离散数学(第二版)第7章格和布尔代数和
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【例 7.1.1】 (1) 对任意集合S， 偏序集〈P(S)，〉为格， 其中并、 交运算即为集合的并、 交运算， 即
B∨C＝B∪C B∧C＝B∩C 封闭于P(S), 这里B, C∈P(S)。
第七章 格和布尔代数
(2) 设L为命题公式集合，
L上的
偏序关系(
)， 那么，
〈L, 为格， 对任何命题公式 A， B， A∨B=A∨B，
第七章 格和布尔代数
离散数学(第二版)第7章格和布尔代 数和
第七章 格和布尔代数
7.1 格 与 子 格
本章将讨论另外两种代数系统——格与布尔代数， 它 们与群、 环、 域的基本不同之处是： 格与布尔代数的基集 都是一个偏序集。 这一序关系的建立及其与代数运算之间 的关系是介绍的要点。 格是具有两个二元运算的代数系统， 它是一个特殊的偏序集， 而布尔代数则是一个 特殊的格。
图7.1.1
第七章 格和布尔代数
定义7.1.1 如果偏序集〈L， 〉中的任何两个元素的 子集都有上确界和下确界, 则称偏序集〈L， 〉为格 (lattice)。
虽然偏序集合的任何子集的上确界、 下确界并不一定 都存在， 但存在， 则必唯一，而格定义保证了上确界、 下 确界的存在性。
第七章 格和布尔代数
a∨c b∨d 将a∧c≤b∧d的证明留给读者。
第七章 格和布尔代数
(3) 将(2)中的a代替b， b代替c， c代替d即可得证。
证毕
定理7.1.4 设〈L, 是一个格， 那么对L中任意元素
a, b, c， 有
(1) a∨a=a， a∧a＝a
(幂等律)
(2) a∨b=b∨a， a∧b=b∧a
(交换律)
于是， 我们有下列对偶原理。
第七章 格和布尔代数
定理7.1.2 如果命题P在任意格〈L， 〉上成立， 则
将L中符号∨， ∧，
∧， ∨，
P*在任意格〈L， 〉上也成立， 这里P*称为P的对偶式。
在上述对偶原理中， “如果命题P在任意格〈L， 〉
上成立”的含义是指当命题P中的变量取值于L中， 且上确
界运算为∨， 下确界运算为∧， 则P对于它们也成立。
条件是b a, 则〈L, 也是偏序集。 我们把偏序集〈L, 和〈L, 称为是相互对偶的。 并且它们所对应的哈
斯图是互为颠倒的。 关于格我们有同样的性质。 定理7.1.1 若〈L, 是一个格， 则〈L, 也是一
个格, 且它的并、 交运算∨r, ∧r对任意a, b∈L满足 a∨rb=a∧b，a∧rb=a∨b
现在我们深入地讨论格的性质。
第七章 格和布尔代数
定理7.1.3 设〈L, 是一个格， 那么对L中任何元素 a, b, c， 有
(1) a a∨b， b a∨b a∧b a， a∧b b
(2) 若a b， c d， 则a∨c b∨d， a∧c b∧d。 (3) 若a b， 则a∨c b∨c， a∧c b∧c。 这个性质 称为格的保序性。
所以a∨a=a。 利用对偶原理可得
a∧a＝a。
(2) 由格的并∨与交∧运算的定义知满足交换律。
(3) 由下确界定义知
a∧(b∧c) b∧c b
(7.1.1)
a∧(b∧c) a
(7.1.2)
a∧(b∧c) b∧c c
(7.1.3)
第七章 格和布尔代数
由式(7.1.1)、 (7.1.2)得 a∧(b∧c) a∧b
第七章 格和布尔代数
证明 (1) 因为a∨b是a的一个上界， 所以a a∨b； 同理有b a∨b。 由对偶原理可得a∧b a， a∧b b。 (2) 由题设知a b， c d， 由(1)有b b∨d，d b∨d，
a b∨d， c b∨d。 这说明b∨d是a和c的一个上界， 而a∨c是a和c的最小 上界， 所以， 必有
由式(7.1.3)、 (7.1.4)得 a∧(b∧c) (a∧b)∧c
同理可证 (a∧b)∧c a∧(b∧c)
(7.1.4) (7.1.5) (7.1.6)
第七章 格和布尔代数
(7.1.5)、 (7.1.6)， 所以a∧(b∧c)=
(a∧b)∧c。
利用对偶原理可得a∨(b∨c)=(a∨b)∨c。
(4) 由定理7.1.3的(1)可知a∧(a∨b) a； 另一方面，
A∧B=A∧B(等式右边的∨， ∧为析取与合取逻辑运算符)。
(3) 设Z+表示正整数集， |表示Z+上整除关系， 那么 〈Z+， |〉为格， 其中并、 交运算即为求两正整数最小公 倍数和最大公约数的运算， 即
m∨n＝LCM(m, n) m∧n＝GCD(m, n)
第七章 格和布尔代数
另外， 若将〈L, 中的小于等于关系换成大于等于 即对于L中任何两个元素a, b定义a b的充分必要
由定义可知， 并非所有的偏序集都能构成格， 我们用 Hasse图表示偏序集， 图7.1.2中哪个能构成格？
第七章 格和布尔代数
图7.1.2
Hale Waihona Puke Baidu
第七章 格和布尔代数
图7.1.2中哈斯图(a)、 (b)、 (c)所规定的偏序集是格， 图(d)、 (e)及图7.1.1所规定的偏序集不是格, 因为图中{a, b} 无上确界。
在第四章， 对偏序集的任一子集可引入上确界(最小上 界)和下确界(最大下界)的概念，但并非每个子集都有上确 界或下确界， 例如在图7.1.1中哈斯图所示的偏序集里， {a， b}没有上确界， {e， f}没有下确界。 不过， 当某子集的上、 下确界存在时， 这个上、 下确界是唯一确定的。
第七章 格和布尔代数
(3) a∨(b∨c)=(a∨b)∨c, a∧(b∧c)=(a∧b)∧c(结合律)
(4) a∧(a∨b)=a， a∨(a∧b)=a
(吸收律)
第七章 格和布尔代数
证明
(1) 由自反性可得 a a， 所以 a是a的一个上界， 因为
a∨a 是a与a的最小上界， 因此a∨a a。
由定理7.1.3的(1)可知a a∨a。
因此我们通常用a∨b表示{a， b}的上确界， 用a∧b 表示{a， b}的下确界， 并记作a∨b=LUB{a, b}(least upper bound), a∧b=GLB{a, b}(greatest lower bound), ∨和∧分别 称为并(join)和交(meet)运算。 由于对任何a， b， a∨b及 a∧b都是L中确定的成员， 因此∨, ∧均为L上的二元运算。
B∨C＝B∪C B∧C＝B∩C 封闭于P(S), 这里B, C∈P(S)。
第七章 格和布尔代数
(2) 设L为命题公式集合，
L上的
偏序关系(
)， 那么，
〈L, 为格， 对任何命题公式 A， B， A∨B=A∨B，
第七章 格和布尔代数
离散数学(第二版)第7章格和布尔代 数和
第七章 格和布尔代数
7.1 格 与 子 格
本章将讨论另外两种代数系统——格与布尔代数， 它 们与群、 环、 域的基本不同之处是： 格与布尔代数的基集 都是一个偏序集。 这一序关系的建立及其与代数运算之间 的关系是介绍的要点。 格是具有两个二元运算的代数系统， 它是一个特殊的偏序集， 而布尔代数则是一个 特殊的格。
图7.1.1
第七章 格和布尔代数
定义7.1.1 如果偏序集〈L， 〉中的任何两个元素的 子集都有上确界和下确界, 则称偏序集〈L， 〉为格 (lattice)。
虽然偏序集合的任何子集的上确界、 下确界并不一定 都存在， 但存在， 则必唯一，而格定义保证了上确界、 下 确界的存在性。
第七章 格和布尔代数
a∨c b∨d 将a∧c≤b∧d的证明留给读者。
第七章 格和布尔代数
(3) 将(2)中的a代替b， b代替c， c代替d即可得证。
证毕
定理7.1.4 设〈L, 是一个格， 那么对L中任意元素
a, b, c， 有
(1) a∨a=a， a∧a＝a
(幂等律)
(2) a∨b=b∨a， a∧b=b∧a
(交换律)
于是， 我们有下列对偶原理。
第七章 格和布尔代数
定理7.1.2 如果命题P在任意格〈L， 〉上成立， 则
将L中符号∨， ∧，
∧， ∨，
P*在任意格〈L， 〉上也成立， 这里P*称为P的对偶式。
在上述对偶原理中， “如果命题P在任意格〈L， 〉
上成立”的含义是指当命题P中的变量取值于L中， 且上确
界运算为∨， 下确界运算为∧， 则P对于它们也成立。
条件是b a, 则〈L, 也是偏序集。 我们把偏序集〈L, 和〈L, 称为是相互对偶的。 并且它们所对应的哈
斯图是互为颠倒的。 关于格我们有同样的性质。 定理7.1.1 若〈L, 是一个格， 则〈L, 也是一
个格, 且它的并、 交运算∨r, ∧r对任意a, b∈L满足 a∨rb=a∧b，a∧rb=a∨b
现在我们深入地讨论格的性质。
第七章 格和布尔代数
定理7.1.3 设〈L, 是一个格， 那么对L中任何元素 a, b, c， 有
(1) a a∨b， b a∨b a∧b a， a∧b b
(2) 若a b， c d， 则a∨c b∨d， a∧c b∧d。 (3) 若a b， 则a∨c b∨c， a∧c b∧c。 这个性质 称为格的保序性。
所以a∨a=a。 利用对偶原理可得
a∧a＝a。
(2) 由格的并∨与交∧运算的定义知满足交换律。
(3) 由下确界定义知
a∧(b∧c) b∧c b
(7.1.1)
a∧(b∧c) a
(7.1.2)
a∧(b∧c) b∧c c
(7.1.3)
第七章 格和布尔代数
由式(7.1.1)、 (7.1.2)得 a∧(b∧c) a∧b
第七章 格和布尔代数
证明 (1) 因为a∨b是a的一个上界， 所以a a∨b； 同理有b a∨b。 由对偶原理可得a∧b a， a∧b b。 (2) 由题设知a b， c d， 由(1)有b b∨d，d b∨d，
a b∨d， c b∨d。 这说明b∨d是a和c的一个上界， 而a∨c是a和c的最小 上界， 所以， 必有
由式(7.1.3)、 (7.1.4)得 a∧(b∧c) (a∧b)∧c
同理可证 (a∧b)∧c a∧(b∧c)
(7.1.4) (7.1.5) (7.1.6)
第七章 格和布尔代数
(7.1.5)、 (7.1.6)， 所以a∧(b∧c)=
(a∧b)∧c。
利用对偶原理可得a∨(b∨c)=(a∨b)∨c。
(4) 由定理7.1.3的(1)可知a∧(a∨b) a； 另一方面，
A∧B=A∧B(等式右边的∨， ∧为析取与合取逻辑运算符)。
(3) 设Z+表示正整数集， |表示Z+上整除关系， 那么 〈Z+， |〉为格， 其中并、 交运算即为求两正整数最小公 倍数和最大公约数的运算， 即
m∨n＝LCM(m, n) m∧n＝GCD(m, n)
第七章 格和布尔代数
另外， 若将〈L, 中的小于等于关系换成大于等于 即对于L中任何两个元素a, b定义a b的充分必要
由定义可知， 并非所有的偏序集都能构成格， 我们用 Hasse图表示偏序集， 图7.1.2中哪个能构成格？
第七章 格和布尔代数
图7.1.2
Hale Waihona Puke Baidu
第七章 格和布尔代数
图7.1.2中哈斯图(a)、 (b)、 (c)所规定的偏序集是格， 图(d)、 (e)及图7.1.1所规定的偏序集不是格, 因为图中{a, b} 无上确界。
在第四章， 对偏序集的任一子集可引入上确界(最小上 界)和下确界(最大下界)的概念，但并非每个子集都有上确 界或下确界， 例如在图7.1.1中哈斯图所示的偏序集里， {a， b}没有上确界， {e， f}没有下确界。 不过， 当某子集的上、 下确界存在时， 这个上、 下确界是唯一确定的。
第七章 格和布尔代数
(3) a∨(b∨c)=(a∨b)∨c, a∧(b∧c)=(a∧b)∧c(结合律)
(4) a∧(a∨b)=a， a∨(a∧b)=a
(吸收律)
第七章 格和布尔代数
证明
(1) 由自反性可得 a a， 所以 a是a的一个上界， 因为
a∨a 是a与a的最小上界， 因此a∨a a。
由定理7.1.3的(1)可知a a∨a。
因此我们通常用a∨b表示{a， b}的上确界， 用a∧b 表示{a， b}的下确界， 并记作a∨b=LUB{a, b}(least upper bound), a∧b=GLB{a, b}(greatest lower bound), ∨和∧分别 称为并(join)和交(meet)运算。 由于对任何a， b， a∨b及 a∧b都是L中确定的成员， 因此∨, ∧均为L上的二元运算。