数列常见题型分析与方法总结

数列常见题型分析与做法

一、等差、等比数列的概念与性质

1、已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比，求n a ；

（I ）依题意032),(32244342=+--+=a a a a a a a 即 03213131=+-∴q a q a q a

2

1101322

=

=⇒=+-∴q q q q 或2

11=

∴≠q q 1)2

1

(64-⨯=n n a 故

二、求数列的通项 类型1 )(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足2

11=a ，n

n a a n n ++

=+2

11，求n a 答案：n

n

a n 12

3112

1-

=

-

+=

∴

类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:已知数列{}n a 满足321=

a ，n

n a n n a 1

1+=

+，求n a 答案：n

a n 32=

∴

类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p

q t -=1，再利用换元

法转化为等比数列求解。

例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 提示：)3(231+=++n n a a 答案：321-=+n n a . 类型4 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)

解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)

2()

1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S

)2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。

例：已知数列{}n a 前n 项和2

2

14---=n n n a S . （1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .

解：（1）由2

2

14--

-=n n n a S 得：1

112

14-++-

-=n n n a S 于是)

2

12

1(

)(1

2

11--++-

+-=-n n n n n n a a S S

所以1

112

1

-+++

-=n n n n a a a n

n n a a 2

12

11+

=

⇒+.

（2）n

n n a a 2

12

11+

=

⇒+ 两边同乘以12+n 得：22211+=++n n n n a a

由12

1412

1111=⇒-

-==-a a S a .于是数列{}n n

a 2是以

2为首项，2为公差的等差数列，所以

n n a n n

2)1(222=-+=1

2

-=

⇒n n n a

三、数列求和

公式法、分组求和、错位相减求和、裂项求和、倒序相加求和、累加累积

1、设12122

1

32(*),{

}3

log log n n n n n n n b b n N C T C C -++=⋅∈=

⋅已知且为数列的前

n 项和，求n T .

解：,2

31

-==

n n n b C ,

)

1(12

log 2log 1

log

log

1

1

2

2

2

2

12

+=

⋅=

⋅∴

+++n n C C n n

n n

而

,1

11)

1(1+-

=

+n n

n n .1

11)1

1

1()4

13

1()3

12

1()2

11(+-

=+-

++-

+-+-

=∴n n n

T n

2、求和： . 答案：

3

、求数列n a =

的前n 项和

答案：1

4、已知集合A ＝{a|a ＝2n ＋9n －4，n ∈N 且a ＜2000}，求A 中元素的个数，以及这些元素的和

提示：210＝1024，211＝2048 答案：10 ； 2501

5、求证：n

n n n n

n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 倒序相加 6、求数列

3

11⨯，

4

21⨯，

5

31⨯，…，

)

2(1+n n ，…的前n 项和S

7、求数5，55，555，…，55…5 的前n 项和S n

解： 因为55…5=)110(95

-n

所以 S n =5+55+555+…+55…5 =

[])

110

()110

()110(9

52

-+⋅⋅⋅+-+-n

=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡---n n

110)110(1095 =815095108150--⨯n n

一、选择题 1．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（ ）

A ．11

B ．12

C ．13

D ．14

2．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项

的和9S 等于（ ） A ．66B ．99 C ．144 D ．297 3．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ）

n

n