第三节5节微分PPT课件

证 (1)必要性：由f (x)在点x0可微知, y A x x,
则 lim y A lim x =A
x0 x
x0 x
(2)充分性：由函数f
(x)在点x0可导知,
lim
x0
y x
A
则 y A ,其中 0(x 0),
x
则 y A x x
可导 可微 ; 且 A f ( x0 )，
即 df (x) |xx0 f (x0 ) x f (x0 ) dx，
ω
ω
(2) d(sin x2 ) d( x )
2x cos x2dx 1 dx
4x
x cos x2 ,
2x
d(sin x2 ) (4x x cos x2 )d( x ).
*六、微分在近似计算中的应用
1. 求 函数增量的近似值 :
y |x x0 f ( x0 x) f ( x0 ) dy |x x0 f ( x0 ) x.
y A x x
的形式，(其中A是常数) ，则称函数 y f (x)在点 x0可微, 并 且称A x为函数y f (x)在点 x0的微分，记为：
dy xx0 A x ，或 df (x0 ) A x 也可以简记为：dy=A x
三、可微的条件
定理 f ( x) 在 x0 可微 f ( x) 在 x0 可导 ( 且 A f ( x0 ) ) .
五. 微分的求法
例1 设 y ln( x ex2 ) , 求 dy .
解
y
1
x
2
xe x 2 ex2
,
dy
1
x
2
xe x 2 ex2
dx.
例2 设 y e13x cos x , 求 dy .
解 因为 y e13x (3cos x sin x) 那么 dy= e13x (3cos x sin x)dx
( f ( x0 ) 0且 x 很小时)
例7 半径10厘米的金属圆片加热后 ，半径伸长了0.05 厘米，问面积增大了多 少？ 解 记金属圆片的半径为 r，面积为A，则A πr 2 ,
当r 10厘米、r 0.05厘米时，
A dA 2πr r 2 10 0.05 (厘米2 ).
答：面积增大了约π 平方厘米。
x0x
x
S (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2.
(1)
(2)
A x02
x0x x0
(1) : x 的线性函数 , 且为 S 的主要部分 ;
(2) : x 的高阶无穷小 , 当 x 很小时可忽略 .
S 2x0x
二、微分定义：
设y f (x)在x0的某领域有定义，x0及 x0 x在这区间 内,如果y f (x0 x) f (x0)可以表示成
第五节 函数的微分
一、问题的提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、微分的求法 六、*微分在近似计算中的应用 七、小结
一、问题的提出——近似计算问题
设一边长为 x 的正方形 ， 它的面积 s x2是 x
的函数, 若边长由 x0 增加 x ，
相应的正方形的面积的增量
x0
x (x)2
例3 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使 等式成立.
(1) d( ) cosωtdt; (2) d(sin x2 ) ( )d( x ).
解 (1)d(sinωt) ωcosωtdt,
cosωtdt 1 d(sinωt) d( 1 sin ωt);
d(
1
sin
ωt
ω
C)
cos
ωtdt .
研究微分法与导数理论及其应用的科学，做微分学.
★ 导数与微分的联系: 可导 可微.
f ( x) df ( x) , dx
df ( x) f ( x)dx .
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
f
( x0 )
df
( x) |xx0 dx
df ( x) dx
|x x0
，即
y' dy ， dx
导数又叫做“微商”。
例1 用导数与微分的关系求下列微分
求 ：（1）y x3 的微分 ;
(2) y x3 x 2, x 0.02 的微分 .
解 (1) dy ( x3 )x 3x2x ;
(2) dy | x2 3x2 |x2 x |x0.02 0.24 . x0.02
360
Hale Waihona Puke Baidu
32
f ( π ) 3 .
3
2
有 cos 60o30 cos( ) cos sin
3 360
3 3 360
1 2
3 2
360
0.4924.
3. 估计误差（略）。
七、小结
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题
导数的概念
函数的近计算似问题
微分的概念
求导数与微分的方法，叫做微分法.
四、微分的几何意义
y
T
C: y=f(x) 在 M(x0, f(x0)) 的切线
T：y- f(x0)= f(x0)(x- x0) = f(x0)x = dy
N
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
x
）
o
x0 x0 x
x
dy |x x0 f ( x0 )x 是 C : y f ( x) 在 M( x0 , f ( x0 )) 点的 切线纵坐标的增量 。
2. 求 f ( x) 在点 x x0 附近的近似值 :
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x. ( x 很小时)
例8 计算 cos 60o30 的近似值 .
解 记 f ( x) cos x , 则 f ( x) sin x , ( x为弧度)
取
x0
π 3
,
x π , 由 f ( π ) 1 ,