实变函数论课后答案第五章1

实变函数论课后答案第五章1

第无章第一节习题

1.试就[0,1]上

的D i r i c h l e 函数()D x 和Riemann 函数()R x 计算[0,1]

()D x dx ⎰

和

[0,1]

()R x dx ⎰

解:回忆1

1()0\x Q D x x R Q

∈⎧=⎨∈⎩即()()Q D x x χ= (Q 为1

R 上全体有理数之集合)

回忆: ()E x χ可测E ⇔为可测集和P129定理2:若E 是n R 中测度有

限的可测集, ()f x 是E 上的非负有界函数,则_

()()()

E

E

f x dx f x dx f x =⇔⎰⎰为E 上的可测函数

显然, Q 可数，则*0m Q =，()Q Q x χ可测，可测，有界,从而Lebesgue 可积

由P134Th4(2)知

[0,1]

[0,1][0,1][0,1][0,1]()()()10c

c

Q Q Q Q

Q

Q Q x dx x dx x dx dx dx χχχ⋂⋂⋂⋂=

+

=

+

⎰

⎰

⎰

⎰

⎰

1([0,1])0([0,1])10010c m Q m Q =⋅⋂+⋅⋂=⋅+⋅= 回忆Riemann 函数()R x :1:[0,1]R R

11,()0[0,1]n n

x m n m R x x x Q

⎧=

⎪⎪==⎨⎪∈-⎪⎩

和无大于的公因子1

在数学分析中我们知道, ()R x 在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann 可积, ()0

.R x a e =于[0,1]上,故()R x 可

测(P104定理3),且

[0,1]

()R x dx ⎰

[0,1]()()Q

Q

R x dx R x dx -=

+⎰

⎰

而0()10Q

Q

R x dx dx mQ ≤≤==⎰⎰(Q 可数,故*0m Q =)故

[0,1]

[0,1][0,1]()()00Q

Q

R x dx R x dx dx --=

=

=⎰

⎰

⎰

2.证明定理1(iii)中的第一式

证明:要证的是:若mE <+∞,(),()f x g x 都是E 上的非负有界函数,则 ()()()E

E

E

f x dx f x dx

g x dx --≥+⎰⎰⎰

下面证明之: 0ε∀>,有下积分的定义,有E 的两个划分1D 和2D 使 1

()()2

D E

s f f x dx ε

->

-

⎰

,2

()()2

D E

s g g x dx ε

->

-

⎰

此处1

()D s f ,2

()D s g 分别是f 关于1D 和g 关于2D 的小和数,合并12

,D D 而成E 的一个更细密的划分D ,则当()D s f g +为()()f x g x +关于D 的小和数时

12(()())()D

D D D D f x g x dx s

f g s f s g s f s g -

+≥+≥+≥+⎰

()()()()22E

E E

E

f x dx

g x dx f x dx g x dx εε

ε----≥

-+-=+-⎰

⎰⎰⎰(用到下确界的性

质和P125引理1)

由ε的任意性,令0ε→,而得(()())()()E

E

f x

g x dx f x dx g x dx -

--+≥+⎰⎰⎰

3.补作定理5中()E

f x dx =+∞⎰的情形的详细证明

证明

:令

{}

|||||m E E x x m =≤,当

()E

f x dx =+∞

⎰时,

()lim ()m

m E

E f x dx f x dx →∞

+∞==⎰⎰

0M ∀>,存在00()m m M N =∈,当0m m ≥时,

2()lim [()]m

m

k k E E M f x dx f x dx →∞

<

=⎰⎰

则存在k 使[()][lim ()]lim[()]m

m

m

k n k n k n n E E E M f x dx f x dx f x dx →∞→∞

<==⎰⎰⎰

lim [()]lim

()lim ()m

m

n k n n n n n E E E

f x dx f x dx f x dx →∞

→∞

→∞

=≤≤⎰⎰⎰

(利用[()]m

n k E f x dx ⎰有限时的结论,Th5中已详证)

由M 的任意性知lim ()()n n E

E

f x dx f x dx →∞

=+∞=⎰⎰ 证毕.

4.证明:若()f x 是E 上的非负函数, ()0E

f x dx =⎰,则()0

.f x a e =

证明:令[|()1],1,2,n E x n f x n n =<≤+= ,1

[|()1]m F x f x m

=<≤ 则1

1

[|()0]()()n n n n E x f x E F +∞

+∞

==>=⋃

f 可测，故,,[|()0]n m E F E x f x >（1,2,;1,2,n m == ）都是可测集，

由P135Th4(2)和()0E

f x dx =⎰，()f x 非负知

[;()0]

0()()()0n

n

n

E

E x f x E E f x dx f x dx f x dx n dx nmE

>=≥

≥

≥=≥⎰⎰

⎰⎰

故0,(1,2,)n mE n == ；同理0,(1,2,)m mF m == 故1

1

[|()0]0n m n m mE x f x mE mF +∞

+∞

==>≤+=∑∑

故从()f x 非负，[|()0][|()0]E x f x E E x f x ==->，知()0.f x a e

=于E .

证毕.

5．证明：当mE <+∞时，E 上的非负函数的积分()E

f x dx <+∞⎰的充要条

件是

02[|()2]k k k mE x f x +∞

=≥<+∞∑

证明：令[|()2],

0,1k k E E x f x k =≥= ，1[|2()2]n n n E E x f x +=≤<，

0,1,2,k =