2019年高考数学一轮复习(文科)训练题：推理与证明

推理与证明
一、选择题
1．要证明3＋7<25可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )
A ．综合法
B ．分析法
C ．反证法
D ．归纳法
答案：B
解析：综合法由已知条件入手开始证明，分析法从所求的结论入手寻找使其成立的条件，反证法适合证明含有“存在”“唯一”等字眼的题目，归纳法适合证明与正整数有关的题目．结合以上特点，本题的证明适合采用分析法．
2．(2018·洛阳一模)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A ．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无理数，结论——π是无限不循环小数
B ．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无限不循环小数，结论——π是无理数
C ．大前提——π是无限不循环小数，小前提——无限不循环小数是无理数，结论——π是无理数
D ．大前提——π是无限不循环小数，小前提——π是无理数，结论——无限不循环小数是无理数
答案：B
解析：A 中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A 错误；C 、D 都不是由一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，所以C 、D 都不正确，只有B 正确，故选B.
3．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1
<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )
A ．1＋12<2
B ．1＋12＋13<2
C ．1＋12＋13<3
D ．1＋12＋13＋14<3
答案：B
解析：本题考查数学归纳法．依题意得，当n ＝2时，不等式为1＋12＋13<2，故选B.
4．(2017·新课标全国卷Ⅱ，7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩
答案：D
解析：由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．
故选D.
5．(2018·山东菏泽模拟)设m ，n ，t 都是正数，则m ＋4n ，n ＋4t ，
t ＋4m 三个数( )
A ．都大于4
B ．都小于4
C ．至少有一个大于4
D ．至少有一个不小于4
答案：D
解析：依题意，令m ＝n ＝t ＝2，则三个数为4,4,4，排除A ，B ，C 选项，故选D.
6．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a 是实数，所以a 的绝对值大于0”，你认为这个推理( )
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．是正确的
答案：A
解析：大前提是任何实数的绝对值大于0，显然是不正确的．故选A.
7．(2018·合肥一模)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数
a ，
b ，
c 中恰有一个是偶数”的正确假设为( )
A ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数
B ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数
C ．自然数a ，b ，c 都是奇数
D ．自然数a ，b ，c 都是偶数
答案：B
解析：“自然数a ，b ，c 中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数，其否定是“自然数a ，b ，c 均为奇数或自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数”．
8．(2018·大同质检)分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”，则索的因应是( )
A ．a －b >0
B ．a －c >0
C ．(a －b )(a －c )>0
D ．(a －b )(a －c )<0
答案：C
解析：要证 b 2－ac <3a ，需证b 2－ac <3a 2，因为a ＋b ＋c ＝0，所以即证(a ＋c )2－ac <3a 2，即证a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0，即证－2a 2＋ac ＋c 2<0，即证2a 2－ac －c 2>0，即证(2a ＋c )(a －c )>0，即证(a －c )(a －b )>0.故选C.
二、填空题
9．(2018·河北唐山一中调研)用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应增加的代数式为________．
答案：2(2k ＋1)
解析：首先写出当n ＝k 时和n ＝k ＋1时等式左边的式子．
当n ＝k 时，左边等于(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝(k ＋1)(k ＋2)…(2k )，①
当n ＝k ＋1时，左边等于(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，②
∴从n ＝k 到n ＝k ＋1的证明，左边需增加的代数式是由②①
得到(2k ＋1)(2k ＋2)(k ＋1)
＝2(2k ＋1)． 10．(2018·山东日照一模)有下列各式：1＋12＋13>1,1＋12＋…＋
17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：________.
答案：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1
>n ＋12(n ∈N *)
解析：观察各式左边为1n 的和的形式，项数分别为3,7,15，…，
∴可猜想第n 个式子中左边应有2n ＋1－1项，不等式右边分别写成22，
32，42，…，∴猜想第n 个式子中右边应为n ＋12，按此规律可猜想此类
不等式的一般形式为：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1
>n ＋12(n ∈N *)． 11．(2018·长沙二模)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC
的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2
＝14.推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积
为V 2，则V 1V 2
＝________. 答案：127
解析：由平面图形类比空间图形，由二维类比三维，如图，设正
四面体P －ABC 的棱长为a ，E 为等边三角形ABC 的中心，O 为内切
球与外接球的球心，则AE ＝33a ，PE ＝63a .设OA ＝R ，OE ＝r ，则r ＝63a －R ，又在Rt △AOE 中，OA 2＝OE 2＋AE 2，即R 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫63a －R 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫33a 2，∴R ＝64a ，r ＝612a ，∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是，故正四面体P －ABC 的内切球体积V 1与外接球体积V 2
之比等于1，即V 1V 2
＝127. 三、解答题
12．(2018·安徽合肥测试)给出四个等式：
1＝1；
1－4＝－(1＋2)；
1－4＋9＝1＋2＋3；
1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)；
……
(1)写出第5,6个等式，并猜测第n (n ∈N *)个等式；
(2)用数学归纳法证明你猜测的等式．
解析：(1)第5个等式：1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5； 第6个等式：1－4＋9－16＋25－36＝－(1＋2＋3＋4＋5＋6)； 猜测第n (n ∈N *)个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1n 2＝(－
1)n －1(1＋2＋3＋…＋n )．
(2)证明：①当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×1×(1＋1)2
＝1，
左边＝右边，等式成立；
②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即
12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1k (k ＋1)2，
则当n ＝k ＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2
＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k (k ＋1)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤(k ＋1)－k 2＝(－1)k (k ＋1)[(k ＋1)＋1]2， ∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．
根据①②可知，对于任何n ∈N *等式均成立．。