉O上,∠ACB=30°.求 ☉O的直径.
(1)当AP=AB时,求证:AE=BE. (2)当点P在什么位置时,AF=EF,证 明你的结论.
解:(1)证明:如图,连接AB,AP. ∵AP=AB,∴∠ABP=∠P. ∵BC为☉O直径, ∴∠BAC=90°. 又AD⊥BC,可证∠BAE=∠C. ∵∠C=∠P,∴∠BAE=∠P, ∴∠ABE=∠BAE,∴AE=BE.
《圆周角》PPT课件
O
1.(2008东莞调研文、理)如图所示,圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于 ．ABOD
C
分析：由射影定理得
2.如图, ⊙O的直径 AB 为10cm,弦AC为6cm,∠ACB 的平分线交⊙O于 D, 求BC、AD、BD的长.
我能行
3.如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D， ，BF和AD相交于E，求证：AE=BE。
比一比，看谁最快！
2、如上题图，若∠3=∠7，则____=____.
圆周角定理的推论3：
半圆（或直径）所对的圆周角是 ， 90°的圆周角所对的弦是 。
直角
直径
如图，∠AC1B=∠AC2B=∠AC3B=
例1 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径。求证：
A
B
C
D
E
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
什么叫做圆周角？圆心角呢?
下列各图中的∠CDE哪些是圆周角?
E
⑴
⑵
⑶
⑷
√
×
√
×
看一看,谁理解?
如图,观察圆周角∠ACB与圆心角∠AOB,它们的大小有什么关系?
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理：
1、如图，∠A是⊙O的圆周角，∠BOC=80°，则∠A= ，2、如图，∠E=46°则∠DOC=_____,∠OCD=______.
∴AE=BE
3.3 圆周角定理
- .
本节学习目标：1、理解圆周角定理、圆心角定理以及两个 推论；2、会利用圆周角定理、圆心角定理以及 两个推论进行计算、证明。
右图中 所对的圆周角是 ， 所对的圆心角是 .
1.(2008东莞调研文、理)如图所示,圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于 ．ABOD
C
分析：由射影定理得
2.如图, ⊙O的直径 AB 为10cm,弦AC为6cm,∠ACB 的平分线交⊙O于 D, 求BC、AD、BD的长.
我能行
3.如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D， ，BF和AD相交于E，求证：AE=BE。
比一比，看谁最快！
2、如上题图，若∠3=∠7，则____=____.
圆周角定理的推论3：
半圆（或直径）所对的圆周角是 ， 90°的圆周角所对的弦是 。
直角
直径
如图，∠AC1B=∠AC2B=∠AC3B=
例1 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径。求证：
A
B
C
D
E
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
什么叫做圆周角？圆心角呢?
下列各图中的∠CDE哪些是圆周角?
E
⑴
⑵
⑶
⑷
√
×
√
×
看一看,谁理解?
如图,观察圆周角∠ACB与圆心角∠AOB,它们的大小有什么关系?
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理：
1、如图，∠A是⊙O的圆周角，∠BOC=80°，则∠A= ，2、如图，∠E=46°则∠DOC=_____,∠OCD=______.
∴AE=BE
3.3 圆周角定理
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本节学习目标：1、理解圆周角定理、圆心角定理以及两个 推论；2、会利用圆周角定理、圆心角定理以及 两个推论进行计算、证明。
右图中 所对的圆周角是 ， 所对的圆心角是 .