椭圆中的垂直,轨迹,最值问题
与椭圆有关的最值问题
角度类问题典型例题
例题2
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$frac{sqrt{3}}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线$x^2 = 8sqrt{2}y$的焦点，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与C相交于A、B两点，若直线PA与直线PB的斜率 之积为$- frac{5}{16}$，则直线l的方程为____。
距离类问题典型例题
例题1
已知椭圆$frac{x^2}{4} + frac{y^2}{3} = 1$，点P是椭圆上一点，F₁、F₂是椭圆的 两个焦点，则|PF₁|·|PF₂|的最大值为____。
例题2
过椭圆$frac{x^2}{5} + y^2 = 1$的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、 B两点，O为坐标原点，则弦AB的长为____。
通过解析几个与椭圆有关的最值问题的典型例题，我们掌握了这类问情况
通过本次课程的学习，我深刻理解了椭圆的标准方程和性质，掌握了在约束条件下求解最值问题的方法，对于典型例 题的解析也有了更深入的认识。
学习方法与效率
在学习过程中，我采用了课前预习、课后复习的方法，同时结合了大量的练习来巩固所学知识。这种学习方法使我能 够高效地吸收和掌握知识。
利用平面几何知识，如相似、勾股定 理等，求出最值；
03
与椭圆相关的最值问题类 型
面积类问题
1 2
椭圆内接矩形面积的最大值
给定椭圆，求其内接矩形面积的最大值。
椭圆内接三角形面积的最大值
给定椭圆，求其内接三角形面积的最大值。
3
椭圆与直线围成的图形面积
给定椭圆和直线，求它们围成的图形面积。
距离类问题
需要注意定义域的限 制。
利用一元二次函数的 性质，如顶点、对称 轴等，求出最值；
怎样利用定义求解与椭圆有关的最值问题
椭圆是一种重要的圆锥曲线，与椭圆有关的最值问题在高中数学试卷中比较常见，定义法是解答此类问题的重要方法.椭圆的定义除了第一定义，还有第二定义、第三定义.下面，我们重点谈一谈如何运用椭圆的这三个定义来解答与椭圆有关的最值问题.一、利用椭圆的第一定义求解椭圆的第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．在运用椭圆的第一定义解题时，要先确定两个定点的位置，然后建立关于动点M的关系式：MF1+MF2=2a.这样便可根据该关系式来寻找取得最小值的点M的位置，进而求得最值.例1.已知P()-2,3,F2为椭圆x225+y216=1的右焦点，点M在椭圆上移动.求MP+MF2的最大值和最小值.分析：所求的最值与MF2有关，可利用椭圆的第一定义建立关系式MF1+MF2=2a，将求MP+MF2的最值转化为求MP-MF1的最值，根据三角形三边之间的关系和性质便可求得问题的答案.解：如图1所示，连接PF1，延长PF1交椭圆于点M1，延长F1P交椭圆于点M2.由椭圆的第一定义知MF1+MF2=2a，所以MP+MF2=MP+2a-MF1，由三角形三边之间的关系知-PF1≤MP-MF1≤PF1，当且仅当M与图中M1合时取右边的等号，M与图中M2重合时取左边的等号.因为2a=10,PF1=2，所以MP+MF2的最大值为12,所以MP+MF2的最小值为8.图1一般地，若椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1,F2分别是椭圆的左右焦点，P()x0,y0为平面内的一个定点，M为椭圆上的任意一点，当定点在椭圆的内部时，2a-PF1≤MF2+MP≤2a+PF1；当定点在椭圆的外部时，PF2≤MF2+MP≤2a+PF1.二、利用椭圆的第二定义求解圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是e的点的轨迹.在运用椭圆的第二定义解题时，我们先要明确定点（即焦点F）和定直线（准线x=a2c）的位置，然后建立关于动点P(x0,y0)的关系式MP=e||||||x0-a2c，利用其关系或关系式来解题.例2.已知F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，P是椭圆上动点，点A（1,1）是一个定点，求PA+32PF1的最小值.分析：明确题目中的数量关系后可以发现，所求目标中的32是椭圆离心率的倒数，联系第二定义：椭圆上的点到左焦点和到左准线的距离d之比为离心率e，可得PF1d=23，即d=32PF1，不难得到PA+32PF1=PA+d，所以PA+32PF1的最小值为椭圆上的P点到A点和到左准线的距离和的最小值，只需过点A，D作左准线的垂线即可.解：由题意可知，椭圆5x2+9y2=45的长半轴a=3，短半轴b=5，半焦距c=2，离心率e=23，右焦点F2()2,0,左准线x=-92.如图2所示，过点A，D作左准线的垂线,垂足为D1、D2.设P点到左准线的距离为d.由椭圆的第二定义可知PF1=ed，所以PA+32PF1=PA+32ed=PA+d，则PA+d的最小值就是点A到左准线x=-92的距离AD1=1+92=112,当且仅当点P在P1处PA+d取最小值，故PA+d的最小值为112.图2探索与研究颜琴55当与椭圆有关的最值问题涉及定点、定直线时，就要利用椭圆的第二定义，把与动点有关的最值问题转化为与定点、定直线之间的距离来求解.三、利用椭圆的第三定义求解椭圆的第三定义是指平面内动点到两定点A (a ,0)和B (-a ,0)的斜率的乘积等于常数e 2-1的点的轨迹.这也就是说，A ,B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0上的两个顶点，P 是椭圆上异于A ,B 的一个动点，若k PA ,k PB 的斜率都存在，则k PA ∙k PB =e 2-1=-b 2a2.运用椭圆的第三定义，可以快速找到过椭圆上两个顶点的直线的斜率之间的关系.例3.已知椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1()a >b >0的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，若A ，B 是椭圆长轴的两个端点，M ,N 是关于x 轴对称的两点，直线AM ,BN 的斜率分别是k 1,k 2（k 1∙k 2≠0），则||k 1+||k 2的最小值为_______.分析：由长轴长、短轴长和焦距成之间的关系得到椭圆的离心率，由A ，B ，M ，N 的位置可联想到椭圆的第三定义，求得k 1∙k 2的值，再利用基本不等式就可以使问题得解.解：由椭圆的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，得2a +2c =4b ，又b 2=a 2-c 2，可得e =c a =35，由椭圆的第三定义可得k 1∙k 2=e 2-1=-1625，而M ,N 是关于x 轴对称的两点，则k 1=-k 2，可得k 1∙k 2=1625，所以||k 1+||k 2≥2k 1k 2=85，当且仅当k 1=k 2时取等号.由以上几个题目可以看出，与椭圆有关的最值问题一般都会涉及椭圆上的定点、定直线.如果问题中的定点为焦点，就要考虑利用椭圆的第一定义来解题；如果问题中涉及的定点、定直线分别为焦点、准线，就要考虑用椭圆的第二定义来解题；如果问题中涉及了椭圆的顶点以及过顶点的直线的斜率，就要考虑采用椭圆的第三定义解题.（作者单位：江西省余干第一中学）探索与研究在学习中，我们经常会遇到抽象函数问题，此类问题一般侧重于考查同学们的直观想象能力和抽象思维能力.抽象函数一般没有具体的函数解析式，与x a 、sin x ()cos x 、ln x 、e x 的乘积构成的函数解析式也不明确，我们很难快速解出.而运用构造法，借助构造的新函数的性质、图象，则能快速破解此类问题.例1.已知定义在R 上的函数f ()x 为奇函数，当x ≤0时，恒有xf ′(x )≥3f ()-x ，则不等式8xf ()2x >()1-3x 3x 2f ()1-3x 的解集为_____.解：∵f ()x 是定义在R 上的奇函数，∴f ()-x =-f ()x ，当x ≤0时，由xf ′()x ≥3f ()-x 可得x 3f ′()x +f ()x ≥0，令g ()x =x 3f ()x ，∴当x ≤0时，g '()x =2x 2f ()x +x 3f ′()x =3x 2éëùûf ()x +x 3f '()x ≥0，∴g ()x 在(]-∞,0上单调递增，∵g ()-x =-x 3f ()-x =x 3f ()x =g ()x ，g ()x 是偶函数，∴g ()x 在[)0,+∞上单调递减，不等式8xf ()2x >()1-3x 3x2f ()1-3x 等价于8x 3f ()2x >()1-3x 3f ()1-3x ，即g ()2x >g ()1-3x ，等价于||2x <||1-3x ，解得x ＜15或x ＞1，∴不等式的解集为æèöø-∞,15⋃()1,+∞.56。
第15讲 椭圆中6大最值问题题型总结(解析版)
第15讲 椭圆中6大最值问题题型总结【题型目录】题型一：利用均值不等式求最值题型二：利用焦半径范围求最值题型三：椭圆上一点到定点距离最值问题题型四：椭圆上一点到直线距离最值问题题型五：椭圆有关向量积最值问题题型六：声东击西，利用椭圆定义求最值【典型例题】题型一：利用均值不等式求最值【例1】已知，是椭圆的两个焦点，点M 在C 上，则1F 2F 22:12516x y C +=12MF MF ⋅的最大值为（ ）．A ．13B ．12C ．25D ．16【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆定义可得，利用基本不等式可得结果.1210MF MF +=【详解】由椭圆方程知：；根据椭圆定义知：，5a =12210MF MF a +==（当且仅当时取等号），21212252MF MF MF MF ⎛+⎫∴⋅≤= ⎪⎝⎭12MF MF =的最大值为.12MF MF ∴⋅25故选：C.【例2】（2022·安徽·高二阶段练习）已知椭圆C ：221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭圆C 上的动点，1m PF =，2n PF =，则14m n +的最小值为（ ）A ．98B ．54C D 【答案】A 【解析】【分析】由椭圆的定义可得8m n +=；利用基本不等式，若0a b >， ，则a b +≥，当且仅当a b =时取等号.【详解】根据椭圆的定义可知，1228a PF PF +==，即8m n +=，因为40m ≥>，40n ≥>，所以()141141419558888n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当83m =，163n =时等号成立.故选：A【题型专练】1.（2022·河南·辉县市第一高级中学高二期末（文））设P 是椭圆22194x y +=上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则12cos F PF ∠的最小值是（ ）A ．19-B ．1-C ．19D ．12【答案】A 【解析】【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式可求得12cos F PF ∠的最小值.【详解】在椭圆22194x y +=中，3a =，2b =，c ==，由椭圆定义可得1226PF PF a +==，122F F c ==，由余弦定理可得()2222212121212121212122cos 22PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +--⋅+-∠==⋅⋅22121262016161111218922PF PF PF PF -=-≥-=-=-⋅⎛+⎫⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当123PF PF ==时，等号成立，因此，12cos F PF ∠的最小值为19-.故选：A.2．（2022·全国·高二课时练习）已知 P ( m ， n ) 是椭圆上的一个动点，则22+=112x y 22m n+的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(]0,1[]1,2(]0,2[)2,+∞3.（2022·全国·高三专题练习）已知点P 在椭圆上，22221(0)y x a b a b +=>>12F F 、为椭圆的两个焦点，求的取值范围．12||||F P P F ⋅【答案】.22,b a ⎡⎤⎣⎦题型二：利用焦半径范围求最值【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C ：（）的右焦点，点22221x y a b +=0a b >>(),0F c (),P x y 是椭圆C 上的一个动点．求证：．a c PF a c-≤≤+【例2】（2021·山西吕梁·一模（理））已知为椭圆的左焦点，P 为椭圆上一点，则F 22143x y +=PF 的取值范围为_________．【答案】[1,3]【分析】设出点P 的坐标，由两点间的距离公式求出||PF ，进而根据点在椭圆上将式子化简，最后求出范围.【例3】（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二开学考试（文））已知椭圆，点，22142x y +=()0,1A P为椭圆上一动点，则的最大值为____.PA【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），P 24x 2y P 为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄12F F 、O M 12F PF ∠1F M MP，则丨丨的取值范围为（ ）OMA ．（0B ．（0，2）C ．（l ，2）D 2）【题型专练】1.平面内有一长度为4的线段，动点P 满足，则的取值范围是（ ）AB ||||6PA PB +=||PA A ．B ．C ．D ．[1,5][1,6][2,5][2,6]【答案】A【解析】由题可得动点在以为焦点，长轴长为6的椭圆上，P ,A B ，3,2a c ∴==则可得的最小值为，最大值为，||PA 1a c -=5a c +=的取值范围是.∴||PA [1,5]故选：A.2.已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足，且，则P 2214940x y +=A (30)，M ||1AM = 0PM AM ⋅= 的最小值是 ．||PM【答案】15【解析】由题意知 ，所以，解得，所以40,4922==b a 92=c 3=c ()0,3A 为椭圆的右焦点，由题意知点是以为圆心，为半径上的圆上一动点，且所以M A 1AM PM ⊥1222-=-=PA AMPA PM ，因的最小值为，所以PA437=-=-c a 15142min=-=PM3.已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，p 22:198x y C +=C 1F 2F 分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则M 12F PF ∠10MF MP ⋅=OM的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．()0,2(0,(0,3-()0,1【答案】D 【解析】【分析】作出辅助线，得到，求出的取值范围，从而求出的取值范围.212OM F N =2F N OM 【详解】如图，直线与直线相交于点N ，1F M 2PF 由于PM 是的平分线，且，即PM ⊥，12F PF ∠10MF MP ⋅=1F N 所以三角形是等腰三角形，1F PN 所以，点M 为中点，1PF PN =1F N 因为O 为的中点，12F F 所以OM 是三角形的中位线，12F F N所以，212OM F N =其中，212112226F N PF PF PF a PF =-=-=-因为P 与的四个顶点不重合，设，则，C (),P m n ()0,3m ∈22198m n +=，193m ==+所以，又，()12,4PF ∈20F N >所以，()20,2F N ∈()210,12OM F N =∈∴的取值范围是.||OM ()0,1故选：D.题型三：椭圆上一点到定点距离最值问题【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的长轴长为，短轴长为，则椭圆上任意一点108P 到椭圆中心的距离的取值范围是（ ）O A ．B ．C ．D ．[]4,5[]6,8[]6,10[]8,10【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：P 221129x y +=P C 的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（ ）()2211x y +-=M PMA ．B ．C ．D ．4⎤⎦4⎤⎦【例3】（2022·重庆市实验中学高二阶段练习）已知点P 在椭圆22193x y +=上运动，点Q 在圆225(1)8x y -+=上运动，则PQ 的最小值为___________.【解析】【分析】将求PQ最小值的问题，转化为求点P 到圆心()1,0M 距离最小值的问题，结合点P满足椭圆方程，转化为二次函数求最值即可.【详解】不妨设点P 为()00,x y ，[]03,3x ∈-，则2200193x y +=，则220033x y =-设圆225(1)8x y -+=的圆心为M ，则M 坐标为()1,0则PQ的最小值，即为MP的最小值与圆225(1)8x y -+=.又MP ===当[]03,3x ∈-时，MP ≥，当且仅当032x =时取得等号；故PQ ≥=.故答案为.【题型专练】1.（2021·陕西·长安一中高二期中（文））设B 是椭圆的上顶点，点P 在C 上，则22:14x C y +=PB 的最大值为________.2.已知椭圆的焦点，过点引两条互相垂直的两直线、，若222:1(1)x T y a a+=>(20)F -，(01)M ，1l 2l P 为椭圆上任一点，记点到、的距离分别为、，则的最大值为（ ）P 1l 2l 1d 2d 2212d d +A ．2B ．C ．D ．134134254【答案】D【解析】由题意知 ，所以，解得，所以椭圆的方程为，设4,122==c b 52=a 5=a 1522=+y x ，因为，且，所以又因，所以()00,y x P 21l l ⊥()1,0M (),1202022221-+==+y x PM d d 152020=+y x ，202055y x -=所以因为，所以当时，6241255020020202221+--=+-+-=+y y y y y d d 110≤≤-y 410-=y 的最大值为2221d d +4253.（多选题）已知点是椭圆：上的动点，是圆：P C 2213x y +=Q D ()22114x y ++=上的动点，则（ ）A ．椭圆的短轴长为1B ．椭圆C C C ．圆在椭圆的内部D ．的最小D C PQ 【答案】BC 【解析】【分析】AB.利用椭圆的方程求解判断；C.由椭圆方程和圆的方程联立，利用判别式法判断；D.利用圆心到点的距离判断.【详解】解：因为椭圆方程为：，2213x y +=所以，故A 错误，B 正确；222223,1,2,c a b c a b e a ===-===由，得，()222213114x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩2824210x x ++=因为，2244821960∆=-⨯⨯=-<所以椭圆与圆无公共点，又圆心在椭圆内部，()1,0-所以圆在椭圆内部，故C 正确；设，()(,P x y x ≤≤，==当时，取得最小则的最小，故D 错误，32x =-PD PQ 12故选：BC4．（全国·高二课前预习）点、分别在圆和椭圆上，则、P Q (222x y+=2214x y +=P Q两点间的最大距离是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的的焦点为2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,,F F P是C 上的动点，直线的一个焦点，的周长为y x =12PF F △4+（1）求椭圆的标准方程；（2）求的最小值和最大值．12PF PF +题型四：椭圆上一点到直线距离最值问题两种思路：法一：设椭圆参数方程，即设椭圆上一点为()θθsin ,cos b a P ，用点到直线的距离公式法二：利用直线与椭圆相切，联立方程，利用判别式0=∆，求出切线，再求两直线间距离【例1】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）椭圆22143x y +=上的点P 到直线l ：30x y ++=的距离的最小值为（ ）ABCD【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的形式，运用三角代换法，结合点到直线距离公式、辅助角公式进行求解即可.【详解】由222cos 143x x y y θθ=⎧⎪+=⇒⎨⎪⎩，设(2cos )P θθ，设点P 到直线l ：30x y ++=的距离d ，所以有d ，其中tan (0,))2πϕϕ=∈，所以当2()2k k Z πθϕπ+=-∈时，d 有最小=，故选：C【例2】（2022·全国·高二专题练习）椭圆上的点到直线22143x y +=290l x =：－的距离的最大值为______.【例3】（2021·浙江·慈溪市浒山中学高二阶段练习）设点在椭圆上，点()11,P x y 22182x y +=在直线上，则的最小值为___________.()22,Q x y 280x y +-=212136x x y y -+-【题型专练】1．（2022·甘肃·兰州一中高二期中（文））已知实数x ，y 满足方程，则22220x y +-=x y +的最大值为________．2．（2022·全国·高二专题练习）椭圆：上的点到直线C 22194x y +=P 43180l x y ++=：的距离的最小值为_____.3.（2022·四川遂宁·高二期末（理））如图，设P 是圆229x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的射影，M 为PD 上的一点，且．23MD PD =(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 方程；(2)求点M 到直线距离的最大值.:290l x y +-=4．（2020·海南·高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为 ，12（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.联立直线方程与椭圆方程，2x y m -=2211612x y +=可得：，()2232448m y y ++=化简可得：，2216123480y my m ++-=题型五：椭圆有关向量积最值问题【例1】（2022·黑龙江·佳木斯一中高二期中）已知P 为椭圆2212524x y +=上任意一点，EF 为圆22:(1)4N x y -+=任意一条直径，则PE PF ⋅的取值范围为（ ）A ．[8，12]B ．[12,20]C ．[12,32]D ．[32,40]【答案】C 【解析】【分析】由题意可得圆心(1,0)N 恰好是椭圆的右焦点，将PE PF ⋅ 化简得24NP-+ ，由椭圆的性质可知[,]NP a c a c ∈-+，从而可求出PE PF ⋅ 的取值范围【详解】由2212524x y +=，得2225,24a b ==，则5,1a b c ===，圆22:(1)4N x y -+=的圆心(1,0)N 恰好是椭圆的右焦点，圆的半径为2，因为()()PE PF NE NP NF NP⋅=-⋅- ()2NE NF NP NE NF NP=⋅-⋅++ 2cos 0NE NF NPπ=⋅-+ 24NP=-+ ，因为P 为椭圆2212524x y +=上任意一点，N 为椭圆的右焦点，所以[,]NP a c a c ∈-+ ，即[4,6]NP ∈ ，所以2[16,36]NP ∈ ，所以24[12,32]NP -+∈ ，所以PE PF ⋅的取值范围为[12,32]，故选：C【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆12,F F 22:142x y E +=的两个焦点，P 是椭圆E 上任一点，则的取值范围是____________12⋅ F P F P【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知点满(),P x y =，点A ，B 关于点对称且，则的最大值为（ ）()0,2D -2AB =PA PB ⋅A ．10B ．9C ．8D ．2【题型专练】1.（2022·山东·高三开学考试）在椭圆上有两个动点，为定点，，则2214x y +=,P Q ()1,0E EP EQ ⊥的最小值为（ ）EP QP →→⋅131223故选：C ．2.（2022·全国·高三专题练习多选题）已知椭圆的左､右焦点为､，点22:132x y C +=1F 2F M为椭圆上的点不在轴上），则下列选项中正确的是（ ）(M xA ．椭圆的长轴长为CB ．椭圆的离心率C 13e =C ．△的周长为12MF F 2+D ．的取值范围为12MF MF ⋅[1,2)3．（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，12,F F 22163x y +=,A B分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点在线段上，则的最小值为__________.P AB 12PF PF ⋅4.（2015·山西大同市·高二期末（理））设、分别是椭圆的左、右焦点，若Q 是该椭圆上的一个动点，则的最大值和最小值分别为A ．与B ．与C ．与D ．与12-22-11-21-【答案】A【详解】试题分析：设，由题得，所以(,)Q x y 12(F F ，12(,),,)QF x y QF x y =-=--，因为在椭圆上，所以所以2212·3QF QF x y =-+(22)x -≤≤(,)Q x y ，所以当有最小值；或222123·31244x x QF QF x =-+-=- (22)x -≤≤0x =2-2x =2-时，有最大值1题型六：声东击西，利用椭圆定义求最值此种类型题目，一般要利用椭圆定义，转化为三点共线问题，利用三角形两边之和大于第三边，或者两边之差小于第三边解决【例1】（2022·辽宁·高二期中）动点M 分别与两定点(5,0)A -，(5,0)B 连线的斜率的乘积为1625-，设点M 的轨迹为曲线C ，已知N ，(3,0)F -，则||||MF MN +的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．12【答案】B 【解析】【分析】求出轨迹方程2212516x y +=，根据椭圆的定义，可得210MF MF +=，当2MF 经过点N 时，MF MN+最短.【详解】设动点M 的坐标为()M x y ， ，则165525y y x x ⋅=-+- 整理后得：2212516x y += ，动点M的轨迹为椭圆，左焦点为()30F -，，右焦点为()230F ， ，210MF MF += ，如下图所示，当2MF 经过点N 时，MF MN+最短，此时210108MF MN MF MN +=-+==故选：B【例2】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则F 22:11615x y C +=P C Q (4,4)的最大值为（ ）||||PQ PF +A B ．13C ．3D ．5【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解.【详解】如图所示：，||||||2||2||813PQ PF PQ a PF a QF ''+=+-≤+==故选：B【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：2212516x y +=内有一点()2,3M ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆C 上的一点，求：(1)1PM PF -的最大值与最小值；(2)1PM PF +的最大值与最小值．【答案】(1)最大，最小值为(2)最大值为10，最小值为10【解析】【分析】(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得11||||||||PM PF MF -…然后得到1||||PM PF -的最大值与最小值；(2)利用椭圆的定义表示出1||||PM PF +，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案．(1)由椭圆22:12516x y C +=可知5a =，4b =，3c =，则1(3,0)F -，2(3,0)F ，则11||||||||PM PF MF -…，当且仅当P 、M 、1F 三点共线时成立，所以1||||PM PF -…，所以1||||PM PF -和；(2)210a =，2(3,0)F ，2||MF =，设P 是椭圆上任一点，由12||||210PF PF a +==，22||||||PM PF MF -…，12212210PM PF PF MF PF a MF ∴+-+=-=…，等号仅当22||||||PM PF MF =-时成立，此时P 、M 、2F 共线，由22||||||PM PF MF +…，12212210PM PF PF MF PF a MF ∴+++=+=+…，等号仅当22||||||PM PF MF =+时成立，此时P 、M 、2F 共线，故1||||PM PF +的最大值10与最小值为10．【题型专练】1.（2022·全国·高二专题练习）已知点(4,0)A 和(2,2)B ，M 是椭圆221259x y +=上的动点，则||||MA MB +最大值是（ ）A ．10+B ．10-C ．8+D ．8【答案】A 【解析】【分析】设左焦点为(4,0)F -，A 为椭圆右焦点，利用椭圆定义转化||||10||||MA MB MB MF +=+-，然后利用平面几何的性质得最大值．【详解】解：椭圆221259x y +=，所以A 为椭圆右焦点，设左焦点为(4,0)F -，则由椭圆定义||||210MA MF a +==，于是||||10||||MA MB MB MF +=+-.当M 不在直线BF 与椭圆交点上时，M ､F ､B 三点构成三角形，于是||||||MB MF BF -<，而当M 在直线BF 与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有||||||MB MF BF -=-，在第三象限交点时有||||||MB MF BF -=.显然当M 在直线BF 与椭圆第三象限交点时||||MA MB +有最大值，其最大值为||||10||||10||1010MA MB MB MF BF +=+-=+==+.故选：A.2.（2022·全国·高二专题练习）已知F 为椭圆221259x y +=的左焦点，(2,2)B 是其内一点，M为椭圆上的动点，则MF MB+的最大值为__，最小值为__.【答案】 10+10-【解析】【分析】设A 为椭圆右焦点，设左焦点为(4,0)F -，B 在椭圆内，由椭圆定义210MA MF a +==，结合当M 在直线AB 与椭圆交点上时和当M 在直线BA与椭圆交点，分别求得其最大值与最小值，即可求解.【详解】设A 为椭圆右焦点，设左焦点为(4,0)F -，B 在椭圆内，则由椭圆定义210MA MF a +==，当M 在直线AB 与椭圆交点上时，M 在x 轴的上方时，10MF MB AB+=-，取得最小值，最小值为：1010-=-；当M 在直线BA 与椭圆交点，在x 轴的下方时，MF MB+有最大值，其最大值为1010MF MB MF MA AB AB +≤++=+=+.故答案为：10+10-3.（2022·四川·成都七中高二期末（文））已知点()4,0A ，()2,2B 是椭圆221259x y +=内的两个点，M 是椭圆上的动点，则MA MB+的最大值为______．【答案】10+##10+【解析】【分析】结合椭圆的定义求得正确答案.【详解】依题意，椭圆方程为221259x y +=，所以5,3,4a b c ===，所以()4,0A 是椭圆的右焦点，设左焦点为()4,0C -，根据椭圆的定义可知210MA MB a MC MB MB MC+=-+=+-，=，所以MA MB+的最大值为10+故答案为：10+4．（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点22:12521x y C +=1F 2F ()2,3P Q在椭圆上，则可以是（ ）2QF QP+A ．B ．C ．D ．5101520【答案】ABC 【解析】【分析】作出图形，设直线交椭圆于点、，利用椭圆定义可得1PF C M N 2110QF QP QP QF +=+-，利用点分别与点、重合时取得最小值和最大值可求得Q M N 2QF QP+的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】在椭圆中，，，，则、，如下图所示：C 5a =b =2c =()12,0F -()22,0F设直线交椭圆于点、，1PF C M N 5=由椭圆定义可得，则，故，1210QF QF +=2110QF QF =-2110QF QP QP QF +=+-当点与点重合时，此时取得最小值，即，Q M 2QF QP +()21min 105QF QP PF +=-=当点与点重合时，此时取得最大值，即.Q N 2QF QP+()21max 1015QF QP PF +=+=因此，的取值范围是.2QF QP+[]5,15故选：ABC.。
椭圆中的常见最值问题
椭圆中的常见最值问题1、椭圆上的点P到二焦点的距离之积取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。
例1、椭圆上一点到它的二焦点的距离之积为，则取得的最大值时，P点的坐标是。
P（0，3）或（0，-3）例2、已知椭圆方程（）p为椭圆上一点，是椭圆的二焦点，求的取值范围。
分析：，当时，=，当时，即2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线xx或反向xx与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。
例3、已知，、是椭圆的左右焦点，P为椭圆上一动点，则的最大值是，此时P点坐标为。
的最小值是，此时P点坐标为。
3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的xx或反向xx与椭圆的交点。
例4、已知，是椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点，则的最小值是，此时P点坐标为。
的最大值是，此时P点坐标为。
分析：，当P是的xx与椭圆的交点时取等号。
，当P是的反向xx与椭圆的交点时取等号。
4、椭圆上的点P到定点A的距离与它到椭圆的一个焦点F的距离的倍的和的最小值（为椭圆的离心率），可通过转化为（为P到相应准线的距离）最小值，取得最小值的点是A到准线的垂线与椭圆的交点。
例5、已知定点，点F为椭圆的右焦点，点M在该椭圆上移动，求的最小值，并求此时M点的坐标。
例6、已知点椭圆及点，为椭圆上一个动点，则的最小值是。
5、以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是短轴的端点与该焦点构成的三角形。
例7、过椭圆（）的中心的直线交椭圆于两点，右焦点，则的最大面积是。
例8、已知F是椭圆的一个焦点，PQ是过原点的一条弦，求面积的最大值。
6、椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形。
例9、P为椭圆（）一点，左、右焦点为，则的最大面积是。
7、椭圆上的点与椭圆长轴的端点为顶点的面积最大的三角形是短轴的一个端点和长轴两个端点为顶点的三角形。
第13讲 椭圆中的垂直问题、垂直弦问题-新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义
新高考数学大一轮复习第13讲 椭圆中的垂直问题一、问题综述 1.椭圆中的垂直问题主要有以下几类：（1）,P Q 是椭圆上的两个动点，且满足OP OQ ⊥，即椭圆的正交中心角问题，此时有()f x ,中心O 到直线PQ 的距离d 为定值, 且22222a b d a b =+；（2）椭圆的正交焦点弦问题，即经过椭圆的焦点有两条直线互相垂直，分别交椭圆于,A B 和,C D ，则222112a b AB CD ab ++=； （3）经过非焦点的两条弦互相垂直问题. 2.椭圆中的垂直问题的主要策略：（1）利用斜率之积等于1-,但要注意斜率是否存在； （2）利用向量数量积等于0.3.几类与垂直相关或可利用与垂直类似的方法的问题： （1）形如“以AB 为直径的圆过原点” ，则0OA OB ⋅=；（2）形如“椭圆上存在两点,A B 关于直线l 对称”，则直线AB 与直线l 垂直；（3）形如“直线l 与椭圆交于,A B 两点，AOB ∠为锐角”，则0OA OB ⋅>.4.在处理椭圆垂直弦问题时，强化对称意识，可减少运算.二、典例分析类型1：椭圆中的正交中心角问题 例1. 在中心为O 的椭圆22221x y a b+=上任取两点,P Q ，使OP OQ ⊥，求证：（1）()f x ;（2）中心O 到直线PQ 的距离d 是否为定值？ 证明：设直线OP 的斜率为k①当k 存在时，且0k ≠.设()()1122,,,P x y Q x y ，则,OP OQ 的方程分别为：y kx =，1y x k=-，由方程组O 得1l ，()22222222211112221a b OP x y x k x k b a k=+=+=++ 同理2222222211OQ x y x k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭＝()2222221a b k a b k++，所以a b -.②当k 不存在时，,OP b OQ a ==，满足. ③当0k =时，,OP a OQ b ==，满足. 所以22221111a b OPOQ+=+成立. （2）因为22222222222211111OP OQ PQd a bOPOQOP OQPQ d ++====+⋅⋅, 显然d 是一个定值.例2. (2019年山东理T22)设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过(),M N两点，O 为坐标原点.（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围，若不存在说明理由. 解析:（1）因为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过(),M N两点,所以2222421611a ba b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得22118114a b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y +=.（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ,且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y kx m =+,解方程组22184x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,则222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m ∆=-+-=-+>,即22840k m -+> 2121222428,1212km m x x x x k k-+=-=++ 22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++ 要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=, 所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以283m ≥,即m ≥或m ≤,因为直线y kx m=+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r=,222228381318m mrmk===-++, r=所求的圆为2283x y+=,此时圆的切线y kx m=+都满足m或m≤而当切线的斜率不存在时切线为x=与椭圆22184x y+=的两个交点为或(满足OA OB⊥.综上,存在圆心在原点的圆2283x y+=,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点,A B,且OA OB⊥.因为2121222428,1212km mx x x xk k-+=-=++,所以22222212121222224288(84)()()4()41212(12)km m k mx x x x x xk k k--+-=+-=--⨯=+++,AB====①当0k≠时AB=因为221448kk++≥所以22111844kk<≤++,所以2232321[1]1213344kk<+≤++,AB<≤当且仅当k=时取”=”.②当0k=时,||AB=③当AB的斜率不存在时,两个交点为或(,所以此时AB=综上,AB||AB≤≤: ||AB∈.类型2：椭圆中的正交焦点弦问题例3.过椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的一个焦点F作两条互相垂直的弦分别交椭圆于,A B和,C D，求证：222112a bAB CD ab++=.证明：设()()()1122,,,,,0A x y B x y F c ，AB 方程为x my c =+，则CD 方程为1x y c m=-+ 由方程组22221x my c x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22222222220b m a y mcb y b c b a +++-=，所以2412122222222,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++ 所以()22222212222222212111ab m ab m AB m y y m b m a b m a ++=+-=+=++ 所以()22222121b m a AB ab m +=+，同理，()22222222*********b a b a m m CD ab m ab m ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==⎛⎫+⎛⎫+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()()22222222222221122121b m a b a m a b AB CD ab ab m ab m ++++=+=++. 例4. (2007年全国Ⅰ理T21)已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ,2F .过1F 的直线交椭圆于,B D 两点，过2F 的直线交椭圆于,A C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P .（1）设P 点的坐标为()00,x y ，证明：2200132x y +<；（2）求四边形ABCD 的面积的最小值.解析：（1）椭圆的半焦距321c =-=，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故2201x y +=， 所以，222200021132222y x y x +≤+=<．（2）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+2222122212243(1)1(1)()432k BD k x x k x x x x k +⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2222143143(1)12332k k AC k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+⨯+．四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+==≥=++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦．当21k =时，上式取等号．（ⅰ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625.类型3：椭圆中的垂直弦问题例5.(2014年浙江理T21)如图，设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>动直线()f x 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P在第一象限.（1）已知直线l 的斜率为k ，用,,a b k 表示点P 的坐标；（2）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -.解析：（1）设直线l 的方程为()0y kx m k =+<，由22221y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，()22222222220b a k x a kmx a m a b +++-=， 由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，故0∆=， 即22220b m a k -+=，解得点P 的坐标为22222222,a km b m b a k b a k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 由点P 在第一象限，故点P 的坐标为22222222,a k b b a k b a k ⎛⎫-⎪++⎝⎭. （2）由于直线1l 过原点O ，且与l 垂直，故直线1l 的方程为0x ky +=，所以点P 到直线1l 的距离2222222221a k b b a kb a k d k-+++=+，整理得22222222a b d b b a a k k-=+++，因为22222b a k ab k +≥，所以2222222222222a b a b a b b b a abb a a k k--≤=-+++++，当且仅当2bk a=时等号成立，所以点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -.例6.(2013年浙江理T21)如图，点(0,1)P -是椭圆1C ：22221x y a b +=()0a b >>的一个顶点，1C 的长轴是圆2C ：224x y +=的直径，1l ，2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于,A B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D .（1）求椭圆1C 的方程；（2）求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.解析：（1）由题意得，1b =，2a =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)D x y ,由题意知直线1l 的斜率存在，不妨设其为k ，则直线1l 的方程为1y kx =-.又圆2C ：224x y +=，故点O 到直线1l的距离d ，所以||AB ==，又12l l ⊥，故直线2l 的方程为0x ky k ++=，由22044x ky k x y ++=⎧⎨+=⎩，消去y ，整理得22(4)80k x kx ++=， 故0284k x k =-+，所以||PD =设ABD ∆面积为S，则1||||2S AB PD =⋅=，所以3213S =≤=当且仅当k = 所以所求直线1l的方程为1y x =-. 类型4：椭圆中的对称问题例7.(2015年浙江理T19)已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称.（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）.Ol 2l 1yxDP BA解析：（1）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+， 由22121x y y x bm ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222112()102b x x b m m +-+-=，∵直线1y x b m=-+与椭圆2212x y +=由两个不同的交点，∴224220b m∆=-++>，①，将AB 中点2222(,)22mb m b M m m ++代入直线方程12y mx =+，解得2222m b m +=-，②，由①②得m <m >. （2）令16((0,)2t m =∈，则||2AB t =+，且O 到直线AB 的距离为21t d +=AOB ∆的面积为()S t ，∴1()||2S t AB d =⋅=，当且仅当212t=时，等号成立， 故AOB ∆. 类型5：可转化为垂直的问题例8.(2007年山东理)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 解析：（1）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：31a c a c +=-=，，22221,3a c b a c ==∴=-=， ∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）设1122(,),(,)A x y B x y ． 联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，则2222226416(34)(3)0,340m k k m k m ∆=-+->+->即212122284(3),3434mk m x x x x k k -+=-=++ 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++=+++=+． 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0)D ，1AD BD k k ∴=-，即1212122y y x x =---．1212122()40y y x x x x ∴+-++=．2222223(4)4(3)1540343434m k m mk k k k --∴+++=+++．2271640m mk k ∴++=．解得：12227km k m =-=-，，且均满足22340k m +->．当12m k =-时，l 的方程(2)y k x =-，直线过点(2,0)，与已知矛盾；当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭．所以，直线l 过定点，定点坐标为2,07⎛⎫⎪⎝⎭．类型6：锐角（或钝角）问题例9.(2007年四川理) 设1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点.（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.解析:（2）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩ⅰ1221214x x k =+，1221614kx x k +=-+ 由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅> 得234k >．ⅰ 又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>， ⅰ12120OA OB x x y y ⋅=+>又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ⅰ1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414kk k k k =+⋅+⋅-+++22212(1)21641414k k k k k +⋅=-+++224(4)014k k-=>+ ∴2144k -<<．②综ⅰ②可知2344k <<，∴k的取值范围是3(2,(,2)2-.三、巩固练习1．（08广州一模）已知曲线Γ上任意一点P 到两个定点()1F 和)2F 的距离之和为4．（1）求曲线Γ的方程；（2）设过()0,2-的直线l 与曲线Γ交于C 、D 两点，且0OC OD ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程. 解析：（1）根据椭圆的定义，可知动点M 的轨迹为椭圆，其中2a =，c =，则1b ==． 所以动点M 的轨迹方程为2214x y +=．（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，设11(,)C x y ，22(,)D x y ， ⅰ0OC OD ⋅=，ⅰ12120x x y y +=．∵112y kx =-，222y kx =-，∴21212122()4y y k x x k x x =⋅-++． ⅰ 21212(1)2()40k x x k x x +-++=．………… ①由方程组221,4 2.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()221416120k x kx +-+=．则1221614k x x k +=+，1221214x x k⋅=+， 代入①，得()222121612401414kk k k k +⋅-⋅+=++． 即24k =，解得 2k =或2k =-．所以，直线l 的方程是22y x =-或22y x =--．2．(08辽宁)在平面直角坐标系xOy 中,点P到两点((0,,的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C . （1）写出C 的方程；（2）设直线y =kx +1与C 交于,A B 两点.k 为何值时OA OB ⊥？此时AB 的值是多少？解析：（1）设(),P x y ，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以((0,3,3-为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴222(3)1b -=， 故曲线C 的方程为2214y x +=．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足22141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=，故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． 由OA OB ⊥得，即12120x x y y +=．而2121212()1y y k x x k x x =+++， 于是222121222223324114444k k k x x y y k k k k -++=---+=++++． 所以12k =±时，12120x x y y +=，故OA OB ⊥．当12k =±时，12417x x +=，121217x x =-．2222212121()()(1)()AB x x y y k x x =-+-+-而22212112()()4x x x x x x -=+-23224434134171717⨯⨯=+⨯=， 所以46517AB =． 3.(2008年安徽文T22)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B 两点，求证：42AB =;（3）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于点,A B 和,D E ,求AB DE + 的最小值. 解析：（1）由题意得：2222222844c a a c b a b c=⎧⎪⎧=⎪⎪=⎨⎨=⎪⎪⎩⎪=+⎩∴∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）方法一：由（1）知1(2,0)F -是椭圆C 的左焦点，离心率2e = 设l 为椭圆的左准线。
解答椭圆中最值问题策略(最新整理)
解答椭圆中最值问题策略椭圆是圆锥曲线这一章节中的重要内容，而与椭圆有关的最值问题则是解析几何中最值问题的一个组成部分.与椭圆有关的最值问题具有综合性强、涉及知识面广等特点，是学习中的一个难点.要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决.一、建立目标函数，利用函数性质例1 设P(x ，y)是椭圆＋＝1上的一点，F 1为椭圆的左焦点，求|PF 1|的最大值和x264y228最小值.分析：由于点F 的坐标为(－6，0)，因此只须设出点P 的坐标(x ，y)，结合椭圆方程即可建立|PF 1|关于横坐标x 的目标函数，再结合函数的即可求解.解：椭圆的左焦点F 1坐标为(－6，0)，根据两点的距离公式，得|PF 1|＝＝＝＝|x ＋|，(x ＋6)2＋y234323由已知，得x ∈[－8，8]，函数|x ＋|在[－8，8]上为增函数，34323故|PF 1|max ＝|8＋|＝14，|PF 1|min ＝|－8＋|＝2.3432334323点拨：函数法是探求最值问题的常用方法，尤其是二次函数，值得注意的是函数自变量取值范围的确定不容忽视.同时通过本题的解答，可得结论：椭圆上的点到焦点的距离取得最大值和最小值的点就是椭圆的两个端点.二、利用定义转化，结合平面几何性质例2 已知A (4，0)、B (2，2)，M 是椭圆9x 2＋25y 2＝225上的动点，求|MA |＋|MB |的最大与最小值.分析：由于A(4，0)是椭圆的焦点，因此可以利用椭圆的定义对|MA |＋|MB |转化，转化为求解椭圆上一动点到定直线上两定点的距离之差的最值问题.解析：如图所示，由题意，知点A (4，0)恰为椭圆右焦点，则A 关于O 的对称点A 1(－4，0)(左焦点)，由椭圆的第一定义，得|MA |＋|MA 1|＝2a ，|MA |＝2a －|MA 1|，∴|MA |＋|MB |＝(2a －|MA 1|)＋|MB |=2a ＋(|MB －|MA 1|)，在△A 1BM 中，||MB |－|MA 1||≤|A 1B |＝2，－2≤|MB |－|MA 1|≤2，101010又2a ＝10.故|MA |＋|MB |的最大值是10＋2，最小值为10－2.1010点评：(1)涉及椭圆的焦点问题，一般都可以利用定义引导思维，同时常起着转化的作用；(2)注重使用平面几何知识“三角形中的三边关系”，三点共线为特例，从而确定最值.三、巧妙设角，利用三角函数有界性例3 已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)两个焦点为F 1，F 2，如果曲线C 上存在一点x2a2y2b2Q ，使F 1Q ⊥F 2Q ，求椭圆离心率的最小值。
椭圆中最值问题
椭圆中最值问题第一类、椭圆的参数方程题型1、求椭圆的内接多边形的周长及面积例1 、求椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的内接矩形的面积及周长的最大值。
题型2、求轨迹例2、已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且21MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。
题型3、求函数的最值例3 、设点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 22=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。
题型4、求解有关离心率等入手比较困难的问题例4 、椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+与x 轴的正向相交于点A ，O 为坐标原点，若这个椭圆上存在点P ，使得OP ⊥AP 。
求该椭圆的离心率e 的取值范围。
第二类、求离心率的最值问题方法1、建立c b a ,,的不等式或方程例1、若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。
方法2、利用三角函数的有界性求范围例2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
第三类、求点点（点线）的最值问题方法1、建立相关函数并求函数的最值例1、点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。
设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。
方法四、利用椭圆定义合理转化例2、定长为d d b a ≥⎛⎝⎫⎭⎪22的线段AB 的两个端点分别在椭圆x a y b a b 222210+=>>()上移动，求AB 的中点M 到椭圆右准线l 的最短距离。
椭圆中的参数范围及最值问题(教师版)
椭圆中的参数范围及最值1.点N x 0,y 0 是曲线Γ:ax 2+by 2=1上任一点，已知曲线Γ在点N x 0,y 0处的切线方程为ax 0x +by 0y =1．如图，点P 是椭圆C :x 22+y 2=1上的动点，过点P 作椭圆C 的切线l 交圆O :x 2+y 2=4于点A 、B ，过A 、B 作圆O 的切线交于点M ．(1)求点M 的轨迹方程；(2)求△OPM 面积的最大值．【答案】(1)x 28+y 216=1;(2)22【解析】(1)设P m ,n ，则AB :mx2+ny =1，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则MB :x 1x +y 1y =4，MA :x 2x +y 2y =4，设M s ,t ，则x 1s +y 1t =4,x 2s +y 2t =4，故AB :sx +ty =4即AB :s 4x +t4y =1，所以s 4=m2t 4=n即s 2=m t 4=n所以s 28+t 216=1即M 的轨迹方程为：x 28+y 216=1.(2)由(1)可得M 2m ,4n ，故直线OM :2nx -my =0.P 到OM 的距离为2nm -mn4n 2+m 2=nm4n 2+m 2，故△OPM 面积S =12×nm 4n 2+m 2×2×4n 2+m 2=nm ，因为m 22+n 2=1，故1≥2m 2n 22即mn≤22，当且仅当m =±1,n =±22时等号成立，故△OPM 面积的最大值为22.2.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0的离心率为223，且经过点6,33 ．(1)求C 的方程；(2)动直线l 与圆O :x 2+y 2=1相切，与C 交于M ，N 两点，求O 到线段MN 的中垂线的最大距离．【答案】(1)x 29+y 2=1;(2)43【解析】(1)由题知：e =c a =2236a 2+13b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a =3b =1c =22.所以C 的方程为x 29+y 2=1．(2)当l 的斜率不存在时，线段MN 的中垂线为x 轴，此时O 到中垂线的距离为0．当l 的斜率存在时，设l :y =kx +m (k ≠0)，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ．因为l 与圆x 2+y 2=1相切，则O 到l 的距离为|m |1+k2=1，所以m 2=k 2+1．联立方程x 29+y 2=1y =kx +m，得1+9k 2 x 2+18kmx +9m 2-9=0，则x 1+x 2=-18km 1+9k 2，可得MN 的中点为-9km 1+9k 2,m1+9k 2．则MN 的中垂线方程为y =-1k x +9km 1+9k 2 +m 1+9k 2，即x +ky +8km1+9k 2=0．因此O 到中垂线的距离为d =8km1+9k 21+k 2=|8k |1+9k 2=89|k |+1|k |≤43(当且仅当k =13，m =103时等号成立)．综上所述，O 到线段MN 的中垂线的最大距离为43．3.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到直线x =2的距离和点P 到点C 1,0 的距离的比为2，记点P 的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程；(2)若不经过点C 的直线l 与Γ交于M ，N 两点，且∠OCM =∠xCN ，求△CMN 面积的最大值.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)24【解析】(1)设P x ,y ，P 到直线x =2的距离记为d ，则dPC=2，依题意，2-x =2x -1 2+y 2，化简得x 2+2y 2=2，即x 22+y 2=1.(2)设直线l ：x =my +t ，t ≠1，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，由x =my +tx 22+y 2=1得：m 2+2 y 2+2mty +t 2-2=0，则Δ=(2mt )2-4m 2+2 t 2-2 =8m 2+2-t 2 >0，可得m 2+2>t 2，所以y 1+y 2=-2mt m 2+2，y 1y 2=t 2-2m 2+2.法一：由∠MCO =∠xCN ，则k CM +k CN =y 1x 1-1+y 2x 2-1=0，所以x 2y 1+x 1y 2=y 1+y 2，即2my 1y 2+t -1 y 1+y 2 =0，所以2m t 2-2 m 2+2+t -1-2mt m 2+2=0，可得t =2，所以直线l 经过定点T 2,0 .因为△CMN 面积S =12CT y 1-y 2 =12y 1-y 2 ，所以S =2m 2+2-t 2m 2+2=2m 2-2m 2+2=2-4m 2+2 2+1m 2+2，当1m 2+2=18，即m =±6时，S 有最大值为24.法二：作M 点关于x 轴的对称点M x 1,-y 1 ，因为∠OCM =∠xCN ，则∠OCM =∠xCN ，故∠OCM +OCN =180°，所以M ，C ，N 三点共线，所以CM⎳CN ，因为CM =x 1-1,-y 1 ，CN =x 2-1,y 2 ，所以x 1-1 y 2--y 1 x 2-1 =0，即x 2y 1+x 1y 2=y 1+y 2，所以2my 1y 2+t -1 y 1+y 2 =0，则2m t 2-2 m 2+2+t -1(-2mt )m 2+2=0，可得t =2，所以直线l 经过定点T 2,0 ，因为△CMN 面积S =12CT y 1-y 2 =12y 1-y 2 ，所以S =2m 2+2-t 2m 2+2=2m 2-2m 2+2，设m 2-2=u ，则m 2=u 2+2，则S =2u u 2+4=21u +4u≤24，当u =2，即m =±6时，S 有最大值为24.4.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为2，点P 1,32 在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，且直线PM ，PN 的倾斜角互补，求△OMN 面积的最大值.【答案】(1)x 24+y 23=1;(2)3【解析】(1)设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，因为焦距为2，P 1,32所以2c =2且PF 1⊥x 轴，故b 2a =32又由于a 2=b 2+c 2=b 2+1，所以解得a =2，b =3故椭圆C 方程为x 24+y 23=1；(2)设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为y =kx +m ，由于直线PM ，PN 的倾斜角互补，故k PM +k PN =0联立方程y =kx +m x 24+y 23=1，整理得3+4k 2 x 2+8kmx +4m 2-12=0，故Δ=8km 2-43+4k 2 4m 2-12 =483+4k 2-m 2 >0，即m 2<3+4k 2且x 1+x 2=-8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2-123+4k 2k PM +k PN =y 1-32x 1-1+y 2-32x 2-1=2k +k +m -32 1x 1-1+1x 2-1=2k +k +m -32 x 1+x 2-2x 1x 2-x 1+x 2 +1=2k -k +m -32 8k 2+8km +64m 2+4k 2+8km -9 =2k -8k 2+8km +622m +2k +3 =12k -622m +2k +3=0，所以k =12，故MN 的方程为y =12x +m ，且0≤m 2<3+4k 2=4所以弦长MN =1+12 2x 1-x 2 =52(x 1+x 2)2-4x 1x 2=52×34-m 2原点到直线MN ：x -2y +2m =0的距离为d =2m5，所以S △OMN =12MN d =32m 24-m 2 =32-m 2-2 2+4≤3 故当且仅当m =±2时，△OMN 的面积的最大值为 3.5.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且经过点A (-2,0)，B(2,0)，过点M -23,0 作直线l 与椭圆交于点P ，Q (点P ，Q 异于点A ，B )，连接直线AQ ，PB 交于点N .(1)求椭圆的方程；(2)当点P 位于第二象限时，求tan ∠PNQ 的取值范围.【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)0,13.【解析】(1)由题意知，a =2，又a 2=b 2+c 2，e =c a =32，所以c =3，b =1，故椭圆的标准方程为x 24+y 2=1;(2)设直线PB 倾斜角为α，斜率为k 1，直线AQ 倾斜角为β，斜率为k 2，直线PQ 的方程为：x =my -23，则x 24+y 2=1x =my -32，消去x ，得(m 2+4)y 2-43my -329=0，Δ=169+4×329(m 2+4)>0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，y 1+y 2=4m 3(m 2+4)，y 1y 2=-329(m 2+4)，有my 1y 2=-83(y 1+y 2)，所以k 2k 1=y 2x 2+2y 1x 1-2=y 2(x 1-2)y 1(x 2+2)=y 2my 1-23-2 y 1my 2-23+2 =my 1y 2-83y 2my 1y 2+43y 1=-163y 2-83y 1-83y 2-43y 1=2，即k 2=2k 1，则tan ∠PNQ =tan (α-β)=tan α-tan β1+tan α⋅tan β=k 1-k 21+k 1k 2=k 1-2k 11+2k 12=-k 11+2k 12=-11k 1+2k 1，因为点P 位于第二象限，则k 1∈-12,0 ，所以1k 1+2k 1∈(-∞,-3)，故tan ∠PNQ =-11k 1+2k 1∈0,13 .6.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为63，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作不平行于坐标轴的直线交Γ于A ，B 两点，且△ABF 1的周长为4 6.(1)求Γ的方程；(2)若AM ⊥x 轴于点M ，BN ⊥x 轴于点N ，直线AN 与BM 交于点C ，求△ABC 面积的最大值．【答案】(1)x 26+y 22=1;(2)34【解析】(1)由椭圆定义可知△ABF 1的周长为4a =46，即a =6，因为离心率e =c a =63，所以c =2，又因为b 2=a 2-c 2，所以b 2=2，故Γ的方程为x 26+y 22=1．(2)依题意，设直线AB 方程为x =my +2(m ≠0)．联立x =my +2x 26+y 22=1，得m 2+3 y 2+4my -2=0，易知Δ=16m 2+8m 2+3 =24m 2+1 >0设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-4m m 2+3,y 1⋅y 2=-2m 2+3．因为AM ⊥x 轴，BN ⊥x 轴，所以M x 1,0 ,N x 2,0 ．所以直线AN ：y =y 1x 1-x 2x -x 2 ①，直线BM ：y =y 2x 2-x 1x -x 1 ②，联立①②解得x C =x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2=my 1+2 y 2+my 2+2 y 1y 1+y 2=2+2my 1y 2y 1+y 2=3．因为S △ABC =12|BN |⋅x C -x 1 =12y 2 ⋅3-x 1 =12y 2-my 1y 2 ，又my 1y 2y 1+y 2=12，则S △ABC =12y 1-y 1+y 22=14y 1-y 2 =14y 1-y 2 2=62m 2+1m 2+3，设m 2+1=t >1，则S △ABC =62⋅t t 2+2=62⋅1t +2t≤34，当且仅当t =2t，即m =±1时，等号成立，故△ABC 面积的最大值为34．7.已知点F 为椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x4+y 2=1与椭圆E 有且仅有一个公共点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x4+y 2=1与y 轴交于点P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若PM 2⋅PF 2=λPA ⋅PB ，求实数λ的取值范围.【答案】(1)x 24+y 23=1;(2)5,254【解析】(1)由题意，得a =2c ，b =3c ，则椭圆E 为x 24c 2+y 23c 2=1，由x 24+y 23=c 2x 4+y 2=1 ，得x 2-2x +4-3c 2=0，因为直线x4+y 2=1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，所以Δ=4-44-3c 3 =0，解得c 2=1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)由(1)知：M 1,32 ，P 0,2 ，所以PM 2=54，PF 2=5，当直线l 与x 轴垂直时，PA ⋅PB =2+3 2-3 =1，由PM 2⋅PF 2=λPA ⋅PB ，得λ=254.当直线l 与x 轴不垂直时，设直线方程为y =kx +2，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立y =kx +23x 2+4y 2-12=0，得3+4k 2 x 2+16kx +4=0，则x 1x 2=43+4k2，Δ=484k 2-1 >0，即k 2>14.所以，PA ⋅PB =1+k 243+4k 2=254λ，所以λ=2541-14+4k 2，因为k 2>14，所以，5<λ<254.综上，实数λ的取值范围为5,254 .8.定义：若点(x 0,y 0)，(x 0,y 0)在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上，并且满足x 0x 0a 2+y 0y 0 b2=0，则称这两点是关于M 的一对共轭点，或称点(x 0,y 0)关于M 的一个共轭点为(x 0 ,y 0).已知点A (3,1)在椭圆M :x 212+y 24=1，O 坐标原点.(1)求点A 关于M 的所有共轭点的坐标；(2)设点P ，Q 在M 上，且PQ ∥OA，求点A 关于M 的所有共轭点和点P ，Q 所围成封闭图形面积的最大值.【答案】(1)A 13,-3 或A 2-3,3 ;(2)83【解析】(1)设点A (3,1)在椭圆M :x 212+y 24=1的共轭点为(x ,y )，则3x 12+y 4=0，且x 212+y 24=1，解得x =3y =-3 或x =-3y =3 ，所以点A 关于M 的所有共轭点的坐标为A 13,-3 或A 2-3,3(2)因为PQ ∥OA ，k OA =13，所以设直线PQ 的方程为y =13x +m ，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，，将y =13x +m 代入x 212+y 24=1中，化简得4x 2+6mx +9m 2-36=0，由Δ=36m 2-16(9m 2-36)>0，得0≤m 2<163，x 1+x 2=-3m 2,x 1x 2=9m 2-364，所以PQ =1+19(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1039m 24-9m 2+36=10216-3m 2，设A 1，A 2到直线PQ 的距离分别为d 1,d 2，因为PQ ∥OA ，所以d 1+d 2等于A 1，A 2到直线OA :y =13x 的距离和，所以d 1+d 2=3+33 1+9+-3-33 1+9=8310，所以S =S △A 1PQ +S △A 2PQ =12d 1+d 2 PQ=12×10216-3m 2×8310=23×16-3m 20≤m 2<163 ，令t =m 2，则y =16-3t 在0≤t <163上单调递减，所以当t =0时，即m =0时，y 取最大值16，所以当m =0时，S 的最大值为23×16=839.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F 2,0 ，离心率为63，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点P 3,m m >0 ，过F 作PF 的垂线交椭圆于A ，B 两点．求△OAB 面积的最大值．【答案】(1)x 26+y 22=1；(2) 3.【解析】(1)由右焦点为F 2,0 ，可得c =2，又离心率为63，∴a =6，b 2=a 2-c 2=6-4=2，∴椭圆C 的标准方程为x 26+y 22=1.(2)由题可知k PF =m3-2=m ，∴k AB =-1m，故直线AB 为y =-1mx -2 ，即x =-my +2，由x 26+y 22=1x =-my +2，可得3+m 2 y 2-4my -2=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=4m 3+m 2,y 1y 2=-23+m 2，∴y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=4m 3+m 2 2-4⋅-23+m 2=261+m 23+m 2，∴△OAB 面积为S =12×OF ×y 1-y 2 =261+m 23+m 2，令t =1+m 2>1，∴S =26t 2+t 2=262t+t ≤2622=3，当且仅当2t =t ，即t =2,m =1时取等号，∴△OAB 面积的最大值为 3.10.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，点A -1,32 在椭圆C 上，点P 是y 轴正半轴上的一点，过椭圆C 的右焦点F 和点P 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求PM +PNPF的取值范围.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)85,4 .【解析】(1)由题意知c a =121a 2+94b 2=1c 2+b 2=a 2，∴a =2b =3 ，椭圆C 标准方程为x 24+y 23=1.(2)设直线l 的方程为y =k (x -1)，其中k <0，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)y =k (x -1)3x 2+4y 2=12⇒3x 2+4k 2(x 2-2x +1)=12∴(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0，Δ=64k 4-4(3+4k 2)(4k 2-12)=144(k 2+1)>0，x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1⋅x 2=4k 2-123+4k 2，∴PM =1+k 2x 1 ，PN =1+k 2⋅x 2 ，PF =1+k 2∴PM +PNPF=x 1 +x 2若k ≤-3，则x 1≥0，x 2>0，∴x 1 +x 2 =x 1+x 2=8k 23+4k 2=83k 2+4∈85,4若-3<k <0，则x 1<0,x 2>0，∴x 1 +x 2 =x 2-x 1=12k 2+13+4k 2令k 2+1=m ，∴1<m <2，∴x 2-x 1=12m 3+4(m 2-1)=12m 4m 2-1=124m -1m，因为y =124m -1m 在(1,2)单调递减，所以x 2-x 1=124m -1m∈85,4 综上：PM +PN PF 的取值范围为85,4 .11.已知O 坐标原点，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的上顶点为A ，右顶点为B ，△AOB 的面积为22，原点O 到直线AB 的距离为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若DE ⋅MN=0，求△FPQ 面积的最大值．【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)19【解析】(1)解：由题意，S △AOB =12ab =22①∵A (0,b )，B (a ,0)，则直线AB 的方程为：xa +y b=1，即为bx +ay -ab =0，∵原点到直线AB 的距离为63，∴ab a 2+b2=63，∴3a 2b 2=2(a 2+b 2)，②∵b 2+c 2=a 2，③由①②③得：a 2=2，b 2=1，所以椭圆C 的标准方程为：x 22+y 2=1；(2)由(1)可知F -1,0 ，因为DE ⋅MN=0，所以DE ⊥MN ，若直线DE 或MN 中有一条直线斜率不存在，那么P 、Q 中一点与F 重合，故斜率一定存在，设DE ：y =k x +1 ，则MN 的斜率为-1k，由x 22+y 2=1y =k (x +1)可得：(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2-2=0，设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则x 1+x 2=-4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2-21+2k 2，所以x P =x 1+x 22=-2k 21+2k 2y P =k x P +1 =k -2k 21+2k 2+1 =k 1+2k 2，即P -2k 21+2k 2,k1+2k 2，同理将-1k 代入得Q -22+k 2,-k2+k 2，所以PF =-1+2k 21+2k 2 2+k 1+2k 2 2=1+k 21+2k 2，QF =-1--22+k 2 2+-k2+k 2 2=k 1+k 22+k 2，所以S △QFP =12PF ⋅QF =12×1+k 21+2k 2×k 1+k 22+k 2=12×k 1+k 22k 4+5k 2+2=12×k 21+2k 2+k 4 2k 4+5k 2+2=12×k 41k 2+k 2+2 k 22k 2+5+2k2 =12×1k 2+k 2+22k 2+5+2k 2令t =1k 2+k 2+2，则t ≥2，当且仅当1k 2=k 2即k =±1时取等号，所以1k 2+k 2=t 2-2，所以S △QFP =12×t 2t 2+1=12×12t +1t，因为函数y =2x +1x 在2,+∞ 上单调递增，所以当x =2时y min =92，所以S △QFP max =19，即△FPQ 面积的最大值为19；12.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 经过点M (0,3)，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l :y =kx -1与椭圆C 相交于A 、B 两点，求MA ⋅MB 的最大值.【答案】(1)x 218+y 29=1；(2)32.【解析】(1)由已知得9b 2=1,a 2-b 2a 2=12, 解得a =32,b =3，因此椭圆C 的方程为x 218+y 29=1；(2)由x 218+y 29=1,y =kx -1,整理得2k 2+1 x 2-4kx -16=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=4k 2k 2+1,x 1x 2=-162k 2+1，因为MA ⋅MB=x 1x 2+(y 1-3)(y 2-3)=x 1x 2+kx 1-4 kx 2-4=k 2+1 x 1x 2-4k x 1+x 2 +16=-16k 2+1 2k 2+1-4k ×4k 2k 2+1+16=0，所以MA ⊥MB ，三角形MAB 为直角三角形，设d 为点M 到直线l 的距离，故MAMB =AB ⋅d ，又因为d =41+k 2，AB =1+k 2 x 1+x 2 2-4x 1x 2 =1+k 2 4k 2k 2+1 2-4×-162k 2+1=41+k 2 9k 2+4 2k 2+1，所以MA MB =169k 2+42k 2+1，设2k 2+1=t ，则MA MB =16818-121t -92 2，由于1t∈0,1 ，所以MA MB ≤32，当1t=1，即k =0时，等号成立.因此，MA MB 的最大值为32.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知F (1,0)，动点P 到直线x =6的距离等于2PF +2.动点P 的轨迹记为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知A (2,0)，过点F 的动直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，记△AOB 和△AOD 的面积分别为S 1和S 2，求S 1+S 2的最大值.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)最大值为3.【解析】(1)设点P (x ,y )，当x ≥6时，P 到直线x =6的距离显然小于PF ，故不满足题意；故|x -6|=2(x -1)2+y 2+2(x <6)，即4-x =2(x -1)2+y 2，整理得3x 2+4y 2=12，即x 24+y 23=1，故曲线C 的方程为x 24+y 23=1；(2)由题意可知直线l 的斜率不为0，则可设直线l 的方程为x =my +1，B x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，联立x =my +1x 24+y 23=1，整理得3m 2+4 y 2+6my -9=0，Δ>0显然成立，所以y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，所以y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=-6m 3m 2+4 2+363m 2+4=12m 2+13m 2+4，故S 1+S 2=12OA y 1 +12OA y 2 =12OA y 1-y 2 =12m 2+13m 2+4，设t =m 2+1，t ≥1，则m 2=t 2-1，则S 1+S 2=12t 3t 2+1=123t +1t，因为t ≥1，所以3t +1t≥4(当且仅当t =1时，等号成立).故S 1+S 2=123t +1t≤3，即S 1+S 2的最大值为3.14.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【答案】(1)x 216+y 212=1；(2)18.【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：y -3=12(x -2)，即x -2y =-4.当y =0时，解得x =-4，所以a =4，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 过点M (2，3)，可得416+9b2=1，解得b 2=12.所以C 的方程：x 216+y 212=1.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：x -2y =m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1，可得：3m +2y 2+4y 2=48，化简可得：16y 2+12my +3m 2-48=0，所以Δ=144m 2-4×163m 2-48 =0，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：x -2y =8，直线AM 方程为：x -2y =-4，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d =8+41+4=1255，由两点之间距离公式可得|AM |=(2+4)2+32=3 5.所以△AMN 的面积的最大值：12×35×1255=18.15.如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A 两点，AA =4．(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P '，过P 、P '作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．【答案】(1)x 216+y 28=1;(2)答案不唯一，具体见解析【解析】(1)设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，左焦点F 1-c ,0 ，将x =-c 代入椭圆方程，得y =±b 2a，由题意可得b 2a =2c a=22a 2=b 2+c 2 ，解得a =4b =c =22 ，所以椭圆方程为x 216+y 28=1.(2)解：当点Q 在y 轴的右侧时，设Q t ,0 t >0 ，圆的半径为r ，直线PP 方程为x =m m >t ，则圆Q 的方程为x -t 2+y 2=r 2，由x -t2+y 2=r 2x 2+2y 2=16得x 2-4tx +2t 2+16-2r 2=0，由Δ=16t 2-42t 2+16-2r 2 =0，即，得t 2+r 2=8，①把x =m 代入x 216+y 28=1，得y 2=81-m 216 =8-m 22，所以点P 坐标为m ,8-m 22，代入x -t 2+y 2=r 2，得m -t 2+8-m 22=r 2，②由①②消掉r 2得4t 2-4mt +m 2=0，即m =2t ，S △PPQ =12PP m -t =8-m 22×m -t =8-2t 2⋅t =2⋅4-t 2 t2≤2×4-t 2+t22=22，当且仅当4-t 2=t 2时，即当t =2时取等号，圆Q 的标准方程为x -2 2+y 2=6．在椭圆上任取一点E x ,y ，其中-4≤x ≤4，则y 2=8-x 22，所以，EQ =x -2 2+y 2=x 2-22x +2+8-x 22=x 22-22x +10=12x -22 2+6≥6，当且仅当x =22时，等号成立，故椭圆上除P 、P '外的点在圆Q 外，所以△PP Q 的面积的最大值为22，当圆心Q 、直线PP 在y 轴左侧时，由对称性可得圆Q 的方程为x +2 2+y 2=6，△PP Q 的面积的最大值仍为22．16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，椭圆C的离心率为12，B 0,3 在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左顶点A 作两条互相垂直的直线分别与椭圆C 交于M 、N 两点(不同于点A )，且AD ⊥MN ，D 为垂足，求三角形ABD 面积的最大值．【答案】(1)x 24+y 23=1;(2)37+337【解析】(1)由题意得c a =12b =3b 2=a 2+c2 ，解得a =2b =3c =1，所以椭圆C 的方程x 24+y 23=1．(2)当MN 垂直于x 轴时，则M 、N 关于x 轴对称，设点M 在x 轴上方，因为AM ⊥AN ，易知直线AM 的倾斜角为π4，所以，直线AM 的方程为y =x +2，联立y =x +23x 2+4y 2=12x ≠-2，可得x =-27y =127，即点M -27,127 ，则N -27,-127 ，可得D -27,0 ，此时，S △ABD =12⋅-27+2 ⋅3=637；当MN 不垂直于x 轴时，设直线MN 的方程为y =kx +t ，设点M x 1,y 1 、N x 2,y 2 ，联立y =kx +t3x 2+4y 2=12，可得3+4k 2 x 2+8ktx +4t 2-12=0，Δ=64k 2t 2-44k 2+3 4t 2-12 >0，可得t 2<4k 2+3，由韦达定理可得x 1+x 2=-8kt 4k 2+3，x 1x 2=4t 2-124k 2+3，AM =x 1+2,y 1 =x 1+2,kx 1+t ，AN =x 2+2,kx 2+t ，因为AM ⊥AN ，则AM ⋅AN=x 1+2 x 2+2 +kx 1+t kx 2+t =k 2+1 x 1x 2+kt +2 x 1+x 2 +t 2+4=k 2+1 4t 2-12 -8kt kt +24k 2+3+t 2+4=0，整理可得4k 2-16kt +7t 2=0，即2k -t 2k -7t =0，所以，t =2k 或t =2k 7.若t =2k ，则直线MN 的方程为y =k x +2 ，此时直线MN 过点A ，则M 、N 必有一点与点A 重合，不合乎题意；若t =27k ，则直线MN 的方程为y =k x +27 ，此时直线MN 过定点E -27,0 ，合乎题意.因为AD ⊥DE ，且线段AE 的中点坐标为-87,0 ，AE =127，所以，△AED 的外接圆为x +87 2+y 2=3649，因为AB 直线方程为x-2+y 3=1，即3x -2y +23=0，且AB =3+4=7，因为D 到直线AB 的最大距离为-837+233+4+67=42+62149，所以△ABD 的面积S △ABD ≤12⋅7⋅42+62149=37+337．综上所述，△ABD 面积的最大值为37+337．17.已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 的离心率为63，且经过点P 1,3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)A 、B 为椭圆C 上两点，直线PA 与PB 的倾斜角互补，求△PAB 面积的最大值．【答案】(1)y 26+x 22=1；(2)3﹒【解析】(1)由题意得：e =c a =633a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a =6，b =2，∴y 26+x 22=1．(2)由题意可知直线AB 的斜率一定存在，设直线AB 的方程为y =kx +t ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，将y =kx +t 代入y 26+x 22=1得：k 2+3 x 2+2ktx +t 2-6=0，∴x 1+x 2=-2kt k 2+3，x 1x 2=t 2-6k 2+3，则y 1+y 2=kx 1+t +kx 2+t =k x 1+x 2 +2t =6tk 2+3，x 1y 2+x 2y 1=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t =kt x 1+x 2 +2ktx 1x 2=-12kk 2+3，∵直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，∴k PA =-k PB ⇒y 1-3x 1-1=-y 2-3x 2-1，化简可得：23+x 1y 2+x 2y 1=y 1+y 2 +3x 1+x 2 ，即23+-12k k 2+3=6t k 2+3+3⋅-2ktk 2+3，即k -3 k +t -3 =0，∵直线AB 不过点P ，∴k =3，∴x 1+x 2=-3t 3，x 1x 2=t 2-t6，则AB =1+3 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=2312-t 23，又点P 到直线AB 的距离为t2，∵Δ=12t 2-24t 2-6 >0，∴-23<t <23，∴S =12⋅2312-t 23⋅t 2=3612-t 2 t 2≤3，当且仅当t =±6时等号成立，∴△PAB 面积最大值为3．18.已知O 为坐标原点，定点F 1,0 ，M 是圆O :x 2+y 2=4内一动点，圆O 与以线段FM 为直径的圆内切．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若直线l 与动点M 的轨迹交于P ，Q 两点，以坐标原点O 为圆心，1为半径的圆与直线l 相切，求△POQ 面积的最大值．【答案】(1)x 24+y 23=1且x ≠±2；(2)263.【解析】(1)令M (x ,y )，又F 1,0 在圆O :x 2+y 2=4内，且圆O 与以线段FM 为直径的圆内切，所以线段FM 为直径的圆心为x +12,y 2 ，则12(x -1)2+y 2=2-(x +1)24+y 24，整理有(x -1)2+y 2=4-(x +1)2+y 2，则x 2-2x +1+y 2=4-x 2+2x +1+y 2，所以x 24+y 23=1，又M 是圆O :x 2+y 2=4内一动点，故x ≠±2，故M 的轨迹方程为x 24+y 23=1且x ≠±2.(2)由题意知：O 到直线l 的距离为1，要使△POQ 面积最大，只需|PQ |最大，若直线l 斜率不存在时，直线l :x =±1，此时P ,Q 为1,±32 或-1,±32，所以|PQ |=3，则△POQ 面积为32；若直线l 斜率存在时，令直线l :y =kx +b ，而|b |1+k2=1，即b 2=1+k 2，联立直线与M 的轨迹，x 24+y 23=1y =kx +b，整理有(4k 2+3)x 2+8kbx +4b 2-12=0，则x P +x Q =-8kb 4k 2+3，x P x Q =4b 2-124k 2+3，所以|PQ |=1+k 2⋅|x P -x Q |=1+k 2⋅(x P +x Q )2-4x P x Q =4(1+k 2)(12k 2+9-3b 2)4k 2+3，则|PQ |=43⋅(1+k 2)(3k 2+2)4k 2+3，令t =4k 2+3≥3，则|PQ |=3⋅-1t2+2t +3=3⋅-1t-1 2+4，而0<1t ≤13，所以|PQ |max =463，此时△POQ 最大面积为263；综上，△POQ 最大面积为263.19.如图，已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为32，直线l 1:y =12x +b 与圆O :x 2+y 2=b 2交于M ，N 两点，MN =455．(1)求椭圆E 的方程；(2)A ，B 为椭圆E 的上、下顶点，过点A 作直线l 2:y =kx +b k <0 交圆O 于点P ，交椭圆E 于点Q (P ，Q 位于y 轴的右侧)，直线BP ，BQ 的斜率分别记为k 1，k 2，试用k 表示k 1+14k 2，并求当k 1+14k 2∈2,52时，△BPQ 面积的取值范围．【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)1285,65 .【解析】(1)圆心O 到直线l 1的距离为d =b 2-2552=12b1+122，解得b 2=1，由题设，b =1c a =32c 2=a 2-b2 ，解得a =2c =3 ，故椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)由(1)知，A 0,1 ，B 0,-1 ，直线l 2为y =kx +1k <0 ，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，联立y =kx +1x 2+y 2=1，得1+k 2 x 2+2kx =0，所以x 1=-2k k 2+1，y 1=kx 1+1=-k 2+1k 2+1，联立y =kx +1x 24+y 2=1得：4k 2+1 x 2+8kx =0，所以x 2=-8k 4k 2+1，y 2=kx 2+1=-4k 2+14k 2+1，k 1+14k 2=y 1+1x 1+x 24y 2+1=2k 2+1-2k k 2+1+-8k 4k 2+184k 2+1=-1k -k ．由-1k-k ∈2,52 ，得：k ∈-2,-12 ，S △BPQ =S △ABQ -S △ABP =12AB x 2-x 1 =x 2-x 1=-8k 4k 2+1--2kk 2+1=-6k4k 2+1 k 2+1．令f k =-6k 4k 2+1 k 2+1 ，则fx =612k 4+5k 2-1 4k 2+1 k 2+12>0，所以函数f k 在-2,-12 上单调递增，f -2 =1285，f -12 =65，所以△BPQ 面积的取值范围为1285,65 .20.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ，其离心率e =22，过点F 垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q 两点，PQ =2．(1)求椭圆Γ的方程；(2)若椭圆的下顶点为B ，过点D (2，0)的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为k 1,k 2，求k 1+k 2的取值范围．【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)k 1+k 2∈-∞,12 ∪12,2-2 ∪2+2,+∞ 【解析】(1)由题可知e =c a =22PQ=2b 2a =2a 2=b 2+c 2，解得a =2b =1c =1.所以椭圆Γ的方程为：x 22+y 2=1.(2)由题可知，直线MN 的斜率存在，则设直线MN 的方程为y =k (x -2)，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2).由题可知x 22+y 2=1y =k (x -2)，整理得(2k 2+1)x 2-8k 2x +8k 2-2=0Δ=(-8k 2)2-4(2k 2+1)(8k 2-1)=-8(2k 2-1)>0，解得k ∈-22,22.由韦达定理可得x 1+x 2=8k 22k 2+1，x 1x 2=8k 2-22k 2+1.由(1)知，点B (0,-1)设椭圆上顶点为A ，∴A (0,1)，k ≠k DA =-12且k ≠k DB =12，∴k 1+k 2=y 1+1x 1+y 2+1x 2=k x 1-2 +1x 1+k x 2-1 +1x 2=2k +1-2k x 1+x 2 x 1x 2=2k +1-2k⋅8k 21+2k 28k 2-21+2k 2=2k -4k 22k +1=2k 2k +1=1-12k +1∈2+2,+∞ ∪-∞,12 ∪12,2-2∴k 1+k 2的取值范围为-∞,12 ∪12,2-2 ∪2+2,+∞ ．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),四点P 12,32 ,P 2(0,1),P 31,22 ,P 41,-22 中恰有三点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点Q 2,0 的直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，求△OMN 面积的取值范围.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)0,22【解析】(1)由对称性可知：P 3,P 4都在椭圆C 上，对于椭圆在第一象限的图像上的点x ,y ，易知y 随x 的增大而减小，故P 1,P 2中只有P 2符合.所以P 2,P 3,P 4三点在椭圆上，故b =1，将P 3代入椭圆方程得a =2，所以椭圆方程为：x 22+y 2=1(2)(3)由已知直线l 斜率不为0，故设方程为：x =my +2设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，由x =my +2x 22+y 2=1联立方程得：(m 2+2)y 2+4my +2=0∴Δ=16m 2-8(m 2+2)=8(m 2-2)>0,即m 2>2y 1+y 2=-4m m 2+2;y 1y 2=2m 2+2;S △OMN =12⋅2⋅y 1-y 2 =y 1-y 2=16m 2(m 2+2)2-8m 2+2=22m 2-2m 2+2;令m 2-2=t >0，则m 2=t 2+2令S △OMN =22t t 2+4=22t +4t ≤222t ⋅4t=22，当且仅当t =2，m 2=6时取等号∴△OMN 面积的取值范围为0,2222.已知椭圆E :x 22+y 2=1的右焦点为F ，椭圆Γ:x 22+y 2=λλ>1 ．(1)求Γ的离心率；(2)如图：直线l :x =my -1交椭圆Γ于A ，D 两点，交椭圆E 于B ，C 两点．①求证：AB =CD ；②若λ=5，求△ABF 面积的最大值．【答案】(1)22;(2)①证明过程见解析；② 2.【解析】(1)椭圆Γ:x 22+y 2=λλ>1 的标准方程为：x 22λ+y 2λ=1，则椭圆Γ的离心率为2λ-λ2λ=22(2)对于①，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C x 3,y 3 ，D x 4,y 4 ，直线l :x =my -1与x 22+y 2=λ联立整理得2+m y2-2my +1-2λ=0则y 1+y 2=2m 2+m 2,y 1y 2=1-2λ2+m 2则AD 的中点坐标-22+m 2,m2+m 2同理可知BC 的中点坐标-22+m 2,m2+m 2 .所以AD 与BC 中点重合，故AB =CD .对于②，由①知，直线l 被椭圆截得弦长为1+m 2y 2-y 1 =21+m 22λm 2+4λ-22+m 2把λ=5代入得，AD =21+m 210m 2+182+m 2把λ=1代入得，BC =21+m 22m 2+22+m 2F 1,0 到l 的距离为d =21+m 2，则△ABF 面积为：S =12×12×AD -BC ×d =10m 2+18-2+2m22+m 2=810m 2+18+2+2m 2∴当m =0时，△ABF 的面积最大值是 2.23.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点恰好为圆A ：x 2+y 2-4x+3=0的圆心，且圆A 上的点到直线l 1：bx -ay =0的距离的最大值为255+1．(1)求C 的方程；(2)过点(3，0)的直线l 2与C 相交于P ，Q 两点，点M 在C 上，且OM =λ(OP+OQ )，弦PQ 的长度不超过3，求实数λ的取值范围．【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)-33,-12 ∪12,33 ．【解析】(1)圆A 化为标准方程：(x -2)2+y 2=1，圆心A (2,0)，半径r =1，∴椭圆C 的右顶点标准为(2,0)，即a =2，∵圆心A (2,0)到直线l 1:bx -ay =0的距离d =2ba 2+b 2，∴圆A 上的点到直线l 1:bx -ay =0的距离的最大值为d +r =2ba 2+b 2+1=255+1，∴2b 4+b 2=255，解得b =1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)由题意可知，直线l 2的斜率一定存在，设直线l 2的方程为y =k (x -3)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立方程y =k (x -3)x 24+y 2=1，消去y 得(1+4k 2)x 2-24k 2x +36k 2-4=0，∴Δ=576k 4-4(1+4k 2)(36k 2-4)=16-80k 2>0，解得0≤k 2<15，∴x 1+x 2=24k 21+4k 2，x 1x 2=36k 2-41+4k 2，∴y 1+y 2=k x 1+x 2-6 =k ⋅24k 21+4k 2-6 =-6k1+4k 2，因为PQ =1+k 2 x 1+x 2 2-4x 1x 2 =1+k 2⋅16-80k 21+4k 2≤3所以可解得k 2≥18，所以15>k 2≥18设PQ 中点N ，所以N 12k 21+4k 2，-3k1+4k 2 ，∴OP +OQ =2ON =24k 21+4k 2，-6k 1+4k 2，∴k ON =-3k1+4k 212k 21+4k 2=-14k ，∴直线ON 的方程为y =-14kx ，∵OM =λ(OP +OQ )，∴M 为直线ON 与椭圆的交点，联立方程y =-14k x x 24+y 2=1 ，解得x =±16k 21+4k 2，∴M 16k 21+4k 2，-14k 16k 21+4k 2 或M -16k 21+4k 2，14k 16k 21+4k 2，∴OM =16k 21+4k 2，-14k 16k 21+4k 2 或OM -16k 21+4k 2，14k 16k 21+4k 2，∴±16k 21+4k 2=λ⋅24k 21+4k 2，∴16k 21+4k 2=λ2⋅24k 21+4k 22，∴λ2=16k 21+4k 2⋅1+4k 224k 2 2=136k2+19，又∵18≤k 2<15，∴13≥136k 2+19>14，∴13≥λ2>14，∴12<λ≤33或-33≤λ<-12即实数λ的取值范围为-33,-12 ∪12,3324.已知椭圆C :x 24+y 2=1，点P 为椭圆C 上非顶点的动点，点A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，过点A 1，A 2分别作l 1⊥PA 1，l 2⊥PA 2，直线l 1，l 2相交于点G ，连接OG (O 为坐标原点)，线段OG 与椭圆C 交于点Q ，若直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2.(1)求k1k 2的值；(2)求△POQ 面积的最大值．【答案】(1)14;(2)35【解析】(1)由题意知，A 1-2,0 ，A 22,0 ，设P x 0,y 0 x 0≠±2,y 0≠±1 ，设直线l 1的方程为：y =-x 0+2y 0x +2 ，设直线l 2的方程为：y =-x 0-2y 0x -2 ，所以解得点G -x 0,-4y 0 ，所以k 1=y 0x 0，k 2=4y 0x 0，即k 1k 2=14.(2)由(1)知，设直线OP 的方程为：y =k 1x ，直线OQ 的方程为：y =4k 1x ，由y =k 1xx 24+y 2=1，得4k 21+1 x 2=4，又对称性，设x P >0，所以P 24k 21+1,2k 14k 21+1，所以OP =2k 21+14k 21+1，由(1)知x P 和x Q 异号，由y =4k 1xx 24+y 2=1，得64k 21+1 x 2=4，所以Q -264k 21+1,-8k 164k 21+1，点Q 到直线y =k 1x 的距离为：d =6k 1k 21+1×64k 21+1，即S △POQ =12×OP ×d =12×2k 21+14k 21+1×6k 1 k 21+1×64k 21+1=6k 1 4k 21+1×64k 21+1=6×k 214k 21+1 ×64k 21+1 =6×k 21256k 41+68k 21+1=6×1256k 21+68+1k 21≤6×168+2256k 21×1k 21=35等号成立条件为，当且仅当256k 21=1k 21即k 1=±14等号成立，故△POQ 面积的最大值为：35.25.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为32，过C 的右顶点A的直线l 与C 的另一交点为P .当P 为C 的上顶点时，原点到l 的距离为255.(1)求C 的标准方程；(2)过A 与l 垂直的直线交抛物线y 2=8x 于M ,N 两点，求△PMN 面积的最小值.【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)9【解析】(1)由题意知：A a ,0 ，若P 为C 的上顶点，则P 0,b ，∴l :xa +y b=1，即bx +ay -ab =0，∴原点到l 的距离d =ab a 2+b2=255，又离心率e =c a =32，a 2=b 2+c 2，∴a =2，b =1，∴椭圆C 的标准方程为：x 24+y 2=1.(2)由题意知：直线l 斜率存在；①当直线l 斜率为0时，l :y =0，P -2,0 ；此时直线MN :x =2，则M 2,4 ，N 2,-4 ，∴S △PMN =12MN ⋅PA =12×8×4=16；②当直线l 斜率存在且不为0时，l :y =k x -2 ，由y =k x -2x 24+y 2=1得：1+4k 2 x 2-16k 2x +16k 2-4=0，又A 2,0 ，∴x P =8k 2-21+4k 2，则y P =-6k 1+4k 2，∴P 8k 2-21+4k 2,-4k1+4k 2；又直线MN :y =-1kx -2 ，由y =-1k x -2y 2=8x得：x 2-8k 2+4 x +4=0，∴x M +x N =8k 2+4；∵y 2=8x 的焦点为A 2,0 ，∴MN =x M +x N +4=8k 2+8，又AP =8k 2-21+4k 2-2 2+-4k 1+4k 2 2=4k 2+11+4k 2，∴S △PMN =12AP ⋅MN =16k 2+1 ⋅k 2+11+4k 2，设k 2+1=t >1，则k 2=t 2-1，∴S △PMN =16t 34t 2-3t >1 ，令f t =16t 34t 2-3，则ft =48t 24t 2-3 -16t 3⋅8t 4t 2-3 2=16t 22t +3 2t -3 4t 2-3 2，∴当t ∈1,32 时，f t <0；当t ∈32,+∞ 时，f t >0；∴f t 在1,32 上单调递减，在32,+∞ 上单调递增，∴f t min =f 32=9，即S △PMN min =9；综上所述：△PMN 面积的最小值为9.26.已知曲线C 由C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0,x ≥0)和C 2:x 2+y 2=b 2(x <0)两部分组成，C 1所在椭圆的离心率为32，上、下顶点分别为B 1,B 2，右焦点为F ,C 2与x 轴相交于点D ，四边形B 1FB 2D 的面积为3+1.(1)求a ,b 的值；(2)若直线l 与C 1相交于A ,B 两点，AB =2，点P 在C 2上，求△PAB 面积的最大值.【答案】(1)2；1；(2)2.【解析】(1)由题意知c a =3212b +c ⋅2b =3+1a 2=b 2+c 2⇒a =2b =1 ；(2)①当AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +m ，y =kx +m x 2+4y 2=4⇒1+4k 2x 2+8kmx +4m2-4=0 ，Δ=64k 2m 2-41+4k 2 4m 2-4 =164k 2-m 2+1 >0，且-8km 1+4k 2>04m 2-41+4k 2≥0⇒m ≥1 ，AB =1+k 2⋅44k 2-m 2+11+4k 2=2⇒12k 2-4m 2-4k 2m 2+3=0，计算可得m 2=34k 2+14k 2+1，故原点O 到直线AB :y =kx +m 的距离d =m 1+k 2=34k 2+121+k 2 ≤3+4k 2+141+k 2=1，当3=4k 2+1时，即k =22m =-62或k =-22m =62时取等号，故原点O 到直线AB 的距离d 的最大值为1，则点P 到直线AB 的距离h ≤d+1≤2，故S △PAB =12AB h =h ≤2，∴△PAB 面积最大值2；②当AB 斜率不存在时，A 0,-1 ,B 0,1 ，此时S △PAB =12×2×1=1<2.综上：△PAB 面积的最大值为2.27.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的上顶点B ，左、右焦点分别为F 1-c ,0 、F 2c ,0 ，△F 1BF 2是周长为4+42的等腰直角三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P -1,-1 ，且互相垂直的直线l 1、l 2分别交椭圆C 于M 、N 两点及S 、T 两点.①若直线l 1过左焦点F 1，求四边形MSNT 的面积；②求PM ⋅PN PS ⋅PT的最大值.【答案】(1)x 28+y 24=1;(2)①3269；②2.【解析】(1)因为△F 1BF 2是等腰直角三角形，且BF 1 =BF 2 =a ，F 1F 2 =2c ，由勾股定理可得BF 1 2+BF 2 2=F 1F 2 2，即2a 2=4c 2，则a =2c ，因为△F 1BF 2的周长为2a +2c =22+1 c =4+22，可得c =2，a =22，b =a 2-c 2=2，因此，椭圆C 的标准方程为x 28+y 24=1.。
对椭圆中的两个最值问题的研究
龙源期刊网
对椭圆中的两个最值问题的研究
作者：许年堤
来源：《文理导航·教育研究与实践》2014年第08期
椭圆最值问题一直是学习、研究的问题，对于其他两种圆锥曲线的研究在很多刊物上是常见的，本文就椭圆中两个常见最值问题的研究得到以下结论。
1.椭圆中垂直弦三角形面积的最值
定理：过椭圆+=1的中心O引两条互相垂直的动弦OA和OB，则（S△OAB）min=ab，（S△OAB）max=（a2+b2）。
证明：不妨设A（acosα，bsinα），B（acosβ，bsinβ）
过A，B两点向X轴作垂线段AA1，BB1，令∠AF2A1=θ，则
【参考文献】
[1]李迪淼.关于抛物线的十个最值问题.数学通报，2002
[2]陈海平.圆锥曲线的最值问题研究.2006.。
椭圆中的最值问题专项
椭圆中的最值问题专项摘要本文主要介绍椭圆中的最值问题，包括椭圆的定义、性质、最值问题以及求解方法等内容。
本文将从几何和代数两个角度出发，深入浅出地阐述椭圆中的最值问题，为读者解决相关问题提供参考。
引言椭圆是一种经典的基本图形，具有许多独特的性质和应用。
其中，椭圆中的最值问题是经常出现的问题之一，对于许多研究者而言也是一个难点。
因此，讨论椭圆中的最值问题对于理解椭圆的性质和应用具有重要意义。
椭圆的定义和性质在笛卡尔坐标系中，椭圆可以表示为$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$。
其中，$(h,k)$表示椭圆中心的坐标，$a$和$b$分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
椭圆的性质主要有以下几点：- 椭圆在$x$轴和$y$轴上的交点分别称为$foci$。
它们的距离为$2c$，满足$c^2=a^2-b^2$。
- 椭圆的离心率可以表示为$e=\frac{c}{a}$。
当离心率小于$1$时，椭圆为实心椭圆；当离心率等于$1$时，椭圆为抛物线；当离心率大于$1$时，椭圆为双曲线。
- 椭圆的周长可以表示为$C=4aE(e)$，其中$E$为椭圆的第二类完全椭圆积分。
- 椭圆的面积可以表示为$S=\pi ab$。
椭圆中的最值问题在椭圆中，最值问题主要包括最大值和最小值问题。
常见的有以下几种类型：- 给定椭圆方程，求解在椭圆上的最大、最小值；- 给定椭圆上一点，求解在以该点为圆心的圆内的最大、最小值；- 给定椭圆上弦的长度，求解在这条弦上的最大、最小值。
求解方法常见的求解方法包括几何方法和代数方法。
- 几何方法：可以通过椭圆的对称性等几何特点，来求解最值问题。
例如，当椭圆的离心率为$1$，也就是椭圆退化成抛物线时，最值问题可以用焦点和准线的几何意义求解。
- 代数方法：可以通过二次函数的求极值以及拉格朗日乘数法等代数方法，来求解最值问题。
例如，对于给定椭圆方程求解最值问题时，可以先对椭圆方程进行化简，再用导数法求极值。
椭圆中的最值问题
椭圆中的最值问题一．椭圆中线段的最值（1）椭圆中最长的直径为122A A a =，最短的直径为122B B b =；（2）椭圆中最长的焦点弦为122A A a =，最短的焦点弦为通径（2b a）；（3）椭圆中最大的焦半径为a c +，最小的焦半径为a c -；或者说：椭圆上任一点到焦点的距离的最大值为a c +，最小值为a c -； 二．椭圆中常见角的最值设点P 为椭圆上任一点，则焦点三角形的顶角12F PF ∠的最大值为12F BF ∠，且212cos 12F PF e ∠≥-， 12F PF S ∆的最大值为bc ； 12A PA ∠的最大值为12A BA ∠；例1．P 为椭圆22194x y +=上的一点，1F 、2F 为椭圆的两个焦点，则12cos F PF ∠最小值为三．平面内任一点到两定点的距离之和（差）的最值问题 设P 为平面内一动点，A 、B 为两定点，则||||||PA PB AB +≥ 当且仅当点P 在线段AB 上时取得最小值；BA图1||||||||AB PA PB AB -≤-≤ 当且仅当点P 在线段AB （或BA ）的延长线时取等号．B A P P图2例2．（1）已知点(3, 3)A -，点(5, 1)B ，点P 在x 轴上移动，使得||||PM PB +最小，则点P 的坐标为 ．（2）已知椭圆22143x y +=的右焦点为F ，(3, 2)M ，点P 在椭圆上，则||||PM PF +的最小值是 ；||||PM PF -的最大值是 ．例3．已知椭圆22143x y +=内有一点(1, 1)P -，F 为右焦点，在椭圆上有一动点M ，则||||MP MF +的最大值为 ，最小值为 ．四．平面内一动点P 到一定点M 和定直线l 的距离之和的最小值问题设P 为平面内一动点，M 为定直线l 外的一定点，d 为P 到l 的距离，0d 为M 到l 的距离，则 ||PM d +的最小值为0d ．例4．已知定点(2, 1)A ，1F 为椭圆22: 12516x y C +=的左焦点，点P 为C 上的动点，则13||5||PA PF + 的最小值为 ．五．直线上一动点与两定点的视角的最大值问题 A 、B 是直线l 同侧两定点，且直线AB l ⊥， 点P 为直线l 上一动点，则APB ∠有最大值．使APB ∠最大的点P 有何几何意义呢？由于点A 、B 是定点，l 为定直线，我们不妨利用几何画板研究过三点A 、B 、P 的圆，（如图5、6）当点P 在直线l 上运动时，过三点A 、B 、P 的圆O 与直线l 的关系是相交或相切，当圆O 与直线l 相交时，l 上总存在点Q 在圆内且使AQB APB ∠>∠；当且仅当圆O 与直线l 相切时，直线上除切点外，其余点均在圆O 外，由同弧上的圆周角与圆外角的大小关系，此时APB ∠最大，切点即为所求．lP 'PQ图5MBAOlP 'P图 6MBAOlAB M图 4P例5．12F F 、是椭圆22142x y +=的左右焦点，l 是椭圆的准线，点P l ∈，求12F PF ∠的最大值．（30）解法2：因为当过12F F 、、P 三点的圆与准线l 相切时，12F PF ∠最大，由切割线定理得 212||||||6KP KF KF =⋅=，故||KP =六．当直线l 与椭圆相离时，椭圆上总存在到直线l 的距离有最大（小）值的点 方法1：设(cos ,sin )P a b θθ，利用点到直线的距离公式——求三角函数的最值； 方法2：设与l 平行的直线系l '——与椭圆方程联立消元——令0∆=——得出与l 平行的椭圆的两条切线1l 、2l ——求出l 与1l 、l 与2l 的距离即为所求．例6．设(2, 0)F 是椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的右焦点，以F 为圆心，5为半径的圆与椭圆相交于A 、B 两点，且||AB =（1）求椭圆的方程； （2）设直线2y kx =+交椭圆于M 、N 两点，O 为原点，求△MON 面积的最大值．练习1．（ ）已知点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为7(,4)2A ，则||||PA PM +的最小值是 （A ）112 （B ）4 （C ）92（D ）5练习2．已知抛物线28y x =和一点(3,2)A ，在抛物线上求一点M ，使得此点到点A 与到焦点F 的距离之和最小．。
椭圆的最值问题
椭圆的最值问题椭圆的最值问题是指在一个给定的椭圆内，找出某个函数的最大值或最小值。
为了解决这个问题，可以利用椭圆的性质和数学方法进行分析。
首先，我们需要确定椭圆的方程。
一个标准的椭圆方程可以表示为：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1其中，(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半长轴和半短轴的长度。
接下来，我们需要确定要求最值的函数。
假设要求椭圆内的某个函数f(x, y) 的最大值或最小值。
有两种常见的方法可以解决椭圆的最值问题：1. 极值点法：我们可以计算函数f(x, y) 在椭圆边界上的极值点，并比较它们的函数值，找到最大值或最小值。
这可以通过拉格朗日乘数法等方法来实现。
2. 参数化法：我们可以将椭圆参数化为x = h + a*cos(t), y = k + b*sin(t)，其中t 是一个参数。
然后将函数f(x, y) 在参数t 的取值范围内进行优化，找到最大值或最小值。
这可以通过微积分的方法来实现。
需要注意的是，在解决椭圆的最值问题时，我们还需要考虑函数f(x, y) 的定义域是否在椭圆内。
如果定义域超出了椭圆的范围，则需要对其进行限制或者使用其他方法进行求解。
椭圆的最值问题可以通过极值点法或参数化法来解决，具体的方法取决于具体的问题和函数形式。
通过合理选择方法并利用数学工具，我们可以有效地求解椭圆内函数的最大值或最小值。
当使用参数化法解决椭圆的最值问题时，以下是一些常见的步骤：1. 将椭圆参数化为x = h + a*cos(t), y = k + b*sin(t)，其中(h,k) 是椭圆的中心坐标，a 和b 分别是椭圆在x 轴和y 轴上的半长轴和半短轴的长度。
2. 将函数f(x, y) 表示为f(t) 的形式，即将函数中的x 和y 替换为参数t 的表达式。
这样，问题就被转化为在参数t 的取值范围内寻找f(t) 的最大值或最小值。
3. 确定参数t 的取值范围。
椭圆中一个最值问题的求解方法
＜１ ，有 （ 彻） ＝ ａ （ 值 ） 时 ０ ｂ 定 ，此
时 定点 Ｐ在椭 圆 ＋ｙ 外 （ 百 Ｚ： 包括 该椭 圆上和椭
口 Ｄ‘ Ｚ
圆 ＋ｙ Ｚ
：
ｌ 区域 ） 外 ；
当０ ＜ ＜ ÷时， ） ＝ ｂ Ａ 一 ） 有（ 一 ａｅ （ ，此 ［１
时定点 Ｐ在椭 圆 ２ ２ Ｘ ＋２
法、放缩法、凑配法等 ．
法 二 ‘ ｎ 一２＋ ＝ ． 。 ２ 百 ｌ ｎ
～ １＞ 一２ ＞ ２ｎ
一
证 明 法一 ① 当 胛 时 ，左 边 ＝２ ／边 ＝２ ＝１ ，： ｉ ，
＞ 。
，
② 假 设 当 即 ｋ 时 ， 不 等 式 成 立 ， 即 ＝
＞０ ， Ｕ．
Ｊ
ｎ
（ ］妄（ ］３ ７ ・（ ］＋≥ ｉ ＋ … ￣－。 ＋ ２２， ３ｌ ４ ５
二步 证 明 中要 应 用归纳 假设 作为 已知条件 ，灵活运 用各 种证 明方 法与 技巧 ，如 分析 法 、比较法 、综合
邓军民
题 目 已知 数 夕 ｛ 的通 项 公 式为 ａ ２ 一 ， Ｊｌ ＩＣ｝ ｎ ｎ １
证（）１ 明 １＋… ／／ 十
不 等 式成立 ．
厨 ．
代 入 ＋ ：１ 整理 得
面积 有最大值 Ｆ １ （ ２ （ ） 此时直 线 √ 一 与圆
１
ｓ ｙ 一 ６兄 ａｙ 旯 ａ ： ｅ Ｏ ２√ ｔ 十 ６ｔ ０ ０， ｃ ｎ ｎ
又 设 Ａ ｘ ， ， ， Ｂ ｘ ， ２ ，则 （Ｉ Ｙ） （ｚ Ｙ ）
＋ ＜ 去 ）相切，Ｐ Ｙ ＝ ， ０ ＜ ） （ 为切点） ；
１ ）
．
…
时，（
(完整版)解答椭圆中最值问题策略
解答椭圆中最值问题策略椭圆是圆锥曲线这一章节中的重要内容，而与椭圆有关的最值问题则是解析几何中最值问题的一个组成部分.与椭圆有关的最值问题具有综合性强、涉及知识面广等特点，是学习中的一个难点.要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决.一、建立目标函数，利用函数性质例1 设P(x ，y)是椭圆x 264＋y 228＝1上的一点，F 1为椭圆的左焦点，求|PF 1|的最大值和最小值.分析：由于点F 的坐标为(－6，0)，因此只须设出点P 的坐标(x ，y)，结合椭圆方程即可建立|PF 1|关于横坐标x 的目标函数，再结合函数的即可求解.解：椭圆的左焦点F 1坐标为(－6，0)，根据两点的距离公式，得|PF 1|＝(x ＋6)2＋y 2＝(x ＋6)2＋(28－716x 2)＝916(x ＋323)2＝34|x ＋323|， 由已知，得x ∈[－8，8]，函数34|x ＋323|在[－8，8]上为增函数， 故|PF 1|max ＝34|8＋323|＝14，|PF 1|min ＝34|－8＋323|＝2. 点拨：函数法是探求最值问题的常用方法，尤其是二次函数，值得注意的是函数自变量取值范围的确定不容忽视.同时通过本题的解答，可得结论：椭圆上的点到焦点的距离取得最大值和最小值的点就是椭圆的两个端点.二、利用定义转化，结合平面几何性质例2 已知A (4，0)、B (2，2)，M 是椭圆9x 2＋25y 2＝225上的动点，求|MA |＋|MB |的最大与最小值.分析：由于A(4，0)是椭圆的焦点，因此可以利用椭圆的定义对|MA |＋|MB |转化，转化为求解椭圆上一动点到定直线上两定点的距离之差的最值问题.解析：如图所示，由题意，知点A (4，0)恰为椭圆右焦点，则A 关于O 的对称点A 1(－4，0)(左焦点)，由椭圆的第一定义，得|MA |＋|MA 1|＝2a ，|MA |＝2a －|MA 1|，∴|MA |＋|MB |＝(2a －|MA 1|)＋|MB |=2a ＋(|MB －|MA 1|)，在△A 1BM 中，||MB |－|MA 1||≤|A 1B |＝210，－210≤|MB |－|MA 1|≤210， 又2a ＝10.故|MA |＋|MB |的最大值是10＋210，最小值为10－210.点评：(1)涉及椭圆的焦点问题，一般都可以利用定义引导思维，同时常起着转化的作用；(2)注重使用平面几何知识“三角形中的三边关系”，三点共线为特例，从而确定最值.三、巧妙设角，利用三角函数有界性例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)两个焦点为F 1，F 2，如果曲线C 上存在一点Q ，使F 1Q ⊥F 2Q ，求椭圆离心率的最小值。
与椭圆有关的最值问题
与椭圆有关的最值问题圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。
对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。
而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。
能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。
下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。
1．定义法例1。
P(-2,3),F 2为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值。
分析：欲求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求。
由此想到椭圆第一定义 ︱MF 2︱=2a-︱MF 1︱, F 1为椭圆的左焦点。
解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1延长PF 1交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知–︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 122a=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8结论1：设椭圆12222=+by a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱,最小值为2a –︱PF 1︱。
例2：P(-2,6),F 2为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值。
分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小，求最大值方法同例1。
解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1，则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四、椭圆中的垂直问题
例7．2 已知椭圆19
162
2=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三解形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A 59 B 3 C 7
79 D 49 例7．2在椭圆15
252
2=+y x 上求一点，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直。
例7．3在椭圆120
452
2=+y x 上有一点P ，F 1、F 2是椭圆的左右焦点，△PF 1F 2为直角三角形，则这样的点P 共有（ ） A 2个 B 4个 C 6个 D 8 个
五、几个重要问题
例8．1已知椭圆的一个顶点为A （0 ，--1），焦点在x 轴上，若右焦点到直线x —y+22=0的距离是3
（1）求椭圆的方程。
例8．4 已知P 为椭圆2275
425y x +=1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=60，求ΔF 1PF 2的面积。
六、椭圆中的轨迹问题
1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x ，y)，直接列出动点所应满足的方程。
2.代入法：一个是动点Q(x 0,y 0)在已知曲线F(x,y)=0，上运动，而动点P(x,y)与Q 点满足某种关系，要求P 点的轨迹。
其关键是列出P 、Q 两点的关系式⎩⎨⎧==),(),(0y x y y y x f x o
3.定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。
4.参数法：在x ，y 间的方程F(x,y)=0难以直接求得时，往往用⎩⎨⎧==)
()(t y y t f x (t 为参数)来反映x ，y 之间的关系。
例：ABC ∆的一边的的顶点是B(0,6)和C(0,-6)，另两边斜率的乘积是94-
，求顶点A 的轨迹方程： 1、设动点P(x,y)到直线x=5与它到点A(1,0)的距离之比为3，则点P(x,y)的轨迹方程是（ ） A 15422=+y x B ()1812122=++y x C 15422=+x y D ()1241212
2
=+-y x
七、椭圆与直线（线段）问题
例10．1 已知M={(x,y)|x 2+2y 2=3} N={(x,y)|y=mx+b} 若对于所有m ∈R ，均有M ∩N ≠Φ，则b 的取值范围是（ ） A [--26 ，26] B （--26 ，26） C （--332 ，332） D[--332 ，3
32] 例10．2 椭圆x 2+2
2
y =a 2(a>0)和连接A （1，1），B （2，3）两点的线段有公共点，则a 的取值范围是
二、椭圆中的最值问题
（1）用函数解决椭圆中的最值问题
例4．1椭圆中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e=
2
3，已知点P(0, 23)到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程。
例4．3曲线),(122
22R b a b
y a x ∈=+过点M （1，1），求a+b 的最小值。
例4．4设P 为椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上任一点，F 1为其左焦点，求|PF 1|的最小值和最大值。
例4．5 已知AB 为经过椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的中心的弦，F （c,0）为椭圆的右焦点，则ΔABF 的面积的最大值为多少？
（2）用平面几何性质解决椭圆中的最值值问题
例5．1如图，设P （--2，3），F 为椭圆116
252
2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，当|PM|+35|MF|取最小值时，求M 点坐标。
例5．2 点P 在7x 2+4y 2=28上，求点P 到直线3x —2y —16=0的距离的最大值。
例5．3 已知椭圆15
142
2=+y x 和直线l ：x —y+9=0,在l 上任取一点P ，经过点P 且以已知椭圆的焦点为焦点作椭圆，求作出的所有椭圆中长轴最短的椭圆方程。
四、椭圆中的垂直问题
例7．2 D
例7．2(±23
5,±25)
例7．3D
五、几个重要问题
例8
．
1
3
（1）(22
3y x +=1) （2）(21
，2) 例8．25
522<-m 六、椭圆中的轨迹问题
解：设),(y x A ，由题设得)0(9466≠-=+⋅-x x y x y 。
化简得)0(136812
2≠=+x y x
七、椭圆与直线（线段）问题
例10．1A
例10．2[234
26
，]
八、椭圆中的焦半径或焦点弦问题
例11．1 [不能]
例11．2
作业
1B
2 4x 2+4y 2—85x+100=0） 3(x 2+y 2±17x+16=0)
二、椭圆中的最值问题
例4．1[1422
=+y x ]
例4．2
例4．3[22] 例4．4[a+c ,a —c] 例4．5 [bc] 例5．1M （3,413
5）
例5．2[1324
]
例5．3 [136452
2=+y x ]。