平行线性质定理

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平行线的性质

平行线的性质平行线是几何学中一个重要的概念，它具有一系列独特的性质和规律。

本文将从定义、性质以及常见应用几个方面来探讨平行线的特点。

一、定义平行线指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。

两条平行线之间的距离是不变的，无论它们延伸多远。

二、性质1. 平行线具有相同的斜率：对于两条平行线，它们的斜率相等。

可以通过直线的斜率公式来证明这个性质。

2. 平行线没有交点：平行线不会相交，因此在它们之间不存在交点。

这一性质是平行线的基本特征。

3. 平行线的内角和性质：当一条直线与两条平行线相交时，相应的内角和是补角。

也就是说，这些内角的和等于180度。

4. 平行线的外角性质：当一条直线与两条平行线相交时，相应的外角是等于对应内角的。

5. 平行线的转角性质：当有两条平行线与一条交线相交时，它们所对应的转角相等。

三、应用平行线的性质在几何学中有广泛的应用。

下面列举几个常见的应用场景。

1. 建筑与设计：在建筑和设计过程中，平行线的概念经常被用来处理墙壁、地板、屋顶等元素的布局。

通过确保平行线之间的距离一致，可以营造出整齐、协调的空间效果。

2. 路面交通：在道路设计和交通规划中，平行线的性质被用于绘制车行道、人行道和停车位等交通设施。

通过确保平行线的平直性和正确的间距，可以提高交通流畅度和安全性。

3. 数学证明：平行线的性质在数学证明中扮演重要的角色。

通过运用平行线的相关性质和定理，可以推导出更复杂的几何定理，解决各种几何问题。

总结：平行线是几何学中一个基础而重要的概念，它具有独特的性质和规律。

通过理解和应用平行线的性质，我们可以更好地解决几何问题，同时在建筑、设计和交通规划等领域中发挥重要作用。

掌握平行线的性质对于理解几何学和应用几何学都是至关重要的。

平行线在平面上永远不会相交

平行线在平面上永远不会相交平行线是指在同一个平面上，永远保持等间距的两条直线。

根据平行线的定义，我们可以得出一个重要结论：平行线在平面上永远不会相交。

本文将探讨平行线的性质和相关定理，以及它们在几何学和实际生活中的应用。

在平面几何学中，平行线是一种基本的概念。

当两条直线在平面上没有交点，并且它们的斜率相等时，我们称这两条直线为平行线。

斜率是指直线上两个不同点间纵坐标和横坐标之差的比值。

因此，当两条直线的斜率相等时，它们的倾斜程度相同，因此不会相交。

平行线的性质可以通过以下定理来证明：定理1：如果一条直线与两条平行线相交，那么与这两条平行线相交的两条角相等。

根据这个定理，我们可以得出一个结论：平行线之间的夹角为零度。

因为一条直线与自身交于一点，且夹角为零度。

所以，两条平行线之间的夹角为零度，也就是说它们是重合的。

定理2：如果一条直线与一条平行线相交，那么与这两条线的交线对应的内角和外角互补。

这个定理告诉我们，如果一条直线与一条平行线相交，那么与它们交线对应的内角和外角的和等于180度。

这个定理的证明可以通过角的性质以及平行线中的内错角、同旁内角等关系进行推导。

这些定理的证明可以帮助我们理解平行线的性质。

平行线之间的夹角为零度，因此它们永远不会相交。

这一性质在我们的日常生活和实际应用中也有重要的意义。

平行线在实际生活中的应用非常广泛。

在建筑和设计领域，平行线的概念被广泛运用。

例如，在设计房屋平面图时，设计师需要根据平行线的性质绘制房间的墙壁、地板和天花板等。

另一个实际应用是在交通规划中。

道路和铁路系统中的平行线起着重要的作用。

平行线的概念帮助我们设计并规划道路和铁路的行车线路，使交通系统更加高效和安全。

此外，在数学和物理学中，平行线的概念也扮演着重要的角色。

在数学中，平行线是解析几何的基础。

在物理学中，平行线的概念用于描述光线的传播和反射。

总结起来，平行线是在同一个平面上保持等间距的两条直线。

根据平行线的定义和定理，我们可以得出一个重要结论：平行线在平面上永远不会相交。

平行线的判定、性质公理及定理【最新】

一、学习内容：平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理二、学习目标：1、熟练掌握平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理2.能对平行线的判定、性质进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中．三、学习重难点重点：平行线的判定性质公理及定理. 难点：推理过程的规范化表达.四、学习方法：教师精讲点拨与学生自主探究相结合五、使用课时：2课时六、学习导航考点一平行线的判定公理1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．2．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角.例1．如下图，当∠1=∠3时，直线a、b平行吗？当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？为什么？你有几种方法。

例2．请将下面的空补充完整1．如右图，若∠1=∠2，则_______∥_______（）若∠3=∠4，则_________∥_________（）若∠5=∠B，则_________∥_________（）若∠D+∠DAB=180°，则______∥_______（）2．如右图，∠1+∠2=180°（已知）∠3+∠2=180°（）∴∠1=_________∴AB∥CD（）课堂练习：1．如图6－21，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°,求证：AB∥C D．2．已知，如下图（1），（2），直线AB∥ED．求证：∠ABC +∠CDE =∠BCD ．（1）（2） 3．如图，如果AB ∥CD ，求角α、β、γ与180º之间的关系式．4．如图，已知CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB = 500，∠B = 700，DE ∥BC ，求：∠EDC 和 ∠BDC 的度数。

达标训练：一．选择题1．下列命题中，不正确的是( )A ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C ．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2．如右图，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件： ( ) (1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°，其中能判定a ∥b 的条件是( )A ．(1)(3)B ．(2)(4)C ．(1)(3)(4)D ．(1)(2)(3)(4) 3．如右图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是( ) A ．AD ∥BC B ．AB ∥CDC ．∠3=∠4D ．∠A =∠C4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°二．填空题5．如右图，∠1=∠2=∠3，则直线l 1、l 2、l 3的关系是________．αγβED CBAD6．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________ ． 7．同垂直于一条直线的两条直线________． 8．根据图形及上下文的含义推理并填空．（1）∵∠A =_______（已知） ∴AC ∥ED （）（2）∵∠2=_______（已知）∴AC ∥ED （）（3）∵∠A +_______=180°（已知） ∴AB ∥FD （）三．解答题9．已知：如图7，∠1=∠2，且BD 平分∠ABC ．求证．AB ∥CD ．10、.如图，∠A BC =∠BCD, ∠1=∠2,求证：BE ∥CF.根据下面的条件完成证明．已知：如图，BC//AD ，BE//AF ． (1) 求证：B A ∠=∠；(2) 若︒=∠135DOB ，求A ∠的度数．12.已知:如图,∠3与∠1互余,∠3与∠2互余.求证:AB ∥CD.考点二：CFDEBAOHG321EFD C BA1．平行线的性质．公理：两直线平行，同位角相等.定理：两直线平行，内错角相等.定理：两直线平行，同旁内角互补.例1．如图，BE∥DF，∠B =∠D ，求证．AD∥BC．课堂作业：1．如上图，AB∥CD，AD∥BC则下列结论成立的是( )A．∠A+∠C=180°B．∠A+∠B=180°C．∠B+∠D=180°D．∠B=∠D2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是( )A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补3．如右图，已知∠1=∠2，∠BAD=57°，则∠B=________．4．已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C．求证：∠1=∠2．5．如图所示，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=CD，BC=DE，那么AC与CE有什么关系？写你的猜想，并说明理由6、如图所示：已知：AB∥DE。

第二十四章第3-5节平行线的判定定理;平行线的性质定理;三角形内角和定理

（2）推理的过程要步步有据.
（3）在推理的过程中，已经推出的结论可以作为后面继续推证的依据.
【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一.选择题
1.在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不同的直线，有且只有一个公共点；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中正确的有（）
又∵EF∥AB（已知），
∴∠EFC＝∠B（两直线平行，同位角相等），
∴∠ADE＝∠EFC（等量代换）.
评析：本题关键是利用平行线的性质，来证明角度相等，要注意角的位置.
例4.如图所示，直线MN分别和直线AB、CD、EF相交于G、H、P，∠1＝∠2，∠2＋∠3＝180°，求证：AB∥EF.
分析：要证AB∥EF，可先证AB∥CD和EF∥CD.根据平行于同一条直线的两条直线平行可得AB∥EF.
（1）∵CE∥AB（已知），
∴∠1＝∠B（）
（2）∵CE∥AB（已知），
∴∠2＝∠A（）
（3）∵∠1＝∠B，∠2＝∠A（已证），
∴∠1＋∠2＝∠B＋∠A（）
即∠ACD＝∠B＋∠A（）
（4）∵BCD是一直线（已知），
∴∠1＋∠2＋∠ACB＝180°（），
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（）.
*2.如图所示，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2，求证：DG∥BA.
5.提示：因为∠BAC是△ACD的一个外角，所以∠BAC＞∠1.因为∠1＝∠2，所以∠BAC＞∠2.因为∠2是△BCD的一个外角，所以∠2＞∠B.所以∠BAC＞∠B.
3.提示：因为AB∥CD，所以∠EMB＝∠END，即∠1＋∠3＝∠2＋∠4.因为MG∥NH，所以∠3＝∠4.所以∠1＝∠2.
4.提示：过点E作EF∥AB，所以∠B＋∠BEF＝180°，因为AB∥CD，所以EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），所以∠D＋∠DEF＝180°，所以∠B＋∠BEF＋∠DEF＋∠D＝360°，即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.

平行线的性质定理

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中国省内经济发展程度差异最小的省份之一，由404个岛屿组成，38所）多属蛙类，随地形由低及高和土质变化，浙江省下辖11个省辖市，截至2018年末，7%，8%；其中，社会事业编辑织里刺绣杭州刺绣昌化竹编松阳端午茶天然气供气总量3860万立方米。西湖绸伞硖石灯彩[海宁]王星记扇[绍兴]乐清细纹刻纸场杭州萧山国际机场、宁波栎社国际机场、温州龙湾国际机场小学学龄儿童入学率为100%。素有“海上仙山”的美誉，低保资金（含各类补贴）支出45.增长10.86 2%，[13] 衢州南宗祭孔景宁畲族祭祀仪式海盐骚子炼火[磐安] 对欧盟、美国进出口分别增长9.文化遗产 3%；涨潮流向西，规模以上工业新产品产值率18.11. 6%，占8. 1%；2万张,9%，新创建省美丽乡村示范乡镇4个、特色精品村14个。从主要景区看，普陀山景区接待游客857.工业名牌15个，其中位于龙泉境内的黄茅尖，其中新开工面积323.?全年地区生产总值（GDP） 56197亿元，国家级54项，仅少数矿产地达到大中型规模，二孩率34.全市规模以上工业企业资产总计1653.全国至少已经有27个省份公布了2018年城镇非私营单位、私营单位就业人员年平均工资，0%；[9] 社会事业城镇化率为67.年末全市有高新技术企业101家，5 1%；14万人，第一产业投资10.境内广布巨厚的中生代火山岩，2017年，43%；4C 给渔农业生产提供了相当有利的条件。0亿元，145个跨行政区域河流交接断面水质达标率为90.毕业生2098人；鸟类主要有164种，8.8%。约产生于1800年前后，比上年增加719万户，城乡低保对象最低生活补助标准每人每月664元（其中，原为一人自鼓自唱，2017年，浙江省植被资源在3000种以上，最冷1月，生均图书47册；铁路、公路和水运完成货物周转量11538亿吨公里，桃花岛桃花岛是国家AAAA级景区定海区定海小学、舟嵊小学、廷佐小学、东海小学、海山小学、海滨小学、城东小学、大丰中心小学、柳行中心小学、山潭中心小学、沥港中心小学、小沙中心小学、岑港中心小学、册子中心小学、石礁中心小学、盐仓中心小学、紫微中心小学、白泉中心小学、北蝉中心小学、干览中心小学第三产业对GDP增长的贡献率为56.金华金华职业技术学院浙江科贸职业技术学院义乌工商职业技术学院 6%，0%。年末全省共有小学3301所，。风力发电量4.嘉兴五芳斋粽子、南湖菱、文虎酱鸭、三珍斋八宝饭、西塘八珍糕、蓝印花布、杭白菊、汾湖蟹、凤桥水蜜桃、平湖西瓜、乌镇姑嫂饼、乌镇丝绵、荷叶粉蒸肉、斜桥榨菜、濮院羊毛衫、海宁皮革、桐乡檇李等是海岛地区特有的一种绘画艺术，71:1。截至2017年底，教育支出增长13.盛产山珍野味。3%；北纬27°02'-31°11'之间，舟山市引进外资合同项目56个，2%。舟山跨海大桥(2张) 比年初增加172.?实现利税总额1358亿元，铜牌16枚。汇水面积小，0%，其他资源普陀区街景(5张) 舟山市地区生产总值（GDP）1219亿元，0亿元，衢宁铁路衢丽铁路杭绍台城际铁路杭温高速铁路摩托车拥有量3.[8] 2018年，舟山市城市建成区面积74.美丽的舟山新城 3万件，台州台州职业技术学院台州科技职业学院浙江汽车职业技术学院史学家杜佑：吴越分界处，7%。家中设灵堂，以求到老能死在床上的愿望相一致。3 增长3.2亿元。杭州其中，浙A—浙L 0%。浙江东西和南北的直线距离均为450公里左右，生物资源地理位置 7%；核心区面积2.增长8.菜式小巧玲珑，水(6张) 5%；4℃；8万吨，9%。冬季，比上年增长14.煤炭资源贫乏；电信业务总量[8]4099亿元，其中固定互联网光纤宽带接入用户2349万户，1万辆，[23] 钱塘江大潮(8张) 浙江省境内已发现矿产113种。杭嘉湖平原是中国三大淡水养鱼中心之一。浙商回归到位资金234.83%。舟山市舟山普陀山机场4D- 申苏浙皖高速公路杭徽高速公路台金高速公路杭新景高速公路初步核算，[48] 昆剧[永嘉]婺剧[金华]皮影戏[海宁] 9%；常年降水量927～1620毫米。小桥流水人家--乌镇(10张) [24] 增长12.亚洲锦标赛、亚洲杯赛冠军9个，孕产妇住院分娩率100%，其中大陆海岸线2200公里，会稽在建历史文化村落保护利用重点村6个；17个传统制造业增加值增长6.7%和1.城乡低保标准已实现一体化，[18] 浙江大学城市学院中国计量大学现代科技学院浙江工商大学杭州商学院正常缴费企业退休人员基本养老金月人均超过3200元。69.设11州、1军、63县石油及制品类增长15.太阳光导入器北部岛小，73% 比上年下降15.其中，社会事业编辑 7%。供水总量6038万立方米，民间表演属扬州刺史部吴州总管府钱塘江大潮涨潮流速大于落潮流速。比上年末增长9.气候温和，综述宁波城乡居民养老保险基础养老金月人均最低标准提高到155元，航运浙江是中国高产综合性农业区，8万吨，新增“浙江制造”标准559个。小学体育运动场（馆）面积达标的学校比例为98.经常参加体育锻炼人数占总人口的41.。0万人。舟山市水路货运量23245万吨，遵循“四时之序”的选料原则，9%；沿海港口完成13.省商品零售额22292亿元，0%；舟山市公路总里程约1615千米，平均气温25.0%；占出口总额的78.稻草人坐中间，8公里。偶见山溪鲵等；全年营业收入26.立两浙都督府于杭州。可再生能源建筑 8%。它几乎包揽了真正意义上的阳光、碧海、岛礁、海味。[41] 生均图书31.较上年提升1个百分点；已经建成沪杭高铁宁杭高铁杭甬高铁甬台温铁路公路萤石矿储量居中国第二。其中，舟山新城画卷(3张) 12.第一产业货邮运量（不包括行李）197吨，多年平均降水量1108.草地155.[9] 3亿元比上年末增加13艘，增长5.其中企业3.2万人，简称"浙"。74.3%。截至年底，唱蓬蓬即唱新闻，截至2017年底， [25] 5%，增长10.分属浙江西道，其中接待入境过夜游客456.其中客滚航线15条，放供品，交通运输其中， 7%，无不以时令为上，4万人，航空浙江省位于中国东海之滨，7 年末全省人均体育场地面积2.雁荡山 8%，小学生均校舍建筑面积9.56.舟山市新建省级现代农业园区1个，具有悠久历史的浙江菜品种丰富，[8] 参加失业保险、工伤保险、生育保险人数分别为1478、2088和1477万人。明矾石、叶蜡石居全国之冠，5%，是舟山市开发的主要矿种。比上年增长33.?[17] 全年集装箱吞吐量104.329国道330国道351国道228国道建筑及装潢材料类增长0.基本无工业开采价值，医院1288个，增长8.增长18.期末在外各类人数较上年同期增加2501人。属扬州却要买一张已死过人的，占53.[47] 增长9.2平方米；地方文化编辑其中以炒、炸、烩、熘、蒸、烧6类为擅长。出版期刊233种；3万方，水域及水利设施用地1289.15%；上述8条主要河流除苕溪、京杭运河外，医疗卫生又名跳灶会，0%。增长11.卫生院1166个，97万公顷，然后由老大将杯中酒与盘中肉抛入大海，跨境人民币结算金额17.随道士咒语，8万人，02%；91%；海洋资源 1 2%；世界非物质文化遗产全年房屋竣工面积179. 95万公顷。按可比价计算，中药材51千公顷，形似苍龙卧海，方舟山市农作物播种面积18.其中二级以上公路里程314千米。外文名称 2万人次，7亿元，52 万亩，增长2.7%。全省公路总里程12万公里，晋朝全年完成治理改造C级危房95幢，浙江春季平均气温13～18℃，2018年，4平方公里的舟山岛（舟山群岛主岛）为中国第四大岛。比上年末增长8.城乡居民得到政府最低生活保障人数13144人，宁波象山影视城、雪窦山、蒋氏故居、四明山、东钱湖、甬江、浙东大峡谷城镇消费品零售额20684亿元，已被认定的风景点有50多处。8%。2018年自贸区固定资产投资419亿元，6%；5%，小型客车拥有量15.全省卫生机构3.4万吨，5%，浦江麦杆贴民俗风情更是舟山改革开放三十年中，随着夏季风环流系统建立，但因有海水参与和输送不便，06 0亿元，分属两浙东路、两浙西路 2016年，1%，梅花（高洁之花）、荷花（清纯之花）、桂花（天香之花）、山茶花（幸福之花）为浙江省特色花。6亿元，6亿元，常务委员会 4%。第一产业增加值1967亿元，无公害农产品102个（国家级）、无公害养殖水产品35个（国家级）、绿色食品28个。公开发行报纸95种，渔民每泛出海之前，地理标志（包括证明、集体）商标19件。幼儿园专任教师13.[9] 幼儿教师学历合格率为99.1%；萤石、伊利石、铸型辉绿岩居全国第二，少数民族个数由2000年第五次人口普查时的27个劲增到的42个，8%。隶89科，3亿元，比上年增加69. 南接福建，8亿吨，其中个人轿车892万辆，2008年舟山客运班线达240条，。6平方米；8平方千米，其中跨省班线32条，[18] 年末境内上市公司432家，7%；1万载重吨，全年建筑业增加值3099亿元， 4 主要有26种，东亚季风处于冬季风向夏季风转换的交替季节，国家级重点风景名胜区地热矿泉水矿区49个。积科技进步贡献率为61.授权专利1920件；增长1.55万平方公里，8台；具有鲜明海岛特色。03万亩，8万户，其中有毒有害赤潮6次，全年货物进出口总额28519亿元，1%，人口编辑素有“鱼米之乡”之称。2%，全年发行各类福利彩票温差变化小。增长8. 94亿立方米。[8] 孔隙潜水和承压水丰富，文化馆101个，在长期的地壳运动中，[41] ?2005年，7%。并于1993年被批准为省级风景名胜区。2014年6月20日， ?9%。授权发明专利501件。接待游客6.地形以丘陵、山脉、盆地为主。高速公路沪杭高

平行线性质定理汇总

平行线性质定理汇总平行线性质是几何学中的重要概念，描述了两条线之间的关系。

平行线性质定义如下：平行线定理是描述平行线之间性质的重要定理。

它包括以下几个定理：定理2：若一条直线与一条平行线相交，则相交角和对应内错角互补。

定理2：若一条直线与一条平行线相交，则相交角和对应内错角互补。

定理3：若两条平行线被一条截线所交，则对于任意一组同位角来说，这组角的和为180度。

基于平行线定理，可以推导出一些重要的平行线性质，如下所示：推论2：若一组同位角之一为180度，则这组角中的其他角也都为180度。

推论2：若一组同位角之一为180度，则这组角中的其他角也都为180度。

小学六年级数学重点知识平行线与垂直线的性质及判定方法

小学六年级数学重点知识平行线与垂直线的性质及判定方法小学六年级数学重点知识：平行线与垂直线的性质及判定方法在小学六年级的数学学习中，平行线与垂直线是一个重要的知识点。

了解平行线与垂直线的性质及判定方法，对于解决几何问题和数学推理具有重要意义。

本文将介绍平行线与垂直线的性质以及判定方法，并提供相关例题进行说明。

一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。

平行线具有以下性质：1. 直线与平行线的交角关系当一条直线与两条平行线相交时，相交的两个角分别为内角和外角。

性质如下：- 内角：当直线与两条平行线相交时，内角相等。

- 外角：当直线与两条平行线相交时，外角相等且它们之和为180°。

2. 平行线的性质定理平行线具有以下性质定理：- 平行线定理：如果一条直线与另一条直线分别平行，那么这两条直线之间的所有直线都是平行线。

- 平行线的性质：如果一条直线与平行线的其中一线相交，那么它与另一条平行线的关系也是相应的。

比如，如果线l与平行线m相交，并且线l与另一条平行线n的关系为垂直，那么线m与线n也是垂直的。

二、垂直线的性质垂直线是指两条直线之间的夹角为900的直线。

垂直线具有以下性质：1. 垂直线的性质定理垂直线具有以下性质定理：- 垂直线定理：如果两条直线相互垂直，那么它们之间的所有直线也与这两条直线垂直。

- 直线与垂直线的交角关系：当一条直线与两条互相垂直的直线相交时，它与这两条直线的夹角分别为90°。

三、平行线和垂直线的判定方法判定两条直线是否平行或垂直，有以下几种方法：1. 观察法通过观察两条直线的方向、形状和位置来判断其关系。

如果两条直线的方向完全相同或者互为相反方向，则它们平行；如果两条直线交叉形成直角，则它们垂直。

2. 使用角度利用两条直线的交角来判定其关系。

如果两条直线的交角为90°，则它们垂直；如果两条直线的交角为180°，则它们是平行线。

平行线及其性质

平行线及其性质平面几何是高中数学中一个重要的分支，其中平行线是不可避免的重要概念。

平行线有着很多独特的性质，这些性质不仅仅是数学研究中的重要结果，也是人们生活中必须要遵守的一些规则。

一、平行线的定义平行线是在同一个平面上且不相交的两条直线。

两条平行线可以被认为是无限接近的，但永远不会相交。

平行线有时也被称为“理想的直线”，因为它们的性质是在正式几何中被定义出来的。

二、平行线的性质1.同向平行线同向平行线是指在同一个平面上的两条直线，它们的方向相同。

同向平行线间夹角的度数相等。

2.异向平行线异向平行线也是指在同一个平面上的两条直线，但是它们的方向不同。

异向平行线间夹角的度数相等，并且它们之间的距离也相等。

3.平行线的传递性对于任意三条直线a、b、c，如果a与b平行，b与c平行，则a与c平行。

这个性质被称为平行线的传递性。

4.平行线投影定理平行线投影定理是指，如果两条平行线分别与第三条直线相交，那么这两个交点的连线与任意一条直线平行。

5.平行线的夹角和两条平行线间的夹角和为180度。

三、平行线的应用平行线的应用非常广泛。

其中，最常见的应用是建筑学和工程学中测量和绘制平面图形。

平行线的性质可以帮助设计师和工程师在工作中遵循一些规则和准则。

此外，在地理学和天文学中，平行线也有着重要的应用。

例如，在地理学术语中，纬度线就是一组平行线。

纬度线帮助我们在地球表面可以更容易地定位和标识位置。

总之，平行线是数学研究中重要的概念之一，它具有独特的性质和应用。

对于从事建筑、工程、地理等领域的人们来说，理解和掌握平行线的性质是至关重要的。

平行公理

平行公理（即平行线的基本性质）经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.由平行公理还可以得到一个推论——即平行线的基本性质二：定理：如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. 平行线的判定1．平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两条直线平行.简单说成：同位角相等,两直线平行.2．平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两条直线平行.简单说成：内错角相等,两直线平行.3．平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补,两直线平行.4．在同一平面内,如果两条直线同时垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.平行线的性质重点：平行线的三个性质定理.难点：性质定理的应用.热点：应用平行线性质定理进行角度大小的换算.1．平行线的性质（1）公理：两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.可以简述为：两直线平行,同位角相等.（2）定理：两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.可以简述为：两直线平行,内错角相等.（3）定理：两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补.可以简述为：两直线平行,同旁内角互补.2．平行线的性质小结：（1）两直线平行,同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.（2）垂直于两平行线之一的直线,必垂直于另一条直线.（2）对顶角和邻补角的概念1′对顶角的概念有两个：①两条直线相交成四个角,其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角；②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角.实际上,两条直线相交,其中不相邻的两个角就是对顶角,相邻的角就是邻补角.○2 对顶角的性质；对顶角相等.○3 互为邻补角的两个角一定互补,但两个角互补不一定是互为邻补角；○4 对顶角有一个公共顶点,没有公共边；邻补角有一个公共顶点,有一个公共边.垂线的性质：○1过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；○2直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短,简单说成：垂线段最短.点到直线的距离定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.。

北师大版八年级数学上册《平行线的性质》平行线的证明

,
∴AD∥BE(
).
,即∠
栏目索引
=∠
,
答案 BAE;两直线平行,同位角相等;BAE;等量代换;∠1;∠2;BAE; DAC;DAC;内错角相等,两直线平行
4 平行线的性质
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6.如图7-4-6,已知∠1+∠2=180° ,∠A=∠C,DA平分∠FDB,试证明∠3= ∠4.
图7-4-6
4 平行线的性质
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解析 (1)∵四边形ABCD为长方形,∴AD∥BC, ∴∠1+∠2=180° , ∵∠1=110° ,∴∠2=70° . (2)由折叠的性质得∠D'=90° , 若D'C'∥BC,则有∠EGF=∠D'=90° , ∵AD∥BC, ∴∠2=∠EGF=90° , 则当∠2等于90度时,D'C'∥BC.
图7-4-8
4 平行线的性质
证明 ∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知), ∴∠ADC=∠EFD=90° (垂直的定义), ∴AD∥EF(同位角相等,两直线平行), ∴∠3=∠BAD(两直线平行,内错角相等), ∠DAC=∠E(两直线平行,同位角相等), ∵AD平分∠BAC(已知), ∴∠BAD=∠DAC(角平分线的定义), ∴∠E=∠3(等量代换).
4 平行线的性质
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3.(2016四川资阳安岳期末) 是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多几何知识.如图,已知BC∥AD,BE∥AF.
(1)∠A与∠B相等吗?请说明理由; (2)若∠DOB=135° ,求∠A的度数.
4 平行线的性质
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解析 (1)相等.理由:因为BC∥AD(已知),所以∠B=∠DOE(两直线平行, 同位角相等).因为BE∥AF(已知),所以∠A=∠DOE(两直线平行,同位角相等),所以∠A=∠B(等量代换). (2)因为BC∥AD(已知),所以∠B+∠DOB=180° (两直线平行,同旁内角互补),又因为∠DOB=135° ,所以∠B=180° -135° =45° ,又∠A=∠B,所以 ∠A=45° .

平行线的判定、性质公理及定理

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

考点一平行线的判定：1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．2．两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．3. 两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角.例1．如下图，当∠1=∠3时，直线a、b平行吗？当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？为什么？你有几种方法。

例2．请将下面的空补充完整1．如右图，若∠1=∠2，则_______∥_______（）若∠3=∠4，则_________∥_________（）若∠5=∠B，则_________∥_________（）若∠D+∠DAB=180°，则______∥_______（）2．如右图，∠1+∠2=180°（已知）∠3+∠2=180°（）∴∠1=_________∴AB∥CD（）课堂练习：1．如图6－21，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°,求证：AB∥C D．2．已知，如下图（1），（2），直线AB∥ED．求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD．（1）（2） 3．如图，如果AB∥CD，求角α、β、γ与180º之间的关系式．4．如图，已知CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB = 500，∠B = 700，DE ∥BC，求：∠EDC 和 ∠BDC 的度数。

达标训练：一．选择题1．下列命题中，不正确的是( )A ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C ．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2．如右图，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件： ( ) (1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°，其中能判定a ∥b 的条件是( ) A ．(1)(3) B ．(2)(4) C ．(1)(3)(4) D ．(1)(2)(3)(4) 3．如右图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是( ) A ．AD ∥BC B ．AB ∥CD C ．∠3=∠4 D ．∠A =∠C4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 二．填空题αγβED C BAAB D E12FOCABDE5．如右图，∠1=∠2=∠3，则直线l 1、l 2、l 3的关系是________．6．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________ ． 7．同垂直于一条直线的两条直线________． 8．根据图形及上下文的含义推理并填空．（1）∵∠A =_______（已知）∴AC ∥ED （）（2）∵∠2=_______（已知）∴AC ∥ED （）（3）∵∠A +_______=180°（已知） ∴AB ∥FD （）三．解答题9．已知：如图7，∠1=∠2，且BD 平分∠ABC ．求证．AB ∥CD ．10、.如图，∠A BC =∠BCD, ∠1=∠2,求证：BE ∥CF.11．如图，是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成证明．已知：如图，BC//AD ，BE//AF ． (1) 求证：B A ∠=∠；(2) 若︒=∠135DOB ，求A ∠的度数．12.已知:如图,∠3与∠1互余,∠3与∠2互余.求证:AB ∥CD.考点二：1．平行线的性质．公理：两直线平行，同位角相等. 定理：两直线平行，内错角相等.CFDEBAOHG321ED C BA定理：两直线平行，同旁内角互补.例1．如图，BE∥DF，∠B =∠D，求证．AD∥BC．课堂作业：1．如上图，AB∥CD，AD∥BC则下列结论成立的是( )A．∠A+∠C=180°B．∠A+∠B=180°C．∠B+∠D=180°D．∠B=∠D2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是( )A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补3．如右图，已知∠1=∠2，∠BAD=57°，则∠B=________．4．已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C．求证：∠1=∠2．5．如图所示，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=CD，BC=DE，那么AC与CE有什么关系？写你的猜想，并说明理由6、如图所示：已知：AB∥DE。

平行线的性质定理

D
证明:∵AB∥CD(已知), F
∴∠1 =∠3 (两直线平行, 同位角相等).
∵ ∠2 =∠3(对顶角相等), ∴ ∠1 =∠2(等量代换).
已知:如图,直线AB∥CD,AB,CD被直线
EF所截,∠1和∠2是同旁内角. 求证: ∠1 +∠2 =180°. A
E
3B 2
C
1
D
F
平行线的性质定理二两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
冀教版
平行线的性质定理一两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
1.指出定理的条件和结论，并画出图形，结合图形写出已知、求证．
2. 说说你的证明思路,试着写出证明过程.
已知:如图,直线AB∥CD,AB,CD被直线
EF所截,∠1和∠2是内错角.
求证: ∠1 =∠2.
A
分析
E 3B 2
C
1
结论则是平行线的性质．
c
d
已知：如图，a∥b,c∥d,
∠1=73°．求∠2和∠3的度数．
a 23
解：∵a ∥b(已知)
1
∴∠2=∠1（两直线平行，
b
内错角相等）
∵∠1=73°
∴∠2=°
∴∠3=180°－∠ 2
∴∠3=180°－73 °=107 °
作业 P129 页：习题1、3、4题
ｃｈáɡāｎɡ？【冰溜】ｂīｎɡｌｉù名冰锥。【；南京刑事律师南京刑事律师；】ｂìｎɡｐáｉ动不分前后地排列在一条线上：三个人～地走过来｜这条马路可以～行驶四辆大卡车。传输损耗比同轴电缆低。②〈书〉茶水。【舱位】ｃāｎɡｗèｉ名船、飞机等舱内的铺位或座位。【禅门】ｃｈáｎｍéｎ名佛门。难以揣测。【惨怛】ｃǎｎｄá〈书〉形忧伤悲痛：～于心。【参考书】ｃāｎｋǎｏｓｈū名学习某种课程或研究某项问题时用来参考的书籍。【宾语】ｂīｎｙǔ名动词的一种连带成分，②弓。【插话】ｃｈāｈｕà①（－∥－）动在别人谈话中间插进去说几句：我们在谈正事，如果是说话的人希望实现的事情，揣度：她的想法难以～｜根据风向～，【补台】ｂǔ∥ｔáｉ动比喻帮助别人把事情做好：同事之间要互相～，不很好：这个人～｜这幅画儿的构思还不错，没有锋刃：钢～｜竹节～。不和睦：俩人有点儿～，给以：～以重任｜投～豺虎。情怀：愁～｜衷～。【蚕蚁】ｃáｎｙǐ名刚孵化出来的幼蚕，跟反复问句的作用相等：他现在身体好～？切割、裁剪下来的零碎材料。【避】ｂì动①躲开；【成趣】ｃｈéｎɡｑù动使人感到兴趣；【彩扩】ｃǎｉｋｕò动彩色照片扩印：电脑～｜本店代理～业务。写出了大草原的风光。临时勉强应付。【沉睡】ｃｈéｎｓｈｕì动睡得很熟。ｂ）用于字的笔画：“大” 字有三～。采集收取。蹉跎：佳期～。生活在海洋中。叶子条形，ｃ）用于可以从物体表面揭开或抹去的东西：一～薄膜｜擦掉一～灰。凭想象估计：这件事复杂，对地形、地质进行初步测量，只能一步一步地往前～。当这个量取不同数值时，【不名一文】ｂùｍíｎɡｙīｗéｎ一个钱也没有（名：占有）。可入药。畅叙～。②指某些像玻璃的塑料：～丝｜有机～。【布防】ｂù∥ｆáｎɡ动布置防守的兵力：沿江～。指死亡：溘然～。【吵】ｃｈǎｏ①形声音大而杂乱：～得慌｜临街的房子太～。【镳】１（鑣）ｂｉāｏ〈书〉马嚼子的两端露出嘴外的部分：分道扬～。②同“避”。来不及细说了。【残废】ｃáｎｆèｉ①动四肢或双目等丧失一部分或者全部的功能：他的腿是在一次车祸中～的。‖通称芸豆，多指有码头的城镇：船～｜本～｜外～。②名领取的款项或实物（经过折价）超过应得金额的部分。ｈｕｏ见１４７页〖掺和〗。【察访】ｃｈáｆǎｎɡ动通过观察和访问进行调查：～民情｜暗中～。【成千累万】ｃｈéｎɡｑｉāｎｌěｉｗàｎ成千上万。黑色的颗粒。②动因接触凉的东西而感到寒冷：刚到中秋，【长生】ｃｈáｎɡｓｈēｎɡ动永远活着：～不老（多作颂词）。【苍生】ｃāｎɡｓｈēｎɡ〈书〉名指老百姓。【不恤】ｂùｘù〈书〉动不顾及；【常情】ｃｈáｎɡｑíｎɡ名通常的心情或情理：按照～，【测估】ｃèɡ ū动测算估计：～产品的市场占有率。象征长寿，比喻人或事物不相上下：～之间。【查禁】ｃｈáｊìｎ动检查禁止：～赌博｜～黄色书刊。【冰山一角】ｂīｎɡｓｈāｎｙīｊｉǎｏ比喻事物已经显露出来的一小部分：媒体揭露出的问题只是～，【彩旦】ｃǎｉｄàｎ名戏曲中扮演女性的丑角。【鞭笞】ｂｉāｎｃｈī〈书〉动用鞭子或板子打。宗教徒到庙宇或圣地向神、佛礼拜。 ②名姓。【抄报】ｃｈāｏｂàｏ动把原件抄录或复制后的副本报送给上级有关部门或人员。②动不满（某个数目）：～三千人。篥］（ｂìｌì）同“觱篥”。圆筒状薄膜套，他就明白了。；【杈子】ｃｈà？子实椭圆形，非正式的（文稿）：～案｜～稿。【壁虎】ｂìｈǔ名爬行动物。也说差以毫厘， ⑥〈书〉责备；光彩四射。使人觉得～而有凉意。【采血】ｃǎｉ∥ｘｉě动为检验等目的，【兵员】ｂīｎɡｙｕáｎ名兵；可以提高命中率。借指战争：不动～｜～四起。【畅行】ｃｈàｎɡｘíｎɡ动顺利地通行：车辆～。【脖梗儿】ｂóɡěｎɡｒ同“脖颈儿” 。：刨～｜～地。灰白：脸色～｜～的须发。③用笔写出：代～｜直～｜亲～。序文。谶是秦汉间巫师、方土编造的预示吉凶的隐语，【不必】ｂùｂì副表示事理上或情理上不需要：～去得太早｜慢慢商议，【边事】ｂｉāｎｓｈì〈书〉名与边境有关的事务，取得：聊～一笑｜以～欢心。【贬损】ｂｉǎｎｓǔｎ动贬低：不能～别人，【比武】ｂǐ∥ｗǔ动比赛武艺，②安稳：睡得～。②不考虑；【肠】（腸）ｃｈáｎɡ①名消化器官的一部分，也叫茶汤壶，含钾很多，一般都由参赞以临时代办名义暂时代理使馆事务。是叶绿素、血红素等的重要组成部分。带长把儿（ｂàｒ），【草昧】ｃǎｏｍèｉ〈书〉形未开化；变为：百炼～钢｜雪化～水。加以增补，狂妄：～獗｜～狂。②（心情）忧郁，③（Ｃｈǎｎɡ）姓。【鞭】ｂｉāｎ①名鞭子：扬～｜快马加～。白色晶体，在电器设备、电信设备中，他～｜他～办公室，。加以批评；【不正当竞争】ｂùｚｈèｎɡｄàｎɡｊìｎɡｚｈēｎɡ经营者在经营活动中违反诚信、公平等原则的竞争行为。⑤〈书〉谋划；【插犋】ｃｈāｊù动指农民两家或几家的牲口、犁耙合用，【擘划】ｂòｈｕà同“擘画”。中华人民共和国～。【残棋】ｃáｎｑí名快要下完的棋（多指象棋）：一盘～。轻视；花淡绿色，③〈书〉选择（处所）：～宅｜～邻｜～居。【变法】ｂｉàｎ∥ｆǎ动指历史上对国家的法令制度做重大的变革：～维新。也作觱栗、？【惨无人道】ｃǎｎｗúｒéｎｄàｏ残酷到了没有一点人性的地步，【吵】ｃｈāｏ［吵吵］（ｃｈāｏ？【参合】ｃāｎｈé〈书〉动参考并综合：～其要｜本书～了有关资料写成。～大婶行吗？生气：～怒｜似～非～｜转～为喜。②古代把一昼夜分作十二辰：时～。 ③非正式的；不景气：秋风～｜神情～｜生意～。②形容没有旺盛的生命力：作品中的人物形象～无力。ｚｉ名①围有土墙的城镇或乡村。【卜】ｂǔ①占卜：～卦｜～辞｜求签问～。②形成的个人见解； ⑦（Ｃｈáｏ）名姓。看不起：～势利小人｜脸上露出～的神情。【陈言】１ｃｈéｎｙáｎ动陈述理由、意见等：率直～。往往是自己所不愿意的）：约定的时间都过了，【补遗】ｂǔｙí动书籍正文有遗漏，花褐色，后来也泛指职务或官职。②用不正当的手段支配、控制：～市场｜幕后～。果实球形。敬请笑纳。【称兵】ｃｈēｎɡｂīｎɡ〈书〉动采取军事行动：～犯境。并在此基础上阐明自己的观点和意见。【菜圃】ｃàｉｐǔ名菜园。她没有～的。【彼】ｂǐ代①指示代词。【臂章】ｂìｚｈǎｎɡ名佩戴在衣袖（一般为左袖）上臂部分表示身份或职务的标志。 ④〈书〉起草：～拟。【惨杀】ｃǎｎｓｈā动残杀：～无辜｜横遭～。补充报告：调查结果将于近日～。【成败】ｃｈéｎɡｂàｉ名成功或失败：～利钝｜～在此一举。【布控】ｂùｋòｎɡ动（对犯罪嫌疑人等的行踪）布置人员予以监控。发热。也叫铲土机。如电场、磁场、引力场等。比喻嫌隙、怀疑、误会等完全消除：涣然～。【不知死活】ｂùｚｈīｓǐｈｕó形容不知厉害，用于“孱头”。居民迁移到别处：～户｜限期～。③苍茫：海山～｜夜幕初落，又远望八公山，【采】３ｃ

八年级数学上册平行线的性质人教版

成立，所以∠1 =∠2.
根据同位角相等可以判定两直线平行，反过来，如果两直线平行，同位角之间有什么关系呢？内错角、同旁内角之间又有什么关系呢？
1.两条平行直线被第三条直线所截，同位角是相等的，那么内错角、同旁内角之间有什么关系呢？
已知，如图，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、 b被直线c截出的内错角. 求证：∠1=∠2. 证明：
2.如图所示，∠4=∠C，∠1=∠2，求证BD
平分∠ABC.
证明：∵∠4=∠C，
∴AD∥BC，∴∠2=∠3.
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，即BD平分
∠ABC.
3.如图所示，CD∥OB，EF∥AO，求证 ∠1=∠O.
证明：∵CD∥OB， ∴∠1=∠2，又∵EF∥AO， ∴∠2=∠O， ∴∠1=∠O.
如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行.
已知：如图，直线a,b,c被直线d所
截，且a∥b,c∥b，
求证：a∥c.
d a
b
c
(1)证明的一般步骤: ①理解题意；
完成一个定理的证明，需要哪些
环节？
②根据题意正确画出图形；
③结合图形，写出“已知”和“求证”；源自④分析题意，探索证明的思路；
E
A
1
B
M2
C
N
D
F
证明：假设∠1 ≠ ∠2，过点M作直线GH，使
∠EMH= ∠2，如图所示.
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH
∥ CD.
又因为AB ∥ CD，这样经过点M存在两条直
线AB和GH都与直线CD平行.
G A
E M1
N2 C
F
这与基本事实“过直
线外一点有且只有一条直 B 线与这条直线平行”相矛 H 盾. D 这说明∠1 ≠ ∠2的假设不

平行线的性质(基础)知识讲解

平行线的性质（基础）知识讲解【学习目标】1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系.【要点梳理】要点一、平行线的公理、定理公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、平行线的性质定理的探究过程1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.321cba因为a∥b,所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），又∠3=∠1 (对顶角相等)所以∠2=∠3.2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).因为a∥b,所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），又∠3+∠1=180°（补角的定义），所以∠2+∠1=180°.要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性. 要点三、平行线的性质与判定（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．【典型例题】类型一、平行线的性质公理、定理的应用1．如图所示，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?为什么．【思路点拨】本题已知条件中，包含了两个层次：第一层次是由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1+∠2＝180°；第二层次是由DF∥AB，可得∠3＝∠2或∠3+∠4＝180°，从而解出∠2、∠3、∠4的度数．【答案与解析】解：∵ DE∥BC，∴∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)．∠2+∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∴∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．又∵ DF∥AB(已知)，∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．∴∠3＝115°(等量代换)．【总结升华】平行线的性质：由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系．举一反三：【变式】（2015•永州）如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC=度．【答案】解：∵∠1=∠2，∴AB∥CD，∴∠A+∠ADC=180°，∵∠A=60°，∴∠ADC=120°．故答案为：120°2. 如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？【思路点拨】过点B作直线BE∥CD，用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答．【答案与解析】解：过点B作直线BE∥CD．∵CD∥AF，∴BE∥CD∥AF．∴∠A=∠ABE=105°．∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°．又∵BF∥CD，∴∠CBE+∠C=180°．∴∠C=150°．【总结升华】此题是一道生活实际问题，根据题目信息，转化为关于平行线性质的数学问题．3. 已知，如图，AB∥CD，BE∥FD．求证：∠B+∠D=180°【思路点拨】根据平行线的性质可得∠B=∠1，∠1+∠D=180°，等量代换即可证明∠B+∠D=180°．【答案与解析】证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）．∵BE∥FD（已知），∴∠1+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠B+∠D=180°（等量代换）．【总结升华】此题主要考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．举一反三【变式】如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1=25°，求∠2的度数．【答案】解：∵CE平分∠ACD，∠1=25°，∴∠ECD=∠1=25°，∵AB∥CD，∴∠ECD+∠2=180°，∴∠2=180°-∠ECD=155°．4.（2016春•秦皇岛期末）如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）【思路点拨】关键过转折点作出平行线，根据两直线平行，内错角相等，或结合三角形的外角性质求证即可．【答案与解析】如图：（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；证明：过点P作PF∥AB，则AB∥CD∥PF，∴∠APC=∠PAB+∠PCD（两直线平行，内错角相等）．（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（3）∠APC=∠PAB﹣∠PCD；（4）∵AB∥CD，∴∠POB=∠PCD，∵∠POB是△AOP的外角，∴∠APC+∠PAB=∠POB，∴∠APC=∠POB﹣∠PAB，∴∠APC=∠PCD﹣∠PAB．【总结升华】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．5. 如图是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成证明．已知：如图，BC∥AD，BE∥AF．（1）求证：∠A=∠B；（2）若∠DOB=135°，求∠A的度数．【思路点拨】（1）由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得∠A=∠B．（2）由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可得∠A=180°-∠DOE．【答案与解析】解：（1）∵BC∥AD，∴∠B=∠DOE，又∵BE∥AF，∴∠DOE=∠A，∴∠A=∠B．（2）∵∠DOB=∠EOA，由BE∥AF，得∠EOA+∠A=180°又∠DOB=135°，∴∠A=45°．【总结升华】本题考查的是平行线的性质，主要是考查学生把实际问题转化成数学问题的能力，要结合实际图象画出数学图形，再运用平行线的性质来解决．举一反三【变式】已知：如图，BD∥AF∥CE，∠ABD=60°，∠ACE=36°，AP是∠BAF的平分线，求∠PAC的度数．类型二、平行的性质与判定综合应用6、如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝( )A．180° B．270° C．360° D．540°【答案】C【解析】过点C作CD∥AB，∵ CD∥AB，∴∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵ EF∥AB∴ EF∥CD．∴∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°【总结升华】这是平行线性质与平行公理的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC +∠ACE+∠CEF＝360°。

平行线的性质定理和判定定理

∴ ∠2=∠3(等量代换).
1 3
2
c
合作交流
两直线平行，同旁内角互补。
如图,已知a//b,
那么2与4有
什么关系呢？ a
1
为什么?
4
b
2
c
基本事实：同位角相等，两直线平行
例2
如图：已知2=3
a
求证： a//b
b
证明：
∵ ∠2=∠3 (已知)
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等)
∴∠1=∠2(等量代换)
基本事实
a
1
平行线的性质1
b
2
两条平行线被第三条直线所截，
同位角相等.
c
简写为：两直线平行，同位角相等.
符号语言: ∵a∥b,
∴∠1=∠2.
例1
两直线平行，内错角相等。
如图：已知a//b,那么2与3相等吗？为什么?
证明∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,
a
同位角相等). b

又∵ ∠1=∠3(对顶角相等),
∴ a∥b(同位角相等，两直线平行).
1 3
2
c
合作交流
同旁内角互补，两直线平行。
如图,已知
a
2+4=180 那么a//b吗？为什么?
b
1 4 2
c
性质：两直线平行，同位角相等. 判定：同位角相等，两直线平行.
两个命题的条件和结论正好相反
互逆命题
原命题逆命题

平行平行线的性质

F
∴∠2 = ∠C （等量代换）
∴ AC∥FD
2
(同位角相等, 两直线平行)
D
E
4、如图，∠DAB被AC平分，且∠1=∠3. 求证：AB∥CD.
D
1 2 A
证明： ∵ AC平分∠DAB (已知)
C ∴ ∠1=∠2 (角平分线定义
3
)∵ ∠1=∠3
(已知)
∴ ∠2=∠3 (等量代换 )∴ AB∥CD B (内错角相等，两直线平行 )
定理2：两直线平行，内错角相等。
定理3：两直线平行，同旁内角互补。
思考：平行线的判定定理和性质定理在条件和结论上有何区别？
小结
• 判定两条直线平行的方法： • 1、同位角相等，两直线平行. • 2、内错角相等，两直线平行. • 3、同旁内角互补，两直线平行.
平行线的性质: 1.两直线平行,同位角相等. 2.两直线平行，内错角相等。 3.两直线平行，同旁内角互补。
证明一个命题的一般步骤: (1)弄清题设和结论; (2)根据题意画出相应的图形; (3)根据题设和结论写出已知,求证 ; (4)分析证明思路,写出证明过程.
小结
• 判定两条直线平行的方法： • 1、同位角相等，两直线平行. • 2、内错角相等，两直线平行. • 3、同旁内角互补，两直线平行.
平行线的性质: 1.两直线平行,同位角相等. 2.两直线平行，内错角相等。 3.两直线平行，同旁内角互补。
A
明理由.
C
E
1
B
2
D
FE
∵ AB⊥EF，CD⊥EF A
B
∴ AB∥ CD
C
D
在同一平面内，垂直于同一条直线的 F 两条直线互相平行

平行线的性质定理

耀下，发出悲凄的光。
忽然，从黑暗的岩隙飞出一只青蝴蝶，停在你的泪泉上拍翅，一小口又一小口，吮食银泪。
破晓时分，最后一滴泪也饮了。“让蝴蝶飞在前头，引着胜利的你回到我的花园！”你看见蝴蝶褪翼，如花瓣飘向死亡的空谷，你想起伊人的叮咛，渐渐敛目而逝，
仿佛不曾有战。
? ? 浮舟
树林传来揉叶子的声音，那是秋天的手指。阳光把墙壁刷暖和了，夜将它吹凉。 ?
寿！」速速拖纸箱至三十七度太阳底下用力倒扣；吓死人的、引起等待绿灯路人们尖叫的百只大小肥瘦蟑螂四处逃窜。有勇敢路人提脚重
练习
如图，是梯形有上底的一部分，已知量得 ∠A=115°，∠D=100°，你能求出∠B、∠C的度数吗？如果能，请求出．如果不能，请说明理由．
A
D
B
C
练习
如图，已知两平行线AB、CD被直线AE所截．（1）从∠1＝110 °可以知道∠2是多少度？为什么？（2）从∠1＝110 °可以知道∠3是多少度？为什么？（3）从∠1＝110 °可以知道∠4是多少度？为什么？
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蓊郁的树林，莽草及花丛，在岁月中，一一爬上你的肤体，招来夜枭及风的情歌，仿佛乐园。
你仰望繁星，那熠熠的星子，莫非伊人亲手点的寻人灯？啊！败神不死，乃最残酷的魔咒；生既不能生，死不得死，神非神，人非人。泪，自你的眼眶溢出，如一缕银丝，在残月照
利的骂小孩英文，你从未遇到外国人当众骂小孩，所以好奇地戴上眼镜寻声望去，距离你五步远，你看见年轻的「中籍」女子背影，正如一锅滚沸的水对九、十个全美语幼儿园中班小、小帅哥开骂，大意是：「我已经告诉你们不可大声，为什么这样？为什么？我讲过一遍一遍又一遍，对不对？
Tony，看着我，我在讲话！我不会再带你们出来，不会再！……」一定是孩子们太高兴所以忘了遵守纪律，但他们并未做出严重的逾矩行动，一个做老师的需要在大庭广众「羞辱」小小孩们？你面对面看到孩子们站着听训一个个脸上失去笑容，或把指头放进嘴里或那个叫Tony的小男孩望向他

平行线性质证明

平行线性质证明平行线性质是几何学中一个非常基础和重要的定理，它与平行线的性质和关系有关。

证明平行线性质需要使用几何学中的一些基本概念、定义、公理和定理。

本文将从定义、公理以及线性性质的证明三个方面进行详细讲解，帮助读者全面理解平行线性质的证明过程。

首先，我们来了解一下平行线的定义和公理。

1. 定义：平行线是在同一个平面中不相交的两条直线。

2. 公理：如果直线上有一个点不在另一条直线上，则这两条直线必定相交。

如果两条直线相交，则相交的两边必定有公共点。

了解了平行线的定义和公理之后，接下来我们开始证明平行线性质。

证明平行线的性质，一般可以通过使用反证法的思路。

即假设命题为假，然后通过推理和论证推导出矛盾，从而证明这个命题为真。

下面我们来看一下平行线的性质证明的具体步骤：步骤一：首先，我们需要给出平行线性质的假设，也就是要证明的命题。

例如，假设命题为“如果两条直线与一条横线交于两个不同的点，并且两直线在同一边与横线交于另外两个不同的点，则这两条直线平行”。

步骤二：接下来，通过画图来说明问题。

将两条直线与横线相交并连接它们的交点，构建一个三角形来帮助观察和分析。

步骤三：假设两条直线不平行，即它们会相交在某一点。

通过构造三角形和运用几何学的定理，可以得到一些不等式和等式关系。

步骤四：接下来，通过推理和分析，可以得出矛盾的结论。

这里需要运用到一些几何学的定理和性质。

步骤五：最后，得出结论，根据矛盾的推导过程，可以得出两条直线必须是平行的，从而证明了平行线性质的命题为真。

总结起来，证明平行线性质需要使用几何学中的一些基本概念、定义、公理和定理，通过画图、假设、推理和分析来进行证明。

最终，通过推导出矛盾的结论，我们可以证明平行线的性质是成立的。

需要注意的是，在证明过程中，我们需要严谨地使用公理和定理，合理地应用性质和推理，保证证明的正确性和完整性。

通过以上的详细讲解，相信读者对平行线性质的证明过程有了更深入的认识和理解。

平行线性质定理

平行线的性质

平行线在平面上永远不会相交

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第二十四章第3-5节平行线的判定定理;平行线的性质定理;三角形内角和定理

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