吉林省吉林市第一校高中数学 正态分布学案 新人教A选修

2.4.1正态分布

【教学目标】

了解正态分布的意义，掌握正态分布曲线的主要性质及正态分布的简单应用。

了解假设检验的基本思想，会用质量控制图对产品的质量进行检测，对生产过程进行控制。 【教学重难点】

教学重点：1.正态分布曲线的特点； 2.正态分布曲线所表示的意义.

教学难点：1.在实际中什么样的随机变量服从正态分布； 2．正态分布曲线所表示的意义. 【教学过程】

设置情境，引入新课 这是一块高尔顿板，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。

问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？

问题2.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？

问题3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？ 问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？ 二、合作探究，得出概念

随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线

.

这条曲线可以近似下列函数的图像：

22

()2,(),(,),

2x x e

x μσμσϕπσ--

=∈-∞+∞

其中实数(0)μσσ>和为参数，我们称,()

x μσϕ的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

问题5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，X 表示一个

随机变量，X 落在区间(,]a b 的概率为什么？其几何意义是什么？ 一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足

,(

b

a

P a b x dx μσϕ≤=⎰）

则称X 的分布为正态分布，记作2

N μσ（，），如果随机变量X 服从正态分布，则记为

2X

N μσ（，）。

问题6.在现实生活中，什么样的分布服从或近似服从正态分布？ 问题7.结合

()

x μσϕ，的解析式及概率的性质，你能说说正态分布曲线的特点吗？

可以发现，正态曲线有以下特点： 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称；

曲线在x μ=2σπ

曲线与x 轴之间的面积为1；

当σ一定时，曲线随着μ德变化而沿x 轴平移；

当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。 若2X

N μσ（，），则对于任何实数0,a >概率

,(

a

P a a x dx

μμσμμμϕ+--≤+=⎰

）

对于固定的μ和a 而言，给面积随着σ的减少。这说明σ越小，X 落在区间

,]a a μμ-+（的概率越小，即X 集中在μ周围概率越大. 特别有

可以看到，正态总体几乎总取值于区间(33)X μσμσ-<≤+之内。而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。

在实际应用中，通常认为服从于正态分布2

N μσ（，）的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之

间的值，简称之为3σ原则 典型例题

在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即(90,100)N ξ。

试求考试成绩ξ位于区间（70,110）上的概率是多少？

若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100）间的考生大约有多少人？ 解析：正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解. 解：因为

(90,100)N ξ

，所以 μ=90， σ=10。

由于正态变量在区间(2,2)μσμσ-+内取值的概率是0.9544,而该正态分布中，

29021070,290210110μσμσ-=-⨯=+=+⨯=，于是考试成绩ξ位于区间（70,110）

内的概率就是0.9544。

由μ=90， σ=10，得80,100μσμσ-=+=。由于正态变量在区间(,)μσμσ-+内取值的概率是0.6826,所以考试成绩ξ位于区间（80,100）内的概率就是0..6826.一共有2000名考生，所以考试成绩在（80,100）间的考生大约有2000⨯0.6826≈1365人。

()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9774.P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=-<≤+=

点评：解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间(,)μσμσ-+，

(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给

区间属于上述三个区间中的哪一个.

变式训练.已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩(110,25),X N 据此估计，大约

应有57人的分数在下列哪个区间内？（ ）

.(90,110]A .(95,125]B .(100,125]C .(105,115]D

答案C

反馈测评

1． 给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ

（１）

)

,(,21)(2

2+∞-∞∈=

-

x e

x f x π

（２）

)

,(,221

)(8

)1(2

+∞-∞∈=

--

x e

x f x π

（３）2

2(1)(),(,)2x f x e x π-+=

∈-∞+∞

2.若随机变量(2,4)N ξ

-,则ξ在区间(4,2]-上的取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取

值的概率（ ）

.(2,4]A .(0,2]B .(2,0]C - .(4,4]D -

3．若随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ξ

，则ξ在区间(3,3]-上取值的概率等于（ ）

A.0.6826

B.0.9544

C.0.9974

D.0.3174

4.若一个正态总体落在区间(0.2,)+∞里的概率是0.5，那么相应的正态曲线f （x ） 在x= 时，达到最高点。

课堂小结

了解正态曲线、正态分布的概念，知道正态曲线的解析式及曲线的特点。 了解假设检验的基本思想并体会它的应用。

3．1.1回归分析的基本思想及其初步应用

【教学目标】1.了解回归分析的基本思想方法及其简单应用. 2.会解释解释变量和预报变量的关系.