指数函数习题精选精讲

指数函数习题精选精讲

指数函数

指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．

1．比较大小

例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x

f c 的大小关系是_____．

分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内．

解：∵(1)(1)f x f x +=-，

∴函数()f x 的对称轴是1x =．

故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-，

∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则3

21x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x

f f >．

综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．

2．求解有关指数不等式

例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．

分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．

解：∵22

25(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数，

∴31x x >-，解得14x >．∴x 的取值范围是14⎛⎫+ ⎪⎝⎭

，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．

3．求定义域及值域问题

例3 求函数y 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，

∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，

∞．

令26x t -=，则y =，

又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴206

1x -<≤，即01t <≤．

∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数的值域是[)01，

．

评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．

4．最值问题

例4 函数221(01)x x y a

a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______． 分析：令x t a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围．

解：令x t a =，则0t >，函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-．

∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，

∴1x a a a ≤≤，即1t a a

≤≤． ∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=．

解得3a =或5a =-（舍去）；

当01a <<时，∵[]11x ∈-，，

∴1x a a a ≤≤，即1a t a

≤≤， ∴ 1t a =时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭

， 解得13a =或15a =-（舍去），∴a 的值是3或13

． 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．

5．解指数方程

例5 解方程223380x x +--=．

解：原方程可化为29(3)80390x x ⨯-⨯-=，令3(0)x t t =>，上述方程可化为298090t t --=，解得9t =或19t =-

（舍去），∴39x =，∴2x =，经检验原方程的解是2x =．

评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．

6．图象变换及应用问题

例6 为了得到函数935x y =⨯+的图象，可以把函数3x y =的图象（ ）．

A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度

B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度

C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度

D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度

分析：注意先将函数935x

y =⨯+转化为235x t +=+，再利用图象的平移规律进行判断． 解：∵29353

5x x y +=⨯+=+，∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数935

x y =⨯+的图象，故选（C ）． 评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．

习题

1、比较下列各组数的大小：

解：(1)∵x-3≠0，∴y ＝231-x 的定义域为｛x ｜x ∈R 且x ≠3｝.又∵31-x ≠0，∴231-x ≠1， ∴y ＝23

1

-x 的值域为｛y ｜y>0且y ≠1｝. (2)y ＝4x +2x+1+1的定义域为R.∵2x >0,∴y ＝4x +2x+1+1＝(2x )2+2·2x +1＝(2x +1)2>1.

∴y ＝4x +2x+1+1的值域为｛y ｜y>1｝.

4 已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值和最小值

解：设t=3x ,因为-1≤x ≤2，所以

931≤≤t ，且f(x)=g(t)=-(t-3)2

+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。

5、设 ，求函数 的最大值和最小值． 分析：注意到

，设 ，则原来的函数成为 ，利用闭区间上二次函数的值域

的求法，可求得函数的最值．

解：设 ，由 知， ，函数成为 ， ，对称轴 ，故函数最小值为

，因端点

较 距对称轴 远，故函数的最大值为 ．

6（9分）已知函数

)1(122>-+=a a a y x x 在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值. ．解： )1(122>-+=a a a y x x ， 换元为)1(122a t a

t t y <<-+=，对称轴为1-=t . 当1>a ，a t =，即x =1时取最大值，略

解得 a =3 (a = －5舍去)

7．已知函数

（ 且 ） （1）求 的最小值； （2）若 ，求 的取值范围．

．解：（1） ， 当 即 时，

有最小值为 （2）

，解得 当

时， ； 当 时， ．

8（10分）（1）已知m x f x +-=1

32)(是奇函数，求常数m 的值； （2）画出函数|13|-=x y 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k 无