不等式知识点整理

元一次不等式和一元一次不等式组

概念：

定义1：一般地，用符号“V” （或“W”），“>”（或“》”）连接的式子叫做不等式。

定义2：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。（不等式的解有时有无数个，有时有有限个，有时无解。）定义3：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。

定义5：左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式。

定义6：一般地, 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起, 就组成一个一元一次不等式组。

定义7：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

定义8：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

基本性质：

等式的基本性质”和“不等式的基本性质”

1）等式的基本性质：等式基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，等式仍旧成立女口果a=b, 那么a± c=b± c 等式基本性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，等式仍旧成女口果a=b，那么ac=bc, a*c = b*c （c工0）2）不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.

不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些异同点不等式的基本性质有三条，等式的基本性质有两条；两个性质中在两边都加上（或都减去）同一个整式时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个正数时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个负数时，结果不同

三、相关知识归纳：

一）、将不等式的解集表示在数轴上时，要注意：1、指示线的方向, “>”向右, “<”向左.

2、不等式的解集在数轴上表示时，当解集的符号是“》”或“W”时，用实心圆点表示，当解集的符号是“>”或“V”时，用空心圆圈表示。

3、不等式的解与解集的联系与区别: 二者的区别在于, 不等式的解是指能使不等式成立的每一个值; 不等式的解集是指所有解的全体。联系是不等式的所有解组成一个解集, 或者说不等式的解集包含不等式的每一个解。

4、将不等式的解集表示在数轴上,一般分三步:一是正确地画数轴,注意数轴的三要素;二是确定界点,注意区分实心圆点还是空心圆圈;三是辨别方向,大于指向界点的右方, 小于指向界点的左方。

二）、解一元一次不等式的一般步骤：

1）去分母不等式性质2或3

注意：

①勿漏乘不含分母的项；

②分子是两项或两项以上的代数式时要加括号；

③若两边同时乘以一个负数，须注意不等号的方向要改变

2）去括号——去括号法则和分配律

注意：

①勿漏乘括号内每一项；

②括号前面是“-”号，括号内各项要变号

3）移项——移项法则（不等式性质1）

注意：移项要变号.

（4）合并同类项——合并同类项法则.

（5）系数化成1――不等式基本性质2或性质3.

注意：两边同时除以未知数的系数时，要分清不等号的方向是否改变

（三八解一元一次不等式应用题的步骤:

审题，找不等关系; 设未知数;

1、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程都可以转化为

ax + b =0 （ a , b 为常数，a 工0）的形式，所以解一

兀一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为

0时，求相应的自变量的值。从图象上

看，相当于已知直线 y =ax + b ,确定它与x 轴的交点的横坐标的值。

2、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为

ax + b >0或ax + b <0 （ a , b 为常数，a 工

0）

的形式，所以解一元一次不等式可以看成：当一次函数值大（小）于 取值范围。

3、规律总结

一次函数y =kx + b 与一元一次方程 kx + b =0及一元一次不等式的关系：函数 y =kx

+ b 的图象在x 轴上方的点所对应的自变量 x 的值，即为不等式kx + b >0的解集；在x 轴上所对应的点的自变量的值即为方程 kx + b =0的解；在x 轴下方的点所对应的自变量

的值即为不等式kx + b <0的解集。

4、一次函数与一次方程（组）

(3) 列不等关系; (4) 解不等式;

(5) 根据实际情况，写出全部答案

（四）、 元一次方程（组）、不等式（组）与一次函数的关系:

0时，求自变量的

x

（1 ）以二元一次方程 ax + by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数

的图象相同。

（2）二元一次方程组

呼+切弋

的解可以看成是两个一次函数

5、一次函数与方程（组）的应用

在实际生活中，如何应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符

合题意的函数解析式，再利用方程（组）求解。

6 —次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于 0时即为方程，当函数值大于或小于 0时即为不等式。

（五八两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形

设a v b,那么

(1

不等式组

x a 的解集是 x > b;

x b

(2) 不等式组

x

的解集是 x v a;

x b

(3) 不等式组

x

a

的解集是 a v x v b ；

x b

(4) 不等式组 x

的解集是; 无解.

b

这是用式子表示，也可以用语言简单表述为: 大大取大；小小取小；大小小大取中间；大大小小题无解

的图象的交点。