结构力学力法汇编

第七章力法

§7-1 超静定结构概述

1. 超静定结构基本特性

(1) 几何构造特性：几何不变有多余约束体系

(2) 静力解答的不唯一性：满足静力平衡条件的解答有无穷多组

(3) 产生内力的原因：除荷载外，还有温度变化、支座移动、材料收缩、制造误差等，均可产生内力。

2. 超静定结构类型

图7.1

3. 求解原理

(1) 平衡条件：解答一定是满足平衡条件的，平衡条件是必要条件但不是充分条件。

(2) 几何条件：或变形协调条件或约束条件等，指解答必须满足结构的约束条件与位移连续性条件等。

(3) 物理条件：求解过程中还需要用到荷载与位移之间的物理关系。

4. 基本方法

力法：以多余约束力作为求解的基本未知量

位移法：以未知结点位移作为求解的基本未知量

§7-2 超静定次数的确定

超静定次数：多余约束的个数，也就是力法中基本未知量的个数。

确定方法：超静定结构

去掉多余约约束静定结构，即可确定超静定次数即力法基本未知量的个数。

强调，（1）去掉的一定是多余约束，不能去掉必要约束（2）结果一定是得到一个静定结构，也称力法基本结构。

图7.2

图7.3

图7.4

图7.5

图7.6

§7-3 力法基本概念

下面用力法对一单跨超静定梁进行求解，以说明力法基本概念，对力法有一个初步了解。 图7.7

(1) 一次超静定，去掉支座B ，得到力法基本未知量与基本结构；

(2) 要使基本结构与原结构等价，则要求，荷载与X 1共同作用下，∆1=0

(3) 由叠加原理，有，011111111=+=+=P P X ∆δ∆∆∆，力法典型方程，即多余约束处的位移约束条件。

(4) 柔度系数δ11与自由项∆1P 均为力法基本结构上(静定结构)的位移，由图乘法，得

EI l l l l EI 332211311=⋅⋅⋅⋅=δ, EI

ql l ql l EI P 843213114

21-=⋅⋅⋅-=∆, ql X P 831111=-=δ∆ (5) X 1已知，可作出原结构M 图，如图示。

§7-4 力法典型方程

由上节知，力法典型方程就是多余约束处的位移方程。下面讨论一般情况下力法方程的形式。

图7.8

3次超静定，去掉一个固定支座，得到力法基本结构。当∆1=0，∆2=0，∆3=0时，原结构与基本结构等价。根据叠加原理，得到力法典型方程，如下

01

1331221111=+++=P X X δX Δ∆δδ，注意，一般为0，有不为0的情况

022*********=+++=P X X δX Δ∆δδ

033333223113=+++=P X X δX Δ∆δδ

选取不同的力法基本结构，如下图示

图7.9

依叠加原理，得到力法方程如下，

013132121111=+++=P X X X δΔ∆δδ

023*********=+++=P X X X δΔ∆δδ

033332321313=+++=P X X X δΔ∆δδ

形式上完全相同，只是各符号的具体物理含义有所不同。

依此类推，n 次超静定结构，有n 个多余约束力时，力法典型方程为

2211222222121111212111==++++==++++==++++n nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X ∆∆δδδ∆∆δδδ∆∆δδδ

02121212222111211=⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nP P P n nn n n n n X X X ∆∆∆δδδδδδδδδ , 0}{}]{[=+P X ∆δ 为线性代数方程组，由位移互等定理，ji ij δδ=。

物理含义：

(1) 力法方程：多余约束处的位移方程，力法方程也叫柔度方程，力法也叫柔度法；

(2) 柔度系数ij δ，j 方向单位力引起的i 方向的位移，主系数δii >0，副系数ji ij δδ=。

(3) 自由项iP ∆，荷载单独作用在基本结构上，引起的i 方向的位移。 柔度系数与自由项，都是静定结构上的位移，可由上一章的位移计算方法把它们计算出来。

§7-5 力法计算步骤与示例

例7-1 用力法求解图示刚架，并作M 图。

图7.10

力法基本未知量为X 1、X 2，基本结构如图示，列出力法方程

022221211212111=++=++P P X X X X ∆δδ∆δδ 作出1M 、2M 、M P 图，如图示。下面计算柔度系数与自由项

EI l l l l EI 6322121311=⋅⋅⋅=δ, EI l l l l EI 4212132112=⋅⋅⋅==δδ, EI

l l l l EI l l l EI 6521322113

22=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ EI Fl l Fl l EI P 9656522212131-=⋅⋅⋅-=∆, EI

Fl l Fl l EI P 162221213

2-=⋅⋅⋅-=∆ 力法方程成为(消去公因子l 3/EI )

0965416121=-+F X X , 016

1654121=-+F X X 解出，F X 1141=, F X 88

32-=(与假设方向相反) 计算最后杆端弯矩，如

Fl l F M BC 883883=⋅=(上侧拉)，Fl l F l F l F M AB 88

151148832=⋅-⋅+⋅=(左侧拉) 作出最后的M 图，如图示。

结论：(1) 超静定结构荷载作用的内力分布，只与各杆刚度比值有关，与刚度绝对值无关；

(2) 刚度大的杆件，内力一般也大；

(3) 可采用不同的力法基本结构，但最后结果一定相同。