高中立体几何公理定理汇编
立体几何所有的定理大总结（绝对全）
⽴体⼏何所有的定理⼤总结（绝对全）（⼆）异⾯直线所成⾓1.定义：不同在任何⼀个平⾯内的两条直线或既不平⾏也不相交的两条直线叫异⾯直线。
2.画法：借助辅助平⾯。
1.定义：对于异⾯直线a 和b ，在空间任取⼀点P ，过P 分别作a 和b 的平⾏线1a 和1b ，我们把1a 和1b 所成的锐⾓或者叫做异⾯直线a 和b 所成的⾓。
2.范围：(0°，90°】(★空间两条直线所成⾓范围：【0°，90°】)（三）线⾯⾓1.定义：当直线l 与平⾯α相交且不垂直时，叫做直线l 与平⾯α斜交，直线l 叫做平⾯α的斜线。
设直线l 与平⾯α斜交与点M ，过l 上任意点A ，做平⾯α的垂线，垂⾜为O ，把点O 叫做点A 在平⾯α上的射影，直线OM 叫做直线l 在平⾯α上的射影。
1.定义：把直线l 与其在平⾯α上的射影所成的锐⾓叫做直线l 和平⾯α所成的⾓。
2.范围【0°，90°】（★斜线与平⾯所成⾓范围：【0°，90°】）（三）⼆⾯⾓1.定义：（1）半平⾯：平⾯内的⼀条直线把这个平⾯分成两个部分，其中每⼀个部分叫做半平⾯。
（3）⼆⾯⾓的棱：这⼀条直线叫做⼆⾯⾓的棱。
（4）⼆⾯⾓的⾯：这两个半平⾯叫做⼆⾯⾓的⾯。
（5）⼆⾯⾓的平⾯⾓：以⼆⾯⾓的棱上任意⼀点为端点，在两个⾯内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的⾓叫做⼆⾯⾓的平⾯⾓。
（6）直⼆⾯⾓：平⾯⾓是直⾓的⼆⾯⾓叫做直⼆⾯⾓。
1.定义：从⼀条直线出发的两个半平⾯所组成的图形叫做⼆⾯⾓。
2.表⽰：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q3.范围为【0°，180°】（五）六种距离1.点到点的距离：两点之间的线段PQ 的长。
2.点到线的距离：过P 点作1PP ⊥l ，交l 于1P ，线段1PP 的长。
3.点到⾯的距离：过P 点作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。
立体几何所有的定理大总结绝对全
（二）异面直线所成角1.定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交的两条直线叫异面直线。
2.画法：借助辅助平面。
1.定义：对于异面直线a和b，在空间任取一点P，过P分别作a和b的平行线1a和1b，我们把1a和1b所成的锐角或者叫做异面直线a和b所成的角。
2.范围：(0°，90°】(★空间两条直线所成角范围：【0°，90°】)（三）线面角1.定义：当直线l与平面α相交且不垂直时，叫做直线l与平面α斜交，直线l叫做平面α的斜线。
设直线l与平面α斜交与点M，过l上任意点A，做平面α的垂线，垂足为O，把点O叫做点A在平面α上的射影，直线OM叫做直线l在平面α上的射影。
1.定义：把直线l与其在平面α上的射影所成的锐角叫做直线l和平面α所成的角。
2.范围【0°，90°】（★斜线与平面所成角范围：【0°，90°】）（三）二面角1.定义：（1）半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。
（3）二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
（4）二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。
（5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
2.表示：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q3.范围为【0°，180°】（五）六种距离1.点到点的距离：两点之间的线段PQ 的长。
2.点到线的距离：过P 点作1PP ⊥l ，交l 于1P ，线段1PP 的长。
3.点到面的距离：过P 点作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。
两条平行线的距离4.线到线的距离：异面直线的距离：公垂线段PQ ⊥1l ， PQ ⊥2l ，则线段PQ 的长。
立体几何判定定理与性质定理汇总
文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 符号语言：α⊄a ,α⊂b ，且b a //α//a ⇒．图形语言:定理二（平面与平面平行的判定定理）文字语言:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 符号语言:β⊂a ，β⊂b ，P b a = ,α//a ,α//b αβ//⇒.定理三(直线与平面平行的性质定理）文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．符号语言:α//a ,β⊂a ，且b =βα b a //⇒.图形语言：证明:因为b =βα ,所以α⊂b .又因为α//a ，所以a 与b 无公共点．又因为β⊂a ，β⊂b ，所以b a //．定理四（平面与平面平行的性质定理）文字语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言：βα//,a =γα ,b =γβ b a //⇒．图形语言：αb a αa αβa bαγa b αβ文字语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 符号语言：a c ⊥,b c ⊥，P b a = ,α⊂a ,α⊂b α//c ⇒.图形语言:定理六（平面与平面垂直的判定定理）文字语言：一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.符号语言:α⊥a ，β⊂a ,αβ⊥⇒．图形语言：定理七（直线与平面垂直的性质定理）文字语言:垂直于同一平面的两条直线平行.符号语言：α⊥a ,α⊥b b a //⇒．图形语言:定理八(平面与平面垂直的性质定理)文字语言:对于两个相互垂直的平面,在一个平面内垂直交线的直线垂直另一平面． 符号语言:βα⊥，m =βα ,β⊂a ,m a ⊥α⊥⇒a ．图形语言:αβa αb a βa m α。
立体几何公理、定理推论汇总1
立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈且作用：① 用来证明两个平面是相交关系；② 用来证明多点共线，多线共点。
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a ba cc b⎫⇒⎬⎭图形语言：作用：用来证明线线平行。
二、平行关系平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
（1）符号语言：//// //a ba c c b⎫⇒⎬⎭图形语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）符号语言：////a baabααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭图形语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（3）符号语言：////abaa bβαβα⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭图形语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//(/,///),abb b Oaaββαααβ⊂⊂=⎫⎪⇒⎬⎪⎭图形语言：如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
立体几何公理定理总结
一．公理
公理1：如果一条直线上两点在一个平面 内，那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且 只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公 共点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线.
公理4：平行于同一条直线的两条直线平 行.
二．空间位置关系
面面平行：
判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行．
性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相 交，那么它们的交线平行．
四．垂直
线线垂直：
平面上的判定 如果直线与平面垂直，则该直线与平面内任意
一条直线垂直．
线面垂直：
定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意 一条直线，那பைடு நூலகம்就说这条直线和这个平面垂直.
判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直.
性质：垂直于同一个平面的两条直线平行．
面面垂直：
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角 是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线， 则这两个平面垂直．
性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直 于交线的直线垂直于另一个平面．
线线位置关系：平行、相交、异面． 定理：空间中如果两个角的两边分别对应
平行，那么这两个角相等或互补. 线面位置关系：线在平面内、线与平面相
交、线与平面平行． 面面位置关系：平行、相交．
三．平行
线面平行：
判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行，则该直线与此平面平行 ．
性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
立体几何公理、定理一览表(新)
2.过外一点有且只有一和已知平行.(P33/5）＊
▲等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。(P10）
推论如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角）相等。（P11）
▲最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.(P25）
面面平行
1。如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（P30）
2。垂直于同一条直线的两个平面平行。（P30/eg。1)
3.平行于同一平面的两个平面平行。
面面垂直
1。如果一个平面经过(或平行）另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。(P37）（或(P38/8）*）
2。如果三条共点的直线两两互相垂直，则它们中每两条确定的三个平面也两两互相垂直。(P39/10）*
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面。
4.平行于同一条直线的两条直线互相平行。(P10）
▲射影定理：1.从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，
（1)垂线段最短；（2）斜线段长相等射影长相等.（P24)
2。如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。（P26/eg。3)和（P29/11)*
三点（线)共线（点）
公理2（即三点(或两线的交点）在两面的交线上）
异面
1。反证法
2.过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。(P14/eg。3)
线线垂直
1.一条直线垂直于两条平行直线中的一条，必垂直于另一条。
立体几何定理汇总
立体几何公理汇总一．平面的性质公理
公理1：
自然语言：
符号语言：
公理2：
自然语言：
符号语言：
公理3：
自然语言：
符号语言：
推论1：
推论2：
推论3：
公理4：
自然语言：
符号语言：
二：直线与平面的平行
定义：
判定定理自然语言：
判定定理符号语言：
性质定理自然语言：
判定定理符号语言：三：直线与平面的垂直定义：
判定定理自然语言：判定定理符号语言：性质定理自然语言：判定定理符号语言：四：平面与平面的平行定义：
判定定理自然语言：判定定理符号语言：性质定理自然语言：判定定理符号语言：五：平面与平面的垂直定义：
判定定理自然语言：判定定理符号语言：性质定理自然语言：判定定理符号语言：。
立体几何所有的定理大总结(绝对全)
（二）异面直线所成角1.定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交的两条直线叫异面直线。
2.画法：借助辅助平面。
1.定义：对于异面直线a 和b ，在空间任取一点P ，过P 分别作a 和b 的平行线1a 和1b ，我们把1a 和1b 所成的锐角或者叫做异面直线a 和b 所成的角。
2.范围：(0°，90°】(★空间两条直线所成角范围：【0°，90°】)（三）线面角1.定义：当直线l 与平面α相交且不垂直时，叫做直线l 与平面α斜交，直线l 叫做平面α的斜线。
设直线l 与平面α斜交与点M ，过l 上任意点A ，做平面α的垂线，垂足为O ，把点O 叫做点A 在平面α上的射影，直线OM 叫做直线l 在平面α上的射影。
1.定义：把直线l 与其在平面α上的射影所成的锐角叫做直线l 和平面α所成的角。
2.范围【0°，90°】（★斜线与平面所成角范围：【0°，90°】）（三）二面角1.定义：（1） 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。
（3） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
（4） 二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。
（5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
2.表示：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q3.范围为【0°，180°】（五）六种距离1.点到点的距离：两点之间的线段PQ 的长。
2.点到线的距离：过P 点作1PP ⊥l ，交l 于1P ，线段1PP 的长。
3.点到面的距离：过P 点作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。
两条平行线的距离4.线到线的距离：异面直线的距离：公垂线段PQ ⊥1l ， PQ ⊥2l ，则 线段PQ 的长。
(完整)立体几何八大定理
lmβααba立体几何的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则这条直线与平面平行。
图形语言： 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α 作用:线线平行⇒线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
图形语言：符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m作用:线面平行⇒线线平行三、平面与平面平行的判定定理文字语言:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥作用:线线平行⇒ 面面平行四、平面与平面平行的性质定理:1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行. 图形语言：符号语言：////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭作用： 面面平行⇒线线平行2、如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
符号语言：//,//a a αβαβ⊂⇒nmAαaBA l βαaβα作用: 面面平行⇒线面平行五、直线与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 图形语言： 符号语言： ,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭作用：线线垂直⇒线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意一条直线. 图形语言： 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭作用：线面垂直⇒线线平行七、平面与平面垂直的判定定理：文字语言:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直. 图形语言：符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭作用：线面垂直⇒面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面. 图形语言：符号语言：l AB AB AB l αβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭作用：面面垂直⇒线面垂直。
高二数学立体几何的概念、公理、定理
高二数学立体几何的概念、公理、定理第一篇：高二数学立体几何的概念、公理、定理立体几何的概念、公理、定理王春老师编辑 2007-12-20一．写出以下公理、定理，并根据图形写出它们的条件与结论。
（一）立体几何三公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
A∈a，B∈aA∈a，B∈a公理2a?bA耷ab=a,A a aÌa a公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
A、B、C不在同一直线上Þ有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
∈a AÏa Þ有且只有一个平面a，使Ìa推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
a∩b＝AÞÌa 有且只有一个平面a，使Ìa推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
a∥b＝AÞ有且只有一个平面a，使Ìa Ìa（二）空间直线公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
cab a∥Þb∥a//c 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
AB//A/B/BAC B/A/C///AC//ACÞ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
用心爱心专心116号编辑Zishi2007-12-20异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，A∈aPÏa l与a异面aÌa（三）直线和平面Þ直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
labαa//b bÌa aËaÞa//aaÌa直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
高中立体几何公理定理汇编
高中数学立体几何模块公理定理汇编公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．，，且，．（作用：证明直线在平面内）公理2 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（作用：确定平面）推论 ①直线与直线外一点确定一个平面．②两条相交直线确定一个平面．③两条平行直线确定一个平面．公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．，且＝，且．（作用：证明三点/多点共线）公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行．（平行线的传递性）空间等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．线面平行判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．面面平行判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．推论 一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行．线面平行性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行．面面平行性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行．线面垂直判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面平行．三垂线定理 如果平面内一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直．逆定理 如果平面内一条直线与平面的一条斜线垂直，则它和这条直线的射影垂直．射影定理 从平面外一点出发的所有斜线段中，若斜线段长度相等则射影相等，斜线段较长则射影较长，斜线段较短则射影较短．面面垂直判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．线面垂直性质定理1 如果一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线．线面垂直性质定理2 垂直于同一个平面的两条直线平行．面面垂直性质定理1 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．面面垂直性质定理2 两个平面垂直，过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在该平面内．。
完整版)高中立体几何八大定理
完整版)高中立体几何八大定理以下是格式正确、经过修改的文章：线面位置关系的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行。
符号语言：a//b作用：线线平行→ 线面平行二、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
符号语言：l//m。
l∥m∩β=m作用：线面平行→ 线线平行三、平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
符号语言：a∥β。
b∥β。
AB=ab。
A→β→γ。
B→β→γ作用：线线平行→ 面面平行四、平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行。
符号语言：α∥β。
α∩γ=a。
β∩γ=b。
a//b作用：面面平行→ 线线平行五、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
符号语言：a⊥α。
a⊥β。
α∩β=A。
m⊥α。
n⊥α。
m∥β。
n∥β作用：线线垂直→ 线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行。
符号语言：a⊥α。
b⊥α。
a//b作用：线面垂直→ 线线平行七、平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
符号语言：a⊥α。
α∥β。
a⊥β作用：线面垂直→ 面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面。
符号语言：α⊥β。
α∩β=l。
AB⊥β。
AB∥α作用：面面垂直→ 线面垂直。
高中数学立体几何定理
公理1：如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上。
公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面。
推论1：一条直线和这条直线外的一点确定一个平面。
推论2：两条相交直线确定一个平面.推论3：两条平行直线确定一个平面公理3：如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
推论1 ：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补推论2：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.异面直线判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线。
直线与平面平行的判定定理：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直。
推论：如果一组平行线中的一条与一个平面垂直，那么其他平行线也都与这个平面垂直直线与平面垂直的性质定理：垂直于同二个平面的两条直线互相平行.推论1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直推论2过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直．三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直．两个平面平行的判定定理：如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
两个平面非行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。
平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的线与另一个平面垂直.。
立体几何证明题定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言：A l,B l,A ,B l作用：① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。
公理2|如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P I I l且P l作用：① 用来证明两个平面是相交关系；② 用来证明多点共线，多线共点。
公理3|经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号语言：A, B,C不共线A, B,C确定一个平面推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：A a 有且只有一个平面，使A a，a推论2|经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P 有且只有一个平面，使a ，b推论3|经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：a//b 有且只有一个平面，使a ，b公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
公理4|平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
a // b符号语言：a//c 图形语言：c // b作用：用来证明线线平行。
二、平行关系公理4平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
（1）a // b符号语言：“- a//c 图形语言：c // b 1. 线面平行的判定定理|如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面 平行。
（2）a符号语言：b a //图形语言：a //b 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条 直线和交线平行。
（3）a//符号语言： aa //b 图形语言：I b2. 面面平行的判定定理|如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(4) (a ,b ),al b O符号语言： a//b// 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
高中立体几何常用定理精编版
立体几何中的公理、定理和常用结论一、定理1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则l⊂α．2．公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．P∈α，P∈α⇒α∩β＝l，且P∈l．3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．异面直线的判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．（若a⊂α，A/∈α，B∈α，B/∈a，则直线AB和直线a是异面直线．）5．公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线．若b∥c，a⊥b，则a⊥c．8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．若a⊂／α，b⊂α，a∥b，则a∥α．9．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．若a∥α，a⊂β，α⋂β＝b，则a∥b．10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直．若m⊂α，n⊂α，m⋂n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α．11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．若a∥b，a⊥α，则b⊥α．12．直线与平面垂直的性质定理：若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．若a⊥α，b⊥α，则a∥b．13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．若a⊂α，b⊂α，a⋂b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β．14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b．15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．若α∥β，a⊥α，则a⊥β．16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．若l⊥α，l⊂β，则α⊥β．17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β．18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．19．长方体的体积公式：V长方体＝abc，其中a，b，c分别为长方体的长、宽、高．20．祖暅原理：两个等高（夹在两个平行平面之间）的几何体，如果在任何等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．二、常识1．过空间一点，与已知平面垂直的直线有且只有一条．2．过空间一点，与已知直线垂直的平面有且只有一个．3．经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．三、常用结论（可用来解决选择、填空题）1．空间四点A、B、C、D，若直线AB与CD异面，则AC 与BD，AD与BC也一定异面．2．如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内．3．如果过平面内一点的直线垂直于与此平面垂直的一条直线，那么这条直线在此平面内．4．夹在两个平行平面间的平行线段相等．5．经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面与另一条直线平行．6．若直线a同时平行于两个相交平面，则a一定也平行于这两个相交平面的交线．7．如果一条直线垂直于一个三角形的两边，那么它也垂直于第三边．8．如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上．9．如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行．10．平行于同一平面的两个平面平行．11．空间四面体A－BCD中，若有两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直，且顶点A在平面BCD内的射影是△BCD 的垂心（类似地，顶点B在平面ACD内的射影是ΔACD的垂心，…）．12．空间四面体P－ABC中，若P A、PB、PC两两垂直，则①点P在平面ABC内的射影是ΔABC的垂心；②△ABC的垂心O也是点P在平面ABC内的射影（PO⊥平面ABC）．13．空间四面体P－ABC中，①若P A＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心．②若三个侧面上的斜高PH1＝PH2＝PH3，则点P在平面ABC 内的射影是△ABC的内心．14．如果两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面的交线垂直于第三个平面．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．。
高中立体几何常用定理
高中立体几何常用定理 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN立体几何中的公理、定理和常用结论一、定理1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈l，B∈l，A∈，B∈，则l⊂．2．公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．P∈，P∈∩＝l，且P∈l．3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．异面直线的判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．（若a⊂α，A/∈α，B∈α，B/∈a，则直线AB和直线a是异面直线．）5．公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线．若b∥c，a⊥b，则a⊥c．8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．若a⊂／，b⊂，a∥b，则a∥．9．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．若a∥，a⊂β，⋂β＝b，则a∥b．10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直．若m⊂α，n⊂α，m⋂n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α．11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．若a∥b，a⊥α，则b⊥α．12．直线与平面垂直的性质定理：若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．若a⊥α，b⊥α，则a∥b．13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．若a，b，a⋂b＝A，a∥，b∥，则∥．14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．若∥，∩γ＝a，∩γ＝b，则a∥b．15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．若α∥β，a⊥α，则a⊥β．16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．若l⊥，l，则⊥．17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．若⊥，∩＝l，a，a⊥l，则a⊥．18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．若⊥，P∈，P∈a，a⊥，则a⊂．19．长方体的体积公式：V长方体＝abc，其中a，b，c分别为长方体的长、宽、高．20．祖暅原理：两个等高（夹在两个平行平面之间）的几何体，如果在任何等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．二、常识1．过空间一点，与已知平面垂直的直线有且只有一条．2．过空间一点，与已知直线垂直的平面有且只有一个．3．经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．三、常用结论（可用来解决选择、填空题）1．空间四点A、B、C、D，若直线AB与CD异面，则AC与BD，AD与BC也一定异面．2．如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内．3．如果过平面内一点的直线垂直于与此平面垂直的一条直线，那么这条直线在此平面内．4．夹在两个平行平面间的平行线段相等．5．经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面与另一条直线平行．6．若直线a同时平行于两个相交平面，则a一定也平行于这两个相交平面的交线．7．如果一条直线垂直于一个三角形的两边，那么它也垂直于第三边．8．如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上．9．如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行．10．平行于同一平面的两个平面平行．11．空间四面体A－BCD中，若有两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直，且顶点A在平面BCD内的射影是△BCD的垂心（类似地，顶点B在平面ACD内的射影是ΔACD的垂心，…）．12．空间四面体P－ABC中，若PA、PB、PC两两垂直，则①点P在平面ABC内的射影是ΔABC的垂心；②△ABC的垂心O也是点P在平面ABC内的射影（PO⊥平面ABC）．13．空间四面体P－ABC中，①若PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心．②若三个侧面上的斜高PH1＝PH2＝PH3，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的内心．14．如果两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面的交线垂直于第三个平面．若⊥，P∈，P∈a，a⊥，则a⊂．。
(完整版)高中立体几何八大定理
线面位置关系的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行a 图形语言：符号语言：a ⊄α⎫⎪b ⊂α⎬⇒a //αa //b ⎪⎭αb作用：线线平行⇒线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
图形语言：β⎫⎪符号语言：l ⊂β⎬⇒l //mα⋂β=m ⎪⎭作用：线面平行⇒线线平行三、平面与平面平行的判定定理l //αl m α文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．图形语言：符号语言：a ⊂αb ⊂αa I b =a ∥βb ∥β⎫⎪⎪⎪A ⎬⇒α//β⎪⎪⎪⎭作用：线线平行⇒面面平行四、平面与平面平行的性质定理:文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行图形语言:α//β⎫⎪符号语言:α⋂γ=a ⎬⇒a //bβ⋂γ=b ⎪⎭作用:面面平行⇒线线平行五、直线与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面图形语言：符号语言：aa ma nam n Am,n作用：线线垂直线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行图形语言：符号语言：Amnabaa//bb作用：线面垂直线线平行七、平面与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
图形语言：a符号表示：aa注：线面垂直面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面图形语言：I l符号语言：ABABAB l作用：面面垂直线面垂直Al B。
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高中数学立体几何模块公理定理汇编
公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
⊂．（作用：证明直线在平面内）
∈，Bα
∈⇒lα
∈，B l
A l
∈，且Aα
公理2过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（作用：确定平面）
推论①直线与直线外一点确定一个平面．
②两条相交直线确定一个平面．
③两条平行直线确定一个平面．
公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
∈，且Pβ
∈．（作用：证明三点/多点共线）
Pα
＝l，且P l
∈⇒αβ
公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行．（平行线的传递性）
空间等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
线面平行判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
面面平行判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
推论一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行．
线面平行性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行．
面面平行性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行．
线面垂直判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面平行．
三垂线定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直．
逆定理如果平面内一条直线与平面的一条斜线垂直，则它和这条直线的射影垂直．
射影定理从平面外一点出发的所有斜线段中，若斜线段长度相等则射影相等，斜线段较长则射影较长，斜线段较短则射影较短．
面面垂直判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
线面垂直性质定理1如果一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线．
线面垂直性质定理2垂直于同一个平面的两条直线平行．
面面垂直性质定理1两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
面面垂直性质定理2两个平面垂直，过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在该平面内．。