椭圆中的垂直,轨迹,最值问题

四、椭圆中的垂直问题

例7．2 已知椭圆19

162

2=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三解形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A 59 B 3 C 7

79 D 49 例7．2在椭圆15

252

2=+y x 上求一点，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直。 例7．3在椭圆120

452

2=+y x 上有一点P ，F 1、F 2是椭圆的左右焦点，△PF 1F 2为直角三角形，则这样的点P 共有（ ） A 2个 B 4个 C 6个 D 8 个

五、几个重要问题

例8．1已知椭圆的一个顶点为A （0 ，--1），焦点在x 轴上，若右焦点到直线x —y+22=0的距离是3

（1）求椭圆的方程。

例8．4 已知P 为椭圆2275

425y x +=1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=60，求ΔF 1PF 2的面积。 六、椭圆中的轨迹问题

1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x ，y)，直接列出动点所应满足的方程。

2.代入法：一个是动点Q(x 0,y 0)在已知曲线F(x,y)=0，上运动，而动点P(x,y)与Q 点满足某种关系，要求P 点的轨迹。

其关键是列出P 、Q 两点的关系式⎩⎨⎧==),(),(0y x y y y x f x o

3.定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。

4.参数法：在x ，y 间的方程F(x,y)=0难以直接求得时，往往用⎩⎨⎧==)

()(t y y t f x (t 为参数)来反映x ，y 之间的关系。 例：ABC ∆的一边的的顶点是B(0,6)和C(0,-6)，另两边斜率的乘积是94-

，求顶点A 的轨迹方程： 1、设动点P(x,y)到直线x=5与它到点A(1,0)的距离之比为3，则点P(x,y)的轨迹方程是（ ） A 15422=+y x B ()1812122=++y x C 15422=+x y D ()1241212

2

=+-y x

七、椭圆与直线（线段）问题

例10．1 已知M={(x,y)|x 2+2y 2=3} N={(x,y)|y=mx+b} 若对于所有m ∈R ，均有M ∩N ≠Φ，则b 的取值范围是（ ） A [--26 ，26] B （--26 ，26） C （--332 ，332） D[--332 ，3

32] 例10．2 椭圆x 2+2

2

y =a 2(a>0)和连接A （1，1），B （2，3）两点的线段有公共点，则a 的取值范围是

二、椭圆中的最值问题

（1）用函数解决椭圆中的最值问题

例4．1椭圆中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e=

2

3，已知点P(0, 23)到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程。 例4．3曲线),(122

22R b a b

y a x ∈=+过点M （1，1），求a+b 的最小值。 例4．4设P 为椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上任一点，F 1为其左焦点，求|PF 1|的最小值和最大值。 例4．5 已知AB 为经过椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的中心的弦，F （c,0）为椭圆的右焦点，则ΔABF 的面积的最大值为多少？

（2）用平面几何性质解决椭圆中的最值值问题

例5．1如图，设P （--2，3），F 为椭圆116

252

2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，当|PM|+35|MF|取最小值时，求M 点坐标。

例5．2 点P 在7x 2+4y 2=28上，求点P 到直线3x —2y —16=0的距离的最大值。

例5．3 已知椭圆15

142

2=+y x 和直线l ：x —y+9=0,在l 上任取一点P ，经过点P 且以已知椭圆的焦点为焦点作椭圆，求作出的所有椭圆中长轴最短的椭圆方程。

四、椭圆中的垂直问题

例7．2 D

例7．2(±23

5,±25)

例7．3D

五、几个重要问题

例8

．

1

3

（1）(22

3y x +=1) （2）(21

，2) 例8．25

522<-m 六、椭圆中的轨迹问题

解：设),(y x A ，由题设得)0(9466≠-=+⋅-x x y x y 。化简得)0(136812

2≠=+x y x

七、椭圆与直线（线段）问题

例10．1A

例10．2[234

26

，]

八、椭圆中的焦半径或焦点弦问题

例11．1 [不能]

例11．2

作业

1B

2 4x 2+4y 2—85x+100=0） 3(x 2+y 2±17x+16=0)

二、椭圆中的最值问题

例4．1[1422

=+y x ]

例4．2

例4．3[22] 例4．4[a+c ,a —c] 例4．5 [bc] 例5．1M （3,413

5）

例5．2[1324

]

例5．3 [136452

2=+y x ]