第13章 虚位移原理及拉格朗日方程

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理论力学:第13章 虚位移原理及分析力学基础

理论力学:第13章 虚位移原理及分析力学基础

第13章 虚位移原理及分析力学基础也称虚功原理。

在固体力学、结构力学中应用较多。

主要思路∶在讲本章时,先不写本章题目,而是在黑板上给出下面静力学问题(图13-1),让学生思考如何解,再一起求解。

进一步看更复杂的结构(图13-2),结论是∶用传统静力学的方法很繁。

再提示如能直接建立P 、Q 关系最好,从而避开众多反力。

用什么理论呢?静力学的方法已被否定,运动学不能解决受力问题,动力学中动量、动量矩定理必须包含反力,不行;动能定理呢?d F T W δ=∑,而d 0T =,则0F W δ∑=,即虚位移原理。

具体如下:1. 考虑如下问题的求解。

如图19-1,系统平衡。

已知Q 、l 、α,求P 。

问题:用几何静力学方法如何求解? (1)整体:()0O m F ∑=→C N (2)E 点(或BE 、AE 及重物)→BE S(3)BC 和滑块C()0D m F ∑=→P图13-2可见,对此类题目,用几何静力学求解较繁。

如图13-3示结构,用此种解法更繁。

因为:①要取多个分离体,画多个受力图;②引入多个中间未知量,要列多个方程。

2. 分析此种结构特点,引入新的求解思想。

结构特点:几何可变体系。

可否直接建立P 和Q 的关系?显然要从动力学方程入手。

为避免出现不必求的各约束力,可考虑动能定理。

假设系统有一小的位移,由动能定理:d F T W δ=∑图13-1图13-3虚位移由于系统平衡,动能无变化,d 0T =,则0F W δ∑= → 虚功方程此方程中只包含P 和Q ,故建立了简单的方程,可求P 。

此便是虚位移原理的思想。

严格建立虚位移原理,需有诸多基本概念。

13.1 约束 约束的运动学分类静力学中讲的约束——约束的力的性质(约束的力的方面),用约束力表示,常指物体; 此处讲的约束——约束的运动的性质(约束的运动的方面),用约束方程表示,指限制条件。

一、 约束和约束方程自由质点系:运动不受任何限制。

非自由质点系:运动受到限制——约束。

虚位移

虚位移

虚功( : 二、虚功 • 虚功(virtual work):δ W = F • δ r 作用于质点( 作用于质点(系)上的力在虚位移上所作的功。 上的力在虚位移上所作的功。
F = Fx i + Fy j + Fz k
δr = δxi + δyj + δzk
例:若OA杆的虚位移为 δθ , 杆的虚位移为 OA=R ,求力 的虚功。 求力F 的虚功。
A
B
δθ
δr2
F2
1 2a δ r1 = δ r2 = δθ 3 3 F1δ r1 + F2δ r2 − M Aδθ = 0
2a + 2 aF2 − M A )δθ = 0 3 1 Qδθ ≠ 0 MA = 2a( F + F2 ) 1 3 ( F1
虚位移原理
由 伯 努 利(Bornoulli,1717)提出的 , 提出的 拉格朗日(Lagrange,1764)完善的 由 拉格朗日 完善的 虚位移原理是静力学的普遍原理,它 虚位移原理是静力学的普遍原理, 给出了质点系平衡的充分和必要条件。 给出了质点系平衡的充分和必要条件。 • • • 什么是虚位移 什么是虚功 什么是虚位移原理的适用条件
C1 M mg θ m2 g 1 O
θ = 90 0
C2
ϕ
B F
m3g
解:1、分析主动力作用点的虚位移;2、求主动力的虚功之和 、分析主动力作用点的虚位移; 、
δrA
δθ
A
∑ F • δr = 0
δr C
M
m2 g
i =1 i i
2
n
δr C
[δ r A ] AB = [δ rB ] AB
1
mg 1

十虚位移原理

十虚位移原理

F1 E
a
A
2a B
F 2a C
G
H
F2
2a
D
`例13-9A 拱架构造,F1=2kN,F2=1kN,求:支架D,C处反力。 解: 1.求:FyD F1a A F2a D FyD 2a D 0,
D A FyD 1.5kN ,
F1
E
B
r FF
a
rE
A
A
2a B
rB 2a C
G
H
rG
F2
D
sin 1 1
yB
l
cos 1
l 2
cos 2
,yB
l
sin1 1
l 2
1
sin22 ,
P
A
2
B
F
P
xC l sin1 l sin 2 ,
y
C
xC l cos1 1 l cos 2 2
(
P
3 2
lsinθ1
Flcosθ1
M)θ1
(
l 2
sinθ2 P
Flcosθ2
)δ 2
0
因:
1 0, 2 0,
FA tan .
FB
FB x
例13-2 图示平面缓冲机构,各杆旳重量和摩擦不记,弹簧原长为l,
刚性系数为k.求:平衡时P与之间关系.
解: FxA F' xB PyC 0, 解析法 y
P
F k 2l sink
C
xA l sin ,xA l cos , xB l l sin , xB l cos ,
动力学
第十三章.虚位移原理 §13-1 约束方程、广义坐标
一.约束分类 1.几何约束,运动约束.

虚位移原理

虚位移原理

rA rB rA rB L W 0 FrB M 0
m3 g
A
900
C2
平衡方程的求解方法
C1 M m1 g m2 g O
研究OA杆

B F
M
F
O
0
FAx L M 0 (1)
m3 g
FAy FAx A A
C1 M m1 g O FOy FOx
F
n
Ni
ri 0 ?
' ' ( FNB FSB ) r1 ( FNB FSB ) r2 ( FNA FSA ) r2 FN 1 r2
( FNB FSB ) r1 FSB r1 0
(2):无摩擦 是理想约束
F
5. 列出虚功方程并求解。
二、虚位移分析
质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关 系, 确定这些关系通常有两种方法:
(一) 几何法 由运动学知,质点的位移与速度成正比,即
dr v dt
因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系 δr B δφ ——虚速度法 A B δrA rA v A a a b

FA FB tan
(3)
虚速度法
rA vA , dt rB vB dt
定义:
为虚速度
代入到
Fi ri 0 中, 得
FB vB FAvA 0
由速度投影定理,有
vB cos v A sin ,
代入上式 得 FA FB tan
只限制某方向运动的约束称为单面约束。在两个相
对的方向上同时对物体运动进行限制的约束称为双

第13章-虚位移原理及拉格朗日方程

第13章-虚位移原理及拉格朗日方程
动力学普通方程是首先利用达朗贝尔原理在质点系上加上惯性力,再利用虚位移原理求解动力学问题的一种方法。拉格朗日方程是在其基础上推导出的结果,利用拉格朗日方程求解动力学问题,其关键问题是正确地选择广义坐标,并写出用广义坐标表示的动能和势能表达式,其它问题就是严格的数学求解问题了。它为解决多自由度动力学问题,提供了简便的方法。
2、会利用几何法、虚速度法、变分法计算系统各点的虚位移关系,能正确地运用虚位移原理求解物系的平衡问题。
3、对广义坐标、自由度、广义力和广义坐标形式的虚位移原理有初步的理解,并会计算广义力。理解动力学普通定理的基本概念。
4、能正确运用动力学普遍方程求解动力学问题。
5、能正确运用拉格朗日方程求解动力学问题。

在静力学中,通过几何矢量法建立了质点系的平衡方程,进而解决了物体间的平衡问题,虚位移原理主要是从力、位移和功的概念出发,运用数学分析的方法解决某些静力学问题。法国数学家拉格朗日将达朗贝尔原理和虚位移原理相结合,建立了解决动力学问题的动力学普遍方程。并且进一步导出了拉格朗日方程。
13.1主要内容
13.1.1虚位移的基本概念
FQh=0h=1,2,…,k
直角坐标系下的广义力表达式为
用几何法表示为
势力场中的广义力表示为
h=1,2,…,k
即广义有势力等于势能函数对相应的广义坐标的一阶偏导数再冠以负号。
13.1.5动力学普遍方程及拉格朗日方程
在具有理想约束的质点系中,在任一瞬时,作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作虚功之和等于零。
h=1,2,…,k
这是一个方程组,方程的数目等于质点系的自由度数,称之为第二类拉格朗日方程,简称为拉格朗日方程。它揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。

理论力学-第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程

理论力学-第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
需要指出的是,上述各式适用于任何理想、双侧约束系统, 不论约束是否完整、是否定常,也不论作用力是否有势。
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程
返回
第二类拉格朗日方程
在动力学普遍方程中,由于系统存在约束,一般情形下,各 质点的虚位移并不完全独立,应用时须建立各虚位移与广义坐标 之间的关系。
第二类拉格朗日方程
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力(generalized forces); Qk*为广义惯性力(generalized inertia forces)
Qk
n i 1
Fi
ri qk
Qk*
n i 1
miai
ri qk
由于在完整约束下,δq1, δq2,…, δqN 相互独立,
Qk*
n i 1
miri
ri qk
d dt
n
(
i 1
miri
ri qk
)
n i 1
miri
d dt
( ri qk
)
d dt
n i1
mi
ri
ri qk
n i1
mi
ri
ri qk
d dt
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
d dt
(
T qk
理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程

拉格朗日运动方程

拉格朗日运动方程

拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程(Lagrange’s equations of motion)是经典力学中的一种重要工具,用于描述质点或者刚体在给定势能函数下的运动。

它由意大利数学家和物理学家约瑟夫·路易·拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange)于18世纪提出,被广泛应用于各个领域的物理问题求解中。

1. 背景知识在介绍拉格朗日运动方程之前,我们需要先了解一些基础概念。

1.1 广义坐标和广义速度对于一个具有n个自由度的力学系统,我们可以引入n个广义坐标q1,q2,...,q n来描述系统的状态。

这些广义坐标可以是位置坐标、角度等。

同时,对于每个广义坐标q i,我们可以定义相应的广义速度q i。

1.2 势能函数和拉格朗日函数对于一个力学系统,在给定外力和内力作用下,我们可以定义一个势能函数V(q)来描述系统的势能。

势能函数通常与广义坐标有关。

而拉格朗日函数L(q, , t)则定义为系统的动能T(q, )减去势能函数V(q):L(q, , t) = T(q, ) - V(q)其中,T(q, )表示系统的动能,与广义坐标和广义速度有关。

1.3 原理和目标拉格朗日运动方程的目标是通过对拉格朗日函数进行变分,得到描述系统运动规律的微分方程。

这些微分方程被称为拉格朗日运动方程。

2. 拉格朗日运动方程的推导为了推导拉格朗日运动方程,我们首先需要引入一个重要概念——虚位移。

2.1 虚位移虚位移是指系统在某一时刻由于广义坐标的微小变化而发生的微小位移。

我们用δq i来表示第i个广义坐标的虚位移。

2.2 虚功原理根据虚功原理(D’Alembert’s principle),对于一个力学系统,在平衡状态下,任意时刻系统所受外力对于任意虚位移所做的功之和等于零。

用数学表达式表示为:∑F ini=1⋅δq i=0其中,F i表示第i个广义坐标对应的力。

2.3 拉格朗日方程的推导根据虚功原理,我们可以将每个力分解为广义坐标和广义速度的函数:F i=Q i(q1,q2,...,q n,q1,q2,...,q n,t)其中,Q i表示第i个广义坐标和广义速度对应的力。

理论力学:第13章 虚位移原理及分析力学基础

理论力学:第13章 虚位移原理及分析力学基础

第13章 虚位移原理及分析力学基础也称虚功原理。

在固体力学、结构力学中应用较多。

主要思路∶在讲本章时,先不写本章题目,而是在黑板上给出下面静力学问题(图13-1),让学生思考如何解,再一起求解。

进一步看更复杂的结构(图13-2),结论是∶用传统静力学的方法很繁。

再提示如能直接建立P 、Q 关系最好,从而避开众多反力。

用什么理论呢?静力学的方法已被否定,运动学不能解决受力问题,动力学中动量、动量矩定理必须包含反力,不行;动能定理呢?d F T W δ=∑,而d 0T =,则0F W δ∑=,即虚位移原理。

具体如下:1. 考虑如下问题的求解。

如图19-1,系统平衡。

已知Q 、l 、α,求P 。

问题:用几何静力学方法如何求解? (1)整体:()0O m F ∑=→C N (2)E 点(或BE 、AE 及重物)→BE S(3)BC 和滑块C()0D m F ∑=→P图13-2可见,对此类题目,用几何静力学求解较繁。

如图13-3示结构,用此种解法更繁。

因为:①要取多个分离体,画多个受力图;②引入多个中间未知量,要列多个方程。

2. 分析此种结构特点,引入新的求解思想。

结构特点:几何可变体系。

可否直接建立P 和Q 的关系?显然要从动力学方程入手。

为避免出现不必求的各约束力,可考虑动能定理。

假设系统有一小的位移,由动能定理:d F T W δ=∑图13-1图13-3虚位移由于系统平衡,动能无变化,d 0T =,则0F W δ∑= → 虚功方程此方程中只包含P 和Q ,故建立了简单的方程,可求P 。

此便是虚位移原理的思想。

严格建立虚位移原理,需有诸多基本概念。

13.1 约束 约束的运动学分类静力学中讲的约束——约束的力的性质(约束的力的方面),用约束力表示,常指物体; 此处讲的约束——约束的运动的性质(约束的运动的方面),用约束方程表示,指限制条件。

一、 约束和约束方程自由质点系:运动不受任何限制。

非自由质点系:运动受到限制——约束。

最新第13章虚位移原理ppt课件

最新第13章虚位移原理ppt课件
yCrsin2 lsin
y C rc o s 2 lc o s 2 rc os
W G G yC G 2 rco s
16
§19-4 理想约束
动能定理中曾提过,此处给出更严格的定义: 约束力在任何虚位移中所做的虚功为零,称此约束为理想约束。即满足:
WN0 约束力的虚功——约束的动力学性质
我们已分析,大多数常见约束为理想约束。
§19-5 虚位移原理
事实上,我们早已知道: WF0 又称虚功原理
有了上述各种概念,可严格叙述为: 具有完整、双面、定常、理想约束的质点系,在给定位置保持平衡的充要 条件是,所有作用于质点系上的主动力在任何虚位移上所做的虚功之和为 零。
17
用虚位移原理可求两类问题: 一、求主动力或平衡条件(位置)——对几何可变体系
一般去掉1个约束,转化为1自由度的可变体系。
各种约束的解除方法:
Q
Q
A
A
去B铰链
去A铰链 XA A x方向约 束
去A铰链 A
y方向约

YA
B A
Q
Q
B
NB
去A处转 A 动约束
mA
B 去A处x XA A
方向约

Q
B
去A处y 方向约
A

YA
Q
Q
Q
24
例4:将本章开头例子改动
已知Q、l、 ,求C处水平反力。
§19-3 虚位移 虚功
一、虚位移
定义:在给定位置上,质点或质点系在约束所容许的条件下可能发生的任 何无限小位移,称为质点或质点系的虚位移。
虚位移的数学意义——广义坐标的变分 虚位移有两种情形:
质点的虚位移——线位移 刚体的虚位移——角位移

华中科技大学理论力学第十三章虚位移原理

华中科技大学理论力学第十三章虚位移原理

间的关系。
解:研究整个机构。
系统的所有约束都是
完整、定常、理想的。
27
1、几何法:使A发生虚位移 rA , B的虚位移 rB ,则由虚位移原理,
得虚功方程:
PrA QrB 0
而 rA sin rB cos
rB rA t g
(PQtg )rA 0
Fi ri izi ) 0
23
证明:(1) 必要性:即质点系处于平衡时,必有 Fi ri 0 ∵质点系处于平衡 ∴选取任一质点Mi也平衡。
Fi Ni 0
对质点Mi 的任一虚位移 ri ,有( Fi Ni ) ri 0
与前题条件矛盾
故 Fi ri 0 时质点系必处于平衡。
25
二、虚位移原理的应用
1、系统在给定位置平衡时,求主动力之间的关系; 2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置;
3、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力;
4、求平衡构架内二力杆的内力。
26
例1 图示椭圆规机构,连杆AB长l,杆重和滑道摩擦不计, 铰链为光滑的,求在图示位置平衡时,主动力大小P和Q之
(i 1,2,, n)
14
§13-3
虚位移和虚功
在质点系运动过程的某瞬时,质点系中的质点发生的为 约束允许的任意的无限小位移,称为质点系(在该瞬时)的 虚位移。 虚位移可以是线位移,也可以是角位移。通常用变分符
号 表示虚位移。
M
15
虚位移与真正运动时发生的实位移不同。
实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际
7
例如:车轮沿直线轨道作纯滚动, x A r 0 是微分方程,但
经过积分可得到 几何约束必定是完整约束,但完整约束未必是几何约束。

拉格朗日方程的三种推导方法

拉格朗日方程的三种推导方法

拉格朗日方程的三种推导方法 1 引言拉格朗日方程是分析力学中的重要方程,其地位相当于牛顿第二定律之于牛顿力学。

2 达朗贝尔原理推导达朗贝尔原理由法国物理学家与数学家让•达朗贝尔发现并以其命名。

达朗贝尔原理表明:对于任意物理系统,所有惯性力或施加的外力,经过符合约束条件的虚位移,所作的虚功的总合为零。

即:δW =∑(F i +I i )∙δr i =0i(1)其中I i 为惯性力,I i=−m i a i 。

F i 为粒子所受外力,δr i 为符合系统约束的虚位移。

设粒子 P i 的位置 r i 为广义坐标q 1,q 2,⋯,q n 与时间 t 的函数:r i =r i (q 1,q 2,⋯,q n ,t)则虚位移可以表示为:δr i =∑ðr i ðq jjδq j(2)粒子的速度v i=v i (q 1,q 2,⋯,q n ,q 1,q 2,⋯,q n ,t) 可表示为:取速度对于广义速度的偏微分:(3)首先转化方程 (1) 的加速度项。

将方程 (2) 代入:应用乘积法则:注意到的参数为,而速度的参数为,所以,。

因此,以下关系式成立:(4) 将方程(3) 与(4) 代入,加速度项成为代入动能表达式:,则加速度项与动能的关系为(5) 然后转换方程(1)的外力项。

代入方程(2) 得:(6) 其中是广义力:将方程(5) 与(6) 代入方程(1) 可得:(7) 假设所有的广义坐标都相互独立,则所有的广义坐标的虚位移也都相互独立。

由于这些虚位移都是任意设定的,只有满足下述方程,才能使方程(7) 成立:(8) 这系统的广义力与广义位势之间的关系式为代入得:定义拉格朗日量为动能与势能之差,可得拉格朗日方程:3哈密顿原理推导哈密顿原理可数学表述为:21ttLdtδ=⎰在等时变分情况下,有()dq q dt δδ•=2211()0t t t t Ldt L dt δδ==⎰⎰ (1)由拉格朗日量定义得,在等时变分情况下有L LL q q qqδδδ••∂∂=+∂∂(2)其中第一项可化为:()()()LL d d L d L q q q q dt dt dt q q q q δδδδ•••••∂∂∂∂==•-∂∂∂∂(3)将(3)代入(2)得()()d L d L LL q q qdt dt qq q δδδδ••∂∂∂=•-+∂∂∂ (4)将(4)代入(1)得2121()(())0t t t t L d L L q q q dt dt qqq δδδ••∂∂∂•+-+=∂∂∂⎰(5)在12,t t 处0q δ=,所以(5)变为21(())0t t d L Lq q dt dt qq δδ•∂∂-=∂∂⎰(6)即21[(())]0t t d L Lq dt dt qq δ•∂∂-+=∂∂⎰(7)q 是独立变量,所以拉格朗日方程:4欧拉-拉格朗日方程推导欧拉-拉格朗日方程可以表述为:设有函数和:其中是自变量。

理论力学13虚位移原理

理论力学13虚位移原理
哈密顿原理的应用
在分析力学中,拉格朗日方程是描述系统动力学的关键方程。通过应用虚位移原理,可以推导出拉格朗日方程的形式和求解方法。
拉格朗日方程的推导
在分析力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的推导过程
定义
01
虚功是系统在虚位移上所做的功,等于作用力与虚位移的点积。
虚功原理表述
02
对于一个处于平衡状态的力学系统,所有外力在任何虚位移上所做的虚功总和为零。
理论与其他物理场的结合
在多物理场问题中,可以将虚位移原理与热力学、电磁学等领域的基本原理结合起来,以解决更为复杂的工程问题。
对理论的发展和推广
THANKS
感谢您的观看。
理论力学13虚位移原理
目录
虚位移原理的概述 虚位移原理的基本概念 虚位移原理的应用 虚位移原理的推导过程 虚位移原理的限制和推广
01
CHAPTER
虚位移原理的概述
虚位移
在理想约束条件下,系统发生的微小位移。
虚位移原理
在平衡状态下,系统所受的外力对任意虚位移所做的总虚功为零。
虚功
在虚位移过程中,作用力对机构所做的功称为虚功。
虚速度和虚加速度的推导
05
CHAPTER
虚位移原理的限制和推广
VS
虚位移原理主要适用于分析力学中,特别是对刚体和弹性体的平衡问题进行分析。
限制条件
虚位移原理仅适用于保守系统,即系统中不存在非保守力(如摩擦力)的情况。同时,该原理假定系统处于平衡状态,对于动态问题不适用。
适用范围
适用范围和限制条件
虚位移原理在工程领域中也有广泛应用,如机构分析、机器人学、车辆动力学等领域。
01
02

拉格朗日方程和虚功原理

拉格朗日方程和虚功原理

拉格朗日方程(Lagrange's equations)和虚功原理(Principle of Virtual Work)都是理论力学中常用的分析方法,用于描述物体的运动和力学系统的行为。

拉格朗日方程是描述质点或物体在广义坐标下的运动的方程。

它是源自哈密顿原理(Hamilton's principle),通过定义一个称为拉格朗日量(Lagrangian)的函数来推导得到。

拉格朗日量是系统动能与势能的差,其定义为L = T - V,其中T 是动能,V 是势能。

拉格朗日方程可以统一描述多自由度系统中质点或刚体的运动,通过求解其中的偏微分方程可以得到物体的运动方程。

虚功原理是一个广义的力学原理,用于分析力学系统中的约束。

它通过平衡约束力和虚位移所作的虚功为零来得到系统的运动方程。

虚功原理要求系统在一组虚位移下保持等势,即满足约束条件。

通过应用虚功原理,可以推导出与拉格朗日方程等价的运动方程。

虚功原理和拉格朗日方程都是建立在能量守恒原理的基础上,它们提供了一种简洁而深入的方法来描述物体的运动和约束行为。

它们在理论力学、动力学、弹性力学等领域具有重要的应用价值。

拉格朗日方程(Lagrange's equations)给出了描述力学系统中物体运动的一阶微分方程。

在一般的情况下,拉格朗日方程可以表示为:d/dt (∂L/∂ᶲ̇ᵢ) - ∂L/∂ᶲᵢ = Qᵢ其中,L 是系统的拉格朗日量,ᶲ是广义坐标(generalized coordinates),ᶲ̇是对应的广义速度(generalized velocities),Qᵢ是外力对应的广义力(generalized forces)。

在使用拉格朗日方程求解力学系统时,我们首先选择适当的广义坐标,构建系统的拉格朗日量。

然后,对拉格朗日量分别对广义速度和广义坐标求偏导,并对时间求导,得到上述方程中的项。

最后,根据外力对应的广义力,求解该方程可以得到系统的运动方程。

理论力学 拉格朗日方程

理论力学 拉格朗日方程

解题步骤 (1)确定自由度 (2)选取广义坐标
(3)写出用广义坐标表示的T、V及L的表达式
(4)将拉格朗日函数L代入拉格朗日方程
例一:
滑轮组:求每个砝码的加速度
d L dt q L q 0
1, 2, s
例二:用拉格朗日方程求椭圆摆的运动微分方程。
简单求出主动力在平衡时满足的条件。
5.2.4广义力
由前面讨论我们知 ri 的虚位移为
ri ri q 1 , q 2 ,...q s , t
ri

q
1
s
r
i
q

所以,虚功原理在广义坐标下的表达式为
n s ri s n ri W Fi ri Fi ( q ) Fi q i 1 i 1 1 q 1 i 1
d ri ri m i ri m i ri dt i 1 q i 1 q

dt q d
2 n m i v i2 n mi vi q 2 i 1 i 1 2
可得保守力系下的拉格朗日方程为:
d L dt q L q 0
1, 2, s
拉格朗日函数
L T V
保守力系下的拉格朗日方程
d L dt q L q 0
1, 2, s
s
第二项
ri mi a i P q i 1
n
称之为广义惯性力。
5.3.2拉格朗日关系式
考察由n个质点组成的理想约束系统,受有k个完整约束,其 广义坐标数s=3n-k。第i个质点的位矢 ri ri (t , q1 , q 2 , q s ), i 1,2, n

拉格朗日方程

拉格朗日方程

方 程
T

1 2
m1 x 2

1 2
(1 2
m1R2 ) 2

1 2
m2 (x

R )2
系统的广义力为
Qx

W (x) x

(m1
m2 )gx k(x L0 )x x
(m1 m2 )g k(x L0 )
Q
W ( )


m2 gR
g

MI
PI

a
QI

Q
MI
PI

P
P

s

一、拉格朗日方程
设有n个知点组成的知点系,受完整的理想约束,具有N个自由度,其 位置
可由N个广义坐标 1.2
来确定。则有
拉 格
d ( T ) dt qk
T qk
Qk
(k 1,2,, N )
朗 日
式中
T

程。
1.2
k
x2
拉 格 朗
解:以系统为研究对象,系统具两个
自由度。选取 、 为广义坐标。
x1
x2
系统的动能为
x1 A
kR
B
日 方
T

1 2
m1x12

1 2
m2 x22

1 2
(1 2
m2
R
2
)(
x2 R
)2

1 2
m1x12

3 4
m2 x22
系统的广义力为

Qx1

W (1) x1
T

3 4

拉格朗日方程

拉格朗日方程

定义:拉格朗日方程,因约瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名,是拉格朗日力学的主要方程,可以用来描述物体的运动,特别适用于理论物理的研究。

拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。

拉格朗日方程:对于完整系统用广义坐标表示的动力方程,通常系指第二类拉格朗日方程,是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。

通常可写成:式中T为系统用各广义坐标qj和各广义速度q'j所表示的动能;Qj为对应于qj 的广义力;N(=3n-k)为这完整系统的自由度;n为系统的质点数;k为完整约束方程个数。

从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程,而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程,将这两者结合起来,便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。

而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。

拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程,也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。

如果要想求约束力,可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。

通常,我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学),将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。

拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动,它适合于研究受约束质点系的运动。

拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。

拉格朗日插值公式(外文名Lagrange interpolation formula)指的是在节点上给出节点基函数,然后做基函数的线性组合,组合系数为节点函数值的一种插值多项式。

公式线性插值也叫两点插值,已知函数y = f(x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f(x0),y1= f(x1)线性插值就是构造一个一次多项式P1(x) = ax + b使它满足条件P1(x0) = y0P1(x1) = y1其几何解释就是一条直线,通过已知点A (x0, y0),B(x1, y1)。

拉格朗日方程

拉格朗日方程

对i求和并移项得
∂ri d ∂ 1 ∂ 1 2 2 mi v i • = ∑[ ( mi vi ) − ( mi vi )] ∑ • ∂qs dt ∂ q 2 ∂qs 2 i i s

引入系统动能
T =

i
1 2 m i vi 2
s = 1, 2, • • •, n
dvi ∂ri Qs − ∑ mi • =0 dt ∂qs i
若全部主动力均为有势力,设势能函数为 V(xi,yi,zi),则有
∂V ∂V ∂V ∂V = −( Fi = − i+ j+ k) ∂ri ∂xi ∂ yi ∂zi
∂ri Qs = ∑ Fi • ∂qs i =1
N
s=1,2, …,n 上式即为主动力有势时的广义力表达式。
∂V ∂ri • = −∑ ∂qs i =1 ∂r i
ri = ri(q1, q2, …, qn,t)
i=1,2, … ,N
于是用广义坐标的独立变分表示的虚位移为
δ ri =

s =1
n
∂ ri δqs ∂qs
i
i=1,2, …,N
δW = ∑ Fi • δri
n N ∂ri ∂ri δW = ∑ Fi • ( ∑ δqs ) = ∑ ( ∑ Fi • )δqs ∂qs i =1 s =1 ∂qs s =1 i =1
m φ1 φ2
m
ϕ1 + ϕ 2 2 mr 2 • 2 • 2 cr 2 L= (ϕ1 + ϕ 2 ) − (1 − 2 cos ) 2 2 2
mr 2 • 2 • 2 cr 2 ϕ1 + ϕ 2 2 L= (ϕ1 + ϕ 2 ) − (1 − 2 cos ) 2 2 2

从虚位移原理到拉格朗日方程

从虚位移原理到拉格朗日方程

拉格朗 日方程的基本特色在于 : ( 1 ) 由于采用广义坐标作基本变 量, 微分方程式的数 目和系统的 自由s 度数 目相同 , 微分方程 的数 目 是最少 的。 ( 2 ) 由于微分方程 中不包含约束反力 , 以及所使用的 函数 ( 动能函数、 势能函数等) 多为标量 函数 , 这和牛顿的力学方程相 比较 , 在解决质点系动力学问题 时有很大的优越性。 ( 3 ) 第二类拉格 朗 日方 如果将位矢对任意一个广 义坐标 o 3 求偏导数 , 再对时 间求 程是力学系统在具有最一般意义 的广义坐标描述下保持形式不变的 导数 , 则得到 动力学方程, 因此利用该方程来研究力学系统的动力学具有极大的 普遍 性 。 因此 , 可 以说 , 拉 格 朗 日方 程 是 力 学 中一 个 非 常重 要 的理 论 工 具 。
力 s=一 m 面三 者 构 成 形 式 上 的 平衡 力 系 , 即:
只+ + F / 。 = 0( i = 1 , 2 , …, , 2 )
对 该 庾 点 糸 应用 虚 位 移
动力学普遍方程 中系统的运动是直 角坐标来描述的, 而拉格 朗 日方程 是用广义坐标来描述系统的运动 , 两者都 可用来解决非 自由 质点 系的动力 学 问题 , 对于解 决复杂 的非 自由质点系 的动力学 问 ( 1 ) 题, 应用拉格 朗 日方程 往往 要 比用动力学普遍 方程简便得多 。
∑ ・ = ∑ 甄
= =
4结 语
k = l qk
喜 c ,
) a q = 。
在分析力 学中 , 关于力学系统 的动 力学规律有两 种不同的表 述, 其 中之 一 便 是 拉格 朗 日表 述 , 在 这 种 表 述 中, 就 是 用 拉 格 朗 日方 程 来描述 系统 的运 动规律 。

18第十三章 虚位移原理

18第十三章 虚位移原理

曲柄连杆机构
xA2 yA2 r2 (xB xA)2 ( yB yA)2 l2 , yB 0
Theoretical Mechanics
第十三章 虚位移原理
刘习军
一般地,受到s个约束的、由n个质点组成的质 点系,其自由度为
k 3n s
通常,n 与 s 很大而k很小。为了确定质点系的位置, 用适当选择的k个参数(相互独立),要比用3n个直角 坐标和s个约束方程方便得多。
sin 1 cos1

l2
cos 2

y B l1 sin 1 l2 sin 2
第十三章 虚位移原理
13.1 虚位移的基本概念 约束和约束方程 约束的分类 自由度 广义坐标
刘习军
Theoretical Mechanics
第十三章 虚位移原理
刘习军
约束和约束方程 自由质点系:质点的运动状态(轨迹、速度等等)只
取决于作用力和运动的起始条件。 其运动称为自由运动。 非自由质点系:质点系的运动状态受到某些预先给定
因此自由度数为 k 2 2 3 1 为广义坐标
xA r cos yA r sin
xB r cos l cos
sin r sin
l
Ψ
Theoretical Mechanics
第十三章 虚位移原理
刘习军
若用刚体作为基本单元
设某质点系由N个刚体、s个完整约束组成。 刚体有3N个线位移坐标(直角坐标系的三个直 角坐标)和3N个角位移坐标(例如三个欧拉角), 共计6N个坐标来确定这N个刚体在空间的位置; 确定该质点系位置的独立坐标的数目亦即自由度
其自由度为 k=3n-s 确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立 坐标的数目,称为该质点系的自由度的数目,简称 为自由度。

第13章 虚位移原理

第13章 虚位移原理

几何关系
yC 3
2 y1 yC
3
1
y2
3
yC
yD yC
代入上式
由于 0 ,解得
M A 2F1 F2 3F3 M 0
M A 2F1 F2 3F3 M 7 kNm
13-16 杆 AB 与 CD 由铰链 C 联结,并由铰链支座 A、D 固定,如题 13-16 图所示。 在 AB 杆上作用一铅直力 F,在 CD 杆上作用一力偶 M,不计杆重,求支座 D 的约束力。
解:解除弹簧约束,以弹性力 F 代替,设机构发生虚位移,由虚位移原理
WF 0 FrC FA sin rA FBrB 0
(a)
F k rA 2 rC
rB DB tg 3
rA DA
3
代入(a)式,由于 rA 0 ,解得
FA
2
3
3 3
FB
1 2
k
110.2
N
·1·
13-5 在题 13-5 图所示系统中,弹簧 AB、BC 的刚度系数均为 k,除连接 C 点的二杆长 度为 l 外,其余各杆长度均为 2l。各杆的自重可以忽略。未加力 F 时,弹簧不受力,= 0。 试求加力 F 后的平衡位置所对应的值。
F
题 13-8 图
解 设 OA 杆的虚位移为,则 A、B、C 各点虚位移如图所示,由虚功方程
WF 0
M F rD 0
几何关系
rA a rB cos 2 rA cos
代入虚功方程, 0 ,解得
rB sin 2 rD cos
M Fa tan 2
·3·
13-12 在图示静定连续梁中,F1=5kN,F2=4kN,F3=3kN,力偶矩 M=2kNm。求 固定端 A 的约束力和约束力偶。
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·1·第13章 虚位移原理及拉格朗日方程在静力学中,通过几何矢量法建立了质点系的平衡方程,进而解决了物体间的平衡问题,虚位移原理主要是从力、位移和功的概念出发,运用数学分析的方法解决某些静力学问题。

法国数学家拉格朗日将达朗贝尔原理和虚位移原理相结合,建立了解决动力学问题的动力学普遍方程。

并且进一步导出了拉格朗日方程。

13.1 主要内容13.1.1 虚位移的基本概念1、约束和约束方程非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束。

用解析表达式表示的限制条件称为约束方程。

2、约束的分类在虚位移原理中,将约束分为4类:a 、几何约束和运动约束,b. 定常约束和非定常约束,c. 完整约束和非完整约束,d. 双面约束和单面约束。

约束方程的一般形式应为()f x y z x y z j i i i 1110,,,,,, = i =1,2,…,n , j =1,2,…,s 3、自由度a 、设某质点系由n 个质点、s 个完整约束组成。

则自由度数k 为k =3n –s若质点系为平面问题,则k =2n –sb 、设某质点系由n 个刚体、s 个完整约束组成。

则自由度数k 为k =6n –s若为平面问题,则为k =3n –s4、广义坐标用来确定质点系位置的独立变参量称为广义坐标。

在完整约束的质点系中,广义坐标的数目等于该系统的自由度数。

此系统任一质点M i 的坐标可以表示为广义坐标的函数,即()r r q q q i i k =12,,, i =1,2,…,n 这是用广义坐标q i 表示的质点系各质点位置的表达式。

13.1.2 虚位移 虚功1、虚位移在给定的位置上,质点系为所有约束所容许的无限小位移,称为此质点或质点系的虚位移。

虚位移有三个特点:第一,虚位移是约束所容许的位移;第二,虚位移是无限小的位移;第三,虚位移是虚设的位移;虚位移用δr i 表示,以区别于实位移d r i 。

这里的“δ”是等时变分算子符号,简称变分符号。

在虚位移原理中它的运算规则与微分算子“d”的运算规则相同。

2、虚功作用于质点上的力在该质点的虚位移中所作的元功称为虚功,则虚功的表达式为 r F δ⋅=δF W·2·3、理想约束在质点系的任何虚位移中,如果约束反力所作的虚功之和等于零,这种约束称为理想约束。

则理想约束的条件可以表示为01=δ⋅=δ∑=i i N ni F W r F例如:①光滑面约束;②光滑铰链约束;③对纯滚动刚体的固定面约束;④无重钢杆(二力杆)约束;⑤不可伸长的绳索约束。

都是理想约束。

13.1.3 虚位移原理及应用1、虚位移原理:具有理想约束的质点系,在给定位置保持平衡的必要和充分条件是:所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。

即 0=δ∑F W 虚位移原理的矢量表达式为01=δ⋅∑=iini rF在直角坐标系的投影表达式为()01=δ+δ+δ∑=i i z i i y i ix ni z F y F x F以上各式也称为虚功方程。

2、虚位移原理一般可用来分析以下两类平衡问题。

a 、已知质点系处于平衡状态,求主动力之间的关系或平衡位置。

b 、已知质点系处于平衡状态,求其内力或约束力。

在此情况下,需要解除对应的约束,用相应的约束力代替,使待求的内力或约束力“转化”为主动力。

从而使此系统获得相应的自由度,为使系统发生虚位移创造条件。

13.1.3 用广义力表示质点系的平衡条件具有完整、双面、定常的理想约束的质点系,在给定位置保持平衡的必要和充分条件是:对应于每一个广义坐标的广义力均等于零。

F Qh =0 h =1,2,…,k直角坐标系下的广义力表达式为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∑=h i i z h i i y hi i x ni h Q q z F q y F q x F F 1用几何法表示为jFj Q q W F δδ=势力场中的广义力表示为hQh q VF ∂∂-= h =1,2,…,k 即广义有势力等于势能函数对相应的广义坐标的一阶偏导数再冠以负号。

13.1.5 动力学普遍方程及拉格朗日方程在具有理想约束的质点系中,在任一瞬时,作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作虚功之和等于零。

·3·()i nii i i Fm a r =∑-⋅=1这就是动力学普遍方程(也称为达朗贝尔—拉格朗日方程)。

写成直角坐标系上的投影式为()()()[]01=δ-+δ-+δ-∑=i i i i z i i i iy i i i ix ni z z m F y y m F x x m F在动力学普遍方程中不包含约束力。

由此可知,将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合,建立了动力学普遍方程,避免了理想约束力的出现,再将普遍方程变为广义坐标形式,进一步转变为能量形式,可导出第二类拉格朗日方程,以实现用最少数目的方程来描述动力系统,即h Q hh F q Tq T t ∂∂-∂∂ d d h =1,2,…,k 这是一个方程组,方程的数目等于质点系的自由度数,称之为第二类拉格朗日方程,简称为拉格朗日方程。

它揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。

若引入拉格朗日函数:V T L -=则),1,2,( 0 (d d k j q L qL t j j ==∂∂-∂∂ 称为保守系统的拉格朗日方程。

它们是一个方程组,方程的数目等于该系统的自由度数(或广义坐标数)。

13.2 基本要求1、对约束方程、理想约束和虚位移有清晰的概念。

2、会利用几何法、虚速度法、变分法计算系统各点的虚位移关系,能正确地运用虚位移原理求解物系的平衡问题。

3、对广义坐标、自由度、广义力和广义坐标形式的虚位移原理有初步的理解,并会计算广义力。

理解动力学普通定理的基本概念。

4、能正确运用动力学普遍方程求解动力学问题。

5、能正确运用拉格朗日方程求解动力学问题。

13.3 重点讨论用虚位移原理求解质点系的平衡问题,其实质是利用动力学中功的概念,求解静力学问题,对于理想约束系统,其约束力不包括在虚功方程中,虚功方程中只包含质点系所受的主动力(包括解除约束按主动力处理的约束力)。

所以能够容易地求解出平衡时所受主动力之间的关系,这是虚位移原理最大的优点。

用虚位移原理解题,在一般问题中,虚功方程可比较容易的写出,而关键的问题是找出质点系中各力作用点相应的虚位移之间的关系。

一般情况下,若系统发生虚位移时,有点的合成运动、刚体的平面运动,则运用虚速度法求解(例13-1、例13-2)。

若系统发生虚位移以后,几何关系比较明确,则利用几何法求各点虚位移之间的关系较好(例13-3)。

若系统各点的位置能较容易写出它们的坐标与广义坐标的关系,则应用变分法求解(例13-4)。

动力学普通方程是首先利用达朗贝尔原理在质点系上加上惯性力,再利用虚位移原理求解动力学问题的一种方法。

拉格朗日方程是在其基础上推导出的结果,利用拉格朗日方程求解动力学问题,其关键问题是正确地选择广义坐标,并写出用广义坐标表示的动能和势能表达式,其它问题就是严格的数学求解问题了。

它为解决多自由度动力学问题,提供了简便的方法。

13.4 例题分析例13-1 椭圆规机构如图所示,连杆AB长l,铰链为光滑的,求在图示位置平衡时,主动力P和Q之间的关系。

解:研究整个机构。

系统的所有约束都是完整、定常、理想的。

1、虚速度法:使A发生虚位移为A rδ,B的虚位移为B rδ,则由虚位移原理,虚功方程为0=δ-δ=δ∑BAFrQrPW虚位移关系(投影定理)cossinϕ⋅δ=ϕ⋅δBArr代入虚功方程得)tg(=δ⋅ϕ-ArQP由于0≠δAr得ϕ= tgQP2、变分法由于系统为单自由度,取ϕ为广义坐标。

ϕ=ϕ=sincos lylxAB变分的ϕδϕ=δϕδϕ-=δcossin lylxAB由虚位移原理(直角坐标投影形式)0=δ-δ-=δ∑B xQyPWAF将虚位移关系代入虚功方程得)sincos(=δϕϕ+ϕ-lQP由于0≠δϕ,故ϕ= tgQP·4··5·例13-2 不计各杆件的自重,机构如图所示,求在图示位置平衡时,力F 1与F 2的关系。

解 由于系统发生虚位移时,A 点是点的合成运动关系,所以应用虚速度求解。

设AB 杆的A 点为动点,OC 杆为动系,A 、C 两点的虚位移如图所示,则几何关系为ϕδδδϕδδcos cos lar a OA r r r r e eC A e === 虚功方程为0 012=δ-δ=δ∑C A Fr F r F W将虚位移关系代入得0)cos (212=δϕ-A r laF F由于0≠δA r ,故0cos 212=ϕ-laF F 解出ϕ221cos a lF F =例13-3 多跨静定梁如图所示,求支座B 处反力。

1F 2F 1F 2F BF 有缘学习更多+谓ygd3076考证资料或关注桃报:奉献教育(店铺)·6·解:将支座B 处的约束解除,代入相应的约束力F B ,并发生虚位移。

根据虚位移原理(几何法):0δΣ=F W 0211=δθ-δ-δ+δ-m r P r F r P C B B 得BB C B B r mr r P r r P F δδθ+δδ+δδ=211由虚位移几何关系(几何法)811 , 211=δδ=δδB C B r r r r96118111211121614 =⨯=δ⋅δ=δ⋅δ=δ⋅δ=δδθB C B E B G B r r r r r r r 代入解得m P P F B 961181121 21++=几何法一般应用于虚位移的几何关系容易画出的情况下。

例13-4 机构如图所示,各杆之间均用铰链连接,杆长AE =BD =2l ,DH =EH =l 。

D 、E 之间连一弹簧,弹簧刚度系数为k ,弹簧的原长为l 。

杆和弹簧的自重及各处的摩擦均不计。

今在铰链H 上施加一铅直向下的力F H ,并使该机构处于静止平衡状态,试确定力F H 与杆件、水平线的夹角θ之间的关系。

解:这是一个单自由度系统。

取θ为广义坐标。

因为弹簧 DE 不是理想约束,求解时应解除弹簧约束,用相应的弹性力F 、F '代替,并视之为主动力,如图所示。

此题用解析法求解。

由虚位移原理在直角坐标系的投影表达式 0'0Σ=δ-δ-δ=δH H E D F y F x F x F W 以固定点A 为原点,建立静坐标系Axy 。

主动力作用点的坐标为 θθsin 3cos 20l y l x x H E D === 变分得θδθ=δθδθ-=δ=δcos 3sin 20l y l x x H E D弹簧DE 在图示位置的长度为2l cos θ,其原长为l ,伸长量∆=2l cos θ –l =(2cos θ –1)l ,于是弹簧作用于D 、E 上的拉力的大小为·7·()F F k kl ='==-∆21cos θ由于虚位移是假想中的位移,它的给出不会引起弹簧的真实长度的任何变化。

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