不等式证明

不 等 式

2.不等式的基本性质

（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,

（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）

（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）

(9)0,0a b a b c d c d

>><<⇒

>（异向不等式相除）

（），4011011a b a b a b a b

>>⇒

<<<⇒> （11）)1且,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n （平方法则） （12）)1且,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n （开方法则） 3.几个重要不等式

(

)

a b ab a b R a b ab ab a b 2

2

2

222+≥∈+≥≤+⎛⎝ ⎫

⎭

⎪+

，；；求最值时，你是否注

意到“，”且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定

a b R ab a b ∈++()()值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论：

()

a b a b ab ab

a b

a b R 22222+≥+≥≥+∈+， 当且仅当时等号成立。a b = ()

a b c ab bc ca a b R 2

2

2

++≥++∈， 当且仅当时取等号。a b c == a b m n >>>>000，，，则

b a b m a m a n b n a b

<++<<++<1

3

,3

a b c a b c R abc +++∈≥(4)若、、则

（当仅当a=b=c 时取等号）

0,2b a

ab a b

>+≥(5)若则（当仅当

a=b 时取等号）

2222(6)0||;

||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或

（5）理解不等式|│a │-│b │|≤│a+b │≤│a │+│b │ 4.几个著名不等式

（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么

222.1122

a b a b ab a b

++≤≤

≤+（当仅当a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正

数）：

特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，22

2

()22

a b a b ab ++==）

)时取等,,,(33

2

2

22c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：2212

22

21)...(1

...n n a a a n

a a a +++≥+++

注：例如：22222()()()ac bd a b c d +≤++. 常用不等式的放缩法：①2

111

1111

(2)1

(1)

(1)1n n

n n n n n n n n

-=

=-≥++-- ②11111(1)1

21

n n n n n n n n

n n +-==--≥+++-

典型例题一

例1 若10<-（0>a 且1≠a ）．

说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快．

典型例题二

例2 设0>>b a ，求证：.a

b

b

a b a b a >

分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．

说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.

典型例题三

例3 对于任意实数a 、b ，求证

444

()22

a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号） 分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有4

(

)2

a b +，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：2

2

2a b ab +≥出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。

说明：此题参考用综合法证明不等式．综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解．

典型例题四

例4 已知a 、b 、c R +

∈，1a b c ++=，求证

111

9.a b c ++≥ 分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把111

a b c

++通分，则会把不等式变得较

复杂而不易得到证明．由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如

b a

a b

+，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”的技巧．

说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式．题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的．

典型例题五

例５ 已知c b a >>，求证：

a

c c b b a -+-+-1

11＞0. 分析：此题直接入手不容易，考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来书写，所以此题用两种方法来书写证明过程.