吉林省吉林市第一校高中数学 正态分布学案 新人教A选修
【知识学习】2.4正态分布教案(新人教A版选修2-3)
2.4正态分布教案（新人教A版选修2-3）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址2．4正态分布教学目标：知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用。
过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。
情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。
教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N。
教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。
内容分析：．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N（0，1），其他的正态分布都可以通过转化为N（0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质教学过程：学生探究过程：复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数与标准差，的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足,则称X的分布为正态分布（normaldistribution)．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～.经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在1733年，法国数学家棣莫弗就用n！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，（-∞＜x＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ（１）（２）（３）答案：0，1；1，2；-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式有==0.9772＋0.8413－1=0.8151．.标准正态总体的概率问题:对于标准正态总体N（0，1），是总体取值小于的概率，即，其中，图中阴影部分的面积表示为概率只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当时，；而当时，Φ（0）=0.52.标准正态分布表标准正态总体在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于的值是指总体取值小于的概率，即，．若，则．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间内取值的概率，即直线，与正态曲线、x轴所围成的曲边梯形的面积．3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可在这里重点掌握如何转化首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a值是否落入；三是作出判断讲解范例：例1.若x～N,求P；P.解：P=F-F=F-[1-F]=0.8849-=0.8747.P=1-P=1-F=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：在N下，求（2）在N（μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）解：（１）＝＝Φ（1）＝0.8413（２）Ｆ（μ＋σ）＝＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是，它是偶函数，说明μ＝0，的最大值为＝，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布巩固练习：书本第74页,2,3课后作业：书本第75页习题2.4A组1,2B组1,2教学反思：．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
高中数学 2.4正态分布学案 新人教a版选修2-3
【金版学案】2015-2016学年高中数学 2.4正态分布学案 新人教A版选修2-3基础梳理 1．正态曲线函数φμ，σ(x )2x ∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ>0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态分布(1)如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝b aφμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布．(2)记作：X ～N (μ，σ2)． 3．正态曲线的性质(1)曲线在x 轴上方，与x 轴不相交． (2)曲线是单峰的，关于直线x ＝μ对称．(3)曲线在x ＝μ(4)曲线与x 轴之间的面积为1.(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移．(6)如图所示：当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“辞矮”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．4．3σ原则：正态总体几乎取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002_6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．自测自评1．设有一正态总体，它的正态分布密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝18πe－（x－10）28，则这个正态总体的均值与标准差分别是(B) A．10与8 B．10与2C．8与10 D．2与10解析：把函数f(x)＝18πe－（x－10）28化简成正态密度函数为f(x)＝12π×2e－（x－10）22×22，易知这个正态总体的均值与标准差分别是10与2.2．如图，曲线C1：f(x)＝12πσ1e－（x－μ1）22σ21(x∈R)，曲线C2：φ(x)＝12πσ2e－（x －μ2）22σ22(x ∈R )，则(D )A ．μ1＜μ2B ．曲线C 1与x 轴相交 C ．σ1＞σ2D ．曲线C 1、C 2分别与x 轴所夹的面积相等3．(2013·惠州一模)设随机变量ξ服从正态分布N (3，4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为 (A )A.73B.53C ．5D ．3 解析：因为随机变量ξ服从正态分布N (3，4)，因为P (ξ<2a －3)＝p (ξ>a ＋2)，所以2a －3与a ＋2关于x ＝3对称，所以2a －3＋a ＋2＝6，所以3a ＝7，所以a ＝73.故选A.不能正确应用正态分布的对称性致误【典例】 随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，如果P (ξ≤1)＝0.841 3，求P (－1<ξ≤0)．解析：如图所示，因为P (ξ≤1)＝0.413，所以P (ξ>1)＝1－0.413＝0.158 7.所以P (ξ≤－1)＝0.158 7，所以P (－1<ξ≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3.【易错剖析】本题易有如下错解： P (－1<ξ≤0)＝12[1－P (ξ≤1)]＝12(1－0.841 3)＝0.0793 5.这是用错正态分布的对称性造成的．由于ξ～N (0，1)，所以对称轴为x ＝0，所以与(－1，0)对称的区间应为(0，1)，与(1，＋∞)对称的区间为(－∞，－1)．基础巩固1．设随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (X ≤c )＝P (X >c )，则c 的值是(C)A ．－μB ．0C ．μD ．σ22．已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，则P (ξ<3)等于(D) A.15 B.14 C.13 D.12解析：∵ξ～N (3，σ2)，∴ξ＝3为正态分布的对称轴，∴P (ξ<3)＝12.3．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤ 2)＝(C)A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977解析：∵ξ～N(0，σ2)，∴μ＝0，即图象关于y轴对称，∴P(－2≤ ξ≤ 2)＝1－P(ξ<－2)－P(ξ>2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2× 0.023＝0.954.4．正态变量的概率密度函数f(x)＝12πe－（x－3）22，x∈R的图象关于直线x＝3对称，f(x)能力提升5.工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为(C) A．7 B．10 C．3 D．6解析：∵P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.9974，∴不属于区间(μ－3σ，μ－3σ)内的零点个数约为1000×(1－0.9974)＝2.6≈3个．6．(2014·哈师大附中高二期中)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，则P(－3<ξ<5)＝(参考数据：P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974)(B)A．0.6826 B．0.9544C．0.0026 D．0.9974解析：由ξ～N(1，4)知，μ＝1，σ＝2，∴μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝5，∴P(－3<ξ<5)＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，故选B.7. 一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10 000，4002)，则这批灯泡使用时间在(9 200，10 800]内的概率是________．解析：μ＝10 000，σ＝400，所以P(9 200<X≤10 800)＝P(10 000－2×400<X≤10 000＋2×400)＝0.954 4.答案：0.954 48．设X～N(0，1)：①P(－ε＜X＜0)＝P(0＜X＜ε)；②P(X＜0)＝0.5；③若P(－1＜X＜1)＝0.683，则P(X＜－1)＝0.158 5；④若P(－2＜X＜2)＝0.954，则P(X＜2)＝0.977；⑤若P(－3＜X＜3)＝0.997，则P(X＜3)＝0.998 5.其中正确的有①②③④⑤(填序号)．9．某个工厂的工人月收入服从正态分布N(500，202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少．解析：设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N(500，202)，所以μ＝500，σ＝20，所以月收入在区间(500－3×20，500＋3×20)内取值的概率是0.9974，该区间即(440，560)．因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1－0.9974)＝1200×0.0026≈3(人)．10．已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态分布曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝182π.(1)求正态分布的概率密度函数的解析式；(2)估计尺寸在72～88 mm(不包括72 mm，包括88 mm)间的零件大约占总数的百分比．解析：(1)因为正态分布曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数．所以正态分布关于直线x＝80对称，且在x＝80处达到峰值，所以μ＝80.又12πσ＝182π，所以σ＝8，故正态分布的概率密度函数的解析式为f(x)＝182πe－（x－80）2128.(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88.所以零件的尺寸X位于区间(72，88]内的概率为0.682 6.故尺寸在72～88 mm(不包括72 mm，包括88 mm)间的零件大约占总数的68.26%.。
高中数学 2.4 1正态分布(一)教案 新人教A版选修选修2-3
〖教学目标〗(1)深刻理解并掌握正态分布和正态曲线的概念、意义及性质.(2)理解和掌握标准正态总体、标准正态曲线的概念、意义及性质.(3)能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律.(4)会画有关正态分布的正态曲线和标准正态曲线.(5)会用函数的概念、性质解决有关正态分布的问题.〖教学重点〗正态分布的意义,正态分布的主要性质. 〖教学难点〗正态分布的意义及性质,标准正态总体,标准正态曲线的概念. 〖教学方法〗探究式教学法〖课时安排〗1课时 〖多媒体工具〗多媒体、实物投影仪〖教学过程〗一、复习引入1．复习提问(1)运用多媒体画出(图1－3)频率分布直方图．(2)当n 由100增至200时，观察频率分布直方图的变化．(3)请问当样本容量n 无限增大时，频率分布直方图变化的情况？(频率分布就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线)(4)样本容量越大，总体估计就越精确．2．通过实例，说明正态分布(密度)是最基本、最重要的一种分布．如学生的学习成绩、气象中的平均气温、平均湿度等等，都服从或近似地服从正态分布．二、讲解新课1． 正态分布与正态曲线(1) 总体密度曲线可以用一个函数()y f x =的图象来拟合,我们选用什么样的函数呢?换句话讲,由这个曲线,我们可以想到哪类函数与它相近似?(2) 如果随机变量ξ的概率密度为()f x =22()22x e μσπσ--(,,x R μσ∈为常数，且σ0>)，称ξ服从参数为,μσ的正态分布,用ξ～()2,N μσ表示,()f x 的表达式可简记为()2,N μσ,它的密度曲线简称为正态曲线. 其中：π是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差例1 下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ．(1)221()2x f x e π-= (2)2(1)81()2x f x e π--= (3)22(1)1()x f x e π-+=(答案：μ＝0，σ＝1；μ＝1，σ＝2；μ＝－1，σ＝0.5)2． 正态曲线的性质通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、且关于某条直线对称.结合正态曲线，归纳其以下性质：(1)曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交．(2)曲线关于直线x ＝μ对称．(3)当x ＝μ时，曲线位于最高点．(4)当x ＜μ时，曲线上升(增函数)；当x ＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近．(5)μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“高”，总体分布越集中；五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学．例2 正态总体的函数表示式是22(1)()x f x e π-+=, (1)求f(x)的最大值．(2)利用指数函数性质说明其单调区间，以及曲线的对称轴．3.标准正态分布与标准正态分布表(1)当μ＝0、σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是22()2xf x π-=（-∞＜x ＜+∞）,记作ξ～(0,1)N . 其相应的曲线称为标准正态曲线．标准正态总体N(0，1)在正态总体的研究中占有重要的地位．任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题．(2)标准正态分布的分布函数.若ξ～(0,1)N ,则ξ的分布函数通常用()x Φ表示,且有()x Φ=()P x ξ≤.对于一切0x ≥,()x Φ的值可在标准正态分布表中查到;对于0x <的()x Φ的值,可用()x Φ=1-()x Φ-求出.(3)()P a b ξ<≤的计算.若ξ～(0,1)N ,则()P a b ξ<≤=()()b a Φ-Φ,即通过查标准正态分布表中,x a x b ==时的()x Φ的值,可计算概率()P a b ξ<≤.三.练习35面练习1. 习题1.四.小结五.课后作业〖教学反思〗正态分布问题解决的两个途径：(1) 正态分布←正态曲线(2) 正态分布←标准正态总体←标准正态曲线注意μ和σ的几何意义是解决问题的一个重要环节.研究正态曲线要注意各区间面积的求法及其意义.。
【范文】2.4正态分布教案(新人教A版选修2-3)
2.4正态分布教案（新人教A版选修2-3）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址2．4正态分布教学目标：知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用。
过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。
情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。
教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N。
教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。
内容分析：．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N（0，1），其他的正态分布都可以通过转化为N（0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质教学过程：学生探究过程：复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数与标准差，的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足,则称X的分布为正态分布（normaldistribution)．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～.经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在1733年，法国数学家棣莫弗就用n！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，（-∞＜x＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ（１）（２）（３）答案：0，1；1，2；-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式有==0.9772＋0.8413－1=0.8151．.标准正态总体的概率问题:对于标准正态总体N（0，1），是总体取值小于的概率，即，其中，图中阴影部分的面积表示为概率只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当时，；而当时，Φ（0）=0.52.标准正态分布表标准正态总体在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于的值是指总体取值小于的概率，即，．若，则．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间内取值的概率，即直线，与正态曲线、x轴所围成的曲边梯形的面积．3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可在这里重点掌握如何转化首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a值是否落入；三是作出判断讲解范例：例1.若x～N,求P；P.解：P=F-F=F-[1-F]=0.8849-=0.8747.P=1-P=1-F=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：在N下，求（2）在N（μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）解：（１）＝＝Φ（1）＝0.8413（２）Ｆ（μ＋σ）＝＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是，它是偶函数，说明μ＝0，的最大值为＝，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布巩固练习：书本第74页,2,3课后作业：书本第75页习题2.4A组1,2B组1,2教学反思：．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一范文决定的常把它记为3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
高中数学 2.4 正态分布学案 新人教A版选修2-3-新人教A版高中选修2-3数学学案
2.4 正态分布1．了解正态分布的意义．2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质．(重点) 3．了解正态曲线的意义和性质．4．会利用φ(x )，F (x )的意义求正态总体小于X 的概率．(难点)[基础·初探]教材整理1 正态曲线及正态分布 阅读教材P 70～P 72，完成下列问题． 1．正态曲线若φμ，σ(x )＝12πσe －x －μ22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．图241随机变量X 落在区间(a ，b ]的概率为P (a <X ≤b )≈⎠⎛ab φμ，σ(x)，即由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，就是X 落在区间(a ，b]的概率的近似值，如图241.2．正态分布如果对于任何实数a ，b(a<b)，随机变量X 满足P(a<X≤b)＝⎠⎛ab φμ，σ(x)，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N(μ，σ2)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( ) (2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．( ) (3)正态曲线是一条钟形曲线．( )(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述．( )【解析】 (1)× 因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．(2)√ 因为离散型随机变量最多取可列个不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．(3)√ 由正态分布曲线的形状可知该说法正确．(4)× 因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述．【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 教材整理2 正态曲线的特点及3σ原则 阅读教材P 72～P 74，完成下列问题． 1．正态曲线的特点(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x 轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．2．3σ原则(1)若X ～N(μ，σ2)，则对于任何实数a>0，P(μ－a<X≤μ＋a)＝⎠⎛μ－aμ＋a φμ，σ(x)d x.(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率： P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_6， P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954_4， P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997_4.(3)通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．1．把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是________．(填序号)①曲线b仍然是正态曲线；②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等；③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2；④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2.【解析】正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故③错误．【答案】③2．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是________．(填序号)①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件；②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件；③随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件；④随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．【解析】∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4，∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6，∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．【答案】④3．(2016·山东滨州月考)在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．【解析】∵X服从正态分布(1，σ2)，∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同，均为0.4.∴X在(0,2)内取值的概率为0.4＋0.4＝0.8.【答案】0.8[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]正态分布的概念及正态曲线的性质图242如图242所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．【精彩点拨】给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式．【自主解答】从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.由12π·σ＝12π，得σ＝ 2.于是概率密度函数的解析式是f(x)＝12π·e－x－2024，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：1正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.2正态曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π，由此性质结合图象可求σ.[再练一题]1.图243(1)设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图243所示，则有( )A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2【解析】根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A.【答案】A(2)图244如图244是正态分布N(μ，σ21)，N(μ，σ22)，N(μ，σ23)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )A．σ1>σ2>σ3B．σ3>σ2>σ1C．σ1>σ3>σ2D．σ2>σ1>σ3【解析】由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.【答案】 A服从正态分布变量的概率问题(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝( )A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．【精彩点拨】(1)根据正态曲线的性质对称性进行求解；(2)题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．【自主解答】 (1)∵随机变量X 服从正态分布N(2，σ2)， ∴μ＝2，对称轴是x ＝2.∵P(ξ<4)＝0.8， ∴P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C . 【答案】 C(2)由题意得μ＝1，σ＝2，所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682 6. 又因为正态曲线关于x ＝1对称，所以P(－1＜X ＜1)＝P(1＜X ＜3)＝12P(－1＜X ＜3)＝0.341 3.利用正态分布求概率的两个方法1．对称法：由于正态曲线是关于直线x ＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x ＝μ对称的区间上概率相等．如：(1)P(X<a)＝1－P(X≥a)； (2)P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．2．“3σ”法：利用X 落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6,0.954 4，0.997 4求解．[再练一题]2．设随机变量X ～N(2,9)，若P(X>c ＋1)＝P(X<c －1)． (1)求c 的值；(2)求P(－4<x<8)．【解】 (1)由X ～N(2,9)可知，密度函数关于直线x ＝2对称(如图所示)， 又P(X>c ＋1)＝P(X<c －1)，故有2－(c －1)＝(c ＋1)－2， 所以c ＝2.(2)P(－4<x<8)＝P(2－2×3<x<2＋2×3)＝ 0．954 4.[探究共研型]正态分布的实际应用探究1 若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？【提示】零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.探究 2 某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品．试问1 000件这种的零件中约有多少件一等品？【提示】P(3.5<ε≤4.5)＝P(μ－σ<ε<μ＋σ)＝0.682 6，所以1 000件产品中大约有1 000×0.682 6≈683(件)一等品．探究3 某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为 5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？【提示】由于圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)，即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7∈(2.5,5.5)．这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．【精彩点拨】将P(X≥90)转化为P(X－μ≥－σ)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X－μ≤－σ)＋0.682 6＝1，进而求出P(X≥90)的值，同理可解得P(X≥130)的值．【自主解答】μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝2P(X－μ≤－σ)＋0.682 6＝1，∴P(X－μ≤－σ)＝0.158 7，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1，∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7，即P(X≥130)＝0.158 7.∴54×0.158 7＝9(人)，即130分以上的人数约为9人．1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．[再练一题]3．(2016·杭州质检)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率．【解】∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10.∴P(30<X≤60)＝P(30<X≤50)＋P(50<X≤60)＝12P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＋12P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝12×0.954 4＋12×0.682 6＝0.818 5.即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.818 5.[构建·体系]1．正态分布密度函数为φμ，σ(x)＝18πe－x28，x∈(－∞，＋∞)，则总体的平均数和标准差分别是( )A ．0和8B ．0和4C ．0和2D ．0和 2【解析】 由条件可知μ＝0，σ＝2. 【答案】 C 2.图245如图245是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )A ．σ1>1>σ2>σ3>0B ．0<σ1<σ2<1<σ3C ．σ1>σ2>1>σ3>0D ．0<σ1<σ2＝1<σ3【解析】 当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝12πe －x 22.在x ＝0时，取最大值12π，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3.【答案】 D3．若随机变量X ～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.【解析】 由于随机变量X ～N(μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线X ＝μ对称，故P(X≤μ)＝12.【答案】 124．已知随机变量X 服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)＝________. 【导学号：97270053】【解析】 由X ～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x ＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.【答案】 0.165．随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，如果P(ξ≤1)＝0.841 3，求P(－1<ξ≤0)．【解】 如图所示，因为P(ξ≤1)＝0.841 3，所以P(ξ>1)＝1－0.841 3＝0.158 7，所以P(ξ≤－1)＝0.158 7，所以P(－1<ξ≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设随机变量ξ～N(2,2)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ξ＝( ) A ．1 B ．2 C .12D ．4【解析】 ∵ξ～N(2,2)，∴D(ξ)＝2. ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ξ＝122D(ξ)＝14×2＝12.【答案】 C2．下列函数是正态密度函数的是( )A ．f(x)＝12σπex －μ22σ2，μ，σ(σ>0)都是实数B ．f(x)＝2π2πe －x22C ．f(x)＝122πe －x －124D ．f(x)＝12πe x22【解析】 对于A ，函数的系数部分的二次根式包含σ，而且指数部分的符号是正的，故A 错误；对于B ，符合正态密度函数的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故B 正确；对于C ，从系数部分看σ＝2，可是从指数部分看σ＝2，故C 不正确；对于D ，指数部分缺少一个负号，故D 不正确．【答案】 B3．(2015·湖北高考)设X ～N(μ1，σ21)，Y ～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图246所示，下列结论中正确的是( )图246A ．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B ．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C ．对任意正数t ，P(X≥t)≥P(Y≥t)D ．对任意正数t ，P(X≤t)≥P(Y≤t)【解析】 由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P(Y≥μ2)＝12，P(Y≥μ1)＞12，故P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A 错；因为σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B 错； 对任意正数t ，P(X≥t)＜P(Y≥t)，故C 错； 对任意正数t ，P(X≤t)≥P(Y≤t)是正确的，故选 D. 【答案】 D4．某厂生产的零件外直径X ～N(8.0,0.022 5)，单位：mm ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm 和7.5 mm ，则可认为( )A ．上、下午生产情况均为正常B ．上、下午生产情况均为异常C ．上午生产情况正常，下午生产情况异常D ．上午生产情况异常，下午生产情况正常【解析】 根据3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．【答案】 C5．(2015·山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%【解析】 由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝P －6＜ξ＜6－P －3＜ξ＜32＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%，故选B.【答案】 B 二、填空题6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x ＝________时达到最高点. 【导学号：97270054】【解析】 由正态曲线关于直线x ＝μ对称且在x ＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.【答案】 0.27．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．【解析】 正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴．由于正态曲线关于直线x ＝μ对称，μ的概率意义是期望，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x ＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以数学期望为1.【答案】 18．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是 f(x)＝12πσe －x －μ22σ2，x ∈R .给出以下四个命题：①对任意x ∈R ，f (μ＋x )＝f (μ－x )成立；②如果随机变量X 服从N (μ，σ2)，且F (x )＝P (X <x )，那么F (x )是R 上的增函数； ③如果随机变量X 服从N (108,100)，那么X 的期望是108，标准差是100； ④随机变量X 服从N (μ，σ2)，P (X <1)＝12，P (X >2)＝p ，则P (0<X <2)＝1－2p .其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)【解析】 画出正态分布N (μ，σ2)的密度曲线如下图： 由图可得：①图象关于x ＝μ对称，故①正确；②随着x 的增加，F (x )＝P (ξ<x )也随着增加，故②正确；③如果随机变量ξ服从N (108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是10； ④由图象的对称性，可得④正确．故填①②④. 【答案】 ①②④ 三、解答题9．在一次测试中，测量结果X 服从正态分布N (2，σ2)(σ>0)，若X 在(0,2]内取值的概率为0.2，求：(1)X 在(0,4]内取值的概率； (2)P (X >4)． 【解】(1)由于X ～N (2，σ2)，对称轴x ＝2，画出示意图如图．因为P (0<X ≤2)＝P (2<X ≤4)，所以P (0<X ≤4)＝2P (0<X ≤2)＝2×0.2＝0.4. (2)P (X >4)＝12[1－P (0<X ≤4)]＝12(1－0.4)＝0.3.10．一建筑工地所需要的钢筋的长度X ～N (8,22)，质检员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于2米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？【解】 由于X ～N (8,22)，根据正态分布的性质可知，正态分布在(8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率仅为0.3%，长度小于2米的钢筋不在(2,14)内，所以质检员应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修．[能力提升]1．(2015·湖南高考)图247在如图247所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )A ．2 386B ．2 718C ．3 413D ．4 772 附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4.【解析】 由P (－1<X ≤1)＝0.682 6，得P (0<X ≤1)＝0.341 3，则阴影部分的面积为0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×0.341 31×1＝3 413，故选C. 【答案】 C2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N (110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115]【解析】 由5760＝0.95，符合P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，所以在(100,120]内．故选C. 【答案】 C3．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，则下列结论正确的是________．(填序号) ①P (|ξ|<a )＝P (ξ<a )＋P (ξ>－a )(a >0)； ②P (|ξ|<a )＝2P (ξ<a )－1(a >0)； ③P (|ξ|<a )＝1－2P (ξ<a )(a >0)； ④P (|ξ|<a )＝1－P (|ξ|>a )(a >0)．【解析】 因为P (|ξ|<a )＝P (－a <ξ<a )，所以①不正确； 因为P (|ξ|<a )＝P (－a <ξ<a )＝P (ξ<a )－P (ξ<－a )＝P (ξ<a )－P (ξ>a )＝P (ξ<a )－(1－P (ξ<a ))＝2P (ξ<a )－1，所以②正确，③不正确；因为P (|ξ|<a )＋P (|ξ|>a )＝1，所以P (|ξ|<a )＝1－P (|ξ|>a )(a >0)，所以④正确．【答案】 ②④4．(2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：图248(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E (X )．附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4.【解】 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2分别为 x －＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B (100，0.682 6)，所以E (X )＝100×0.682 6＝68.26.。
高中数学第二章随机变量及其分布2.4第1课时正态分布学案新人教A版选修
高中数学第二章随机变量及其分布2.4第1课时正态分布学案新人教A版选修2、4第一课时正态分布一、课前准备1、课时目标(1)理解正态分布的定义；(2)了解正态分布图像的性质；(3)能利用正态分布图像的对称性求概率、2、基础预探1、如果随机变量X的概率密度函数为，其中实数和（＞0）为参数、我们称的图象为_____________曲线，简称_____曲线、2、一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足，则称X的分布为正态分布、正态分布完全由参数确定，因此正态分布常记作________、3、如果随机变量X服从正态分布，则记为X～______________、把_____________的正态分布叫做标准正态分布、二、学习引领1、现实生活中有哪些正态分布在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布、例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等，一般都服从正态分布、所以，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中、一般地，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计、2、正态曲线的特点（1）曲线位于ｘ轴上方，与ｘ轴不相交，故此曲线以ｘ轴为渐近线，函数的值域为正实数集的子集；（2）曲线是先增后减，以直线为对称轴，在处达到最大值；（3）曲线与ｘ轴之间的面积为1；（4）当σ一定时，曲线随着的变化而沿ｘ轴平移；当一定时，曲线的对称轴位置固定，但形状由σ确定：σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散、3、利用正态曲线的对称性求概率的步骤①根据正态密度函数的性质或者均值得到对称轴，做出函数的草图；②观察已知的概率值与要求的概率值在图像上对应的部分是否具备某种对称关系；③利用性质：正态密度曲线下方，x轴上方之间的总面积为1，通过适当的运算得到需要的概率值、例如：我们可用标准正态总体N（0,1）求概率值的过程来说明这种对称性、如图，的概率值为阴影部分的面积：根据正态密度函数的性质可知：+=1、易知，非阴影部分的概率值为、根据标准正态曲线关于ｙ轴对称，所以、、当然，通过其它的一些对称，还可以得到更复杂的性质、同样的，对称轴为的正态分布也具备类似的性质，只不过对称轴位置不同而已、三、典例导析题型一正态曲线的特点例1 设三个正态分布、、的密度函数图象如图所示，则、、按从小到大的顺序排列是__ _____；、、按从小到大的顺序排列是、思路导析：正态曲线的对称轴为，形状的“胖瘦”由确定，观察图像即可知其取值特点、解析：由于正态曲线对称轴为，所以；当一定时，曲线的形状由确定、越小，曲线越“高瘦”；越大，曲线越“矮胖”，所以、所以填；、方法规律：解决正态曲线问题应抓住图像的特点：曲线关于直线x=对称，因此位置由数学期望确定；形状的“胖瘦”由方差确定，可简记为“大胖小瘦”、变式训练：如图是三种不同的正态曲线N(0，)的图象，那么、、的大小关系是( ) A、B、C、D、题型二正态曲线的对称性例2 已知随机变量服从正态分布,,则（）A、B、C、D、思路导析：作出正态分布的草图，观察与的对称关系便可得到相应的概率值、解：因为随机变量服从正态分布，所以正态分布的图象关于x=2 对称，其图象如图所示，所以，故选D、规律总结：求正态分布在给定区间上的概率问题时，要将所给区间化为已知其概率值的区间，一般要利用数形结合的思想去解决、利用正态图象的对称性，可避免复杂的计算，简化解题过程、变式训练：已知服从正态分布,，且，则、题型三概率密度函数的性质例３标准正态分布的概率密度函数是、（1）求证：是偶数函数；（2）利用指数函数的性质说明的增减性;（3）求的最大值、思路导析：标准正态分布函数与指数函数比较密切，我们可以借助研究指数函数的方法来研究它、解：（1）对任意，有，所以是偶数函数、（2）任取，且，有，所以，所以、即当ｘ＜0时，是递增的。
吉林省吉林市第一校高中数学 241正态分布学案 新人教A选修
吉林省吉林市第一校高中数学 241正态分布学案新人教A选修2、4、1正态分布【教学目标】了解正态分布的意义，掌握正态分布曲线的主要性质及正态分布的简单应用。
了解假设检验的基本思想，会用质量控制图对产品的质量进行检测，对生产过程进行控制。
【教学重难点】教学重点：1、正态分布曲线的特点；2、正态分布曲线所表示的意义、教学难点：1、在实际中什么样的随机变量服从正态分布；2、正态分布曲线所表示的意义、【教学过程】设置情境，引入新课这是一块高尔顿板，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。
问题1、在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？问题2、重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？问题3、为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？问题4、随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？二、合作探究，得出概念随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线、这条曲线可以近似下列函数的图像：其中实数为参数，我们称的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。
问题5、如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，X表示一个随机变量，X落在区间的概率为什么？其几何意义是什么？一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足则称X的分布为正态分布，记作，如果随机变量X服从正态分布，则记为。
问题6、在现实生活中，什么样的分布服从或近似服从正态分布？问题7、结合的解析式及概率的性质，你能说说正态分布曲线的特点吗？可以发现，正态曲线有以下特点：曲线位于x轴上方，与x 轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线对称；曲线在处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线随着德变化而沿x轴平移；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。
高二数学(选修-人教A版)-正态分布-教案
教案体会小球掉入高尔顿板下方的球槽内的随机性.槽编号X的分布列；方案2 以球槽的编号为横坐标，可以画出小球分布的频率分布直方图.哪种方案更好？对于离散型随机变量而言，其分布列完全刻画了它的概率分布规律，但此时只能通过频率来近似，现在无法知道所构造的随机变量的分布列.而频率分布直方图更加准确、直观、形象，所以经过学生讨论用频率分布直方图进一步探究小球的分布规律.活动2 画频率分布直方图由于课堂时间所限，这里展示在课前进行的试验，并记录落入各个球槽内小球的频数，利用图形计算器画频率分布画直方图.问题2 观察频率分布直方图有何共同特点？预设学生活动：学生可发现频率分布直方图具有中间高两边低（左右两边对称）的特点，并且频率分布直方图的外形与试验中小球的堆积形状是一样的.活动3 画频率分布折线图问题3 是不是只有小球的分布具有中间高两边低的特点？预设学生活动：教师展示在必修3统计的学习中，收集过的身高、体重、成绩等数据，借助图形计算器，可以画出这些数据的频率分布直方图，发现这些数据都具有中间高两边低的特点.既然这么多数据都具有中间高两边低的特点，我们有必要进一步研究它们的分布规律，教师引导学生画数据的频率分布折线图，并思考下面问题.问题4 画出身高、体重、成绩等数据的频率分布折线图，随着试验次数增加，组距不断缩小，观察频率分布折线图有何特点？预设学生活动：随着试验次数增加，组距不断缩小，频率分布折线图的形状也越来越光滑.活动4 教师用计算机演示教师借助几何画板演示，引导学生思考当试验次数增加，组距不断缩小时，频率分布折线图有什么变化特点？预设学生活动：频率分布折线图越来越光滑，越来越像一条曲线.问题5 生活中我们是否见过类似形状的东西？预设学生活动：象我们生活中的钟、铃铛等类似形状的东西，我们称之为钟形曲线.（二）正态曲线对于这条钟形曲线，早在十八世纪30年代，棣莫弗、斯特莱等数学家经过十几年的努力，用求导、对数、无穷级数、积分、变量代换等数学方法就推导出这条钟形曲线就是函数22()2,1()e 2πx x μσμσϕσ--=的图象，其中μ和σ（0>σ）为参数，我们称)(,x σμϕ的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.在对正态曲线认识的基础上进入理性分析，得到正态分布的概念.（三）正态分布知道了小球的分布规律是正态曲线，为了引导学生由正态曲线认识正态分布，设计了下面的问题.问题6 一个小球从高尔顿板口落下，会落在哪？为什么？预设学生活动：一个小球从高尔顿板口落下，落在哪都有可能，但是，落在中间的可能性大，概率大.问题7 如何计算小球落在某个区间],(b a 内的概率？当试验用的小球很小时候如何刻画小球的具体位置？可以用坐标.如何建立适当的坐标系?以及如何计算小球落在某个区间],(b a 的概率?如果去掉高尔顿板最下边的球槽，沿高尔顿板底部建立一个水平坐标轴，刻度单位为球槽的宽度，若用X 表示落下的小球第1次与高尔顿板底部曲边梯形面积,()()aaP a X a x μμσμμμϕ+--<≤+=⎰为图中阴影部分的面积，对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减少而变大.说明σ越小，落在区间(],a a μμ-+的概率越大，即X 集中在μ周围概率越大.特别有()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+≈-<≤+≈-<≤+≈可以看到，正态总体几乎总取值于区间(3,3)μσμσ-+之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布2(,)N μσ的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，并简称之为3σ原则.例 某地区数学考试的成绩X 服从正态分布，其密度曲线如图所示，成绩X 位于区间(]52,68的概率是多少？解：第一步，利用待定系数法，求出正态分布密度曲线函数的解析式；可知，参数60μ=，max 1(60)82ϕϕπ==，故22(60)2,1()2πx x e σμσϕσ--=，且max 11(60)822πϕϕπσ===， 所以8σ=.得2(60)128,1()82πx x e μσϕ--=； 第二步，求概率；故(5268)(608608)0.6826P x P x <≤=-<≤+≈. 例 若(5,1)X N ，求(67)P X <<.解：由(5,1)XN 知，正态密度曲线函数的两个参数为5,1μσ==，故该正态密度曲线关于直线5x =对称.故1(57)(37)2P X P X <<=<< 11(5252)0.95440.477222P X =-<<+≈⨯=， 而1(56)(46)2P X P X <<=<< 56 7O y4 3示的意义，事实上，从历史上看，正态分布从1733年问世到作为分析统计数据的概率模型经历了100多年，经过棣莫弗、高斯、凯特莱和高尔顿等很多科学家的辛苦努力.课后请同学们查阅相关的资料，了解正态分布的发展史.棣莫弗凯特莱高斯例 设若(,1)X N μ，求(32)P X μμ-<≤-.解：由(,1)XN μ知，正态分布密度函数的参数1σ=.因为该正态密度曲线关于直线x μ=对称，所以(32)(3)(2)P X P X P X μμμμμμ-<≤-=-<≤--<≤11(33)(22)22P X P X μμμμ=-<≤+--<≤+ 110.99740.95440.021522≈⨯-⨯=.。
高中数学 2.4 3正态分布教案 新人教A版选修选修2-3
2013年高中数学 2.4 3正态分布教案 新人教A 版选修选修2-3〖教学目标〗(1)进一步加深理解并掌握正态分布和正态曲线对应函数式的意义和性质.(2)理解和掌握标准正态总体的意义及性质.(3) 掌握正态总体中，取值小于x 的概率及在任一区间内取值的规律.(4)介绍统计中常用的假设检验方法的基本思想和小概率事件，生产过程的质量控制图.〖教学重点〗正态分布、正态曲线、标准正态总体是教学的重点内容，在此基础上引出“小概率事件”和假设检验的基本思想.〖教学难点〗 小概率事件几乎不可能发生的原理和假设检验的基本思想是这节课的教学难点.〖教学方法〗探究式教学法〖课时安排〗1课时〖多媒体工具〗多媒体、实物投影仪〖教学过程〗一、复习引入1. 正态密度函数的解析式.其中字母的意义.2. 正态曲线的性质.二、讲解新课1.标准正态分布与一般正态分布的关系(1) 若ξ～()2,Nμσ,则ξμησ-=～N(0，1). (2) 若ξ～()2,N μσ,则()P a b ξ<≤= ()()ba μμσσ--Φ-Φ, 即通过查标准正态分布表中,ab x x μμσσ--==的()x Φ的值,可计算服从2(,)μσ的正态分布的随机变量ξ取值在a 与b 之间的概率.2. 假设检验的基本思想与生产过程中质量控制图假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步:(1) 提出统计假设. 统计假设里的变量服从正态分布()2,N μσ. (2) 确定一次试验中的取值是否落入范围(3,3)μσμσ-+.(3) 作出推断:如果∈,接受统计假设.如果∉,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设.3．例题评价例 1.公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1％以下设计的.如果某地成年男子的身高η～(175,36)N (单位: cm ),则车门高度应设计为多少?例 2.一建桥工地所需要的钢筋的长度服从正态分布, μ=8, σ=2.质检员在检查一大批钢筋的质量时,发现有的钢筋长度少于2m .这时,他是让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋呢?还是让钢筋工停止生产检修钢筋切割机?例3.利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体),(2σμN 取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布（1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-= ∵()()()2()10.95200200200a a a P a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥， ()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200a a ≥⇒≥ 三．练习 35面练习2. 习题1.5的2.3四.小结五.课后作业〖教学反思〗本节我们学习了一类重要的总体分部：正态分布.决定一个正态分布的两个重要的参数:平均数(期望、数学期望) μ 和标准差σ 。
高中数学《2.4正态分布(一)》 新人教A版选修2-3
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，ppt表课件示总体的分布越集中.
例3、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单 位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是
（ C）
A.曲线b仍然是正态曲线； B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等; C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为 概率密度曲线的总体的期望大2; D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为 概率密度曲线的总体的方差大2。
ppt课件
复习
100个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
25.235 25.295
25.355
25.415
ppt课件
产品 尺寸 （mm)
25.475 25.535
复习
200个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
25.235 25.295
25.355
25.415
ppt课件
产品 尺寸 （mm)
25.475 25.535
3 1 2
ppt课件
均数相等、方差不等的正态分布图示
μ=0
=0.5 =1
若 固定, 大
时, 曲线矮而胖；
小时, 曲线瘦 而高, 故称
为形状参数。
=2
ppt课件
3、正态曲线的性质
y
X=μ
(x)
σ=0.5
1 e(x22)2
2
σ=1
σ=2
动画
-3 -2 -1 0
12 3 x
（5）当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线 向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.
最新人教版高中数学选修2-3《正态分布》示范教案
最新人教版高中数学选修2-3《正态分布》示范教案2.4 正态分布整体设计：正态分布是高中数学新增内容之一，也是统计学中的重要内容。
它是学生进一步应用正态分布解决实际问题的理论依据，同时也是许多分布的近似描述。
因此，正态分布在理论研究中占有很重要的地位。
教材分析：本章节的课时分配为1课时，教学目标包括掌握正态分布在实际生活中的意义和作用，加深对正态密度函数和正态曲线的理解，以及归纳正态曲线的性质。
教学方法主要是通过观察并探究规律，提高分析问题和解决问题的能力，同时培养数形结合、函数与方程等数学思想方法。
情感、态度与价值观方面，通过教学中的探究过程，使学生体验发现的快乐，培养学生的进取意识和科学精神。
重点难点：教学重点为正态曲线的性质和标准正态曲线N(0,1)；教学难点为通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。
教学过程：复旧知：回顾曲边梯形的面积S=∫bf(x)dx的意义，以及频率分布直方图和频率分布折线图的作法和意义。
这一部分的设计意图是通过学过的知识来探究新问题，驱动学生思维的自觉性和主动性，让学生亲身感受知识的发生过程，既反映了数学的发展规律，又符合学生的思维特征和认知规律。
探究新知：教师提出问题：同学们知道高尔顿板试验吗？通过小球落入各个小槽中的频率分布情况来认识正态分布。
活动设计包括教师板书课题和学生阅读课本中关于高尔顿板的内容。
接着，教师提出问题：(1)运用多媒体画出频率分布直方图。
(2)当n由1,000增至2,000时，观察频率分布直方图的变化。
(3)请问当样本容量n无限增大时，频率分布直方图变化的情况如何？(频率分布就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线)。
(4)样本容量越大，总体估计就越精确。
改写后的文章：2.4 正态分布整体设计：正态分布是高中数学新增内容之一，也是统计学中的重要内容。
它是学生进一步应用正态分布解决实际问题的理论依据，同时也是许多分布的近似描述。
因此，正态分布在理论研究中占有很重要的地位。
高中数学《正态分布》学案1新人教A版选修23
正态分布、线性回归一、 知识梳理 1．正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。
一般说来，假设影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，那么这个指标服从正态分布。
2 ．正态曲线及其性质(x)212正态分布函数：f(x)e 2，x∈〔-∞，+∞〕2．标准正态曲线标准正态曲线N 〔0，1〕是一种特殊的正态分布曲线，态总体在任一区间(a ，b)内取值概率P (b)(a)。
．一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体N(,2)其图像不一定关于(x 0) 1(x 0)，以及标准正轴对称，对于任一正态总体N( , 2)，其取值小于 x 的概率F(x) (x)。
只要会用它求正态总体 N( ,2)在某个特定区间的概率即可。
．“小概率事件〞和假设检验的根本思想“小概率事件〞通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。
这种认识便是进行推断的出发点。
关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生〞是针对“一次试验〞来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理〞进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。
课本是借助于服从正态分布的有关零件尺寸的例子来介绍假设检验的根本思想。
进行假设检验一般分三步：第一步，提出统计假设。
课本例子里的统计假设是这个工人制造的零件尺寸服从正态分布N(,2)； 第二步，确定一次试验中的取值a 是否落入范围〔μ-3σ，μ+3σ〕；第三步，作出推断。
如果a ∈〔μ-3σ，μ+3σ〕，接受统计假设；如果a(3,3)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设。
6．相关关系研究两个变量间的相关关系是学习本节的目的。
对于相关关系我们可以从下三个方面加以认识：⑴相关关系与函数关系不同。
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系。
高中数学 第二章《正态分布》教案 新人教A版选修2-3
2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．总体密度曲线b 单位O 频率/组距a它反映了总体在各个X 围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x e x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()ba P a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解X 例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ（１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π（３）22(1)(),(,)x f x x -+=∈-∞+∞ 例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题:对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x <只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ．3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生 假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解X 例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μσ，μσ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σＦ（μσ，μσ）＝Ｆ（μσ）－Ｆ（μσＦ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σＦ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ对于正态总体),(2σμN 取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ- 巩固练习：书本第74页 1,2,3课后作业： 书本第75页 习题2. 4 A 组 1 , 2 B 组1 , 2教学反思： 1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成： 22()2(),(,)x f x x μσ--=∈-∞+∞， （σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2σμN 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
吉林省长春市高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布学案(无答案)新人教A版选修2-3
§ 2.4 正态分布学习目标1、利用实际问题直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2、了解变量落在区间，σμσμσμ2(](-+-，，]33(]2σμσμσμ+-+，，的概率大小.3、会用正态分布去解决实际问题.自主学习1、正态曲线的定义 函数，222)(21)(σμσμπσϕ--=x e x ，，-∞∈(x )∞+，其中实数μ和σ为参数，)(x μσϕ的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.2、正太曲线的性质（特点）正态曲线∈-=-x e x x ，，σμσμπσϕ2)(21)(R 有以下性质：（1）曲线位于x 轴 ，与x 轴 ； （2）曲线是单峰的，它关于直线 对称； （3）曲线在 处达到峰值 ； （4）曲线与x 轴之间的面积为 ；（5）当 一定时，曲线随着 的变化而沿x 轴平等，如图①；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ，曲线越“瘦高”；σ ，曲线越“矮胖”，如图②； 3、正太分布（1）正态分布完全由μ和σ确定，因此正态分布常记作 ，如果随机变X 服从正太分布，则记为 。
（2）特别地，如图可知，=+≤<-)(σμσμX P ；=+≤<-)22(σμσμX P ；=+≤<-)33(σμσμX P ；（3）在实际应用中，通常认为服从于正态分布)(2σμ，N 的随机变量X 只取 之间的值，并简称为 。
自学检测1、正态分布密度函数为，，8281)(x e x -=πϕσμ )(∞+-∞∈，x ，则总体的平均数和标准差分别是（ ）A. 0和8B. 0和4C. 0和2D. 0和2 2、设随机变量)2,1(~2N X ，则)21(X D 等于（ ） A. 4 B. 2 C.21D. 1 3、如图是当321σσσ，，的三种正态曲线)0(2σ，N 的图像，那么321σσσ，，的大小关系是（ ）A . 01321>>>>σσσ B. 32110σσσ<<<< C. 01321>>>>σσσ D. 32110σσσ<=<<4、工人制造机器零件尺寸在正常情况下，服从正态分布)(2σμ，N .在一次正常的试验中，取10000个零件时，不属于)3,3(σμσμ+-这个尺寸范围的零件个数大约有 个.5. 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(1(2>σσ，N ，若ξ在)10(，内取值的概率为0.4，则ξ在)20(，内取值的概率为 .重点探究1、如图所示，是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的表达式，求出总体随机变量的期望和方差.2、设随机变量，，)92(~N X 若)1()1(-<=+>c X P c X P . （1）求c 的值； （2）求)84(<<-x P .3、在一次数学测验中，某班学生的分数服从正态分布)20110(~2，N X ，且知满分为150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格（不小于90分）的人数和130分以上的人数.4、某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布)1070(2，N ，如果规定低于60分为不及格，求：（1）成绩不及格的人数占多少？ （2）成绩在80-90内的学生占多少？方法小结1、从正态分布的总体特征如何判断随机变量服从正态分布一般地，当一随机变量是大量微小的独立的随机因素共同影响的结果，而每一种随机因素都不能起到压倒性的影响时，这个随机变量就被认为服从正态分布；2、如何判断离散型随机变量的分布是否服从正态分布在随机抽样中，样本是不完全相同的，但总在一个范围内变动，这样可以使一定的抽样分成若干组，按其顺序分别在坐标系中画出一系列的直方形，并将直方形连起来，观察图的形状，来判断样本的分布状况，当分组足够多，就可用一条曲线来拟合频率直方图的分布形态，如果曲线呈对称钟形分布，就可以初步判断该分布服从正态分布，同时可以通过计算直方图的对称度、峰度来定量判断该分布是否服从正态分布，若对称度、峰度均为0，就认为该分布服从正态分布.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1、正态曲线函数∈-=-x e x f a x ，222)(21)(μπσR ，其中0>μ的图象是以下图中的（ ）2、已知随机变量ξ服从正态分布，P ，N 84.0)4(),2(2=≤ξσ则)0(≤ξP 等于（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84 3、设两个正态分布)0)((1211>σσμ，N 和)0)((2222>σσμ，N 的密度函数图象如图所示，则有（ ）A. 2121σσμμ<<，B. 2121σσμμ><，C. 2121σσμμ<>，D. 2121σσμμ>>，4、若随机变量ξ的密度函数为2221)(x e x f -=π，ξ在)12(--，和)21(，内取值的概率分别为21p p 、，则21p p 、的关系为（ ） A. 21p p > B. 21p p <C. 21p p =D. 不确定5、 如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法正确的是 .①三种品牌的手表日走时误差的均值相等； ②日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙； ③日走时误差的方差大到小依次为甲、乙、丙； ④三种品牌手表中间甲品牌的质量最好.课后巩固1、正态分布密度函数的表示式是)(·21)(2)1(2∞+-∞∈-=+，，x e x f x π. （1）求)(x f 的最大值； 中，（2）利用指数函数性质说明其单调区间及曲线的对称轴.2在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即)10090(~，N X . （1）试求考试成绩X 位于区间)11070(，内的概率是多少？（2）若这次考试共有2000名学生，试估计考试成绩在)10080(，间的考生大约有多少？。
高中数学 2.4正态分布教案 新人教版选修2-3最新修正版
§2．4正态分布教学目标：知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 。
过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。
情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 。
教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 。
教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。
授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a ，x=b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,(),(,)x x x μσμσϕ--=∈-∞+∞式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．二、讲解新课：1、一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()ba P a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normaldistribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题三、讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π （３）22(1)(),(,)x f x x -+=∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．四、课后作业： 习题2. 4 A 组 1 , 2 B 组1 , 2五、教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。
【优选整合】高中数学人教A版选修2-324正态分布学案.doc
第二章随机变量及其分布列2.4正态分布 .......... 学案一、学习目标1掌握正态分布在实际生活屮的意义和作用，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理,2通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质二、自主学习预习课本P70〜74,思考并完成以下问题1.什么是正态曲线和正态分布？2.正态曲线有什么特点？3.正态曲线的…⑴中参数“，/的意义是什么？1.正态曲线及其性质(1)正态曲线：］— 2函数％矗)=寸盂;e—~ ，x^(—cc, +co),其中实数“，EQO)为参数,我们称的图彖为正态分布密度曲线，简称正态曲线.(2)正态曲线的特点：①曲线位于x轴上方,与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线曰£对称；③曲线在x=M处达到峰值洼④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当"一定时，曲线的位置由“确定，曲线随着色的变化而沿兀轴平移；⑥当“一定时，曲线的形状由”确定，”越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集川;/越大，曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图所示.［点睛］正态曲线％. “(X)中，参数//是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值E(X) 去2.正态分布(1)如果对于任何实数Cl, bgb)，随机变量X满足P(a<X<b}=J^p u. g(xWx,则称随机变量X服从正态分布.(2)正态分布完全由参数吐和$确定，因此正态分布常记作N®,疋).如果随机变量X服从正态分布，则记为X〜N(u，(?).3.正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(g-o<X<n+o)=0. 682 6；(2)P(p-2a<X<n + 2o)=0. 954 4；(3)P(|,i-3o<X<p + 3o)=0. 997 4. ［小试身手］1.判断下列命题是否正确.(正确的打“0,错误的打“好)⑴函数(p—(x)屮参数p, c的意义分别是样本的均值与方差.()(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数p,。
2022年高中数学新人教版A版精品教案《正态分布》
正态分布教学设计教学目标：1、通过数学实验和实际问题的数据分析，直观感知正态曲线的特点；2、经历从具体到抽象研究正态分布的过程，体会数形结合、有限到无限的数学思想方法；3、认识客观世界的随机现象和正态分布发生开展的历史，感受数学文化的价值教学重点与难点重点：1、正态分布密度曲线的特点2、正态分布密度曲线所表示的意义难点：1、在现实生活中什么样的随机变量服从正态分布2、正态分布密度曲线所表示的意义教学过程：老师：同学们，我们全班同学和老师能在一个班级里学习是一种缘分，也是一种偶然。
其实，我们的生活就是这样，充满着众多互不相干的，不分主次的偶然因素作用的结果，才有了运走云落，千变万化的世界。
现在屏幕上显示的是一首我所喜欢的徐志摩的名为?偶然?的小诗：我是天空里的一片云，偶尔投影在你的波心——你不必讶异，更无须欢喜——在转瞬间消灭了踪影。
你我相逢在黑夜的海上，你有你的，我有我的，方向；你记得也好，最好你忘掉，在这交会时互放的光亮！〔现在我们一起穿越到100多年前，到一个英国的高尔顿的实验室里〕表达的是诗人对偶然的感悟。
下面我们回归下理性，我们从数学的眼光来看偶然性，大量的偶然性当中是否存在着某种必然的规律？今天我们一起探讨一组随机数据中有哪些必然性的规律？昨天已分小组完成我们身边常碰到一些数据1、半期考数学成绩，2、升高，3、大拇指和中指的两头间的距离称之为一拃，4、目测班长的身高。
师：这些是一组非常〞平常〞的数据，数据呈现“中间高，两头低〞的特征。
实际生活当中有很多类似这样的“平常〞数据，生：如果一组随机数据是众多的互不相干的，不分主次的偶然因素的影响，那么数据的分布呈现“中间高，两头低〞的情况。
师：分析的很到位，数据的分布呈现“中间高，两头低〞的情况称之为正态分布。
经验说明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素之和，它就服从或者服从正态分布。
师：那我们在看看这样的例子是否服从正态分布？奥数尖子班的高考数学成绩，沙漠每年7月份的降雨量：生：应该不是师：为什么呀难道他们受到的影响因素不是“众多的，相互独立的，不分主次的？生：奥数班的数学成绩肯定很高，沙漠几乎不降雨师：对，因为奥数班的数学成绩受他们自身智力影响过大，沙漠受到的影响因素主要是气候，决定了它几乎不降雨。
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2.4.1正态分布【教学目标】了解正态分布的意义，掌握正态分布曲线的主要性质及正态分布的简单应用。
了解假设检验的基本思想，会用质量控制图对产品的质量进行检测，对生产过程进行控制。
【教学重难点】教学重点：1.正态分布曲线的特点； 2.正态分布曲线所表示的意义.教学难点：1.在实际中什么样的随机变量服从正态分布； 2．正态分布曲线所表示的意义. 【教学过程】设置情境，引入新课 这是一块高尔顿板，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。
问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？问题2.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？问题3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？ 问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？ 二、合作探究，得出概念随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线.这条曲线可以近似下列函数的图像：22()2,(),(,),2x x ex μσμσϕπσ--=∈-∞+∞其中实数(0)μσσ>和为参数，我们称,()x μσϕ的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。
问题5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，X 表示一个随机变量，X 落在区间(,]a b 的概率为什么？其几何意义是什么？ 一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,(<X (),baP a b x dx μσϕ≤=⎰）则称X 的分布为正态分布，记作2N μσ（，），如果随机变量X 服从正态分布，则记为2XN μσ（，）。
问题6.在现实生活中，什么样的分布服从或近似服从正态分布？ 问题7.结合()x μσϕ，的解析式及概率的性质，你能说说正态分布曲线的特点吗？可以发现，正态曲线有以下特点： 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称；曲线在x μ=2σπ曲线与x 轴之间的面积为1；当σ一定时，曲线随着μ德变化而沿x 轴平移；当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。
若2XN μσ（，），则对于任何实数0,a >概率,(<X ()aaP a a x dxμμσμμμϕ+--≤+=⎰）对于固定的μ和a 而言，给面积随着σ的减少。
这说明σ越小，X 落在区间,]a a μμ-+（的概率越小，即X 集中在μ周围概率越大. 特别有可以看到，正态总体几乎总取值于区间(33)X μσμσ-<≤+之内。
而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。
在实际应用中，通常认为服从于正态分布2N μσ（，）的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，简称之为3σ原则 典型例题在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即(90,100)N ξ。
试求考试成绩ξ位于区间（70,110）上的概率是多少？若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100）间的考生大约有多少人？ 解析：正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解. 解：因为(90,100)N ξ，所以 μ=90， σ=10。
由于正态变量在区间(2,2)μσμσ-+内取值的概率是0.9544,而该正态分布中，29021070,290210110μσμσ-=-⨯=+=+⨯=，于是考试成绩ξ位于区间（70,110）内的概率就是0.9544。
由μ=90， σ=10，得80,100μσμσ-=+=。
由于正态变量在区间(,)μσμσ-+内取值的概率是0.6826,所以考试成绩ξ位于区间（80,100）内的概率就是0..6826.一共有2000名考生，所以考试成绩在（80,100）间的考生大约有2000⨯0.6826≈1365人。
()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9774.P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=-<≤+=点评：解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间属于上述三个区间中的哪一个.变式训练.已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩(110,25),X N 据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ ）.(90,110]A .(95,125]B .(100,125]C .(105,115]D答案C反馈测评1． 给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ（１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x ex f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x ex f x π（３）22(1)(),(,)2x f x e x π-+=∈-∞+∞2.若随机变量(2,4)N ξ-,则ξ在区间(4,2]-上的取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率（ ）.(2,4]A .(0,2]B .(2,0]C - .(4,4]D -3．若随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ξ，则ξ在区间(3,3]-上取值的概率等于（ ）A.0.6826B.0.9544C.0.9974D.0.31744.若一个正态总体落在区间(0.2,)+∞里的概率是0.5，那么相应的正态曲线f （x ） 在x= 时，达到最高点。
课堂小结了解正态曲线、正态分布的概念，知道正态曲线的解析式及曲线的特点。
了解假设检验的基本思想并体会它的应用。
3．1.1回归分析的基本思想及其初步应用【教学目标】1.了解回归分析的基本思想方法及其简单应用. 2.会解释解释变量和预报变量的关系.【教学重难点】教学重点：回归分析的应用. 教学难点：a 、b 公式的推到. 【教学过程】设置情境，引入课题引入：对于一组具有线性相关关系的数据112233(,),(,),(,),,(,).n n x y x y x y x y 其回归直线方程的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：a y bx =-121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑11n i i x x n ==∑ 11n ii y y n ==∑ (,)x y 称为样本点的中心。
如何推到着两个计算公式？ 引导探究，推出公式从已经学过的知识，截距a 和斜率b 分别是使21(,)()ni i i Q y x αββα==--∑取最小值时,αβ的值，由于212212211(,)[((]{[(2[([(][(]}[(2[([(](ni i i ni i i i i nni i i i i i Q y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x n y x αββββαβββββαβαβββββαβα=====-----=---+-----+--=---+-----+--∑∑∑∑）+））]）]）））]）]））因为1111[((([(([(]([(]0,n niiiii i n ni i i i y x y x y x y x y x y x y x y x n y x y x ny n x n y x βββαβαβββαβββαββ====-----=-----=-----=-----=∑∑∑∑）]）））]））））所以2212222111222221122111[([(]()2()()()(()()[()()](()[]()()()ni i i nn nii i i i i i nniii i ni i i i nni i iii i Q y x y x n y x x x x x y y y y n y x x x y y x x y y n y x x x y y x x x x αββββαβββαβαβ==========---+--=----+-+------=--+---+---∑∑∑∑∑∑∑∑∑（，））]）））1n=∑在上式中，后两项和,αβ无关，而前两项为非负数，因此要使Q 取得最小值，当且仅当前两项的值均为0.，既有121()()()niii nii x x y y x x β==--=-∑∑ y x αβ=-通过上式推导，可以训练学生的计算能力，观察分析能力，能够很好训练学生数学能力，必须在老师引导下让学生自己推出。
所以：a y bx =- 121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑例题应用，剖析回归基本思想与方法从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重的数据如图所示： 画出以身高为自变量x,体重为因变量y 的散点图 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程 求预报一名身高为172cm 的女大学生的体重 解：（1）由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量x,体重为因变量y 作散点图（2）0.849,85.712:0.84985.712.b a y x ==-∴=-回归方程(3)对于身高172cm 的女大学生，由回归方程可以预报体重为：0.84917285.71260.316()y kg =⨯-=当堂练习观察两相关变量得如下数据 x —1 —2 —3 —4 —5 5 3 4 2 1 y—9—7—5—3—115379求两个变量的回归方程.答：10102110,0,110,110,i i i i i x y x x y ======∑∑10110221101101001,000.11010010i ii i i x y x yb a y bx b x x==--⨯∴====-=-=-⨯-∑∑所以所求回归直线方程为y x =课堂小结1. a 、b 公式的推到过程。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg48575054646143592．,) y bx a x y =+通过(。