2019年高考数学一轮复习(文科)训练题：推理与证明
2019版高考数学(文科 课标版)一轮复习题组训练：第十四章推理与证明
第十四章 推理与证明题组1 合情推理与演绎推理1.[2016北京,8,5分][文]某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远(单位:米)1.961.921.821.81.781.761.741.721.681.630秒跳绳(单位:次)63a7560637270a-1b65在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( )A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛2.[2017北京,14,5分][文]某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数;(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 .②该小组人数的最小值为 .3.[2016山东,12,5分][文]观察下列等式:(sin )-2+(sin )-2=×1×2;π32π343(sin )-2+(sin )-2+(sin )-2+(sin )-2=×2×3;π52π53π54π543(sin )-2+(sin )-2+(sin )-2+…+(sin )-2=×3×4;π72π73π76π743(sin )-2+(sin )-2+(sin )-2+…+(sin )-2=×4×5;π92π93π98π943……照此规律,(sin )-2+(sin )-2+(sin )-2+…+(sin )-2= .π2n +12π2n +13π2n +12nπ2n +14.[2015陕西,16,5分][文]观察下列等式1-=12121-+-=+12131413141-+-+-=++1213141516141516……据此规律,第n 个等式可为 .5.[2014新课标全国Ⅰ,14,5分][文]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C 三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市;乙说:我没去过C 城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 .6.[2014福建,15,4分]若集合{a ,b ,c ,d }={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b ≠1;③c=2;④d ≠4有且只有一个是正确的, 则符合条件的有序数组(a ,b ,c ,d )的个数是 .7.[2014安徽,12,5分][文]如图14-1,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2.过点A 作BC 2的垂线,垂足为A 1;过点A 1作AC 的垂线,垂足为A 2;过点A 2作A 1C 的垂线,垂足为A 3;…,依此类推.设BA=a 1,AA 1=a 2,A 1A 2=a 3,…,A 5A 6=a 7,则a 7= .图14-18.[2014陕西,14,5分][文]已知f (x )=,x ≥0,若f 1(x )=f (x ), f n+1(x )=f (f n (x )),n ∈N +,则f 2 014(x )的表x1+x 达式为 .9.[2013湖北,17,5分][文]在平面直角坐标系中,若点P (x ,y )的坐标x ,y 均为整数,则称点P 为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S ,其内部的格点数记为N ,边界上的格点数记为L.例如图14-2中△ABC 是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.图14-2(Ⅰ)图中格点四边形DEFG 对应的S ,N ,L 分别是 ;(Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c ,其中a ,b ,c 为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S= (用数值作答). 题组2 直接证明与间接证明10.[2017北京,20,13分]设{a n }和{b n }是两个等差数列,记c n =max{b 1-a 1n ,b 2-a 2n ,…,b n -a n n }(n=1,2,3,…),其中max{x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数.(Ⅰ)若a n =n ,b n =2n-1,求c 1,c 2,c 3的值,并证明{c n }是等差数列;(Ⅱ)证明:或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n ≥m 时,>M ;或者存在正整数m ,使得c nn c m ,c m+1,c m+2,…是等差数列.11.[2016浙江,20,15分][文]设函数f (x )=x 3+,x ∈[0,1].证明:11+x (Ⅰ)f (x )≥1-x+x 2;(Ⅱ)<f (x )≤.343212.[2013北京,20,13分]已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列.该数列前n 项的最大值记为A n ,第n 项之后各项a n+1,a n+2,…的最小值记为B n ,d n =A n -B n .(Ⅰ)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *,a n+4=a n ),写出d 1,d 2,d 3,d 4的值;(Ⅱ)设d 是非负整数.证明:d n =-d (n=1,2,3,…)的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列;(Ⅲ)证明:若a 1=2,d n =1(n=1,2,3,…),则{a n }的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.A 组基础题1.[2018郑州一中高三入学测试,12]数学上称函数y=kx+b (k ,b ∈R,k ≠0)为线性函数.对于非线性可导函数f (x ),在点x 0附近一点x 的函数值f (x ),可以用如下方法求其近似代替值:f (x )≈f (x 0)+f '(x 0)(x-x 0).利用这一方法,m=的近似代替值( )4.001A.大于m B.小于m C.等于mD.与m 的大小关系无法确定2.[2018吉林百校联盟联考,5]甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后,甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是( )A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了3.[2017南昌市三模,4]已知13+23=()2,13+23+33=()2,13+23+33 +43=()2,…,若6212220213+23+33+43+…+n 3=3 025,则n=( )A.8B.9C.10D.114.[2017长春市高三第二次质量监测,14] 将1,2,3,4,…这样的正整数按如图14-3所示的方式排成三角形数组,则第10行左数第10个数为 .图14-35.[2017甘肃兰州高考实战模拟,14]观察下列式子:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…,由以上可推测出一个一般性结论:对于n∈N*,则1+2+…+n+…+2+1= .6.[2017郑州市高三第三次质量预测,13][数学文化题]中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放有纵横两种形式,如下表:表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表示,以此类推,例如6 613用算筹表示就是,则5 288用算筹可表示为 .B组提升题7.[2017长沙市五月模拟,7]某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步,每52秒跑完一圈,在学生A开始跑步时,在教室内有一个学生B,往操场看了一次,以后每50秒他都往操场看一次,则该学生B“感觉”到学生A的运动是( )A.逆时针方向匀速前跑B.顺时针方向匀速前跑C.顺时针方向匀速后退D.静止不动8.[2017沈阳市高三三模,9][数学文化题]“杨辉三角”又称“贾宪三角”,是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了贾宪三角形数表,并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数是( )2 017 2 016 2 015 2 014……6 5 4 3 2 1 4 033 4 031 4 029……………11 9 7 5 3 8 064 8 060……………………20 16 12 8 16 124 …………………………36 28 20 …………………………A.2 017×22 016B.2 018×22 015C.2 017×22 015D.2 018×22 0169.[2018山东省东明一中模拟,15]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为,记第n 个k 边形数为N (n ,k )(k ≥3),以下列出了部分n 2+n2k 边形数中第n 个数的表达式:三角形数: N (n ,3)=n 2+n ;正方形数: N (n ,4)=n 2;五边形数: N (n ,5)=n 2-n ;六边形数: N (n ,6)12123212=2n 2-n ,…,由此推测N (8,8)= .10.[2017长春市高三第四次质量监测,16]有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师,期间他们做了一个游戏,张老师的生日是m 月n 日,张老师把m 告诉了甲,把n 告诉了乙,然后张老师列出来如下10个日期供选择:2月5日,2月7日,2月9日,5月5日,5月8日,8月4日,8月7日,9月4日,9月6日,9月9日.看完日期后,甲说:“我不知道,但你一定也不知道.”乙听了甲的话后,说:“本来我不知道,但现在我知道了.”甲接着说:“哦,现在我也知道了.”请问,张老师的生日是 .答案1.B 由数据可知,进入立定跳远决赛的8人为1~8号,所以进入30秒跳绳决赛的6人从1~8号里产生.数据排序后可知3号,6号,7号必定进入30秒跳绳决赛,则得分为63,a ,60,63,a-1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛.若1号,5号学生未进入30秒跳绳决赛,则4号学生就会进入决赛,与事实矛盾,所以1号,5号学生必进入30秒跳绳决赛.故选B .2.6 12 令男学生、女学生、教师人数分别为x ,y ,z ,且x>y>z ,①若教师人数为4,则4<y<x<8,当x=7时,y 取得最大值6.②当z=1时,1=z<y<x<2,不满足条件;当z=2时,2=z<y<x<4,不满足条件;当z=3时,3=z<y<x<6,y=4,x=5,满足条件.所以该小组人数的最小值为3+4+5=12.3.n (n+1) 根据已知,归纳可得结果为n (n+1).43434.1-+-+…+-=++…+ 观察所给等式的左右两边可以归纳出1-+-+…+12131412n -112n 1n +11n +212n 121314-=++…+.12n -112n 1n +11n +212n 5.A 根据甲和丙的回答推测乙没去过B 城市,又知乙没去过C 城市,故乙去过A 城市.6.6 因为①正确,②也正确,所以只有①正确是不可能的;若只有②正确,①③④都不正确,则符合条件的有序数组为(2,3,1,4),(3,2,1,4);若只有③正确,①②④都不正确,则符合条件的有序数组为(3,1,2,4);若只有④正确,①②③都不正确,则符合条件的有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上,符合条件的有序数组的个数是6.7. 解法一 直接递推归纳:等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2,所以142AB=AC=a 1=2,AA 1=a 2=,A 1A 2=a 3=1,…,A 5A 6=a 7=a 1×()6=.22214解法二 求通项:等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2,所以2AB=AC=a 1=2,AA 1=a 2=,…,A n-1A n =a n+1=sin ·a n =a n =2×()n ,故a 7=2×()6=.2π4222222148. 由f 1(x )=⇒f 2(x )=f ()==;又可得f 3(x )=f (f 2(x ))==,故可猜x1+2 014x x 1+x x 1+x x 1+x1+x 1+x x 1+2x x 1+2x1+x1+2x x1+3x 想f 2 014(x )=.x1+2 014x 9.(Ⅰ)3,1,6 由定义知,四边形DEFG 由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成,其内部格点有1个,边界上格点有6个,S 四边形DEFG =3.(Ⅱ)79 由待定系数法可得⇒,{12=a ·0+b ·3+c ,1=a ·0+b ·4+c ,3=a ·1+b ·6+c {a =1,b =12c =-1,故当N=71,L=18时,S=1×71+×18-1=79.1210.(Ⅰ)c 1=b 1-a 1=1-1=0,c 2=max{b 1-2a 1,b 2-2a 2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,c 3=max{b 1-3a 1,b 2-3a 2,b 3-3a 3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=-2.当n ≥3时,(b k+1-na k+1)-(b k -na k )=(b k+1-b k )-n (a k+1-a k )=2-n<0,所以b k -na k 关于k ∈N *单调递减.所以c n =max{b 1-a 1n ,b 2-a 2n ,…,b n -a n n }=b 1-a 1n=1-n.所以对任意n ≥1,c n =1-n ,于是c n+1-c n =-1,所以{c n }是等差数列.(Ⅱ)设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1,d 2,则b k -na k =b 1+(k-1)d 2-[a 1+(k-1)d 1]n =b 1-a 1n+(d 2-nd 1)(k-1).所以c n ={b 1-a 1n +(n -1)(d 2-nd 1),当d 2>nd 1时,b 1-a 1n ,当d 2≤nd 1时.①当d 1>0时,取正整数m>,则当n ≥m 时,nd 1>d 2,因此c n =b 1-a 1n.d 2d 1此时,c m ,c m+1,c m+2,…是等差数列.②当d 1=0时,对任意n ≥1,c n =b 1-a 1n+(n-1)max{d 2,0}=b 1-a 1+(n-1)(max{d 2,0}-a 1).此时,c 1,c 2,c 3,…,c n ,…是等差数列.③当d 1<0时,当n>时,有nd 1<d 2.d 2d 1所以=c n n b 1-a 1n +(n -1)(d 2-nd 1)n=n (-d 1)+d 1-a 1+d 2+b 1-d 2n≥n (-d 1)+d 1-a 1+d 2-|b 1-d 2|.对任意正数M ,取正整数m>max{,},M +|b 1-d 2|+a 1-d 1-d 2-d 1d 2d 1故当n ≥m 时,>M.c nn 11.(Ⅰ)因为1-x+x 2-x 3==,x ∈[0,1],所以≤,即1-x+x 2-x 3≤,1-(-x )41-(-x )1-x 41+x 1-x 41+x 1x +11x +1所以f (x )≥1-x+x 2.(Ⅱ)由0≤x ≤1得x 3≤x ,故f (x )=x 3+≤x+=x+-+=+≤,1x +11x +11x +13232(x -1)(2x +1)2(x +1)3232所以f (x )≤.32由(Ⅰ)得f (x )≥1-x+x 2=(x-)2+≥.123434因为f ()=>,所以f (x )>.1219243434综上,<f (x )≤.343212.(Ⅰ)d 1=d 2=1,d 3=d 4=3.(Ⅱ)(充分性)因为{a n }是公差为d 的等差数列,且d ≥0,所以a 1≤a 2≤…≤a n ≤…,因此A n =a n ,B n =a n+1,d n =a n -a n+1=-d (n=1,2,3,…).(必要性)因为d n =-d ≤0(n=1,2,3,…),所以A n =B n +d n ≤B n ,又a n ≤A n ,a n+1≥B n ,所以a n ≤a n+1,于是,A n =a n ,B n =a n+1,因此a n+1-a n =B n -A n =-d n =d ,即{a n }是公差为d 的等差数列.(Ⅲ)因为a 1=2,d 1=1,所以A 1=a 1=2,B 1=A 1-d 1=1.故对任意n ≥1,a n ≥B 1=1.假设{a n }(n ≥2)中存在大于2的项.设m 为满足a m >2的最小正整数,则m ≥2,并且对任意1≤k<m ,a k ≤2.又a 1=2,所以A m-1=2,且A m =a m >2.于是,B m =A m -d m >2-1=1,B m-1=min{a m ,B m }≥2.故d m-1=A m-1-B m-1≤2-2=0,与d m-1=1矛盾.所以对于任意n ≥1,有a n ≤2,即非负整数列{a n }的各项只能为1或2.因为对任意n ≥1,a n ≤2=a 1,所以A n =2.故B n =A n -d n =2-1=1.因此对于任意正整数n ,存在m 满足m>n ,且a m =1,即数列{a n }有无穷多项为1.A 组基础题1.A 依题意,取f (x )=,则f '(x )=,则≈+(x-x 0).令x=4.001,x 0=4,则x 12x x x012x 0≈2+×0.001,注意到(2+×0.001)2=4+0.001+(×0.001)2>4.001,即m=的近似代4.0011414144.001替值大于m ,故选A .2.C 若乙的说法错误,则甲、丙的说法都正确,而两人的说法互相矛盾,据此可得,乙的说法是正确的,即甲被录用了.故选C .3.C 13+23=()2=()2,622×3213+23+33=()2=()2,1223×4213+23+33+43=()2=()2,2024×52…由此归纳可得13+23+33+43+…+n 3=[]2,n (n +1)2因为13+23+33+43+…+n 3=3 025,所以[]2=3 025,所以n 2(n+1)2=(2×55)2,所以n=10,故选n (n +1)2C .4.91 由三角形数组可推断出,第n 行共有2n-1个数,且最后一个数为n 2,所以第10行共19个数,最后一个数为100,左数第10个数是91.5.n 2 由1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42,…,归纳猜想可得1+2+…+n+…+2+1=n 2.6. 根据题意知,5 288用算筹表示,从左到右依次是横式的5,纵式的2,横式的8,纵式的8,即.B 组提升题7.C 令操场的周长为C ,则学生B 每隔50秒看一次,学生A 都距上一次学生B 观察的位置(弧长),并在上一次位置的后面,故学生B “感觉”到学生A 的运动是顺时针方向匀速后退的.C 268.B 从给出的数表可以看出,该数表每行都是等差数列,其中第一行从右到左是公差为1的等差数列,第二行从右到左的公差为2,第三行从右到左的公差为4,…,即第n 行从右到左的公差为2n-1,而从右向左看,每行的第一个数分别为1=2×2-1,3=3×20,8=4×21,20=5×22,48=6×23,…,所以第n 行的第一个数为(n+1)×2n-2.显然第2 017行只有一个数,其值为(2 017+1)×22 017-2=2 018×22 015.故选B .9.176 由题意可得,三角形数:N=(n ,3)=n 2+n ;1212正方形数:N=(n ,4)=n 2+0n ;22五边形数:N=(n ,5)=n 2-n ;3212六边形数:N (n ,6)=n 2-n ;4222……由此归纳可得N (n ,k )=n 2+n ,k -224-k 2故N (8,8)=×82-×8=176.624210.8月4日 根据甲说的“我不知道,但你一定也不知道”,可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日;根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道,但现在我知道了”,可排除2月7日、8月7日;根据甲接着说的“哦,现在我也知道了”,可以得知张老师生日为8月4日.。
2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第11章复数、算法、推理与证明第1讲(含答案解析)
[学生用书P283(单独成册)]一、选择题1．已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( )A ．5－5iB ．7－5iC ．5＋5iD ．7＋5i解析：选C ．(2＋i)(3＋i)＝6＋5i ＋i 2＝5＋5i ，故选C ．2．设i 是虚数单位，若复数a ＋5i 1－2i(a ∈R )是纯虚数，则a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2解析：选D ．因为a ＋5i 1－2i ＝a ＋5i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝a ＋－10＋5i 5＝a －2＋i 是纯虚数，所以a ＝2．故选D ． 3．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数2z＋z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A ．因为z ＝1＋i ，所以2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋1＋2i ＋i 2＝2（1－i ）2＋2i ＝1＋i ，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故选A ．4．(2018·福建基地综合测试)已知x 1＋i＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( ) A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i 解析：选D ．x 1＋i ＝12(x －x i)＝1－y i ，所以⎩⎨⎧12x ＝1，－12x ＝－y ，解得x ＝2，y ＝1，所以x ＋y i ＝2＋i ，其共轭复数为2－i 故选D ．5．(2018·安徽江南十校联考)若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( )A ．2－12B ．2－1C ．1D ．2＋12解析：选A ．由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2－12＋2＋12i ，故z 的实部为2－12，故选A ．6．已知⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝( )A ．－7B ．7C ．－4D ．4解析：选A ．因为⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝1＋4i ＋4i 2＝－3－4i ， 所以－3－4i ＝a ＋b i ，则a ＝－3，b ＝－4，所以a ＋b ＝－7，故选A ．二、填空题 7．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于________．解析：因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ，又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝－34． 答案：－348．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝⎛⎭⎫z ＋1z ·z －＝________． 解析：因为z ＝1＋2i ，所以z ＝1－2i ．所以⎝⎛⎭⎫z ＋1z ·z －＝z ·z －＋1＝5＋1＝6． 答案：69．已知复数z 满足z ＋2z －2＝i(其中i 是虚数单位)，则|z |＝________． 解析：由z ＋2z －2＝i 知，z ＋2＝z i －2i ，即z ＝－2－2i 1－i ，所以|z |＝|－2－2i||1－i|＝222＝2． 答案：210．已知复数z ＝4＋2i （1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则实数m ＝________． 解析：z ＝4＋2i （1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i 2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5． 答案：－5三、解答题11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →、BC →所表示的复数；(2)对角线CA →所表示的复数；(3)B 点对应的复数．解：(1)AO →＝－OA →，所以AO →所表示的复数为－3－2i ．因为BC →＝AO →，所以BC →所表示的复数为－3－2i ．(2)CA →＝OA →－OC →，所以CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i ． (3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，所以OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i ．12．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数； ②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由． 解：这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i ．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ＋b i ＋5（a －b i ）a 2＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5b a 2＋b 2i ． 因为z ＋5z 是实数，所以b －5b a 2＋b 2＝0． 又因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝5．①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数，所以a ＋3＋b ＝0．②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1， 故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i ．。
2019年高考数学(文)：专题04-算法、推理证明(命题猜想,含答案)
【考向解读】1.以客观题形式考查算法的基本逻辑结构，会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题．2.以客观题形式考查复数的运算、复数的相等、共轭复数和复数及其代数运算的几何意义，与其他知识较少结合，应注意和三角函数结合的练习．3.推理与证明在选择、填空、解答题中都有体现，但很少单独命题，若单独命题，一般以客观题形式考查归纳与类比．4.通常是以数列、三角、函数、解析几何、立体几何等知识为载体，考查对推理与证明的掌握情况，把推理思路的探求、推理过程的严谨，推理方法的合理作为考查重点．【命题热点突破一】程序框图例1、（2018年北京卷）执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立； 第二次：成立， 循环结束，输出，故选B. 【变式探究】(1)观察下列各式：C 01＝40；C 03＋C 13＝41；C 05＋C 15＋C 25＝42；C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________．(2)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法可以求出过点A(－2，3)，且法向量为n ＝(－1，2)的直线方程为(－1)×(x ＋2)＋2×(y －3)＝0，化简得x －2y ＋8＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n ＝(－1，2，－3)的平面的方程为________．【答案】（1）4n －1 （2）x －2y ＋3z －6＝0【感悟提升】由特殊结论得出一般结论的推理是归纳推理，归纳出的一般性结论要包含已知的特殊结论；根据已有结论推断相似对象具有相应结论的推理就是类比推理．归纳和类比得出的结论未必正确，其正确性需要通过演绎推理进行证明．合情推理和演绎推理在解决数学问题中是相辅相成的．【变式探究】已知cos π3＝12，cos π5c os 2π5＝14，cos π7cos 2π7·cos 3π7＝18，……根据以上等式，可猜想的一般结论是________________．【答案】cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n （n ∈N *）【解析】从已知等式的左边来看，3，5，7，…是通项为2n＋1的等差数列，等式的右边是通项为12n的等比数列.由以上分析可以猜想出一般结论为cos π2n＋1cos 2π2n＋1…cos nπ2n＋1＝12n（n∈N*）.4. （2018年天津卷）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B1. 【2017山东，文6】执行右侧的程序框图,当输入的x值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为A.3x >B.4x >C.4x ≤D.5x ≤【答案】B【解析】由题意得4x = 时判断框中的条件应为不满足，所以选B.【考点】程序框图2.【2017课标1，文10】如图是为了求出满足的最小偶数nA ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +2【答案】D3.【2017课标3，文8】执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】若2N =,第一次进入循环，12≤成立，，2i =2≤成立，第二次进入循环，此时，3i =2≤不成立，所以输出9091S =<成立，所以输入的正整数N 的最小值是2，故选D. 7.【2017北京，文14】某学习小组由学生和【答案】C4．(2015·新课标全国Ⅱ，8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14【答案】B5．(2015·山东，13)执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为________.【解析】当n ＝1时，T ＝1＋⎠⎛01x 1d x ＝1＋21102x ＝1＋12＝32； 当n ＝2时，T ＝32＋⎠⎛01x 2d x ＝32＋31103x ＝32＋13＝116； 当n ＝3时，结束循环，输出T ＝116.【答案】116。
2019年高考数学文科复习第十二章 推理与证明
理进行的,只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确
的,其结论一定是正确的,一定要注意推理过程的正确性与完备性.
例1 (2017河南郑州二模,6)平面内凸四边形有2条对角线,凸五边形有5 条对角线,以此类推,凸13边形对角线的条数为 ( B ) A.42 C.143 解题导引 B.65 D.169
综合法又叫顺推证法,或者由因导果法,是数学中最常用的证明方法. 2.分析法.在证明过程中,从结论出发的每一步所得到的判断都是结论成 立的充分条件,最后一步归结到已知或已被证明了的事实,这个倒推的
证明方法就是分析法.
例2 (2016浙江,20,15分)设函数f(x)=x3+ ,x∈[0,1].证明:
1 1 x
(1)f(x)≥1-x+x2;
(2) < f (x )≤ .
3 4 3 2
证明
1 ( x) 4 1 x 4 (1)因为1-x+x -x = = , 1 ( x) 1 x
2 3
1 x4 1 1 由于x∈[0,1],有 ≤ ,即1-x+x2-x3≤ , 1 x x 1 x 1
题设矛盾(或与已知的定义、公理或定理相矛盾,或自相矛盾),得出原结
论的反面不正确,从而肯定原结论是正确的,这种间接证明的方法叫做 反证法.
方法 1合情推理与演绎推理
方法技巧
1.归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理,在进行归纳时,要先 根据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳 出一般结论. 2.类比推理是由特殊到特殊的推理,是两类类似对象之间的推理,其中一 个对象具有某个性质,则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时, 要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后类比推导类比对象的性质. 3.演绎推理是由一般到特殊的推理,数学的证明过程主要是通过演绎推
2019版高考数学文科一轮复习：第十三章 推理与证明
a
b
c
d
e
f
2019/8/12
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任意改变A的行次序或列次序,或把A中的每个数换成它的相反数,所得数表A*仍满足性质P,并 且k(A)=k(A*). 因此,不妨设r1(A)≥0,c1(A)≥0,c2(A)≥0. 由k(A)的定义知,k(A)≤r1(A),k(A)≤c1(A),k(A)≤c2(A). 从而3k(A)≤r1(A)+c1(A)+c2(A) =(a+b+c)+(a+d)+(b+e) =(a+b+c+d+e+f)+(a+b-f) =a+b-f≤3. 所以k(A)≤1. 由(2)知,存在满足性质P的数表A使k(A)=1.故k(A)的最大值为1.
2019/8/12
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3
思路分析 本题较易得出9号和10号学生首先会被淘汰,难点为在1~8号学生中淘汰2名学生. 可将1~8号学生中已知的30秒跳绳成绩由大到小排列:75,72,70,63,63,60.接下来将两个连续数 字a,a-1捆绑起来整体插空即可.若要只有6人同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛,则插空 的情况只有2种:75,72,70,63,63,a,a-1,60或75,72,70,63,63,60,a,a-1.
①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为
;
②该小组人数的最小值为
.
答案 ①6 ②12
x y,
解析
设男学生人数为x,女学生人数为y,教师人数为z,由已知得
2019版高考文科数学大一轮复习人教A版第十二章 推理与证明、算法、复数12.1 Word版含答案
§ 合情推理与演绎推理最新考纲考情考向分析.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用..了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理. .了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题．注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中、高档题.．合情推理()归纳推理 ①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)． ②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．()类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推理．()合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．．演绎推理()演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．()“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)()由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)()在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)()“所有的倍数都是的倍数，某数是的倍数，则一定是的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)()一个数列的前三项是，那么这个数列的通项公式是＝(∈*)．(×)()在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)题组二教材改编。
2019年高考数学一轮复习专题10.4推理与证明练
专题10.4 推理与证明1.若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系.【答案】P<Q2.给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0a＝c”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2 a＝c，b＝d”；③“a，b∈R，则a－b＞0a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0a＞b”；④“若x∈R，则|x|＜1－1＜x＜1”类比推出“若z∈C，则|z|＜1－1＜z＜1”．其中类比结论正确的个数为.【答案】2【解析】类比结论正确的有①②.3.请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足，那么.证明：构造函数，因为对一切实数x，恒有，所以，从而得，所以.根据上述证明方法，若n个正实数满足时，你能得到的结论为.（不必证明）【答案】【解析】构造因为恒成立，∴，即，∴，即.4.已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：；已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为____________．这个数列的前项和的计算公式为_____________________________________．【解析】在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；；5.由中可猜想出的第个等式是_____________6.设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是____________．【答案】③【解析】 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1， 但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b >2，则a ， b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.7.已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x2＋1的图像上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图像上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为__________．【答案】c n ＞c n ＋1。
2019年高三文科数学一轮单元卷：第二十二单元 算法初步、推理与证明、复数 A卷 含答案
， ， ，是．
输出
．故选C．
7．【答案】B
【解析】当 ， 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后， ， ；
当 ， 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后， ， ；
当 ， 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后， ， ；
当 ， 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后， ， ；
当 ， 时，满足退出循环的条件，
A．甲B．乙C．丙D．丁
11．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了 ， ， ， 四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是 ，3号门里是 ；乙同学说：2号门里是 ，3号门里是 ；丙同学说：4号门里是 ，2号门里是 ；丁同学说：4号门里是 ，3号门里是 ．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（）
【解析】（1） ．
（2）当 时， ， ；
当 时， ， ，
所以 或3．
20．【答案】（1） ， ；（2） ．
【解析】（1）当输入的 的值为 时，输出的 ；
当输入的 的值为2时，输出的 ．
（2）根据程序框图，可得 ，
当 时， ，此时 单调递增，且 ；
当 时， ；
当 时， 在 上单调递减，
在 单调递增，且 ．
17．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1） ，
若 ，则 ，所以 ， ．
（2）若 在复平面内对应的点位于第一象限，则 且 ，
解得 ，即 的取值范围为 ．
18．【答案】（1） ；（2） 或 ．
【解析】（1）由 是纯虚数得 ，
即 ，所以 ．
（2）根据题意得 ，由此得 ，
即 或 ．
19．【答案】（1） ；（2） 或3．
∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；
2019年高三文科数学一轮复习：合情推理与演绎推理(解析版附后)
2019年高三文科数学一轮复习：合情推理与演绎推理（解析版附后）A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确2．如图6-4-3，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是()图6-4-3A．12 B．48C．60 D．1443．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是() A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数4．(2018·渭南模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：图6-4-4他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n }，那么a 10的值为( )A ．45B ．55C ．65D ．665．如图6-4-5所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB→⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )图6-4-5A ．5＋12 B ．5－12C ．5－1D ．5＋1二、填空题 6．已知点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)是函数y ＝x 2的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论x 21＋x 222＞⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同的两点，则类似地有结论________成立．7．观察下列不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…照此规律，第五个不等式为__________．8．(2017·东北三省四市一联)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．三、解答题9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论.10．设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·郑州模拟)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形对角线的条数为()A．42 B．65C．143 D．1692．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.2019年高三文科数学一轮复习：合情推理与演绎推理（解析版）A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确C[因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．]2．如图6-4-3，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是()图6-4-3A．12 B．48C．60 D．144D[由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a＝12×12＝144.]3．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是() A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数B[A中小前提不正确，C、D都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以A、C、D都不正确，只有B的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确．]4．(2018·渭南模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：图6-4-4他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n }，那么a 10的值为( )A ．45B ．55C ．65D ．66B [第1个图中，小石子有1个，第2个图中，小石子有3＝1＋2个，第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个，第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个，……故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝10×112＝55个，即a 10＝55，故选B ．]5．如图6-4-5所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB→⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )图6-4-5A ．5＋12 B ．5－12C ．5－1D ．5＋1A [设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)．在“黄金双曲线”中，因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB→＝0. 又FB→＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )． 所以b 2＝aC ．而b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2＝aC ．在等号两边同除以a 2，得e ＝5＋12.]二、填空题6．已知点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)是函数y ＝x 2的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论x 21＋x 222＞⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同的两点，则类似地有结论________成立．sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22 [函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同的两点A ，B ，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的下方，类比可知应有sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22.] 7．观察下列不等式： 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74，…照此规律，第五个不等式为__________．1＋122＋132＋142＋152＋162<116[左边的式子的通项是1＋122＋132＋…＋1(n＋1)2，右边式子的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.]8．(2017·东北三省四市一联)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．丙[如果丙说的是假话，则“甲得优秀”是真话，又乙说“我得了优秀”是真话，所以矛盾；若甲说的是假话，即“丙说的是真话”是假的，则说明“丙说的是假的”，即“甲没有得优秀”是假的，也就是说“甲得了优秀”是真的，这与乙说“我得了优秀”是真话矛盾；若乙说的是假话，即“乙没得优秀”是真的，而丙说“甲没得优秀”为真，则说明“丙得优秀”，这与甲说“丙说的是真话”符合．所以三人中说假话的是乙，得优秀的同学是丙．]三、解答题9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论.[解]由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的1 4.10．设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．[解]f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，2分同理可得：f(－1)＋f(2)＝3 3，f(－2)＋f(3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝33. 6分证明：设x1＋x2＝1，f(x1)＋f(x2)＝13x1＋3＋13x2＋3＝(3x1＋3)＋(3x2＋3)(3x1＋3)(3x2＋3)＝3x1＋3x2＋233x1＋x2＋3(3x1＋3x2)＋3＝3x1＋3x2＋233(3x1＋3x2)＋2×3＝3x1＋3x2＋233(3x1＋3x2＋23)＝33. 12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·郑州模拟)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形对角线的条数为()A．42 B．65C．143 D．169B[可以通过列表归纳分析得到．∴凸13边形有2＋3＋4＋…＋11＝13×102＝65条对角线．故选B．]2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．1和3[法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.[解](1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. 5分(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 7分证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cos2α＋32sin αcos α＋14sin2α－32sin αcos α－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34. 12分法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 7分证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos(60°－2α)2－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34. 12分。
2019版高考数学文科一轮复习：第十三章 推理与证明
+
sin
2 9
2
+
sin
3 9
2
+…+
sin
8 9
2
= 4 ×4×5;
3
……
照此规律,
sin
2n 1
2
+
sin
2 2n
1
2
+
sin
3 2n
1
2
+…+
2019/8/11
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
11
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 合情推理与演绎推理
1.(2017课标全国Ⅱ,9,5分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师 说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的 成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则 ( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩
一题多解 由题意,进入立定跳远决赛的是1号至8号8名学生,其中有2人未进入30秒跳绳决赛. 假设5号学生未进入30秒跳绳决赛,由于1号和4号学生跳绳成绩不超过5号学生,所以1号和4号 学生也未进入30秒跳绳决赛,因此这8人中最多有5人进入30秒跳绳决赛,这与题意不符,因此5 号学生必然进入30秒跳绳决赛,故选B.
3 5
2
+
sin
4 5
2
= 4 ×2×3;
2019年高考数学(文)一轮复习第六章 不等式、推理与证明及答案
第六章⎪⎪⎪不等式、推与证明第一节不等关系与不等式1．两个实比较大小的依据 (1)a －b ＞0⇔a ＞b ． (2)a －b ＝0⇔a ＝b ． (3)a －b ＜0⇔a ＜b ． 2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0⇒na > nb (n ∈N ，n ≥2)．1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空：(1)a＞b，c＜d⇒a－c________b－d；(2)a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac________bd；(3)a＞b＞0⇒3a________3b．答案：(1)＞(2)＜(3)＞2．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是__________．答案：v≤40 km/h3．若0<a<b，c>0，则b＋ca＋c与a＋cb＋c的大小关系为________．答案：b＋ca＋c>a＋cb＋c1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b<c⇒a<c．2．在乘法法则中，要特别注意“乘c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．1．设a，b，c∈R，且a>b，则( )A．ac>bc B．1a <1 bC．a2>b2D．a3>b3答案：D2．若ab>0，且a>b，则1a与1b的大小关系是________．答案：1a <1 b考点一 比较两个式的大小基础送分型考点——自主练透1．已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( )A ．m ≥nB ．m ＞nC ．m ≤nD ．m ＜n答案：B 2．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)． 解析：易知a ，b 都是正，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a ．答案：＜3．已知等比列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．解析：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5．当q ＞0且q ≠1时，S3a 3－S 5a 5＝a 1－q 3a 1q 2－q －a 1－q 5a 1q 4－q＝q 2－q 3－－q 5q 4－q＝－q －1q4＜0，所以S3a3＜S5 a5．综上可知S3a3＜S5a5．答案：S3a3＜S5a5比较两实(式)大小的2种常用方法考点二不等式的性质重点保分型考点——师生共研1．设a，b∈R则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A (a－b)·a2＜0，则必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b时，不能推出(a－b)·a2＜0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件．2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )A ．a d ＞b cB ．a d ＜b cC ．a c ＞b dD ．a c ＜b d解析：选B 法一：因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0， 所以1－d ＞1－c ＞0．又a ＞b ＞0，所以a－d ＞b－c，所以a d ＜b c ．故选B ．法二：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0c ＜d ＜0⇒ccd ＜dcd＜0⇒1d ＜1c＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫－1d ＞－1c ＞0a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c ． 法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，bd＝－1，排除选项C 、D ； 又∵－32＜－23，排除A ．故选B ．不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．1．(2016·河南六市第一次联考)若1a＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )A．a2＜b2B．ab＜b2C．a＋b＜0 D．|a|＋|b|＞|a＋b|解析：选 D ∵1a＜1b＜0，∴b＜a＜0，∴b2＞a2，ab＜b2，a＋b＜0，∴选项A、B、C均正确，∵b＜a＜0，∴|a|＋|b|＝|a＋b|，故D项错误，故选D．2．(2017·赣中南五校联考)对于任意实a，b，c，d，有以下四个命题：①若ac2＞bc2，则a＞b；②若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；④若a＞b，则1a＞1b．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B ①由ac2＞bc2，得c≠0，则a＞b，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③错误，当0＞c＞d时，不等式不成立．④错误，令a＝－1，b＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2．故选B．考点三不等式性质的应用重点保分型考点——师生共研已知函f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．求f (－2)的取值范围．解：由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ．f (－2)＝4a －2b ．设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10． 即f (－2)的取值范围为．利用不等式性质可以求某些代式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．1．若6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( ) A ． B ．(15,30) C ．D ．(9,30)解析：选D ∵a2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a ．∵6＜a ＜10，∴9＜c ＜30．故选D ．2．已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．解析：∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2． 由－1<x <4,2<y <3， 得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18． 答案：(－4,2) (1,18)一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．设a ，b ∈1．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( )A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．1．不等式x －3x －1≤0的解集为( )A ．{x |x ＜1或x ≥3}B ．{x |1≤x ≤3}C ．{x |1＜x ≤3}D ．{x |1＜x ＜3}解析：选C 由x －3x －1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x －1≠0，解得1＜x ≤3．2．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________．解析：①当m ＝0时，1>0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1．由①②知0≤m <1．答案：1．已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．解析：当x ≤0时，原不等式等价于2x 2＋1－x ≤2，∴－12≤x ≤0；当x >0时，原不等式等价于－2x －x ≤2，∴x >0．综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－12．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－122．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________． 解析：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x －5≠0，解得x ＞5或x ≤43．所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x >5． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x >53．解下列不等式：(1)(易错题)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4．解：(1)原不等式可为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0．解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43． (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋＞0，x －x ＋⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于轴，如图所示，所以原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3．解一元二次不等式的4个步骤考点二 含参的一元二次不等式的解法重点保分型考点——师生共研解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． 解：原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，所以当a ＞1时，解为1a＜x ＜1； 当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a． 综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1＜x ＜1a ． 当a ＝1时，不等式的解集为∅．当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1a ＜x ＜1．解含参的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转为一次不等式或二次项系为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．当不等式中二次项的系含有参时，不要忘记讨论其等于0的情况．1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a．解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．2．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集．解：原不等式可为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a 3． 当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，＋∞． 考点三 一元二次不等式恒成立问题题点多变型考点——多角探明一元二次不等式与其对应的函与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参的取值范围．常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参的范围；(2)形如f (x )≥0(x ∈)确定参范围；(3)形如f (x )≥0(参m ∈)确定x 的范围．角度一：形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参的范围1．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实m 对所有的实x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明由．解：要使不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意； 当m ≠0时，函f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，Δ＝4－4m －m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实m 使不等式恒成立．角度二：形如f (x )≥0(x ∈)确定参范围2．已知函f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈时，f (x )＞0恒成立，求b 的取值范围．解：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a 2＝1，解得a ＝2．又因为f (x )开口向下，所以当x ∈时，f (x )为增函，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2．∴b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)角度三：形如f (x )≥0(参m ∈)确定x 的范围3．对任意m ∈，函f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4．由题意知在上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g －＝x －－＋x 2－4x ＋4>0，g ＝x －＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3．故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈，函f (x )的值恒大于零．一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法 (1)ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实x 恒成立的条件是{ a >0，Δ≤0； (2)ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实x 恒成立的条件是{ a <0，Δ≤0把变元与参交换位置，构造以参为变量的函，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转为一次函f (x )＝ax ＋b (a ≠0)在恒成立问题，若f (x )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f m f n ， 若f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f m ，f n1．(2017·济宁模拟)不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实λ的取值范围为________．解：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4．答案：2．设函f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈上恒成立． 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1． 因为函y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34在上的最小值为67，所以只需m ＜67即可． 因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，67．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( )A ．(1,2)B ．C ．解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函y ＝f (－x )的图象为( )解析：选B 由根与系的关系得1a ＝－2＋1，－c a ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94． 3．(2017·昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实x 恒成立，则实a 的取值范围为( )A ．B ．(－∞，－2]∪∪解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4．4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2．答案：{x |0<x <2}5．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0， 由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ a <x <1a 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3．2．不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,1) 解析：选 A ∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1．3．(2017·郑州调研)规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实)，若1⊙k 2＜3，则k 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(0,2)解析：选A 因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实)，1⊙k 2＜3，所以k 2＋1＋k 2＜3，为(|k|＋2)(|k|－1)＜0，所以|k|＜1，所以－1＜k＜1．4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A．12元B．16元C．12元到16元之间D．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x元，利润为y，则y＝(x－8)，依题意有，(x－8)＞320，即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．5．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是的子集，则a的取值范围是( )A．B．C．D．解析：选B 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为，此时只要a≤3即可，即1<a≤3．综上可得－4≤a≤3．6．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实a的取值范围是________．解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a2－4×4>0，即a2>16．∴a >4或a <－4．答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________． 解析：由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故所求解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，45 8．(2017·石家庄质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实x 恒成立，则实a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54， 所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32． 答案：329．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6．(1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋23．∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a－a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．(2017·北京朝阳统一考试)已知函f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R ．(1)若a ＝2，试求函y ＝f x x(x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4．因为x >0，所以x ＋1x≥2．当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2．所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2．(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈，不等式f (x )≤a 成立”， 只要“x 2－2ax －1≤0在恒成立”． 不妨设g (x )＝x 2－2ax －1， 则只要g (x )≤0在上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34．则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·太原模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2．2．已知函f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ． (1)求a 的取值范围；(2)若函f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a＜0．解：(1)∵函f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立． 当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a2－4a ≤0，解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是． (2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋2＋1－a ，由题意及(1)可知0＜a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可为x 2－x －34＜0．解得－12＜x ＜32，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32．第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．一元二次不等式(组)表示的平面区域2．线性规划中的基本概念1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是( )A ．(0,0)B ．(－1,1)C ．(－1,3)D ．(2，－3)答案：C2．(教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是()答案：B3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为________．解析：根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到过点A 时，目标函取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4．答案：41．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函取得最值的点不一定只有一个，也可能有无多个，也可能没有．3．在通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．1．若用阴影表示不等示组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ≤0，3x －y ≤0所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为________．答案：15°2．(2017·兰州诊断)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函z ＝2x －y 的最大值为________．解析：画出平面区域如图所示，目标函可变为y ＝2x －z ，将直线y ＝2x 进行平移可得在点(2，－1)处截距最小，所以此时z 最大，最大值为5．答案：5考点一 二元一次不等式组表示平面区域基础送分型考点——自主练透1．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，对应的平面区域，如图． 要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此时三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立．当k ＝－1或－2时，不能构成直角三角形区域．当k ＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1，故选A ．2．(易错题)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整的点，则整a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．3．(2017·广州五校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为________．解析：如图，画出可行域．易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，B (0,2)，C (0,4)，∴可行域D 的面积为12×2×43＝43．答案：43确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．如“题组练透”第2题易忽视边界．(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．考点二 求目标函的最值题点多变型考点——多角探明线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代和几何的双重形式，多与函、平面向量、列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．常见的命题角度有： (1)求线性目标函的最值； (2)求非线性目标函的最值； (3)线性规划中的参问题．角度一：求线性目标函的最值1．(2016·全国丙卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A时，z 取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得A (－1，－1)，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．答案：－10角度二：求非线性目标函的最值2．(2016·江苏高考)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．形结合，知d 的最大值是OA 的长，d的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25． 所以d 2的最小值为45，最大值为13．所以x 2＋y2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13角度三：线性规划中的参问题3．(2017·郑州质检)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴2×3－1－m ＝0，m ＝5．由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5． 答案：51．求目标函的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置； (3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函，即可求出最值．2．常见的3类目标函 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函的最值常将函z ＝ax ＋by 转为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2．(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a．注意转的等价性及几何意义．1．(2017·海口调研)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，4x －y －4≤0.则z＝3x －y 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125 B ．C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，125D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，83解析：选A 画出题中的不等式组表示的平面区域(阴影部分)及直线3x －y ＝0，平移该直线，平移到经过该平面区域内的点A (1,3)(该点是直线x －y ＋2＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最小，此时z ＝3x －y 取得最小值3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，125(该点是直线4x －y－4＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最大，此时z ＝3x －y 取得最大值3×85－125＝125，因此z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125，选A ．2．(2017·合肥质检)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －3y －1≤0，x ≤1.若z ＝kx －y 的最小值为－5，则实k 的值为( )A ．－3B ．3或－5C ．－3或－5D ．±3解析：选D 不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(1,0)和(－2，－1)为顶点的三角形及其内部，当z 取得最小值时，直线y ＝kx －z 在y 轴上的截距最大，当k ≤1时，目标函直线经过点(1,2)时，z min ＝k －2＝－5，k ＝－3适合；当k ＞1时，目标函直线经过点(－2，－1)时，z min ＝－2k ＋1＝－5，k ＝3适合，故k ＝±3，选项D 正确．3．(2016·山西质检)设实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0.则y －1x －1的最小值是________．解析：如图所示，画出不等式组所表示的可行域，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1,1)连线的斜率， ∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12．答案：－12考点三 线性规划的实际应用重点保分型考点——师生共研(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5 kg ，乙材料0．3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.目标函为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点M 时，z取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得M (60,100)．则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 0001．解线性规划应用题3步骤(1)转——设元，写出约束条件和目标函，从而将实际问题转为线性规划问题；(2)求解——解这个纯学的线性规划问题；(3)作答——将学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整、是否是非负等．(3)正确地写出目标函，一般地，目标函是等式的形式．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C 设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N.目标函为z ＝1 600x ＋2 400y ．画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函过点N (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32B ．23C ．43D ．34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4.得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83．所以S △ABC ＝12×83×1＝43．2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出图形可知选C ．3．(2016·四川德阳月考)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，则目标函z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．22D ．23解析：选D由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0作出可行域如图中阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －y －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，则B (4,5)，将目标函z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋z3．由图可知，当直线y ＝－23x ＋z3过B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，为2×4＋3×5＝23．4．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞5．(2017·昆明七校调研)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤4，x ＋y ≥0.则z ＝x ＋3y 的最小值为________．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x ＋3y ＝0，如图，平移直线y ＝－x3，当直线经过点(4，－4)时，在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝x ＋3y 取得最小值4＋3×(－4)＝－8．答案：－8二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·福建高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2C ．－32D ．2解析：选A 作可行域如图，由图可知，当直线z ＝2x －y 过点A 时，z 值最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x ＋2y ＝0得点A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，z min ＝2×(－1)－12＝－52．2．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选 D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积的最大值S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π．3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6解析：选C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得C (2，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得D (－1,1)． 所以|AB |＝|CD |＝＋12＋－2－2＝32．故选C ．4．(2017·湖南东部六校联考)实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2(a ＜1)，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A ．211B ．14C ．12D ．112解析：选B 如图所示，平移直线2x ＋y ＝0，可知在点A (a ，a )处z 取最小值，即z min ＝3a ，在点B (1,1)处z 取最大值，即z max ＝3，所以12a ＝3，即a ＝14．5．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( ) A．50,0 B．30,20C．20,30 D．0,50解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x，y亩，则总利润z＝4×0．55x＋6×0．3y－1．2x－0．9y＝x＋0．9y．此时x，y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤50，1.2x＋0.9y≤54，x≥0，y≥0.画出可行域如图，得最优解为A(30,20)．6．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋3≥0，x＋y≥a，x≤2.表示的区域为一个三角形，则实a的取值范围为________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x ≤2表示的区域如图所示． 易求得A (2,5)． 画出直线l ：x ＋y ＝a ． 由题意及图可得a ＜7． 答案：(－∞，7)7．(2017·河南六市联考)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果目标函z ＝x －y 的最小值为－1，则实m ＝________．解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可知，当直线l 经过A 时符合题意，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.又A (2,3)在直线x ＋y ＝m 上，∴m＝5．答案：58．(2017·西安质检)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x＋y 的取值范围为________．解析：作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1,0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为．答案：9．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示． (1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0．原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有 ＜0，即(14－a )(－18－a )＜0， 解得－18＜a ＜14．故a 的取值范围是(－18,14)．10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1． 所以z 的最大值为1， 最小值为－2．(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2．故所求a 的取值范围为(－4,2)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·通一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．解析：∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋y ＋x ＋1，而y ＋1x ＋1表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率， 易知a >0，作出可行域如图所示，由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－－3a －－＝13a ＋1＝14⇒a ＝1．答案：12．(2016·天津高考)某肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨如下表所示：现有A种原料种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮．(1)用x，y列出满足生产条件的学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知，x，y满足的学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分． (2)设利润为z 万元，则目标函为z ＝2x ＋3y ．考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z3，它的图象是斜率为－23，随z 变的一族平行直线，z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112．答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．第四节基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b ． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)． 3．算术平均与几何平均设a ＞0，b >0，则a ，b 的算术平均为a ＋b2，几何平均为ab ，基本不等式可叙述为：两个正的算术平均不小于它们的几何平均．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．1．(教材习题改编)设x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值。
2019年高考数学一轮复(北师大版文科)： 单元评估检测6 不等式、推理与证明 文 北师大版
单元评估检测(六) 不等式、推理与证明(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．1ab ≥12 B ．1a ＋1b≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤18D2．(2017·新乡模拟)若集合A ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，则A ∩B ＝( ) 【导学号：00090397】A ．(－1,3)B ．(－1,5)C ．(2,5)D ．(2,3)D3．已知a ，b ，x ，y 都是正实数，且1a ＋1b＝1，x 2＋y 2＝8，则ab 与xy 的大小关系为( )A ．ab ＞xyB ．ab ≥xyC ．ab ＜xyD ．ab ≤xyB4．(2017·唐山模拟)不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．14D ．－14D5．(2017·济宁模拟)在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为( )A ．2 2B ．83C ．223D ．2B6．若－1＜a ＜0，则关于x 的不等式(x －a )·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0的解集是( )A ．{x |x ＞a }B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1a C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞a 或x ＜1a D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1a 或x ＜aC7．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝( ) A ．(n －m )(nd －mc )B ．(nd －mc )n －mC ．n －m d n c mD ．n －md n ·c mC8．已知函数f (x )＝16x 2－28x ＋114x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜54，则函数f (x )的最大值为( )A ．114B ．54C ．1D ．14C9．(2017·临汾模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 D10．当x ＞0时，x 2＋1≥2x ，在用分析法证明该不等式时执果索因，最后索的因是( )A ．x ＞0B ．x 2≥0 C ．(x －1)2≥0 D ．(x ＋1)2≥0C11．已知实数x ，y 满足x ＞y ＞0且x ＋y ＝14，则2x ＋3y ＋1x －y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．6＋4 2D ．8＋4 2C12．(2017·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知a ＞b ＞0，则a ，b ，ab ，a ＋b2四个数中最大的一个是________．a14．已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．415．(2017·福州模拟)设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n ＞4时，f (n )＝________(用n 表示)． 12(n ＋1)(n －2) 16．已知A (－1,0)，B (0，－1)，C (a ，b )三点共线，若a ＞－1，b ＞－1，则1a ＋1＋1b ＋1的最小值为________． 4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－n .(1)证明{a n }是等差数列． (2)若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，试证明T n ＜14. 【导学号：00090398】 【证明】 (1)因为S n ＝2n 2－n . 所以a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －2(n －1)2＋(n －1)＝4n －3. 对n ＝1也成立．所以a n ＝4n －3.a n ＋1－a n ＝4(n ＋1)－3－4n ＋3＝4，是常数．所以数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1n －n ＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －3－14n ＋1所以T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －3－14n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＋1＜14. 18．(12分)如图1，在四棱锥P ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AB 的中点．图1求证：(1)直线EF ∥平面PBC ． (2)平面DEF ⊥平面PAB ． 略19．(12分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋B ．(1)求f (1)＋f (3)－2f (2)．(2)求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.[解] (1)因为f (1)＝a ＋b ＋1，f (2)＝2a ＋b ＋4，f (3)＝3a ＋b ＋9，所以f (1)＋f (3)－2f (2)＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则－12＜f (1)＜12，－12＜f (2)＜12，－12＜f (3)＜12.所以－1＜－2f (2)＜1，－1＜f (1)＋f (3)＜1， 所以－2＜f (1)＋f (3)－2f (2)＜2， 这与f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾， 所以假设错误，即所证结论成立．20．(12分)已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，z ＝2x ＋y .x －1≥0，设z 的最大值、最小值分别为M ，m .(1)若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b＝m ，试求12a ＋36b ＋5的最小值．(2)若m ≤a ＋b ≤M ，试求a 2＋b 2的最小值． (1)21＋8 3 (2)9221．(12分)(2017·保定模拟)给定数列a 1，a 2，…，a n .对i ＝1,2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项(a i ＋1，a i ＋2，…，a n )的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i . (1)设数列{a n }为3,4,7,1，写出d 1，d 2，d 3的值．(2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1＞0，证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列． [解] (1)d 1＝A 1－B 1＝3－1＝2，d 2＝A 2－B 2＝4－1＝3，d 3＝A 3－B 3＝7－1＝6.(2)由a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1＞0，可得{a n }的通项为a n ＝a 1·q n －1且为单调递增数列．于是当k ＝2,3，…，n －1时，d k d k －1＝a k －a k ＋1a k －1－a k ＝a 1q k －1－a 1q ka 1q k －2－a 1q k －1＝q 为定值．因此d 1，d 2，…，d n －1构成首项d 1＝a 1－a 2，公比为q 的等比数列．22．(12分)据市场分析，某绿色蔬菜加工点，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y (万元)可以看成月产量x (吨)的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元．(1)写出月总成本y (万元)关于月产量x (吨)的函数解析式．(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获得最大利润．(3)若x ∈[10，c ](10＜c ≤25)，当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低，最低成本是多少万元？ [解] (1)由题意，设y ＝a (x －15)2＋17.5(a ＞0)，把x ＝10，y ＝20代入，得25a ＝20－17.5，a ＝110，所以y ＝110(x －15)2＋17.5＝110x 2－3x ＋40，x ∈[10,25]．(2)设月利润为g (x )，则g (x )＝1.6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 2－3x ＋40＝－110(x 2－46x ＋400)＝－110(x －23)2＋12.9，因为x ∈[10,25]，所以当x ＝23时，g (x )max ＝12.9. 即当月产量为23吨时，可获最大利润． (3)每吨平均成本为y x ＝110x ＋40x－3≥24－3＝1. 当且仅当x 10＝40x，即x ＝20时“＝”成立．因为x ∈[10，c ]，10＜c ≤25，所以①当20≤c ≤25时，x ＝20时，每吨平均成本最低，最低为1万元．②当10＜c ＜20时，y x ＝110x ＋40x－3在[10，c ]上单调递减，所以当x ＝c 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫y x min ＝c10＋40c－3. 故当20≤c ≤25时，月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低为1万元； 当10＜c ＜20时，月产量为c 吨时，每吨平均成本最低，最低为⎝⎛⎭⎪⎫c 10＋40c －3万元．。
2019年高考数学(文)真题与模拟题分类训练 专题09 不等式、推理与证明(学生版)
专题09 不等式、推理与证明1．【2019年高考全国I 卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm2．【2019年高考全国III 卷文数】记不等式组6,20x y x y +≥⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D ．命题:(,),29p x y D x y ∃∈+≥；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+≤．下面给出了四个命题 ①p q ∨②p q ⌝∨③p q ∧⌝④p q ⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是 A ．①③ B ．①②C ．②③D ．③④3．【2019年高考北京卷文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ． 1010.1B ． 10.1C ． lg10.1D ． 10–10.14．【2019年高考天津卷文数】设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……，则目标函数4z x y =-+的最大值为 A ．2 B ．3C ．5D ．65．【2019年高考天津卷文数】设x ∈R ，则“05x <<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．【2019年高考浙江卷】若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是A ． 1-B ． 1C ． 10D ． 127．【2019年高考浙江卷】若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件8．【2019年高考全国II 卷文数】若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩+-≥+-≤-≤，，，则z =3x –y 的最大值是______.9．【2019年高考全国II 卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）10．【2019年高考北京卷文数】若x ，y 满足2,1,4310,x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩则y x -的最小值为__________，最大值为__________．11．【2019年高考天津卷文数】设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.12．【2019年高考北京卷文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．13．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学（理)试题）已知集合{}(1)(4)0A x x x =+-≤，{}2log 2B x x =≤，则A B =A ．[]2,4- B ．[)1,+∞C ．(]0,4D ．[)2,-+∞14．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月)数学试题】若x ，y 满足约束条件22201y xx y y ≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为A ．35- B ．12C ．5D ．615．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题】已知实数x ，y 满足约束条件202201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21y z x -=+的最小值为 A ．23-B ．54-C ．43-D ．12-16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试数学试题】设不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为A ．π8B ．π4C ．12π+ D17．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三)数学试题】设0.321log 0.6,log 0.62m n ==，则 A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+18．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测数学试题】若正数,m n 满足12=+n m ，则11m n+的最小值为A ．223+ B．3C．2+D ．319．【浙江省三校2019年5月份第二次联考数学卷】已知 ，则 取到最小值时， A ． B ．C ．D ．20．【北京市东城区2019届高三第二学期综合练习（一)数学试题】某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票. 这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88% ,70% ,46% ，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为A ．68%B ．88%C ．96%D ．98%21．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷数学试题】甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测： 甲说：获奖者在乙丙丁三人中； 乙说：我不会获奖，丙获奖； 丙说：甲和丁中的一人获奖； 丁说：乙猜测的是对的.成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符.已知俩人获奖，则获奖的是 A ．甲和丁 B ．甲和丙C ．乙和丙D ．乙和丁22．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学试题】已知实数x ，y 满足342y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最大值是__________． 23．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】已知0x >，1y >-，且1=+y x ，则2231x y x y +++最小值为__________． 24．【天津市河北区2019届高三二模数学试题】已知首项与公比相等的等比数列 中，若 ，n *∈N ，满足 ，则的最小值为__________．25．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】观察下列式子，1ln 23>，11ln 335>+，111ln 4357>++，……，根据上述规律，第n 个不等式应该为__________．26．【陕西省延安市2019届高考模拟试题数学】甲、乙、丙三位教师分别在延安、咸阳、宝鸡的三所中学里教不同的学科 ， ， ，已知： ①甲不在延安工作，乙不在咸阳工作； ②在延安工作的教师不教 学科； ③在咸阳工作的教师教 学科； ④乙不教 学科.可以判断乙工作的地方和教的学科分别是__________、__________．。
2019版高考数学一轮复习 第七章 推理与证明课时训练
第七章 推理与证明第1课时 合情推理与演绎推理一、 填空题1. 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为________．答案：55解析：因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.2. 我们把 1，4，9，16，25，…这些数称为正方形数，则第 n 个正方形数是________．答案：n 2解析：∵ 1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，…∴ 由此可推得第n 个正方形数是n 2.3. 观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝____________．答案：－g(x)解析：由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．4. 如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行，数字6，5，4(从左至右)出现在第3行； 数字7，8，9，10出现在第4行，…，依此类推，则第20行从左到右第4个数字为________．答案：194解析：前19行共有19×（1＋19）2＝190(个)数字⇒第19行最左端的数为190⇒第20行从左到右第4个数字为194.5. 观察等式：sin 30°＋sin 90°cos 30°＋cos 90°＝3，sin 15°＋sin 75°cos 15°＋cos 75°＝1，sin 20°＋sin 40°cos 20°＋cos 40°＝33.照此规律，对于一般的角α，β，有等式____________________．答案：sin α＋sin βcos α＋cos β＝tan α＋β2解析：等式中左端三角函数式中两角之和的一半的正切值恰好等于右端的数值，故sin α＋sin βcos α＋cos β＝tan α＋β2.6. 已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A(－p ，0)和C(p ，0)，顶点B在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m>n>0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e.试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题是____________．答案：在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A(－p ，0)和C(p ，0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m>0，n>0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率是e ，则|sin A －sin C|sin B ＝1e解析：由正弦定理和椭圆定义可知sin A ＋sin C sin B ＝AB ＋BC AC ＝2a2c，类比双曲线应有|AB －BC|AC ＝|sin A －sin C|sin B ＝1e. 7. 如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为22，则最小正方形的边长为________．答案：132解析：设1＋2＋4＋…＋2n －1＝1 023，即1－2n1－2＝1 023，解得n ＝10.正方形边长构成数列22，⎝ ⎛⎭⎪⎫222，⎝ ⎛⎭⎪⎫223，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫2210，从而最小正方形的边长为⎝ ⎛⎭⎪⎫2210＝132. 8. 将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为________． 13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31 …答案：809解析：前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.9. 已知“整数对”按如下规律排成一行：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是________．答案：(5，7)解析：依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n （n ＋1）2个“整数对”，注意到10×（10＋1）2<60<11×（11＋1）2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各整数对依次为(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个“整数对”是(5，7)．10. 已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 的中点，点G 是△ABC 外接圆的圆心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若点M 是△BCD 的三边中线交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AOOM＝__________”．答案：3解析：如图，设四面体ABCD 的棱长为a ，则由M 是△BCD 的重心，得BM ＝33a ，AM ＝63a.设OA ＝R ，则OB ＝R ，OM ＝63a －R ，于是由R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2，解得R ＝64a.所以AOOM ＝64a 63a －64a ＝3. 11. 某电子设备的锁屏图案设计的操作界面如图①所示，屏幕解锁图案的设计规则如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点(点的个数在1到9个之间)就形成了一个线路图(线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次被划到不会成为确定线路的点)，这个线路图就形成一个屏幕解锁图案，则图②所给线路中可以成为屏幕解锁图案的是________．(填序号)答案：a ，b 解析：由解锁图案的设计规则可知，构成线路图的所有的点能且只能起到一次确定线路的作用．a ，b 均满足题意，c 中第二排第三列的点至少起到两次确定线路的作用．二、 解答题12. 已知函数f(x)＝13x ＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解：f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13（1＋3）＝33（1＋3）＋13（1＋3）＝33，同理可得f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33. 由此猜想f(x)＋f(1－x)＝33.证明如下： f(x)＋f(1－x)＝13x ＋3＋131－x ＋3＝13x ＋3＋3x3＋3·3x ＝13x ＋3＋3x3（3＋3x）＝3＋3x3（3＋3x）＝33. 13. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图①②③④为他们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f(n)个小正方形．(1) 求出f(5)的值；(2) 利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n ＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3) 求n≥2时，1f （1）＋1f （2）－1＋1f （3）－1＋…＋1f （n ）－1的值．解：(1) f(5)＝41.(2) 因为f(2)－f(1)＝4＝4×1， f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4， …由此式规律，所以得出f(n ＋1)－f(n)＝4n.f(n ＋1)－f(n)＝4n ⇒f(n ＋1)＝f(n)＋4n ⇒f(n)＝f(n －1)＋4(n －1)＝f(n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f(n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f(1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4＝2n 2－2n ＋1.(3) 当n≥2时，1f （n ）－1＝12n （n －1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，所以1f （1）＋1f （2）－1＋1f （3）－1＋…＋1f （n ）－1＝1＋12·(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n )＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n .第2课时 直接证明与间接证明一、 填空题1. 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________．答案：方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根解析：“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”的否定是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．2. 设a ＞b ＞0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是____________． 答案：m<n解析：∵a＞b ＞0，∴a ＞b ，a －b ＞0. ∴m 2－n 2＝a ＋b －2ab －(a －b)＝2b －2ab ＝2b(b －a)＜0.∴m 2＜n 2. 又m ＞0，n ＞0，∴m ＜n.3. 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n .若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________．答案：2n解析：因为数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1.因为数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n ·a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q)＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n.4. 已知函数f(x)满足f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，则f 2（1）＋f （2）f （1）＋f 2（2）＋f （4）f （3）＋f 2（3）＋f （6）f （5）＋f 2（4）＋f （8）f （7）＝________．答案：16解析：根据f(a ＋b)＝f(a)·f(b)得f(2n)＝f 2(n)，又f(1)＝2，则f （n ＋1）f （n ）＝2，故f 2（1）＋f （2）f （1）＋f 2（2）＋f （4）f （3）＋f 2（3）＋f （6）f （5）＋f 2（4）＋f （8）f （7）＝2f （2）f （1）＋2f （4）f （3）＋2f （6）f （5）＋2f （8）f （7）＝16.5. 已知直线l⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题：① α∥β⇒l ⊥m ；② α⊥β⇒l ∥m ；③ l∥m ⇒α⊥β；④ l⊥m ⇒α∥β.其中正确的命题是________．(填序号)答案：①③解析：①⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αα∥β⇒l ⊥β，又m ⊂β，∴ l ⊥m ，①正确；② l⊥α，当l ⊂β且m 不垂直α时，则l 必与m 相交，故②错误；③⎭⎪⎬⎪⎫l∥m l⊥α⇒m ⊥α，又m ⊂β，∴ β⊥α，故③正确；④ 若α∩β＝n ，且m∥n 时，l ⊥α⇒l ⊥n ⇒l ⊥m ，故④错误．6. 已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案：c≥b>a解析：∵ c－b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a)2≥0，∴ c ≥b.已知两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b＝1＋a 2.∵ 1＋a 2－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴ 1＋a 2>a.∴ b ＝1＋a 2>a.∴ c ≥b>a.7. 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b≤1，b ，a －b>1.设函数f(x)＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R .若函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________．答案：(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34 解析：由题意可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x 2－2－（x －x 2）≤1，x －x 2，x 2－2－（x －x 2）＞1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x≤32，x －x 2，x ＜－1或x ＞32，函数图象如图所示．函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，即函数y ＝f(x)与y ＝c 的图象有2个交点，由图象可得c≤－2或－1＜c ＜－34.8. 对于一切实数x ，不等式x 2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是____________．答案：[－2，＋∞)解析： 当x ＝0时不等式成立；用分离参数法得a≥－⎝⎛⎭⎪⎫|x|＋1|x|(x≠0)，而|x|＋1|x|≥2，∴ a ≥－2.9. 若二次函数f(x)＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1，1]内至少存在一点c ，使f(c)>0，则实数p 的取值范围是______________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－3，32 解析：令⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－2p 2＋p ＋1≤0，f （1）＝－2p 2－3p ＋9≤0，解得p≤－3或p≥32， 故满足条件的p 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－3，32. 10. 某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于任意不同的x 1，x 2∈[0，1]，都有|f(x 1)－f(x 2)|<|x 1－x 2|，求证|f(x 1)－f(x 2)|<12.那么他的反设应该是________．答案：函数f(x)在[0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，存在不同的x 1，x 2∈[0，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|<|x 1－x 2|，则|f(x 1)－f(x 2)|≥12解析：要证明的问题是全称命题的形式，则其结论的否定应该是特称命题的形式，即“函数f(x)在[0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，存在不同的x 1，x 2∈[0，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|<|x 1－x 2|，则|f(x 1)－f(x 2)|≥12”．二、 解答题11. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：① sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；② sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③ sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④ sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤ sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1) 选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2) 三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 12. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0<x<c 时，f(x)>0.(1) 求证：1a 是f(x)＝0的一个根；(2) 试比较1a与c 的大小；(3) 求证：－2<b<－1.(1) 证明：∵ f(x)的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴ f(x)＝0有两个不等实根x 1，x 2.∵ f(c)＝0，∴ x 1＝c 是f(x)＝0的根，又x 1x 2＝ca，∴ x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，∴ 1a是f(x)＝0的一个根．(2) 解：假设1a <c ，又1a >0，由0<x<c 时，f(x)>0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，∴ 1a ≥c.∵ 1a ≠c ，∴ 1a>c.(3) 证明：由f(c)＝0，得ac 2＋bc ＋c ＝0，即ac ＋b ＋1＝0，∴ b ＝－1－ac.又a>0，c>0，∴ b<－1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a ，即－b 2a <1a.又a>0，∴ b>－2，∴ －2<b<－1.13. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，n ∈N *. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{a 2n }的前n 项和为T n ，求S 2n T n；(3) 判断数列{3n－a n }中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论． 解：(1) 当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2.当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －2)－(2a n －1－2)＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.因为a 1≠0，所以a na n －1＝2，从而数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n＝2n .(2) 因为a 2n ＝(2n )2＝4n，所以a 2n ＋1a 2n＝4，故数列{a 2n }是以4为首项，4为公比的等比数列，从而S 2n ＝2（1－22n）1－2＝2(4n－1)，T n ＝4（1－4n）1－4＝43(4n－1)，所以S 2n T n ＝32.(3) 不存在．证明：假设{3n－a n }中存在三项成等差数列，不妨设第m ，n ，k(m<n<k)项成等差数列，则2(3n －a n )＝3m －a m ＋3k－a k ，即2(3n －2n )＝3m －2m ＋3k －2k.因为m<n<k ，且m ，n ，k ∈N *， 所以n ＋1≤k.因为2(3n －2n )＝3m －2m ＋3k －2k ≥3m －2m ＋3n ＋1－2n ＋1，所以－3n ≥3m －2m，不等式不成立．所以数列{3n－a n }中不存在三项成等差数列．第3课时 数学归纳法一、 填空题1. 利用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·…·(n＋n)＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *时，从“n ＝k”变到 “n＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是________________．答案：2(2k ＋1)解析：由题意知，n ＝k 时，左边为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k＋k)；当n ＝k ＋1时，左边为(k ＋2)(k ＋3)·…·(k＋1＋k ＋1); 从而增加的两项为(2k ＋1)(2k ＋2)，减少的一项为k＋1.故左边应增乘的因式为（2k ＋1）（2k ＋2）k ＋1＝2(2k ＋1)．2. 用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＞1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________________．答案：1（2k ＋1）（2k ＋2）解析：不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1（2k ＋1）（2k ＋2），故应填1（2k ＋1）（2k ＋2）.3. 若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k ＋1)与f(k)的递推关系式是________________．答案：f(k ＋1)＝f(k)＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)24. 设f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋13n －1(n∈N *)，则f(k ＋1)－f(k)＝____________．答案：13k ＋13k ＋1＋13k ＋2解析：f(k ＋1)－f(k)＝1＋12＋13＋14＋…＋13（k ＋1）－1－⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋14＋…＋13k －1＝13k ＋13k ＋1＋13k ＋2. 5. 在平面上画n 条直线，且任何两条直线都相交，任何三条直线都不共点．设这n 条直线将平面分成f(x)个部分，则f(k ＋1)－f(k)＝________．答案：k ＋1解析：一条直线分成1＋1＝2(个)部分，两条直线分成1＋1＋2＝4(个)部分，三条直线分成1＋1＋2＋3＝7(个)部分，f(n)＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n ，则f(k ＋1)－f(k)＝[1＋1＋2＋3＋4＋…＋k ＋(k ＋1)]－(1＋1＋2＋3＋4＋…＋k)＝k ＋1.6. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22时，当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上________．答案：(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2解析：∵ 当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴ 当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.7. 观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，则可归纳出____．答案：1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2<2n ＋1n ＋1(n∈N *) 解析：1＋122<32，即1＋1（1＋1）2<2×1＋11＋1；1＋122＋132<53，即1＋1（1＋1）2＋1（2＋1）2<2×2＋12＋1，归纳出1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2<2n ＋1n ＋1(n∈N *)． 8. 用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n∈N *)成立，其初始值至少应取________．答案：8解析：左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.9. 用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2（2n －1）（2n ＋1）＝n （n ＋1）2（2n ＋1）；当推证n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是____________．答案：k （k ＋1）2（2k ＋1）＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝（k ＋1）（k ＋2）2（2k ＋3）解析：当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2（2k －1）（2k ＋1）＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝k （k ＋1）2（2k ＋1）＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3），故只需证明k （k ＋1）2（2k ＋1）＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝（k ＋1）（k ＋2）2（2k ＋3）即可．10. 若数列{a n }的通项公式a n ＝1（n ＋1）2，记c n ＝2(1－a 1)·(1－a 2)·…·(1－a n )，试通过计算c 1，c 2，c 3的值，推测c n ＝____________．答案：n ＋2n ＋1解析：c 1＝2(1－a 1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝32，c 2＝2(1－a 1)(1－a 2)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝43，c 3＝2(1－a 1)(1－a 2)·(1－a 3)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116＝54，故由归纳推理得c n ＝n ＋2n ＋1.二、 解答题11. 已知数列{a n }满足a n ＋1＝12－a n (n∈N *)，a 1＝12.试通过求a 2，a 3，a 4的值猜想a n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解：a 2＝12－a 1＝12－12＝23，a 3＝12－a 2＝12－23＝34，a 4＝12－a 3＝12－34＝45.猜想：a n ＝n n ＋1(n∈N *)．用数学归纳法证明如下：① 当n ＝1时，左边＝a 1＝12，右边＝11＋1＝12，所以等式成立；② 假设n ＝k 时等式成立，即a k ＝k k ＋1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12－a k ＝12－k k ＋1＝k ＋1k ＋2＝k ＋1（k ＋1）＋1，所以当n ＝k ＋1时等式也成立． 由①②得，当n ∈N *时等式都成立．12. 是否存在常数a ，b ，c ，使等式1·(n 2－12)＋2(n 2－22)＋…＋n(n 2－n 2)＝an 4＋bn 2＋c 对一切正整数n 成立？证明你的结论．解：分别用n ＝1，2，3代入解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，81a ＋9b ＋c ＝18⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－14，c ＝0.下面用数学归纳法证明．① 当n ＝1时，由上可知等式成立；② 假设当n ＝k 时，等式成立，则当n ＝k ＋1时，左边＝1·[(k＋1)2－12]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k[(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝1·(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k(k 2－k 2)＋1·(2k＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋k(2k ＋1)＝14k 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 2＋(2k ＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋k(2k ＋1)＝14(k ＋1)4－14(k ＋1)2，∴ 当n ＝k ＋1时，等式成立．由①②得等式对一切的n∈N *均成立．13. 已知(x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (其中n∈N *)，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .(1) 求S n ；(2) 求证：当n≥4时，S n >(n －2)2n ＋2n 2.(1) 解：取x ＝1，则a 0＝2n ；取x ＝2，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n，∴ S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －2n.(2) 证明：要证S n >(n －2)2n ＋2n 2，只需证3n >(n －1)2n＋ 2n 2，当n ＝4时，81>80；假设当n ＝k(k≥4)时，结论成立，即3k >(k －1)2k ＋2k 2，两边同乘以 3 得：3k ＋1>3[(k －1)2k ＋2k 2]＝k·2k ＋1＋2(k ＋1)2＋[(k －3)2k ＋4k 2－4k －2]．而(k －3)2k ＋4k 2－4k －2＝(k －3)2k ＋4(k 2－k －2)＋6＝(k －3)2k＋4(k －2)(k ＋1)＋6>0，∴ 3k ＋1>[(k ＋1)－1]2k ＋1＋2(k ＋1)2，即n ＝k ＋1时结论也成立，∴ 当n≥4时，3n >(n －1)2n ＋2n 2成立． 综上，原不等式成立．。
2019年高考文科数学一轮单元卷：第二十二单元算法初步、推理与证明、复数B卷(含答案)
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ）第二十二单元 算法初步、推理与证明、复数注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复平面内，复数3z =-i(i 为虚数单位)，则复数z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．定义x x f sin )(0=，x x f x f cos )()(01==‘，)()('1x f x f n n =+，则=)(2017x f （ ）A ．x sinB ．x cosC ．x sin -D ．x cos -4．观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知复数512z =+i，则复数z z -2的虚部为（ ） A ．-iB ．1-C ．2-iD ．2-6．对任意非零实数，b ，若a b ⊗的运算原理如右图程序框图所示，则(32)4⊗⊗的值 是（ ）A ．0B ．12C ．32D ．97．关于复数()211z +=-i i，下列说法中正确的是（ ）A ．在复平面内复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 的共轭复数1z =-iC ．若复数()1z z b b =+∈R 为纯虚数，则1b =D ．设a ，b 为复数z 的实部和虚部，则点(),a b 在以原点为圆心，半径为1的圆上 8．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）A ．21 B ．1- C ．2 D ．19．已知222433+=⨯，333988+=⨯，444161515+=⨯，……，观察以上等式，若999k m n+=⨯(m ，n ，k 均为实数)，则m n k +-=（ ）A ．76B ．77C ．78D ．7910．阅读如图所示的程序框图，若输入919a =，则输出的k 值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．1211．网络工作者经常用网络蛇形图来解释网络的运作模式，如图所示，数字1出现在第一 行;数字2，3出现在第二行; 数字6，5，4 (从左至右)出现在第三行;数字7，8，9，10出现在第四行;以此类推，则按网络运作顺序第63行从左到右的第2个数字(如第2行第1个数字为2，第3行第1个数字为4，…，)是（ ）A ．2014B ．2015C ．2016D ．201712．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}()n a n *∈N 的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则=++201720162015a a a （ ）A ．1008B ．1009C ．2017D ．2018二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．若复数z 与2(2)4z -+i 都是纯虚数，则=-+22z z ． 14．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是______．15．我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示的()()()()1234为刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是有相同的小正方形构成，小正方形越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图案包含)(n f 个小正方形，则)(n f 的表达式为 ．16．在计算“)1(3221-++⨯+⨯n n Λ”时，某位数学教师采用了以下方法： 构造等式：)]1()1()2)(1([31)1(+--++=+k k k k k k k k ，以此类推得： )210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯，)321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯，)432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯，…，…，)]1()1()2)(1([31)1(+--++=-⨯n n n n n n n n ，相加得：11223(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯++-=++L ．类比上述计算方法，可以得到：=+++⨯+⨯)2(4231n n Λ ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设复数1z =+i ，若实数a ，b 满足2)2(2z a z b az +=+，其中z 为z 的共轭复数．求实数a ，b 的值．18．（12分）如图，已知单位圆221x y +=与x 轴正半轴交于点P ，当圆上一动点Q 从P 出发沿逆时针旋转一周回到P 点后停止运动．设OQ 扫过的扇形对应的圆心角为xrad ，当02x <<π时，设圆心O 到直线PQ 的距离为y ，y 与x 的函数关系式()y f x =是如图所示的程序框图中的①②两个关系式．（1）写出程序框图中①②处的函数关系式； （2）若输出的y 值为12，求点Q 的坐标．19．（12分）已知函数)()0,1x a f x a a a a=>≠+且．（1）证明：函数)(x f y =的图象关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；（2）求(2014)(2013)(1)(0)(1)(2014)(2015)f f f f f f f -+-++-+++++L L ．20．（12分）已知数列{}n a 满足:211=a ，111)1(21)1(3++-+=-+n n n n a a a a ，()101n n a a n +<≥，数列{}n b 满足: ()2211n n n b a a n +=-≥．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）证明:数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列．21．（12分）下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n 个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为)(n f ．（1）求出(2)f ，(3)f ，(4)f ，(5)f ；（2）找出)(n f 与)1(+n f 的关系，并求出)(n f 的表达式； （3）求证：()111125111136(1)3(2)5(3)7()213333n f f f f n n *++++<∈+++++N L ．22．（12分）将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：已知数表中每一行的第一个数1a ，2a ，5a ，…构成一个等差数列，记为{}n b ，且42=b ，105=b ．数表中每一行正中间一个数1a ，3a ，7a ，…构成数列{}n c ，其前n 项和为n S ． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数且113=a ，求数列{}n c 的前n 项和n S ；（3）在满足（2）的条件下，记{}(1),n M n n c n λ*=+≥∈N ，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ） 第二十二单元 算法初步、推理与证明、复数一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C 【解析】∵(3)133(3)(3)z ⋅+-+==-+⋅-i i i ii i ，∴13z --=i，故选C ． 2．【答案】D ．【解析】由题意得，这种树的从第一年的分枝数分别是1，1，2，3，5，， 则112+=，213+=，325+=，即从第三项起每一项都等于前两项的和， 所以第6年树的分枝数是853=+，故选D ． 3．【答案】B【解析】x x f x f cos )()(01==‘，x x x f x f sin )(cos )()(''12-===，'3()(sin )cos f x x x =-=-，'40()(cos )sin ()f x x x f x =-==， '51()(sin )cos ()f x x x f x ===，同理，)()(26x f x f =，)()(37x f x f =，)()(48x f x f =，周期为4， ∴20171()()cos f x f x x ==，故选B ． 4．【答案】A【解析】由所给图形的规律看出，空心的矩形、三角形、圆形都是一个，实心的图形应均为两个，∴空白处应填实心的矩形，故选A ． 5．【答案】D 【解析】55(12)5(12)1212(12)(12)5z --====-++⋅-i i i i i i ， ∴22(12)(12)42z z -=---=--i i i ，∴复数z z -2的虚部为2-，故选D ．6．【答案】C【解析】根据程序框图知221323=+=⊗，∴ 413(32)42422-⊗⊗=⊗==，故选C ．7．【答案】C【解析】由题意可知()212111z +===-+--i ii ii， 若()1z z b b =+∈R 为纯虚数，则1b =，故选C ． 8．【答案】B【解析】设每次循环所得到的a 的值构成数列{}n a ， 由框图可111n n a a =＋－，02a =，112a =，21a =-，32a =，412a =，…， 所以{a n }的取值具有周期性，且周期为T ＝3． 又由框图可知输出的122012-===a a a ，故选B ． 9．【答案】D【解析】观察以上等式，类比出等式2(1)(1)(1)(1)x xx x x x x x +=⨯-+-+，当9x =时，可得：999818080+=⨯，所以80m =，80n =，81k =， 所以80808179m n k +-=+-=．故选D ． 10．【答案】C【解析】当111119(1)1335171921919S =+++=-=⨯⨯⨯L 时，10=k ， 若199>S ，则输出的k 值是11，故选C ． 11．【答案】B【解析】网络蛇形图中每一行的第一个数1，2，4，7，11， 按原来的顺序构成数列{}n a ，易知n a a n n =-+1，且11=a ，∴22132121()()()1123(1)2n n n n n a a a a a a a n --+=+-+-++-=+++++-=L L ．∴第63行的第一个数字为19542263632=+-， 而偶数行的顺序为从左到右，奇数行的顺序为从右到左， ∴第63行从左到右的第2个数字就是从右到左的第62个数字， 这个数为2015611954=+．故选B ． 12．【答案】B【解析】观察点的坐标，写出数列{}n a 的前12项：1，1，1-，2，2，3，2-，4，3，5，3-，6．可提炼出规律，偶数项的值等于其序号的一半，奇数项的值有正负之分， 且n a n =-34，n a n -=-14，n a n =2，∴505350542017==-⨯a a ，504150442015-==-⨯a a ，10082016=a ， ∴2015201620171009a a a ++=，故选B ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】i 或-i【解析】由已知可设(),0z b b b =∈≠R i ，则222(2)4(2)44(44)z b b b -+=-+=-+-i i i i ，∴240440b b ⎧-=⎨-≠⎩，∴2b =±，∴2z =-i 或2z =i ，∴当2z =-i 时，2221(1)(1)22221(1)(1)2z z +--+-+⋅-=====---++⋅-i i i i ii i i i i ，当2z =i 时，()()()222222222z z ++=====---+⋅-i+1i i+1ii i i-1i+1i-1． 14．【答案】5【解析】5=n ，16=n ，1=k ，8=n ，2=k ，4=n ，3=k ，2=n ，4=k ，1=n ，5=k ，输出5．15．【答案】1222+-n n【解析】我们考虑，4)1()2(=-f f ，42)2()3(⨯=-f f ，43)3()4(⨯=-f f ，…， 归纳得出)1(4)()1(-⨯=-+n n f n f ，∴()(1)[(2)(1)][(3)(2)][()(1)]f n f f f f f f n f n =++-+-++--L21424344(1)14[123(1)]221n n n n =++⨯+⨯++-=+++++-=-+L L ．16．【答案】)72)(1(61++n n n 【解析】构造等式：)]2()2()4)(2([61)2(+--++=+n n n n n n n n ， ∴]31)1(531[6131⨯⨯--⨯⨯=⨯，)420642(6142⨯⨯-⨯⨯=⨯，)531753(6153⨯⨯-⨯⨯=⨯，……，)]1)(1)(3()3)(1)(1[(61)1()1(+---++-=+⨯-n n n n n n n n ，)]2()2()4)(2([61)2(+--++=+⨯n n n n n n n n ，相加得：11324(2)[(1)13024(1)(1)(3)(2)(4)]6n n n n n n n n ⨯+⨯+++=--⨯⨯-⨯⨯+-+++++L)72)(1(61++=n n n ． 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】42a b =-⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩．【解析】由1z =+i ，可知i z -=1，代入2)2(2z a z b az +=+得，2(1)2(1)[2(1)]a b a ++-=++i i i ，即22(2)(2)44(2)a b a b a a ++-=+-++i i ， ∴22(2)424(2)a b a a b a ⎧+=+-⎨-=+⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩．18．【答案】（1）①②的式子分别为cos2x y =，cos 2xy =-；（2）当0x <≤π时，此时点Q 的坐标为132⎛- ⎝⎭，；当2x π<<π时，此时点Q 的坐标为132⎛-- ⎝⎭，． 【解析】（1）当0x <≤π时，cos2xy =；当2x π<<π时，cos cos 22x x y ⎛⎫=π-=- ⎪⎝⎭；综上可知，函数解析式为()(]()0222x cos x f x x cos x πππ⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩，，，，，所以框图中①②处应填充的式子分别为cos 2x y =，cos 2x y =-．（2）若输出的y 值为12， 则0x <≤π时，1cos 22x =，得23x π=，此时点Q 的坐标为132⎛- ⎝⎭，； 当2x π<<π时，1cos 22x -=，得43x π=，此时点Q 的坐标为132⎛-- ⎝⎭，． 19．【答案】（1）见解析；（2）2015-． 【解析】（1）函数aa a x f x+-=)(的定义域为R ，在函数)(x f 的图象上任取一点),(00y x ，它关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的对称点为)1,1(00y x ---．则aa a x f y x +-==0)(00，∴0000011(1)1o x x x x x x aa a a a a f x y a aa a a a a a a -⋅+-====--++⋅++，∴函数)(x f 图象上任意一点),(00y x 关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的对称点)1,1(00y x ---仍在函数)(x f y =的图象上．即函数)(x f y =的图象关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭对称．（2）由（1）得1)1()(00-=-+x f x f ，∴1)2015()2014(-=+-f f ；1)2014()2013(-=+-f f ；1)2013()2012(-=+-f f ；…… ；1)2()1(-=+-f f ；1)1()0(-=+f f ．∴(2014)(2013)(1)(0)(1)(2014)(2015)2015f f f f f f f -+-++-+++++=-L L ． 20．【答案】（1）132(1)143n n n a --⎛⎫=--⋅ ⎪⎝⎭11243n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（2）见解析．【解析】（1）由题意可知， )1(321221n n a a -=-+，令21n n a c -=，则2111++-=n n a c ，n n c c 321=+． 又431211=-=a c ，则数列{}n c 是首项为431=c ，公比为32的等比数列，即13243n n c -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故1232143n na -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，∴1232143n na -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭．又0211>=a ，01<+n n a a ， 故132(1)143n n n a --⎛⎫=--⋅ ⎪⎝⎭1122132321211434343n n n n n nb a a --+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅--⋅=⋅⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．（2）反证法：假设数列{}n b 存在三项r b ，s b ，t b ()r s t <<按某种顺序成等差数列， 由于数列{}n b 是首项为41，公比为32的等比数列，于是有r s t b b b >>， 则只能有t r s b b b +=2成立．∴1111212122434343s r t ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅+⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两边同乘以r t --1123，化简得s t r s r t r t ----⋅=+32223． 由于t s r <<，∴上式左边为奇数，右边为偶数， 故上式不可能成立，导致矛盾．21．【答案】（1）(2)12f =，(3)27f =，(4)48f =，(5)75f =；（2）36)()1(+=-+n n f n f ，2()3f n n =；（3）见解析．【解析】（1）由题意有：3)1(=f ，12233)1()2(=⨯++=f f ，27433)2()3(=⨯++=f f ， 48633)3()4(=⨯++=f f ，75833)4()5(=⨯++=f f ．（2）由题意及（1）知，36)(233)()1(++=⨯++=+n n f n n f n f ， 即36)()1(+=-+n n f n f ．∴()(1)[(2)(1)][(3)(2)][()(1)]f n f f f f f f n f n =+-+-++--L3(613)(623)[6(1)3]36[123(1)]n n n =+⨯++⨯+++-+=+++++-L L 2(1)3633(1)32n nn n n n n -=+⨯=+-=． （3）∵23)(n n f =，∴2111111(1)(1)1()213n n n n n f n n =<=-+++++，∴11111111(1)3(2)5(3)7()213333f f f f n n ++++<+++++L11111111111111125()()()4934451493149336n n n ++-+-++-=++-<++=++L ， 所以对于任意n *∈N ，原不等式成立．22．【答案】（1）2n b n =；（2）2282n n n S -+=-；（3）(]4,5． 【解析】（1）设数列{}n b 的公差为d ，则114410b d b d +=⎧⎨+=⎩解得122b d =⎧⎨=⎩，所以n b n 2=．（2）·设每一行组成的等比数列的公比为q ，由于前n 行共有2)12(531n n =-++++Λ个数，且224133<<，又8410==b a ．所以18331013===q q a a ，解得21=q ．因此121222n n n n c n --⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以12110121232222n n n n nS c c c c ---=++++=++++L L 0121112122222n n n n nS ---=++++L 所以10121111211111122412222222212nn n n n n n n n S -----⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-=-=--L ，即2228-+-=n nn S ．（3）由（1）知22-=n n n c ，不等式λ≥+n c n )1(，可化为λ≥+-22)1(n n n ．设22)1()(-+=n n n n f ， 计算得4)1(=f ，6)3()2(==f f ，5)4(=f ，415)5(=f ， 因为121(1)(2)(1)(2)(1)(1)()222n n n n n n n n n f n f n ---+++-++-=-=， 所以当3≥n 时，)()1(n f n f <+．因为集合M 的元素的个数为3，所以λ的取值范围是(]4,5．。
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推理与证明
一、选择题
1．要证明3＋7<25可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )
A ．综合法
B ．分析法
C ．反证法
D ．归纳法
答案：B
解析：综合法由已知条件入手开始证明，分析法从所求的结论入手寻找使其成立的条件，反证法适合证明含有“存在”“唯一”等字眼的题目，归纳法适合证明与正整数有关的题目．结合以上特点，本题的证明适合采用分析法．
2．(2018·洛阳一模)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A ．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无理数，结论——π是无限不循环小数
B ．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无限不循环小数，结论——π是无理数
C ．大前提——π是无限不循环小数，小前提——无限不循环小数是无理数，结论——π是无理数
D ．大前提——π是无限不循环小数，小前提——π是无理数，结论——无限不循环小数是无理数
答案：B
解析：A 中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A 错误；C 、D 都不是由一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，所以C 、D 都不正确，只有B 正确，故选B.
3．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1
<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )
A ．1＋12<2
B ．1＋12＋13<2
C ．1＋12＋13<3
D ．1＋12＋13＋14<3
答案：B
解析：本题考查数学归纳法．依题意得，当n ＝2时，不等式为1＋12＋13<2，故选B.
4．(2017·新课标全国卷Ⅱ，7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩
答案：D
解析：由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．
故选D.
5．(2018·山东菏泽模拟)设m ，n ，t 都是正数，则m ＋4n ，n ＋4t ，
t ＋4m 三个数( )
A ．都大于4
B ．都小于4
C ．至少有一个大于4
D ．至少有一个不小于4
答案：D
解析：依题意，令m ＝n ＝t ＝2，则三个数为4,4,4，排除A ，B ，C 选项，故选D.
6．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a 是实数，所以a 的绝对值大于0”，你认为这个推理( )
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．是正确的
答案：A
解析：大前提是任何实数的绝对值大于0，显然是不正确的．故选A.
7．(2018·合肥一模)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数
a ，
b ，
c 中恰有一个是偶数”的正确假设为( )
A ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数
B ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数
C ．自然数a ，b ，c 都是奇数
D ．自然数a ，b ，c 都是偶数
答案：B
解析：“自然数a ，b ，c 中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数，其否定是“自然数a ，b ，c 均为奇数或自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数”．
8．(2018·大同质检)分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”，则索的因应是( )
A ．a －b >0
B ．a －c >0
C ．(a －b )(a －c )>0
D ．(a －b )(a －c )<0
答案：C
解析：要证 b 2－ac <3a ，需证b 2－ac <3a 2，因为a ＋b ＋c ＝0，所以即证(a ＋c )2－ac <3a 2，即证a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0，即证－2a 2＋ac ＋c 2<0，即证2a 2－ac －c 2>0，即证(2a ＋c )(a －c )>0，即证(a －c )(a －b )>0.故选C.
二、填空题
9．(2018·河北唐山一中调研)用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应增加的代数式为________．
答案：2(2k ＋1)
解析：首先写出当n ＝k 时和n ＝k ＋1时等式左边的式子．
当n ＝k 时，左边等于(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝(k ＋1)(k ＋2)…(2k )，①
当n ＝k ＋1时，左边等于(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，②
∴从n ＝k 到n ＝k ＋1的证明，左边需增加的代数式是由②①
得到(2k ＋1)(2k ＋2)(k ＋1)
＝2(2k ＋1)． 10．(2018·山东日照一模)有下列各式：1＋12＋13>1,1＋12＋…＋
17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：________.
答案：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1
>n ＋12(n ∈N *)
解析：观察各式左边为1n 的和的形式，项数分别为3,7,15，…，
∴可猜想第n 个式子中左边应有2n ＋1－1项，不等式右边分别写成22，
32，42，…，∴猜想第n 个式子中右边应为n ＋12，按此规律可猜想此类
不等式的一般形式为：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1
>n ＋12(n ∈N *)． 11．(2018·长沙二模)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC
的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2
＝14.推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积
为V 2，则V 1V 2
＝________. 答案：127
解析：由平面图形类比空间图形，由二维类比三维，如图，设正
四面体P －ABC 的棱长为a ，E 为等边三角形ABC 的中心，O 为内切
球与外接球的球心，则AE ＝33a ，PE ＝63a .设OA ＝R ，OE ＝r ，则r ＝63a －R ，又在Rt △AOE 中，OA 2＝OE 2＋AE 2，即R 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫63a －R 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫33a 2，∴R ＝64a ，r ＝612a ，∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是，故正四面体P －ABC 的内切球体积V 1与外接球体积V 2
之比等于1，即V 1V 2
＝127. 三、解答题
12．(2018·安徽合肥测试)给出四个等式：
1＝1；
1－4＝－(1＋2)；
1－4＋9＝1＋2＋3；
1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)；
……
(1)写出第5,6个等式，并猜测第n (n ∈N *)个等式；
(2)用数学归纳法证明你猜测的等式．
解析：(1)第5个等式：1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5； 第6个等式：1－4＋9－16＋25－36＝－(1＋2＋3＋4＋5＋6)； 猜测第n (n ∈N *)个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1n 2＝(－
1)n －1(1＋2＋3＋…＋n )．
(2)证明：①当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×1×(1＋1)2
＝1，
左边＝右边，等式成立；
②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即
12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1k (k ＋1)2，
则当n ＝k ＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2
＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k (k ＋1)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤(k ＋1)－k 2＝(－1)k (k ＋1)[(k ＋1)＋1]2， ∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．
根据①②可知，对于任何n ∈N *等式均成立．。