第一章 张量分析初步

eijk eijk 6
证明见例题
eijk与ij间的关系
由排列符号的性质 : ei e j eijk ek
ei e j • ek eijk
由于ei e j • ek表示的是混合积,其物理意义是单位立方体的体积.
另外,由矢量分析知, 平行六面体的体积可以表示成其三个棱的行



i e1, j e2, k e3
X1
X3 P(x1, x2, x3)
O
X2
➢ 再对上述代换结果进行简写P点改写为： P(x1,x2,x3)P(xi, i=1,2,3)P(xi)
➢ 基向量：ei, i=1,2,3 ei ➢ 则称上述字母i为指标，i的取值i=1,2,3为指标i的取值
列式形式.
eeij
(i1, ( j1
i2,i3 , j2,
)
j3
)
ek (k1,k 2 ,k3)
ei,ej,ek为3个单位基向量， i,j,k互不相等。
i1 i2 i3 ei e j • ek j1 j2 j3 eijk
k1 k2 k3

a13 x3 a23 x3

b1 b2

a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
如何用一个最简单 的式子来表示？
用矩阵？ 还有更简单的表示方法吗? 可总结为：aij x j bi
aij, xj, bi是些什么量？
§1.1 指标记号及两个特殊符号
两种方式:
将左式展开，再给定每一个i值，求左右是否相等；
只有当i=j时ij才不等于“0”，
∴
a j ij ai ii ( ii不求和) ai
e) Akj ik Akj ki Aij 证明同上。
f) ik kj ij

排列符号
➢ 定义：
eijk
1 ,当i, j, k为1,2,3的偶排列时 1 ,当i, j, k为1,2,3的奇排列时
2. 写出a=Aijbicj的展开式。
3. 写出 ti jin j 的展开式。
4. 写出 bik b jk ij 的展开式。
5.
?写出
eij
1 ( ui 2 x j
u j ) xi
的展开式。
6.
?写出
w

1 2

ij
eij
的展开式。
两个特殊符号
两个特殊符号
为书写的方便，可以使用kronecker符号和排列符号简化书 写。
➢ 求和表示为：
2
OP x e , 1,2
O
1
OP x e , 1,2
每次还要书写取值范围，太烦！对取值范围进行 约定：
➢ 用拉丁字母(i, j, k等)书写的指标其取值范围是1,2,3；
➢ 用希腊字母(,b等)书写的指标其取值范围是1,2。


6.证明eijk eimn jm kn jn km;
例6证明
A11 A12 A13 方法一: det(Ast ) A21 A22 A23
A31 A32 A33
通过观察,6项求和，3项为正3 项为负。是否和排列符号有关？
A11 A22 A33 A21 A32 A13 A31 A12 A23 A11 A32 A23 A21 A12 A33 A31 A22 A13
Ai1 Ai2 Ai3 eijk det(Ast ) Aj1 Aj2 Aj3
Ak1 Ak 2 Ak 3
A1l A1m A1n elmn det(Ast ) A2l A2m A2n
A3l A3m A3n
Ail Aim Ain
eijk elmn det(Ast ) Ajl Ajm Ajn
Akl Akm Akn
指标记号
➢ 空间有个坐标系OXYZ，P (x, y, z)是其中的一点，坐
标为：x, y ,z
z P(x, y, z)
➢ 直角坐标系中的基向量：
O
y
并两两正交——垂直
x
➢ 坐标轴代号x, y, z可否用别的符号进行代换呢？
➢ 用xx1, yx2, zx3 ➢ 则P (x, y, z)P(x1,x2,x3) ➢ 基向量同样可以做如下代换：
则前述方程组也可用求和约定进行表达
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1
a21 x1

a22 x2
a23 x3

b2

a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
aij x j bi , i, j 1,2,3
上式中i和j有何不同?
在每一项中i只出现了1次，j出现了2次，表示求和的只 有j指标。i？j？
n1 n2 n3
7.?
如果a
aiei
,
b
bi
ei
,
c
ciei
,
证明
:
a
b
c
(a•
c)b
(a•
b)c;
8.简捷证明 :
(1)ij ji 3; (2)eikleljk 2ij; (3)eijkaia j 0
§1.2 坐标变换
什么是坐标变换
i
k
只要旋转的方向相同则取值符号相同，否则取值符号 相反，任两个字母取值相同则取“0”值！
排列符号的几点重要结论：
ei

ej

eijk ek


(a

b) k

ai b j eijk
ek
eijk eimn jm kn jn km
eijk eijn 2 kn
二维坐标变换公式推导
➢ 空间一点P，向径为dx,长度为ds ➢ 在ox1x2坐标系内坐标为(x1,x2);
op xiei
Aij x j bi
op x e
➢ 用希腊字母表示的自由指标的个数决定简写方程代表 的实际方程的个数，可用2n次方来求代表的方程数；
➢ 用希腊字母表示的哑指标的个数决定了该项所代表的 实际求和项的项数，可用2n次方来求代表的项数；
例题
1. Qii, S展开？ 步骤：分析i,指标类型？字母类型？再展开
eijk eijk 2 kk 6
i1 i2 i3 方法二:由eimn m1 m2 m3
n1 n2 n3
ii ij ik eijk eimn mi mj mk
ni nj nk
i1 i2 i3 eijk eimn eijk m1 m2 m3
e123 A11 A22 A33 e231A21 A32 A13 e312 A31 A12 A23 e132 A11 A32 A23 e213 A21 A12 A33e321A31 A22 A13
epqr Ap1 Aq2 Ar3 ep中任意两 (行)列,行列式变号 :
➢ 空间中同一个点在不同直角坐标系内的坐标值是不同 的，这些坐标值之间的变换关系就是坐标变换。
➢ 如下图，在ox1x2x3和ox‘1x’2x‘3两个坐标系中，P点的坐 标取值是不同的。
坐标变换类型：坐标旋转、坐标平移、坐标反射 等；本门课中只讨论坐标旋转。
坐标变换在本专业的一般应用：
➢ 三维地震勘探施工设计； ➢ 数字图像处理、三维可视化技术； ➢ 张量计算等；
例题
1.设向量a

ai
ei
,
b

b
j
ej
,
求a

b,
a•
b,
a
2
;
2.设n为单位向量, 证明: nini 1;
3.? 证明ds2 dxidxi ,其中ds为直角坐标系中向量dx的长度;
54..求右向手量坐a标和系b的中,叉试积用;排列符号表达基向量ei间的叉积;
第一章 张量分析初步
第一章 张量分析初步
本章学习目的
引入最基本的张量概念，为今后学习应变张量、
应力张量、广义虎克定律和弹性波方程等专业概
念及运算做准备。是本门课的数学基础。
已学习过的物理量
1
?
➢ 标量？
2
➢ 向量？
有了标量和向量是否足够描述自然现象？
a11 x1 a21 x1
a12 x2 a22 x2
eijk eimn ii jm kn ii jn km in ji km
in jm ki im jn ki im ji kn
jm kn jn km
eijk eijn jj kn jn kj 2 kn
➢ 哑批标：在同一项中重复出现一次(即出现两次)、从 而对其应用求和约定的指标称为哑指标。 如上式中的j 指标。
➢ 自由指标：同一项中不重复出现(即只出现一次)，因
而不约定求和的指标称为自由指标。如上式中的i指标。
可否将上式表示成如下形式？
aij x j bk
aij x j b j
指标记号的特点：
➢ 则向量OP在新坐标系内可写为

op


xi ei
,
i 1,2,3
op xiei , i 1,2,3
➢ 提示: 求和约定同样是人为规定，就像“+”两边的数 要相加一样，仅仅是因为创造此记号法的人这么规定 而已 ，没有什么神秘的地方！
➢ 谁创造了求和约定?
Einstein (爱因斯坦)
0 ,当i, j, k中任两取值相同时
e123 e231 e312 1 e132 e321 e213 1