最短路算法[1]
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的一个经典问题，它在很多实际应用中都有着重要的作用。
在现实生活中，我们经常需要求解最短路径，比如在地图导航、网络通信、交通运输等领域。
因此，研究最短路问题的求解方法具有重要的理论意义和实际应用价值。
在图论中，最短路问题的求解方法有很多种，其中比较经典的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。
这些算法各有特点，适用于不同的场景和要求。
下面我们就逐一介绍这些算法的原理和求解方法。
Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它采用贪心策略，每次找到当前距离最短的节点进行松弛操作，直到所有节点都被遍历。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于边权值为正的图，可以求解从单个源点到其他所有点的最短路径。
Bellman-Ford算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它可以处理边权值为负的图，并且可以检测负权回路。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的个数，E为边的个数。
这种算法适用于一般情况下的最短路径求解，但是由于其时间复杂度较高，不适用于大规模图的求解。
Floyd-Warshall算法是一种用于求解所有点对最短路径的算法，它可以处理边权值为正或负的图，但是不能检测负权回路。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于求解图中所有点对之间的最短路径，可以同时求解多个源点到多个目标点的最短路径。
除了上述几种经典的最短路求解算法外，还有一些其他的方法，比如A算法、SPFA算法等。
这些算法在不同的场景和要求下有着各自的优势和局限性，需要根据具体情况进行选择和应用。
在实际应用中，最短路问题的求解方法需要根据具体的场景和要求进行选择，需要综合考虑图的规模、边权值的情况、时间效率等因素。
同时，对于大规模图的求解，还需要考虑算法的优化和并行化问题，以提高求解效率。
最短路算法(图论)
2009年春季 图算法及其在通信网络中的应用
DijkstraAlg源码(二)
void CGraph::Update(int v) { list<CEdge*> lEdge = mapVID_listEdge[v]; list<CEdge*>::iterator i,iend; iend = lEdge.end(); for( i = lEdge.begin(); i!=iend; i++) { int w = (*i)->getWeight(); CVertex* h = mapVID_Vertex[(*i)->getHead()]; void CGraph::Dijkstra(int s) CVertex* t = mapVID_Vertex[v]; { if ( t->d + w < h->d ) map<int, CVertex*>::iterator i,iend; { h->d = t->d + w; iend = mapVID_Vertex.end(); h->p = v; for( i=mapVID_Vertex.begin(); i != iend; i++) } { if ( i->second->ID == s) } i->second->d = 0; } listTempMark.pushback(i->second); } Update(s); while( ! listTempMark.empty() ) { listTempMark.sort(pVertexComp); int j = (*listTempMark.begin())->ID; listTempMark.popfront(); Update(j); } }
最短路算法
5
3 10
1 2
2
v1
2
8
4 2 4
v3
6
v5
D ( 0) D
最短路问题在图论应用中处于很重要的地位， 下面举两个实际应用的例子。 例1 设备更新问题 某工厂使用一台设备，每年年初工厂要作出决定： 继续使 用旧的还是购买新的？如果继续使用旧的， 要付维修费；若要购买 一套新的，要付购买费。试 确定一个5年计划，使总支出最小. 若已知设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的 残值与维修费，如表所示.
给 (v1 , v5 ) 划成彩线。
59 40 28 30
21
v1 (0)
①
12
v2 (12)
②
19 13
v3 (19)14 20
v4 (28) 15
29
④
15 v5 (40)
22
⑤
v6
③
41
k16 , k26 , k36 , k46 , k56 } ⑹ min{ min{ 59,53,49,50,55} 49
min{ k24 , k25 , k34 , k35} min{ 9,8,10,13} 8
① 给 (v2 , v5 ) 划成粗线。
② 给 v5 标号（8）。 ③ 划第4个弧。
v2 (4)
4
5
4
v4(9)
7
9
5
v6
1
v1 (0)
①
②
6
③
4
5
v8
1
v3(6)
7
v5 (8)
④
6
⑤
v7
5）接着往下考察，有四条路可走：(v2 , v4 ), (v3 , v4 ), (v5 , v6 ), (v5 , v7 ). 可选择的最短路为
networkx 最短路算法
一、网络图简介网络图是一种表示对象之间关系的数学结构，它由一组节点和连接这些节点的边组成。
在现实生活中，网络图可以用来表示交通网络、社交网络、电力网络等各种复杂系统。
在计算机科学中，网络图通常被用于建模和解决各种问题，比如最短路径问题、最小生成树问题、网络流问题等。
二、 NetworkX 简介NetworkX 是一个用 Python 语言编写的开源图论和复杂网络分析工具包，它提供了创建、操作和研究复杂网络的功能。
NetworkX 支持创建各种类型的网络图，包括有向图、无向图、加权图等，并提供了丰富的图算法和分析工具。
其中，最短路径算法是 NetworkX 中的一个重要功能，它可以用来寻找网络图中的最短路径。
三、最短路径算法概述最短路径算法用于寻找网络图中两个节点之间的最短路径，其中路径的长度可以通过边的权重来定义。
最短路径算法有多种实现方式，常见的算法包括 Dijkstra 算法、Bellman-Ford 算法、Floyd-Warshall 算法等。
这些算法在不同场景下具有不同的适用性和效率。
四、 NetworkX 中的最短路径算法在 NetworkX 中，最短路径算法主要包括两种实现方式：单源最短路径算法和全源最短路径算法。
单源最短路径算法用于寻找网络图中某个特定节点到其他所有节点的最短路径，常见的算法有 Dijkstra 算法和 Bellman-Ford 算法；全源最短路径算法用于寻找网络图中任意两个节点之间的最短路径，常见的算法有 Floyd-Warshall 算法。
五、单源最短路径算法1. Dijkstra 算法Dijkstra 算法是一种用于计算单源最短路径的贪心算法，它的基本思想是从起始节点开始，逐步扩展到其他节点，并更新节点之间的最短距离。
具体步骤如下：（1）初始化起始节点到其他所有节点的距离为无穷大，起始节点到自身的距离为 0；（2）选择距离起始节点最近的未访问节点，并更新该节点到其相邻节点的距离；（3）重复上述步骤，直至所有节点都被访问过。
最短路算法
最短路径在一个无权的图中，若从一个顶点到另一个顶点存在着一条路径，则称该路径长度为该路径上所经过的边的数目，它等于该路径上的顶点数减1。
由于从一个顶点到另一个顶点可能存在着多条路径，每条路径上所经过的边数可能不同，即路径长度不同，把路径长度最短（即经过的边数最少）的那条路径叫作最短路径或者最短距离。
对于带权的图，考虑路径上各边的权值，则通常把一条路径上所经边的权值之和定义为该路径的路径长度或带权路径长度。
从源点到终点可能不止一条路径，把带权路径长度最短的那条路径称为最短路径，其路径长度（权值之和）称为最短路径长度或最短距离。
最短路径算法Dijkstra算法：该算法是用于求解单源点最短路径的实用算法。
Dijkstra算法的基本思想如下：设置并逐步扩充一个集合S，存放已求出其最短路径的顶点，则尚未确定最短路径的顶点集合是V-S其中，V为网中所有顶点集合。
按最短路径长度递增的顺序逐个用V-S中的顶点加到S中，直到S中包含全部顶点，而V-S为空。
Dijkstra算法的具体步骤；（1）设源点为V1，则S中只包含顶点V1，令W=V-S，则W中包含除V1外图中所有顶点。
V1对应的距离值为0，即D[1]=0。
W中顶点对应的距离值是这样规定的：若图中有弧 <v1,vk>，则Vj顶点的距离为此弧权值，否则为一个无穷大的数；（2）从W中选择一个其距离值最小的顶点 vk，并加入到S中；（3）每往S中加入一个顶点vk后，就要对W中各个顶点的距离值进行一次修改。
若加进vk做中间顶点，使<v1,vk> + <vk+vj>的值小于<v1,vj> 值，则用<v1,vk> + <vk+vj>代替原来vj 的距离值；（4）重复步骤2和3，即在修改过的W中的选距离值最小的顶点加入到S 中，并修改W中的各个顶点的距离值，如此进行下去，知道S中包含图中所有顶点为之，即S=V。
最短路dijkstra算法详解
最短路dijkstra算法详解最短路问题是图论中的一个经典问题，其目标是在给定图中找到从一个起点到其他所有节点的最短路径。
Dijkstra算法是解决最短路问题的一种常用算法，本文将详细介绍Dijkstra算法的原理、实现以及时间复杂度等相关内容。
一、Dijkstra算法的原理Dijkstra算法是一种贪心算法，其基本思想是从起点开始，逐步扩展到其他节点。
具体而言，Dijkstra算法通过维护一个集合S来记录已经找到了最短路径的节点，以及一个数组dist来记录每个节点到起点的距离。
初始时，S集合为空，dist数组中除了起点外所有节点都被初始化为无穷大。
接下来，重复以下步骤直到所有节点都被加入S集合：1. 从dist数组中选择距离起点最近的未加入S集合的节点u；2. 将u加入S集合；3. 更新与u相邻的未加入S集合的节点v的距离：如果从起点出发经过u可以得到更短的路径，则更新v对应位置上dist数组中存储的值。
重复以上步骤直至所有节点都被加入S集合，并且dist数组中存储了每个节点到起点的最短距离。
最后，根据dist数组中存储的信息可以得到起点到任意节点的最短路径。
二、Dijkstra算法的实现在实现Dijkstra算法时，需要使用一个优先队列来维护未加入S集合的节点，并且每次从队列中选择距离起点最近的节点。
由于C++标准库中没有提供优先队列，因此需要手动实现或者使用第三方库。
以下是一个基于STL堆实现的Dijkstra算法代码示例：```c++#include <iostream>#include <vector>#include <queue>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;vector<pair<int, int>> adj[10001];int dist[10001];void dijkstra(int start) {priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;pq.push(make_pair(0, start));dist[start] = 0;while (!pq.empty()) {int u = pq.top().second;pq.pop();for (auto v : adj[u]) {if (dist[u] + v.second < dist[v.first]) {dist[v.first] = dist[u] + v.second;pq.push(make_pair(dist[v.first], v.first));}}}}int main() {int n, m, start;cin >> n >> m >> start;for (int i = 1; i <= n; i++) {dist[i] = INF;}for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;adj[u].push_back(make_pair(v, w));}dijkstra(start);for (int i = 1; i <= n; i++) {if (dist[i] == INF) {cout << "INF" << endl;} else {cout << dist[i] << endl;}}return 0;}```以上代码中，adj数组用于存储图的邻接表，dist数组用于存储每个节点到起点的最短距离。
最短路算法分析
最短路算法分析最短路算法分析如下图所⽰，我们把边带有权值的图称为带权图。
边的权值可以理解为两点之间的距离。
⼀张图中任意两点间会有不同的路径相连。
最短路就是指连接两点的这些路径中最短的⼀条。
对于所有求最短路的算法，都是基于⼀个最基础的思想，那就是：松弛。
什么叫松弛呢？简单的说，就是刷新最短路。
那，怎么刷新呢？我们想，能刷新最短路的有啥？就是⽤最短路（边也可能是最短路）。
要⽤魔法打败魔法以下图为例，点1到点3的距离是2，点3到点2的距离是1，⽽图中1到2的距离是6，那么，很明显点1到点3到点2⽐点1直接到点2短得多，那么，我们的最短路dis[1][2]就等于dis[1][3]+dis[3][2]。
我们可以这么理解：1到3这条边的边权已经是1到3的最短路了，同样，2到3也是，那我们就可以⽤这两条最短路来刷新1到2的最短路，这就是⽤最短路来松弛最短路了。
那么，基于松弛操作，我们就有了⾮常多种求最短路的算法，这些算法各有神通，各有缺陷，都应该熟练掌握且能在考场上准确判断该⽤那种算法。
1、Floyed:学过最短路的⼈，⼤多数都会认为：Floyed就是暴⼒，简单粗暴，简单得很。
其实，如果你仔细品读这个算法，会发现：虽然代码简单，但是其思想却⾮常的巧妙！我们来分析⼀下：我们要求最短路，我们需要通过中转点来进⾏松弛，那我们要怎么找中转点呢？显然，必须得枚举。
那，怎么枚举呢？我们⾃⼰画画图就知道，⼀些最短路可以拐来拐去，也就是中转点有很多，那我们怎么枚举？这就是Floyed的巧妙之处，它⽤到的是动态规划的思想。
对于规模很⼤的问题，我们的⼀般策略应该是：缩⼩规模。
不管它可能有多少个，我们慢慢从少往多推。
假设我们现在不允许有中转点，那么各个点之间的最短路应该是题⽬给出来的边权。
现在我们只允许通过1号节点来进⾏转移，注意是1号⽽不是1个，如果讨论个数的话其实就回到了我们上⾯的问题：“怎么枚举？”。
现在我们只需要枚举i和j，⽐较dis[i][1]+dis[1][j]和dis[i][j]的⼤⼩，如果⼩于则刷新，这就是松弛。
掌握最短路算法的要点
掌握最短路算法的要点最短路算法是图论中的一个重要概念，其应用广泛且具有实际意义。
无论是在计算机科学还是数据分析领域，掌握最短路算法的要点都是非常重要的。
本文将详细介绍最短路算法的概念、应用以及其要点。
一、最短路算法概述最短路算法是用来求解图中两点之间最短路径问题的算法。
该算法考虑了图中各点之间的边权重，通过比较路径的权重来确定最短路径。
最常用的最短路算法有迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法是一种单源最短路径算法，用于求解一个节点到其他所有节点之间的最短路径。
它通过不断选择未访问节点中权重最小的节点来更新节点之间的距离。
弗洛伊德算法是一种多源最短路径算法，用于求解图中任意两点之间的最短路径。
它通过动态规划的方式逐步更新节点之间的距离。
弗洛伊德算法适用于解决稠密图中的最短路径问题。
二、最短路算法应用最短路算法有着广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 网络路由在计算机网络中，最短路算法被广泛应用于路由器的路径选择。
路由器根据最短路算法计算出数据包传输的最优路径，以提高网络传输效率和速度。
2. 交通规划最短路算法在交通规划中也有着重要的应用。
比如，在GPS导航系统中，通过最短路算法可以计算出车辆行驶的最短路径，帮助司机选择最快的道路。
3. 电力系统规划在电力系统规划中，最短路算法可以用于计算电力传输的最短路径，以确保电力系统的可靠性和高效性。
通过最短路算法可以优化电力线路的配置和布置。
三、最短路算法要点要想熟练掌握最短路算法，需要注意以下几个要点。
1. 图的表示在实现最短路算法之前，需要先清楚如何表示图。
常见的图表示方法有邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适用于稠密图，而邻接表适用于稀疏图。
2. 权重的定义在最短路算法中，边的权重是一个重要的因素。
不同的应用场景可能对权重有不同的定义。
比如，在交通规划中，权重可以表示为路径的时间或者距离。
在电力系统规划中，权重可以表示为电力线路的传输损耗。
3. 路径选择策略最短路算法的核心在于选择路径的策略。
带有必经点的最短路算法
带有必经点的最短路算法1.引言1.1 概述概述部分是文章引言的一部分，其主要目的是为读者提供关于带有必经点的最短路算法的背景信息和引发兴趣的内容。
以下是一种可能的概述内容编写方式：引言带有必经点的最短路算法是一种在图论中常用的算法，用于求解在给定图中，从一个起始点到达目标点的最短路径，并要求路径经过指定的必经点。
随着社会的进步和科技的发展，我们生活在一个高度互联的世界。
在这个信息时代中，交通网络的发展非常迅速，人们需要在最短的时间内到达目的地，但同时还要满足经过一些必经点的需求，例如医院、学校、商业中心等。
最短路径算法作为一种基本的图算法，在解决路线规划、网络传输等问题中起着重要的作用。
然而，传统的最短路径算法并不能满足我们对必经点的要求，因此带有必经点的最短路算法应运而生。
本文将对带有必经点的最短路算法进行详细介绍和探讨。
首先，我们将对最短路径算法进行概述，包括其基本原理和常用的算法，然后重点阐述带有必经点的最短路算法的原理，并给出具体的算法实现步骤和示例。
通过本文的学习，读者将能够了解带有必经点的最短路算法的背景、原理和应用前景，为解决实际生活中的路径规划问题提供一种有效的解决方案。
接下来，我们将介绍文章的结构和各章节的内容安排，以帮助读者更好地理解和阅读本文。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分的主要目的是介绍整篇文章的组织结构，提供读者对文章的整体框架有一个清晰的认识。
本文分为以下几个主要部分。
1. 引言部分：该部分为文章的开篇，通过引入最短路径算法的概念以及其应用背景，引起读者的兴趣。
同时介绍本文的目的和重要性。
2. 正文部分：本部分主要介绍最短路径算法的相关概述和带有必经点的最短路算法原理。
首先，将对最短路径算法进行概述，包括介绍其基本原理和常用的算法类别。
接着，详细介绍带有必经点的最短路算法的原理，包括其基本思想和算法流程。
同时，对该算法在实际应用中的一些限制和优化方法进行探讨。
最短路算法
一 、狄克斯特拉算法 (Dijkstra algorithm, 1959)
• 计算两节点之间或一个节点到所有节点之间的最短路
的直接距离(两点之间有边 两点之间有边)， 令 dij 表示 vi 到 vj 的直接距离 两点之间有边 ，若两点之间 没有边， 两点之间是有向边， 没有边，则令 dij = ∞，若两点之间是有向边，则 dji = ∞； 令 dii = 0，s 表示始点，t 表示终点 ， 表示始点，
j dij i dik djk k
4
6.3.2 Floyd-Warshall 算法 (1962) for i=1 to n do dii=∞; ∞ for all eij=0; for j=1 to n do for i=1 to n do if i≠j then ≠ for k=1 to n do if k≠j then ≠ begin dik=min{dik, dij+djk}; if dik>dij+djk then eik=j end;
1
例1 狄克斯特拉算法 ∞ 10 11 ∞
2 10
0 s
1 8 9 3 4
12 15 ∞
5 20 2 2 30
∞ t 31
பைடு நூலகம்15
8 4 ∞ 8
7
6
13 ∞ 15
2
Dijkstra最短路算法的特点和适应范围 最短路算法的特点和 最短路算法的特点
• 一种隐阶段的动态规划方法 • 每次迭代只有一个节点获得永久标记，若有两个或两个以上 每次迭代只有一个节点获得永久标记， 节点的临时标记同时最小，可任选一个永久标记；总是从一 节点的临时标记同时最小，可任选一个永久标记； 个新的永久标记开始新一轮的临时标记，是一种深探法 个新的永久标记开始新一轮的临时标记，是一种深探法 • 被框住的永久标记 Tj 表示 vs 到 vj 的最短路，因此 要求 dij≥0， 的最短路， ， 次迭代得到的永久标记， 条边， 第 k 次迭代得到的永久标记，其最短路中最多有 k 条边，因 此最多有n 此最多有 −1 次迭代 • 可以应用于简单有向图和混合图，在临时标记时，所谓相邻 可以应用于简单有向图和混合图 在临时标记时， 简单有向图和混合图， 必须是箭头指向的节点； 必须是箭头指向的节点；若第 n−1 次迭代后仍有节点的标记 为 ∞，则表明 vs 到该节点无有向路径 • 如果只求 vs 到 vt 的最短路，则当 vt 得到永久标记算法就结束 的最短路， 了；但算法复杂度是一样的 • 应用 Dijkstra 算法 n−1 次 ，可以求所有点间的最短路 • vs 到所有点的最短路也是一棵生成树，但不是最小生成树 到所有点的最短路也是一棵生成树，
数据结构与算法(14)：最短路算法
3. 以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点，修改后的距离值的顶点k的距离加上 边上的权。
4. 重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。 步骤动画如下：
实例例如下
用用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路路径步骤如下
1.3 代码实现
以"邻接矩阵"为例例对迪杰斯特拉算法进行行行说明。
public class MatrixUDG {
private int mEdgNum; private char[] mVexs; private int[][] mMatrix;
*
prev -- 前驱顶点数组。即，prev[i]的值是"顶点vs"到"顶点i"的最短路路径所经历的全部顶点
中，位于"顶点i"之前的那个顶点。
*
dist -- ⻓长度数组。即，dist[i]是"顶点vs"到"顶点i"的最短路路径的⻓长度。
*/
public void dijkstra(int vs, int[] prev, int[] dist) { // flag[i]=true表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路路径已成功获取
数据结构与算法（14）：最短路路算法
最短路路径问题是图论研究中的一一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路路径组成的）中两结点 之间的最短路路径。算法具体的形式包括：
确定起点的最短路路径问题 - 即已知起始结点，求最短路路径的问题。适合使用用Dijkstra算法。 确定终点的最短路路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路路径的 问题。在无无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路路径 方方向反转的确定起点的问题。 确定起点终点的最短路路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路路径。 全局最短路路径问题 - 求图中所有的最短路路径。适合使用用Floyd-Warshall算法。
最短路问题的启发式搜索算法
最短路问题的启发式搜索算法最短路问题是指在带权重的有向图或无向图中，寻找从一个顶点到另一个顶点的最短路径。
启发式搜索算法是一种利用启发信息来指导搜索的方法。
本文将介绍两种常用的启发式搜索算法——Dijkstra算法和A*算法。
一、Dijkstra算法Dijkstra算法是一种经典的最短路算法，它适用于无负权边的有向图或无向图。
下面是Dijkstra算法的伪代码：1. 初始化距离数组dist，将起始顶点的距离初始化为0，其他顶点距离初始化为正无穷。
2. 创建一个空的优先队列Q，并将起始顶点入队。
3. 当队列不为空时，执行以下步骤：- 出队一个顶点u。
- 遍历u的所有邻接顶点v，如果从起始顶点到v的距离dist[u]加上u到v的边权重小于dist[v]，则更新dist[v]的值，将v入队。
4. 当队列为空时，算法结束。
Dijkstra算法的核心思想是通过不断更新起始顶点到其他顶点的距离值，直到找到最短路径。
该算法保证了每次从队列中取出的顶点都是到起始顶点距离最短的顶点，因此可以得到最短路径。
二、A*算法A*算法是一种常用的启发式搜索算法，它适用于带有启发信息的有向图或无向图。
下面是A*算法的伪代码：1. 初始化起始顶点的估计距离值为0。
2. 创建一个空的优先队列Q，并将起始顶点入队，估计距离值作为优先级。
3. 当队列不为空时，执行以下步骤：- 出队一个顶点u。
- 如果u是目标顶点，则算法结束。
- 遍历u的所有邻接顶点v，计算从起始顶点到v的实际距离和估计距离之和f.- 如果f小于v的估计距离值，则更新v的估计距离值为f，并将v入队。
4. 当队列为空时，算法结束。
A*算法的核心思想是通过启发式估计函数，将优先级队列中的顶点按照估计距离值进行排序。
其中，估计距离值等于实际距离值加上启发式函数给出的估计值。
通过这种方式，A*算法可以在保证搜索效率的同时，找到最短路径。
结语最短路问题的启发式搜索算法为解决最短路径提供了有效的方法。
最短路问题Dijkstra算法
2-
0-
vs
v1
2
27
- 54
5 v2 5
- ∞9
-∞
v4 5
vt
4 13
1 7
v3
4
v5
-4
-∞
考察v1 , T(v2)=min[T(v2),P(v1)+w12]= min[5,2+2]=4 T(v4)=min[T(v4),P(v1)+w14]= min[+∞,2+7]=97
迭 Step 3: 比较所有具有 T 标号的点，把最小者改为 代 P 标号，即 P(vi)=min[T(vi)]. 2
v4 5
vt
4 13
17
v3
4
v5
4-
7-
14
最短路
2-
v1
2
27
0-
4-
8-
13 -
vs
5 v2 5
v4 5
vt
4 13
1 7
v3
4
v5
4-
7-
• Dijkstra算法不仅找到了所求最短路，而且找到 了从 vs 点到其他所有顶点的最短路；这些最短 路构成了图的一个连通无圈的支撑子图，即图 的一个支撑树。
T(v4)=min[T(v4),P(v1)+w14]= min[+∞,2+7]=9
(5) 全部 T 标号中,T(v2),T(v3)最小,令P(v2)=4, P(v3)=4, 记录路径(v1 ,v2), (v1 ,v4),. .…………
17
有些最短路问题也可以求网络中某指定点到其余所 有结点的最短路、或求网络中任意两点间的最短路.
1
一、网络无负权的最短路 ——Dijkstra算法
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的一个经典问题，它在现实生活中有着广泛的应用。
在很多实际情况下，我们需要找到两个节点之间的最短路径，以便在最短时间内到达目的地或者以最小的成本进行运输。
因此，求解最短路问题具有重要的意义。
在图论中，最短路问题可以分为单源最短路和多源最短路两种情况。
单源最短路指的是从图中的一个固定节点出发，到达其他所有节点的最短路径；而多源最短路则是求解图中任意两个节点之间的最短路径。
针对这两种情况，我们可以采用不同的算法来求解最短路问题。
其中，最著名的算法包括Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法适用于单源最短路问题，它采用贪心策略，逐步确定从源节点到其他节点的最短路径。
而Floyd-Warshall算法则适用于多源最短路问题，它通过动态规划的方式，计算图中任意两个节点之间的最短路径。
除了这两种经典算法外，还有一些其他方法可以用来求解最短路问题，比如Bellman-Ford算法和SPFA算法。
这些算法各有特点，适用于不同的场景，可以根据具体情况选择合适的算法来解决最短路问题。
在实际应用中，最短路问题常常涉及到大规模的图和复杂的网络结构，因此算法的效率和性能也是非常重要的考量因素。
为了提高算法的求解速度，可以采用一些优化手段，比如使用堆优化的Dijkstra算法、矩阵快速幂优化的Floyd-Warshall算法等。
总之，最短路问题是图论中的一个重要问题，它在实际生活中有着广泛的应用。
通过合理选择算法和优化方法，我们可以高效地求解最短路问题，为实际应用提供有力的支持。
希望本文能够为读者对最短路问题的求解方法有所启发，也希望在未来的实际应用中能够发挥一定的作用。
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的经典问题之一，它在实际生活中有着广泛的应用。
在现实生活中，我们经常需要找到两点之间的最短路径，比如在地图导航、网络通信、交通运输等领域。
因此，求解最短路问题具有重要的理论和实际意义。
在图论中，最短路问题可以分为单源最短路和多源最短路两种情况。
单源最短路指的是从图中的一个固定顶点出发，到达图中其他所有顶点的最短路径；而多源最短路则是指图中任意两个顶点之间的最短路径。
在本文中，我们将重点讨论单源最短路问题的求解方法。
求解最短路问题的方法有很多种，其中比较经典的算法包括Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法。
下面将分别介绍这三种算法的原理和应用。
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带权有向图中的单源最短路径问题。
该算法的基本思想是从起始顶点开始，逐步扩展到其他顶点，每次选择距离起始顶点最近的顶点进行扩展，直到扩展到目标顶点为止。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V表示图中顶点的个数。
该算法适用于没有负权边的图，且能够快速求解单源最短路的问题。
Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图中的单源最短路径问题，该算法允许图中存在负权边。
Bellman-Ford算法的基本思想是通过对图中的所有边进行|V|-1次松弛操作，其中|V|表示图中顶点的个数。
通过多次松弛操作，可以逐步逼近最短路径的结果。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V表示图中顶点的个数，E表示图中边的个数。
该算法适用于存在负权边的图，且能够求解单源最短路的问题。
Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图中的多源最短路径问题。
该算法的基本思想是通过对图中的所有顶点进行遍历，逐步更新每对顶点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V表示图中顶点的个数。
最短路问题迪杰斯特拉算法
min {d23,d25,c47,d67}=min {2+6,2+5,1+2,3+4}=min {8,7,3,7}=3
X={1,2,4,6,7}, p7=3
X={1,2,4,6,7}
p1=0
p2=2
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
p5=6
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
8
4
8
p6=3
p7=3
min {d23,d25,d75,d78}=min {2+6,2+5,3+3,3+8}=min {8,7,6,11}=6
X={1,4}
p1=0
p2=2
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
min {d12,d16,d42,d47}=min {0+2,0+3,1+10,1+2}=min {2,3,11,3}=2 X={1,2,4}, p2=2
X={1,2,4}
p1=0
p2=2
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
② v j 具有T 标号，即v j s ，s 为T 标号点集.
修改 v j 的T标号为 min{T (v j ), p(v1) l1 j} ，并将结
果仍记为T(vj)。= l1j
最短路floyd算法
最短路floyd算法
最短路Floyd算法
在计算机科学中，最短路算法是指从一个源节点到其他所有节点的最短路径。
最短路径问题在生产、交通运输、通信、电子商务等领域中都有广泛应用。
而Floyd算法是其中一种经典的最短路算法，也是最为简单易懂的一种算法之一。
Floyd算法是一种动态规划算法，可以求出有向图或者无向图中任意两点之间的最短路径。
该算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n 为图中节点的个数。
虽然其时间复杂度较高，但其简单易懂，容易实现，因此在实际应用中也得到了广泛的使用。
Floyd算法的思路是动态规划，其核心是通过不断更新节点之间的距离来求解最短路径。
具体实现时，通过一个二维数组来存储每个节点之间的距离，初始化时，对于任意两个节点i,j，如果存在直接相连的边，则将其距离赋值为边的权值，否则赋值为一个很大的数。
接着，对于每一个节点k，遍历所有节点i,j，若i到j的路径通过k 节点比原来的路径更短，则更新i到j的距离为i到k再到j的距离，即d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])。
最终，当所有节点遍历完之后，二维数组中存储的就是任意两点之间的最短路径。
Floyd算法的优点是可以处理带负权边的图，但是如果图中存在负
权环，则该算法会出现错误的结果。
因此，如果存在负权环，则需要使用其他的算法来求解最短路径问题。
Floyd算法是一种简单易懂的最短路算法，适用于求解任意两点之间的最短路径问题，其时间复杂度较高，但在实际应用中得到了广泛的使用。
在实际应用中，可以通过合理的优化，来降低算法的时间复杂度，提高算法的效率。
最短路算法的应用
最短路算法的应用最短路径算法的应用最短路径算法（Shortest Path Algorithm）是图论中的经典问题，其目标是在一个加权有向图或无向图中找到两个顶点之间的最短路径。
最短路径算法在现实生活中有着广泛的应用，包括交通导航、网络路由、物流运输等领域。
本文将详细介绍最短路径算法的原理及其应用。
一、最短路径算法的原理最短路径算法的核心思想是通过遍历图中的节点，并计算出每个节点到起始节点的最短路径值（即距离）。
最短路径算法主要有以下两种经典算法：1. 迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）：迪杰斯特拉算法用于求解单源最短路径问题，即给定一个起始节点，计算其到图中所有其他节点的最短路径。
该算法的步骤如下：（1）初始化：设置起始节点的最短路径值为0，其他节点的最短路径值为无穷大。
（2）选择最短路径值最小的节点，并将其标记为已访问。
（3）更新相邻节点的最短路径值：对于当前节点的所有相邻节点，通过比较经过当前节点的路径长度与已记录的最短路径值，更新最短路径值。
（4）重复步骤（2）和（3），直到所有节点都被标记为已访问。
（5）得到起始节点到图中其他节点的最短路径值。
2. 贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm）：贝尔曼-福特算法用于求解任意两个节点之间的最短路径，可以处理存在负权边的图。
该算法的步骤如下：（1）初始化：设置起始节点的最短路径值为0，其他节点的最短路径值为无穷大。
（2）对所有边进行松弛操作：遍历图中的所有边，通过比较经过当前边的路径长度与已记录的最短路径值，更新最短路径值。
（3）重复步骤（2）|V|-1次（其中|V|为图中节点的个数），以保证所有节点的最短路径值被正确计算。
（4）检测是否存在负权回路：再次遍历图中的所有边，如果经过某条边的路径长度仍然可以被缩短，则说明图中存在负权回路，无法得到最短路径。
（5）得到任意两个节点之间的最短路径值。
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最短路算法及其应用广东北江中学余远铭【摘要】最短路问题是图论中的核心问题之一，它是许多更深层算法的基础。
同时，该问题有着大量的生产实际的背景。
不少问题从表面上看与最短路问题没有什么关系，却也可以归结为最短路问题。
本文较详尽地介绍了相关的基本概念、常用算法及其适用范围，并对其应用做出了举例说明，侧重于模型的建立、思考和证明的过程，最后作出总结。
【关键字】最短路【目录】一、基本概念 (2)1．1 定义 (2)1．2简单变体 (2)1．3负权边 (3)1．4重要性质及松弛技术 (4)二、常用算法 (5)2．1 Dijkstra算法 (5)2．2 Bellman-Ford算法 (7)2．3 SPFA算法 (8)三、应用举例 (10)3．1 例题1——货币兑换 (10)3．2 例题2——双调路径 (11)3．3 例题3——Layout (13)3．4 例题4——网络提速 (15)四、总结 (18)【正文】一、基本概念1．1 定义乘汽车旅行的人总希望找出到目的地尽可能短的行程。
如果有一张地图并在地图上标出了每对十字路口之间的距离，如何找出这一最短行程？一种可能的方法是枚举出所有路径，并计算出每条路径的长度，然后选择最短的一条。
然而我们很容易看到，即使不考虑含回路的路径，依然存在数以百万计的行车路线，而其中绝大多数是没必要考虑的。
下面我们将阐明如何有效地解决这类问题。
在最短路问题中，给出的是一有向加权图G=(V ,E)，在其上定义的加权函数W:E →R 为从边到实型权值的映射。
路径P=(v 0, v 1,……, v k )的权是指其组成边的所有权值之和：11()(,)ki i i w p w v v -==∑定义u 到v 间最短路径的权为{}{}min ():)w p u v u v v δυ→(,=∞ 如果存在由到的通路如果不存在从结点u 到结点v 的最短路径定义为权())w p v δυ=(,的任何路径。
在乘车旅行的例子中，我们可以把公路地图模型化为一个图：结点表示路口，边表示连接两个路口的公路，边权表示公路的长度。
我们的目标是从起点出发找一条到达目的地的最短路径。
边的权常被解释为一种度量方法，而不仅仅是距离。
它们常常被用来表示时间、金钱、罚款、损失或任何其他沿路径线性积累的数量形式。
1．2简单变体单目标最短路径问题： 找出从每一结点v 到某指定结点u 的一条最短路径。
把图中的每条边反向，我们就可以把这一问题转化为单源最短路径问题。
单对结点间的最短路径问题：对于某给定结点u 和v ，找出从u 到v 的一条最短路径。
如果我们解决了源结点为u 的单源问题，则这一问题也就获得了解决。
对于该问题的最坏情况，从渐进意义上看，目前还未发现比最好的单源算法更快的方法。
每对结点间的最短路径问题：对于每对结点u 和v ，找出从u 到v 的最短路径。
我们可以用单源算法对每个结点作为源点运行一次就可以解决问题。
1．3负权边在某些单源最短路问题中，可能存在权为负的边。
如果图G(V ,E)不包含由源s 可达的负权回路，则对所有s v V ∈，最短路径的权的定义(,)s v δ依然正确。
即使它是一个负值也是如此。
但如果存在一从s 可达的负权回路，最短路径的定义就不能成立了。
从s 到该回路上的结点不存在最短路径——因为我们总可以顺着找出的“最短”路径再穿过负权回路从而获得一权值更小的路径，因此如果从s 到v 的某路径中存在一负权回路，我们定义(,)s v δ=-∞。
图1 含有负权和负权回路的图图1说明负的权值对最短路径的权的影响。
每个结点内的数字是从源点s 到该结点的最短路径的权。
因为从s 到a 只存在一条路径(路径<s,a>)，所以：(,)(,)3s a w s a δ==。
类似地，从s 到b 也只有一条通路，所以：(,)(,)(,)3(4)1s b w s a w a b δ=+=+-=-。
从s 到c 则存在无数条路径：<s,c>,<s,c,d,c>,<s,c,d,c,c,d,c>等等。
因为回路<c,d,c>的权为6+(-3)=3>0，所以从s 到c 的最短路径为<s,c>，其权为：(,)5s c δ=。
类似地，从s 到d 的最短路径为<s,c,d>，其权为：(,)(,)(,)11s d w s c w c d δ=+=。
同样，从s 到e 存在无数条路径：<s,e>,<s,e,f,e>,<s,e,f,e,f,e>等等.由于回路<e,f,e>的权为3+(-6)=-3<0，所以从s 到e 没有最短路径。
只要穿越负权回路任意次，我们就可以发现从s 到e 的路径可以有任意小的负权值，所以：(,)s e δ=-∞类似地，(,)s f δ=-∞因为g 是从f 可达的结点，我们从s 到g 的路径可以有任意小的负权值，则：(,)s g δ=-∞。
结点h ，j ，i 也形成一权值为负的回路，但因为它们从s 不可达，因此(,)(,)(,)s h s i s j δδδ===∞。
一些最短路径的算法，例如Dijkstra 算法，都假定输入图中所有边的权取非负数，如公路地图实例。
另外一些最短路算法，如Bellman-Ford 算法，允许输入图中存在权为负的边，只要不存在从源点可达的权为负的回路，这些算法都能给出正确的解答。
特定地说，如果存在这样一个权为负的回路，这些算法可以检测出这种回路的存在。
1．4重要性质及松弛技术本文的算法所运用的主要技术是松弛技术，它反复减小每个结点的实际最短路径的权的上限，直到该上限等于最短路径的权。
让我们看看如何运用松弛技术并正式证明它的一些特性。
定理1 (最优子结构) 给定有向加权图G=(V ,E)，设P=<v 1, v 2,…, v k >为从结点v 1到结点v k 的一条最短路径，对任意i,j 有i<=j<=k ，设P ij =< v i , v i+1,…, v j >为从v i 到v j 的P 的子路径,则P ij 是从v i 到v j 的一条最短路径。
证明：我们把路径P 分解为<v 1,v 2,…,v i ,v i+1,…v j ,…v k >。
则w(P)=w(P 1i )+w(P ij )+w(P jk )。
现在假设从v i 到v j 存在一路径P ’ij ，且w(P ’ij )<w(P ij )，则将P 中的路径P ij =(v i ,v i+1,…v j )替换成P ’ij ，依然是从v 1到v k 的一条路径，且其权值 w(P 1i )+w(P ’ij )+w(P jk )小于w(P)，这与前提P 是从v 1到v k 的最短路径矛盾。
（证毕）下面看定理1的一个推论，它给出了最短路径的一个简单而实用的性质： 推论1.1 给定有向加权图G=(V ,E),源点为s ，则对于所有边(u,v)⊂E ，有(,)(,)(,)s v s u w u v δδ≤+证明： 从源点s 到结点v 的最短路径P 的权不大于从s 到v 的其它路径的权。
特别地，路径P 的权也不大于某特定路径的权，该特定路径为从s 到u 的最短路径加上边(u,v)。
（证毕）下面介绍松弛技术。
对每个结点v ∈V ，我们设置一属性d[v]来描述从源s 到v 的最短路径的权的上界，称之为最短路径估计。
我们通过下面的过程对最短路径估计和先辈初始化。
经过初始化以后,对所有v ∈V ，π[v]=NIL ，对v=s ，d[v]=0，对v ∈V-{s}，INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G ,s) 1. For 每个结点 v ∈V[G] 2. Do d[v]←∞ 3. π[v]←NIL 4. d[s]←0d[v]= ∞。
松弛一条边(u,v)的过程包括测试我们是否可能通过结点u对目前找出的到v的最短路径进行改进，如果可能则更新d[v]和π[v]，一次松弛操作可以减小最短路径的估计值d[v]并更新v的先辈域π[v]，下面的代码实现了对边(u,v)的进一步松弛操作。
RELAX(u,v,w)1.If d[v]>d[u]+w(u,v)2.Then d[v]←d[u]+w(u,v)3.π[v]←u图2 对边(u,v)进行松弛图2说明了松弛一条边的两个实例，在其中一个例子中最短路径估计减小，而在另一实例中最短路径估计不变。
(a)因为在进行松弛以前d[v]>d[u]+w[u,v]，所以d[v]的值减小。
(b)因为松弛前d[v]<=d[u]+w[u,v]，所以松弛不改变d[v]得值。
下文介绍的每个算法都调用INITIALIZE-SINGLE-SOURCE，然后重复对边进行松弛的过程RELAX。
区别在于对每条边进行松弛操作的次数以及对边执行操作的次序有所不同。
需要指出的是，松弛是改变最短路径估计和先辈的唯一方式。
二、常用算法这一节着重讨论两种常用算法：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
虽然它们都是建立在松弛技术基础上的算法，但是在实现上有着各自的特点，适用的范围也有所不同。
另外，我们还将介绍一种期望复杂度与边数同阶的高效算法——SPFA算法，并对其复杂度作出简要的分析。
2．1 Dijkstra算法Dijkstra算法解决了有向加权图的最短路径问题，该算法的条件是该图所有边的权值非负，因此在本小节我们约定：对于每条边(u,v)∈E，w(u,v)>=0。
Dijkstra算法中设置了一结点集合S，从源结点s到集合S中结点的最终最短路径的权均已确定，即对所有结点v∈S，有d[v]=δ(s,v)。
算法反复挑选出其最短路径估计为最小的结点u∈V-S，把u插入集合S中，并对离开u 的所有边进行松弛。
在下列算法实现中设置了优先队列Q，该队列包含所有属于V-S的结点，且队列中各结点都有相应的d值。
算法假定图G由临接表表示。
Dijkstra(G,w,s)1.INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,S)2.S←∅3.Q←V[G]4.While Q≠∅5.Do u←EXTRACT-MIN(Q)6.S←S U{u}7.For 每个顶点v∈Adj[u]8.Do RELAX(u,v,w)Dijkstra算法如图3所示对边进行松弛操作，最左结点为源结点，每个结点内为其最短路径估计。
图3 Dijkstra算法的执行流程阴影覆盖的边说明了前驱的值：如果边(u,v)为阴影所覆盖，则π[v]=u。
黑色结点属于集合S，白色结点属于优先队列Q=V-S。
第1行对d和π值进行通常的初始化工作。
第2行置集合S为空集。