弹塑性力学试题

考试科目：弹塑性力学试题

班号 研 班 姓名 成绩

一、概念题

（1） 最小势能原理等价于弹性力学平衡微分方程和静力边界条件，用最小势能原理求解弹性力学近似解时，仅要求位移函数满足已知位移边界条件。

（2） 最小余能原理等价于 应变协调 方程和 位移 边界条件，用最小余能原理求解弹性力学近似解时，所设的应力分量应预先满足平衡微分方程 和静力边界条件。

（3） 弹性力学问题有位移法和应力法两种基本解法，前者以位移为基本未知量，后者以 应力为基本未知量。

二、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为：

,)11(2)11(10,2,222

2=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--+-+--==+-=+=

θθθμμμμμτσσu Cr r A E u C r A C r A r r r

利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，厚壁圆筒承受内压p 作用，试求该问题的应力和位移分量的解。

解：边界条件为：

a r =时：p r -=σ；0=θτr

b r =时：0=r u ；0=θu 。

将上述边界条件代入公式得：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧=⎥⎦⎢⎣⎡--+-+--=-=+=0)11(2)11(122

2μμμμb C b A E u p C a A

b

r r 解上述方程组得：

()()()⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧+--

=+---=]21[22121222

2222a b pa C a b b pa A μμμ 则该问题的应力和位移分量的解分别为：

()()()()()()⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪

⎪⎪⎪

⎪⎨⎧=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+--==+--+--=+--+---=∙∙011)]21([11)]21([)21(10

21121212112121222222

222

22

222222

22

22222θθθμμμμμμμμτμμμσμμμσu b a pra b a r b pa E u a b pa r a b b pa a b pa r a b b pa r r r

三、已知弹性半平面的o 点受集中力

2

2222

222

2

223

)(2)(2)(2y x y

x P

y x xy P

y x x P

xy

y x +-

=+-=+-

=πτπσπσ

利用上述解答求在弹性半平面上作用着n

个集中力i p 构成的力系， 这些力到所设原点的距离分别为i y ,试求应力xy y x τσσ,,的一般表达式。

解：由题设条件知，第i 个力i p 在点（x ，y ）处产生的应力将为：

y

y

()()()()[]

()()()()()[]

()

()()()()[]

⎪⎪⎪⎪

⎪⎩

⎪⎪⎪⎪

⎪⎨⎧-++-+-=-++-+-

=-+++-

=2

2222

2

222

223222i i i xy i i i y i

i x y y a x y y a x P y y a x y y a x P y y a x a x P πτπσπσ

故由叠加原理，n 个集中力构成的力系在点（x ，y ）处产生的应力为：

()()()()[]

()

()()()()[]

()

()()()()[]

⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎪⎪⎨⎧-++-+-==-++-+-==-+++-==∑∑∑∑∑∑======n i i i n

i i xy xy n i i

i n i i y y n i i

n

i i x x y y a x y y a x P y y a x y y a x P y y a x a x P 12

2221122221122231222πττπσσπσσ

四、一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l ，抗弯刚度EI 为常数，弹簧系数为k ,承受分布荷载)(x q 作用。试用最小势能原理导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件。

解：第一步：全梁总应变能为：dx dx w d EI wdv U l v 2

02221⎰⎰⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡==

外力做功为：⎰=-=

l

l x kw qwdx T 0

2|2

1

总势能为：l x l l kw qwdx dx dx w d EI T U =⎰⎰+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=∏|2

1212

02

022

第二步：由最小势能原理可知：

0=∏δ等价于平衡微分方程和静力边界条件。

l x l l kw wdx q dx dx w d EI =⎰⎰+-⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=∏|21

21202

022δδδδ

l x l l

w kw wdx q dx dx w d dx w d EI =⎰⎰+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=|0

22022δδδ （*） 其中=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰dx dx w d dx w d EI l

22022δdx dx dw dx d dx w d EI l ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰δ022 dx dx dw dx w d EI dx d dx w d dx w d EI l l ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰δδ022022|

wdx dx d

dx w d EI dx d dx dw dx w d EI l l δδ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰220022|

将其代入（*）式并整理可得：

wdx q dx w d EI dx d dx dw dx w d EI l l δδδ⎰⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏0222

2022|

0||0022=+⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-l l w kw w dx w d EI dx d δδ 由于当0=x 时，0=dx dw ，022=dx

w

d ； 所以平衡微分方程为：0)(222

2

=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛x q dx w d EI dx

d （0≤x ≤l ）

静力边界条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==0

022

22l x l

x dx w d dx w d EI dx d kw