专接本高数知识点

一. 函数的概念

1．用变上、下限积分表示的函数

（1）()dt t f y x

∫

=0

，其中()t f 连续，则

()x f dx

dy

= （2）()()()

dt t f y x x

∫=21

ϕϕ，其中()x 1

ϕ，()x 2

ϕ可导，()

t f 连续， 则

()[]()()[]()x x f x x f dx

dy

112

2ϕϕϕϕ′−′= 2．两个无穷小的比较

设()0lim =x f ，()0lim =x g ，且()()

l x g x f =lim （1）0=l ，称()x f 是比()x g 高阶的无穷小，记以

()()[]x g x f 0=，称()x g 是比()x f 低阶的无穷

小。

（2）0≠l ，称()x f 与()x g 是同阶无穷小。 （3）1=l ，称()x f 与()x g 是等价无穷小，记以

()()x g x f ~

3．常见的等价无穷小

当0→x 时

x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，x x ~arctan

2

2

1~

cos 1x x −，x e x ~1−，()x x ~1ln +，()x x αα

~11 −+

二．求极限的方法

1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2．两个准则

准则1．单调有界数列极限一定存在

（1）若n n x x ≤+1（n 为正整数）又m x n ≥（n 为正整数），则A x n n =∞

→lim 存在，且m A ≥

（2）若n n x x ≥+1（n 为正整数）又M x n ≤（n 为正整数），则A x n n =∞

→lim 存在，且M A ≤

准则2．（夹逼定理）设()()()x h x f x g ≤≤ 若()A x g =lim ，()A x h =lim ，则()A x f =lim 3．两个重要公式

公式1．1sin lim

0=→x

x

x

公式2．e n n

n =⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→11lim ；e u u

u =⎟⎠

⎞

⎜⎝⎛+∞

→11lim ；

()e v v

v =+→10

1lim

4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）

当0→x 时，()n n

x

x n x x x e 0!

!212+++++=Λ ()()(

)

1212530!121!

5!3sin ++++−+++−=n n n

x n x x x x x Λ

()()()

n n

n x n x

x x x 22420!21!

4!21cos +−+−+−=Λ

()()()n n

n x n x x x x x 013

21ln 132+−+−+−

=++Λ ()(

)

121

215301

2153arctan +++++−+−+−=n n n x n x

x x x x Λ

()()()()[]()

n n x x n n x x x 0!

11!

21112 +−−−++−++=+αααααααΛΛ

6．洛必达法则 法则1．（

型）设（1）()0lim =x f ，()0lim =x g （2）x 变化过程中，()x f ′，()x g ′皆存在

（3）()()

A x g x f =′′lim

（或∞） 则()()

A x g x f =lim

（或∞） （注：如果()()

x g x f ′′lim

不存在且不是无穷大量情形，则不能得出()()

x g x f lim

不存在且不是无穷大量情形）

法则2．（

∞

∞

型）设（1）()∞=x f lim ，()∞=x g lim （2）x 变化过程中，()x f ′，()x g ′皆存在

（3）()()

A x g x f =′′lim

（或∞） 则()()

A x g x f =lim

（或∞）

7．利用导数定义求极限

基本公式：()()

()0000lim

x f x

x f x x f x ′=∆−∆+→∆ [如果存在]

8．利用定积分定义求极限

基本公式 ()∫∑=⎟⎠

⎞⎜⎝⎛=∞→1

011lim dx x f n k f n n k n [如果存在]

三．函数的间断点的分类

函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点

设0x 是函数()x f y =的间断点。如果()x f 在间断点

0x 处的左、右极限都存在，则称0x 是()x f 的第一类间断

点。

第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。

（2）第二类间断点

第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。

常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。

四．闭区间上连续函数的性质

在闭区间[]b a ,上连续的函数()x f ，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。

定理1．（有界定理）如果函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，则()x f 必在[]b a ,上有界。

定理2．（最大值和最小值定理）如果函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m 。

其中最大值M 和最小值m 的定义如下：

定义 设()M x f =0是区间[]b a ,上某点0x 处的函数

值，如果对于区间[]b a ,上的任一点x ，总有()M x f ≤，则称M 为函数()x f 在[]b a ,上的最大值。同样可以定义最小值m 。

定理3．（介值定理）如果函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，且其最大值和最小值分别为M 和m ，则对于介于m 和M 之间的任何实数c ，在[]b a ,上至少存在一个ξ，使得

()c f =ξ

推论：如果函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，且()a f 与()b f 异号，则在()b a ,内至少存在一个点ξ，使得

()0=ξf

这个推论也称为零点定理 五．导数与微分计算 1．导数与微分表

()0=′c ()0=c d

()1

−=′αα

αx

x （α实常数）()dx x

x

d 1

−=αα

α（α实常数）

()x x cos sin =′ xdx x d cos sin = ()x x sin cos −=′ xdx x d sin cos −= ()x x 2sec tan =′ xdx x d 2sec tan = ()x x 2csc cot −=′ xdx x d 2csc cot −= ()x x x tan sec sec =′ xdx x x d tan sec sec = ()x x x cot csc csc −=′ xdx x x d cot csc csc −=

()a x x a ln 1

log =

′()1,0≠>a a a

x dx

x d a ln log =

()1,0≠>a a ()x

x 1ln =′ dx x x d 1ln =

()a a a x x ln =′()1,0≠>a a

adx a da x x ln =()1,0≠>a a