浅析洛必达法则求函数极限

本科学年论文论文题目：用洛必达法则求极限的方法学生姓名：卫瑞娟学号： 1004970232专业：数学与应用数学班级：数学1002班指导教师：严惠云完成日期： 2013 年 3月 8 日用洛必达法则求未定式极限的方法内容摘要极限运算是微积分学的基础，在众多求极限方法中，洛必达法则是一种简单而又方便的求极限方法。

但在具体使用过程中，一旦疏忽，解题就很可能出错。

本文就针对利用此法则求极限的过程及解题过程中常见问题，对洛必达法则求函数极限的条件及范围、应用、何时失效做了整体分析与探讨，并举例说明。

除此之外，还介绍了除洛必达法则之外其他求函数极限的方法以及同洛必达法则的比较，最后对洛必达法则进行小结。

关键词：洛必达法则函数极限无穷小量目录一、洛必达法则求极限的条件及适用范围 (1)（一）洛必达法则定理 (1)（二）洛必达法则使用条件 (2)二、洛必达法则的应用 (2)（一）洛必达法则应用于基本不定型 (2)（二）洛必达法则应用于其他不定型 (3)三、洛必达法则对于实值函数失效问题 (5)（一）使用洛必达法则后极限不存在 (5)（二）使用洛必达法则后函数出现循环 (6)（三）使用洛必达法则后函数越来越复杂 (6)（四）使用洛必达法则中求导出现零点 (6)四、洛必达法则与其他求极限方法比较 (6)（一）洛必达法则与无穷小量替换求极限法 (7)（二）洛必达法则与利用极限运算和已知极限求极限 (8)（三）洛必达法则与夹逼定理求极限 (9)五、洛必达法则求极限小结 (10)（一）洛必达法则条件不可逆 (10)（二）使用洛必达法则时及时化简 (11)（三）使用洛必达法则前不定型转化 (11)参考文献 (13)序言数学分析中几乎所有的概念都离不开极限。

因此，极限概念是数学分析的重要概念，极限理论是数学分析的基础理论。

极限法的引入与完善是出于社会实践的需要，是许多人奋斗的结果，不是哪一个数学家苦思冥想出来的。

极限的求法很多，主要包括有：①利用极限的定义；②利用极限的运算法则求极限；③利用极限存在的条件和准则求极限；④利用两个重要极限求极限；⑤利用等价无穷小量和泰勒展开求极限；⑥利用函数的连续性求极限；⑦利用洛必达法则求极限；⑧利用中值定理求极限；⑨利用导数或定积分的定义求极限；⑩利用级数收敛的必要条件求极限。

在此我只对利用“洛必达法则”求极限的这一方法进行了分析与概括。

一、 洛必达法则求函数极限的条件及适用范围（一）洛必达法则定理定理1[1]若函数)(x f 与函数)(x g 满足下列条件： （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）0)(lim 0=+→x f a x 0)(lim 0=+→x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim 0则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）定理2 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件 （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）∞=+→)(lim 0x f a x ∞=+→)(lim 0x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：-∞→+∞→∞→→→→-+x x x x x x x x x ,,,,,000。

定理证明：作辅助函数⎩⎨⎧=+∈=a x a a x x f x F 当当,0),,(),()(δ⎩⎨⎧=+∈=a x a a x x g x G 当当,0),,(),()(δ于是函数F(x)及G(x)在[δ+a a ,）连续，在()δ+a a ,可导，并且.0)('≠x G 今对()δ+a a ,内任意一点x ，利用柯西中值定理得).,(,)(')(')()()()()()(000x a x x G x F a G x G a F x F x G x F ∈=--= 由)()(x G x F 及的定义，上式即)(')(')()(00x g x f x g x f = 所以当0+→a x 时（这时显然有00+→a x ），对上式两端取极限，即A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim0000证毕。

关于定理二的证明方法也同定理1类似，这里就不点出。

当然，还有其他不同的证明方法。

（二）洛必达法则使用条件只有在分子、分母同时趋于零或者同时趋于无穷大时，才能使用洛必达法则。

连续多次使用法则时，每次都要检查是否满足定理条件，只有未定式方可使用，若是检查结果满足法则使用条件，才可连续使用洛必达法则，直到求出函数极限或者为无穷大，否则就会得出错误的结果，下面举个例子来说明。

例1：求xx xx x sin sin lim+-∞→分析：根据洛必达法则使用条件，此式为∞∞型，所以可以使用洛必达法则，但是xxx x x x x x cos 1cos 1lim sin sin lim+-=+-∞→∞→，结果所得非不定式，所以只能使用一次洛必达法则，而不能再进行第二次。

解：1)sin sin (lim cos 1cos 1lim sin sin lim-=-=+-=+-∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x事实上，1sin 1sin 1lim sin sin lim=+-=+-∞→∞→xxx xx x x x x x ，这里为了说明问题，才使用上面的解法，这里也可以看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。

二、洛必达法则的应用（一） 基本类型：不定式直接应用法则求极限例2：求.cos 1lim20x xx-→ 解： 这是0待定型。

运用洛必达法则，我们有x xx x x x x x x 2sin lim )'()'cos 1(lim cos 1lim02020→→→=-=- 因为 1sin lim0=→x xx从而 .21sin lim 21cos 1lim 020==-→→x x xx x x 例4：求).0(ln lim φααxxx +∞→解：上述极限是∞∞待定型，于是01lim 1lim ln lim 1===+∞→-∞→+∞→ααααααx x x x x x x （二） 未定式的其它类型：∞⋅0、∞-∞、00、0∞、∞1型极限的求解此外，除了型型或∞∞这两种待定型外，还可以通过转化，来解其他待定型。

譬如.10000∞∞-∞∞⋅∞，，，，等待定型，由于他们都可以转化为型型或∞∞00，因此，也可以用洛必达法则来求出他们的值[2]。

关于如何转换，例如,)(lim ,0)(lim ∞==x g x f 则)()(lim x g x f 是∞⋅0形式，这时，可以写为)(1)()(1)()()(x f x g x g x f x g x f 或=，这就转化为型型或∞∞00了。

此外对于0001∞∞，，等不定式，可以取对数化为∞⋅0的形式，再运用如上方法便可转化为型型或∞∞00了，下面对这些待定型一一举例解答以作说明[3]。

例5：).tan 1(lim 220x c xx -→ 解：这是∞-∞型，设法化为形式： xx x x x x c x x x 222220220sin cos sin lim )tan 1(lim -=-→→ =xx xx x x x x x x sin cos sin sin cos sin lim 20-⋅+→ =xx xx x x sin cos sin lim )11(2-+∞→ =xx x x xx x cos sin 2sin lim 220+→=.32cos sin 21lim20=+→xxx x例6：求.)2(lim 2tan1xx x π-→解：这是型∞1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-→→)2ln(2tan lim exp )2(lim 12tan1x x x x xx ππ=exp ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→x x x 2cot )2ln(lim 1π=exp ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→)2csc (212lim 21ππx x =π2e 例7：求xx x x ln 12)1(lim +++∞→解:这是0∞待定型，经变形得xx x x xx ex x ln 1ln ln 122lim )1(lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+∞→=++，而11lim 111lim ln )1ln(lim222=+=+=+++∞→+∞→+∞→xx xx x x x x x x 故 e x x xx =+++∞→ln 12)1(lim例8：求x x x ln lim 0+→解：这是∞⋅0待定型，可变形为xxx x 1ln ln =，成了∞∞待定型，于是 0)(lim 11lim 1ln lim ln lim 02000=-=-==+→+→+→+→x xx x xx x x x x x例9：求xx x +→0lim解：这是00待定型，由对数恒等式知，xx x ex ln =，运用例8可得1lim lim 0ln lim ln 000====→+→+→e e ex xx xx x x x x三、洛必达法则对于实值函数的失效问题洛必达法则可谓是在求不定式极限中作用最为显赫的一种方法，当然，它也有失效的时候。

“失效”的原因则是因为题目本身不满足可以使用洛必达法则的几个条件。

所以，在要使用洛必达法则时，则要检验该题目是否符合洛必达法则条件，洛必达法则失效的基本原因有以下几种。

（一）使用洛必达法则后，极限不存在（非∞），也就是不符合以上定理1、2的条件（3）[4]例10：计算xx xx x sin sin lim+-∞→解：原式=1sin 1sin 1lim=+-∞→xx x x x （二）使用洛必达法则后，函数出现循环，而无法求出极限，也就是不符合定理1、定理2的条件（3）例11：计算)(lim 型∞∞-+--∞→x xx x x e e e e解：原式=xxx e e 2211lim --∞→++=1（三）使用洛必达法则后，函数越来越复杂，无法简单判断出函数是否存在极限，也就是不符合定理1、定理2的条件（3）例12：计算)0(lim10型x exx -+→ 解：令xt 1=，则原式=1lim 1lim00==+→-+→t x t x e t te （四）求导后有零点，也就是不满足条件例如x e x e x x e x x x x sin sin )sin 2(cos lim 222-∞→++，的极限是不存在的，事实上，取)(4-∞→∞→=n n x ππ，此时分母的导数是有零点的。