苏州市2018届高三上学期期中考试数学
江苏省苏州市2018届高三数学期中调研试题
2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数 学注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置)1．已知集合{1,2,3,4,5},{1,3},{2,3}U A B ===，则()U A B =ðI ▲ ． 2．函数1ln(1)y x =-的定义域为 ▲ ．3．设命题:4p x >；命题2:540q x x -+≥，那么p 是q 的 ▲ 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．4．已知幂函数22*()m m y x m -=∈N 在(0,)+∞是增函数，则实数m 的值是 ▲ ． 5．已知曲线3()ln f x ax x =+在(1,(1))f 处的切线的斜率为2，则实数a 的值是 ▲ ． 6．已知等比数列{}n a 中，32a =，4616a a =，则7935a a a a -=- ▲ ．7．函数sin(2)(0)2y x ϕϕπ=+<<图象的一条对称轴是12x π=，则ϕ的值是 ▲ ． 8．已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则不等式()01f x x >-的解集为 ▲ ．9．已知tan()24απ-=，则cos2α的值是 ▲ ．10．若函数8,2()log 5,2ax x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤(01)a a >≠且的值域为[6,)+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．已知数列{},{}n n a b 满足1111,1,(*)21n n n n a a b b n a +=+==∈+N ，则122017b b b ⋅⋅=L ▲ ．12．设ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，D 为AB 的中点，若cos sin b a C c A =+且CD =ABC △面积的最大值是 ▲ ．13．已知函数()sin()6f x x π=-，若对任意的实数5[,]62αππ∈--，都存在唯一的实数[0,]m β∈，使()()0f f αβ+=，则实数m 的最小值是 ▲ ．14．已知函数l n ,0()21,0x xf x x x >⎧=⎨+⎩≤，若直线y a x =与()y f x =交于三个不同的点(,()),(,(A m f m B n f n(,())C t f t （其中m n t <<），则12n m++的取值范围是 ▲ ． 二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)已知函数1())(0,0)242f x ax b a b π=+++>>的图象与x 轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为2π．（1）求,a b 的值；（2）求()f x 在[0,]4π上的最大值和最小值．16．(本题满分14分)在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知sin sin sin ()B C m A m +=∈R ，且240a bc -=．（1）当52,4a m ==时，求,b c 的值； （2）若角A 为锐角，求m 的取值范围．17．(本题满分15分)已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且满足11a =，*131()n n S S n +=+∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在数列{}n b 中，13b =，*11()n n n na b b n a ++-=∈N ，若不等式2n n a b n λ+≤对*n ∈N 有解，求实数λ的取值范围．18．(本题满分15分)如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB 为2米，梯形的高为1米，CD 为3米，上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点．MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和CD 平行．当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH （阴影部分均不通风）．（1）设MN 与AB 之间的距离为5(02x x <≤且1)x ≠米，试将通风窗的通风面积S （平方米）表示成关于x 的函数()y S x =；（2）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S 取得最大值？19．(本题满分16分)已知函数2()ln ,()f x x g x x x m ==--． （1）求过点(0,1)P -的()f x 的切线方程；（2）当0=m 时，求函数()()()F x f x g x =-在],0(a 的最大值；（3）证明：当3m ≥-时，不等式2()()(2)e x f x g x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立（其中e 为自然对数的底数,e 2.718...=）．20．(本题满分16分)已知数列{}n a 各项均为正数，11a =,22a =，且312n n n n a a a a +++=对任意*n ∈N 恒成立，记{}n a 的前n 项和为n S ． （1）若33a =，求5a 的值；（2）证明：对任意正实数p ，221{}n n a pa -+成等比数列；（3）是否存在正实数t ，使得数列{}n S t +为等比数列．若存在，求出此时n a 和n S 的表达式；若不存在，说明理由．2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数学 (附加) 2017.11 注意事项：1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟．2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．(几何证明选讲)（本小题满分10分）如图，AB为圆O的直径，C在圆O上，CF AB⊥于F，点D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于E，030AEC∠=．（1）求证：AF FO=；（2）若CF=AD AE⋅的值．B．(矩阵与变换)（本小题满分10分）已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A，42α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r，求49αu rA的值．C．(极坐标与参数方程) （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为42525x ty t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为cos()(0)4aρθπ=-≠．（1）求直线l和圆C的直角坐标方程；（2）若圆C任意一条直径的两个端点到直线la的值．BD ．(不等式选讲) （本小题满分10分）设,x y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y x xy y ++-+≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏．第一轮游戏中，主持人将标有数字1,2,…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6,7,…,10的客人留下，其余的淘汰，第二轮放入1,2,…,5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3,4,5的客人留下，第三轮放入1,2,3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2,3的客人留下，同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物．已知客人甲参加了该游戏． （1）求甲拿到礼物的概率；（2）设ξ表示甲参加游戏的轮数．．，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．23．(本小题满分10分)（1）若不等式(1)ln(1)x x ax ++≥对任意[0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围； （2）设*n ∈N ，试比较111231n ++++L 与ln(1)n +的大小，并证明你的结论．2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数 学 参 考 答 案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．{1} 2．(1,2)(2,)+∞U 3．充分不必要 4．1 5．136．4 7．3π 8．(2,0)(1,2)-U 9．45- 10．(1,2]11．12018121 13．2π 14．1(1,e )e +二、解答题(本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分)解：（1）∵()f x 图象上相邻两个最高点之间的距离为2π， ∴()f x 的周期为2π，∴202||2a a ππ=>且，······································································2分∴2a =，··················································································································4分此时1())42f x x b π=+++， 又∵()f x 的图象与x 轴相切，∴1||02b b +=>，·······················································6分 ∴12b =-；··········································································································8分（2）由（1）可得())242f x x π=++， ∵[0,]4x π∈，∴4[,]444x ππ5π+∈，∴当444x π5π+=，即4x π=时，()f x 有最大值为；·················································11分当442x ππ+=，即16x π=时，()f x 有最小值为0．························································14分 16．(本题满分14分) 解：由题意得b c +=，240a bc -=．···············································································2分（1）当52,4a m ==时，5,12b c bc +==， 解得212b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；································································································6分（2）2222222222()()22cos 23222a ma abc a b c bc a A m a bc bc--+-+--====-，····························8分∵A 为锐角，∴2cos 23(0,1)A m =-∈，∴2322m <<，····················································11分又由b c ma +=可得0m >，·························································································13分∴m <····································································14分 17．(本题满分15分)解：（1）∵*131()n n S S n +=+∈N ，∴*131(,2)n n S S n n -=+∈N ≥，∴*13(,2)n n a a n n +=∈N ≥，·························································································2分又当1n =时，由2131S S =+得23a =符合213a a =，∴*13()n n a a n +=∈N ，······························3分∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，通项公式为1*3()n n a n -=∈N ；·····················5分（2）∵*113()n n n na b b n a ++-==∈N ，∴{}n b 是以3为首项，3为公差的等差数列，····················7分∴*33(1)3()n b n n n =+-=∈N ，·····················································································9分∴2n n a b n λ+≤，即1233n n n λ-⋅+≤，即2133n n nλ--≤对*n ∈N 有解，··································10分设2*13()()3n n n f n n --=∈N ，∵2221(1)3(1)32(41)(1)()333n n nn n n n n n f n f n -+-+---++-=-=， ∴当4n ≥时，(1)()f n f n +<，当4n <时，(1)()f n f n +>，∴(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f f f <<<>>>L ， ∴max 4[()](4)27f n f ==，···························································································14分∴427λ≤．·············································································································15分 18．(本题满分15分)解：（1）当01x <≤时，过A 作AK CD ⊥于K （如上图），则1AK =，122CD AB DK -==，1HM x =-， 由2AK MH DK DH ==，得122HM x DH -==， ∴322HG DH x =-=+， ∴2()(1)(2)2S x HM HG x x x x =⋅=-+=--+；·······························································4分当512x <<时，过E 作ET MN ⊥于T ，连结EN （如下图），则1ET x =-，2MN TN ==∴MN = ∴()(1)S x MN ET x =⋅=-，······································································8分综上：22,01()52(12x x x S x x x ⎧--+<⎪=⎨-<<⎪⎩≤；·································································9分（2）当01x <≤时，2219()2()24S x x x x =--+=-++在[0,1)上递减， ∴max ()(0)2S x S ==；································································································11分2︒当512x <<时，229(1)(1)94()2(224x x S x x -+--=-⋅=，当且仅当(1)x -51(1,)2x =+∈时取“=”， ∴max 9()4S x =，此时max 9()24S x =>，∴()S x 的最大值为94，············································14分答：当MN 与AB 之间的距离为1米时，通风窗的通风面积S 取得最大值．····················15分19．(本题满分16分)解：（1）设切点坐标为00(,ln )x x ，则切线方程为0001ln ()y x x x x -=-， 将(0,1)P -代入上式，得0ln 0x =，01x =， ∴切线方程为1y x =-；·······························································································2分（2）当0m =时，2()ln ,(0,)F x x x x x =-+∈+∞， ∴(21)(1)(),(0,)x x F x x x+-'=-∈+∞，············································································3分当01x <<时，()0F x '>，当1x >时，()0F x '<， ∴()F x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减，·············································································5分∴当01a <≤时，()F x 的最大值为2()ln F a a a a =-+； 当1a >时，()F x 的最大值为(1)0F =；········································································7分（3）2()()(2)e x f x g x x x +<--可化为(2)e ln x m x x x >-+-，设1()(2)e ln ,[,1]2x h x x x x x =-+-∈，要证3m ≥-时()m h x >对任意1[,1]2x ∈均成立， 只要证max ()3h x <-，下证此结论成立． ∵1()(1)(e )x h x x x '=--，∴当112x <<时，10x -<，·······················································8分设1()e x u x x =-，则21()e 0x u x x '=+>，∴()u x 在1(,1)2递增， 又∵()u x 在区间1[,1]2上的图象是一条不间断的曲线，且1()202u =<，(1)e 10u =->，∴01(,1)2x ∃∈使得0()0u x =，即001e x x =，00ln x x =-，····················································11分当01(,)2x x ∈时，()0u x <，()0h x '>；当0(,1)x x ∈时，()0u x >，()0h x '<； ∴函数()h x 在01[,]2x 递增，在0[,1]x 递减， ∴0max 00000000012()()(2)e ln (2)212x h x h x x x x x x x x x ==-+-=-⋅-=--，····························14分∵212y x x =--在1(,1)2x ∈递增，∴0002()121223h x x x =--<--=-，即m a x ()3h x <-， ∴当3m ≥-时，不等式2()()(2)e x f x g x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立．··························16分 20．(本题满分16分) 解：（1）∵1423a a a a =，∴46a =，又∵2534a a a a =，∴54392a a ==；·······································2分（2）由3121423n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=⎧⎨=⎩，两式相乘得2134123n n n n n n n a a a a a a a ++++++=，∵0n a >，∴2*42()n n n a a a n ++=∈N ， 从而{}n a 的奇数项和偶数项均构成等比数列，···································································4分设公比分别为12,q q ，则1122222n n n a a q q --==，1121111n n n a a q q ---==，······································5分又∵312=n n n na a a a +++，∴42231122a a q a a q ===，即12q q =，···························································6分设12q q q ==，则2212223()n n n n a pa q a pa ---+=+，且2210n n a pa -+>恒成立， 数列221{}n n a pa-+是首项为2p +，公比为q 的等比数列，问题得证；····································8分（3）法一：在（2）中令1p =，则数列221{}n n a a -+是首项为3，公比为q 的等比数列，∴22212223213 ,1()()()3(1),11k k k k k k k q S a a a a a a q q q---=⎧⎪=++++++=-⎨≠⎪-⎩， 12122132 ,13(1)2,11k k k k k k k q q S S a q q q q ---⎧-=⎪=-=⎨--≠⎪-⎩，·····································································10分且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+，∵数列{}n S t +为等比数列，∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩，即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩（3t =-舍去），·························································································13分∴224121k k k S =-=-，212121k k S --=-， 从而对任意*n ∈N 有21n n S =-， 此时2n n S t +=，12n n S tS t-+=+为常数，满足{}n S t +成等比数列，当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，又11a =，∴1*2()n n a n -=∈N ，综上，存在1t =使数列{}n S t +为等比数列，此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N ．······················16分法二：由（2）知，则122n n a q -=，121n n a q --=，且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+，∵数列{}n S t +为等比数列，∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩，即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩（3t =-舍去），·······················································································11分∴121222n n n a q --==，22212n n a --=，从而对任意*n ∈N 有12n n a -=，····································13分∴01211222222112n n n n S --=++++==--， 此时2n n S t +=，12n n S tS t-+=+为常数，满足{}n S t +成等比数列，综上，存在1t =使数列{}n S t +为等比数列，此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N ．······················16分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲，本小题满分10分)解：（1）证明 ：连接,OC AC ，∵030AEC ∠=，∴0260AOC AEC ∠=∠=，又OA OC =，∴AOC ∆为等边三角形，∵CF AB ⊥，∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线， ∴AF FO =；······································································5分（2）解：连接BE ，∵CF =AOC ∆是等边三角形， ∴可求得1AF =，4AB =，B∵AB 为圆O 的直径，∴90AEB ∠=o ，∴AEB AFD ∠=∠， 又∵BAE DFA ∠=∠，∴AEB ∆∽AFD ∆，∴AD AFAB AE=， 即414AD AE AB AF ⋅=⋅=⨯=．··················································································10分 B ．(矩阵与变换，本小题满分10分) 解：矩阵A 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----， 令()0f λ=，解得矩阵A 的特征值121,3λλ=-=，····························································2分当11λ=-时特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r，当23λ=时特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r，·····································6分又∵12432ααα⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦u ru u r u u r，······························································································8分∴5049494911225031331αλαλα⎡⎤-=+=⎢⎥+⎣⎦u r u u r u u rA ．···········································································10分C ．(极坐标与参数方程，本小题满分10分) 解：（1）直线l 的普通方程为220x y +-=；··········································································3分。
江苏省苏州市高三数学上学期期中试题(2021学年)
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江苏省苏州市2018届高三数学上学期期中试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分,共70分.1. 已知集合U={1，2,３,4,5},A＝{1，３｝,Ｂ＝｛2,3｝,则Ａ∩（∁U B)＝_＿_＿_＿__．２. 函数y＝错误!的定义域为__＿____＿____＿_．３。
设命题p:x＞4;命题q：x2-5x＋4≥0，那么ｐ是q的＿______＿___＿＿_条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”）4。
已知幂函数y=x2m－m2（ｍ∈N＊）在（0，+∞)是增函数，则实数m的值是__＿＿____.５。
已知曲线f(x)＝ax3＋lｎx在点（1,f(1)）处的切线的斜率为2,则实数a的取值是__＿_＿__＿．6. 已知在等比数列｛ａｎ｝中，ａ3＝2，ａ4ａ６＝16,则ａ7－a9a３-a5＝_＿_____＿．７. 函数y＝ｓｉn(2x+φ)错误!图象的一条对称轴是直线ｘ=错误!,则φ的值是＿＿______．8. 已知奇函数ｆ(x）在（-∞,0)上单调递减,且ｆ（２)=０,则不等式＼f(f（x),x-1)〉0的解集是_______＿．9。
已知ｔａn错误!=2，则ｃｏs2α的值是＿＿__＿＿__．１０. 若函数ｆ（ｘ）=错误!（a>０且a≠1)的值域为［6,+∞）,则实数a的取值范围是__＿__＿＿＿．11。
高2021届高2018级江苏省苏州市高三第一学期期中考试数学试题参考答案
高2021届高2018级高三年级第一学期期中考试(苏州)数学参考答案及评分标准1. C2. C3. B4. B5. A6. B7. C8. A9. BC 10. BC 11. ABD 12. ABC13. (－2,2)∪(2,＋∞) 14. 1215. 40 000 16. 2 17. 解:(1) 因为函数f(x)的最小正周期为π,所以2πω＝π,ω＝2,(1分) 此时g(φ)＝f(π6)＝sin(π3－φ)＝－sin (φ－π3). 因为|φ|≤π2,所以φ－π3∈[－5π6,π6],所以－1≤sin(φ－π3)≤12,(3分) 所以g(φ)＝f(π6)的值域为[－12,1].(4分) (2) 因为φ＝π3,所以f(α)＝sin (2α－π3). 由sin α－2cos α＝0,得tan α＝2,(6分)f (α)＝sin (2α－π3)＝12sin 2α－32cos 2α(8分) ＝12×2 tan α1＋tan 2α－32×1－tan 2α1＋tan 2α＝4－3×（1－4）2×（1＋4）＝4＋3310.(10分) 18. 解:(1) 当a ＝3时,f(x)＝－13x 3＋32x 2－2x,得f′(x)＝－x 2＋3x －2.(1分) 因为f′(x)＜0,得x ＜1或x ＞2,(3分)所以函数f(x)单调递减区间为(－∞,1)和(2,＋∞).(4分)(2) 由f(x)＝－13x 3＋a 2x 2－2x,得f′(x)＝－x 2＋ax －2.(5分) 因为对于任意x ∈[1,＋∞)都有f′(x)＜2(a －1)成立,所以问题转化为:对于任意x ∈[1,＋∞)都有f′(x)max ＜2(a －1).(6分)因为f′(x)＝－(x －a 2)2＋a 24－2,其图象开口向下,对称轴为x ＝a 2. ①当a 2＜1时,即a ＜2时,f ′(x)在[1,＋∞)上单调递减, 所以f′(x)max ＝f′(1)＝a －3.由a －3＜2(a －1),得a ＞－1,此时－1＜a ＜2.(8分)②当a 2≥1,即a ≥2时,f ′(x)在[1,a 2]上单调递增,在(a 2,＋∞)上单调递减, 所以f′(x)max ＝f′(a 2)＝a 24－2.(10分) 由a 24－2＜2(a －1),得0＜a ＜8,此时2≤a ＜8.(11分) 综合①②,可得实数a 的取值范围是(－1,8).(12分)19. 解:若选①.(1) 由题设条件及正弦定理,得sin Csin B ＋C 2＝sin Asin C.(1分)因为△ABC 中,sin C ≠0,所以sin B ＋C 2＝sin A.(2分) 由A ＋B ＋C ＝π,可得sin B ＋C 2＝sin π－A 2＝cos A 2,(3分) 所以cos A 2＝2sin A 2cos A 2.(4分) 因为△ABC 中,cos A 2≠0,所以sin A 2＝12. 因为0＜A ＜π,所以A ＝π3.(5分) 因为c ＝(3－1)b,所以由正弦定理得sin C ＝(3－1)sin B.因为A ＝π3,所以sin B ＝sin(π－A －C)＝sin(A ＋C)＝sin(C ＋π3),(6分) 所以sin C ＝(3－1)sin(C ＋π3),整理得sin C ＝cos C.(7分) 因为△ABC 中,sin C ≠0,所以cos C ≠0,所以tan C ＝sin C cos C＝1. 因为0＜C ＜π,所以C ＝π4.(9分) (2) 因为△ABC 的面积为3－3,c ＝(3－1)b,A ＝π3, 所以由S ＝12bcsin A 得34(3－1)b 2＝3－3,(11分) 解得b ＝2.(12分)若选②.(1) 由题设及正弦定理得2cos A(sin Bcos C ＋sin Ccos B)＝sin A,(1分) 即2cos Asin(B ＋C)＝sin A.(2分)因为B ＋C ＝π－A,所以2cos Asin A ＝sin A.(3分)因为△ABC 中,sin A ≠0,所以cos A ＝12.(4分) 因为0＜A ＜π,所以A ＝π3.(5分) 下同选①.若选③.由题设得(sin B －sin C)2＝sin 2A －sin Bsin C,(1分)所以sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin Bsin C.(2分)由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.(4分) 因为0＜A ＜π,所以A ＝π3.(5分) 下同选①.20. 解:(1) 因为等差数列{a n }中,a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝30,所以a 5＝10.设等差数列{a n }的公差是d,所以d ＝a 5－a 15－1＝2,(1分) 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n.(2分)设等比数列{b n }的公比是q,因为b 2b 3＝a 16,所以b 21q 3＝4q 3＝32,所以q ＝2,所以b n ＝b 1qn －1＝2n .(3分) (2) ① 若存在正整数k,使得T k ＋1＝T k ＋b k ＋32成立,则b k ＋1＝b k ＋32,(4分)所以2k ＋1＝2k ＋32,即2k ＝32,解得k ＝5.(5分)存在正整数k ＝5满足条件.(6分)② S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n(n ＋1), 所以n(n ＋1)≥2n ,即2n －n(n ＋1)≤0.(8分)令f(n)＝2n －n(n ＋1),因为f(n ＋1)－f(n)＝2n ＋1－(n ＋1)(n ＋2)－2n ＋n(n ＋1)＝2[2n －1－(n ＋1)],所以当n ≥4时,{f(n)}单调递增.(9分)又f(2)－f(1)＜0,f(3)－f(2)＜0,f(4)－f(3)＜0,所以f(1)＞f(2)＞f(3)＝f(4)＜…＜f(n)＜…(10分)因为f(1)＝0,f(4)＝－4,f(5)＝2,所以n ＝1,2,3,4时,f(n)≤0,n ≥5时,f(n)＞0,(11分)所以不等式S n ≥b n 的解集为{1,2,3,4}.(12分)21. 解:(1) 因为g(x)为定义在[－4,4]上的奇函数,所以当x ∈[－4,0)时,g(－x)＝－(－x)2＋4(－x)＝－x 2－4x.因为g(－x)＝－g(x),所以g(－x)＝－g(x)＝－x 2－4x,(2分)所以g(x)＝x 2＋4x,所以g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ∈[－4，0），－x 2＋4x ，x ∈[0，4].(3分) (2) 因为g(x)在[2,4]内有“8倍倒域区间”,设2≤a ＜b ≤4,因为g(x)在[2,4]上单调递减,所以⎩⎨⎧－a 2＋4a ＝8a ，－b 2＋4b ＝8b ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）（a 2－2a －4）＝0，（b －2）（b 2－2b －4）＝0，(5分) 解得a ＝2,b ＝1＋5,所以g(x)在[2,4]内的“8倍倒域区间”为[2,1＋5].(6分)(3) 因为g(x)在x ∈[a,b]时,函数值的取值区间恰为[k b ,k a](k ≥8), 所以0＜a ＜b ≤4或－4≤a ＜b ＜0.当0＜a ＜b ≤4时,因为g(x)的最大值为4,所以k a≤4.(7分) 因为k ≥8,所以a ≥2.因为g(x)在[2,4]上单调递减,所以⎩⎨⎧－a 2＋4a ＝k a，－b 2＋4b ＝k b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－4a 2＋k ＝0，b 3－4b 2＋k ＝0，(8分) 所以方程x 3－4x 2＋k ＝0在[2,4]上有两个不同的实数解.令h(x)＝x 3－4x 2＋k,x ∈[2,4],则h′(x)＝3x 2－8x.令h′(x)＝3x 2－8x ＝0,得x ＝0(舍去)或x ＝83, 当x ∈(2,83)时,h ′(x)＜0,所以h(x)在(2,83)上单调递减. 当x ∈(83,4)时,h ′(x)＞0,所以h(x)在(83,4)上单调递增.(10分) 因为h(2)＝k －8≥0,h(4)＝k ≥8,所以要使得x 3－4x 2＋k ＝0在[2,4]上有两个不同的实数解,只需h(83)＜0, 解得k ＜25627,所以8≤k ＜25627.(11分) 同理可得:当－4≤a ＜b ＜0时,8≤k ＜25627. 综上所述,k 的取值范围是[8,25627).(12分) 22. (1) 解:因为f(x)＝e x ＋ax·sin x,所以f′(x)＝e x ＋a(sin x ＋xcos x),(1分) 所以f′(0)＝1.因为f(0)＝1,所以曲线f(x)在x ＝0处的切线方程为y －1＝x,即y ＝x ＋1.(3分)(2) 证明:当a ＝－2时,g(x)＝e x x－2sin x,其中x ∈(－π,0), 则g′(x)＝e x （x －1）x 2－2cos x ＝e x （x －1）－2x 2cos x x 2.(4分) 令h(x)＝e x (x －1)－2x 2cos x,x ∈(－π,0),则h′(x)＝x(e x ＋2xsin x －4cos x).当x ∈(－π,－π2)时,因为e x ＞0,2xsin x ＞0,cos x ＜0,所以h′(x)＜0, 所以h(x)在(－π,－π2)上单调递减.(5分) 因为h(－π)＝2π2－e －π(1＋π)＞0,h(－π2)＝e －π2(－π2－1)＜0, 所以由零点存在性定理知,存在唯一的x 0∈(－π,－π2),使得h(x 0)＝0,(7分) 所以当x ∈(－π,x 0)时,h(x)＞0,即g′(x)＞0；当x ∈(x 0,－π2)时,h(x)＜0,即g ′(x)＜0. 当x ∈(－π2,0)时,g ′(x)＝e x （x －1）x 2－2cos x ＜0. 因为g′(x)在(－π,0)上连续,所以x ∈(x 0,0)时,g ′(x)＜0,所以g(x)在(－π,x 0)上单调递增,在(x 0,0)上单调递减,所以x 0是函数g(x)在(－π,0)上的唯一极大值点.(9分)因为g(x)在(x 0,－π2)上单调递减,所以g(x 0)＞g(－π2). 因为g(－π2)＝－1π2e π2＋2＞0,所以g(x 0)＞0.(10分)当x 0∈(－π,－π2)时,因为－1＜ex 0x 0＜0,0＜－2sin x 0＜2, 所以g(x 0)＝ex 0x 0－2sin x 0＜2,(11分) 所以0＜g(x 0)＜2.(12分)。
苏州市2018届高三上学期期中考试数学试题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】苏州市2018届高三第一学期期中调研试卷数 学一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置) 1．已知集合{1,2,3,4,5},{1,3},{2,3}U A B ===，则()U A B = ▲ ．2．函数1ln(1)y x =-的定义域为 ▲ ．3．设命题:4p x >；命题2:540q x x -+≥，那么p 是q 的 ▲ 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）． 4．已知幂函数22*()m m y x m -=∈N 在(0,)+∞是增函数，则实数m 的值是 ▲ ．5．已知曲线3()ln f x ax x =+在(1,(1))f 处的切线的斜率为2，则实数a 的值是▲ ．6．已知等比数列{}n a 中，32a =，4616a a =，则7935a a a a -=- ▲ ．7．函数sin(2)(0)2y x ϕϕπ=+<<图象的一条对称轴是12x π=，则ϕ的值是 ▲ ．8．已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则不等式()01f x x >-的解集为 ▲ ．9．已知tan()24απ-=，则cos2α的值是 ▲ ．10．若函数8,2()log 5,2ax x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤(01)a a >≠且的值域为[6,)+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．已知数列{},{}n n a b 满足1111,1,(*)21n n n n a a b b n a +=+==∈+N ，则122017b b b ⋅⋅=▲ ．12．设ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，D 为AB 的中点，若cos sin b a C c A=+且CD =ABC △面积的最大值是▲ ．13．已知函数()sin()6f x x π=-，若对任意的实数5[,]62αππ∈--，都存在唯一的实数[0,]m β∈，使()()0f f αβ+=，则实数m 的最小值是 ▲ ． 14．已知函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨+⎩≤，若直线y ax =与()y f x =交于三个不同的点(,()),(,()),A m f m B n f n(,())C t f t （其中m n t <<），则12n m++的取值范围是 ▲ ．二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)已知函数1())(0,0)42f x ax b a b π=+++>>的图象与x 轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为2π．（1）求,a b 的值；（2）求()f x 在[0,]4π上的最大值和最小值．16．(本题满分14分)在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知sin sin sin ()B C m A m +=∈R ，且240a bc -=．（1）当52,4a m ==时，求,bc 的值；（2）若角A 为锐角，求m 的取值范围．17．(本题满分15分)已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且满足11a =，*131()n n S S n +=+∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，13b =，*11()n n n na b b n a ++-=∈N ，若不等式2n n a b n λ+≤对*n ∈N 有解，求实数λ的取值范围．如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB 为2米，梯形的高为1米，CD 为3米，上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点．MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和CD 平行．当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH （阴影部分均不通风）． （1）设MN 与AB 之间的距离为5(02x x <≤且1)x ≠米，试将通风窗的通风面积S （平方米）表示成关于x 的函数()y S x =；（2）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S 取得最大值？19．(本题满分16分)已知函数2()ln ,()f x x g x x x m ==--． （1）求过点(0,1)P -的()f x 的切线方程；（2）当0=m 时，求函数()()()F x f x g x =-在],0(a 的最大值；（3）证明：当3m ≥-时，不等式2()()(2)e x f x g x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立（其中e 为自然对数的底数,e 2.718...=）．已知数列{}n a 各项均为正数，11a =,22a =，且312n n n n a a a a +++=对任意*n ∈N 恒成立，记{}n a 的前n 项和为n S ． （1）若33a =，求5a 的值；（2）证明：对任意正实数p ，221{}n n a pa -+成等比数列；（3）是否存在正实数t ，使得数列{}n S t +为等比数列．若存在，求出此时n a 和n S 的表达式；若不存在，说明理由．2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数学(附加题部分)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲)（本小题满分10分）如图，AB 为圆O 的直径，C 在圆O 上，CF AB ⊥于F ，点D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交圆O于E ，030AEC ∠=． （1）求证：AF FO =； （2）若CF =，求AD AE ⋅的值．BB ．(矩阵与变换)（本小题满分10分）已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，42α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求49αA 的值．C ．(极坐标与参数方程)（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为42525x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为cos()(0)4a ρθπ-≠．（1）求直线l 和圆C 的直角坐标方程；（2）若圆C 任意一条直径的两个端点到直线l，求a的值．D ．(不等式选讲)（本小题满分10分）设,x y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y x xy y ++-+≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏．第一轮游戏中，主持人将标有数字1,2,…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6,7,…,10的客人留下，其余的淘汰，第二轮放入1,2,…,5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3,4,5的客人留下，第三轮放入1,2,3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2,3的客人留下，同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物．已知客人甲参加了该游戏． （1）求甲拿到礼物的概率；（2）设ξ表示甲参加游戏的轮数．．，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．23．(本小题满分10分)（1）若不等式(1)ln(1)x x ax ++≥对任意[0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设*n ∈N ，试比较111231n ++++与ln(1)n +的大小，并证明你的结论．2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数 学 参 考 答 案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．{1} 2．(1,2)(2,)+∞3．充分不必要 4．15．136．4 7．3π 8．(2,0)(1,2)-9．45-10．(1,2] 11．12018 12．113．2π14．1(1,e )e+二、解答题(本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分)解：（1）∵()f x 图象上相邻两个最高点之间的距离为2π，∴()f x 的周期为2π，∴202||2a a ππ=>且，······································································2分∴2a =，··················································································································4分此时1())42f x x b π=+++， 又∵()f x 的图象与x 轴相切，∴1||02b b +=>，·······················································6分∴122b =-；··········································································································8分（2）由（1）可得())4f x x π=+∵[0,]4x π∈，∴4[,]444x ππ5π+∈， ∴当444x π5π+=，即4x π=时，()f x 有最大值为；·················································11分当442x ππ+=，即16x π=时，()f x 有最小值为0．························································14分 16．(本题满分14分) 解：由题意得b c ma+=，240a bc -=．···············································································2分（1）当52,4a m ==时，5,12b c bc +==，解得212b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；································································································6分（2）2222222222()()22cos 23222a ma abc a b c bc a A m a bc bc--+-+--====-，····························8分∵A 为锐角，∴2cos 23(0,1)A m =-∈，∴2322m <<，····················································11分又由b c ma +=可得0m >，·························································································13分∴m <<···········································································14分 17．(本题满分15分)解：（1）∵*131()n n S S n +=+∈N ，∴*131(,2)n n S S n n -=+∈N ≥，∴*13(,2)n n a a n n +=∈N ≥，·························································································2分又当1n =时，由2131S S =+得23a =符合213a a =，∴*13()n n a a n +=∈N ，······························3分∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，通项公式为1*3()n n a n -=∈N ； (5)分（2）∵*113()n n n na b b n a ++-==∈N ，∴{}n b 是以3为首项，3为公差的等差数列，····················7分∴*33(1)3()n b n n n =+-=∈N ，·····················································································9分∴2n n a b nλ+≤，即1233n n nλ-⋅+≤，即2133n n n λ--≤对*n ∈N 有解，··································10分设2*13()()3n n nf n n --=∈N ，∵2221(1)3(1)32(41)(1)()333n n nn n n n n n f n f n -+-+---++-=-=， ∴当4n ≥时，(1)()f n f n +<，当4n <时，(1)()f n f n +>， ∴(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f f f <<<>>>， ∴max 4[()](4)27f n f ==，···························································································14分∴427λ≤．·············································································································15分 18．(本题满分15分)解：（1）当01x <≤时，过A 作AK CD ⊥于K （如上图），则1AK =，122CD AB DK -==，1HM x =-，由2AKMH DKDH ==，得122HM xDH -==，∴322HG DH x =-=+， ∴2()(1)(2)2S x HM HG x x x x =⋅=-+=--+；·······························································4分当512x <<时，过E 作ET MN ⊥于T ，连结EN （如下图），则1ET x =-，22239(1)(1)224MN TN x x ⎛⎫==---- ⎪⎝⎭∴292(1)4MN x =--∴29()2(1)(1)4S x MN ET x x =⋅=---，······································································8分综上：222,01()952(1)(1)142x x x S x x x x ⎧--+<⎪=⎨---<<⎪⎩≤；·································································9分（2）当01x <≤时，2219()2()24S x x x x =--+=-++在[0,1)上递减，∴max ()(0)2S x S ==；································································································11分2︒当512x <<时，229(1)(1)94()2(224x x S x x -+--=-⋅=，当且仅当(1)x -=51(1,)2x +∈时取“=”， ∴max 9()4S x =，此时max 9()24S x =>，∴()S x 的最大值为94，············································14分答：当MN 与AB1+米时，通风窗的通风面积S 取得最大值．····················15分 19．(本题满分16分)解：（1）设切点坐标为00(,ln )x x ，则切线方程为0001ln ()y x x x x -=-， 将(0,1)P -代入上式，得0ln 0x =，01x =， ∴切线方程为1y x =-；·······························································································2分（2）当0m =时，2()ln ,(0,)F x x x x x =-+∈+∞， ∴(21)(1)(),(0,)x x F x x x+-'=-∈+∞，············································································3分当01x <<时，()0F x '>，当1x >时，()0F x '<， ∴()F x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减，·············································································5分∴当01a <≤时，()F x 的最大值为2()ln F a a a a =-+； 当1a >时，()F x 的最大值为(1)0F =；········································································7分（3）2()()(2)e x f x g x x x +<--可化为(2)e ln x m x x x >-+-，设1()(2)e ln ,[,1]2x h x x x x x =-+-∈，要证3m ≥-时()m h x >对任意1[,1]2x ∈均成立，只要证max ()3h x <-，下证此结论成立． ∵1()(1)(e )x h x x x'=--，∴当112x <<时，10x -<，·······················································8分设1()e x u x x=-，则21()e 0x u x x '=+>，∴()u x 在1(,1)2递增， 又∵()u x 在区间1[,1]2上的图象是一条不间断的曲线，且1()202u =<，(1)e 10u =->，∴01(,1)2x ∃∈使得0()0u x =，即01e xx =，00ln x x =-，····················································11分当01(,)2x x ∈时，()0u x <，()0h x '>；当0(,1)x x ∈时，()0u x >，()0h x '<；∴函数()h x 在01[,]2x 递增，在0[,1]x 递减，∴0max 00000000012()()(2)e ln (2)212x h x h x x x x x x x x x ==-+-=-⋅-=--，····························14分∵212y x x=--在1(,1)2x ∈递增，∴0002()121223h x x x =--<--=-，即max ()3h x <-， ∴当3m ≥-时，不等式2()()(2)e xf xg x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立．··························16分 20．(本题满分16分) 解：（1）∵1423a a a a =，∴46a =，又∵2534a a a a =，∴54392a a ==；·······································2分（2）由3121423n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=⎧⎨=⎩，两式相乘得2134123n n n n n n n a a a a a a a ++++++=，∵0n a >，∴2*42()n n n a a a n ++=∈N ， 从而{}n a 的奇数项和偶数项均构成等比数列，···································································4分设公比分别为12,q q ，则1122222n n n a a q q --==，1121111n n n a a q q ---==，······································5分又∵312=n n n na a a a +++，∴42231122a a q a a q ===，即12q q =，···························································6分设12q q q ==，则2212223()n n n n a pa q a pa ---+=+，且2210n n a pa -+>恒成立， 数列221{}n n a pa -+是首项为2p+，公比为q的等比数列，问题得证；····································8分（3）法一：在（2）中令1p =，则数列221{}n n a a -+是首项为3，公比为q 的等比数列，∴22212223213 ,1()()()3(1),11k k k k k k k q S a a a a a a q q q---=⎧⎪=++++++=-⎨≠⎪-⎩， 12122132 ,13(1)2,11k k k k k k k q q S S a q q q q ---⎧-=⎪=-=⎨--≠⎪-⎩，·····································································10分且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+，∵数列{}n S t +为等比数列，∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩，即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩（3t =-舍去），·························································································13分∴224121k k k S =-=-，212121k k S --=-， 从而对任意*n ∈N 有21n n S =-， 此时2n n S t +=，12n n S tS t-+=+为常数，满足{}n S t +成等比数列， 当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，又11a =，∴1*2()n n a n -=∈N ， 综上，存在1t =使数列{}n S t +为等比数列，此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N ． (16)分法二：由（2）知，则122n n a q -=，121n n a q --=，且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+，∵数列{}n S t +为等比数列，∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩，即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩（3t =-舍去），·······················································································11分∴121222n n n a q --==，22212n n a --=，从而对任意*n ∈N 有12n n a -=，····································13分∴01211222222112n n n n S --=++++==--， 此时2n n S t +=，12n n S tS t-+=+为常数，满足{}n S t +成等比数列， 综上，存在1t =使数列{}n S t +为等比数列，此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N ． (16)分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲，本小题满分10分) 解：（1）证明 ：连接,OC AC ，∵030AEC ∠=，∴0260AOC AEC ∠=∠=，又OA OC =，∴AOC ∆为等边三角形， ∵CF AB ⊥，∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线， ∴AF FO =；····························B··········································5分（2）解：连接BE ， ∵CF =，AOC ∆是等边三角形，∴可求得1AF =，4AB =，∵AB 为圆O 的直径，∴90AEB ∠=，∴AEB AFD ∠=∠， 又∵BAE DFA ∠=∠，∴AEB ∆∽AFD ∆，∴AD AF ABAE=，即414AD AE AB AF ⋅=⋅=⨯=．··················································································10分 B ．(矩阵与变换，本小题满分10分) 解：矩阵A 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----， 令()0f λ=，解得矩阵A 的特征值121,3λλ=-=，····························································2分当11λ=-时特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，当23λ=时特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，·····································6分又∵12432ααα⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦，·························································································。
推荐-苏州市2018-2018年上学期高三期中考试六校联考数
2018-2018学年第一学期高三期中考试数学试卷命题学校：江苏省木渎中学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．与直线240x y -+=平行的曲线4y x =的切线方程是（ ）A ．3208x y -+= B ．3208x y --= C ．5208x y -+=D ．5208x y --=2．设12()nx x x f n n+++=，其中n 是大于1的正整数，若(1)kk x =-，1,2,,k n =，则()f n 的取值集合是（ ）A ．1{1,}n B ．1{1,}n - C ．1{0,}n D ．1{0,}n - 3．已知2211()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式可取为（ ）A ．21x x + B ．212x x +-C ．212x x + D ．21x x +-4．已知数列}{n a 中，114a =，54a =，且满足212nn n a a a ++=（1,2,3,n =），则8a =( )A ．16B ．16±C ．32D ．32±5．若011<<b a ，则下列不等式：①||||a b >；②ab b a <+；③2>+b a a b ；④22a a bb <-中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知a 、b 是非零向量且满足(3)a b a -⊥，(4)a b b -⊥ ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π7．从4名男生和5名女生中任意选出3人参加一个会议，其中至少有1名男生和一名女生，则不同的选派方案有（ ） A ．140种 B ．84种 C ．70种 D ．35种 8．铜质的球体由于温度的变化，其半径增加了0.1%，则它的体积约增加了（ ）A ．0.1%B ．0.2%C ．0.3%D ．0.4%9．函数12()2x f x =和函数2()2log g x x =的图像的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．设全集{(,)|,U x y xR y R =∈∈，集合{(,)|2A x y x y m =-+>，集合{(,)|B x y x yn =+-≤，那么点(2,3)P A B ∉的充要条件是（ ）A ．1m >-或5n ≥B ．1m >-且5n ≥C ．1m ≤-或5n <D ．1m ≤-且5n <11．定义在区间[,]a b （b a >）上的函数1()sin 2f x x x =的值域是1[,1]2-，则b a -的最大值M 和最小值m 分别是（ ）A ．,63m M ππ==B ．2,33m M ππ==C ．24,33m M ππ== D ．4,23m M ππ==12．若,x R n N ∈∈，定义：(1)(2)(1)nx M x x x x n =+++-，例如：34(4)(3)(2)24M -=---=-，则函数115()sin x f x M x -=⋅的奇偶性是（ ）A ．是偶函数不是奇函数B ．是奇函数不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上。
江苏苏州市2018届高三上学期数学期中试卷含解析
江苏苏州市2018届高三上学期数学期中试卷（含解析）2017-2018学年江苏省苏州市高三上学期期中调研一、填空题：共14题1.已知集合,则_____．【答案】【解析】由题意,得2.函数的定义域为_____．【答案】【解析】x应该满足：，解得：∴函数的定义域为故答案为：3.设命题;命题,那么p是q的____条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．【答案】充分不必要【解析】命题q：x2﹣5x+4≥0⇔x≤1，或x≥4，∵命题p：x＞4；故p是q的：充分不必要条件，故答案为：充分不必要4.已知幂函数在是增函数,则实数m的值是_____．【答案】1【解析】∵幂函数在是增函数∴，解得：故答案为：15.已知曲线在处的切线的斜率为2,则实数a的值是_____．【答案】【解析】f′（x）=3ax2+，则f′（1）=3a+1=2，解得：a=，故答案为：．点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略（1）已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．（2）已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.（3）求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．6.已知等比数列中,,则_____．【答案】4【解析】设等比数列的公比是q，由a3=2，a4a6=16得，a1q2=2，a1q3a1q5=16，则a1=1，q2=2，∴，故答案为：4．7.函数图象的一条对称轴是,则的值是_____．【答案】【解析】因为函数图象的一条对称轴是,所以,又因为,则,即,解得8.已知奇函数在上单调递减,且,则不等式的解集为_____．【答案】【解析】∵函数f（x）为奇函数且在（﹣∞，0）上单调递减，∴f（x）在（0，+∞）上也单调递减，又∵函数f（x）为奇函数且f（2）=0，∴f（﹣2）=﹣f （2）=0∴不等式等价于①或②解得：x∈（﹣2，0）∪（1，2），故答案为：（﹣2，0）∪（1，2）．9.已知,则的值是_____．【答案】【解析】因为,所以====10.若函数的值域为,则实数a的取值范围是_____．【答案】【解析】当时,,则由题意,得当时,成立,则为增函数,且,即11.已知数列满足,则_____．【答案】【解析】∵，，∴，，∴，，归纳猜想：∴故答案为：12.设的内角的对边分别是,D为的中点,若且,则面积的最大值是_____．【答案】【解析】因为,所以,即,即,即,又因为D为的中点,且,所以,即,即,则,则面积的最大值是点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.13.已知函数,若对任意的实数,都存在唯一的实数,使,则实数的最小值是___．【答案】【解析】因为,所以,则,因为对任意的实数,都存在唯一的实数,使,所以在上单调,且,则,则,所以,即实数的最小值是点睛：对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即的值域包含于的值域；的值域与的值域交集非空。
2021届江苏省苏州市2018级高三上学期期中考试数学试卷参考答案
提示： ,利用完美区间法代入验证.
10．答案：BC
提示：A错： ；B对： 对称轴为7；
C对： ；D错：由CLeabharlann 知不一定.11．答案：ABD
提示：由题意知 ,故 .
12．答案：ABC
提示：
13．答案：
提示：
14．答案：
提示：
15．答案：40000
提示：
利润为40000.
16．答案：2
提示：根据题意构造 , 为奇函数且单调增,故
2021届江苏省苏州市2018级高三上学期期中考试
数学参考答案
1．答案：C
提示：
2．答案：C
提示：
3．答案：B
提示：
4．答案：B
提示： 定义域为R 故必要不充分.
5．答案：A
提示：① 为奇函数,② ,③
6．答案：B
提示：
7．答案：C
提示： 两式相比得
8．答案：A
提示： 代入验证选A最合适.
9．答案：BC
江苏省苏州市2018届高三上学期期中学考试试数学18429
苏州市2017～2018学年度第一学期期中考试数学一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，B ＝{2，3}，则A ∩(∁U B)＝________．2. 函数y ＝1ln （x －1）的定义域为______________．3. 设命题p ：x>4；命题q ：x 2－5x ＋4≥0，那么p 是q 的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)4. 已知幂函数y ＝x2m －m 2(m ∈N *)在(0，＋∞)是增函数，则实数m 的值是________．5. 已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x 在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的取值是________．6. 已知在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 7－a 9a 3－a 5＝________．7. 函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2图象的一条对称轴是直线x ＝π12，则φ的值是________．8. 已知奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则不等式f （x ）x －1>0的解集是________．9. 已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，则cos2α的值是________． 10. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋8， x ≤2，log a x ＋5， x >2(a >0且a ≠1)的值域为[6，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．11. 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝1a n ＋1(n ∈N *)，则b 1·b 2·…·b 2 017＝________．12. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，D 为AB 的中点，若b ＝a cos C ＋c sin A 且CD ＝2，则△ABC 面积的最大值是________．13. 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________．14. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ， x >0，2x ＋1， x ≤0，若直线y ＝ax 与y ＝f (x )交于三个不同的点A (m ，f (m ))，B (n ，f (n ))，C (t ，f (t ))(其中m <n <t )，则n ＋1m＋2的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6个小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ax ＋π4＋12＋b(a>0，b>0)的图象与x 轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为π2.(1) 求a ，b 的值；(2) 求f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin B ＋sin C ＝m sin A(m ∈R )，且a 2－4bc ＝0.(1) 当a ＝2，m ＝54时，求b ，c 的值；(2) 若角A 为锐角，求实数m 的取值范围．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且满足a 1＝1，S n ＋1＝3S n ＋1(n ∈N *)． (1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 在数列{b n }中，b 1＝3，b n ＋1－b n ＝a n ＋1a n(n ∈N *)，若不等式λa n ＋b n ≤n 2对n ∈N *有解，求实数λ的取值范围．如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB 为2米，梯形的高为1米，CD 为3米，上部CmD ︵是个半圆，固定点E 为CD 的中点．MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计)，且滑动过程中始终保持和CD 平行．当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH (阴影部分均不通风)．(1) 设MN 与AB 之间的距离为x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <52且x ≠1米，试将通风窗的通风面积S (平方米)表示成关于x 的函数y ＝S (x )；(2) 当MN 与AB 之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S 取得最大值？已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－x －m . (1) 求过点P (0，－1)的f (x )的切线方程；(2) 当m ＝0时，求函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，a ]上的最大值；(3) 证明：当m ≥－3时，不等式f (x )＋g (x )<x 2－(x －2)e x对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1均成立(其中e 为自然对数的底数，e ＝2.718…)．已知数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，a2＝2，且a n a n＋3＝a n＋1a n＋2对任意n∈N*恒成立，记{a n}的前n项和为S n.(1) 若a3＝3，求a5的值；(2) 证明：对任意正实数p，{a2n＋pa2n－1}成等比数列；(3) 是否存在正实数t，使得数列{S n＋t}为等比数列？若存在，求出此时a n和S n的表达式；若不存在，请说明理由．(这是边文，请据需要手工删加苏州市2017～2018学年度第一学期期中考试数学附加题21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修41：几何证明选讲(本小题满分10分)如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，CF ⊥AB ，垂足为F ，D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交圆O 于点E ，∠AEC ＝30°.(1) 求证：AF ＝FO ；(2) 若CF ＝3，求AD ·AE 的值．B. 选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42，求A 49α.C. 选修44：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－45t ＋2，y ＝25t (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2a cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4(a ≠0)． (1) 求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2) 若圆C 的任意一条直径的两个端点到直线l 的距离之和为5，求实数a 的值．D. 选修45：不等式选讲(本小题满分10分)设x ，y 均为正数，且x >y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏．第一轮游戏中，主持人将标有数字1，2，…，10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6，7，…，10的客人留下，其余的淘汰；第二轮放入1，2，…，5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3，4，5的客人留下；第三轮放入1，2，3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2，3的客人留下；同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物．已知客人甲参加了该游戏．(1) 求甲拿到礼物的概率；(2) 设ξ表示甲参加游戏的轮数，求ξ的概率分布列和数学期望E(ξ)．23. (本小题满分10分)(1) 若不等式(x ＋1)ln (x ＋1)≥ax 对任意x ∈[0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围；(2) 设n ∈N *，试比较12＋13＋…＋1n ＋1与ln(n ＋1)的大小，并证明你的结论．(这是边文，请据需要手工删加(这是边文，请据需要手工删加)苏州市2017～2018学年度第一学期期中考试数学参考答案1. {1}2. (1，2)∪(2，＋∞)3. 充分不必要4. 15. 136. 47. π3 8. (－2，0)∪(1，2)9. －45 10. (1，2] 11. 12 018 12.2＋113. π2 14. ⎝⎛⎭⎪⎫1，e ＋1e15. (1) 因为f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π2，所以f(x)的周期为π2，所以2π2|a|＝π2且a>0，所以a ＝2，此时f(x)＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12＋b. 因为f(x)的图象与x 轴相切，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ＋12＝22且b>0，所以b ＝22－12. (2) 由(1)可得f(x)＝－22sin (4x ＋π4)＋22. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以4x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，所以当4x ＋π4＝5π4，即x ＝π4时，f(x)有最大值为2＋12； 当4x ＋π4＝π2，即x ＝π16时，f(x)有最小值为0.16. (1) 由题意得b ＋c ＝ma ，a 2－4bc＝0. 当a ＝2，m ＝54时，b ＋c ＝52，bc ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12，c ＝2.(2)cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝（b ＋c ）2－2bc －a 22bc ＝（ma ）2－a 22－a 2a22 ＝2m 2－3.因为A 为锐角，所以cos A ＝2m 2－3∈(0，1)，所以32<m 2<2.又由b ＋c ＝ma 可得m>0，所以62<m< 2. 17. 解：(1) 因为S n ＋1＝3S n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝3S n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，所以a n ＋1＝3a n (n ∈N *，n ≥2)． 又当n ＝1时，由S 2＝3S 1＋1得a 2＝3符合a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ∈N *)，所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＝3n －1(n ∈N *)．(2) 因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1a n＝3(n ∈N *)， 所以{b n }是以3为首项，3为公差的等差数列，所以b n ＝3＋3(n －1)＝3n (n ∈N *)，所以λa n ＋b n ≤n 2，即λ≤n 2－3n3n －1对n ∈N *有解．设f (n )＝n 2－3n3n －1(n ∈N *)．因为f (n ＋1)－f (n )＝（n ＋1）2－3（n ＋1）3n－n 2－3n3n －1＝－2（n 2－4n ＋1）3n， 所以当n ≥4时，f (n ＋1)<f (n )；当n <4时，f (n ＋1)>f (n )，所以f (1)<f (2)<f (3)<f (4)>f (5)>f (6)>…，所以f (n )max ＝f (4)＝427，所以λ≤427.18. (1) 当0≤x<1时，过点A 作AK ⊥CD ，垂足K ，如图1，则AK ＝1，DK ＝CD －AB2＝12，HM ＝1－x. 由AK DK ＝MH DH ＝2，得DH ＝HM 2＝1－x 2， 所以HG ＝3－2DH ＝2＋x ， 所以S(x)＝HM ·HG ＝(1－x)(2＋x)＝－x 2－x ＋2；当1<x<52时，过点E 作ET ⊥MN ，垂足为T ，连结EN ，如图2，则ET ＝x －1，TN ＝MN2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－（x －1）2＝94－（x －1）2， 所以MN ＝294－（x －1）2， 所以S(x)＝MN·ET＝294－（x －1）2·(x －1)． 综上所述， S(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2， 0≤x<1，2（x －1）94－（x －1）2， 1<x<52. 图1图2(2) 当0≤x<1时，S (x )＝－x 2－x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋94在[0，1)上单调递减， 所以S (x )max ＝S (0)＝2； 当1<x<52时，S (x )＝2(x －1)94－（x －1）2≤2×（x －1）2＋94－（x －1）22＝94，当且仅当x －1＝94－（x －1）2，即x ＝324＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52时取等号， 所以S (x )max ＝94，此时S (x )max ＝94>2，所以S (x )的最大值为94.答：当MN 与AB 之间的距离为⎝ ⎛⎭⎪⎫324＋1米时，通风窗的通风面积S 取得最大值．19. (1) 设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，将点P(0，－1)代入上式，得ln x 0＝0，即x 0＝1，所以切线方程为y ＝x －1.(2) 当m ＝0时，F(x)＝ln x －x 2＋x ，x ∈(0，＋∞)，所以F ′(x)＝－（2x ＋1）（x －1）x ，x∈(0，＋∞)，所以当0<x<1时，F ′(x)>0；当x>1时，F ′(x)<0，所以F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当0<a ≤1时，F(x)的最大值为F(a)＝ln a －a 2＋a ；当a>1时，F(x)的最大值为F(1)＝0.(3) f(x)＋g(x)<x 2－(x －2)e x可化为m>(x －2)e x＋ln x －x.设h(x)＝(x －2)e x＋ln x －x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，要证m ≥－3时m>h(x)对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1均成立，只要证h(x)max <－3.下证此结论成立：因为h ′(x)＝(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫e x －1x ，所以当12<x<1时，x －1<0.设u(x)＝e x －1x ，则u ′(x)＝e x＋1x2>0，所以u(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增． 因为u(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上的图象是一条不间断的曲线，且u ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －2<0，u(1)＝e －1>0，所以∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得u(x 0)＝0，即e x 0＝1x 0，ln x 0＝－x 0，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0时，u(x)<0，h ′(x)>0；当x ∈(x 0，1)时，u(x)>0，h ′(x)<0，所以函数h(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，x 0上单调递增，在[x 0，1]上单调递减，所以h(x)max ＝h(x 0)＝(x 0－2)e x 0＋ln x 0－x 0＝(x 2－2)·1x 0－2x 0＝1－2x 0－2x 0.因为y ＝1－2x －2x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，所以h(x 0)＝1－2x 0－2x 0<1－2－2＝－3，即h(x)max <－3，所以当m ≥－3时，不等式f(x)＋g(x)<x 2－(x －2)e x对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1均成立．20. (1) 因为a 1a 4＝a 2a 3，所以a 4＝6. 又a 2a 5＝a 3a 4，所以a 5＝32a 4＝9.(2) 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a n a n ＋3＝a n ＋1a n ＋2，a n ＋1a n ＋4＝a n ＋2a n ＋3，两式相乘得a n a n ＋1a n ＋3a n ＋4＝a n ＋1a 2n ＋2a n ＋3.因为a n >0，所以a n a n ＋4＝a 2n ＋2(n ∈N *)， 所以{a n }的奇数项和偶数项均构成等比数列．设{a n }的奇数项和偶数项的公比分别为q 1，q 2，则a 2n ＝a 2q n －12＝2q n －12，a 2n －1＝a 1q n －11＝q n －11.因为a n ＋3a n ＋2＝a n ＋1a n ， 所以a 4a 3＝a 2a 1＝2＝2q 2q 1，即q 1＝q 2.设q 1＝q 2＝q ，则a 2n ＋pa 2n －1＝q (a 2n －2＋pa 2n －3)，且a 2n ＋pa 2n －1>0恒成立，所以数列{a 2n ＋pa 2n －1}是首项为2＋p ，公比为q 的等比数列．(3) 由(2)知a 2n ＝2q n －1，a 2n －1＝q n －1，且S 1＝1，S 2＝3，S 3＝3＋q ，S 4＝3＋3q .因为数列{S n ＋t }为等比数列， 所以⎩⎪⎨⎪⎧（S 2＋t ）2＝（S 1＋t ）（S 3＋t ），（S 3＋t ）2＝（S 2＋t ）（S 4＋t ）， 即⎩⎪⎨⎪⎧（3＋t ）2＝（1＋t ）（3＋q ＋t ），（3＋q ＋t ）2＝（3＋t ）（3＋3q ＋t ）， 即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋6＝q （1＋t ），t ＝q －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－3，q ＝0(舍去)，所以a 2n ＝2q n －1＝22n －1，a 2n －1＝22n －2，从而对任意n ∈N *有a n ＝2n －1，所以S n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n－1，此时S n ＋t ＝2n，S n ＋tS n －1＋t＝2为常数，满足{S n ＋t }成等比数列，综上，存在t ＝1使得数列{S n ＋t }为等比数列，此时a n ＝2n －1，S n ＝2n －1(n ∈N *)．数学附加题21. A. (1) 如图，连结OC ，AC . 因为∠AEC ＝30°，所以∠AOC ＝2∠AEC ＝60°.又OA ＝OC ，所以△AOC 为等边三角形． 因为CF ⊥AB ，所以CF 为△AOC 中AO 边上的中线， 所以AF ＝FO.(2) 如图，连结BE .因为CF ＝3，△AOC 是等边三角形， 所以AF ＝1，AB ＝4.因为AB 为圆O 的直径，所以∠AEB ＝90°，所以∠AEB ＝∠AFD . 因为∠BAE ＝∠DAF ，所以△AEB ∽△AFD ，所以AD AB ＝AFAE， 所以AD ·AE ＝AB ·AF ＝4×1＝4.B. 矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3， 令f (λ)＝0，解得λ1＝－1，λ2＝3， 当λ1＝－1时，对应的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1； 当λ2＝3时，对应的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42＝α1＋3α2，所以A 49α＝λ491α1＋3λ492α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤350－1350＋1. C. (1) 直线l 的普通方程为x ＋2y －2＝0，圆C 的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －a 22＝a 22. (2) 因为圆C 的任意一条直径的两个端点到直线l 的距离之和为5，所以圆心C 到直线l 的距离为52， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋a －25＝52， 解得a ＝3或a ＝－13.D. 因为x >0，y >0，x －y >0，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1（x －y ）2＝(x －y )＋(x －y )＋1（x －y ）2≥33（x －y ）2×1（x －y ）2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.22. (1) 记“甲拿到礼物”为事件A. 在每一轮游戏中，甲留下的概率和他摸卡片的顺序无关，则P(A)＝12×35×23×12＝110，答：甲拿到礼物的概率为110.(2) 随机变量ξ的所有可能取值是1，2，3，4.P(ξ＝1)＝12，P(ξ＝2)＝12×25＝15，P(ξ＝3)＝12×35×13＝110，P(ξ＝4)＝12×35×23＝15，随机变量ξ的概率分布列为所以E(ξ)＝1×12＋2×15＋3×110＋4×15＝2. 23. (1) 原问题等价于ln (x ＋1)－ax x ＋1≥0对任意x ∈[0，＋∞)恒成立，令g(x)＝ln (x ＋1)－ax x ＋1，则g ′(x)＝x ＋1－a（x ＋1）2.当a ≤1时，g ′(x)＝x ＋1－a（x ＋1）2≥0恒成立，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以g(x)≥g(0)＝0恒成立；当a>1时，令g(x)＝0，则x ＝a －1>0， 所以g(x)在(0，a －1)上单调递减，在(a －1，＋∞)上单调递增，所以g(a －1)<g(0)＝0，即存在x>0使得g(x)<0，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1]．(2) 方法一：在(1)中取a ＝1，得ln (x ＋1)>xx ＋1(x ∈(0，＋∞))，令x ＝1n (n ∈N *)，上式即为ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n >1n ＋1，即ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ln2－ln1>12，ln3－ln2>13，…ln （n ＋1）－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)(n ∈N *)．方法二：注意到12<ln2，12＋13<ln3，…，故猜想12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)(n ∈N *)，下面用数学归纳法证明该猜想成立．证明：①当n ＝1时，12<ln2，成立；②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)． 在(1)中取a ＝1，得ln(x ＋1)>xx ＋1(x∈(0，＋∞))，令x ＝1k ＋1(k ∈N *)，则1k ＋2<ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2k ＋1， 那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，也成立．由①②可知12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)．。
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2018-2018学年江苏省苏州市常熟市高三（上）期中数学试卷一、填空题：1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=．2．函数y=ln（x2﹣x﹣2）的定义域是．3．已知sinα=，α∈（，π），则tanα=．4．定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，则f（﹣1）+f（0）+f（3）=．5．函数y=sinx﹣cosx﹣2（x＞0）的值域是．6．等差数列{a n}中，前n项和为S n，若S4=8a1，a4=4+a2，则S10=．7．设函数f（x）=，若f（a）＞f（1），则实数a的取值范围是．8．等比数列{a n}的公比大于1，a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则a3=．9．将函数y=sin（2x+）的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，得到函数f（x）的图象，若函数f（x）是偶函数，则φ的值等于．10．已知函数f（x）=ax+（b＞0）的图象在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直，且函数f（x）在区间[，+∞）上是单调递增，则b的最大值等于．11．已知f（m）=（3m﹣1）a+b﹣2m，当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，则a+b的最大值是．12．在△ABC中，若tanA=2tanB，a2﹣b2=c，则c=．13．已知x+y=1，x＞0，y＞0，则+的最小值为．14．设f′（x）和g′（x）分别是f（x）和g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≤0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性相反．若函数f（x）=x3﹣2ax与g（x）=x2+2bx在开区间（a，b）上单调性相反（a＞0），则b﹣a的最大值为．二、解答题：15．已知函数f（x）=2cos（cos﹣sin）（ω＞0）的最小正周期为2π．（1）求函数f（x）的表达式；（2）设θ∈（0，），且f（θ）=+，求cosθ的值．16．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1，a2的值；（2）求证：{a n+2n}是等比数列．并求数列{a n}的通项公式．17．已知函数f（x）=x2﹣2ax+1．（1）若函数g（x）=log a[f（x）+a]（a＞0，a≠1）的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）当x＞0时，恒有不等式＞lnx成立，求实数a的取值范围．18．如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10千米．公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于A，B两点），然后乘同一艘游轮前往C 岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费4元，游轮每千米耗费24元．设∠CDA=α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元．（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；（2）问中转点D距离A处多远时，S最小？19．设函数f（x）=x|x﹣1|+m，g（x）=lnx．（1）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值；（2）记函数p（x）=f（x）﹣g（x），若函数p（x）有零点，求m的取值范围．20．已知数列{a n}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=2．（1）若S5=16，a4=a5，求a10；（2）已知S15=15a8，且对任意n∈N*，有a n＜a n+1恒成立，求证：数列{a n}是等差数列；（3）若d1=3d2（d1≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a m=a n．求当d1最大时，数列{a n}的通项公式．2018-2018学年江苏省苏州市常熟市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B={x|0≤x≤2}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】由题意通过数轴直接求出A和B两个集合的公共部分，通过数轴求出就是A∩B即可．【解答】解：集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，所以A∩B={x|﹣1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}={x|0≤x≤2}故答案为：{x|0≤x≤2}【点评】本题是基础题，考查集合间的交集及其运算，考查观察能力，计算能力．2．函数y=ln（x2﹣x﹣2）的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【考点】对数函数的定义域．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据对数函数的定义，真数大于0，列出不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数y=ln（x2﹣x﹣2），∴x2﹣x﹣2＞0，即（x+1）（x﹣2）＞0，解得x＜﹣1，或x＞2；∴函数y的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的定义与不等式的解法和应用问题，是基础题目．3．已知sinα=，α∈（，π），则tanα=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．【解答】解：∵sinα=，α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣，则tanα==﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．4．定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，则f（﹣1）+f（0）+f（3）=﹣2．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，先求出f（1），f（0），f（3），进而求出f（﹣1），相加可得答案．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，∴f（1）=1，f（0）=0，f（3）=﹣1，∴f（﹣1）=﹣1，∴f（﹣1）+f（0）+f（3）=﹣2，故答案为：﹣2【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，难度不大，属于基础题．5．函数y=sinx﹣cosx﹣2（x＞0）的值域是[﹣4，0]．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数的值域．【解答】解：函数y=sinx﹣cosx﹣2=2sin（x﹣）﹣2 的值域为[﹣4，0]，故答案为：[﹣4，0]．【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．6．等差数列{a n}中，前n项和为S n，若S4=8a1，a4=4+a2，则S10=120．【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组代入等差数列的求和公式可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S4=8a1，a4=4+a2，∴4a1+d=8a1，a1+3d=4+a1+d，联立解得a1=3，d=2∴S10=10×3+×2=120故答案为：120【点评】本题考查等差数列的求和公式，求出数列的公差d是解决问题的关键，属基础题．7．设函数f（x）=，若f（a）＞f（1），则实数a的取值范围是a＞1或a＜﹣1．【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】把不等式转化为两个不等式组，解不等式组可得．【解答】解：由题意可得f（1）=21﹣4=﹣2，∴f（a）＞f（1）可化为或，分别解不等式组可得a＞1或a＜﹣1故答案为：a＞1或a＜﹣1．【点评】本题考查分段不等式的解法，转化为不等式组是解决问题的关键，属基础题．8．等比数列{a n}的公比大于1，a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则a3=4．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的通项公式为a n=a1q n﹣1求出a1和q得到通项公式即可求出a3．【解答】解：∵等比数列的通项公式为a n=a1q n﹣1由a5﹣a1=15，a4﹣a2=6得：a1q4﹣a1=15，a1q3﹣a1q=6解得：q=2或q=则a3=a1q2=4或﹣4∵等比数列{a n}的公比大于1，则a3=a1q2=4故答案为4【点评】考查学生利用等比数列性质的能力．9．将函数y=sin（2x+）的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，得到函数f（x）的图象，若函数f（x）是偶函数，则φ的值等于．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，求得φ的值．【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，得到函数f（x）=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x﹣2φ+）的图象，若函数f（x）是偶函数，则﹣2φ+=kπ+，即φ=﹣﹣，k∈Z，∴φ=，故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．10．已知函数f（x）=ax+（b＞0）的图象在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直，且函数f（x）在区间[，+∞）上是单调递增，则b的最大值等于．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a﹣b=2，再由题意可得a﹣≥0在区间[，+∞）上恒成立，即有≤x2的最小值，解b的不等式即可得到最大值．【解答】解：函数f（x）=ax+（b＞0）的导数为f′（x）=a﹣，在点P（1，f（1））处的切线斜率为k=a﹣b，由切线与直线x+2y﹣1=0垂直，可得k=a﹣b=2，即a=b+2，由函数f（x）在区间[，+∞）上是单调递增，可得a﹣≥0在区间[，+∞）上恒成立，即有≤x2的最小值，由x≥可得x2的最小值为．即有≤，由b＞0，可得b≤．则b的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查两直线垂直的条件和不等式恒成立恒成立问题的解法，属于中档题．11．已知f（m）=（3m﹣1）a+b﹣2m，当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，则a+b的最大值是．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】把已知函数解析式变形，结合当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，得到关于a，b的约束条件，然后利用线性规划知识求得a+b的最大值．【解答】解：f（m）=（3m﹣1）a+b﹣2m=（3a﹣2）m﹣a+b，∵当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，∴，即．画出可行域如图，联立，解得A（），令z=a+b，化为b=﹣a+z，由图可知，当直线b=﹣a+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．故答案为：．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用线性规划知识求最值，是中档题．12．在△ABC中，若tanA=2tanB，a2﹣b2=c，则c=1．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【专题】解三角形．【分析】由tanA=2tanB，可得，利用正弦定理可得：acosB=2bcosA，由余弦定理化简整理可得：a2﹣b2=c2，结合a2﹣b2=c，即可解得c的值．【解答】解：∵tanA=2tanB，可得：，利用正弦定理可得：acosB=2bcosA，∴由余弦定理可得：a×=2b×，整理可得：a2﹣b2=c2，又∵a2﹣b2=c，∴c=c2，解得：c=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，正弦定理，余弦定理的综合应用，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于基本知识的考查．13．已知x+y=1，x＞0，y＞0，则+的最小值为．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】消元可得+=﹣1+，然后换元令3x+2=t，x=（t﹣2），代入要求的式子由基本不等式可得．【解答】解：∵x+y=1，x＞0，y＞0，∴y=1﹣x∴+=+===﹣1+，令3x+2=t，则t∈（2，5）且x=（t﹣2），∴﹣1+=﹣1+=﹣1+=﹣1+，由基本不等式可得﹣2t﹣=﹣2（t+）≤﹣2•2=﹣16，当且仅当t=即t=3x+2=4即x=时取等号，∴﹣2t﹣+20≤4，∴≥，∴﹣1+≥，故答案为：．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及消元和换元的思想，属中档题．14．设f′（x）和g′（x）分别是f（x）和g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≤0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性相反．若函数f（x）=x3﹣2ax与g（x）=x2+2bx在开区间（a，b）上单调性相反（a＞0），则b﹣a的最大值为．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】由条件知g′（x）＞0恒成立，得f′（x）≤0恒成立，从而求出a、b的取值范围，建立b﹣a 的表达式，求出最大值．【解答】解：∵f（x）=x3﹣2ax，g（x）=x2+2bx，∴f′（x）=x2﹣2a，g′（x）=2x+2b；由题意得f′（x）g′（x）≤0在（a，b）上恒成立，∵a＞0，∴b＞a＞0，∴2x+2b＞0恒成立，∴x2﹣2a≤0恒成立，即﹣≤x≤；又∵0＜a＜x＜b，∴b≤，即0＜a≤，解得0＜a≤2；∴b﹣a≤﹣a=﹣+，当a=时，取“=”，∴b﹣a的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了利用导数判定函数的单调性问题，也考查了不等式的解法问题，是易错题．二、解答题：15．已知函数f（x）=2cos（cos﹣sin）（ω＞0）的最小正周期为2π．（1）求函数f（x）的表达式；（2）设θ∈（0，），且f（θ）=+，求cosθ的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）把已知的函数解析式变形，结合其最小正周期求出ω，则函数解析式可求；（2）把f（θ）=+代入函数解析式求得，结合θ的范围得到cos（），再由cosθ=cos[]展开两角和的余弦得答案．【解答】解：（1）f（x）=2cos（cos﹣sin）====．∵f（x）的最小正周期为2π，∴ω=1，∴f（x）=；（2）f（θ）==+，∴，∵θ∈（0，），∴（），则cos（）=．则cosθ=cos[]=cos（）cos﹣sin（）sin==．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查了三角恒等变换中的应用，是基础的计算题．16．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1，a2的值；（2）求证：{a n+2n}是等比数列．并求数列{a n}的通项公式．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知得a1+a3=2（a2+5），2a1=a2﹣3，2（a1+a2）=a3﹣7，由此能求出a1，a2的值．=a n﹣2n+1，（n≥2），两式相减整理得{a n+2n}是首项为3，公比（2）由2S n=a n+1﹣2n+1+1，得2S n﹣1为3的等比数列．由此能求出a n=3n﹣2n．【解答】（1）解：∵数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，且a1，a2+5，a3成等差数列，∴a1+a3=2（a2+5），①，当n=1时，2a1=a2﹣3，②当n=2时，2（a1+a2）=a3﹣7，③∴联立①②③解得，a1=1，a2=5，a3=19．=a n﹣2n+1，（n≥2），②，（2）证明：由2S n=a n+1﹣2n+1+1，①得2S n﹣1两式相减得2a n=a n+1﹣a n﹣2n（n≥2），==3（n≥2）．∵=3，∴{a n+2n}是首项为3，公比为3的等比数列．∴a n+1+2n+1=3（a n+2n），又a1=1，a1+21=3，∴a n+2n=3n，即a n=3n﹣2n．【点评】本题考查数列中前两项的求法，考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．17．已知函数f（x）=x2﹣2ax+1．（1）若函数g（x）=log a[f（x）+a]（a＞0，a≠1）的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）当x＞0时，恒有不等式＞lnx成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）由题可知x2﹣2ax+1+a＞0在R上恒成立，利用二次函数的性质可得a的范围；（2）整理不等式得x+﹣lnx＞2a，构造函数f（x）=x+﹣lnx，利用导数求出函数的最小值即可．【解答】（1）由题意可知，x2﹣2ax+1+a＞0在R上恒成立，∴△=4a2﹣4﹣4a＜0，∴0＜a＜，且a≠1；（2）∵＞lnx，∴x+﹣lnx＞2a，令f（x）=x+﹣lnx，∴f'（x）=﹣﹣+1，令f'（x）=﹣﹣+1=0，∴x=，∴x∈（，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（0，）时，f'（x）＜0，f（x）递减；∴f（x）≥f（）=﹣ln，∴a＜（﹣ln）．【点评】考查了对数函数，二次函数的性质和恒成立问题的转换．难点是利用导函数求出构造函数的最小值．18．如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10千米．公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于A，B两点），然后乘同一艘游轮前往C 岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费4元，游轮每千米耗费24元．设∠CDA=α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元．（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；（2）问中转点D距离A处多远时，S最小？【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】应用题；导数的综合应用．【分析】（1）由题在△ACD中，由余弦定理求得CD、AD的值，即可求得运输成本S的解析式．（2）利用导数求得cosα=时，函数S取得极小值，由此可得中转点D到A的距离以及S的最小值．【解答】解：（1）由题在△ACD中，∵∠CAD=∠ABC=∠ACB=，∠CDA=α，∴∠ACD=﹣α．又AB=BC=CA=10，△ACD中，由正弦定理知，得CD=，AD=…∴S=8AD+16BD+24CD=+160=40•+120（＜α＜）．…（2）S′=40×，令S′=0，得cosα=．…当cosα＞时，S′＜0；当cosα＜时，S′＞0，∴当cosα=时S取得最小值．…此时，sinα=，AD==5+，∴中转站距A处5+千米时，运输成本S最小．…【点评】本题主要考查正弦定理，利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求极值，属于中档题．19．设函数f（x）=x|x﹣1|+m，g（x）=lnx．（1）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值；（2）记函数p（x）=f（x）﹣g（x），若函数p（x）有零点，求m的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；函数零点的判定定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）化简函数f（x）的解析式，分别在[0，1]和（1，m]上求函数的最大值．（2）函数有零点即对应方程有解，得到m的解析式m=h（x），通过导数符号确定h（x）=lnx﹣x|x ﹣1|的单调性，由h（x）的单调性确定h（x）的取值范围，即得m的取值范围．【解答】解：（1）当x∈[0，1]时，f（x）=x（1﹣x）+m=∴当时，当x∈（1，m]时，f（x）=x（x﹣1）+m=∵函数y=f（x）在（1，m]上单调递增，∴f（x）max=f（m）=m2由得：又m＞1．∴当时，f（x）max=m2；当时，．（2）函数p（x）有零点即方程f（x）﹣g（x）=x|x﹣1|﹣lnx+m=0有解，即m=lnx﹣x|x﹣1|有解令h（x）=lnx﹣x|x﹣1|，当x∈（0，1]时，h（x）=x2﹣x+lnx∵∴函数h（x）在（0，1]上是增函数，∴h（x）≤h（1）=0当x∈（1，+∞）时，h（x）=﹣x2+x+lnx．∵=＜0∴函数h（x）在（1，+∞）上是减函数，∴h（x）＜h（1）=0∴方程m=lnx﹣x|x﹣1|有解时，m≤0，即函数p（x）有零点时m≤0【点评】本题考查用分类讨论的方法求函数最大值，利用导数求函数值域，及化归与转化的思想方法．20．已知数列{a n}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=2．（1）若S5=16，a4=a5，求a10；（2）已知S15=15a8，且对任意n∈N*，有a n＜a n+1恒成立，求证：数列{a n}是等差数列；（3）若d1=3d2（d1≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a m=a n．求当d1最大时，数列{a n}的通项公式．【考点】数列的应用；等差关系的确定．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（1）确定数列的前5项，利用S5=16，a4=a5，建立方程，求出d1=2，d2=3，从而可求a10；（2）先证明d1=d2，再利用S15=15a8，求得d1=d2=2，从而可证数列{a n}是等差数列；（3）若d1=3d2（d1≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a m=a n，在m，n中必然一个是奇数，一个是偶数．不妨设m为奇数，n为偶数，利用a m=a n，及d1=3d2，可得，从而可求当d1最大时，数列{a n}的通项公式．【解答】（1）解：根据题意，有a1=1，a2=2，a3=a1+d1=1+d1，a4=a2+d2=2+d2，a5=a3+d1=1+2d1∵S5=16，a4=a5，∴a1+a2+a3+a4+a5=7+3d1+d2=16，2+d2=1+2d1∴d1=2，d2=3．∴a10=2+4d2=14（2）证明：当n为偶数时，∵a n＜a n+1恒成立，∴2+，∴（d2﹣d1）+1﹣d2＜0∴d2﹣d1≤0且d2＞1当n为奇数时，∵a n＜a n+1恒成立，∴，∴（1﹣n）（d1﹣d2）+2＞0∴d1﹣d2≤0∴d1=d2∵S15=15a8，∴8++14+=30+45d2∴d1=d2=2∴a n=n∴数列{a n}是等差数列；（3）解：若d1=3d2（d1≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a m=a n，在m，n中必然一个是奇数，一个是偶数不妨设m为奇数，n为偶数∵a m=a n，∴∵d1=3d2，∴∵m为奇数，n为偶数，∴3m﹣n﹣1的最小正值为2，此时d1=3，d2=1∴数列{a n}的通项公式为a n=．【点评】本题考查数列的通项，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，确定数列的通项是关键．。
推荐-江苏省苏州中学2018-2018年上学期高三期中试卷数
江苏省苏州中学2018-2018学年度第一学期期中考试高三数学班级 学号 姓名 成绩一、选择题：1．若a<－1，不等式x 2－（a1＋a ）x ＋1<0的解集为 ……（ ） （A ）{ x |a <x <a 1} （B ）{ x |a 1<x < a }（C ）{ x |x >a 1或x <a } （D ）{ x |x <a1或 x >a }2.函数f （x ）=1212-++-x x x 的图象关于 …… （ ）（A ）原点对称 （B ）y 轴对称 （C ）x 轴对称 （D ）直线y =x 对称 3．函数y =4sin （x ＋6π）sin （3π－x ）的图象是将函数y =2sin 2x 的图象……（ ） （A ）向左平移3π （B ）向右平移3π（C ）向左平移6π （D ）向右平移6π4．设M 、N 是非空集合，现定义：M －N={x | x ∈M ，且∉x N }，按该定义：M －（M －N ）等于 …… （ ） （A ）M （B ）N （C ）M ∪N （D ）M ∩N 5．设6πα-为锐角，sin （6πα-）=31，则cos α的值为 …… （ ） （A ）6162+ （B ）6162- （C ）4132+ （D ）4132- 6．数列1，31，31，31，51，51，51，51，51，71……的前100项之和为 …… （ ） （A ）10 （B ）19191 （C ）11 （D ）212097．函数y =log 21（x 2－ax ＋3a ）在[2，＋∞）上是减函数，则a 的取值范围是……（ ）（A ）（－∞，4） （B ）（－4，4]（C ）（－∞，－4）∪[2，＋∞] （D ）[－4，4] 8．在△ABC 中，三边为a 、b 、c ，且三角形面积S ∆≥)(123222c b a ++．则该三角形一定是 ……（ ）（A ）直角三角形 （B ）等腰三角形 （C ）正三角形 （D ）等腰直角三角形9．函数y =f （x ＋2）－1 的反函数为y =g （x ）且f （4）=2，则一定有……（ ）（A ）g （2）= 4 （B ）g （3）=1 （C ）g （1）=5 （D ）g （1）=2 10．设函数f （x ）在R 上为奇函数，且满足f （x ＋2）=－f （x ）.当0≤x ≤1时，f （x ）=x ，则方程13 f （x ）= x 的根有 ……（ ） （A ）7个 （B ）13个 （C ）14个 （D ）26个二、填空题：11．已知集合A={x |mx ＋1=0}，B={x | x 2－2 x －3=0}，且A ⊆B ，则m = ． 12．函数y=3x ＋4x -1的最大值为 ．13．某企业的产值从2018年到2018年的年增长率为p ，则月平均增长率为 ． 14．对函数f （x ）=xxx cos cos 3cos -有下列四个结论中正确的为 ．⑴值域为[0，4] ⑵最大值为0⑶最小值为－4 ⑷f （x ）>－4恒成立15．设数列｛n a ｝，｛n b ｝分别为正项等比数列，T n ，R n 分别为数列｛lg n a ｝与｛lg n b ｝的前n 项和，且12+=n nR T n n ，则log 5b 5a 的数值为 ． 三、解答题：16．已知函数f （x ）=a )cos (sin x x +＋sinxcosx 在R 上的最小值为－1．求a 的值．17．在等比数列｛n a ｝中，6a －4a =24，5a 3a =64 ⑴求数列｛n a ｝的前8项之和．⑵试比较数列｛na 21｝的前n 项和与32的大小．18．计算：︒+︒︒+︒+︒40cos 170sin )10tan 31(50sin 40cos19．已知数列｛n a ｝满足前n 项和为n S =n 2+1，数列｛n b ｝满足n b =12+n a ，且前n 项和为n T ．设n c =n n T T -+12 ⑴求数列｛n b ｝的通项公式； ⑵判断数列｛n c ｝的增减性； ⑶当n ≥2时，n n T T -+12＜ 51－)1(log 127-a a 恒成立，求a 的取值范围．20．已知二次函数f （x ）=a c bx x ++2（a >0），对称轴方程为=x 0x ，方程f （x ）=1有一个根为0，方程f （x ）=x 有两个根1x ，2x ． ⑴如1x <2<2x <4 ．求证： 0x >－1．⑵如0<1x <2 ，|2x －1x |=2 ．求b 的取值范围．高三数学期中试卷答案一、1、A 2、B 3、C 4、D 5、B 6、A 7、B 8、C 9、D 10、B二、11、11,0,3- 12、5 13、()11211p +- 14、⑵⑷ 15、919三、16、解：令sin cos ,x x t t +=≤≤()212t f x at -∴=+= ()()22111,22t a a +--（ⅰ）当a ≤时，()2111,12a a -+=-=±。
2018-2019学年苏州第一学期高三数学期中调研测试(附加及详细的答案、评分标准)
2018—2019学年第一学期高三期中调研试卷数 学 (附加) 2018．11注意事项：1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟．2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，．．．．．．．在答题卡上．．．．．填涂选作标志，．．．．．．．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（本题满分10分）已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB ，FC .（1）求证：FB FC =；（2）若AB 是△ABC 外接圆的直径，120EAC ︒∠=，6BC =，求AD 的长．B ．（本题满分10分） 已知可逆矩阵A =273a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为127b a --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，求1-A 的特征值．C ．（本题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，求OA 的中点所在曲线的极坐标方程．D ．（本题满分10分）已知函数()f x =()g x x 使()g()f x x a +>成立，求实数a 的取值范围．22．（本题满分10分）如图，在四棱锥P A B C D -中， BC ⊥PB ，AB BC ⊥，//AD BC ，3AD =，22PA BC AB ===，PB(1)求二面角P CD A --的余弦值；(2)若点E 在棱PA 上，且//BE 平面PCD ，求线段BE 的长．23．（本题满分10分） 已知函数0cos ()(0)x f x x x=>，设()n f x 是1()n f x -的导数，n ∈*N ． (1) 求12πππ2()()222f f +的值； (2) 证明：对于任意n *N ∈，等式1πππ()()4442n n nf f -+=E A C P B D2018—2019学年第一学期高三期中调研试卷数学 (附加) 参考答案与评分标准 2018．1121．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（本题满分10分）证明：（1）∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ，∵四边形AFBC 内接于圆,∴∠DAC =∠FBC ，∵∠EAD =∠F AB =∠FCB ， ∴∠FBC =∠FCB ，∴FB = FC . ……………5分(2) ∵AB 是圆的直径，∴∠90ACD ︒=，∵120EAC ︒∠=，1602DAC EAC ︒∠=∠=，30D ︒∠=，在Rt △ACB 中，∵BC = 6，∠BAC =60°，∴AC又在Rt △ACD 中，∠D =30°，AC ∴AD 10分B ．（本题满分10分）解：由1-⋅=A A E 可知，1221073701a b a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A 所以141ab -=，7210b -=，1431a -+= …………………3分 所以5,3a b ==； …………………5分所以13275--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，232()8175f λλλλλ-==-+-， …………………8分由()0f λ=，14λ=24λ= …………………10分C ．（本题满分10分）解：（1）由22sin cos 1αα+=，所以圆C 的普通方程22(2)4x y -+=，………………3分 又点O 为极点，Ox 为极轴，所以222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，所以圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=； ………6分（2）设OA 的中点为00(,)ρθ，则00(2,)A ρθ，所以0024cos ρθ=，即002cos ρθ=，所以OA 的中点所在曲线的极坐标方程为2cos ρθ=． …………………10分D ．（本题满分10分）解：因为f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ＝(3，1)·(x ＋2，14－x )…………………3分≤3＋12·(x ＋2)＋(14－x )＝8, …………………5分当且仅当x ＋214－x ＝31,即x ＝10时取等号． …………………7分 所以f (x )＋g (x )的最大值是8． …………………8分 所以a <8，即实数a 的取值范围是(－∞,8)．…………………10分22．（本题满分10分）解： (1)在△PAB 中，因为=2PA，=PB =1AB ，所以222=+PA AB PB ，所以PB ⊥AB ．所以，建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示． …………………1分 所以(1,0,0)A ，(0,0,0)B ，(0,2,0)C ，(1,3,0)D，P ，(1,1,0)CD uu u r =，(0,2,PC u u u r =．易知平面ABCD 的一个法向量为=(0,0,1)n ． ……2分 设平面PCD 的一个法向量为=(,,)x y z m ，则0,0.CD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uu u r m m即0,2.x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 令=2z，则=m ． ……………………4分 设二面角P CD A --的平面角为α，可知α为锐角，则cos cos ,α⋅=<>===⋅n mn m n m 即二面角P CD A --． …………………6分 (2)因为点E 在棱PA ，所以AE AP uu u r uu u r λ=，[0,1]λ∈．因为=1AP u u u r （-，所以=)AE λu u u r （-，(1)BE BA AE u u r u u r u u u r λ=+=-．又因为//BE 平面PCD ，m 为平面PCD 的一个法向量，所以0BE uur ⋅=m1)0λ-+=，所以1=3λ． …………………9分所以2(3BE uur =，所以==BE BE uur ． …………………10分23．（本题满分10分）解：(1)法一：由已知102cos sin cos ()()()x x x f x f x x x x''===--， …………………1分 故21223sin cos cos 2sin 2cos ()()()()x x x x x f x f x x x x x x '''==--=-++， …………………2分 所以12228(),()22f f ππ=-=ππ，即12()2f π＋2()022f ππ=． …………………3分 法二：由已知得：0()cos xf x x =，等式两边分别对x 求导：00()()sin f x xf x x '+=-， …………………1分 即01()()sin cos()2f x xf x x x π+=-=+，类似可得：1222()()cos cos()2f x xf x x x π+=-=+， 所以12()2f π+23()0222f COS πππ==． …………………3分 (2)由已知得：0()cos xf x x =，等式两边分别对x 求导：00()()sin f x xf x x '+=-， 即01()()sin cos()2f x xf x x x π+=-=+，类似可得：1222()()cos cos()2f x xf x x x π+=-=+， 2333()()sin cos()2f x xf x x x π+==+，3444()()cos cos()2f x xf x x x π+==+． 下面用数学归纳法证明等式1()()cos()2n n n nf x xf x x -π+=+对所有的n Ν*∈都成立． …………………6分 ①当1n =时，由上可知等式成立；② 假设当n k =时等式成立，即1()()cos()2k k k kf x xf x x -π+=+． 因为[]111()()()()()(1)()()k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x xf x --+'''+=++=++，(1)[cos()]sin()()cos[]2222k k k k x x x x πππ+π''+=-++=+， 所以1(1)(1)()()cos[]2k k k k f x xf x x ++π++=+． 因此当1n k =+时，等式成立． …………………9分 综合①，②可知等式1()()cos()2n n n nf x xf x x -π+=+对所有的n *∈Ν都成立． 令4x π=，可得1()()cos()()44442n n n nf f n *-πππππ+=+∈Ν．所以1()())444n n nf f n Ν*-πππ+=∈． …………………10分。
推荐-苏州市2018-2018学年第一学期期中高三数学201820
苏州市2018-2018学年第一学期期中考试卷高三数学2018.11.14一、选择题： 1、若sin cos 0θθ⋅<，则θ在A 、第一、二象限B 、第一、三象限C 、第二、三象限D 、第二、四象限 2、设全集{2,4,6,8,10}U =，集合{2,4,6}A =，{4,8}B =，则()U A C B =A 、{2,6}B 、{4,6}C 、{4}D 、{6} 3、函数32()31f x x x =-+的极小值为A 、2B 、1C 、3-D 、4-4、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图象与y 轴交于点(0,4)（如图所示），则方程()0f x =在[2,6]上的根是A 、6B 、4C 、2D 、2- 5、已知函数3()2cos()12f x x ππ=-+，则下列 正确的是 A 、()f x 是周期为1的奇函数 B 、()f x 是周期为2的奇函数 C 、()f x 是周期为2的偶函数 D 、()f x 是周期为2的非奇非偶函数 6、设等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若6312S S =，则93S S = A 、13 B 、12 C 、23 D 、347、给出如下两个命题：命题A ：函数(1)y a x =-为增函数；命题B ：不等式2(1)40()x a x a R +++≤∈的解集为∅，若A 与B 中有且仅有一个是真命题，则实数a 的取值范围是A 、(5,1][3,)-+∞B 、[5,1](3,)-+∞C 、(5,1)[3,)-+∞D 、(5,1)(3,)-+∞8、已知数列{}n a 满足10a =，12524n n n a a a +-=-，则2006a =A 、0B 、1C 、43D 、29、已知非零向量AB 与AC 满足()||cos ||cos AB ACBC AB AC AB B AC C+⋅=⋅，则ABC ∆为 A 、三边均不等的三角形B 、直角三角形C 、等腰非等边三角形D 、等边三角形10、某纺织厂的一个车间有技术工人m 名（m N *∈），编号分别为1，2，3，……，m ，有n 台（n N *∈）织布机，编号分别为1，2，3，……，n ，定义记号ij a ：若第i 名工人操作了第j 号织布机，规定1ij a =，否则0ij a =，则等式41424343n a a a a ++++= 的实际意义是A 、第4名工人操作了3台织布机B 、第4名工人操作了n 台织布机C 、第3名工人操作了4台织布机D 、第3名工人操作了n 台织布机 二、填空题：11、若向量(1,3)a =- ，(,2)b x =，且//a b ，则x =__________12、函数y =____________13、直线2my x =与圆2240x y mx ny +++-=交于,M N 两点，且,M N 关于直线0x y +=对称，则弦MN 的长为________________14、在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，11tan ,tan 23A B ==，且ABC ∆最短边的长为1，则ABC ∆的面积为_____________15、在等差数列{}n a 中，1a 为首项，n S 是其前n 项的和，将1()2n n a a n S +=整理为11122n n S a a n =+后可知：点121122(,),(,),,(,),12n n nS S S P a P a P a n （n 是正整数）都在直线11122y x a =+上，类似地，若{}n a 是首项为1a ，公比为(1)q q ≠的等比数列，则点111222(,),(,),,(,),n n n P a S P a S P a S （n 是正整数）在直线_______________上16、设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使12()()2f x f x c +=（c为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的均值为c给出下列四个函数：（1）3y x =；（2）4sin y x =；（3）lg y x =；（4）2x y =，则满足在其定义域上均值为2的函数的序号是___________ 三、解答题：17、已知圆C 经过点(2,1)A -，和直线1:1l x y +=相切，圆心在直线20x y +=上 （1）求圆C 的方程。
苏州市2018届高三数学期中调研试题
2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数 学注意事项:1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效．3．答题前,务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置)1．已知集合{1,2,3,4,5},{1,3},{2,3}U A B ===，则()U A B =▲ ．2．函数1ln(1)y x =-的定义域为 ▲ ． 3．设命题:4p x >；命题2:540q x x -+≥，那么p 是q 的 ▲ 条件（选填“充分不必要"、“必要不充分”、“充要"、“既不充分也不必要”)．4．已知幂函数22*()m m y x m -=∈N 在(0,)+∞是增函数，则实数m 的值是▲ ．5．已知曲线3()ln f x ax x=+在(1,(1))f 处的切线的斜率为2,则实数a 的值是▲ ．6．已知等比数列{}na 中,32a=，4616a a=，则7935aa aa -=- ▲ ．7．函数sin(2)(0)2y x ϕϕπ=+<<图象的一条对称轴是12x π=，则ϕ的值是▲ ．8．已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减,且(2)0f =，则不等式()01f x x >-的解集为 ▲ ．9．已知tan()24απ-=，则cos 2α的值是 ▲ ．10．若函数8,2()log 5,2ax x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤(01)a a >≠且的值域为[6,)+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 11．已知数列{},{}nna b 满足1111,1,(*)21n n n n aa b b n a +=+==∈+N ，则122017b b b ⋅⋅=▲ ．12．设ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，D 为AB 的中点，若cos sin b a C c A=+且CD =ABC △面积的最大值是 ▲ ．13．已知函数()sin()6f x x π=-，若对任意的实数5[,]62αππ∈--，都存在唯一的实数[0,]m β∈，使()()0f f αβ+=，则实数m 的最小值是 ▲ ．14．已知函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨+⎩≤，若直线y ax =与()y f x =交于三个不同的点(,()),(,()),A m f m B n f n (,())C t f t （其中m n t <<),则12n m++的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6个小题，共90分,请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）已知函数1())(0,0)42f x ax b a b π=+++>>的图象与x 轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为2π． （1）求,a b 的值;（2）求()f x 在[0,]4π上的最大值和最小值．16．（本题满分14分)在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知sin sin sin ()B C m A m +=∈R ，且240abc -=．（1）当52,4a m ==时,求,bc 的值；（2）若角A 为锐角，求m 的取值范围．17．(本题满分15分)已知数列{}na 的前n 项和是nS ，且满足11a=，*131()n n SS n +=+∈N ．(1)求数列{}na 的通项公式;(2）在数列{}nb 中，13b =,*11()n n n na bb n a ++-=∈N ,若不等式2nn ab n λ+≤对*n ∈N 有解，求实数λ的取值范围．18．（本题满分15分）如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是等腰梯形,其中AB 为2米，梯形的高为1米，CD 为3米，上部CmD 是个半圆,固定点E 为CD 的中点．MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和CD 平行．当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH （阴影部分均不通风）．(1）设MN 与AB 之间的距离为5(02x x <≤且1)x ≠米，试将通风窗的通风面积S （平方米）表示成关于x 的函数()y S x =;（2）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S 取得最大值？19．（本题满分16分)已知函数2()ln ,()f x x g x xx m==--．(1）求过点(0,1)P -的()f x 的切线方程；（2）当0=m 时，求函数()()()F x f x g x =-在],0(a 的最大值； （3）证明:当3m ≥-时,不等式2()()(2)e xf xg x xx +<--对任意1[,1]2x ∈均成立（其中e 为自然对数的底数，e 2.718...=)．20．(本题满分16分）已知数列{}n a 各项均为正数，11a=，22a=，且312n n n n a aa a +++=对任意*n ∈N 恒成立，记{}na 的前n 项和为nS ． （1)若33a=，求5a 的值；（2）证明:对任意正实数p ，221{}nn apa -+成等比数列；（3）是否存在正实数t ，使得数列{}nSt +为等比数列．若存在,求出此时na 和nS 的表达式；若不存在,说明理由．2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数 学 (附加） 2017.11注意事项:1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟．2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效． 3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，．．．．．．．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲) （本小题满分10分）如图,AB 为圆O 的直径,C 在圆O 上，CF AB ⊥于F ，点D 为线段CF 上任意一点，延长AD交圆O 于E ，030AEC ∠=．（1)求证:AF FO =；（2）若CF =AD AE ⋅的值．B ．（矩阵与变换） （本小题满分10分）已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，42α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求49αA 的值．BC ．（极坐标与参数方程) （本小题满分10分）在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为42525x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数），以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为cos()(0)4a ρθπ=-≠．（1）求直线l 和圆C 的直角坐标方程;（2）若圆C 任意一条直径的两个端点到直线l求a 的值．D ．（不等式选讲) （本小题满分10分）设,x y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y xxy y ++-+≥．【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分．请在答题卡指定．．．．．区域．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分）在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏．第一轮游戏中，主持人将标有数字1，2，…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6，7，…，10的客人留下，其余的淘汰,第二轮放入1，2,…,5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3,4，5的客人留下，第三轮放入1,2，3三张卡片，让留下的客人依次去摸,摸到数字2,3的客人留下,同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物．已知客人甲参加了该游戏． （1）求甲拿到礼物的概率；(2）设ξ表示甲参加游戏的轮数．．,求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．23．（本小题满分10分）（1）若不等式(1)ln(1)x x ax ++≥对任意[0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设*n ∈N ，试比较111231n ++++与ln(1)n +的大小,并证明你的结论．2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数 学 参 考 答 案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．{1} 2．(1,2)(2,)+∞ 3．充分不必要 4．15．136．4 7．3π 8．(2,0)(1,2)- 9．45- 10．(1,2]11．12018 12．113．2π14．1(1,e )e+二、解答题（本大题共6个小题，共90分） 15．（本题满分14分）解：(1)∵()f x 图象上相邻两个最高点之间的距离为2π,∴()f x 的周期为2π，∴202||2a a ππ=>且，······································································2分∴2a =，··················································································································4分此时1())42f x x b π=+++,又∵()f x 的图象与x 轴相切，∴1||02b b +=>,·······················································6分∴12b =-；··········································································································8分(2）由（1）可得())4f x x π=++,∵[0,]4x π∈,∴4[,]444x ππ5π+∈， ∴当444x π5π+=,即4x π=时，()f x 有最大值为；·················································11分当442x ππ+=，即16x π=时，()f x 有最小值为0．························································14分16．（本题满分14分） 解：由题意得b c ma +=,240a bc -=．···················································分（1）当52,4a m ==时,5,12b c bc +==，解得212b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；································································································6分（2)2222222222()()22cos 23222a ma abc a b c bc a A m a bc bc--+-+--====-，····························8分∵A 为锐角，∴2cos 23(0,1)A m=-∈，∴2322m <<，····················································11分又由b c ma +=可得m >，·························································································13分∴m <<················································14分 17．（本题满分15分） 解：（1）∵*131()n n SS n +=+∈N ，∴*131(,2)nn SS n n -=+∈N ≥，∴*13(,2)n n a a n n +=∈N ≥，·························································································2分又当1n =时，由2131S S =+得23a =符合213a a =，∴*13()n n a a n +=∈N ,······························3分∴数列{}na 是以1为首项,3为公比的等比数列,通项公式为1*3()n n a n -=∈N ；·····················5分（2）∵*113()n n n na bb n a ++-==∈N ，∴{}nb 是以3为首项，3为公差的等差数列,····················7分∴*33(1)3()n b n n n =+-=∈N ，·····················································································9分∴2n n a b nλ+≤，即1233n n nλ-⋅+≤，即2133n n n λ--≤对*n ∈N 有解，··································10分设2*13()()3n n nf n n --=∈N ，∵2221(1)3(1)32(41)(1)()333n n nn n n n n n f n f n -+-+---++-=-=,∴当4n ≥时，(1)()f n f n +<，当4n <时，(1)()f n f n +>， ∴(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f f f <<<>>>, ∴max 4[()](4)27f n f ==，···························································································14分∴427λ≤．·············································································································15分 18．(本题满分15分）解：（1）当01x <≤时,过A 作AK CD ⊥于K (如上图）,则1AK =，122CD AB DK -==,1HM x =-， 由2AK MH DKDH==,得122HM xDH -==,∴322HG DH x =-=+, ∴2()(1)(2)2S x HM HG x x x x =⋅=-+=--+;·······························································4分当512x <<时，过E 作ET MN ⊥于T ,连结EN （如下图),则1ET x =-,22239(1)(1)224MN TN x x ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭,∴292(1)4MN x =--∴29()2(1)(1)4S x MN ET x x =⋅=---，······································································8分综上：222,01()952(1)(1)142x x x S x x x x ⎧--+<⎪=⎨---<<⎪⎩≤;·································································9分（2）当01x <≤时,2219()2()24S x x x x =--+=-++在[0,1)上递减,∴max ()(0)2S x S ==；································································································11分2︒当512x <<时，229(1)(1)94()2(224x x S x x -+--=-⋅=,当且仅当(1)x -=51(1,)2x =+∈时取“=”， ∴max 9()4S x =，此时max 9()24S x =>,∴()S x 的最大值为94，············································14分答：当MN 与AB1+米时,通风窗的通风面积S 取得最大值．····················15分 19．（本题满分16分)解：（1）设切点坐标为0(,ln )x x ，则切线方程为0001ln ()y xx x x -=-,将(0,1)P -代入上式，得0ln 0x =，01x=，∴切线方程为1y x =-;·······························································································2分（2）当0m =时,2()ln ,(0,)F x x x x x =-+∈+∞，∴(21)(1)(),(0,)x x F x x x+-'=-∈+∞,············································································3分当01x <<时，()0F x '>，当1x >时，()0F x '<，∴()F x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减,·············································································5分∴当01a <≤时，()F x 的最大值为2()ln F a a a a =-+;当1a >时，()F x 的最大值为(1)0F =；········································································7分（3）2()()(2)e xf xg x x x +<--可化为(2)eln xm x x x>-+-，设1()(2)e ln ,[,1]2xh x x x x x =-+-∈，要证3m ≥-时()m h x >对任意1[,1]2x ∈均成立，只要证max()3h x <-，下证此结论成立． ∵1()(1)(e)xh x x x'=--，∴当112x <<时，10x -<，·······················································8分设1()exu x x=-，则21()e0xu x x '=+>,∴()u x 在1(,1)2递增,又∵()u x 在区间1[,1]2上的图象是一条不间断的曲线，且1()202u <,(1)e 10u =->,∴01(,1)2x ∃∈使得0()0u x =，即01ex x =，00ln x x =-，····················································11分当01(,)2x x ∈时，()0u x <，()0h x '>;当0(,1)x x ∈时，()0u x >,()0h x '<;∴函数()h x 在01[,]2x 递增,在0[,1]x 递减，∴0max 00000000012()()(2)e ln (2)212x h x h x x x x x x x x x ==-+-=-⋅-=--,····························14分∵212y x x=--在1(,1)2x ∈递增，∴02()121223h x xx =--<--=-，即max()3h x <-， ∴当3m ≥-时，不等式2()()(2)e xf xg x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立．··························16分20．(本题满分16分） 解：(1）∵1423a a a a =,∴46a =，又∵2534a a a a =，∴54392a a ==；·······································2分（2）由3121423n n n n n n n n a aa a a aa a +++++++=⎧⎨=⎩，两式相乘得2134123n n n n n n n a aa aa a a ++++++=,∵0na>，∴2*42()n n n a aa n ++=∈N ，从而{}n a 的奇数项和偶数项均构成等比数列,···································································4分设公比分别为12,q q ，则1122222n n n a a q q --==，1121111n n n a a q q ---==，······································5分又∵312=n n n na a a a +++，∴42231122a a q a a q ===，即12q q =，···························································6分设12qq q==，则2212223()nn n n apa q a pa ---+=+，且2210nn apa -+>恒成立，数列221{}nn apa -+是首项为2p+,公比为q的等比数列,问题得证；····································8分(3)法一:在（2）中令1p =，则数列221{}nn a a -+是首项为3，公比为q 的等比数列，∴22212223213 ,1()()()3(1),11k kk k k k k q Sa a a a a a q q q ---=⎧⎪=++++++=-⎨≠⎪-⎩，12122132 ,13(1)2,11k k k k k k k q q S S a q q q q ---⎧-=⎪=-=⎨--≠⎪-⎩,·····································································10分且12341,3,3,33SS S q S q===+=+，∵数列{}nS t +为等比数列，∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩,即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩解得14t q =⎧⎨=⎩（3t =-舍去)，·························································································13分∴224121k k kS=-=-，212121k k S--=-，从而对任意*n ∈N 有21n nS =-，此时2nn St +=,12nn StS t -+=+为常数，满足{}nSt +成等比数列，当2n ≥时，111222n n n nn n aS S ---=-=-=,又11a=，∴1*2()n nan -=∈N ，综上，存在1t =使数列{}n S t +为等比数列,此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N ．······················16分法二：由(2）知,则122n na q -=,121n n a q --=，且12341,3,3,33SS S q S q===+=+，∵数列{}nS t +为等比数列，∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩，即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩解得14t q =⎧⎨=⎩(3t =-舍去），·······················································································11分∴121222n n n a q --==,22212n n a --=，从而对任意*n ∈N 有12n n a -=,····································13分∴01211222222112n n n nS--=++++==--,此时2nn St +=，12nn StS t -+=+为常数，满足{}nSt +成等比数列,综上，存在1t =使数列{}n S t +为等比数列,此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N ．······················16分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，．．．．．．．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲,本小题满分10分） 解：（1）证明 ：连接,OC AC ，∵030AEC ∠=，∴260AOC AEC ∠=∠=，又OA OC =，∴AOC ∆为等边三角形，∵CF AB ⊥，∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线, ∴AF FO=；······································································5分(2）解：连接BE ,∵CF AOC ∆是等边三角形， ∴可求得1AF =,4AB =，∵AB 为圆O 的直径，∴90AEB ∠=，∴AEB AFD ∠=∠，B。
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苏州市2017～2018学年度第一学期期中考试
数学一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，B ＝{2，3}，则A ∩(∁U B)＝________．
2. 函数y ＝1ln （x －1）
的定义域为______________． 3. 设命题p ：x>4；命题q ：x 2－5x ＋4≥0，那么p 是q 的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
4. 已知幂函数y ＝x2m －m 2(m ∈N *)在(0，＋∞)是增函数，则实数m 的值是________．
5. 已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x 在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的取值是
________．
6. 已知在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 7－a 9a 3－a 5
＝________． 7. 函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝
⎛⎭⎫0<φ<π2图象的一条对称轴是直线x ＝π12，则φ的值是________． 8. 已知奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则不等式f （x ）x －1
>0的解集是________．
9. 已知tan ⎝
⎛⎭⎫α－π4＝2，则cos2α的值是________． 10. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋8， x ≤2，log a
x ＋5， x >2(a >0且a ≠1)的值域为[6，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．
11. 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝1a n ＋1
(n ∈N *)，则b 1·b 2·…·b 2 017＝________．
12. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，D 为AB 的中点，若b ＝a cos C ＋c sin A 且CD ＝2，则△ABC 面积的最大值是________．
13. 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎡⎦⎤－5π6
，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________．
14. 已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ln x ， x >0，2x ＋1， x ≤0，若直线y ＝ax 与y ＝f (x )交于三个不同的点A (m ，f (m ))，B (n ，f (n ))，C (t ，f (t ))(其中m <n <t )，则n ＋1m
＋2的取值范围是________． 二、 解答题：本大题共6个小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知函数f(x)＝－22sin ⎝
⎛⎭⎫2ax ＋π4＋12＋b(a>0，b>0)的图象与x 轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为π2
. (1) 求a ，b 的值；
(2) 求f(x)在⎣
⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值．
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin B ＋sin C ＝m sin A(m ∈R )，且a 2－4bc ＝0.
(1) 当a ＝2，m ＝54
时，求b ，c 的值； (2) 若角A 为锐角，求实数m 的取值范围．
已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且满足a 1＝1，S n ＋1＝3S n ＋1(n ∈N *)．
(1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 在数列{b n }中，b 1＝3，b n ＋1－b n ＝a n ＋1a n
(n ∈N *)，若不等式λa n ＋b n ≤n 2对n ∈N *有解，求实数λ的取值范围．
如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB 为2米，梯形的
高为1米，CD 为3米，上部CmD ︵是个半圆，固定点E 为CD 的中点．MN 是由电脑控制可
以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计)，且滑动过程中始终保持和CD 平行．当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH (阴影部分均不通风)．
(1) 设MN 与AB 之间的距离为x ⎝⎛⎭
⎫0≤x <52且x ≠1米，试将通风窗的通风面积S (平方米)表示成关于x 的函数y ＝S (x )；
(2) 当MN 与AB 之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S 取得最大值？
已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－x －m .
(1) 求过点P (0，－1)的f (x )的切线方程；
(2) 当m ＝0时，求函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，a ]上的最大值；
(3) 证明：当m ≥－3时，不等式f (x )＋g (x )<x 2－(x －2)e x 对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，1均成立(其中e
为自然对数的底数，e ＝2.718…)．
已知数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，a2＝2，且a n a n＋3＝a n＋1a n＋2对任意n∈N*恒成立，记{a n}的前n项和为S n.
(1) 若a3＝3，求a5的值；
(2) 证明：对任意正实数p，{a2n＋pa2n－1}成等比数列；
(3) 是否存在正实数t，使得数列{S n＋t}为等比数列？若存在，求出此时a n和S n的表达式；若不存在，请说明理由．
(这是边文，请据需要手工删加)
苏州市2017～2018学年度第一学期期中考试
数学附加题21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. 选修41：几何证明选讲(本小题满分10分)
如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，CF ⊥AB ，垂足为F ，D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交圆O 于点E ，∠AEC ＝30°.
(1) 求证：AF ＝FO ；
(2) 若CF ＝3，求AD ·AE 的值．
B. 选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)
已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42，求A 49α.
C. 选修44：坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－45t ＋2，y ＝25
t (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2a cos ⎝
⎛⎭⎫θ－π4(a ≠0)． (1) 求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
(2) 若圆C 的任意一条直径的两个端点到直线l 的距离之和为5，求实数a 的值．
D. 选修45：不等式选讲(本小题满分10分)
设x ，y 均为正数，且x >y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2
≥2y ＋3.
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏．第一轮游戏中，主持人将标有数字1，2，…，10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6，7，…，10的客人留下，其余的淘汰；第二轮放入1，2，…，5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3，4，5的客人留下；第三轮放入1，2，3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2，3的客人留下；同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物．已知客人甲参加了该游戏．
(1) 求甲拿到礼物的概率；
(2) 设ξ表示甲参加游戏的轮数，求ξ的概率分布列和数学期望E(ξ)．
23. (本小题满分10分)
(1) 若不等式(x ＋1)ln (x ＋1)≥ax 对任意x ∈[0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围；
(2) 设n ∈N *，试比较12＋13＋…＋1n ＋1
与ln(n ＋1)的大小，并证明你的结论．
(这是边文，请据需要手工删加)。