大学物理通用矢量知识

A 1即模为1的矢量 ——单位矢量 A 0即模为0的矢量 —— 零矢量
零矢量的方向可以认为是任意的，记 作0 。
大学物理通用矢量知识
5
大学物理
数学知识：矢量
A
与矢量 A 同方向的单位矢量记作 e 。 在直角坐标系O-xyx中，记x、y、z三个 方向的单位矢量为 i 、j 、k 。 z 矢量具有大小与方向两个 y 要素，只有当同类的两个矢 x 量大小相等且方向相同时， 两个矢量才相等。记为 A B 。而标量 和矢量由于不同类，故不能相比较，也 不能相加减。
Ax Bx i i Ax By i j Ax Bz i k Ay Bx j i Ay By j j Ay Bz j k Az Bx k i Az By k j Az Bz k k
( Ay Bz Az By )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax By Ay Bx )k
大学物理
数学知识：矢量
§0.1 矢量 物理学中常会遇到两类不同性质的物 理量：标量（Scalar）和矢量（Vector）。 其中只用数值即可表示的量叫标量， 这里数值的含义包括大小和正负。 比如时间、路程、质量、能量、电量 等就是这样的量。
大学物理通用矢量知识
1
大学物理
数学知识：矢量
而既有大小、正负，还有方向，且其 加法遵从平行四边形法则或三角形法则 的量叫做矢量。 力、速度、加速度、电场强度等都是 这样的量。矢量可以用有方向的几何线 段表示。
( ) A A A
满足交换律
( A) ( A) ( A)
大学物理通用矢量知识
14
大学物理
数学知识：矢量
那么，如果用 eA 表示与 A 同方向的单位 矢量，则 A 可表示为
A AeA
r 5i r 3 j r 2k
§0.4 矢量的正交分解
B Bx i By j Bz k
大学物理通用矢量知识
19
大学物理
数学知识：矢量
则 A B ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
§0.5
矢量的标积和矢积
矢量除了数乘之外，还有标积和矢积两种 相乘方式。 （1）矢量的标积（点积） 我们定义矢量 A 和 B 的标积为 A• B 标积的结果是一个标量，等于 A 和 B 的模与 夹角余弦的乘积。即有
矢量的标积还可用矢量的正交分解式来计 算，即若
A Ax i Ay j Az k B Bx i By j Bz k
大学物理通用矢量知识
22
大学物理
数学知识：矢量
则可得
A • B ( Ax i Ay j Az k ) • ( Bx i B y j Bz k ) Ax Bx Ay By Az Bz
（2）矢量的矢积（叉积） 矢量 A 和 B 的矢积为一矢量，记作
A B C
C 的大小为 C AB sin
大学物理通用矢量知识
(0 )
24
大学物理
数学知识：矢量
其中 为 A 与 B 的夹角，而 C 的方向按右 手螺旋法则确定。 z
C
A

B
x
y
即右手四指按小于 的方向从 A 转向 B 时， 伸直的拇指所指的方向即为 C 的方向。矢积 用“ ×”表示，故通常又叫叉乘，也读作 叉乘。
大学物理通用矢量知识
N
C
B
A
11
大学物理
数学知识：矢量
矢量的加法满足交换律和结合律，即有
A B B A ( A B) C A ( B C )
（2）矢量减法(Vector Subtraction)
如果矢量 A 和 B 的和为 C ，即 A B C ， 则 B 可称作 C 与 A 的矢量差。记作
即标积等于对应分量相乘积的和。
而在任何坐标系中，总有
A• A A
2
矢量的标积满足交换律，分配律和结合律。 即有
大学物理通用矢量知识
23
大学物理
数学知识：矢量
A B B A
(交换律)
( A B) C A C B C (分配律)
( A B) ( A) B A ( B) (结合律)
BCA
矢量的减法是加法的逆运算。
大学物理通用矢量知识
12
大学物理
数学知识：矢量
由于 A 与 A 的方向相反，故有
B C A C ( A)
即矢量的减法可转换成加法来进行计算。
A
B
C A
B
即 B 等于从 A 的矢端指向 C 的矢端的矢量。 故在三角形法则中，从减矢量矢端指向被 减矢量矢端的矢量，即为这两个矢量之差。
大学物理通用矢量知识
28
大学物理
数学知识：矢量
i j k
Ax Ay Az Bx By Bz
而混和积
A ( B C ) Ax ( By Cz Bz C y ) Ay ( Bz Cx BxCz ) Az ( BxC y By Cx )
Ax Ay Az Bx By Bz Cx C y Cz
大学物理通用矢量知识
29
大学物理
数学知识：矢量
A ( B C )在数值上等于以 A 、 B、 C 三矢量
为棱的平行六面体的体积。并且我们还有 7. A ( B C ) B (C A) C ( A B) 8. A ( B C ) B( A C ) C ( A B) 9. A ( B C ) A (C B)
i j k jk i k i j
27
（分配律）
大学物理通用矢量知识
大学物理
数学知识：矢量
j i k k j i i k j
用正交分解式计算时有
A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i By j Bz k )
大学物理通用矢量知识
25
大学物理
安培定律 意义
dF Idl B
dF I d lB sin
数学知识：矢量
磁场对电流元作用的力的大小为
Idl B 同向 。
的方向垂直于 Idl d F
和 B 所组成的平面, 且与
有限长载流导线所受的 安培力
Idl
dF
如果矢量 A 和 B 相加，和为 C ，记为
A B C
大学物理通用矢量知识
8
大学物理
数学知识：矢量


C 与 A 的夹角 设矢量 A 、B 的夹角为 ， 为 。 则 C 的大小为
C A B 2 AB cos
2 2
B sin 夹角 为 arctan A B cos
大学物理通用矢量知识
6
大学物理
数学知识：矢量
据此，将一个矢量平移后，其大小和 方向都保持不变，所以平移后的矢量与 原矢量相等，仍是原矢量 。那么，在考 察矢量之间的关系或对它们进行运算时， 根据需要可对他们进行平移。
A
A
大学物理通用矢量知识
7
大学物理
数学知识：矢量
§0.2 矢量的加减法
（1）矢量加法(Vector Addition) 矢量的加减法遵从平行四边形法则或三角 形法则。
(C B) A ( B C ) A
大学物理通用矢量知识
30
大学物理
数学知识：矢量
§0.6
矢量的导数
（1）矢量函数 在物理学中有许多矢量是随时间或空间位 置的变化而变化的，包括大小和方向都可能 发生变化，如速度、力、电场强度等都是这 样。 如果对于标量变量 t 的每一个值，都相应 的存在变矢量 A 的一个确定值与之对应，则 称矢量 A 是标量变量 t的矢量函数，记为
大学物理通用矢量知识
21
大学物理
数学知识：矢量
在直角坐标系中 A Ax i Ay j Az k ，则
A • i ( Ax i Ay j Az k ) • i Ax
A • 0 ，那么，若 A • B 0，则 A B 。 若 A 0，
大学物理通用矢量知识
20
大学物理
数学知识：矢量
A • B A B cos( A, B) AB cos( A, B)
AB cos
即
A • B AB cos
( 0 )
因标积的运算符号为“• ”，所以标积通 常称为点积。
在直角坐标系中则有
i •i j • j k • k 1 i • j j • k k •i 0
Ax cos , A
Az cos , cos A A
Ay
18
大学物理通用矢量知识
大学物理
数学知识：矢量
2 2 2 cos cos cos 1 。于是用 且有 x、y、z三个方向的分矢量表示 A 时有
A Ax i Ay j Az k
上式称为 A 在直角坐标系中的正交分解式。 利用正交分解式可进行矢量的加减运算。计算 时，把对应方向的分矢量相加减，所得结果即 为所求矢量的对应分量。 即若 A Ax i Ay j Az k
Idl
dF
F l dF l Idl B
B
B
大学物理通用矢量知识
大学物理
数学知识：矢量
根据定义我们可以得到如下结论： 1. A A 0
2. 若 A 0, B 0 ，则 A / / B A B 0 3. A B B A （不满足交换律） 4. ( A) B ( A B) A ( B) （ 为实数） 5. C ( A B) C A C B 6.在直角坐标系中有
由矢量的加法知道，两个以上的矢量可以 相加合成为一个矢量。所以，一个矢量也可 以分解为两个或两个以上的分矢量。 但一个矢量分解为两个矢量时，结果并不 唯一，而是有无穷多种分解方法。
大学物理通用矢量知识
15
大学物理
数学知识：矢量
A
矢量的分解
A
唯一的分解
但如果限定了两个分矢量的方向，则分解 是唯一的。 我们常将矢量沿相互垂直的方向进行分解， 这种分解当然也是唯一的。这种情况下分矢 量相互垂直（正交），称为正交分解。
大学物理通用矢量知识
9
大学物理
数学知识：矢量
三角形法则
即把矢量 B 平移，让其矢尾与 A 的矢端相 连，那么从 A 的矢尾指向 B 的矢端的矢量即 为合矢量 C ，此即矢量相加的三角形法则。 可见三角形法则是平行四边形法则的简化。
大学物理通用矢量知识
10
大学物理
数学知识：矢量
多边形法则 当多个矢量相加时，可用平行四边形法则 逐次进行，也可将三角形法推广为多边形法 则进行。 即令 A 、 C ……等诸矢 B、 量依次首尾相接，那么，从 第一个矢量的矢尾指向最后 一个矢量的矢端的矢量即为 和矢量。
大学物理通用矢量知识
16
大学物理
数学知识：矢量
（1）矢量在直角坐标系中的正交分解 在直角坐标系中，x、y、z三个方向的单位 矢量分别为 i 、 j、 k。 自矢量 A 的矢端向z轴作 垂线，垂足为 Az 。 z Az 又自 A 的矢端向O-xy平 面作垂线，垂足为 A 。 A 再自 A 向x轴和y轴作垂 线，垂足分别为 Ax 和 Ay 。 Ax x
矢 端 矢 尾
单位长度
图0.1 矢量的图示
大学物理通用矢量知识
2
大学物理
Ar
大学物理通用矢量知识
数学知识：矢量
3
大学物理
r
大学物理通用矢量知识
数学知识：矢量
4
大学物理
数学知识：矢量
即矢量 A 用从矢尾到矢端的一条有向 线段来表示，箭头表示矢量的方向，线 段的长度表示矢量的大小。 矢量 A 的大小即 A A ——矢量的模
O
Ay
y
A
17
大学物理通用矢量知识
大学物理
数学知识：矢量
Ay 、 Az 称为 矢量 A 在x、y、z轴上的投 则 Ax 、 影或分量（注意不是分矢量） 。这样， A 在x、 y、z方向的分矢量分别为
Ax i
Ay j
Az k
则矢量 A 的大小为
A A
2 2 Ax Ay Az2
A
设 A 与x、y、z轴的夹角 、 ，称为方向 分别为 、 角，则方向余弦为
大学物理通用矢量知识
13
大学物理
数学知识：矢量
§0.3 矢量的数乘
矢量 A 与一个实数 m的乘积叫做矢量的数乘， 结果仍是一个矢量，记作 mA ，模为 mA m A 。 若 m 0 ，则 mA与 A 同向，否则反相或等 于零。矢量的数乘有如下性质。
满足分配律
( A B) A B