数控机床非齐次泊松过程模型参数的免疫克隆极大似然估计
泊松极大似然估计法
泊松极大似然估计法摘要：一、泊松极大似然估计法简介1.泊松分布的定义2.极大似然估计法的概念3.泊松极大似然估计法的定义二、泊松极大似然估计法的性质1.参数估计2.参数假设检验3.非参数估计三、泊松极大似然估计法的应用1.泊松分布的参数估计2.泊松分布的假设检验3.泊松分布的非参数估计四、泊松极大似然估计法的优缺点1.优点a.参数估计效率高b.易于理解和实现2.缺点a.对参数的假设较强b.样本量较小时效果较差正文：泊松极大似然估计法是一种在泊松分布假设下，对未知参数进行极大似然估计的方法。
它通过找到使得样本观测值出现的概率最大的参数值来估计参数。
一、泊松极大似然估计法简介泊松分布是一种离散型概率分布，描述了在固定时间内，事件发生的次数的概率分布。
当事件发生的概率很小，而观测次数很大时，泊松分布可以近似地描述事件发生的次数。
极大似然估计法是一种参数估计方法，它通过找到使得样本观测值出现的概率最大的参数值来估计参数。
泊松极大似然估计法就是将极大似然估计法应用到泊松分布中，对泊松分布的参数进行估计。
二、泊松极大似然估计法的性质1.参数估计：泊松极大似然估计法通过最大化泊松分布的似然函数来估计参数。
对于给定的样本观测值，参数的估计值可以通过求解似然函数的极大值得到。
2.参数假设检验：在给定参数的估计值和显著性水平下，可以通过计算参数的假设检验统计量来检验参数的假设。
3.非参数估计：泊松极大似然估计法也可以用于非参数估计，即通过比较不同参数下似然函数的大小，选择最可能的参数值。
三、泊松极大似然估计法的应用1.泊松分布的参数估计：泊松极大似然估计法可以用于估计泊松分布的参数，如事件的平均发生率。
2.泊松分布的假设检验：泊松极大似然估计法可以用于检验泊松分布的假设，如检验事件的平均发生率是否显著。
3.泊松分布的非参数估计：泊松极大似然估计法可以用于非参数估计，如比较不同事件的发生率。
四、泊松极大似然估计法的优缺点1.优点：a.参数估计效率高：泊松极大似然估计法可以有效地估计泊松分布的参数，特别是当样本量较大时。
泊松似然估计法的应用
泊松似然估计法的应用泊松分布是一种常见的概率分布，用于描述单位时间内某事件发生的次数。
而泊松似然估计法是一种统计方法，用于估计泊松分布的参数。
在本文中，我将介绍泊松似然估计法的应用以及其在实际问题中的重要性。
一、泊松分布与泊松似然估计法的概述泊松分布是离散型概率分布，其概率质量函数如下所示：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，X表示事件发生的次数，λ表示单位时间内事件的平均发生率。
泊松分布具有以下特点：1. 平均值等于方差，即E(X) = Var(X) = λ。
2. 事件的发生是独立的，即一个事件的发生不会影响其他事件的发生。
为了估计泊松分布的参数λ，我们可以使用泊松似然估计法。
该方法的思想是找到最大似然估计值，使得观察到的数据在该参数下的发生概率最大化。
二、泊松似然估计法的应用泊松似然估计法在实际问题中有广泛的应用，下面我将介绍其中的几个案例。
1. 通信方式呼叫中心的流量预测通信方式呼叫中心是一个典型的泊松过程的实例。
根据泊松分布的特性，我们可以使用泊松似然估计法来预测通信方式呼叫中心的流量。
通过历史数据的分析，我们可以估计平均每小时的呼叫数量，从而优化呼叫中心的资源分配和员工排班。
2. 网络流量的分析在网络流量分析中，泊松分布常用于描述单位时间内网络的数据包到达情况。
通过泊松似然估计法，我们可以根据观测到的数据包到达率，估计网络流量的平均速率，从而进行网络性能优化和拥塞控制。
3. 产品销售预测对于一些具有离散型销售特征的产品，例如某款电子产品的每日销售数量，我们可以使用泊松似然估计法来预测产品的销售量。
通过历史销售数据的分析，我们可以估计平均每天的销售数量，进而优化库存管理和生产计划。
三、对泊松似然估计法的观点和理解泊松似然估计法是一种简单而有效的参数估计方法，特别适用于满足泊松分布假设的问题。
该方法充分利用了泊松分布的特性，通过最大化观测数据的发生概率，来对参数进行估计。
参数估计公式最大似然估计贝叶斯估计矩估计
参数估计公式最大似然估计贝叶斯估计矩估计参数估计是统计学中的一个重要问题，它的目标是通过已经观测到的样本数据来估计未知参数的值。
在参数估计中，最大似然估计、贝叶斯估计和矩估计是常用的方法。
下面将分别介绍这三种估计方法及其公式。
一、最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它基于样本数据的观测结果，通过寻找参数值使得观测样本出现的概率最大化来估计未知参数的值。
最大似然估计的公式如下所示：$$\hat{\theta}_{MLE} = \arg \max_{\theta} P(X|\theta)$$其中，$\hat{\theta}_{MLE}$表示最大似然估计得到的参数值，$P(X|\theta)$表示给定参数$\theta$下观测样本$X$出现的概率。
二、贝叶斯估计贝叶斯估计是另一种常用的参数估计方法，它基于贝叶斯定理，通过在先验分布和观测数据的基础上更新参数的后验分布来进行参数估计。
贝叶斯估计的公式如下所示：$$P(\theta|X) = \frac{P(X|\theta)P(\theta)}{P(X)}$$其中，$P(\theta|X)$表示给定观测样本$X$后，参数$\theta$的后验分布；$P(X|\theta)$表示给定参数$\theta$下观测样本$X$出现的概率；$P(\theta)$表示参数$\theta$的先验分布；$P(X)$表示观测样本$X$的边缘概率。
三、矩估计矩估计是一种基于样本矩的无偏估计方法，它通过样本矩与理论矩之间的差异来估计未知参数的值。
矩估计的公式如下所示：$$\hat{\theta}_{MME} = g(\overline{X}_n)$$其中，$\hat{\theta}_{MME}$表示矩估计得到的参数值，$g(\cdot)$表示由样本矩计算得到参数的函数，$\overline{X}_n$表示样本的均值。
在实际应用中，最大似然估计常用于样本量较大、参数唯一可估情况下的参数估计；贝叶斯估计常用于样本量较小、先验分布已知情况下的参数估计；矩估计常用于样本量较大、参数个数较多时的参数估计。
数控机床的拟合方法与优化模型
数控机床的拟合方法与优化模型数控机床是现代制造行业中的重要设备，其精度和效率对产品质量和生产效益有着重要影响。
在数控机床加工过程中，有效的拟合方法和优化模型可以提高加工精度和效率，降低成本，提高产品质量。
本文将介绍数控机床的拟合方法与优化模型，并针对具体情况进行分析和讨论。
拟合方法是数控机床加工中常用的工具，可以通过拟合来减小加工误差，提高加工精度。
常见的拟合方法包括最小二乘法、最小二乘逼近法、曲线拟合法等。
最小二乘法是指通过最小化加工误差的平方和来拟合加工曲线，常用于曲线和数据点之间的拟合。
最小二乘逼近法则通过取一个函数使其逼近被拟合曲线，常用于多项式逼近和函数逼近。
曲线拟合法则通过寻找一组参数来拟合加工曲线，常用于多项式拟合、样条函数拟合等。
同时，优化模型也是数控机床加工中常用的工具，可以通过优化来实现加工过程的最优化。
常见的优化模型包括线性规划、非线性规划、遗传算法等。
线性规划是指在满足一系列线性约束条件下，寻找使目标函数最优的变量取值，常用于加工路径规划、刀具路径规划等。
非线性规划则是在满足一系列非线性约束条件下，寻找目标函数的最优解，常用于刀具轨迹优化、零件装配优化等。
遗传算法是一种优化方法，通过模拟生物进化过程来寻找问题的最优解，常用于加工参数优化、工件形状优化等。
在实际应用中，选择合适的拟合方法和优化模型需要考虑多个因素。
首先，需要考虑加工对象的特点，例如曲线的复杂度、数据点的分布等，以选择合适的拟合方法。
其次，需要考虑加工过程中的约束条件，例如切削力、加工时间等，以选择合适的优化模型。
最后，还需要考虑加工设备的性能和工艺要求，以确定合理的拟合精度和优化程度。
在数控机床加工中，拟合方法和优化模型的选择对加工效果有着重要影响。
合理选择拟合方法可以减小加工误差，提高加工精度，从而提高产品质量；合理选择优化模型可以降低加工成本，提高生产效率，从而提高经济效益。
因此，加工人员应根据具体情况选择合适的拟合方法和优化模型，并在实践中不断优化改进，以不断提高加工效果。
泊松过程 参数估计
泊松过程参数估计全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：泊松过程是一种常见的随机过程，其在很多领域都有着广泛的应用，比如通信网络、金融市场、医学统计学等。
泊松过程最基本的特点就是事件在时间上是随机地不断发生的，且事件之间是相互独立的。
泊松过程的一个关键参数就是事件的发生率，即单位时间内事件发生的次数，通常用λ来表示。
在实际应用中，我们常常需要对泊松过程的参数进行估计，以便更好地理解、分析和预测事件的发生情况。
参数估计的目的就是通过已有的样本数据，来估计未知的参数值。
泊松过程的参数估计方法有很多种，比如极大似然估计、贝叶斯估计等，下面我们就来详细介绍一下这些方法。
首先我们来介绍一下极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）。
极大似然估计是一种常用的参数估计方法，其目标是选择最能够使观测到的数据出现的概率最大的参数值。
对于泊松过程来说，假设我们有一组事件的发生时间数据，我们可以通过计算这些事件的时间间隔来得到事件发生的频率，然后通过极大似然估计的方法来估计λ的值。
具体来说，设有n个事件发生，分别在时间t1,t2,...,tn发生，时间间隔分别为Δt1=t1，Δt2=t2-t1,...,Δtn=tn-tn-1。
假设事件发生率为λ，那么事件发生时的概率密度函数为P(Δt)=λe^(-λΔt)，当所有事件都发生时的联合概率密度函数为L(λ)=∏(i=1,n)λe^(-λΔti)。
然后通过最大化L(λ)来得到λ的估计值。
除了极大似然估计外，贝叶斯估计也是一种常见的参数估计方法。
贝叶斯估计是一种基于贝叶斯定理的方法，其核心思想是先验概率和后验概率的更新。
对于泊松过程来说，我们可以引入一个先验分布作为事件发生率λ的先验信息，然后通过贝叶斯定理来更新这个先验分布，得到后验分布，从而估计λ的值。
我们可以假设λ服从一个指数分布，即先验分布为P(λ)=exp(-λ)，那么在得到观测数据后，我们可以根据贝叶斯定理得到后验分布为P(λ|data)∝L(λ)×P(λ)，然后通过后验分布来估计λ的值。
非齐次泊松过程的仿真方法
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１ 齐 次 泊 松 过 程 的 仿 真
泊松分布的最大似然估计量
泊松分布的最大似然估计量泊松分布在统计学中是一种常见且有用的分布形式，主要用于描述在给定时间间隔内发生事件的次数。
其概率密度函数的形式为f(k; λ) = λ^k * e^-λ/ k!，其中k表示事件发生的次数，λ是平均每单位时间发生的事件次数。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是一种在统计学中常见的参数估计方法，其目标是找到可以最大化给定数据集的似然函数的参数值。
给定一个数据集，我们假设每个数据点都是独立同分布的，且服从同一泊松分布。
假设我们有一组观察到的数据k1, k2, ..., kn，每个数据点都是一个非负整数。
那么，λ的最大似然估计就是所有数据点的平均值，即：λ_MLE = (k1 + k2 + ... + kn) / n现在我们来详细推导这个结果。
首先，我们知道泊松分布的似然函数是：L(λ) = λ^k * e^-λ/ k!对于给定的数据集，似然函数是各个数据点的似然函数的乘积，所以整体的似然函数为：L(λ) = (λ^k1 * e^-λ/ k1!) * (λ^k2 * e^-λ/ k2!) * ... * (λ^kn * e^-λ/ kn!)对数似然函数可以帮助我们简化这个表达式，得到：ln(L(λ)) = k1*ln(λ) -λ-(1/k1)*ln(k1!) + k2*ln(λ) -λ-(1/k2)*ln(k2!) + ... + kn*ln(λ) -λ- (1/kn)*ln(kn!)对数似然函数的导数是：d(ln(L(λ))/dλ= (1/λ)*(k1 + k2 + ... + kn) - 1 - sum((1/ki)*ln(ki))为了找到使似然函数最大化的λ值，我们令导数等于0：(1/λ)*(k1 + k2 + ... + kn) - 1 - sum((1/ki)*ln(ki)) = 0解这个方程，我们可以得到：λ= (k1 + k2 + ... + kn) / n这就是最大似然估计的结果。
泊松极大似然估计法
泊松极大似然估计法一、引言泊松极大似然估计法（Poisson Maximum Likelihood Estimation）是一种常用的参数估计方法，广泛应用于统计学和概率论领域。
它通过最大化泊松分布的似然函数，来估计未知的泊松分布参数。
本文将详细介绍泊松极大似然估计法的原理、应用以及相关的数学推导。
二、原理1. 泊松分布泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在一定时间或空间范围内，事件发生的次数的概率分布。
它的概率质量函数为：P(X=k)=λk e−λk!其中，k表示事件发生的次数，λ表示单位时间（或空间）内事件发生的平均次数。
2. 似然函数似然函数是用于描述参数估计的概率函数。
对于泊松分布，似然函数为：L(λ;x1,x2,…,x n)=∏λx i e−λx i!ni=1其中，x1,x2,…,x n为观察到的事件次数。
3. 极大似然估计极大似然估计是一种常用的参数估计方法，通过最大化似然函数来估计参数的值。
对于泊松分布，我们需要找到使似然函数取得最大值的参数λ。
为了方便计算，通常使用似然函数的对数形式，即对数似然函数：lnL(λ;x1,x2,…,x n)=∑(x i lnλ−λ−ln(x i!))ni=1通过求解对数似然函数的导数等于零的方程，可以得到极大似然估计的解析解。
三、应用泊松极大似然估计法在实际应用中具有广泛的应用价值。
以下是一些常见的应用场景：1. 事件发生次数的估计泊松极大似然估计法可以用于估计一定时间或空间范围内事件发生的次数。
例如，在一天的时间内，某交叉口发生交通事故的次数，可以利用泊松极大似然估计法来估计交通事故的平均发生次数。
2. 计数数据分析在计数数据分析中，泊松极大似然估计法常常用于建立计数数据的回归模型。
例如，在研究某种疾病的发生率时，可以利用泊松回归模型来估计不同因素对疾病发生的影响程度。
3. 风险评估泊松极大似然估计法可以用于风险评估。
例如，在金融领域，可以利用泊松极大似然估计法来估计某种金融产品的违约次数，从而评估违约风险。
基于非齐次Poisson过程的脉冲星到达信号的最大似然相位估计
信 号 理
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非齐次泊松过程的仿真方法
第１５ 卷第１期 高 等 数 学 研 究 ，Ｖｏｌ．１５Ｎｏ．１２０１２ 年 １月ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ，Ｊａｎ．２０１２Ｏ２２７Ａ１００８－１３９９２０１２０１－００８６－０４现实中许多的随机现象都可以用齐次泊松过程去描述，但是齐次泊松过程描述的现象要求事件的发生具有平稳性，即事件发生的强度为常数，不随时间的变化而变化．事实上，更多的随机现象事件发生的强度与时间有关系，如到达银行的顾客在一天或一月中的不同日子具有波动性，这就需要用非齐次泊松过程去描述．因此非齐次泊松过程是程．利用参见文［３］之附录．有些非齐次泊松过程的方法需基于齐次泊松过程的仿真，因此首先介绍齐次泊松过程的仿真方法．１齐次泊松过程的仿真１．１齐次泊松过程的定义定义１计数过程｛Ｎ（ｔ），ｔ≥０｝称为强度为λ的齐次泊松过程，如果满足（）Ｎ（０）＝０；（）具有平稳独立增量；收稿日期：２００９－０８－０９；修改日期：２０１１－０５－１０：ｎ（）Ｐ｛Ｎ（ｔ＋ｈ）－Ｎ（ｔ）≥２｝＝ｏ（ｈ）；（）Ｐ｛Ｎ（ｔ＋ｈ）－Ｎ（ｔ）＝１｝＝λ（ｈ）＋ｏ（ｈ）．可以证明［４］ｋ１．２．１产生间隔时间法泊松过程过程具有如下性质．定理１［１］３１设泊松过程｛Ｎ（ｔ），ｔ≥０｝的强度为λ，则｛Ｔｉ，ｉ＝１，２，…｝为独立同分布的参数λ指数分布随机变量序列．根据定理１，只要产生参数为λ指数随机变量的随机数，作为事件发生的时间间隔，再依次求和就可以得到强度为λ的泊松过程事件发生时刻序列．１．２．顺序统计量法Ｘ的简（ｎ），Ｘ１Ｘ２，…，）的联合概率密度为Ｘｎｎ！（）＜＜…＜，， ｔ ｔ ｎｆｔ ｔ∏ｉ１２ｎｉ１由引理的，， 为Ｘ１ Ｘ２ＸｎｆＳ１，Ｓ２，…，Ｓｎ｜Ｎ（ｔ）（ｔ１，ｔ２，…，ｔｎ｜ｎ）＝ｎ！，０＜ｔ１ ＜ｔ２ ＜ … ＜ｔｎ ＜ｔ，ｎｔ０， 其他．第 １５ 卷第 １期 宁如云：非齐次泊松过程的仿真方法８７定理２［１］３７在Ｎ（ｔ）＝ｎ的条件下，Ｓ１，Ｓ２，…，Ｓｎ 的联合分布为Ｓ２的分布，产生Ｎ（Ｔ）的一个随机数ｎ．（２）产生ｎ个［０，Ｔ］上的均匀分布的随机数．（３）把这ｎ个均匀分布随机数从小到大排列，记为ｓ１，ｓ２，…，ｓｎ 即得．２ 非齐次泊松过程的仿真方法 ２．１非齐次泊松过程的定义定义２ 计数过程｛Ｎ（ｔ），ｔ≥０｝｝＝ｏ）＝１｝＝性质］（ ）（）服从泊松分布，１６２－６３１Ｎｓ＋ｔ－Ｎｓ其参数（ ）（为）ｍｓ＋ｔ－ｍｓ．２．２仿真方法为Ｔ｛１２．２．２．１稀疏法定理设（），其中为一常数，而，，３λｔ≤λλｓ１ｓ２…，，…为参数的齐次泊松过程的事件发生的时ｓｎλ率，…，，…ｓ（ｎ）ｓｓｎ，… 的稀疏，因此满足中定义２中的（）～（）．以下证明它也满足定义２中的（）．设Ａ＝｛非齐次泊松过程Ｎｔ（）在ｔ（ｔ，＋ｈ］中有一个事件发生｝，Ｂ＝｛齐次泊松过程Ｎｔ（）在ｔ（ｔ，＋ｈ］中有一个事件发生｝，则有（ ）（）（ ）ＰＡＢ＝ＰＢＰＡ｜Ｂ ＝（）， ，ｓ（１）ｓ（２）２（ｎ）．根据定理，先产生齐次泊松过程事件发生的 ３时刻，再按概率稀疏就得到非齐次泊松过程事件发生时刻，步骤如下．（）产生参数 的齐次泊松过程的 Ｔ前事件发１λ生的时刻 ，，…，３ｓｉ（１）ｓ（２）（ｋ）出即可．２．２．２尺度变换法定理［１］７６｛，，，…｝为强度函数为４ｓｎ ｎ＝１２（）的非齐次泊松过程事件发生的时刻的充要条件过＝∫λ发生的时刻．步骤如下．（）产生参数 １的齐次泊松过程的Ｔ前事件发１生的时刻，，…，ｚ１ｚ２ｚｎ．（）令－１（），则，，…，为强度为．３定理５设，则在Ｓｎ－１＝ｓｎ－１的条件下，Ｓ０＝０（，，…）的条件密度函数为Ｔｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１ｎ＝１２ｆＴ（＝ｓｎ－１）ｔ｜Ｓｎ－１＝ｎ，其＞ｔ｜Ｓ－１ｓｎ－１｝＝｛（ｓｎ－１，ｓｎ－１＋ｔ）内无事件发生｜Ｓ１＝ｓ１，Ｓ２＝ｓ２，…，Ｓｎ－１＝ｓｎ－１｝＝｛（ｓｎ－１，ｓｎ－１＋ｔ）内无事件发生｜Ｓｎ－１＝ｓｎ－１｝，再根据性质１，Ｐ｛Ｔｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＞ｔ｜Ｓ１＝ｓ１，Ｓ２＝ｓ２，…，Ｓｎ－１＝ｓｎ－１｝８８高等数学研究２０１２年１月故有（）定理５给出了非齐次泊松过程事件发生间隔时间的条件分布．根据定理５可以先产生Ｔ１分布的随机数ｔ１，令ｓ１＝ｔ１，在此基础上产生Ｔ２分布的随机数ｔ２，依次下去，直至ｔｎ，使得ｓｎ＝ｔ１＋ｔ２＋…＋ｔｎ＞Ｔ，，Ｔ赋＝（［ｍ（ｓ－ｍ（ｓ）］，）ｎ－１ｎ－１，λｓｎ－１＋ｔｅｔ＞０｛０，其他．的随机变量的随机数．（）令，２．２．４理６在（）下，，，Ｎｔ＝ｎＳ１Ｓ２Ｓｎ的分布恰好为密度函数为（）λｕ，，（）（）０＜ｕ≤ｔｍｔ得ｆＳＳ…Ｓｓ１ｓ２ｓｎｓｎｔ＝１２ｎ－［ｍ）－ｍ（０－［ｍ（ｓ）－）（ｓ）］ｍ（ｓ］（）１（）２１…λｓ１ｅλｓ２ｅｎ－［ｍ再由－ｍ（ｔ），ｎ！可得在Ｎ（ｔ）＝ｎ条件下，Ｓ１，Ｓ２，…，Ｓｎ的联合密度函数为ｆＳＳ…Ｓ（ｓ１ｓ２…ｓｎ｜Ｎ（ｔ）＝ｎ）＝１２ｎｎｎ！∏λ（ｓｉ）（０＜ｓ１＜ｓ２＜…＜ｓｎ＜ｔ）．ｉ＝１ｍ（ｔ）根据引理１，可得定理结论成立．由定理６，在条件Ｎ（ｔ）＝ｎ下，产生ｎ个随机数，再从小到大排列即可，具体（）λｕ，，（）（）０＜ｕ≤ＴｍＴ顺序排列即可．３仿真算例设非齐次泊松过程｛Ｎ（ｔ），ｔ≥０｝的强度函数λ（ｔ）＝２ｅ－ｔ５，截止时刻Ｔ＝５，实际系统仿真中可取较长的时间．此时在稀疏法中λ＝２，在尺度变换法中ｍ－１（ｔ）＝－５ｌｎ（１－ｔ）＋ｔ－ｎ－１］－ｅ５ＦＴｔ｜Ｓｎ－１ｎ－１＝１－ｅｎ（，，，，…），ｔ＞０ｓ０＝０ｎ＝１２在顺序统计量法中－ｔ５（）１－ｅ（）０．４７４２１．９１４１２．４０４０２．６１３７３．９９０６４．３３０２尺度变换法 ， ， ， ， ，０．２１３５０．８５７８０．９７３２２．２０９９２．６７２８，４．，，，，０．１８５６１．５６２３２．１８２３３．３４３２３．５０２７４ 结论通过讨论，可以看到四种方法都需要一定的条件，稀疏法需要强度函数具有上界，尺度变换法需要计算累计强度函数的反函数，产生间隔时间法和顺序统计量法分别需要产生具有一定密度函数的随机变量的随机数，也就需要计算分布函数的反函数，相比之下尺度变换法较为简捷高效．此外对随机过程的每次仿真，得到过程的一个事件发生时刻序列，应较第 １５卷第 １期 高 等 数 学 研 究 ，Ｖｏｌ．１５Ｎｏ．１２０１２ 年 １月ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ，Ｊａｎ．２０１２号Ｇ６４２．１码Ａ号（ ）１００８－１３９９２０１２０１－００８９－０３面对一个有相当难度的概率问题，我们通常并不知道自己得到的求解结果是否一定正确，这时可采用随机模拟的方法，通过判断模拟结果与理论计算是否接近来自我验证结果的正确性．另外，随机模拟又从另一个角度加深了对该问题的理解．因此，随机模拟在概率学习和复杂问题求解过程中都显得十分重要．以下就有一个很好的例子．问题１收稿日期：２０１０－０１－０６；修改日期：２０１１－１２－０７作者简介：肖华勇（１９６９－），男，陕西西安人，博士，副教授，从事概率该问题是我在教改班进行随机数学教学中由一位同学提出的．初时感觉这个问题理论求解比较困难，就采用计算机模拟获得了一个结果．后来深入下去，经过比较复杂的计算求得了理论结果，但发现理论求解与模拟计算结果相差很大．进一步探究，终于发现是模拟过程采用的公式出现了问题，对模．社，：２００１４２５－４３１．［］邓永录，梁之舜随机点过程及其应用［］北京：中国［］张波，张景肖应用随机过程［］北京：清华大学出版４．Ｍ．１．Ｍ．社，科学出版社，：：２００４３３－３４．１９９２１００－１０３．概率论：Ｍ．２ｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＣｏｌｅｇｅ，Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ０５０００３，ＰＲＣ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＢａｓｅｄｏｎｔｗｏｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＰｏｉｓｓｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，ｆｏｕｒｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＰｏｉｓｓｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓａｒｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｔｈｅｙａｒｅｓｐａｒｓｅｍｅｔｈｏｄ，ｓｃａｌｅａｌｔｅｒｎａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ，ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇｔｉｍｅｉｎｔｅｒｖａｌｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄｏｒｄｅｒｓｔａｔｉｓｔｉｃｓｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｂａｓｅｓａｎｄｐｒｏｃｅｄｕｒｅｓｏｆｔｈｅｆｏｕｒｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．ＡｃｏｎｃｒｅｔｅｅｘａｍｐｌｅｏｆｓｉｍｕｌａｔｉｎｇｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＰｏｉｓｓｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓｉｓｐｒｏｖｉｄｅｄ．Ｆｏｕｒｍｅｔｈｏｄｓａｒｅａｐｐｌｉｅｄａｎｄｆｅａｔｕｒｅｓｏｆｔｈｅｓｅｍｅｔｈｏｄｓａｒｅａｎａｌｙｚｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＰｏｉｓｓｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，ｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＰｏｉｓｓｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，ｓｉ。
非齐次泊松过程的数控机床可靠性建模
增刊 ２
许彬彬 ， 等： 非齐次泊松过程的数控机床可靠性建模 中， Ｖ －检验如下 ： 齐次泊松过程 。 Ｈ０ ： 具有非单调趋势 。 Ｈ１ ：
·２ １ １·
本文提出了非齐次泊松过程的数控机床可靠 性建模方法 ， 并结合数控机床的失效特点 ， 建立故 障率为浴盆曲线 的 非 齐 次 泊 松 过 程 可 靠 性 模 型 。 同时 ， 结合具有随 机 截 尾 特 点 的 多 样 本 数 控 机 床 现场试验故障数 据 ， 对数控机床的可靠性进行了 深入分析 。
收稿日期 ： ２ ０ １ １ ０ ３ １ ８． － －
次泊松过程建立的可靠性模型更能贴近于复杂系 统的生产实际 。
） （ （ ； 基金项目 ： 国家科技重大专项 （ 吉林大学科学前沿与交 ２ ０ ０ ９ Ｚ Ｘ ０ ４ ０ １ ４ ０ １ １ ２ ０ １ ０ Ｚ Ｘ ０ ４ ０ １ ４ ０ １ １） ２ ０ １ ０ Ｚ Ｘ ０ ４ ０ １ ４ ０ １ ６） － － － ） ； ） 叉学科创新项目 （ 吉林大学研究生创新研究计划项目 （ ２ ０ ０ ９ ０ ３ １ ７ １ ２ ０ １ １ １ ０ ５ ７ ． ， ： 作者简介 ： 许彬彬 （ 女， 博士研究生 ． 研究方向 ： 数控装备可靠性建模技术 ． １ ９ ８ ２ Ｅ－ｍ ａ ｉ ｌ ｘ ｕ ｂ ｉ ｎ ｂ ｉ ｎ ｌ ｕ ｆ ｏ ｘ ｍ ａ ｉ ｌ ． ｃ ｏ ｍ －） ＠ ｊ ， ： 通信作者 ： 杨兆军 （ 男， 教授 ， 博士生导师 ． 研究方向 ： 数控装备可靠性理论与技术 ． １ ９ ５ ６ Ｅ－ｍ ａ ｉ ｌ ｚ ｌ ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ －） ＠ ｙ ｊ ｊ
ｏ ｌ ． ４ １ Ｓ ｕ ． ２ Ｖ ｐ ｅ ｔ ． ２ ０ １ １ Ｓ ｐ
非齐次泊松过程的数控机床可靠性建模
西南大学《数理统计》作业及答案e
数理统计第一次1、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中μ，2σ未知，n X X X ,,,21 为其样本，2≥n ,那么以下说法中正确的选项是〔 〕。
〔A 〕∑=-ni i X n122)(μσ是统计量 〔B 〕∑=ni i X n122σ是统计量〔C 〕∑=--ni iX n 122)(1μσ是统计量 〔D 〕∑=ni iX n12μ是统计量2、设两独立随机变量)1,0(~N X ，)9(~2χY ，那么YX 3服从〔 〕。
)(A )1,0(N )(B )3(t )(C )9(t )(D )9,1(F3、设两独立随机变量)1,0(~N X ，2~(16)Y χ服从〔 〕。
)(A )1,0(N )(B (4)t )(C (16)t )(D (1,4)F4、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，那么以下是μ的无偏估计的是〔 〕.)(A ∑-=-1111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=n i i X n 21 )(D ∑-=111n i i X n 5、设4321,,,X X X X 是总体2(0,)N σ的样本，2σ未知，那么以下随机变量是统计量的是〔 〕.〔A 〕3/X σ； 〔B 〕414ii X=∑； 〔C 〕σ-1X ； 〔D 〕4221/ii Xσ=∑6、设总体),(~2σμN X ，1,,n X X 为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，那么以下正确的选项是〔 〕.2() ~(,)A X N μσ 2() ~(,)B nX N μσ22211()()~()ni i C X n μχσ=-∑)()~()X D t n Sμ-7、设总体X 服从两点分布B 〔1，p 〕，其中p 是未知参数，15,,X X ⋅⋅⋅是来自总体的简单随机样本，那么以下随机变量不是统计量为〔 〕( A ) . 12X X +( B ){}max ,15i X i ≤≤( C ) 52X p +( D )()251X X -8、设1,,n X X ⋅⋅⋅为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。
泊松分布的大样本近似置信估计
泊松分布的大样本近似置信估计引言在统计学中，置信估计是一种用于估计总体参数的方法。
当我们无法获得总体全部数据时，通过从总体中抽取样本来进行统计推断。
泊松分布是一种常见的离散概率分布，常用于描述单位时间内某事件发生的次数。
本文将介绍泊松分布的大样本近似置信估计方法。
泊松分布泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在一定时间或空间内，某事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数为：P (X =k )=e −λλk k!其中，λ 表示单位时间或空间内事件的平均发生次数，k 表示具体的事件发生次数。
泊松分布的期望和方差均为 λ。
当 λ 较大时，泊松分布可以近似为正态分布。
大样本近似置信估计在实际应用中，我们通常只能获得样本数据，而无法得到总体全部数据。
因此，需要通过样本数据对总体参数进行估计。
大样本近似置信估计是一种常用的方法，它基于中心极限定理，将样本均值的抽样分布近似为正态分布。
对于泊松分布的大样本近似置信估计，首先我们需要根据样本数据计算出样本均值 X‾，然后计算置信区间。
置信区间是一个区间估计，可以用于估计总体参数的范围。
置信区间的计算方法根据中心极限定理，样本均值 X‾ 的抽样分布近似为正态分布，其均值为总体均值 μ，方差为 σ2n ，其中 σ2 是总体方差，n 是样本容量。
根据正态分布的性质，我们可以计算出样本均值的置信区间。
常用的置信水平有90%、95%和99%等。
以95%置信水平为例，置信区间的计算公式为：X ‾±1.96√X ‾n其中，1.96 是95%置信水平对应的标准正态分布的分位数。
示例现在我们以一个实际案例来说明大样本近似置信估计的应用。
假设某快递公司每天的快递订单数量服从泊松分布。
为了估计该公司每天的平均快递订单数量，我们随机抽取了100个订单，并记录下每个订单的数量。
现在我们使用大样本近似置信估计方法来估计平均快递订单数量的置信区间。
首先，我们计算样本均值X‾：X‾=∑X i 100i=1 100其中，X i表示第i个订单的数量。
泊松过程 参数估计
泊松过程参数估计全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：泊松过程是一种描述事物随机出现的模型，常常用于描述具有离散事件的系统，其参数估计是对泊松过程中的参数进行估计，以便更好地理解和预测事件的发生规律。
泊松过程参数估计的主要方法包括最大似然估计和贝叶斯估计等。
本文将介绍泊松过程及其参数估计的相关内容。
一、泊松过程的概念及性质泊松过程是一种描述事件间隔时间为随机变量的过程，其主要特点是独立增量和无记忆性。
即在任意时间段内，发生事件的概率只依赖于时间的长度，而不受之前事件的影响。
泊松过程可以描述诸如电话呼叫数量、交通事故数量、放射性泄漏数量等随机事件出现的规律，因此在很多领域得到广泛应用。
泊松过程的数学表示如下：设N(t)表示时间段[0,t]内发生的事件数量，如果N(t)是一个泊松过程，则其具有以下性质：1. N(0)=0；2. 在不重叠的时间段上，事件发生数量是独立的；3. 事件发生的频率是恒定的；4. 事件发生的时间是连续的。
泊松过程的参数λ表示单位时间内事件发生的平均速率。
泊松过程的密度函数为：P(N(t)=n) = (λt)^n * exp(-λt) / n!exp()表示指数函数，n!表示n的阶乘。
二、泊松过程参数估计的方法泊松过程的参数估计是对观测数据进行分析，从中估计出泊松过程的参数λ。
常用的估计方法包括最大似然估计和贝叶斯估计。
1. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其基本思想是寻找最有可能使观测数据出现的参数值。
对于泊松过程的参数λ，假设已观测到事件数量n次，事件发生的总时间为t，则事件发生的平均速率可以通过以下公式进行估计：λ^* = n / tλ^*表示最大似然估计得到的参数值。
最大似然估计的优点是计算简单直观，但对于小样本数据或数据不够理想的情况，可能会出现估计偏差较大的情况。
2. 贝叶斯估计贝叶斯估计是另一种常用的参数估计方法，其基本思想是将待估计的参数看作一个随机变量，通过考虑先验分布和数据信息，得到后验分布，并从中得到参数的估计值。
基于极大似然估计的数控系统故障分布模型
［ 文 章 编 号 ］１ ０ ０ ３ —４ ６ ８ ４ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ４ — ０ ０ ０ ５ — ０ ４
基 于极 大 似 然 估 计 的数 控 系统 故 障分 布模 型
游 达章 ，李秋 实 ，肖 哲
（ 湖 北 工 业 大 学 机械 工 程 学院 ，湖 北 武 汉 ４ ３ ０ ０ ６ ８ ）
却一 直 受 困 于 庞 杂 的 数 据 和 复 杂 的 超 越 方 程 求
解¨ ５ ］ 。 国内外很 多 学者一 直在 探索 一种 高效 的极 大
似然 解法 ， 文献 ［ － ７ ３ 即通 过给 定形状 参 数或 尺寸参 数
等方 法来 达到 似然 方程 降 阶的 目的 。这些方 法 虽然
一
第３ Ｏ卷 第 ４期
Ｖｏ１ ． ３ Ｏ ＮＯ ． ４
湖 北 工 业 大 学 学
报
２ ０ １ ５年 Ｏ ８月
Ａｕ ｇ ． ２ ０１ ５
Ｊ ｏｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈｕ ｂ ｅ ｉ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
一
区 间内的初 值 ， 判 定 其 迭代 结 果 是 否 收敛 。最 后 由 Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ绘制 出不 同初始 值 迭代 过 程 的三 维 趋 势 图 ，
以此验 证 Ｎｅ ｗｔ ｏ ｎ — Ｒ ａ ｐ ｈ ｓ ｏ ｎ迭代 法 的解题 结 果 。
种 十分 有效 且精 确 度 很 高 的算 法 ， 但 其 求 解 效 率
简单 迭代 法具 有更 快 的二 阶收 敛 速度 ， 尤其 是 在 方
系统 故障 时 间间隔 实验 的数 据 ： ｔ 一［ １ ． ６ ４ ， ２ ８ ． ４ ９ ， ３ ９ ． ９ １ ， ５ １ ． ２ ３ ， ９ ２ ． ４ ２ ， １ １ ４ ． ５ ２ ，
r语言计算泊松分布的极大似然估计
R语言是一种用于统计分析和数据可视化的编程语言，它可以帮助用户对数据进行各种类型的分析。
泊松分布是概率论中常用的分布类型，用于描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布。
在统计学中，极大似然估计是一种常用的参数估计方法，用于根据观测到的数据估计分布的参数值。
在本文中，我们将使用R语言来计算泊松分布的极大似然估计。
我们将按照以下步骤进行：1. 准备数据：我们需要准备一组观测数据，这些数据是我们要基于估计的泊松分布的参数的样本数据。
我们可以使用R语言中的数据结构来存储这些数据，例如向量或数据框。
2. 构建似然函数：泊松分布的似然函数是关于参数的函数，它衡量了参数取值下观测数据出现的概率。
在R语言中，我们可以使用函数编写来构建泊松分布的似然函数，然后使用已有的统计函数来计算概率。
3. 计算极大似然估计：一旦我们构建了泊松分布的似然函数，我们就可以使用R语言中的优化函数，例如optim()函数，来计算出使得似然函数最大化的参数值。
这个值就是泊松分布的极大似然估计。
4. 检验估计结果：我们可以使用统计检验方法来检验极大似然估计的结果是否显著。
R语言提供了丰富的统计检验函数，例如假设检验或置信区间的计算，帮助我们对估计结果进行验证。
通过以上步骤，我们可以借助R语言来进行泊松分布的极大似然估计。
这一方法不仅能够帮助我们更好地理解数据的分布特征，还可以为后续的统计分析提供基础。
希望本文对大家了解R语言和极大似然估计有所帮助。
泊松分布是描述在一定时间或空间内随机事件发生次数的概率分布。
它通常用于描述单位时间内随机事件的发生次数，例如单位时间内通信方式呼叫次数、全球信息湾访问次数、交通事故次数等。
泊松分布具有一个参数λ，表示单位时间内事件的平均发生率。
极大似然估计是一种常用的参数估计方法，用于根据观测到的数据估计分布的参数值。
在统计学中，极大似然估计是一种常用的参数估计方法。
它通过最大化似然函数来估计参数的值，使得观测数据出现的概率最大化。
泊松分布的矩估计量和最大似然估计量
泊松分布的矩估计量和最大似然估计量泊松分布是一种离散概率分布，常用于描述单位时间内某个事件发生的次数。
在实际应用中，我们经常需要对泊松分布的参数进行估计，以便对未来的事件发生次数进行预测或推断。
本文将介绍泊松分布的矩估计量和最大似然估计量。
一、泊松分布的矩估计量矩估计是一种常用的参数估计方法，它基于样本的矩与理论分布的矩之间的对应关系进行估计。
对于泊松分布，它的参数λ表示单位时间内事件的平均发生次数。
我们可以通过样本的矩来估计λ的值。
假设我们有n个独立观测值x₁，x₂，...，xₙ，它们服从泊松分布，我们可以计算样本的一阶矩和二阶矩。
一阶矩（均值）：μ₁ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n二阶矩（方差）：μ₂ = ((x₁² + x₂² + ... + xₙ²) / n) - μ₁²根据泊松分布的特点，它的均值和方差都等于λ。
因此，我们可以将样本的一阶矩和二阶矩分别等于理论分布的均值和方差，得到矩估计量。
矩估计量：λₙ= μ₁或λₙ= μ₂ + μ₁²通过计算样本的一阶矩和二阶矩，我们可以得到泊松分布参数λ的估计值。
这种方法的优点是简单易懂，但它对样本的要求较高，需要样本的均值和方差都存在且稳定。
二、泊松分布的最大似然估计量最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它基于观测样本出现的概率最大的原则进行估计。
对于泊松分布，我们可以根据样本数据来构造似然函数，并通过最大化似然函数来估计参数λ的值。
假设我们有n个独立观测值x₁，x₂，...，xₙ，它们服从泊松分布。
泊松分布的概率质量函数为：P(x;λ) = (e^-λ * λ^x) / x!其中，x为观测值，λ为参数。
我们可以将观测样本的概率质量函数写成：L(λ;x₁,x₂,...,xₙ) = P(x₁;λ) * P(x₂;λ) * ... * P(xₙ;λ)为了方便计算，我们可以将似然函数取对数，得到对数似然函数：l(λ;x₁,x₂,...,xₙ) = ln(L(λ;x₁,x₂,...,xₙ)) = ln(P(x₁;λ))+ ln(P(x₂;λ)) + ... + ln(P(xₙ;λ))为了最大化对数似然函数，我们可以对其求导，并令导数等于0，求得参数λ的估计值。
泊松回归模型
金融数据的计数模型 计数模型中的最大似然估计 泊松回归模型 泊松回归模型假设 Yi 在给定
X i 时是泊松分布，密度函数为
模型描述
e iyi f ( yi | X i ) yi !
，
yi 1,2,均值参数
i exp(X i' ) ，假定观测值之间相互独立，得出本模型的似然函
n
扩展方向
n ˆ Var ( ) exp(X i' ) X i X i' i 1
1
。泊松分布要求方差和均值
相等。事实上，观测到的数据通常是过度离中的，即方差大于均值。
数。
模型公式
log L yi X i' exp(X i' ) log yi !
i 1
n
变量说明
与（3.1）一样，均值参数 i
exp(X i' )
ˆ 应用常见的最大似然理论可得到 的渐近正态分布，均值为 ，使
用 E[
2
log L / ' ] i 1 exp( X i' ) X i X i' ，有：
基于非齐次Poisson过程的脉冲星到达信号的最大似然相位估计
基于非齐次Poisson过程的脉冲星到达信号的最大似然相位
估计
李建勋;柯熙政
【期刊名称】《信号处理》
【年(卷),期】2010(26)8
【摘要】假设探测器速度恒定且仪考虑信号的一阶多普勒效应,给出了X射线脉冲星光子流到达的非齐次泊松(Nonhomogeneous Poisson)模型.研究了信号的相位即脉冲到达时刻(TOA)估计的最大似然函数法(ML),并推导了理论上的克拉美罗性能限(CRB).最后,利用解析形式的脉冲轮廓函数,分别对Crab脉冲星和B1821-24脉冲星的相位估计进行了蒙特卡罗(Monte Carlo)仿真,对估计性能进行了分析和比较.研究和仿真实验表明:该分析方法能够有效分析X射线脉冲星的TOA误差估计,评估不同脉冲星的定时精度.
【总页数】5页(P1252-1256)
【作者】李建勋;柯熙政
【作者单位】西安理工大学自动化与信息工程学院,西安,710048;西安理工大学自动化与信息工程学院,西安,710048
【正文语种】中文
【中图分类】TN911.7
【相关文献】
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3.多径相干信号到达角和衰落系数的最大似然估计 [J], 余志斌;刘春静
4.基于泊松模型的X射线脉冲星信号的最大似然TOA估计 [J], 李建勋;柯熙政
5.多项式相位信号空时多变量交替投影最大似然参数估计 [J], 廖桂生;杨克虎
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5.2参数的最大似然估计
0 X ~ 1 p
10次摸球得到样本值 ( 1, 0, 1, 0, 0, 0,1, 0,0,0 ) 的概率
为 L( p) p (1 p) , 即求 L( p ) 的最大值点.
L'( p ) 3 p 2 (1 p)7 p 37(1 p)6 p 2(1 p)6 3(1 p) 7 p
即一次抽样, 得样本观测值为
...， x10 0 x1 1， x2 0，x3 1，
10 1 p的最大似然估计值为 p ˆ xi 0.3 10 i 1
2.泊松分布 k e , k 0,1,2,3,... 设总体 X ~ P ( ), P X k k! x 即 P X x e , x 0,1,2,3,..., λ 为待估参数.
d ln L( ) 0 2.写出似然方程 d
并判断驻点是否为 3.求解似然方程 得到驻点，
最大值点.
几种常见分布的最大似然估计量 1.0—1分布
1 0 p 为待估参数. , 设总体 X ~ 1 p p 1 P X 1 p p (1 p ) 0 0 1 p P X 0 1 p (1 p)
p x1 (1 p)1 x1 p x2 (1 p )1 x2 ... p xn (1 p)1 xn
p x x ... x (1 p ) n ( x x ... x ) 为似然函数.
1 2 n 1 2 n
L( p )
p x x ... x (1 p ) n ( x x ... x ) 为似然函数.
x!
设样本观测值为 x1 , x2 ,..., xn
L( ) P X 1 x1 , X 2 x2 , ..., X n xn
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数控机床可靠性模型参数的免疫克隆极大似然估计摘要：极大似然法是数控机床可靠性模型参数估计的常用方法之一，通常利用迭代法以求解方程组的形式获得参数估计值，但当模型参数超过两个时，迭代法求解困难。
为实现多参数可靠性模型的参数估计，提出了模型参数的免疫克隆极大似然估计法。
将参数估计问题转化为带有约束的优化问题，以负对数似然函数最小为目标函数进行优化，获得了模型参数和可靠性指标的最优极大似然点估计和区间估计。
以改进的非齐次泊松过程模型为例进行验证，结果表明免疫克隆算法收敛速度快，计算准确度高，为可靠性模型的参数估计提供了一个有效的新方法。
针对迭代法难于求解三参数幂律过程模型参数的极大似然估计问题，提出了基于免疫克隆算法的可靠性模型参数估计法。
推导了计算模型参数和可靠性指标最优极大似然点估计的数学公式，给出了模型参数优化求解的数学模型。
实例验证表明，该算法可获得模型参数的全局最优解，收敛速度快，为可靠性模型的参数估计提供了一个有效的新方法。
关键词：数控机床; 非齐次泊松过程; 可靠性模型; 免疫克隆算法; 极大似然估计数控机床是复杂的可修机电系统，受机床工作环境、操作人员的熟练程度及维修策略等诸多因素的影响，系统故障间隔时间一般非独立同分布[1]。
因此，最小维修情况下，将机床故障过程视为随机点过程，利用非齐次泊松过程(NHPP)理论建立可靠性模型成为分析机床等可修系统可靠性的一种有效方法。
文献[2,3]利用NHPP理论分别分析了水泵的故障强度和发动机的寿命可靠性，验证了模型的有效性。
王智明等[4]基于NHPP的幂律过程建立数控机床最小维修的可靠性评估模型，得出当故障间隔时间呈现出明显的上升或下降趋势时，NHPP模型更适合描述数控机床的故障过程。
崔毅勇等[5]利用NHPP理论分析了航空机载可修产品的使用可靠性，并得出了该机载产品的一般故障统计规律。
为使模型更符合工程实际，杨绍奎等[6]在幂律过程模型的基础上，提出改进的非齐次泊松过程模型，分析了坦克装甲车辆某分系统的故障，准确地得到了系统初始时刻的故障强度。
但该模型参数的求解成为工程应用中的另一难点，传统的利用迭代法以求解方程组的方式获得模型参数的极大似然估计不再适用。
鉴于此，本文提出了可靠性模型参数的免疫克隆极大似然估计法。
将参数估计问题转化为函数优化问题，通过模拟生物免疫系统的克隆选择过程对目标函数进行优化，进而得到模型参数和可靠性指标的最优极大似然点估计和区间估计。
该算法优化目标函数无需连续、可微等苛刻的条件，具有较高的计算效率和准确度。
通过以改进的非齐次泊松过程模型为例，说明了方法的可行性。
1. 改进的非齐次泊松过程模型幂律过程(Power Law Process, PLP)是比较常用的非齐次泊松过程(NHPP)之一，适合描述可修复机械系统的故障过程。
但该模型在形状参数不为1时，初始时刻故障强度或为零或为无穷大，这与实际情况不符，因此，杨绍奎[6]等提出改进的非齐次泊松过程模型，其故障强度函数定义为当0t =时，0(0)λλ=，该值即反映数控机床初始时刻实际的故障强度。
则直至时间t ，系统的期望故障数，即累积故障强度函数为2.模型参数和可靠性指标的免疫克隆极大似然点估计2.1 模型参数的极大似然点估计设单台数控机床在故障观察区间(0,]T 内的故障发生时刻为t 1, t 2, … t n ，当n t T ≠时为时间截尾试验，当t n =T 时为故障截尾试验，那么故障时间i t 的条件概率密度函数1()i i f t t -为：那么单台数控机床故障时间的似然函数为对式(4)两端分别取对数，得到相应的对数似然函数为对于m 台数控机床，其似然函数及对数似然函数分别为式(7)中，T j 为第j 台数控机床的截尾时间(1,2,,j m = )；j n 为第j 台数控机床在故障观察区间(0,T ]内发生的故障数；,j i t 为第j 台数控机床第i 个故障的发生时间。
通常情况下，模型参数的极大似然估计可通过对式(7)各参数求一阶偏导数，并令其为零，得到方程组后采用迭代的方法获得，但该方法需要设定初值并反复进行迭代，若初始值选择不合理，很可能会陷入局部极值。
而且，随着模型参数的增加，该方法计算过程复杂且效率低，有时甚至无法求解。
因此，将式(7)取负数并最小化作为目标函数，将参数估计问题转化为带有约束的优化问题，利用智能优化算法进行求解，不失为一个好的选择。
因此，对式(7)中参数0,λλ分别求一阶偏导数，并令其为零，可得将式(8)、式(9)两边分别乘以0ˆˆ,λλ，再代数相加可得那么模型参数0ˆλ为 将式(11)代入式(7)，则可获得含有两个未知参数的对数似然函数为若式(12)成立，需满足约束条件为因此，在式(13)成立的前提下，将式(12)取负数并最小化并作为目标函数进行优化，即可求出模型参数ˆˆ,λβ，再将其代入式(11)，即可求出模型参数0ˆλ。
2.2基于免疫克隆选择算法的模型参数求解根据2.1节的推导，可以得出模型参数求解问题的数学模型(优化模型)可描述为：问题：负对数似然函数最小，即min (ln )L -约束条件：不难看出，上述优化过程包含多个约束条件，因此在利用智能优化算法求解的过程中算子的设计会相对复杂，需寻求一种简单而高效的算子来实现优化。
人工免疫克隆选择算法作为一种现代启发式的智能优化算法[7]，由于其涉及到的操作算子只有克隆变异算子，实现简单易行，且具有较强的鲁棒性，适用于解决带有约束条件的非线性数值优化问题。
因此，本文采用免疫克隆选择算法对模型参数的极大似然估计进行优化计算。
免疫克隆选择算法基本流程[8]如图1所示。
该算法的主要步骤为：(1) 初始化：种群规模设为N ，克隆规模设为M 。
克隆变异率设为P m 。
(2) 随机产生初始抗体群，并在满足完备性、健全性和非冗余性要求的条件下对抗体进行编码。
(3) 计算适应值：计算抗体和抗原之间的亲和度，即为计算目标函数(-ln L )的适应值。
(4) 克隆扩增、选择和变异：选择和抗原亲和度最高的n 个抗体，并对所选抗体进行克隆扩增、变异及选择操作，将变异后的抗体群中亲和度最低的m 个抗体用该群中随机产生的m 个抗体替换，则形成新一代的抗体群，克隆算子操作流程如图2所示。
(5) 终止条件判定：当终止条件满足时，退出并输出结果，否则返回步骤(3)继续计算。
2.3可靠性指标的极大似然点估计在模型参数求出后，机床可靠性指标的极大似然估计即可求解。
则诸如瞬时故障强度()t λ、平均累积故障数()M t 、瞬时平均故障间隔时间IMTBF t 、累积平均故障间隔时间CMTBF t 、给定时刻的可靠度()R t 等机床可靠性指标的极大似然估计分别为：3. 模型参数及可靠性指标的区间估计由于利用参数极大似然估计的渐近正态分布特性求置信区间可能会产生负的置信下限，因此，本文利用渐近对数正态分布的特性对置信区间进行求解。
则模型参数或可靠性指标的置信区间求解公式为：式中，ˆθ为待估参数或可靠性指标，2μZ 为置信度为()1001%μ-的标准正态分布的分位数，ˆˆθσ为待估参数或可靠性指标的估计标准差，ˆˆθσ()ˆvar θ为待估参数或可靠性指标的方差。
因此，可将求置信区间的问题转化为求模型参数或可靠性指标的方差。
根据Fisher 信息矩阵法[9]，模型参数0ˆˆˆ,,λλβ的方差和协方差可由逆Fisher 矩阵给出，即： 其中，对式(7)中各模型参数求二阶偏导数得根据delta 法[10]，系统累积故障强度的方差为：将上式中()M t 用IMTBF t 等其它可靠性指标代替，即可求出相应可靠性指标的方差。
再结合模型参数的方差及协方差，则可求出可靠性指标的置信区间。
4. 实例应用收集到某机床厂生产的处于耗损期的2台数控机床故障数据37个，该现场试验为故障截尾试验，故障发生的时间如表1所示：对于改进的非齐次泊松过程模型，若采用迭代的方法求模型参数的极大似然估计，需通过对式(7)中各参数求一阶偏导数，并令其为零，得到一个含有三个方程的方程组，通过求解方程组的形式获得模型参数。
但该方程组没有封闭形式，求解比较困难。
因此，尝试采用本文提出的免疫克隆选择算法对模型参数进行计算。
选取参数个体搜索空间为30位编码空间，种群规模为200，克隆规模为20，变异率为0.005，进化代数为500代，经过20次计算后，选取最优结果。
计算结果如表2所示。
表2 免疫克隆算法单独运行20次后的统计结果从表2可以看出，免疫克隆算法的收敛速度较快，大约需要15s 左右即可完成计算，初步说明可以采用本文方法求解模型参数。
但求解的准确度如何，可通过模型的拟合效果进行验证。
定义拟合优度评价指标[11]为：式中，i N 为i 时刻理论平均累积故障数，ˆiM 为估计累积故障数。
R 值最大为1，该值越大，说明模型拟合效果越好。
从表2可以看出，模型拟合优度指标R 值较大，说明模型拟合较好，同时也间接地说明了免疫算法的计算精度较高。
由形状参数ˆ=1.31β可知，机床正处于耗损故障期，故障强度有增大的趋势，故障强度曲线如图3所示。
系统初始时刻故障强度为-50ˆ=3.9310λ⨯，说明机床在数据采集初始时刻有发生故障的可能，但该值相对较小，这可能是因为机床刚刚经历过大修的缘故。
将模型参数计算结果分别代入式(14)~式(18)，即可求出累积故障数、瞬时平均故障间隔时间及累积平均故障间隔时间等可靠性指标的点估计，再根据式(19)~式(21)，即可求出区间估计。
计算结果如表3所示。
可靠性指标曲线如图4所示。
由表3可以看出，在机床运行至7511.75h 时，累积平均无故障工作时间为375h ，但瞬时平均无故障工作时间仅有287h ，建议尽快采取措施安排检修，以防机床在工作中突然停机，给企业生产效率和效益带来负面的影响。
5. 结论在对数控机床可靠性进行评估时，为使模型更加符合工程实际，往往通过增加模型参数的方式将一些影响因素考虑到模型中，但模型优化的同时也增加了模型参数求解的难度，传统的利用迭代法求解模型参数的极大似然估计不再适用。
因此，本文将参数估计问题转化为优化问题，提出基于免疫克隆选择算法的模型参数求解方法，并以改进的非齐次泊松过程模型评价两台同型数控机床的可靠性为例进行验证，计算结果表明免疫克隆算法具有较强的鲁棒性，收敛速度快，计算准确度高。
该算法同样适用于4参数及以上可靠性模型参数的求解，为多参数可靠性评估模型的参数估计提供了一个新的思路。