chapter5-3+Nyquist稳定性判据及稳定裕度1[1]

s
p1
A
z1
j Im
s z1
z3
p2
0
p3

F
s z2
F ( s) B F (s) 0
Re
z2
在F(s)平面上，F(s)是对应于从B点出发又回到B的围线 F 。
设 (s z i ) , 分别是向量 沿着围线顺时针绕行一 (s z i ) , (s p j ) (s p j ) 周的相角变化量。考察s沿着围线F(s)的相位变化量为：
(s p k ) 0 (k 1,2, n, k j )
F
(s z i ) 0 (i 1,2, n)
F (s) 2
F ( s) B F ( s) 0
Re
[柯西幅角定理]：s平面上不通过F(s)任何奇异点(s平面上F(s)的
Z个零点和P个极点)的封闭曲线 。当 s s以顺时针方向沿封闭曲 方向绕坐标原点旋转R圈。R，Z，P的关系为：R= P-Z。 若R为正，表示 f 逆时针运动，且包围原点R圈；
难点：相对稳定性
要求：熟练运用奈奎斯特判据判据确定系统的稳定性；明理
稳定裕度的概念，熟练用解析法和图解法计算稳定裕度
3
幅值裕度 相角裕度
重点：奈奎斯特稳定判据、对数频率稳定判据及稳定裕度
一、映射定理(幅角定理)
F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定 的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点s0都可以在F(s) 平面上找到一个相应的点F(s0), 称为F(s0)在F(s)平面上的映射。
Automatic Control Theory
河南理工大学电气工程与自动化学院
Henan Polytechnic University (HPU)
School of Electrical Engineering and Automation
课程名称：自动控制原理
主讲教师：乔美英
河南理工大学自动控制原理
F ( s)
K ( s z i )
i 1mΒιβλιοθήκη (s p )j 1 j
n
图3 映射关系
当试验点 s1（封闭曲线Cs上任一点 ）沿闭合曲线Cs顺时针转
动一圈时，复变函数F(s)，其矢量总的相角增量为（净相角）
矢量总的相角增量为（净相角）：
F ( s ) ( s zi ) ( s p j )
j
s
p1
A
z1
j Im
s z1
z3
p2
0
p3

F
s z2
F ( s) B F (s) 0
Re
z2
F (s) [(s z1 ) (s z2 ) (s z3 )] [(s p1 ) (s p2 ) (s p3 )]
G ( j )
K G ( s) (T1 s 1)(T2 s 1)
K K 2 2 2 1 T T j (T1 T2 ) 1 2 2 2 ( jT1 1)( jT2 1) (T1 1)(T2 1)
j Im


（2）用奈氏判据判定闭环 系统的稳定性
P0 R0
Z 0
K Re 1 0 0
系统是闭环稳定的。
52 Gk ( s) [例2]设开环系统传递函数为： ，试用 ( s 1)(s 2 2s 5)
奈氏判据判断闭环系统的稳定性。 [解]：开环极点为-1，-1 j2，都在s左半平面，所 以 P 0 。奈氏图如右。 从图中可以看出：奈氏图
F (s) 2
这表明: F 曲线从B开始，绕原点顺 时针方向转了一圈。若在s平面的顺 时针围线内，包围的是某个极点pj， 在F(s)平面上， F 曲线绕原点逆时针 方向转了一圈。即
p1
j
s
A
0
z1
s z1
z3
p2
p3

s z2
z2
j Im
(s p j ) 2
N (s) M (s) N (s)
其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点
在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右
半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。 如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯 西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次
作出ω=0→+∞变化时G(jω)H(jω) 曲线如图5所示，镜像对称得ω： -∞→0变化时G(jω)H(jω) 如图5 虚线所示。 系统开环不稳定，有一个位于s
平面的右极点，即P=1。
图5 系统的极坐标图
从G(jω)H(jω)曲线看出，当K>1时，Nyquist曲线逆时针包 围(-1，j0)点一圈，即N=1，Z=N-P=0则闭环系统是稳定的。 当 K<1 时， Nyquist 曲线不包围 (-1 ， j0) 点， N=0 ， Z=N-
闭环传递函数为：
G (s) (s) 1 G ( s) H ( s)
N (s) M (s) F (s) 1 G (s) H (s) N (s)
辅助函数：
注意：F(s)的极点是系统的开环极点，一般是 已知的；F(s)的零点是系统的闭环极点
辅助方程：F ( s ) 1 G ( s ) H ( s )
i 1 j 1
n
n
( s zi ) ( s zi ) ( s p j ) ( s p j )
i 1 i Z 1 j 1 j P 1
Z
n
P
n
Z (2 ) P(2 ) ( P Z )2
矢量总的相角增量为（净相角）：
结论： (s z1 ) 2 (s zk ) 0 (k 2,3)
(s p j ) 0 ( j 1, 2,3)
F (s) [(s z1 ) (s z2 ) (s z3 )] [(s p1 ) (s p2 ) (s p3 )]
Z
n
P
n
Z (2 ) P(2 ) ( P Z )2
P和Z分别是被封闭曲线Cs包围的特征方程函数F(s)的极点数 和零点数。上式表明，当s平面上的试验点s1沿封闭曲线Cs 顺
' 时针方向绕行一圈时，F（s）平面上对应的封闭曲线 C s 将按
逆时针方向包围坐标原点（P-Z）圈。

0
Re
G( j)H ( j)
1）F(s)对原点的包围，相当于 Gk (s) 对(-1,j0)的包围；因此映 射曲线F(s)对原点的包围次数R与Gk (s) 对(-1,j0)点的包围的次数 一样。 2）F(s)的极点就是Gk (s) 的极点，因此F(s)在右半平面的极点数 就是 Gk (s) 在右半平面的极点数。
s为复变量，以s复平面上的s=δ+jω来表示。F(s)为复变函数， 以F (s)复平面上的F (s)= u+j v表示。点映射关系，如图1所示。 s平面与F(s)平面的曲线映射关系，如图2所示。
图1
点映射关系
图2 s平面与F(s)平面的映射关系
如果在s平面上任取一条封闭曲线Cs， 且要求Cs曲线满足：曲线Cs包围F(s) 的Z个零点和P个极点。s平面上的封 闭曲线Cs如图3所示。
数应为：
R F ( s ) |开环右半极点数 F ( s ) |开环右半零点数
=P-Z
开环系统右半极点数 闭环系统右半极点数 当已知开环右半极点数时，便可由R判断闭环右极点数。
这里需要解决两个问题：
1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是 满足柯西幅角条件的？
2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数R，并将它和开环 频率特性 G j H ( j相联系？ ) 第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向 做一条曲线 s 包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特 围线。如下图：
奈奎斯特曲线逆时针包围（-1，j0）点的圈数R等于开 环传递函数在s右半平面的极点数P，即R=P。
说明：
（1）若P=0，系统开环稳定，闭环系统稳定的充要条件：奈 氏曲线不包围（-1，j0)点。
（2）若 R ，则系统闭环不稳定， Z=P-R。 P
[例1] 设单位反馈系统的开环传递函数如下如示，试 用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。 解：（1）绘制 G( j的曲线。 )
F ( s ) ( s zi ) ( s p j )
i 1 j 1
n
n
( s zi ) ( s zi ) ( s p j ) ( s p j )
i 1 i Z 1 j 1 j P 1
' 令R=P-Z R为F (s)平面上封闭曲线 C逆时针包围原点的次数； s 也可写成 Z=P-R
举例说明：
s z1 s z2 s z3 设 F s s p1 s p2 s p3
j
在s平面上选择一个A点开始， z1 作一条顺时针包围某个零点 的围线 s ，其不包围也不通 过其它极点和零点。
内容提纲
第一章 控制系统的一般概念 第二章 控制系统的数学模型 第三章 控制系统的时域分析法 第四章 根轨迹法 第五章 线性系统频率响应分析 第六章 线性控制系统的频率特性校正 第七章 离散控制系统分析与设计
2018/2/21
第3讲 Nyquist稳定判据及稳定裕度
映射定理(幅角原理) Nyquist稳定判据——穿越法 Nyquist稳定判据 Bode图中的Nyquist稳定判据 开环含有积分环节 稳定裕度

它可分为三部分： Ⅰ部分是正虚轴： 0 Ⅱ部分是右半平面上半径为无穷大的半圆