能量原理之结构力学版

F1 F2 如果将F1+F2视为 一个力，应为
V
F F l V V
1 2 2 1 2 2
3.直接“叠加”
2 EA
F 1 F 2 l
2
2 EA
4.先加F1
2 F 1 1 l V 1 F 1 1 2 2 EA
F2从零开 始，缓慢 加载
F1+F2
l/2
l 23 2 2 2 2 F l F m l 1 m l M x M x P P 1 2 V dx dx EI 96 16 6 2 EI 2 EI 0 l/2
2.先加FP，再加m
PC FP l 48EI
2
3
1 V 1 F PPC 2
能量原理
§1 概述
缓慢加载，无热耗，弹性阶段 （不必线性弹性）——外力功全部转 化为应变能（变形能）。
§2 弹性体应变能
一、杆在基本变形下的应变能
1.轴向拉压
FN(x) dx
2 1 F x N x d l dx 微线段应变能： dV F N 2 2 EA
FN(x+dx)
2 2 F F l N V dx 2EA 2EA l
F
2 2 F F l V v Al dv 2 2 EA 2 EA V
1 1F F v 2 2 AEA
应变能密度和余能密度
1
功和余功 F1

F

dv d
d
1
d

1
dW F d
A
PA
FP C PC FP C
B
ml m C 16EI
mA
ml 3EI
A
mA
B
mC
1 V F m 2 P mC mA 2
m
2 3 2 2 F l F ml 1 m l P P V V V 1 2 EI 96 16 6
2 N 2 x 2
FQ2
为什么此时可以叠加？
A
Δ
B
例1.计算图示杆中的应变能(EA已知) 解： 1.用定义计算
2 F x N dV dx 2 EA
F1
l l
F2
2 F F F 2 1 2 V dx dx 2 EA 0 2 EA 0 l l 2
2 F F F l 2l 1 2 2 EA 2 EA 2
杆中应变能：
2 F x N V dV dx 2 EA l l
1.轴向拉压
2.圆轴扭转 3.弯曲
2 1 F x N dV x d l dx F N 2 2 EA
2 1 M x dV M d dx x 2 2 GI P
F1
l l
F2
V V V 1 2
例2.计算图示梁中的应变能(EI已知)
解：
1.按定义计算
M2 V dx 2EI l
0 xl /2 l /2 xl
A m
FP C B
m F P m x 2 l x M m F P l x 2 l
dW dF c
W
1
Fd
0
WC
F1
dF
0
对于线性弹性问题
F1
余功
W W C
功
1
二、应变能密度和余能密度
1
一、功和余功 F1

F

dv d
d
1

dW F d
F1
1
d
d
1

1
dF
F
1
dv d C
dW dF c
对于线性弹性问题
1
余能 应变能
v vC
dv d E d
1
dv d C
v C d
0
v d E d
0 0
1
1
1
1
d E 0

1 2 1 E 1 1 1 2 2
2 1 1 1 11 2E 2
2 2 2 F M M 用此式计算的是储存在杆 N x V dx dx dx 件整体内部的总应变能 2 EA 2 GI 2 EI P z l l l
v d
0
1
1 1 1 2
线性弹性问题
用此式计算的是单向应力状态下储存在单位 体积内部的应变能（应变能密度或比能）。

5.再加F2
1 V F22 F 12 2 2 F F 2 l 1F 2l 2EA EA
* 2
1 2
F1 F2
F1
6. 叠加
2 F F l 1 2 V
加F2时，F1已经作用在杆上， 对变形Δ 2作功。

2 EA
2.组合变形时的应变能：
F M M dx V dx dx dx 2 EA l 2 GI 2 EI 2GA P z l l l
2 1 M dV d dx M 2 2 EI z
d
M
二、应变能的叠加 1.计算应变能时，一般不能“直接”叠加 例： 1.只加F1
l
E、A、l
F1+F2
2 2 F dx F 1 1 1 l V F 1 1 1 2 EA 2 EA 2 0
2.只加F2
2 F 1 2 l V 2 F 2 2 2 2 EA
2 F F F l 2l 1 2 V 2 EA 2 EA 2
F1
l l
F2
2.先加F2，然后加F1（用外力功）
2 l 1 * 1 F 2 V 1 F 2 2 F 2 2 2 EA
F2
l F l 1 * * 1 F 1 1 V F F F F 2 1 1 2 1 1 2 2 2 EA EA
注意：力作用处的挠度或转角一般 未知，故基本方法是用内力计算。
2 2 2 F M M N x V dx dx dx 2 EA l 2 GI 2 EI P z l l
A m
FP C B
§2* 余功、应变余能
一、功和余功
F1 F1
F
dF
F

1

1
d
dW F dຫໍສະໝຸດ Baidu