因式分解之提取公因式法和运用公式法(教师版)

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因式分解章节复习(基础,教师版)

因式分解训练知识点1：因式分解的概念把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解.注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.知识点2：提取公因式法把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表示为：()ma mb mc m a b c ++=++注意：（i ）多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.（ii ）公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂.（iii ）提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列. 提取公因式的步骤“一找”：就是第一步要正确找出多项式中各项的公因式；“二提”：就是第二步将所找出的公因式提出来；“三去除”：就是当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的另一个因式.知识点3：运用公式法把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.（ⅰ）平方差公式 22()()a b a b a b -=+-注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么.（ⅱ）完全平方公式 2222222(),2()a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，清楚a 、b 分别表示的量。

因式分解教案6篇

因式分解教案6篇在教学工作者开展教学活动前，时常要开展教案准备工作，教案是教材及大纲与课堂教学的纽带和桥梁。

教案要怎么写呢？下面是精心整理的因式分解教案6篇，仅供参考，希望能够帮助到大家。

因式分解教案篇1知识点：因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。

教学目标：理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。

考查重难点与常见题型：考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。

重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。

习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。

教学过程：因式分解知识点多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积。

分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止。

分解因式的常用方法有：（1）提公因式法如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式。

（2）运用公式法，即用写出结果。

（3）十字相乘法对于二次项系数为l的二次三项式寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则对于一般的二次三项式寻找满足a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则（4）分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行。

分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。

（5）求根公式法：如果有两个根X1，X2，那么2、教学实例：学案示例3、课堂练习：学案作业4、课堂：5、板书：6、课堂作业：学案作业7、教学反思：因式分解教案篇2一、教材分析1、教材的地位与作用“整式的乘法”是整式的加减的后续学习从幂的运算到各种整式的乘法，整章教材都突出了学生的自主探索过程，依据原有的知识基础，或运用乘法的各种运算规律，或借助直观而又形象的图形面积，得到各种运算的基本法则、两个主要的乘法公式及因式分解的基本方法学生自己对知识内容的探索、认识与体验，完全有利于学生形成合理的知识结构，提高数学思维能力．利用公式法进行因式分解时，注意把握多项式的特点，对比乘法公式乘积结果的形式，选择正确的分解方法。

因式分解的常用方法目前最牛的教案

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=ma+b+c二、运用公式法.在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如：1a+ba-b = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=a+ba-b ；2 a ±b 2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=a ±b 2；3 a+ba 2-ab+b 2 =a 3+b 3------ a 3+b 3=a+ba 2-ab+b 2；4 a-ba 2+ab+b 2 = a 3-b 3 ------a 3-b 3=a-ba 2+ab+b 2．下面再补充两个常用的公式：5a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=a+b+c 2；6a 3+b 3+c 3-3abc=a+b+ca 2+b 2+c 2-ab-bc-ca ；三、分组分解法.一分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a ,后两项都含有b ,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系.解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式=))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组. 第二、三项为一组.解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy二分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组. 例4、分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=)()(22ay ax y x ++- 解：原式=222)2(c b ab a -+-=)())((y x a y x y x ++-+ =22)(c b a --=))((a y x y x +-+ =))((c b a c b a +---练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：13223y xy y x x --+ 2b a ax bx bx ax -+-+-223181696222-+-++a a y xy x 4a b b ab a 4912622-++-592234-+-a a a 6y b x b y a x a 222244+--7222y yz xz xy x ++-- 8122222++-+-ab b b a a9)1)(1()2(+---m m y y 10)2())((a b b c a c a -+-+四、十字相乘法.一二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解.特点：1二次项系数是1；2常数项是两个数的乘积；3一次项系数是常数项的两因数的和.思考：十字相乘有什么基本规律例.已知0＜a ≤5,且a 为整数,若223x x a ++能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax 2+bx+c,都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数. 于是98a ∆=-为完全平方数,1a =例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5.由于6=2×3=-2×-3=1×6=-1×-6,从中可以发现只有2×3的分解适合,即2+3=5. 1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数.例6、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6-1+-6= -7练习5、分解因式124142++x x 236152+-a a 3542-+x x 练习6、分解因式122-+x x 21522--y y 324102--x x 二二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：121a a a = 1a 1c221c c c = 2a 2c31221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x分析： 1 -23 -5-6+-5= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习7、分解因式：16752-+x x 22732+-x x3317102+-x x 4101162++-y y三二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数,把原多项式看成a 的二次三项式,利用十字相乘法进行分解. 1 8b1 -16b 8b+-16b= -8b解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++=)16)(8(b a b a -+练习8、分解因式12223y xy x +-22286n mn m +-3226b ab a --四二次项系数不为1的齐次多项式例例10、2322+-xy y x把xy 看作一个整体 1 -12 -3y 1 -2解：原式=)2)(1(--xy xy练习9、分解因式：1224715y xy x -+ 28622+-ax x a综合练习10、117836--x x 222151112y xy x --310)(3)(2-+-+y x y x 4344)(2+--+b a b a5222265x y x y x -- 62634422++-+-n m n mn m73424422---++y x y xy x 82222)(10)(23)(5b a b a b a ---++910364422-++--y y x xy x 102222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++五、换元法.例13、分解因式12005)12005(200522---x x22)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++解：1设2005=a ,则原式=a x a ax ---)1(22=))(1(a x ax -+=)2005)(12005(-+x x2型如e abcd +的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.原式=222)65)(67(x x x x x +++++设A x x =++652,则x A x x 2672+=++∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++=2)(x A +=22)66(++x x练习13、分解因式1)(4)(22222y x xy y xy x +-++ 290)384)(23(22+++++x x x x六、添项、拆项、配方法.例15、分解因式14323+-x x解法1——拆项. 解法2——添项.原式=33123+-+x x 原式=444323++--x x x x=)1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x =)44()43(2++--x x x x =)331)(1(2+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x =)44)(1(2+-+x x x =)44)(1(2+-+x x x =2)2)(1(-+x x =2)2)(1(-+x x 练习15、分解因式24224)1()1()1(-+-++x x x 31724+-x x 422412a ax x x -+++第二部分：习题大全经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式,叫做把这个多项式分解因式.2分解因式： m 3-4m= .3.分解因式： x 2-4y 2= __ _____.4、分解因式：244x x ---=___________ ______. 5.将x n -y n 分解因式的结果为x 2+y 2x+yx-y,则n 的值为 .6、若5,6x y xy -==,则22x y xy -=_________,2222x y +=__________.二、选择题7、多项式3222315520m n m n m n +-的公因式是A 、5mnB 、225m nC 、25m nD 、25mn8、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是A 、()()2339a a a +-=-B 、()()22a b a b a b -=+-C 、()24545a a a a --=--D 、23232m m m m m ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭ 10.下列多项式能分解因式的是Ax 2-y Bx 2+1 Cx 2+y+y 2 Dx 2-4x+411．把x －y 2－y －x 分解因式为A ．x －yx －y －1B ．y －xx －y －1C ．y －xy －x －1D ．y －xy －x ＋112．下列各个分解因式中正确的是A ．10ab 2c ＋6ac 2＋2ac ＝2ac5b 2＋3cB ．a －b 2－b －a 2＝a －b 2a －b ＋1C ．xb ＋c －a －ya －b －c －a ＋b －c ＝b ＋c －ax ＋y －1D ．a －2b3a ＋b －52b －a 2＝a －2b11b －2a13.若k-12xy+9x 2是一个完全平方式,那么k 应为.4 C三、把下列各式分解因式：14、nx ny - 15、2294n m -16、()()m m n n n m -+- 17、3222a a b ab -+ 18、()222416x x +- 19、22)(16)(9n m n m --+；五、解答题20、如图,在一块边长a =6.67cm 的正方形纸片中,挖去一个边长b =3.33cm 的正方形.求纸片剩余部分的面积.21、如图,某环保工程需要一种空心混凝土管道,它的规格是内径45d cm =,外径75D cm =，长3l m =.利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土π取,结果保留2位有效数字22、观察下列等式的规律,经典二：知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,在初中代数中占有重要的地位和作用,在其它学科中也有广泛应用,学习本章知识时,应注意以下几点.1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式,应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围,一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：1通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤.即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；2若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项添项等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容.1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例1. 分解因式x x x x x 54321-+-+-分析：这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解；也可把x x 54-,x x 32-,x -1分别看成一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解.解一：原式=-+--+()()x x x x x 54321解二：原式=()()()x x x x x 54321-+-+-2. 通过变形达到分解的目的例1. 分解因式x x 3234+-解一：将32x 拆成222x x +,则有解二：将常数-4拆成--13,则有3. 在证明题中的应用例：求证：多项式()()x x x 2241021100--++的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数,它们是完全平方数、绝对值.本题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数.证明：()()x x x 2241021100--++设y x x =-25,则4. 因式分解中的转化思想例：分解因式：()()()a b c a b b c ++-+-+2333分析：本题若直接用公式法分解,过程很复杂,观察a+b,b+c 与a+2b+c 的关系,努力寻找一种代换的方法.解：设a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B说明：在分解因式时,灵活运用公式,对原式进行“代换”是很重要的.中考点拨在∆ABC 中,三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++= 求证：a c b +=21. 若x 为任意整数,求证：()()()7342---x x x 的值不大于100.2. 将a a a a 222222216742++++++()()分解因式，并用分解结果计算。

因式分解公式法、十字相乘法-教师版

2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

主要有：平方差公式a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±()立方和、立方差公式a b a b a ab b 3322±=±⋅+()() 补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()() =++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++=（2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。

但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。

因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（）A. ()()()a b a b -++22B. ()()a b a b -++2C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。

再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。

同时要注意分解一定要彻底。

2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。

因式分解的7种方法和4种思路

因式分解的7种方法和4种思路因式分解是数学中的重要概念，它在代数运算和方程求解中起着重要的作用。

在因式分解问题中，常用的方法有7种，思路有4种。

本文将详细介绍这7种方法和4种思路，并给出相应的例子进行说明。

方法一：公因式提取法如果一个多项式中所有的项都有一个公因式，我们可以从每一项中提取出这个公因式，然后将剩下的部分进行合并。

这个过程又叫公因式提取法。

例如，对于一个多项式3x+6y，我们可以提取出公因式3，得到3(x+2y)。

方法二：配方法配方法又叫做两项平方差公式法，它适用于一个多项式是两项的平方差的情况。

对于a²-b²这种形式的多项式，我们可以使用公式(a+b)(a-b)把它分解。

例如，对于多项式x²-4，我们可以使用配方法得到(x+2)(x-2)。

方法三：分组法当一个多项式中存在多个项时，我们可以将这些项分成若干组，然后将每个组内的项进行合并。

这个过程叫做分组法。

例如，对于多项式3ab + 2ac + 6bd + 4cd，我们可以将它分为两组：(3ab + 2ac)和(6bd + 4cd)，然后将每个组内的项提取公因式。

最后得到a(3b + 2c) + 2d(3b + 2c)。

方法四：差的平方公式当一个多项式是两个数的平方差的情况，我们可以使用差的平方公式进行因式分解。

对于a² - 2ab + b²或者a² + 2ab + b²这种形式的多项式，我们可以使用公式(a - b)²或(a + b)²来分解。

例如，对于多项式x² - 4xy + 4y²，我们可以使用差的平方公式得到(x - 2y)²。

方法五：三项平方差公式当一个多项式是三个数的平方差的情况，我们可以使用三项平方差公式进行因式分解。

对于a³ - 3a²b + 3ab² - b³或者a³ + 3a²b + 3ab² + b³这种形式的多项式，我们可以使用公式(a - b)³或(a + b)³来分解。

_七年级秋季班-第6讲：因式分解(一)-教师版

本节课我们开始学习因式分解的方法，在学习中同学们需要正确理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的区别．首先要理解因式与公因式的概念，进而掌握因式分解两种方法——提取公因式法和公式法．重点会运用两种方法进行分解因式，并养成首先运用提取公因式法分解的习惯，并熟记平方差公式和完全平方公式．难点是提取公因式法需要注意公因式的符号问题，理解公式法分解因式实质上是乘法公式的一种逆向运用．能够熟练结合两种方法进行分解因式．1、因式分解的概念：（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．（2）因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解：因式分解多项式（和的形式整式的积（积的形式）整式乘法因式分解（一）内容分析知识结构模块一：提取公因式法知识精讲2、因式、公因式的定义（1）几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的因式．例如式子6ab中，6、a、b就是6ab 的因式．（2）一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．例如，在多项式+-中都含有因式m，则m就是这个多项式的公因式．ma mb mc3、确定公因式的方法（1）确定系数的公因数——多项式中各项系数的最大公约数（系数都为整数）．（2）确定字母的公因式——多项式中各项都含有的相同字母的最低次幂．（3）确定的各项系数的最大公约数和各项都含有的相同的字母的最低次幂的乘积就是这个多项式的公因式．4、提取公因式法（1）如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来，作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．（2）提取公因式的步骤：“一找、二提、三去除”一找：第一步要正确找出多项式中各项的公因式；二提：第二步将所找出的公因式提出来；三去除：第三步当提出公因式后，直接观察剩下的另一个因式，即为提出公因式后剩下的另一个因式．5、注意事项（1）如果多项式的首项是负数时，一般先提出“—”号，使括号内的第一项系数是正数．（2）利用提取公因式法分解因式是，一定要“提干净”．（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致．（4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式．【例1】填空：（1）单项式22233221284a b c a b a b c -，，应提取的公因式是_______；（2）多项式2226a b ab c -应提取的公因式是________；（3）()()22921()()b a x y a b y x -----应提取的公因式是_________；（4）多项式32234812a b a b ab -+提取公因式后，另一个因式是_______________；（5）多项式2963x xy x --+提取公因式后，另一个因式是_______________；（6）24()3()x x y y x ---提取公因式()x y -后，另一个因式是_________________．【难度】★【答案】（1）224a b ；（2）2ab ；（3）23()()a b x y --；（4）2223a ab b -+；（5）321x y +-；（6）3x y +．【解析】略．【总结】本题考察了公因式的概念．【例2】在下列等式右边的括号前填上“+”号或“－”号，使等式成立．（1）()22____()a b b a -=-；（2）()33____()a b b a -=-；（3）()22____()a b a b --=+；（4）()33____()a b a b --=+；（5）()23231(2)____(1)(2)a b a b --=--；（6）()1(2)____(1)(2)x x x x --=--．【难度】★【答案】（1）+；（2）－；（3）+；（4）－；（5）－；（6）+．【解析】略．【总结】本题考察了添括号法则的运用．例题解析【例3】下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）．A .21231(23)x x x x ++=++B .242228=⨯⨯⨯C .11(1)xy xy xy-=-D .221139342a a a ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭【难度】★ 【答案】D【解析】因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，A 选项右侧不是乘积形式； B 选项左侧不是多项式； C 选项右侧出现了分式作为因式；故选择D ．【总结】本题考察了因式分解的概念．【例4】多项式22(1)n a a n -≥提取公因式后，另一个因式是（）． A .n aB ．1n a -C .211n a --D .221n a --【难度】★ 【答案】D【解析】原式=222(1)n a a --，故选择D ．【总结】本题考察了提公因式法分解因式．【例5】把33244239a b a b -分解因式的结果是_________________．【难度】★ 【答案】232(6)9a b a b -．【解析】原式=232(6)9a b a b -．【总结】本题考察了提公因式法因式分解．【例6】（1）如果24,3x y xy +==，那么222x y xy +的值是____________；（2）多项式25(2)2(2)a b a a b +-+的值等于15，且3103a b +=，则2____a b +=．【难度】★★【答案】（1）12；（2）5．【解析】（1）原式=(2)12xy x y +=；（2）由已知得：(2)[5(2)2]15a b a b a ++-=，即(2)(310)15a b a b ++=3103a b +=，25a b ∴+=．【总结】本题考察了提公因式法进行因式分解．【例7】把下列各式因式分解（1）332154530a b a b ab -+-；（2）323432224164896a b c a b c a b c +-；（3）22643ax x a -+-；（4）2()()()()m n p q n m q p -----；（5）3(4)(4)(4)x x y x y x y --+-+；（6）2(1)(1)(1)p q r q r q q r -+--+-+--；（7）112n n n x x x +--+（n 为大于1的整数）；（8）21214612n n n n n x y x y x y ++--+（n 是大于2的整数）．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=2215(32)ab a b a --+；（2）原式=2222216(36)a b c ac a b c +-；（3）原式=22(96)3ax x a --+；（4）原式=2()()()()m n p q m n p q --+--()()[1()]m n p q m n =--+- ()()(1)m n p q m n =--+-；（5）原式=3(4)(4)(4)(4)(7)x x y x y x y x y x y -++-=-+ （6）原式=2(1)(1)(1)p q r q q r q r -+--+-++- =(1)(1)q r p q q r +---++- =(1)(q r -+-（7）原式=12(2)n x x x --+；（8）原式=21222(236)n n n x y x y x y ---+；【总结】本题考察了提公因式法因式分解；【例8】利用简便方法计算：（1）5.781247 5.78 5.7841⨯+⨯+⨯；（2）2017201651010⨯-．【难度】★★【答案】（1）578；（2）20174.910⨯．【解析】（1）原式=5.78(124741)578++=；（2）原式=2016201710(501) 4.910-=⨯．【总结】本题考察了提公因式法在简便运算中的应用．【例9】已知关于x 的二次三项式22x mx n ++因式分解的结果是()1214x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，求m n 、的值．【难度】★★【答案】1124m n =-=-，．【解析】由已知得：212(21)()4x mx n x x ++=-+，22112224x mx n x x ∴++=--，∴1124m n =-=-，．【总结】本题考察了因式分解的概念．【例10】试判断181920555++能否被31整除．【难度】★★ 【答案】能．【解析】原式=182185(155)531++=⨯，能被31整除．【总结】本题考察了提公因式法的应用．【例11】已知代数式11111)(11)(1)261220x x x x ++++++++（）（ (1)190x ++（）的值是27，求x 的值．【难度】★★★ 【答案】29x =．【解析】由已知得：111(1)()272690x ++++= 111(1)()271223910x ++++=⨯⨯⨯ 11111(1)(1)27223910x +-+-++-= 1(1)(1)2710x +-= 解得：29x = 【总结】本题考察了提公因式法的应用．【例12】若多项式()()()()M b a b a c c a b c a =--+--，且234a b c ==，求Mabc的值．【难度】★★★【答案】112-．【解析】()()()()()()()M b a b a c c a b a c a b a c b c =-----=---，设233a k b k c k ===，，，则原式=()(2)()123412k k k k k k ---=-⋅⋅．【总结】本题考察了提公因式法的应用．师生总结观察最后的结果，分解因式与整式乘法有什么区别呢？1、公式法逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法． 2、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征是：（1）公式左边必须是一个二项式，且符号相反；（2）两项中的每一项必须是某个数或某个式子的平方形式；（3）右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积；（4）公式中字母“a ”和“b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式． 3、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±运用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征是：（1）公式的左边必须是一个三项式，且可以看成是一个二次三项式；（2）其中两项的符号必须是正的，且能写成某两个数或两个式子的平方形式；而另一项的绝对值必须是前两项中两个数或两个式子的乘积的2倍；（3）右边分解的结果是这两个数或两个式子的和或差的完全平方，其和或差与左边第二项的符号相同；（4）公式中字母“a ”和“b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式． 4、补充公式（1）3322()()a b a b a ab b +=+-+ ；（2） 3322()()a b a b a ab b -=-++；（3）3223333()a a b ab b a b +++=+；（4）3223333()a a b ab b a b -+-=- ；（5）2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++．模块二：公式法知识精讲【例13】因式分解()219x --的结果是（）．A .()()81x x ++B .()()24x x +-C .()2(4)x x -+D .()()108x x -+【难度】★ 【答案】B【解析】原式=(13)(13)(2)(4)x x x x -+--=+-．【总结】本题考察了利用平方差公式分解因式．【例14】下列因式分解正确的是（）． A .2244(4)x x x ++=+B .()2242121x x x -+=-C .2296()()(3)m n m n m n --+-=--D .2222()a b ab a b --+=--【难度】★ 【答案】D【解析】A 选项应为：2(2)x +； B 选项不满足完全平方公式，不能因式分解； C 选项应为：22[3()](3)m n m n --=-+；D 选项正确．【总结】本题考察了完全平方公式因式分解．例题解析【例15】分解因式：（1）2249______a b -=；（2）24______n x -=；（3）()22()_________a b c d +--=；（4）39_______a b ab -=；（5）219_______9a -+=；（6）2258064___________a a -+=；（7）22168____________xy x y ---=；（8）()()269_________a b a b +-++=．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=(23)(23)a b a b +-；（2）原式=(2)(2)n n x x +-；（3）原式=()()a b c d a b c d ++-+-+；（4）原式=2(91)(31)(31)ab a ab a a -=+-；（5）原式=211(811)(91)(91)99a a a --=-+-；（6）原式=2(58)a -；（7）原式=222(168)(4)xy x y xy -++=-+；（8）原式=2(3)a b +-．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解．【例16】请写出6421-的两个因数_____________________．【难度】★【答案】3216(21)(21)25517531++、、、、、、（任写两个）．【解析】∵64321684221(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)-=++++++-， 6421∴-的因数是：3216(21)(21)25517531++、、、、、、．【总结】本题考察了平方差公式分解因式．【例17】利用立方差（和）公式进行分解因式：（1）66a b -；（2）338x y +；（3）523972x x y -．【难度】★★ 【答案】见解析；【解析】（1）原式=33332222()()()()()()a b a b a b a ab b a b a ab b +-=+-+-++；（2）原式=22(2)(42)x y x xy y +-+；（3）原式=2332229(8)9(2)(24)x x y x x y x xy y -=-++．【总结】本题考察了立方和和立方差公式进行因式分解．【例18】分解因式：（1）()22425()x y x y --++；（2）()44()x y x y +--；（3）()344a b a b +--；（4）2214xy x y --；（5）2()4()4()x m n x n m n m -----．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=[5()2()][5()2()](73)(37)x y x y x y x y x y x y ++-+--=++；（2）原式=222222[()()][()()]8()x y x y x y x y xy x y ++-+--=+；（3）原式=32()4()()[()4]()(2)(2)a b a b a b a b a b a b a b +-+=++-=++++-；（4）原式=22211(441)(21)44x y xy xy --+=--；（5）原式=22()4()4()()(2)x m n x m n m n m n x -+-+-=-+．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的合理运用．【例19】分解因式：（1）117147m m m a a a +--+；（2）()24(1)a b a b +-+-；（3）()22248(4)16a a a a ++++；（4）()()()212222221025n n nx y x y x y ++---+-．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=12127(21)7(1)m m a a a a a ---+=-；（2）原式=22()4()4(2)a b a b a b +-++=+-；（3）原式=224(44)(2)a a a ++=+；（4）原式=2222222()[()10()25]n x y x y x y ----+ =222()()(5)n n x y x y x y +---．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的合理运用．【例20】利用简便方法计算：（1）2250420172015-；（2）29984-；（3）221515105+⨯+；（4）2219821989898-⨯⨯+．【难度】★★【答案】（1）116；（2）996000；（3）400；（4）10000．【解析】（1）原式=5045041(20172015)(20172015)4032216==+-⨯；（2）原式=(9982)(9982)996000+-=；（3）原式=2(155)400+=；（4）原式=2(19898)10000-=．【总结】本题考察了因式分解在简便运算中的应用．【例21】计算：222211*********n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】12n n+．【解析】原式=111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233n n-+-+-+=1324112233n n n n-+⨯⨯⨯⨯=112n n+⨯=12n n+．【总结】本题考察了公式法因式分解在分数运算中的运用．【例22】已知2220162016x x y y -=-=，，且x y ≠，求222x xy y ++的值．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由已知得：22()()0x x y y ---=，即220x y x y --+=， ∴22()0x y x y ---=，即()(1)0x y x y -+-=．x y ≠，2()1x y ∴=+=原式．【总结】本题考察了公式法因式分解的运用．【例23】已知多项式1442a b a b S ++=+-，问：S 是否一定是非负数？请说明理由．【难度】★★【答案】S 一定是非负数．【解析】222(2)222(2)(22)0a a b b a b S =-⋅⋅+=-≥， ∴S 一定是非负数．【总结】本题考察了完全平方公式分解因式．【例24】已知2222210a ab b a b ++--+=，求22a a b b -+-的值．【难度】★★★ 【答案】0．【解析】由已知，得：2()2()10a b a b +-++=，即2(1)0a b +-=． 10a b ∴+-=，∴原式=22()()()(1)0a b a b a b a b ---=-+-=．【总结】本题考察了公式法因式分解的运用．【例25】请观察以下解题过程；分解因式：4261x x -+．解：4242261241x x x x x -+=--+()()()()422222222141(2)1212x x xx x x x x x =-+-=--=-+--以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式：4279a a -+．【难度】★★★【答案】22(3)(3)a a a a -+--．【解析】原式=42269a a a --+ =422(69)a a a -+- =222(3)a a --=22(3)(3)a a a a -+--．【总结】本题考察了利用拆项法进行分解因式．【例26】已知多项式()2222224S a b c a b =+--，求：（1）对于S 进行因式分解；（2）当a b c 、、是△ABC 的三边的长时，判断S 的符号．【难度】★★★【答案】（1）()()()()a b c a b c a b c a b c +++--+--；（2）0S <．【解析】（1）原式=222222(2)(2)a b c ab a b c ab +-++-- =2222[()][()]a b c a b c +---=()()()()a b c a b c a b c a b c +++--+--；（2）由已知得：000a b c a b c a b c a b c ++>+->-+>--<，，，， 0S ∴<．【总结】本题一方面考察了公式法因式分解的运用，另一方面考查三角形三边关系的运用．【习题1】分解因式：（1）2()()()a a b a b a a b +--+；（2）22(1)1a b b b b -+-+-；（3）22122x y -+；（4）44a b -；（5）3269x x x -+；（6）2243()27()x x y y x ---；（7）2121()()m m p q q p +--+-；（8）()24520(1)x y x y ++-+-．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=()()2()a a b a b a b ab a b +---=-+；（2）原式=222(1)(1)(1)(1)a b b b b b b a -+--+=-+-；（3）原式=2211(4)(2)(2)22x y x y x y --=-+-；（4）原式=222222()()()()()a b a b a b a b a b +-=++-；（5）原式=22(69)(3)x x x x x -+=-；（6）原式=2243()27()x x y x y --- =2223()[9()]x y x x y ---=23()[3()][3()]x y x x y x x y -+--- =23()(43)(23)x y x y x y ----；（7）原式=2121()()m m p q p q +---- 212()[()1]m p q p q -=---21()(1)(1)m p q p q p q -=--+--；（8）原式=224()20()25(225)x y x y x y +-++=+-．【总结】本题主要考察分解因式的综合运用．随堂检测【习题2】若a ，b ，c 是三角形三边的长，则代数式2222a b c ab +--的值( )．A ．大于零B ．小于零C ．大于或等于零D ．小于或等于零【难度】★ 【答案】B【解析】原式=22()()()a b c a b c a b c --=-+--0,0a b c a b c -+>--<0∴<原式，选择B ．【总结】本题考察了因式分解的运用及三角形三边的关系的运用．【习题3】已知长方形的长为23x y -，面积为2249x y -，则此长方形的周长为________．【难度】★ 【答案】8x ．【解析】249(23)(23)x y x y x y -=+-， 23x y ∴+宽为：，2(2323)8x y x y x ∴=-++=周长．【总结】本题考察了利用平方差公式进行因式分解在实际问题中的运用．【习题4】已知12x y xy -==，，则32232x y x y xy -+的值为___________．【难度】★ 【答案】2．【解析】原式=222(2)()2xy x xy y xy x y -+=-=．【总结】本题考察了利用因式分解进行代数式的求值．【习题5】分解因式：（1）75()()a b b a -+-；（2）61264x y -；（3）22224946a b c d ac bd -+-++；（4）()()222248416x x x x ++++；（5）2222x y z yz ---；【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=75()()a b a b --- =52()[()1]a b a b ---=5()(1)(1)a b a b a b --+--；（2）原式=3636(8)(8)x y x y +-=22242224(2)(42)(2)(42)x y x xy y x y x xy y +-+-++；（3）原式=22(2)(3)(23)(23)a c b d a c b d a c b d +--=++-+-+；（4）原式=224(44)(2)x x x ++=+；（5）原式=22()()()x y z x y z x y z -+=++--．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的准确运用．【习题6】分解因式：（1）2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--，n 为正整数；（2）22()()()()()()a b b c a c a b a b a b c a b c ++-+-+--+--；（3）322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +-+-+--+----．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=22()(22)()()n n x y x y x z y z x y y z ---++-=--；（2）原式=22()()[()()]b c a c a b a b a b +-+-+-- =()()()()b c a c a b a b a b a b a b +-+-++-+-+ =4()()ab b c a a c b +-+-；（3）原式=322()()()()()x x y z y z a x z x y z x y x y z x z a +-+--+--+--- =2()[()()]x x y z x y z a z y x z a +-+----- =2()()x x y z xz ax z yz ay +---++．【总结】本题考察了因式分解的综合运用，注意对恰当方法的选择．【习题7】不解方程组2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，求代数式()()237323y x y y x ---的值．【难度】★★ 【答案】21；【解析】原式=237(3)2(3)y x y x y -+- =2(3)[72(3)]x y y x y -+- =2(3)(2)x y x y -+， ∴原式=2166⨯=．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值章的应用．【习题8】利用分解因式证明：712255-能被120整除．【难度】★★ 【答案】略．【解析】原式=14121221211555(51)5245120-=-=⨯=⨯， ∴原式能被120整除．【总结】本题考察了因式分解在数整除中的应用．【习题9】已知 3.43 3.14x y ==，，求221222x xy y ---的值．【难度】★★ 【答案】50-．【解析】原式=22211(44)(2)22x xy y x y -++=-+，当 3.43 3.14x y ==，时，原式=2110502-⨯=-．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【习题10】求代数式的值：22(32)(21)(32)(21)(21)(23)x x x x x x x -+--+++-，其中23x =-．【难度】★★ 【答案】4-．【解析】原式=22(32)(21)(32)(21)(21)(32)x x x x x x x -+--+-+- =(32)(21)(3221)x x x x x -+---- =3(32)(21)x x --+，当23x =-时，原式=43(4)(1)43-⨯-⨯-+=-．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【习题11】化简下列多项式：()()()()23201611111x x x x x x x x x ++++++++++．【难度】★★★ 【答案】2016(1)x +．【解析】原式=232016(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x ++++++++++ =232015(1)[1(1)(1)(1)(1)]x x x x x x x x x ++++++++++ =2232014(1)[1(1)(1)(1)(1)]x x x x x x x x x ++++++++++=2015(1)(1)x x ++ =2016(1)x +．【总结】本题考察了因式分解的综合运用．【习题12】已知2244241a ab b a b ++--+=2m ，试用含a 、b 的代数式表示m ．【难度】★★★【答案】(21)m a b =±+-．【解析】化简得：22(2)2(2)1a b a b m +-++=，即22(21)a b m +-=，所以(21)m a b =±+-．【总结】本题考察了因式分解的运用．【习题13】已知：2b c a +-=-，求22221()()(222)33333a a b c b c a b c b c a --+-+++-的值．【难度】★★★ 【答案】83．【解析】原式=222()()()333a a b c b c a b c b c a --+-+++-=222()()()333a a b c b a b c c a b c --------=2()()3a b c a b c ----=22()3a b c --，2b c a +-=-，∴原式=228233⨯=．【习题14】若a ，b ，c 为正数，且满足444222222a b c a b b c c a ++=++，那么a b c 、、之间有什么关系？【难度】★★★ 【答案】a b c ==．【解析】化简得：4442222220a b c a b a c b c ++---=，则2222221[()()()]02a b a c b c -+-+-=． 222a b c ∴==， ∵a ，b ，c 为正数， a b c ∴==．【总结】本题考察了因式分解的应用，综合性较强，注意认真分析．【作业1】把多项式223436129m n m n n --+分解因式时，应提取的公因式是（）．A .226m n -B .26n -C .223m n -D .23n -【难度】★ 【答案】D 【解析】略【总结】本题考察了公因式的概念．【作业2】因式分解221448x y xy --+的结果是（）．A .()()12124(2)x x y y x +---B .21(22)x y --C .()()122122x y x y +--+D .()()122122x y x y ++--【难度】★ 【答案】C【解析】原式=22214(2)14()(122)(122)x xy y x y x y x y --+=--=+--+，选择C ；【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解．课后作业【作业3】已知2x y +=，求221122x y xy ++的值．【难度】★ 【答案】2．【解析】原式=222111(2)()42222x xy y x y ++=+=⨯=．【总结】本题考察了因式分解的应用．【作业4】若关于x 的多项式()()24217x ax b --+可提取公因式21x -，且3a b -=，a b 、为整数，则_________a b ==，．【难度】★ 【答案】2，－1．【解析】设2a k b k ==-，，则：2()3k k --=，解得：1k =， 21a b ∴==-，．【总结】本题考察了利用提公因式法进行分解因式．【作业5】分解因式：（1）34xy xy -；（2）3222524261352xy z xy z x y z -++；（3）22()()a x y b y x -+-；（4）22(5)2(5)(3)(3)m n n m n m n m +-+-+-；（5）22229()6()()a b a b a b ++-+-．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=2(4)(2)(2)xy y xy y y -=+-；（2）原式=224213(214)xy z y x z ---；（3）原式=22()()()()()x y a b x y a b a b --=-+-；（4）原式=22[(5)(3)]16(2)m n n m m n +--=-；（5）原式=22(33)4(2)a b a b a b ++-=+．【总结】本题考察了因式分解的综合运用，注意方法的合理运用．【作业6】用合理方法计算：（1）201720161.11010⨯-；（2）10595⨯；（3）221.25141258.6⨯-⨯．【难度】★★【答案】（1）201710；（2）9975；（3）－9000．【解析】（1）原式=20162016201710(1.1101)101010⨯-=⨯=；（2）原式=(1005)(1005)10000259975+-=-=；（3）原式=22221.2514 1.2586 1.25(1486) 1.25100(72)9000⨯-⨯=-=⨯⨯-=-．【总结】本题考察了因式分解在简便运算中的运用．【作业7】已知9692a b ==，，求222669a ab b a b -+-++的值．【难度】★★ 【答案】1．【解析】原式=22()6()9(3)a b a b a b ---+=--，当9692a b ==，时，原式=1．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【作业8】已知22106210x xy y x ++-+=，求()20102x y +的值．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由已知得：222(96)(21)0x xy y x x +++-+=，即22(3)(1)0x y x ++-=． 3010x y x ∴+=-=，，解得：13x y ==-，，1∴=原式．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【作业9】当x a b y a b =-=+，时，求代数式()222222()x y x y +--的值．【难度】★★【答案】224()()a b a b -+．【解析】原式=22222222()()x y x y x y x y ++-+-+ =224x y ，当x a b y a b =-=+，时，原式=224()()a b a b -+．【总结】本题考察了因式分解的应用；【作业10】因式分解：()139()nn a b b a +---．【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）当n 为偶数时，原式=13()9()3()(133)n n n a b a b a b a b +-+-=-+-；（2）当n 为奇数时，原式=13()9()3()(133)n n n a b a b a b a b +---=--+．【总结】本题考察了因式分解的应用，注意对n 的分类讨论．【作业11】证明：当n 为整数时，3n n -的值必定是6的倍数．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】原式=2(1)(1)(1)n n n n n -=+-．11n n n -+、、为相邻三个自然数，则必有一个数为偶数，一个数为3的倍数，3n n ∴-必定是6的倍数．【总结】本题考察了因式分解在数的整除中的应用．【作业12】先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：44x+．解：4422222+=++-=+-x x x x x x4444(2)422（．=++-+22)(22)x x x x以上解法中，在44x+的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值与44x+的值保持不变，必须减去同样的一项．请用上述方法分解下列各式：（1）4224x y+．++；（2）4464x x y y【难度】★★★【答案】（1）2222x y xy x y xy(84)(84)-+-+x y xy x y xy()()+++-；（2）2222【解析】（1）原式=422422=+--2222()()x y xy x y xyx y x y=+++-；()x x y y x y2++-22222（2）原式=442222x y x y--(8)16++-=22222166416x y x y x y=2222-+-+．x y xy x y xy(84)(84)。

因式分解之提取公因式法及运用公式法

提取公因式法及运用公式法【知识要点】1、分解因式2、分解因式的方法：（1）提公因式法 (找公因式的方法) ① ② ③ （2）公式法a 2－b 2= a 2+2ab+b 2=a 2－2ab+b 2=（a －b ）2a 3－b 3=（a －b ）（a 2+ab+b 2）a 3+b 3=（a+b ）（a 2－ab+b 2）【典型例题】例1 下列从左到右的变形,属于分解因式的是( )A. (x+3)(x －2)=x 2+x －6 B. ax －ay+1=a(x －y)+1 C. x 2－21y=(x+y 1)(x －y 1) D. 3x 2+3x=3x(x+1) 例2 把下列各式分解因式：（1）3525x x + （2）121m nm n a b a b -+-（3）253243143521x y x y x y +- （4）()()23a a b a b a ---（5）()()2222nmn mm n m n + （6）3223232125a b c ab c a b c +-例3 把下列各式分解因式：（1）a 2－4b 2；（2）24251b a +-（3）()()22916b a b a +-- （4）442-+-x x（5）()()122++++b a b a （6）()222224y x y x -+（7）x x x ++232；（8）()()()()229262n m n m m n n m +++---例4 计算：（1）20022－2001×2003－9992；（2）20002－4000×1999+19992例5 分解因式()()()()222510b a b a n m n m ++++-+例6 已知在三角形ABC 中，222166100a b c ab bc --++=（a 、b 、c 是三角形三边的长），求证：2a c b +=。

【大展身手】一、填空题1．分解因式2x(b －a)+y(a －b)+z(b －a)= . 2.－4a 3b 2+6a 2b －2ab=－2ab( ).3.(－2a+b)(2a+3b)+6a(2a －b)=－(2a －b) ( ).4. 分解因式－(a －b)mn －a + b= . 5．因式分解9m 2－4n 4=( )2－( )2= 。

因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤

因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析：1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

北师大版初中数学因式分解教案

教案北师大版初中数学因式分解教案教学目标：1. 理解因式分解的概念和意义。

2. 学会运用提公因式法和公式法进行因式分解。

3. 能够解决实际问题中的因式分解问题。

教学重点：1. 因式分解的概念和意义。

2. 提公因式法和公式法的运用。

教学难点：1. 公式法的运用。

2. 解决实际问题中的因式分解问题。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 练习题。

教学过程：一、导入1. 引导学生回顾已学的乘法运算，如 a(b+c)=ab+ac。

2. 提问：能否将一个多项式表示为几个整式的乘积形式？二、新课讲解1. 讲解因式分解的概念和意义。

2. 讲解提公因式法，并通过例题进行演示。

3. 讲解公式法，包括平方差公式和完全平方公式，并通过例题进行演示。

三、课堂练习1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

2. 教师巡回指导，解答学生疑问。

四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调因式分解的概念和意义。

五、课后作业1.布置相关的因式分解练习题，要求学生在课后独立完成。

教学反思：本节课通过讲解、演示和练习，让学生掌握了因式分解的概念、意义和运用方法。

在教学过程中，要注意引导学生理解因式分解的意义，培养学生运用提公因式法和公式法进行因式分解的能力。

同时，要加强课堂练习，及时解答学生疑问，提高学生的学习效果。

教案探索自然之美——初中生物生态系统的教案教学目标：1. 理解生态系统的概念和组成。

2. 掌握生态系统中生产者、消费者和分解者的作用。

3. 学会分析不同类型的生态系统，如森林、草原、湿地等。

教学重点：1. 生态系统的概念和组成。

2. 生产者、消费者和分解者的作用。

教学难点：1. 生态系统中各组成部分之间的相互关系。

2. 分析不同类型的生态系统。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 相关的生态系统图片或视频资料。

3. 练习题。

教学过程：一、导入1. 引导学生观察教室内的植物，提问：植物是如何生存的？2. 引导学生思考植物与其他生物之间的关系。

2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章一元二次方程(教案)因式分解法教案

21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法一、教学目标【知识与技能】1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.【过程与方法】在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.【情感态度与价值观】通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】会用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】理解并应用因式分解法解一元二次方程.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.解一元二次方程的方法有哪些？（出示课件2）学生答：直接开平方法：x2=a (a≥0)，配方法：(x+m)2=n (n≥0)，公式法：x=2ba-±（b2-4ac≥0）.2. 什么叫因式分解?学生答：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式.3.分解因式的方法有那些?（出示课件3）学生答：（1）提取公因式法:am+bm+cm=m(a+b+c).（2）公式法:a²-b²=(a+b)(a-b), a²±2ab+b²=(a±b) ².（3）十字相乘法.教师问：下面的方程如何使解答简单呢？x2+25x=0.出示课件5：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）教师问：你能根据题意列出方程吗？学生答：设物体经过x s 落回地面，这时它离地面的高度为0m ，即10x -4.9x 2=0.教师问：你能想出解此方程的简捷方法吗？（二）探索新知探究因式分解法的概念学生用配方法和公式法解方程10x -4.9x 2=0.（两生板演）配方法解方程10x -4.9x 2=0. 解：2100049x x -=，22210050500494949x x ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2250504949x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭50504949x -=±50504949x =±+110049，=x 20.=x公式法解方程10x -4.9x 2=0.解：24.9100x x -=，a=4.9，b=－10，c=0.b 2－4ac= (－10)2－0=100，a acb b x 242-±-=()10102 4.9--±=⨯110049，=x20. =x教师引导学生尝试找出其简洁解法为：（出示课件7）x(10-4.9x)=0. ∴x=0或10-4.9x=0, ∴x1=0,x2=10049≈2.04.这种解法是不是很简单？教师问：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?x(10-4.9x)=0，①x=0或10-4.9x=0,②通过学生的讨论、交流可归纳为：（出示课件8）可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解法叫做因式分解法．教师提示：（出示课件9）1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的方法;3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0 ”.师生共同归纳：（出示课件10）分解因式法解一元二次方程的步骤是:1.将方程右边化为等于0的形式；2.将方程左边因式分解为A×B；3.根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程；4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.例1 解下列方程：（出示课件11）（1）x(x-2)+x-2=0; (2)5x 2-2x-14=x 2-2x+34. 师生共同解答如下：解：（1）因式分解，得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.∴x 1=2,x 2=-1;（2）原方程整理为4x 2-1=0.因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0.∴2x+1=0或2x-1=0.∴x 1=-12,x 2=12. 想一想以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点.学生思考后，教师总结如下：（出示课件12）一.因式分解法简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解.二.选择解一元二次方程的技巧：1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的方程.2.因式分解法适用于能化为两个因式之和等于0的形式的方程.3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程.出示课件13：解下列方程：2222221 +=0; (2) -=0; (3) 3-6=-3;(4) 4-121=0; (5) 3(2+1)=4+2; (6) (-4)=(5-2).（）x x x x x x x x x x x 学生自主思考并解答.（六生板演）解：⑴因式分解，得x(x+1)=0.于是得x=0或x+1=0，x 1=0,x 2=－1.⑵因式分解，得x （x）=0于是得x=0或x-2=0x1=0,x2=2.⑶将方程化为x2－2x+1 = 0. 因式分解，得(x－1)(x－1)=0.于是得x－1=0或x－1=0，x1=x2=1.⑷因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.于是得2x+11=0或2x-11=0，x1=-5.5,x2=5.5.⑸将方程化为6x2－x－2=0. 因式分解，得(3x－2)(2x+1)=0. 于是得3x－2=0或2x+1 = 0，x1=23，x2=12.⑹将方程化为(x－4)2－(5－2x)2=0.因式分解，得(x－4－5+2x)(x－4+5－2x)=0.(3x－9)(1－x)=0.于是得3x－9=0或1-x=0，x1=3，x2=1.出示课件16：用适当方法解下列方程：−x)2；(2)x2－6x－19＝0；(3)3x2＝4x＋1;(4)y2－15＝2y；(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.教师提示：根据方程的结构特征，灵活选择恰当的方法来求解.四种方法的选择顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法．师生共同解答如下.（出示课件17,18,19）解：(1)(1－x)2＝3，∴(x－1)2＝3，x－1∴x1＝1x2＝1.(2)移项，得x2－6x＝19.配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28.∴x－3＝±.∴x1＝3＋，x2＝3－.(3)移项，得3x2－4x－1＝0.∵a＝3，b＝－4，c＝－1，∴x＝−（−4）±√（−4）2−4×3×（−1）2×3＝2±73.∴x1＝2＋73，x2＝2－73.(4)移项，得y2－2y－15＝0.把方程左边因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0. ∴y－5＝0或y＋3＝0.∴y1＝5，y2＝－3.(5)将方程左边因式分解，得(x－3)[5x－(x＋1)]＝0. ∴(x－3)(4x－1)＝0.∴x－3＝0或4x－1＝0.∴x1＝3，x2＝1 4 .6)移项，得4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0.∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0.∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0. ∴(11x－8)(x＋12)＝0.∴11x－8＝0或x＋12＝0.∴x1＝811，x2＝－12.出示课件20,21：用适当的方法解下列方程：(1)x2－41＝0；(2) 5(3x＋2)2＝3x(3x＋2)．学生自主思考并解答.解：(1)∵x2－14＝0，∴x2＝14，即x＝±14.∴x1＝12，x2＝－12.⑵原方程可变形为5(3x＋2)2－3x(3x＋2)＝0，∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.∴3x＋2＝0或12x＋10＝0.∴x1＝－23，x2＝－56.（三）课堂练习（出示课件22-30）1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为．2. 解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．3.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12.4.小华在解一元二次方程x2－x＝0 时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是（）A．x＝4 B．x＝3C．x＝2 D．x＝05.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.我选择______________________.6.解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.参考答案：1.-32.解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），移项得2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，解得：x1=3,x2=32．3.解：⑴x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.⑵x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.4.D5.解：答案不唯一．若选择①，①适合公式法，x2－3x＋1＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝3±5 2.∴x1＝3＋52，x2＝3－52.若选择②，②适合直接开平方法，∵(x－1)2＝3，x－1＝±3，∴x1＝1＋3，x2＝1－ 3. 若选择③，③适合因式分解法，x2－3x＝0，因式分解，得x(x－3)＝0.解得x1＝0，x2＝3.若选择④，④适合配方法，x2－2x＝4，x2－2x＋1＝4＋1＝5，即(x－1)2＝5.开方，得x－1＝± 5.∴x1＝1＋5，x2＝1－ 5.5.提示：把(x2＋3)看作一个整体来提公因式，再利用平方差公式，因式分解.解：设x2＋3＝y，则原方程化为y2－4y＝0.分解因式，得y(y－4)＝0，解得y＝0，或y＝4.①当y＝0 时，x2＋3＝0，原方程无解；②当y＝4 时，x2＋3＝4，即x2＝1.解得x＝±1.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1.（四）课堂小结1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细节问题？2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会?⑴公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.⑵方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法.（五）课前预习预习下节课（21.2.4）的相关内容。

初二数学上册：因式分解常见八种解题方法

初二数学上册：因式分解常见八种解题方法常见的方法有:①提取公因式法;②公式法;③提公因式法与公式法的综合运用。

在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提取公因式法，然后考虑公式法，对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等。

下面通过例题一一介绍。

一.提取公因式法(一)公因式是单项式的因式分解1.分解因式确定公因式的方法①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂。

注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.解:原式=一4m²n(m²一4m+7).(二)公因式是多项式的因式分解2.因式分解15b(2a一b)²+25(b一2a)²解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5)二.公式法(一)直接用公式法3.分解因式(1).(x²+y²)²一4x²y²(2).(x²十6x)²+18(x²+6x)十81解:(1)原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²一2xy)=(x十y)²(x一y)²(2)原式=(x²十6x+9)²=[(x+3)²]²=(二)先提再套法4.分解因式(三)先局部再整法5.分解因式9x²一16一(x十3)(3x+4)解:原式=(3x十4)(3x一4)一(x十3)(3x十4)=(3x+4)[(3x一4)一(x+3)]=(3x十4)(2x一7)(四)先展开再分解法6.分解因式4x(y一x)一y²解:原式=4xy一4x²一y²=一(4x²一4xy+y²)=一(2x一y)²三.分组分解法7.分解因式x²一2xy+y²一9解:原式=(x一y)²一9=(x一y十3)(x一y一3)四.拆、添项法8.分解因式五.整体法(一)"提"整体9.分解因式a(x+y一z)一b(z一x一y)一c(x一z+y)解:原式=a(x十y一z)十b(x十y一z)一c(x十y一z)=(x十y一z)(a+b一c)(二)"当"整体10.分解因式(x+y)²一4(x+y一1)解:原式=(x+y)²一4(x+y)+4=(x十y一2)²(三)"拆"整体11.分解因式ab(c²+d²)+cd(a²+b²)解:原式=abc²+abd²+cda²+cdb²=(abc²+cda²)+(abd²+cdb²)=ac(bc 十ad)+bd(ad+bc)=(bc十ad)(ac+bd)(四)"凑"整体12.分解因式x²一y²一4x+6y一5解:原式=(x²一4x十4)一(y²一6y+9)=(x一2)²+(y一3)²=[(x一2)十(y一3)][(x一2)一(y一3)]=(x+y一5)(x一y十1)六.换元法13.分解因式(a²十2a一2)(a²+2a+4)+9解:设a²+2a=m，则原式=(m一2)(m+4)十9=m²十4m一2m一8+9=m²+2m十1=(m+1)²=(a²+2a十1)²=、七.十字相乘法公式:x²十(a十b)x十ab=(x+a)(x十b)或对于一个三项式若能象上边一样中间左侧上下相乘得x²，中间右侧上下相乘得ab，中间上下斜对角相乘之和为(a+b)x，则能进行分解，如: 14.x²一5x一14解:原式=(x一7)(x十2)十字相乘法分解因式非常重，在以后有关代数式的运算，解方程等知识中常常用到.八.待定系数法15.分解因式x²+3xy+2y²十4x+5y+3解:因为x²+3xy+2y²=(x+y)(x+2y)设原式=(x+y+m)(x+2y十n)=x²十3xy+2y²十(m+n)x+(2m+n)y+mn.∴m=1，n=3∴原式=(x+y+1)(x+2y+3)【总结】因式分解的知识在代数中有着重要的地位，同学们要多加强这方面的练习，为以后的学习奠定扎实的基础。

07-因式分解-提取公因式法、公式法(教师版)--丁慧

一、热身练习1. 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是因式分解？为什么？ (1)3(2)36x x +=+(2)226333(21)ax ax a a x x -+=-+ (3)22432(1)222x x x x x x -+=-+ (4)232534xy x y x y -+2(534)xy x x y =-+序号：07 初中数学备课组教师：年级：初一日期: 上课时间：学生：学生情况：主课题：因式分解——提公因式法、公式法教学目的：1. 理解因式分解的概念；2. 理解多项式的公因式的概念，掌握运用提取公因式法，分解形如ma mb mc ++（m 不仅可以表示单项式也可以表示多项式）的多项式；3. 熟练掌握公式法，包括平方差公式，完全平方公式；4. 初步形成观察、分析、概括的能力和逆向思维方式。

教学重点：1. 掌握运用提取公因式法，公式法把多项式因式分解。

教学难点：1.确定多项式中各项的公因式及平方差公式、完全平方公式和理解因式分解的意义．解：(2)(4)是因式分解。

(1)(3)是多项式的乘法。

2. 填空：(1)y x -=-( x y - )； (2)n m --=-( m n + )； (3)()x b a -=( x - )()a b -； (4)()()x y y x +-()x y =-+( x y - )； (5)23()y x -3=-( 2x y - ) (6)33()a y x --=( 3a )3()x y - 3.运用平方差公式因式分解，直接填写结果：(1)22a b -=()()a b a b +- (2)21a -=(1)(1)a a +- (3)24b -=(2)(2)b b +- (4)29m -=(3)(3)m m +- (5)216n -=(4)(4)n n +- (6)225a -=(5)(5)a a +- (7)236b -=(6)(6)b b +- (8)2116y -=11()()44y y +- 4.先提取公因式，再用平方差公式把下列多项式分解因式：(1)21182x -； (2)3225a ab -； (3)334x y xy -； (4)422414a b a b -.解：(1)原式1(6)(6)2x x =+-(2)原式(5)(5)a a b a b =+- (3)原式(2)(2)xy x y x y =+- (4)原式221(2)(2)4a b a b a b =+-二、知识精要一、因式分解的概念(1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

因式分解的拓展(精讲)(解析版)--2023届初升高数学衔接专题讲义

2023年初高中衔接素养提升专题讲义第一讲因式分解的拓展（精讲）（解析版）【知识点透析】因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

【方法精讲】一．提公因式法提取公因式法：把一个多项式各项都有的公因式提到括号外边来．符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++【例1】因式分解3(2)(2)x x x ---．【解析】提取公因式，原式=)13)(2(+-x x ．【变式】因式分解324(1)2(1)q p p -+-．【解析】提取公因式，原式=)424()1(]2)1(4[)1(22pq q p p q p -+-=+--．【例2】计算9879879879871232684565211368136813681368⨯+⨯+⨯+⨯．【解析】原式=987)521456268123(1368987=+++⨯．【变式1】（2022·广东汕头·一模）已知4m n +=，5mn =-，则22m n mn +=________．【答案】20-【解析】∵m +n =4，mn =-5，∴m 2n +mn 2=mn （m +n ）=-5×4=-20．故答案为：-20．【变式2】（2022·湖南娄底·七年级期中）因式分解：2229612abc a b abc -+；【答案】()23324ab c ab c -+【解析】：()222296123324abc a b abc ab c ab c -+=-+；二．公式法公式法：利用乘法公式的逆变换对多项式进行因式分解．常见的公式如下：（1）a 2－b 2=_))((b a b a -+_；（平方差公式）（2）a 2±2ab +b 2=_2)(b a ±_；（完全平方公式（两个数））（3）a 3±b 3=_))((22b ab a b a +± _；（立方和差公式）（4）a 3±3a 2b +3ab 2±b 3=_3)(b a ±_；（完全立方公式）（5）a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac =_2)(c b a ++_；（完全平方公式（三个数））【例3】因式分解22(2)(31)a a +--．【解析】法一：原式=)14)(23()132)(132(+-=+-+-++a a a a a a 法二：原式=)14)(23(310816944222+-=++-=-+-++a a a a a a a a ．【变式】（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：(1)42−16+16；(2)2−+16−．【答案】(1)4−22；(2)−+4−4【解析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先进行公式变形为2−−16−，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可（1）解：42−16+16=42−4+4=4−22；（2）解：2−+16−=2−−16−=−2−16=−+4−4；【例4】．（2022·上海外国语大学尚阳外国语学校七年级阶段检测）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：()()2233a b a ab b a b+++=+立方差公式：()()2233a b a ab b a b -++=-如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.根据以上材料，请完成下列问题：（1）因式分解：99a b +（2）因式分解：66a b -（3）已知：6631a b ab a b +==+，，的值【答案】（1）（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）．（3）322【详解】（1）因式分解：a 9＋b 9＝（a 3）3＋（b 3）3＝（a 3＋b 3）（a 6−a 3b 3＋b 6）＝（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）因式分解：a 6−b6＝（a 2）3−（b 2）3＝（a 2−b 2）（a 4＋a 2b 2＋b 4）＝（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）；（3）∵a＋b＝3，ab＝1，∴a 2＋b 2＝（a＋b）2−2ab＝7，∴a 6＋b 6=（a 2＋b 2）（a 4−a 2b 2＋b 4）＝[（a＋b）2−2ab][（a 2＋b 2）2−2a 2b 2−a 2b 2]＝7×（49−3×1）＝322．【变式1】因式分解52(2)(2)x x y x y x -+-．【答案】原式=)1)(1)(2(22++--x x x y x x ．【解析】原式=)1)(1)(2()1)(2())(2(223225++--=--=--x x x y x x x y x x x x y x 【变式2】分解下列因式(1)38x +(2)34381a b b -【解析】：(1)333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(1)3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++【变式3】分解因式：(1)30.12527b -(2)76a ab -【解析】：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．(1)333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++(2)76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+三．十字相乘法十字相乘法：对于二次三项式或可看作二次三项式的多项式分解因式．【例5】（2022·上海闵行·七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式2+++B 可用十字相乘法方法得出2+++B =++，用上述方法将下列各式因式分解：(1)2+5B −62=__________．(2)2−4+2+32+6=__________．(3)2−5−−6−2=__________．(4)20182−2017×2019−1=__________．【答案】(1)(x -y )(x +6y )(2)(x -3a )(x -a -2)(3)(x +a -3b )(x -a -2b )(4)(20182x 2+1)(x -1)【分析】（1）将-6y 2改写成-y ·6，然后根据例题分解即可；（2）将3a 2+6a 改写成−3−+2，然后根据例题分解即可；（3）先化简，将B +62−2改写−3+−2−，然后根据例题分解即可；（4）将2017×2019改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可；(1)解：原式=2+(−+6p +−⋅6=(x -y )(x +6y )；(2)解：原式=2+−3−+2+−3−+2=(x -3a )(x -a -2)；(3)解：原式=2−5B +B +62−2=2−5B +3−2+=2+−3++−2−+−3+−2−=(x +a -3b )(x -a -2b )；(4)解：原式=20182−2018-12018+1−1=201822−20182-1−1=201822+1−20182−1=(20182x +1)(x -1)．【例6】．（2023·山东济宁·八年级期末）【知识背景】八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：()()()2x p q x pq x p x q +++=++．【方法探究】对于多项式()2x p q x pq +++我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq 分解成p 与q 的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数()p q ++．所以()()()2x p q x pq x p x q +++=++例如，分解因式：256x x ++它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．所以()2562(3x x x x ++=++）．类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．例如，分解因式：226x x --．分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6（或－6与1，－2与3，－3与2）的积，但只有当－2与时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1．所以()22623(2)x x x x --=+-．【方法归纳】一般地，在分解形如关于x 的二次三项式2ax bx c ++时，二次项系数a 分解成1a 与2a 的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c 分解成1c 与2c 的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把1a ，2a ，1c ，2c 按如图4所示方式排列，当且仅当1221a c a c b +=（一次项系数）时，2ax bx c ++可分解因式．即21122()()ax bx c a x c a x c ++=++．我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．【方法应用】利用上面的方法将下列各式分解因式：(1)256x x -+；(2)21021x x +-；(3)()()22247412x x x x -+-+【答案】(1)（x －2）（x －3）(2)（2x ＋3）（5x －7）(3)2(2)x -（x －1）（x －3）【解析】(1)256x x -+=（x －2）（x －3）．(2)21021x x +-=（2x ＋3）（5x －7）．(3)()()22247412x x x x -+-+=22(44)(43)x x x x -+-+=2(2)x -（x －1）（x －3）．【变式1】将下列各式分解因式（1）2615x x --；（2）231310x x -+．【解析】（1）原式=)53)(32(-+x x ；（2）原式=)5)(23(---x x ．【变式2】（1）42222459x y x y y --；（2）223129x xy y ++．【答案】（1）原式=)94)(1(222-+x x y ；（2）原式=)33)(3(y x y x ++．【变式3】把下列各式因式分解：(1)226x xy y+-(2)222()8()12x x x x +-++【解析】：(1)222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-．(2)22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-【例7】（提高型）：分解因式613622-++-+y x y xy x .【解析】设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++，∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x--+++-+)23()(622，∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622，对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231mn m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m .∴原式=)32)(23(+--+y x y x .【变式】（1）2910322-++--y x y xy x ；（2）6752322+++++y x y xy x .解：原式=)12)(25(-++-y x y x 原式=)2)(32(++++y x y x 四．分组分解法根据多项式各项的特点，适当分组，分别变形，再对各组之间进行整体分解（先部分后整体的分解方法）【例8】．（2022·甘肃省兰州市教育局八年级期中）【阅读学习】课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：（1）()()()()()()am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n +++=+++=+++=++；（2）()2222222121(1)(1)(1)x y y x y y x y x y x y ---=-++=-+=++--．【学以致用】请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：（1）1ab a b --+；（2）22444x xy y -+-．【拓展应用】已知：7x y +=，5x y -=．求：2222x y y x --+的值．【答案】（1）(1)(1)a b --；（2）(22)(22)x y x y -++-；【拓展应用】45．【详解】（1）1ab a b --+()()()()111ab a b a b =---=--（2）()()()()22222444444422222x xy y x xy y x y x y x y -+-=--+=--=-++-【拓展应用】()()()()222222222x y y x x y x y x y x y --+=-+-=-++∵7x y +=，5x y -=，代入得：原式=()(2)5(72)45x y x y -++=⨯+=．将下列各式分解因式（1）3232()()x x y y +-+；（2）32x x +-．【答案】（1）原式=))((22y x y xy x y x ++++-（2）原式=)2)(1(2++-x x x 【解析】（1）原式=))(())(()()(222233y x y x y xy x y x y x y x -++++-=-+-))((22y x y xy x y x ++++-=；（2）原式=)2)(1()1()1)(1(11223++-=-+++-=-+-x x x x x x x x x ．【例9】分解因式：（1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．解：（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．【变式】（1）323x x +-；（2）222(1)41m n mn n -+-+．【答案】（1）原式=)3)(1(2++-x x x （2）原式=)1)(1(+-+++-n m mn n m mn ．【解析】（1）原式=)3)(1(22123++-=-+-x x x x x （2）原式=2222222221214n mn m mn n m n mn m n m -+-++=+-+-)1)(1()()1(22+-+++-=--+=n m mn n m mn n m mn ．五．换元法换元法分解因式：是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化【例10】．（2022·福建漳州·八年级期中）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．对于()()22525312x x x x ++++-．解法一：设25x x y +=，则原式()()2231256y y y y =++-=+-()()()()()()()2226156512351y y x x x x x x x x =+-=+++-=+++-；解法二：设22x m +=，5x n =，则原式()()()()211212m n m n m n m n =+++-=+++-()()()()()()()2224356512351m n m n x x x x x x x x =+++-=+++-=+++-．请按照上面介绍的方法解决下列问题：(1)因式分解：()()2241479x x x x -+-++；(2)因式分解：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-；(3)求证：多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数．【答案】(1)（1）()42x -(2)()()2211x y --(3)见解析【解析】(1)解：解法一：设2x x y -=，则原式()()179y y =+++2816y y =++()24y =+()2244x x =-+()42x =-；方法二：设214x m x n +=-=，，则原式()()=69m n m n ++++()()269m n m n =++++()23m n =++()22143x x =+-+()2244x x =-+()42x =-；(2)解：设x y m xy n +==，，则原式()()()2221m n m n =--+-2222421m mn m n n n =--++-+()22221m mn m n =--+-()()22211m m n n =-+++()21m n =--()21x y xy =+--()()2211x y =--；(3)解：()()()()21236x x x x x +++++()()2227656x x x x x =+++++，设26x m x n +==，，则原式()()2=75m n m n n +++221236m mn n =++()26m n =+()2266x x =++，∵()22660x x ++≥，∴()()()()212360x x x x x ++++≥+，∴多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数．【变式1】将下列各式分解因式（1）221639a b ab ++；【答案】原式=)13)(3(++ab ab （2）22(1)(2)12x x x x ++++-【解析】原式=)5)(2(12)1()1(22222++-+=-+++++x x x x x x x x ．)5)(1)(2(2++-+=x x x x ．【变式2】（1）x 6－7x 3－8（2）（x +1）（x +2）（x +3）（x +4）+1【解析】（1）原式=)1)(42)(1)(2()1)(8(2233+-+++-=+-x x x x x x x x ；（2）原式=1)65)(45(1)3)(2)(4)(1(22+++++=+++++x x x x x x x x 2222)55(11)55(++=+-++=x x x x ．六．配方法【例题11】．（2022·上海·七年级期末）阅读理解：对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成2()x a +的形式．但对于二次三项式2223x ax a +-，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式2223x ax a +-中先加上一项2a ，使它与22x ax +的和成为一个完全平方式，再减去2a ，整个式子的值不变，于是有：2223x ax a +-＝222223x ax a a a ++--＝22()4x a a +-＝22()(2)x a a +-＝(3)()x a x a +-，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”进行因式分解：(1)2815x x -+；(2)4224a a b b ++．【答案】(1)(3)(5)x x --(2)2222()()a b ab a b ab +++-【解析】(1)原式＝28161615x x a -+-+＝2(4)1x --＝(41)(41)x x -+--＝(3)(5)x x --；(2)42244224222a a b b a a b b a b ++=++-＝22222()a b a b +-＝2222()()a b ab a b ab +++-．七．因式分解的应用【例题12】．（2022·江苏扬州·七年级期中）阅读下列材料：若一个正整数x 能表示成22a b -（a ，b 是正整数，a b >）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a 与b 是x 的一个平方差分解，例如22532=-，所以5是“明礼崇德数”3与2是5的平方差分解；再如：()22222222M x xy x xy y y x y y =+=++-=+-(,x y 为正整数），所以M 也是“明礼崇德数”，（x y +）与y 是M 的一个平方差分解．(1)判断9“明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；(2)已知()2x y +与2x 是P 的一个平方差分解，求代数式P ；(3)已知2223818N x y x y k =-+-+（,x y 是正整数，k 是常数，且1x y >+），要使N 是“明礼崇德数”，试求出符合条件的k 值，并说明理由．【答案】(1)是(2)222x y y +(3)k =-19【解析】(1)解∶∵22954=-，∴9是“明礼崇德数”；故答案为：是(2)解：()()2222P x y x =+-42242x x y y x =++-222x y y =+；(3)解：2223818N x y x y k =-+-+()()2224436919x x y y k=++-++++()()22223319x y k=+-+++2219k=+-+++∵N 是“明礼崇德数”，∴19+k =0，∴k =-19．【例题13】．已知a b =22a b ab -的值．【答案】【解析】【分析】先利用提公因式法把22a b ab -进行因式分解，再代入计算即可．【详解】解：∵()22a b ab ab a b -=-，又a =b∴a b =-=1ab +=-=，∴()221a b ab ab a b -=-=⨯=【变式1】．（1）因式分解：()()211x x x +-+．（2）先化简，再求值：22169124x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪+-⎝⎭，其中3x =．【答案】（1）1x +；（2）23x x -+，16【解析】【分析】（1）直接提公因式即可；（2）先算括号内的部分，将除法变乘法，最后约分化简后代入求值即可．【详解】（1）原式=()()11x x x ++-=x +1；（2）原式=212(3)22(2)(2)x x x x x x ++⎛⎫+÷ +++-⎝⎭23(2)(2)2(3)x x x x x ++-=⋅++23x x -=+，当3x =时，原式=3233-+16=．【变式2】．（2022·湖北十堰·八年级期末）阅读理解题：已知二次三项式x 2﹣4x ＋m 有一个因式是x ＋3，求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为x ＋n ，依题意得x 2﹣4x ＋m ＝（x ＋3）（x ＋n ）．即x 2﹣4x ＋m ＝x 2＋（n ＋3）x ＋3n ，比较系数得：343n m n +=-⎧⎨=⎩，解得217m n =-⎧⎨=-⎩．∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21仿照上述方法解答下列问题：(1)已知二次三项式2x2＋3x﹣k有一个因式是2x﹣1，求另一个因式及k的值；(2)已知2x2﹣13x＋p有一个因式x﹣4，则p＝．【答案】(1)另一个因式为x+2，k的值为2(2)20(1)解：（1）设另一个因式为x+m，则2x2+3x—k＝（2x—1）（x+m），即2x2+3x—k＝2x2+（2m—1）x—m，比较系数得：213 mk m-=⎧⎨-=-⎩，解得22 mk=⎧⎨=⎩，∴另一个因式为x+2，k的值为2；(2)解：设另一个因式为（2x+m），由题意，得：2x2﹣13x+p＝（x﹣4）（2x+m），则2x2﹣13x+p＝2x2+（m﹣8）x﹣4m，∴8134mp m-=-⎧⎨=-⎩，解得520 mp=-⎧⎨=⎩，故答案为：20．。

_七年级秋季班-第6讲：因式分解(一)-教师版

因式分解（一）内容分析本节课我们开始学习因式分解的方法，在学习中同学们需要正确理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的区别．首先要理解因式与公因式的概念，进而掌握因式分解两种方法——提取公因式法和公式法．重点会运用两种方法进行分解因式，并养成首先运用提取公因式法分解的习惯，并熟记平方差公式和完全平方公式．难点是提取公因式法需要注意公因式的符号问题，理解公式法分解因式实质上是乘法公式的一种逆向运用．能够熟练结合两种方法进行分解因式．知识结构模块一：提取公因式法知识精讲1、因式分解的概念：（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．（2）因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解：因式分解多项式（和的形式整式的积（积的形式）整式乘法2、因式、公因式的定义（1）几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的因式．例如式子6ab 中，6 、a 、b 就是6ab 的因式．（2）一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．例如，在多项式ma +mb- mc中都含有因式m ，则m 就是这个多项式的公因式．3、确定公因式的方法（1）确定系数的公因数——多项式中各项系数的最大公约数（系数都为整数）．（2）确定字母的公因式——多项式中各项都含有的相同字母的最低次幂．（3）确定的各项系数的最大公约数和各项都含有的相同的字母的最低次幂的乘积就是这个多项式的公因式．4、提取公因式法（1）如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来，作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．（2）提取公因式的步骤：“一找、二提、三去除”一找：第一步要正确找出多项式中各项的公因式；二提：第二步将所找出的公因式提出来；三去除：第三步当提出公因式后，直接观察剩下的另一个因式，即为提出公因式后剩下的另一个因式．5、注意事项（1 ）如果多项式的首项是负数时，一般先提出“—” 号，使括号内的第一项系数是正数．（2）利用提取公因式法分解因式是，一定要“提干净”．（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致．（4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式．【例1】填空：（1）单项式12a 2b 2c ，- 8a 2b 3 ，4a 3b 2c 2 应提取的公因式是；（2）多项式2a 2b - 6ab 2c 应提取的公因式是；（3） 9(b - a )2(x - y ) - 21(a - b )2 ( y - x ) 应提取的公因式是；（4）多项式4a 3b - 8a 2b 2 +12ab 3 提取公因式后，另一个因式是；（5）多项式-9x 2 - 6xy + 3x 提取公因式后，另一个因式是；（6） 4x (x - y ) - 3( y - x )2 提取公因式(x - y )后，另一个因式是．【难度】★【答案】（1） 4a 2b 2 ；（2） 2ab ；（3） 3(a - b )2 (x - y ) ；（4） a 2 - 2ab + 3b 2 ；（5） 3x + 2y -1 ；（6） x + 3y ．【解析】略．【总结】本题考察了公因式的概念．【例2】在下列等式右边的括号前填上“ + ”号或“－”号，使等式成立．（1） (a - b )2= (b - a )2 ；（2） (a - b )3= (b - a )3 ；（3） (-a - b )2 =(a + b )2 ；（4） (-a - b )3=(a + b )3 ；（5） (a -1)2 (2 - b )3 =(1- a )2 (b - 2)3 ；（6） (1- x )(2 - x ) = (x -1)(x - 2) ．【难度】★【答案】（1）+；（2）－；（3）+；（4）－；（5）－；（6）+．【解析】略．【总结】本题考察了添括号法则的运用．例题解析2【例3】下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（A .1+ 2x + 3x 2 = 1+ x (2 + 3x )B . 24 = 2⨯ 2⨯ 2⨯8C . xy -1 = xy (1 - 1)xyD . 1 4 a 2 - 3a + 9 = ⎛ 1 ⎝⎫2a - 3⎪⎭【难度】★ 【答案】D【解析】因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，A 选项右侧不是乘积形式；B 选项左侧不是多项式；C 选项右侧出现了分式作为因式；故选择D ．【总结】本题考察了因式分解的概念．【例4】多项式a 2n - a 2 (n ≥ 1) 提取公因式后，另一个因式是（）．A . a n【难度】★ 【答案】DB ．a n -1C . a 2n -1 -1D . a 2n -2 -1【解析】原式= a 2 (a 2n -2 -1) ，故选择 D ．【总结】本题考察了提公因式法分解因式．【例5】把 4 a 3b 3 - 2a 2b 4 分解因式的结果是．3 9 【难度】★ 【答案】 2a 2b 3 (6a - b ) ．9【解析】原式= 2a 2b 3 (6a - b ) ．9【总结】本题考察了提公因式法因式分解．）．【例6】（1）如果2x +y = 4, xy =3 ，那么2x2 y +xy2 的值是；（2）多项式5(a + 2b)2 -2a(a + 2b) 的值等于15 ，且3a +10b =3 ，则a + 2b = ．【难度】★★【答案】（1）12；（2）5．【解析】（1）原式= xy(2x +y) = 12 ；（2）由已知得： (a + 2b)[5(a + 2b) - 2a] =15 ，即(a + 2b)(3a +10b) = 15 3a +10b = 3，∴a + 2b = 5 ．【总结】本题考察了提公因式法进行因式分解．【例7】把下列各式因式分解（1）-15a3b3 + 45a2b -30ab ；（2）16a3b2c3 + 48a4b3c2 - 96a2b2c4 ；（3）-2ax2 + 6x - 4a ；（4）(m -n)( p -q) - (n -m)2 (q -p) ；3（5）3x(4x -y) - (4x +y)(-4x +y) ；（6）-p(q +r -1) -q(r +q -1) + (1-q -r)2 ；（7）x n+1-x n+2x n-1（n为大于1的整数）；（8）4x n+2y n+1-6x n y n+12x2y n-1（n是大于2的整数）．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）原式= -15ab(a2b2 - 3a + 2) ；（2）原式=16a2b2c2 (ac + 3a2b - 6c2 ) ；（3）原式= -2(ax2 - 9x + 6a) ；3（4）原式= (m -n)( p -q) + (m -n)2 ( p -q) = (m -n)( p -q)[1+ (m -n)] = (m -n)( p -q)(1+m -n) ；（5）原式= 3x(4x -y) + (4x +y)(4x -y) = (4x -y)(7x +y)（6）原式= -p(q +r -1) -q(q +r -1) + (q +r -1)2= (q +r -1)(-p -q +q +r -1)= -(q +r -1)( p -r +1) ；（7）原式= x n-1 (x2 -x + 2) ；（8）原式= 2x2 y n-1 (2x n y2 - 3x n-2 y + 6) ；【总结】本题考察了提公因式法因式分解；【例8】利用简便方法计算：（1）5.78⨯12 + 47 ⨯5.78 + 5.78⨯41 ；（2）5⨯102017 -102016 ．【难度】★★【答案】（1）578；（2）4.9 ⨯102017 ．【解析】（1）原式= 5.78(12 + 47 + 41) = 578 ；（2）原式=102016 (50 -1) = 4.9 ⨯102017 ．【总结】本题考察了提公因式法在简便运算中的应用．【例9】已知关于x 的二次三项式2x2 +mx +n 因式分解的结果是(2x -1)⎛x +1 ⎫，求m、n 的4 ⎪⎝⎭ 值．【难度】★★【答案】m =-1，n =-1．2 4【解析】由已知得：2x2 +mx +n = (2x -1)(x +1) ，4∴2x2 +mx +n = 2x2 -1x -1，2 4∴m =-1，n =-1．2 4【总结】本题考察了因式分解的概念．【例10】试判断518 + 519 + 520 能否被31整除．【难度】★★【答案】能．【解析】原式= 518 (1+ 5 + 52 ) = 518 ⨯ 31 ，能被31 整除．【总结】本题考察了提公因式法的应用．（（（【例11】已知代数式 1 x +1) + 1 (x +1）+ 1 x +1) + 1 (x +1) + ··· + 1x + 1）的值是 27 ，求 x 的值．【难度】★★★ 【答案】 x = 29 ．2 6 12 20 90【解析】由已知得： (x +1)(1 + 1 + + 1) = 272 6 90 (x +1)( 1 + 1 + ) = 27 1⨯ 2 2 ⨯ 3(x +1)(1 - 1 + 1 - 1 + + 1 - 1) = 272 23 9 10 (x + 1)(1 - 1) = 2710解得： x = 29【总结】本题考察了提公因式法的应用．【例12】若多项式 M = b (a - b )(a - c ) + c (a - b )(c - a ) ，且 a = b = c ，求 M的值．【难度】★★★2 3 4 abc 【答案】- 1．12【解析】 M = b (a - b )(a - c ) - c (a - b )(a - c ) = (a - b )(a - c )(b - c ) ，设a = 2k ，b = 3k ，c = 3k ，则原式=(-k )(-2k )(-k ) =- 1 ．2k ⋅ 3k ⋅ 4k 12【总结】本题考察了提公因式法的应用．师生总结观察最后的结果，分解因式与整式乘法有什么区别呢？+1 9 ⨯10模块二：公式法知识精讲1、公式法逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法．2、平方差公式： a2 -b2 = (a +b)(a -b)运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征是：（1）公式左边必须是一个二项式，且符号相反；（2）两项中的每一项必须是某个数或某个式子的平方形式；（3）右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积；（4）公式中字母“ a ”和“ b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式．3、完全平方公式： a2 ± 2ab +b2 = (a ±b)2运用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征是：（1）公式的左边必须是一个三项式，且可以看成是一个二次三项式；（2）其中两项的符号必须是正的，且能写成某两个数或两个式子的平方形式；而另一项的绝对值必须是前两项中两个数或两个式子的乘积的2 倍；（3）右边分解的结果是这两个数或两个式子的和或差的完全平方，其和或差与左边第二项的符号相同；（4）公式中字母“ a ”和“ b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式．4、补充公式（1）a3 +b3 = (a +b)(a2 -ab +b2 ) ；（2）a3 -b3 = (a -b)(a2 +ab +b2 ) ；（3）a3 + 3a2b + 3ab2 +b3 = (a +b)3 ；（4）a3 - 3a2b + 3ab2 -b3 = (a -b)3 ；（5）a2 +b2 +c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a +b +c)2 ．【例13】因式分解(x -1)2- 9 的结果是（）．A . (x + 8)(x +1)B . (x + 2)(x - 4)C . (x - 2)(x + 4)D . (x -10)(x + 8)【难度】★ 【答案】B【解析】原式= (x -1+ 3)(x -1- 3) = (x + 2)(x - 4) ．【总结】本题考察了利用平方差公式分解因式．【例14】下列因式分解正确的是（）．A . x 2 + 4x + 4 = (x + 4)2B . 4x 2 - 2x +1 = (2x -1)2C . 9 - 6(m - n ) + (m - n )2 = (3 - m - n )2D . -a 2 - b 2 + 2ab = -(a - b )2【难度】★ 【答案】D【解析】A 选项应为： (x + 2)2 ； B 选项不满足完全平方公式，不能因式分解；C 选项应为： [3 - (m - n )]2 = (3 - m + n )2 ；D 选项正确．【总结】本题考察了完全平方公式因式分解．例题解析【例15】分解因式：（1）4a2 - 9b2 = ；（2）4 -x2n = ；（3）(a+b)2-(c-d)2=；（4）9a3b-ab=；（5）-9a2 +1=；（6）25a2 -80a + 64 =；9（7）-16-8xy-x2y2=；（8）(a+b)2-6(a+b)+9=．【难度】★【答案】见解析．【解析】（1）原式= (2a +3b)(2a -3b) ；（2）原式= (2 +x n )(2 -x n ) ；（3）原式= (a +b +c -d)(a +b -c +d) ；（4）原式= ab(9a2 -1) =ab(3a +1)(3a -1) ；（5）原式= -1(81a2 -1) =-1(9a +1)(9a -1) ；9 9（6）原式= (5a - 8)2 ；（7）原式= -(16 + 8xy +x2 y2 ) =-(4 +xy)2 ；（8）原式= (a +b - 3)2 ．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解．【例16】请写出264 -1 的两个因数．【难度】★【答案】(232+1)、(216+1)、255、17、5、3、1（任写两个）．【解析】∵264 -1 = (232 +1)(216 +1)(28 +1)(24 +1)(22 +1)(2 +1)(2 -1) ，∴264 -1的因数是：(232 +1) 、(216 +1) 、255 、17 、5 、3、1．【总结】本题考察了平方差公式分解因式．【例17】利用立方差（和）公式进行分解因式：（1）a6 -b6 ；（2）8x3 +y3 ；（3）9x5 - 72x2 y3 ．【难度】★★【答案】见解析；【解析】（1）原式= (a3 +b3 )(a3 -b3 ) = (a +b)(a2 -ab +b2 )(a -b)(a2 +ab +b2 ) ；（2）原式= (2x +y)(4x2 - 2xy +y2 ) ；（3）原式= 9x2 (x3 - 8y3 ) = 9x2 (x - 2y)(x2 + 2xy + 4y2 ) ．【总结】本题考察了立方和和立方差公式进行因式分解．【例18】分解因式：（1）-4(x-y)2+25(x+y)2；（2）(x+y)4-(x-y)4；（3）(a+b)3-4a-4b；（4）xy -1 -x2 y2 ；4（5）x2 (m -n) - 4x(n -m) - 4(n -m) ．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）原式= [5(x +y) + 2(x -y)][5(x +y) - 2(x -y)] = (7x + 3y)(3x + 7y) ；（2）原式= [(x +y)2 + (x -y)2 ][(x +y)2 - (x -y)2 ] = 8xy(x2 +y2 ) ；（3）原式= (a +b)3 - 4(a +b) = (a +b)[(a +b)2 - 4] = (a +b)(a +b + 2)(a +b - 2) ；（4）原式= -1(4x2 y2 - 4xy +1) =-1(2xy -1)2 ；4 4（5）原式= x2 (m -n) + 4x(m -n) + 4(m -n) = (m -n)(x + 2)2 ．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的合理运用．【例19】分解因式：（1） 7a m +1 -14a m + 7a m -1 ；（2） (a + b )2- 4(a + b -1) ；（3） (a 2 + 4a )2+ 8(a 2 + 4a ) +16 ；（4） (x 2 - y 2 )n +2-10(x 2 - y 2 )n +1+ 25(x 2 - y 2 )n．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式= 7a m -1 (a 2 - 2a +1) = 7a m -1 (a -1)2 ；（2）原式= (a + b )2 - 4(a + b ) + 4 = (a + b - 2)2 ；（3）原式= (a 2 + 4a + 4)2 = (a + 2)4 ；（4）原式= (x 2 - y 2 )n [(x 2 - y 2 )2 -10(x 2 - y 2 ) + 25]= (x + y )n (x - y )n (x 2 - y 2 - 5)2 ．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的合理运用．【例20】利用简便方法计算：（1） 50420172- 20152；（2） 9982 - 4 ；（3）152 +15⨯10 + 52 ；（4）1982 - 2 ⨯198⨯ 98 + 982 ．【难度】★★【答案】（1） 116；（2）996000；（3）400；（4）10000．【解析】（1）原式= 504 =504 = 1 ； (2017 + 2015)(2017 - 2015) 4032⨯ 2 16（2）原式= (998 + 2)(998 - 2) = 996000 ；（3）原式= (15 + 5)2 = 400 ；（4）原式= (198 - 98)2 = 10000 ．【总结】本题考察了因式分解在简便运算中的应用．【例21】计算：⎛1 -1 ⎫⎛1 -1 ⎫⎛1 -1 ⎫⋅⋅⋅⎛1 -1 ⎫． 22 ⎪32 ⎪42 ⎪ n2 ⎪【难度】★★⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】n + 1．2n【解析】原式= (1 -1)(1 +1)(1 -1)(1 +1) (1 -1)(1 +1) 2 2 3 3 n n= 1⨯3⨯2⨯4 2 2 3 3= 1⨯n + 1n -1⨯n +1n n 2 n= n + 1．2n【总结】本题考察了公式法因式分解在分数运算中的运用．【例22】已知x2 -x = 2016，y2 -y = 2016 且x ≠y ，求x2 + 2xy +y2 的值．【难度】★★【答案】1．【解析】由已知得：(x2 -x) - ( y2 -y) = 0 ，即x2 -y2 -x +y = 0 ，∴x2 -y2 - (x -y) = 0 ，即(x -y)(x +y -1) = 0 ．∴原式= (x +y)2 = 1．【总结】本题考察了公式法因式分解的运用．【例23】已知多项式S = 4a + 4b - 2a+b+1 ，问：S 是否一定是非负数？请说明理由．【难度】★★【答案】S 一定是非负数．【解析】S = (2a )2 - 2 ⋅ 2a ⋅ 2b + (2b )2 = (2a - 2b )2 ≥ 0 ，∴ S 一定是非负数．【总结】本题考察了完全平方公式分解因式．x ≠y【例24】已知a2 + 2ab +b2 - 2a - 2b +1 = 0 ，求a2 -a +b -b2 的值．【难度】★★★【答案】0．【解析】由已知，得：(a +b)2 - 2(a +b) +1 = 0 ，即(a +b -1)2 = 0 ．∴a +b -1 = 0 ，∴原式= (a2 -b2 ) - (a -b) = (a -b)(a +b -1) = 0 ．【总结】本题考察了公式法因式分解的运用．【例25】请观察以下解题过程；分解因式： x4 - 6x2+1．解： x4 - 6x2 +1 =x4 - 2x2 - 4x2 +1=(x4 - 2x 2 +1)- 4x 2=(x2 -1)2 - (2x)2=(x2 -1 + 2x)(x2 -1 - 2x)以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式：a4 - 7a2 + 9 ．【难度】★★★【答案】(a2 - 3 +a)(a2 - 3 -a) ．【解析】原式= a4 - 6a2 -a2 + 9= (a4 - 6a2 + 9) -a2= (a2 - 3)2 -a2= (a2 - 3 +a)(a2 - 3 -a) ．【总结】本题考察了利用拆项法进行分解因式．【例26】已知多项式S=(a2 +b2 -c2 )2 -4a2b2 ，求：（1）对于S进行因式分解；（2）当a、b、c 是△ABC 的三边的长时，判断S 的符号．【难度】★★★【答案】（1）(a +b +c)(a +b -c)(a -b +c)(a -b -c) ；（2）S < 0 ．【解析】（1）原式= (a2 +b2 -c2 + 2ab)(a2 +b2 -c2 - 2ab)= [(a +b)2 -c2 ][(a -b)2 -c2 ]= (a +b +c)(a +b -c)(a -b +c)(a -b -c) ；（2）由已知得： a +b +c > 0，a +b -c >，a -b +c > 0，a -b -c < 0 ，∴S < 0 ．【总结】本题一方面考察了公式法因式分解的运用，另一方面考查三角形三边关系的运用．【习题1】分解因式：（1）a(a +b)(a -b) -a(a +b)2 ；（2）a(1-b +b2 ) -1+b -b2 ；（3）-2x2 +1y2 ；（4）a4 -b4 ；2（5）x3 - 6x2 + 9x ；（6）3x2 (x -y)2 - 27( y -x)4 ；（7）(p-q)2m+1+(q-p)2m-1；（8）4(x+y)2+5-20(x+y-1)．【难度】★【答案】见解析．【解析】（1）原式= a(a +b)(a -b -a -b) =-2ab(a +b) ；（2）原式= a(1-b +b2 ) - (1-b +b2 ) = (1-b +b2 )(a -1) ；（3）原式= -1(4x2 -y2 ) =-1(2x +y)(2x -y) ；2 2（4）原式= (a2 +b2 )(a2 -b2 ) = (a2 +b2 )(a +b)(a -b) ；（5）原式= x(x2 - 6x + 9) =x(x - 3)2 ；（6）原式= 3x2 (x -y)2 - 27(x -y)4= 3(x -y)2[x2 - 9(x -y)2 ]= 3(x -y)2[x + 3(x -y)][x - 3(x -y)]= -3(x -y)2 (4x - 3y)(2x - 3y) ；（7）原式= ( p -q)2m+1 - ( p -q)2m-1= ( p -q)2m-1[( p -q)2 -1]= ( p -q)2m-1 ( p -q +1)( p -q -1) ；（8）原式= 4(x +y)2 - 20(x +y) + 25 = (2x + 2y - 5)2 ．【总结】本题主要考察分解因式的综合运用．随堂检测【习题2】若a ，b ，c 是三角形三边的长，则代数式a2 +b2 -c2 - 2ab 的值( )．A．大于零B．小于零C．大于或等于零D．小于或等于零【难度】★【答案】B【解析】原式= (a -b)2 -c2 = (a -b +c)(a -b -c)a -b +c > 0, a -b -c < 0∴原式< 0 ，选择B．【总结】本题考察了因式分解的运用及三角形三边的关系的运用．【习题3】已知长方形的长为2x - 3y ，面积为4x2 - 9 y2 ，则此长方形的周长为．【难度】★【答案】8x ．【解析】4x2 - 9y = (2x + 3y)(2x - 3y) ，∴宽为：2x+3y，∴周长= 2(2x - 3y + 2x + 3y) = 8x ．【总结】本题考察了利用平方差公式进行因式分解在实际问题中的运用．【习题4】已知x -y =1，xy = 2 ，则x3 y - 2x2 y2 +xy3 的值为．【难度】★【答案】2．【解析】原式= xy(x2 - 2xy +y2 ) =xy(x -y)2 = 2 ．【总结】本题考察了利用因式分解进行代数式的求值．【习题5】分解因式：（1）(a -b)7 + (b -a)5 ；（2）64x6 -y12 ；（3）4a2-b2+c2-9d2+4ac+6bd；（4）(x2 +4)2 +8x(x2 +4)+16x2 ；（5）x2 -y2 -z2 - 2yz ；【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）原式= (a -b)7 - (a -b)5= (a -b)5[(a -b)2 -1]= (a -b)5 (a -b +1)(a -b -1) ；（2）原式= (8x3 +y6 )(8x3 -y6 )= (2x +y2 )(4x2 - 2xy2 +y4 )(2x -y2 )(4x2 + 2xy2 +y4 ) ；（3）原式= (2a +c)2 - (b - 3d)2 = (2a +c +b - 3d)(2a +c -b + 3d) ；（4）原式= (x2 + 4 + 4x)2 = (x + 2)4 ；（5）原式= x2 - ( y +z)2 = (x +y +z)(x -y -z) ．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的准确运用．⎩【习题6】分解因式：（1） (x - y )2n +1 - (x - z )(x - y )2n + 2( y - x )2n ( y - z ) ， n 为正整数；（2） (a + b )2 (b + c - a )(c + a - b ) + (a - b )2 (a - b + c )(a - b - c ) ；（3） x 3 (x + y - z )( y + z - a ) + x 2 z (z - x - y ) + x 2 y (z - x - y )(x - z - a ) ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式= (x - y )2n (x - y - x + z + 2y - 2z ) = (x - y )2n ( y - z ) ；（2）原式= (b + c - a )(c + a - b )[(a + b )2 - (a - b )2 ]= (b + c - a )(c + a - b )(a + b + a - b )(a + b - a + b ) = 4ab (b + c - a )(a + c - b ) ；（3）原式= x 3 (x + y - z )( y + z - a ) - x 2 z (x + y - z ) - x 2 y (x + y - z )(x - z - a )= x 2 (x + y - z )[x ( y + z - a ) - z - y (x - z - a )]= x 2 (x + y - z )(xz - ax - z + yz + ay ) ．【总结】本题考察了因式分解的综合运用，注意对恰当方法的选择．⎧2x + y = 6 【习题7】不解方程组⎨x - 3y = 1 ，求代数式7 y (x - 3y ) 2 - 2(3y - x )3的值．【难度】★★ 【答案】21；【解析】原式= 7 y (x - 3y )2 + 2(x - 3y )3= (x - 3y )2[7 y + 2(x - 3y )]= (x - 3y )2 (2x + y ) ，∴原式=12 ⨯ 6 = 6 ．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值章的应用．【习题8】利用分解因式证明：257 - 512 能被120 整除．【难度】★★【答案】略．【解析】原式= 514 - 512 = 512 (52 -1) = 512 ⨯ 24 = 511 ⨯120 ，∴原式能被120 整除．【总结】本题考察了因式分解在数整除中的应用．【习题9】已知x = 3.43 ，y = 3.14 ，求-2x2 - 2xy -1y2 的值．2【难度】★★【答案】-50 ．【解析】原式= -1(4x2 + 4xy +y2 ) =-1(2x +y)2 ，2 2当x = 3.43 ，y = 3.14 时，原式= -1⨯102 =-50 ．2【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【习题10】求代数式的值：(3x -2)2 (2x +1) - (3x -2)(2x +1)2 +x(2x +1)(2 -3x) ，其中x =-2 ．3【难度】★★【答案】-4 ．【解析】原式= (3x - 2)2 (2x +1) - (3x - 2)(2x +1)2 -x(2x +1)(3x - 2) = (3x - 2)(2x +1)(3x - 2 - 2x -1-x)= -3(3x - 2)(2x +1) ，当x =-2时，原式= -3⨯ (-4) ⨯ (-4+ 1) =-4 ．3 3【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【习题11】化简下列多项式：1+ x + x (1+ x ) + x (1+ x )2 + x (1+ x )3+x )2016．【难度】★★★ 【答案】(1 + x )2016 ．【解析】原式= (1+ x ) + x (1+ x ) + x (1+ x )2 + x (1+ x )3 ++ x (1+ x )2016= (1+ x )[1+ x (1+ x ) + x (1+ x )2 + x (1+ x )3 ++ x (1+ x )2015 ]= (1+ x )2[1+ x (1+ x ) + x (1+ x )2 + x (1+ x )3 ++ x (1+ x )2014 ]= (1+ x )2015 (1+ x )= (1 + x )2016 ．【总结】本题考察了因式分解的综合运用．【习题12】已知a 2 + 4ab + 4b 2 - 2a - 4b +1 = m 2 ，试用含a 、b 的代数式表示m ．【难度】★★★【答案】m = ±(a + 2b -1) ．【解析】化简得： (a + 2b )2 - 2(a + 2b ) +1 = m 2 ，即(a + 2b -1)2 = m 2 ，所以m = ±(a + 2b -1) ．【总结】本题考察了因式分解的运用．【习题13】已知： b + c - a = -2 ，求2 a (a - b - c ) + b ( 2 c - 2 a + 2 b ) + 1c (2b + 2c - 2a ) 的值． 3 3 3 3 3 【难度】★★★ 8【答案】．3【解析】原式= 2 a (a - b - c ) + 2 b (c - a + b ) + 2c (b + c - a )3 3 3= 2 a (a - b - c ) - 2 b (a - b - c ) - 2c (a - b - c ) 3 3 3 = 2(a - b - c )(a - b - c ) 3 = 2(a - b - c )2 ， 3b +c - a = -2 ，∴原式= 2 ⨯ 22 = 8．3 3【总结】本题考察了因式分解的应用，综合性较强，注意观察所求的式子的特征．+ x (1+【习题14】若a ，b ，c 为正数，且满足a4 +b4 +c4 =a2b2 +b2c2 +c2a2 ，那么a 、b 、c 之间有什么关系？【难度】★★★【答案】a =b =c ．【解析】化简得：a4+b4 +c4 -a2b2 -a2c2 -b2c2 = 0 ，则1[(a2 -b2 ) + (a2 -c2 ) + (b2 -c2 )] = 0 ．2∴a2 =b2 =c2 ，∵ a ， b ， c 为正数，∴a =b =c ．【总结】本题考察了因式分解的应用，综合性较强，注意认真分析．【作业1】把多项式-6m2n2 -12m3n4 +9n3 分解因式时，应提取的公因式是（）．A . -6m2 n2【难度】★【答案】D【解析】略B . -6n2C . -3m2 n2D . -3n2【总结】本题考察了公因式的概念．【作业2】因式分解1- 4x2 - 4y2 + 8xy 的结果是（）．A . (1+ 2x)(1- 2x)- 4y( y - 2x) C . (1+ 2x - 2y)(1- 2x + 2y)B .1- (2x - 2 y)2D . (1+ 2x + 2y)(1- 2x - 2y)【难度】★【答案】C【解析】原式=1- 4(x2 - 2xy +y2 ) = 1- 4(x -y)2 = (1+ 2x - 2y)(1- 2x + 2y) ，选择C；【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解．课后作业【作业3】已知x +y = 2 ，求1x2 +1y2 +xy 的值．2 2 【难度】★【答案】2．【解析】原式= 1(x2 + 2xy +y2 ) =1(x +y)2 =1⨯ 4 = 2 ．2 2 2【总结】本题考察了因式分解的应用．【作业4】若关于x的多项式4(2x-1)2-7(ax+b)可提取公因式2x-1，且整数，则a = ，b = ．a -b = 3 ，a、b 为【难度】★【答案】2，－1．【解析】设a = 2k ，b =-k ，则：2k - (-k) = 3 ，解得：k =1，∴a = 2，b =-1 ．【总结】本题考察了利用提公因式法进行分解因式．【作业5】分解因式：（1）xy3 - 4xy ；（2）-26xy3 z2 +13xy2 z2 + 52x5 y2 z4 ；（3）a2 (x -y) +b2 ( y-x) ；（4）(m + 5n)2 - 2(5n +m)(n -3m) + (n -3m)2 ；（5）9(a +b)2 + 6(a2 -b2 ) + (a -b)2 ．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）原式= xy( y2 - 4) =xy( y + 2)( y - 2) ；（2）原式= -13xy2 z2 (2y -1- 4x4 z2 ) ；（3）原式= (x -y)(a2 -b2 ) = (x -y)(a +b)(a -b) ；（4）原式= [(m + 5n) - (n - 3m)]2 = 16(m - 2n)2 ；（5）原式= (3a + 3b +a -b)2 = 4(2a +b)2 ．【总结】本题考察了因式分解的综合运用，注意方法的合理运用．【作业6】用合理方法计算：（1）1.1⨯102017 -102016 ；（2）105⨯ 95 ；（3）1.25⨯142 -125⨯8.62 ．【难度】★★【答案】（1）102017 ；（2）9975；（3）－9000．【解析】（1）原式=102016 (1.1⨯10 -1) = 102016 ⨯10 = 102017 ；（2）原式= (100 + 5)(100 - 5) = 10000 - 25 = 9975 ；（3）原式=1.25⨯142 -1.25⨯862 = 1.25(142 - 862 ) = 1.25⨯100⨯ (-72) =-9000 ．【总结】本题考察了因式分解在简便运算中的运用．【作业7】已知a = 96，b = 92 ，求a2 - 2ab +b2 - 6a + 6b + 9 的值．【难度】★★【答案】1．【解析】原式= (a -b)2 - 6(a -b) + 9 = (a -b - 3)2 ，当a = 96，b = 92 时，原式=1．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【作业8】已知10x2+6xy+y2-2x+1=0，求(2x+y)2010 的值．【难度】★★【答案】1．【解析】由已知得：(9x2 + 6xy +y2 ) + (x2 - 2x +1) = 0 ，即(3x +y)2 + (x -1)2 = 0 ．∴3x +y = 0，x -1 = 0 ，解得：x =1，y =-3 ，∴原式=1．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【作业9】当x=a-b，y=a+b时，求代数式(x2 +y2 )2 -(x2 -y2 )2 的值．【难度】★★【答案】4(a -b)2 (a +b)2 ．【解析】原式= (x2 +y2 +x2 -y2 )(x2 +y2 -x2 +y2 )= 4x2 y2 ，当x =a -b ，y =a +b 时，原式= 4(a -b)2 (a +b)2 ．【总结】本题考察了因式分解的应用；【作业10】因式分解：3(a-b)n-9(b-a)n+1．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】（1）当n 为偶数时，原式= 3(a -b)n + 9(a -b)n+1 = 3(a -b)n (1+ 3a - 3b) ；（2）当n 为奇数时，原式= 3(a -b)n - 9(a -b)n+1 = 3(a -b)n (1- 3a + 3b) ．【总结】本题考察了因式分解的应用，注意对n 的分类讨论．【作业11】证明：当n 为整数时，n3 -n 的值必定是6 的倍数．【难度】★★★【答案】略．【解析】原式= n(n2 -1) =n(n + 1)(n -1) ．n -1、n、n +1为相邻三个自然数，则必有一个数为偶数，一个数为3 的倍数，∴n3 -n 必定是6 的倍数．【总结】本题考察了因式分解在数的整除中的应用．【作业12】先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：x4 + 4 ．解： x4 + 4 =x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x2 + 2)2 - 4x2=（x2+2x+2)(x2-2x+2)．以上解法中，在x4 + 4 的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值与x4 + 4 的值保持不变，必须减去同样的一项．请用上述方法分解下列各式：（1）x4 +x2 y2 +y4 ；（2）x4 y4 + 64 ．【难度】★★★【答案】（1）(x2 +y2 +xy)(x2 +y2 -xy) ；（2）(x2 y2 - 8 + 4xy)(x2 y2 - 8 + 4xy)【解析】（1）原式= x4 + 2x2 y2 +y4 -x2 y2 = (x2 +y2 )2 --x2 y2 = (x2 +y2 +xy)(x2 +y2 -xy) ；（2）原式= x4 y4 +16x2 y2 + 64 -16x2 y2 = (x2 y2 - 8)2 -16x2 y2= (x2 y2 - 8 + 4xy)(x2 y2 - 8 + 4xy) ．。

《因式分解--提公因式和公式法的综合运用》

《因式分解--提公因式和公式法的综合运用》在新课标的理念下，更加突出了学生的主体地位，教师更多的是辅助者的角色。

本节课是在学生学习了提公因式和公式法后的一个解题训练课，采用翻转课堂的模式，学生先在课下预习学案，接下来在课上和大家交流分享，在已有经验基础上，双向的作用，使已有的经验在新的知识体系里融合。

建构主义学习理论认为：学习是引导学生从原有经验出发，建构起新的经验，本节课充分体现了建构主义理论。

教材分析：本节课是北师大版八年级下第四章《因式分解》章节复习前的一个解题训练课。

因式分解在数的运算中，不仅仅是一种简便运算，它还在整式的乘除中，分式运算和等式的证明中发挥作用，在整个初中数学体系中起到承上启下的作用。

多项式的因式分解不仅能起到巩固整式的运算，还培养学生的逆向推理能力。

学情分析：本章内容与整式的运算联系紧密，特别提公因式和公式法就是整式乘法的一个逆运算。

在学习的过程中注重概念的强化，还有结构认知。

通过训练，来加深学生对于提公因式和公式法的一个运用。

学生在家，部分同学缺少必要的学习环境，造成学习效率较低，对于线上教学，增加与学生的互动，积极引导学生进行思考和思维的碰撞，通过翻转课堂来补充完善线上教学。

教学目标：1、理解因式分解的概念，会运用提公因式法和公式法来求解已知问题。

2、能说出如何提公因式，并说出平方差公式，完全平方公式的特点，3、在数到式的迁移过程中，体会类比的数学思想。

4、情感态度与价值观：培养学生观察分析问题的能力，深化学生的逆向思维。

教学重点：提公因式和公式法分解因式。

教学难点：两种因式分解方法（提公因式法、公式法）的熟练运用教学支持：腾讯课堂，爱学派，QQ，SAI绘画软件，书写板。

教学过程：一、概念回顾：1、因式分解：把一个________化成几个_______的___的形式，叫做多项式的分解因式.注：必须分解到每个多项式因式不能再分解为止.★设计意图：1、复习准备本节课需要的知识，为后续提公因式法和公式法运算指明方向。

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