不等式知识点整理

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(完整版)不等式知识结构及知识点

o 不等式知识结构及知识点总结一．知识结构二．知识点1、不等式的基本性质①（对称性）②（传递性）③（可加性）a b b a >⇔>,a b b c a c >>⇒>a b a c b c>⇔+>+（同向可加性）（异向可减性）d b c a d c b a +>+⇒>>,db c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性） bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）（异向正数可除性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>0,0a b a b c d c d>><<⇒>⑥（平方法则） ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且0,1)a b n N n >>⇒>∈>且⑧（倒数法则）ba b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式①,（当且仅当时取号）.变形公式：()222a b ab a b R +≥∈，a b =""=o 22.2a b ab +≤②（基本不等式）,（当且仅当时取到等号）.2a b+≥()a b R +∈，a b =变形公式：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当3a b c ++()a b c R +∈、、时取到等号）.a b c ==④（当且仅当时取到等号）.()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，a b c ==⑤（当且仅当时取到等号）.3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>a b c ==⑥（当仅当a=b 时取等号）（当仅当a=b 0,2b aab a b>+≥若则0,2b aab a b<+-若则时取等号）⑦其中规律：小于1同加则变大，大于ban b n a m a m b a b <++<<++<1(000)a b m n >>>>，，1同加则变小.⑧ 220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<<⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：,（当且1122a b a b --+≤≤+()a b R +∈，仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.a b =""=≤≤≤ 变形公式： 222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭222().2a b a b ++≥②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥++++≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式当且仅当22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈时，等号成立.ad bc =⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++o r21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式：设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使,αβ ,αβαβ⋅≤ βk 时，等号成立.k αβ=⑧排序不等式（排序原理）：设为两组实数.是的任一排列，1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤12,,...,n c c c 12,,...,n b b b 则（反序和乱序和12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++≤顺序和）≤当且仅当或时，反序和等于顺序和.12...n a a a ===12...n b b b ===⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数,对于定义域中任()f x 意两点有则称f(x)为凸（或1212,(),x x x x ≠12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131((;242a a ++>+②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)k k k <-211,(1)k k k >+==<等.*,1)k N k >∈>5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步骤：20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩（时同理）<≤“或”规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a≥⎧<>⇔⎨<⎩2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪⇔≥⎨⎪>⎩规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当时,⑵当时,1a >()()()()f x g x aa f x g x >⇔>01a <<()()()()f xg x a a f x g x >⇔<规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当时, ⑵当时,1a >()0log ()log ()()0()()a af x f xg x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩01a <<()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：⑵平方法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩22()()()().f xg x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有：①②(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或③④()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥()()()()()()(()0)f xg x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标20ax bx c ++>准有：⑴讨论与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.a ∆14、恒成立问题⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时20ax bx c ++>0a =②当时 ⑵不等式的解集是全0,0;b c ⇒=>0a ≠00.a >⎧⇒⎨∆<⎩20ax bx c ++<体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时0a =0,0;b c ⇒=<0a ≠00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶恒成立恒成立()f x a <max ();f x a ⇔<()f x a ≤max ();f x a ⇔≤⑷恒成立恒成立()f x a >min ();f x a ⇔>()f x a ≥min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线的同一侧的所有点的坐标代入0Ax By C ++=后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取Ax By C ++一特殊点（如原点），由的正负即可判断出或00(,)x y 00Ax By C ++0Ax By C ++>(表示直线哪一侧的平面区域.0)<即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据或，观察的符号与不等式开口的符号，若同号，0Ax By C ++>(0)<B 或表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同0Ax By C ++>(0)<号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数为常数）的最值：z Ax By =+(,A B 法一：角点法：如果目标函数（即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，z Ax By =+x y 、则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应值，最大的那个数为目标函数的最大值，最小的那个数为目标函数的最小值z z z 法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线，平移直0:0l Ax By +=线（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，0l 0l (,)x y 将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 .(,)x y z Ax By =+第二步中最优解的确定方法：利用的几何意义：,为直线的纵截距.z A z y x B B =-+zB①若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最0,B >z Ax By =+z 大值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最小值；z ②若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最0,B <z Ax By =+z 小值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最大值.z ⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型： ②“斜率”型：或;z Ax By =+yz x =;y b z x a-=-③“距离”型：或或22z x y =+z =22()()z x a y b =-+-z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.16. 利用均值不等式：()a b ab a b R a b ab ab a b 222222+≥∈+≥≤+⎛⎝ ⎫⎭⎪+，；；求最值时，你是否注值？（一正、意到“，”且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定a b R ab a b ∈++()()二定、三相等）注意如下结论：()a b a b ab aba ba b R 22222+≥+≥≥+∈+，当且仅当时等号成立。

高中不等式全套知识点总结

高中不等式全套知识点总结一、不等式的基本概念1. 不等式定义不等式是指两个数量在大小上的关系，包含大于、小于、大于等于、小于等于四种关系。

一般用符号“>”表示大于，“<”表示小于，“≥”表示大于等于，“≤”表示小于等于。

2. 不等式的解不等式的解是指满足不等式关系的所有实数集合，解集可以是一个区间、一个集合或者一个无穷集合。

3. 不等式的性质（1）两个不等式如果左右两边分别相等，那么其关系也相等；（2）两个不等式如果相互交换左右两边，那么关系会相反；（3）不等式两边同时加或减同一个数，不等式关系不变；（4）不等式两边同时乘或除同一个正数，不等式关系不变；（5）不等式两边同时乘或除同一个负数，不等式关系反转。

二、一元一次不等式1. 线性不等式线性不等式的一般形式为 ax+b>c 或者ax+b≥c，其中a≠0。

2. 一次不等式的解法（1）基本不等式直接解法：按照不等式的性质逐步解题；（2）图像法：将不等式转化为直线或者直线段的图像，然后通过图像解题；（3）分情况讨论法：根据不等式的取值范围分情况进行讨论，再分别求解。

3. 一次不等式的应用（1）生活中常见的线性不等式问题，比如买苹果不超过20元；（2）工程建设中的线性不等式问题，比如某公式里的参数要求取值范围。

三、一元二次不等式1. 二次不等式定义二次不等式的一般形式为 ax²+bx+c>0 或者ax²+bx+c≥0，其中a≠0。

2. 一元二次不等式解法（1）解法一：配方法、图像法；（2）解法二：利用一元二次不等式的图像特点；3. 一元二次不等式的应用（1）生活中常见的二次不等式问题，比如某项业务的收入和支出之间的关系；（2）工程建设中的二次不等式问题，比如求最大值、最小值。

四、多项式不等式1. 多项式不等式的定义多项式不等式是指由多项式构成的不等式，一般形式为 f(x)>0 或者f(x)≥0。

2. 多项式不等式的解法（1）概念法：直接按照多项式不等式的定义和性质进行解题；（2）函数法：将多项式在坐标系中的图像出发，进行解题。

不等式知识点大全

不等式知识点大全一、不等式的基本概念：1.不等式的定义：不等式是一个包含不等号（>，<，≥，≤）的数学语句。

2.不等式的解集：解集是满足不等式的所有实数的集合。

3.不等式的求解方法：解不等式的方法主要有代入法、分析法、图像法和区间法等。

二、一元一次不等式：1.一元一次不等式的定义：一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数与一个实数的大小关系。

2.一元一次不等式的解集：一元一次不等式的解集可以用一个开区间或闭区间表示。

三、二次不等式：1.二次不等式的定义：二次不等式是指含有一个未知数的二次函数与一个实数的大小关系。

2.二次不等式的解集：二次不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。

四、绝对值不等式：1.绝对值不等式的定义：绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。

2.绝对值不等式的解集：绝对值不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。

五、分式不等式：1.分式不等式的定义：分式不等式是指含有一个未知数的分式与一个实数的大小关系。

2.分式不等式的解集：分式不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。

六、三角不等式：1.三角不等式的定义：三角不等式是指三角函数与一个实数之间的大小关系。

2.三角不等式的解集：三角不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。

七、复合不等式：1.复合不等式的定义：复合不等式是由两个或多个不等式通过与或或连接构成的不等式。

2.复合不等式的解集：复合不等式的解集是满足所有不等式的实数的交集或并集。

八、常用的不等式：1.平均不等式：包括算术平均不等式、几何平均不等式、加权平均不等式等。

2.布尔不等式：包括与或非不等式和限制条件不等式等。

3.等价不等式：等式两边取绝对值后变为不等式。

4.单调性不等式：利用函数单调性性质证明不等式。

5.导数不等式：利用函数的导数性质证明不等式。

6.积分不等式：利用积分性质及定积分的性质来推导不等式。

高中不等式知识点归纳总结

高中不等式知识点归纳总结一、基本概念不等式是数学中的一种关系式，表示两个数或两个式子之间的大小关系。

不等式中包含了大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。

二、解不等式的方法1.加减法原理：将同一个数加减到不等式的两边，不等式仍然成立。

2.乘除法原理：将同一个正数或同一个负数乘除到不等式的两边，不等式的方向不变；将同一个正数乘除到不等式的两边，不等式方向不变；将同一个负数乘除到不等式两边，不等式方向改变。

3.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。

用平方差公示来解决有些带有平方项的二次函数。

4.配方法：通过添加适当的常量或因子使得方程左右完全匹配。

然后可以使用因子分解法或其他方法进行求解。

三、常见类型1.一元一次不等式：形如ax+b>c(x∈R)，其中a≠0。

可使用加减法和乘除法原理进行求解。

2.二元一次不等式组：形如{ax+by>c,dx+ey>f}(x,y∈R)。

可使用代数法或图象法进行求解。

3.绝对值不等式：形如|ax+b|>c(x∈R)。

可使用分段函数法进行求解。

4.二次不等式：形如ax²+bx+c>0(x∈R)。

可使用配方法、因式分解和图象法进行求解。

四、常见应用1.经济学中的应用：在生产和消费中，需要考虑成本和收益之间的关系，可以通过不等式来表示。

2.几何学中的应用：在三角形或四边形中，需要考虑各边长之间的大小关系，可以通过不等式来表示。

3.物理学中的应用：在力学问题中，需要考虑物体的速度、加速度等与时间相关的因素，可以通过不等式来表示。

4.竞赛数学中的应用：许多数学竞赛都会涉及到不等式问题，需要灵活运用各种方法进行求解。

五、注意事项1.注意符号方向：在使用乘除法原理时要注意符号方向是否改变。

2.注意取值范围：在解二次不等式时要注意判别式大于0或小于0的情况，以确定其根的取值范围。

3.注意绝对值问题：在解绝对值不等式时要注意分段函数的定义域和取值范围。

完整版)高中数学不等式知识点总结

完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。

②传递性：a>b。

b>c则a>c。

③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。

同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。

异向可减性：a>b，cb-d。

④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。

⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。

异向正数可除性：a>b>0，0bc。

a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。

⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。

2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。

a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。

a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。

a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。

3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。

不等式知识点总结

不等式知识点总结一、不等式的基本概念。

1. 不等式的定义。

- 用不等号（＞、≥、＜、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。

例如：3x + 2>5，x - 1≤slant2x等。

2. 不等式的解与解集。

- 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

例如对于不等式x+1 > 0，x = 1是它的一个解，因为1 + 1>0成立。

- 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

例如不等式x - 2>0的解集是x>2，这表示所有大于2的数都是这个不等式的解。

3. 解不等式。

- 求不等式解集的过程叫做解不等式。

例如解不等式2x+3 < 7，通过移项可得2x<7 - 3，即2x<4，再两边同时除以2得到x < 2，这个过程就是解不等式。

二、不等式的基本性质。

1. 性质1（对称性）- 如果a>b，那么b < a；如果b < a，那么a>b。

例如5>3，那么3 < 5。

2. 性质2（传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。

例如7>5，5>3，那么7>3。

3. 性质3（加法法则）- 如果a>b，那么a + c>b + c。

例如3>1，那么3+2>1 + 2，即5>3。

- 推论：如果a>b，c>d，那么a + c>b + d。

例如4>2，3>1，那么4 + 3>2+1，即7>3。

4. 性质4（乘法法则）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c < 0，那么ac < bc。

例如2>1，当c = 3时，2×3>1×3，即6>3；当c=-1时，2×(-1)<1×(-1)，即-2 < - 1。

高中不等式知识点总结

高中不等式知识点总结一、知识点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a > bb > a②传递性: a > b, b > ca > c③可加性: a > b a + c > b + c④可积性: a > b, c > 0ac > bc;a > b, c < 0ac < bc;⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)⑧开方法则：a > b > 0,2.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则重要结论1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。

3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。

当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。

综合法:以已知或已证明的不等式为基础，根据不等式的性质推导出待证明的不等式。

平均不等式常用于综合法的标度。

分析方法:不等式两边的关系不够清晰。

通过寻找不等式成立的充分条件，对待证明的不等式进行逐步转化，直到找到一个容易证明或已知成立的结论。

4.不等式的解法(1) 不等式的有关概念同解不等式:如果两个不等式有相同的解集，那么这两个不等式称为同解不等式。

同解变形:当一个不等式转化为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形称为同解变形。

高一数学不等式知识点整理归纳

高一数学不等式知识点整理归纳一、不等式的基本性质1. 对称性：若 $a > b$，则 $b a$；若 $a b$，则$b > a$。

2. 传递性：若 $a > b$ 且 $b > c$，则 $a > c$；若$a b$ 且 $b c$，则 $a c$。

3. 加法性质：若 $a > b$，则 $a + c > b + c$。

4. 乘法性质：若 $a > b$ 且 $c > 0$，则 $ac > bc$；若 $a > b$ 且 $c 0$，则 $ac bc$。

二、一元一次不等式形如 $ax + b > 0$ 或 $ax + b 0$（$a \neq 0$）的不等式。

解法步骤：1. 移项：将常数项移到不等式的另一边。

2. 化简：将 $x$ 的系数化为 $1$，注意当系数为负数时，不等号方向改变。

三、一元二次不等式形如 $ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c 0$（$a \neq 0$）的不等式。

解法：1. 求出方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根（可用求根公式 $x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 4ac}}{2a}$ ）。

2. 根据二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图像与 $x$ 轴的交点，确定不等式的解集。

当 $a > 0$ 时：若方程有两个不同实根 $x_1$ ， $x_2$ （$x_1x_2$），则不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ 的解集为 $x x_1$或 $x > x_2$ ；不等式 $ax^2 + bx + c 0$ 的解集为 $x_1x x_2$ 。

初中数学不等式知识点

初中数学不等式知识点一、不等式的定义与性质1.不等关系：对于任意两个实数a和b，只有以下三种情况之一成立：a>b，a=b，a<b。

2.不等式：由不等关系得到的表达式称为不等式。

3.不等式的解：使得不等式成立的数字的范围。

4.不等式的性质：a)若a>b且b>c，则a>c。

b)若a>b，则a+c>b+c。

c) 若a>b且c>0，则ac>bc。

d) 若a>b且c<0，则ac<bc。

二、一元一次不等式1.解一元一次不等式的方法：a)变形法：根据不等式性质对不等式进行变形，以求得解的范围。

b)试值法：取不等式两边的中心值，带入不等式进行判断。

c)图解法：将不等式转化为数轴上的表示，并用图形确定解的范围。

2.一元一次不等式的特殊情况：a)严格不等式：不等号中的大于或小于号是有实际意义的，例如x>3b)非严格不等式：不等号中的大于等于或小于等于号是有实际意义的，例如x≥33.一元一次不等式的解集表示方法：a)区间表示法：解集用区间表示，如(3,+∞)表示大于3的所有实数。

b)不等式表示法：通过不等式的形式表示解集，如x>3三、一元二次不等式1.解一元二次不等式的方法：a)求解开头为正负的二次不等式：将二次不等式化为二次方程，再通过求解二次方程得到解的范围。

b)求解开头为非负的二次不等式：直接观察二次不等式的开头，确定解的范围。

2.一元二次不等式的特殊情况：a)严格不等式：不等号中的大于或小于号是有实际意义的，例如x^2>4b)非严格不等式：不等号中的大于等于或小于等于号是有实际意义的，例如x^2≥43.一元二次不等式的解集表示方法：a)区间表示法：解集用区间表示，如(-∞,-2)∪(2,+∞)表示不在(-2,2)范围内的所有实数。

b)不等式表示法：通过不等式的形式表示解集，如x<-2或x>2四、两个不等式的关系1. 不等式的加减乘除运算：若a>b且c>0，则有a+c>b+c、ac>bc （或ac<bc）、a/c>b/c（或a/c<b/c）。

不等式知识点总结

不等式1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

不等式的基本性质有： 1对称性：a>b ⇔b<a ；2传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ； 3可加性：a>b ⇒a+c>b+c ；4可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。

5同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； 6异向相减：b a >，d c <d b c a ->-⇒. 7正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。

8乘方法则：若a>b>0，n ∈N+，则n nb a >；9开方法则：若a>b>0，n ∈N+，则n n b a >；10倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a 1<。

2、绝对值不等式（1）｜x ｜＜a （a ＞0）的解集为：{x ｜－a ＜x ＜a}；｜x ｜＞a （a ＞0）的解集为：{x ｜x ＞a 或x ＜－a}。

（2）|b ||a ||b a |||b ||a ||+≤±≤-3、不等式的证明：(1) 常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法； (2) 在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用； (3) 证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。

4、一元二次不等式ax 2+box>0(a>0)解法.：一元二次不等式的解集其实就和二次项系数、二次方程的根以及不等号有关,因而可以总结解一元二次不等式的一般步骤:先把二次项系数化成正数,再解对应二次方程,最后根据方程的根的情况,结合不等号的方向写出解集(可称为“三步曲”法).一元二次方程的解的讨论0>∆0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<∅∅5、整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.+-+-x 1x 2x 3x m-3x m-2xm-1x mx（自右向左正负相间） 6、分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f7、含绝对值不等式的解法（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. （1）ax a a a x <<-⇔><)0(；（2）ax a x a a x >-<⇔>>或)0(；（3）ax f a a a x f <<-⇔><)()0()(；（4）a x f a x f a a x f >-<⇔>>)()()0()(或；（5）)()()()()(x g x f x g x g x f <<-⇔<；（6）)()()()()()(x g x f x g x f x g x f >-<⇔>或；（7）ax b b x a a b b x a -≤≤-≤≤⇔>>≤≤或)0(；（8）⎪⎩⎪⎨⎧≠<⇔⎩⎨⎧≠<⇔><0)(])([)(0)()()()0()()(22x g x g a x f x g x g a x f a a x g x f 。

高三数学不等式知识点

高三数学不等式知识点高三数学不等式知识点11.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为(ab，+∞)，当a例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x解：原不等式化为(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c0)的`形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。

例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)解：△=16-16a①当a>1时，△②当a=1时，△=0，则x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)③当a0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)3.不等式组的解法将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.高三数学不等式知识点21、建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。

高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。

学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的`特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。

良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。

2、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

(2)建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。

争取做到：找错、析错、改错、防错。

初中不等式重要知识点总结

初中不等式重要知识点总结一、不等式的基本概念1. 不等式的定义不等式是指两个不同实数之间的大小关系，用不等号表示的式子称为不等式。

例如：a ＞b，a、b为实数。

不等式包括开区间不等式和闭区间不等式。

开区间不等式：a ＞ b（>表示大于，不包括a）；闭区间不等式：a ≥ b（≥表示大于等于，包括a）。

2. 不等式的解集不等式的解集是所有满足不等式条件的实数构成的集合。

例如：不等式2x ＞ 6的解集为{x | x ＞ 3}。

3. 不等式的性质不等式与等式一样，具有传递性、对称性和反对称性。

传递性：若a ＞ b，b ＞ c，则a ＞c；对称性：若a ＞ b，则-b ＜ -a；反对称性：若a ＞ b，且b ＞ a，则a = b。

另外，对于不等式，还有加减法原理和乘除法原理。

加减法原理：不等式两边都加（减）同一个实数，不等式号的方向不变；乘除法原理：不等式两边都乘（除）同一个正数，不等式号的方向不变，都乘（除）同一个负数，不等式号的方向改变。

二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的书写一元一次不等式是指形如ax + b ＞ 0或ax + b ＜ 0的不等式，其中a和b是常数，x是未知数。

一元一次不等式中，a不等于0。

2. 一元一次不等式的解法解一元一次不等式，主要有以下几种方法：（1）图解法：将不等式转化为方程，利用函数的图像找出满足不等式条件的实数解。

（2）试数法：通过代入试数的方式，找出满足不等式条件的实数解。

（3）分析法：通过移项整理和求解，找出满足不等式条件的实数解。

三、一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的定义一元一次不等式组是由若干个一元一次不等式构成的集合。

2. 一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组，主要有以下几种方法：（1）图解法：将不等式转化为方程，找出满足所有不等式条件的实数解，画出其图像，并找出图像的交集部分。

（2）试数法：通过代入试数的方式，找出满足所有不等式条件的实数解。

不等式知识点归纳

不等式知识点归纳1.不等式的基本性质不等式的性质可分为单向性质和双向性质两类．在解不等式时，只能用双向性质；在证明不等式时，既可用单向性质，也可用双向性质．（1）a b b a <⇔>对称性（2）c a c b b a >⇒>>,传递性（3）c b c a b a+>+⇒>加法单调性（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,同向不等式相加（5）d b c a d c b a->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >⇒>>0,. 或 c b c a >（乘法单调性）（7）bc ac c b a <⇒<>0, 或 c bca <（8）bd ac d c b a>⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a ba b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n且平方法则（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b an n 且开方法则倒数性质①a>b,ab>0.11b a <⇒②a<0<b.11b a <⇒③a>b>0,0<c<d.d b c a >⇒ ④0<a<x<b 或a<x<b<0.a x b 111<<⇒ 有关分数的性质:若a>b>0,m>0,则①真分数的性质： ②假分数的性质：).(;0>--->++<m b m a mb a b m a m b a b ).(;0>---<++>m b m b m a b a m b m a b a比例的几个性质①比例基本性质：；②反比定理：；③更比定理：；④合比定理；；⑤分比定理：；⑥合分比定理：；⑦分合比定理：；⑧等比定理：若，，则.①，则.【说明】：（，糖水的浓度问题）.【拓展】：.②，，则；2.比较大小：分类讨论1.作差比较法；2.作商比较法（常用于指数式或均为正数的两式）.（1）作差法步骤：作差——变形——判断差的符号.作商法的步骤：作商——变形——判断商与1的大小.（2）两种方法的关键是变形.常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的. 1．比较法(1)作差比较法①理论依据：a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＜b ⇔a －b ＜0.②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．(2)作商比较法①理论依据：b ＞0，ab ＞1⇒a ＞b ；b ＜0，ab ＞1⇒a ＜b .②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．2.平方法、开方法、倒数法等3.用同向不等式求差的范围.c b y xd a cy d bx a d y c b x a -<-<-⇒⎩⎨⎧-<-<-<<⇒⎩⎨⎧<<<<4.倒数关系在不等式中的作用..110;110b a b a ab b a b a ab >⇒⎩⎨⎧<><⇒⎩⎨⎧>>5．不等式的解法：注意“系数化正”附：化归方法在不等式中的具体运用：（1）异向化同向；（2）负数化正数；（3）减式化加式；（4）除式化乘式；（5）多项化少项；（6）高次化低次．注:1.求不等式的解集、定义域及值域时，结果一定要用集合或区间表示，不能用不等式表示． 2.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”即ａ＞ｂ＞ｏ，ａ＜ｂ＜ｏ．解不等式应遵守的原则：1.凡是x的系数为负数的因式首先要[ 即标准式]2.分式不等式不能两边同乘上公分母而约去分母，只能移项通分。

完整版)不等式知识点归纳大全

完整版)不等式知识点归纳大全不等式》知识点总结一、解不等式1.解不等式时，最终需要用集合的形式表示解集。

不等式解集的端点值通常是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。

2.解分式不等式f(x)。

a（a≠0）的一般思路是移项通分，分子分母分解因式，使x的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回。

3.含有两个绝对值的不等式需要分类讨论、平方转化或换元转化去绝对值。

4.解含参不等式时，常常需要分类等价转化。

按参数讨论时，最后需按参数取值分别说明其解集；按未知数讨论时，最后需要求并集。

二、利用重要不等式求函数的最值1.在利用重要不等式a+b≥2ab以及变式ab≤(a+b)²求函数的最值时，需要注意a、b∈R⁺（或a、b非负），且“等号成立”时的条件是积ab或和a+b其中之一应是定值（一正二定三等四同时）。

2.常用的不等式有：a、2(a²+b²+c²)≥ab+bc+ca（当且仅当a=b=c时，取等号）；b、a+b+c≥√(3(ab+bc+ca))（当且仅当a=b=c时，取等号）。

三、含立方的几个重要不等式1.对于正数a、b、c，有a³+b³+c³≥3abc（当且仅当a=b=c 时，取等号）。

2.对于正数a、b、c，有(a+b+c)³≥27abc（当且仅当a=b=c 时，取等号）。

四、最值定理1.积定和最小：当x、y>0，且x+y≥2xy时，若积xy=P （定值），则当x=y时和x+y有最小值2P。

2.和定积最大：当x、y>0，且x+y≥2xy时，若和x+y=S （定值），则当x=y时积xy有最大值S²/4.3.已知a、b、x、y∈R，且ax+by=1，有x/y+y/x的最小值为(a+b+√(a²+b²))/2.4.对于已知x>0、y>0、x+2y+2xy=8的等式，x+2y的最小值为4，最大值为8.注：删除了一些明显有问题的段落，并对每段话进行了小幅度的改写。

不等式知识点总结

不等式知识点总结不等式（Inequality）是数学中一个重要的概念，它描述的是两个数或两个式子之间大小关系的一种表示方式。

不等式可以用来解决许多实际问题，例如优化问题、利润问题、经济政策问题等。

下面将对不等式的基本概念、性质、解法以及应用进行总结。

一、不等式的基本概念不等式表示的是数或式之间的大小关系，它与等式相似，但不同的是不等式的结果为真时称为“成立”，结果为假时称为“不成立”。

不等式的基本形式有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）四种形式。

二、不等式的性质1.相等性质：若两个不等式中的量相等，则两个不等式具有相同的大小关系。

2.传递性质：若a>b且b>c，则a>c。

也就是说，如果a大于b，而b大于c，则a大于c。

3.加减性质：若a>b，则a+c>b+c；若a>b，则a-c>b-c。

也就是说，如果a大于b，则a加上（或减去）相同的数c后仍然大于（或小于）b。

4. 正数性质：若 a>b 且 c>0，则 ac>bc。

也就是说，如果 a 大于b，而 c 大于 0，则 a 乘以 c 后仍然大于 b。

三、不等式的解法不等式的解法可以根据不等式的类型和条件的不同而有所不同，下面介绍几种常见的解法方法。

1.图解法：对于一元一次不等式，我们可以将其转化为坐标系中的图形表示，通过观察图形的位置判断不等式的解集。

例如，对于不等式x>3，我们可以在坐标系中画出一条过点(3,0)的直线，然后观察直线的右边区域即可确定不等式的解集。

2.代入法：对于一元一次不等式，我们可以根据不等式的条件逐个代入可能的解集，然后判断不等式的成立与否。

例如，对于不等式2x+1>5，我们可以依次代入x=2、x=3、x=4，然后判断不等式是否成立。

3.移项法：对于一元一次不等式，我们可以通过移项将不等式转化为等式，然后求解等式的根，再根据根的取值范围确定不等式的解集。

(完整版)不等式知识点归纳大全

《不等式》知识点归纳一.(1)解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.(2)解分式不等式()()()0≠>a a x g x f 的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x 的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回）；(3)含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是分类讨论、平方转化或换元转化)；(4)解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论.注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集.二、利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式2()2a b ab +≤等求函数的最值时，务必注意a ，b +∈R （或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件是积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值(一正二定三等四同时).三、.2211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）四、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：（，）；五、最值定理（积定和最小） ①，则当时和有最小值（和定积最大）②若和，则当是积有最大值. 【推广】：③已知,,,,+∈R y x b a 若1=+by ax ，则有则y x 11+的最小值为：3333a b c abc++≥0ab c ++>等式即可成立时取等或0=++==c b a c b a 3a b c ++⇒3()3a b c abc ++≤3333a b c ++≤,0,x y x y >+≥由()xy P =定值x y =x y +,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值x y =xy 214s 21111()()by ax ax by a b a b xy x y x y +=++=+++++=+≥④等式到不等式的转化：已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________． 4)2()2(82)2(822y x y x y x y x xy +≤+-=⋅⇒+-=即0)42)(82(08)2(4)2(2≥-+++⇒≥-+++y x y x y x y x 解得4282≥+-≤+y x y x （舍）或故x ＋2y 的最小值是4 如果求xy 的最大值，则xy xy y x y x xy 22282)2(82≥-=+⇒+-=，然后解关于xy 的一元二次不等式，求xy 的范围，进而得到xy 的最大值六、比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法和放缩法(注意：对“整式、分式、绝对值不等式”的放缩途径， “配方、函数单调性等”对放缩的影响).七、含绝对值不等式的性质：a b 、同号或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-；a b 、异号或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+.八、不等式中的函数思想不等式恒成立问题“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。

不等式知识点归纳

不等式知识点归纳不等式是数学中的一种常见表达方式，用于比较两个数量的大小关系。

它是数学分析、代数和几何中的重要概念之一，有着广泛的应用。

本文将介绍不等式的基本概念、性质、解法以及常见类型的练习题，帮助读者全面了解和掌握不等式知识。

一、不等式的基本概念不等式是将两个数或者表达式进行比较的一种数学符号表达方法。

通常使用不等号（<, >, ≤, ≥）表示大小关系。

其中，< 表示严格小于，> 表示严格大于，≤ 表示小于等于，≥ 表示大于等于。

例如，a < b 表示 a 小于 b，a > b 表示 a 大于 b，a ≤ b 表示 a 小于等于 b，a ≥ b 表示 a 大于等于b。

二、不等式的性质1. 传递性：如果 a < b，b < c，则可以推出 a < c；如果a > b，b > c，则可以推出 a > c。

2. 加减性：如果 a < b，则 a ± c < b ± c；如果 a > b，则 a ± c > b ± c。

其中，c 是常数。

3. 乘除性：如果 a < b，且 c > 0 或 c < 0，则 ac < bc；如果 a < b，且 c < 0 或 c > 0，则 ac > bc。

注意，当 c = 0 时，乘除性不成立。

4. 倒数性：如果 a < b，且 c < 0 或 c > 0，则 1/a > 1/b；如果 a < b，且 c > 0 或 c < 0，则 1/a < 1/b。

注意，当a 或b 为0时，倒数性不成立。

三、不等式的解法解一个不等式，就是找出使得不等式成立的数的范围。

常见的解不等式的方法有以下几种。

1. 加减法：将不等式中的项移项，使得不等式变为一个与变量 x 有关的代数式 f(x)，然后通过分析 f(x) 的符号变化来确定不等式的解集。

高中数学不等式知识点总结

弹性学制数学讲义不等式（4课时）★知识梳理1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2baab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b aab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b an b n a m a mb a b<++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k >+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=< ②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z =22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。

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元一次不等式和一元一次不等式组
概念：
定义1：一般地，用符号“V” （或“W”），“>”（或“》”）连接的式子叫做不等式。

定义2：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

（不等式的解有时有无数个，有时有有限个，有时无解。

）定义3：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。

定义5：左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式。

定义6：一般地, 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起, 就组成一个一元一次不等式组。

定义7：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

定义8：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

基本性质：
等式的基本性质”和“不等式的基本性质”
1）等式的基本性质：等式基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，等式仍旧成立女口果a=b, 那么a± c=b± c 等式基本性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，等式仍旧成女口果a=b，那么ac=bc, a*c = b*c （c工0）2）不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些异同点不等式的基本性质有三条，等式的基本性质有两条；两个性质中在两边都加上（或都减去）同一个整式时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个正数时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个负数时，结果不同
三、相关知识归纳：
一）、将不等式的解集表示在数轴上时，要注意：1、指示线的方向, “>”向右, “<”向左.
2、不等式的解集在数轴上表示时，当解集的符号是“》”或“W”时，用实心圆点表示，当解集的符号是“>”或“V”时，用空心圆圈表示。

3、不等式的解与解集的联系与区别: 二者的区别在于, 不等式的解是指能使不等式成立的每一个值; 不等式的解集是指所有解的全体。

联系是不等式的所有解组成一个解集, 或者说不等式的解集包含不等式的每一个解。

4、将不等式的解集表示在数轴上,一般分三步:一是正确地画数轴,注意数轴的三要素;二是确定界点,注意区分实心圆点还是空心圆圈;三是辨别方向,大于指向界点的右方, 小于指向界点的左方。

二）、解一元一次不等式的一般步骤：
1）去分母不等式性质2或3
注意：
①勿漏乘不含分母的项；
②分子是两项或两项以上的代数式时要加括号；
③若两边同时乘以一个负数，须注意不等号的方向要改变
2）去括号——去括号法则和分配律
注意：
①勿漏乘括号内每一项；
②括号前面是“-”号，括号内各项要变号
3）移项——移项法则（不等式性质1）
注意：移项要变号.
（4）合并同类项——合并同类项法则.
（5）系数化成1――不等式基本性质2或性质3.
注意：两边同时除以未知数的系数时，要分清不等号的方向是否改变
（三八解一元一次不等式应用题的步骤:
审题，找不等关系; 设未知数;
1、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程都可以转化为
ax + b =0 （ a , b 为常数，a 工0）的形式，所以解一
兀一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为
0时，求相应的自变量的值。

从图象上
看，相当于已知直线 y =ax + b ,确定它与x 轴的交点的横坐标的值。

2、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为
ax + b >0或ax + b <0 （ a , b 为常数，a 工
0）
的形式，所以解一元一次不等式可以看成：当一次函数值大（小）于取值范围。

3、规律总结
一次函数y =kx + b 与一元一次方程 kx + b =0及一元一次不等式的关系：函数 y =kx
+ b 的图象在x 轴上方的点所对应的自变量 x 的值，即为不等式kx + b >0的解集；在x 轴上所对应的点的自变量的值即为方程 kx + b =0的解；在x 轴下方的点所对应的自变量
的值即为不等式kx + b <0的解集。

4、一次函数与一次方程（组）
(3) 列不等关系; (4) 解不等式;
(5) 根据实际情况，写出全部答案
（四）、元一次方程（组）、不等式（组）与一次函数的关系:
0时，求自变量的
x
（1 ）以二元一次方程 ax + by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数
的图象相同。

（2）二元一次方程组
呼+切弋
的解可以看成是两个一次函数
5、一次函数与方程（组）的应用
在实际生活中，如何应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符
合题意的函数解析式，再利用方程（组）求解。

6 —次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于 0时即为方程，当函数值大于或小于 0时即为不等式。

（五八两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形
设a v b,那么
(1
不等式组
x a 的解集是 x > b;
x b
(2) 不等式组
x
的解集是 x v a;
x b
(3) 不等式组
x
a
的解集是 a v x v b ；
x b
(4) 不等式组 x
的解集是; 无解.
b
这是用式子表示，也可以用语言简单表述为: 大大取大；小小取小；大小小大取中间；大大小小题无解
的图象的交点。

（六八解一元一次不等式的步骤有：（投影）
去分母；去括号；移项；合并同类项；不等式两边都除以未知数的系数
F 面我们对比地学习解一元一次不等式与解一元一次方程的异同
在步骤（1）和（5 ）中，要注意不等式号方向是否改变
限多个数
本章知识结构图
实际背景
=r=
元一次不等式
1 ' 1 1
1
k
1
解集
1数轴表示1
解集
1数轴表示1
1解集1
数轴表示
1
1
1
1
解法
解法
*1实际应用
I
不等式的基本性质
$
解不等式
解一元一次方程
解一元一次不等式解法步
（1）去分母；（1）去分母；（2）去括号；（2）去括号；（3）移项；（3）移项；（4）合并同类项；（4）合并同类项；（5）系数化成1
（5）系数化成1
元一次方程只有一个解
儿一次不等式的解集含有无不等式
儿一次不等式组。