二重积分坐标变换
二重积分的直角坐标变换
二重积分的直角坐标变换二重积分是微积分中的重要概念，用于计算平面封闭区域上的某个函数的面积或其他相关量。
直角坐标变换是一种常用的工具，可以简化二重积分的计算。
本文将介绍二重积分的概念，并详细探讨直角坐标变换在二重积分中的应用。
1. 二重积分的概念在直角坐标系中，二重积分可以理解为将一个平面上的区域划分为无数个微小的矩形，并计算这些矩形的面积之和。
对于一个定义在平面区域上的函数 f(x, y)，其在区域 D 上的二重积分可以表示为：∬D f(x, y) dA其中，D 表示平面上的区域，f(x, y) 是定义在 D 上的函数，dA 表示微元面积。
二重积分的计算可以通过先将区域 D 划分为小矩形，然后对每个小矩形的面积乘以相应位置上的函数值进行求和得到。
2. 直角坐标变换直角坐标变换是一种从一个直角坐标系到另一个直角坐标系的变换。
在二重积分中，直角坐标变换经常被用来简化积分的计算。
常见的直角坐标变换包括极坐标变换和其他线性变换。
2.1 极坐标变换极坐标变换是将直角坐标系中的点由 (x, y) 转换为极坐标(r, θ) 的一种变换。
在极坐标中，点的位置由其到极点的半径 r 和与某条固定轴的夹角θ 表示。
通过极坐标变换，可以将简单的二重积分转化为更简洁的形式。
对于一个定义在极坐标上的函数f(r, θ)，其在极坐标下的二重积分可以表示为：∬D f(r, θ) r dr dθ其中，D 表示极坐标下的区域，f(r, θ) 是定义在 D 上的函数，r dr dθ 表示微元面积。
通过极坐标变换，可以将二重积分的计算转化为对 r 和θ 的积分。
2.2 其他线性变换除了极坐标变换，还可以使用其他线性变换来简化二重积分的计算。
例如，通过直角坐标变换，可以将一个平面区域 D 映射到另一个平面区域D’ 上，并定义新的变量 u 和 v。
对于一个定义在D’ 上的函数 g(u, v)，其在D’ 上的二重积分可以表示为：∬D’ g(u, v) dudv其中，D’ 表示新的平面区域，g(u, v) 是定义在D’ 上的函数，dudv 表示新的微元面积。
重积分 极坐标 变换顺序
重积分极坐标变换顺序
在进行重积分时，极坐标变换的顺序是先对极角进行积分，再对极径进行积分。
具体而言，对于二重积分来说，极坐标变换的变量变换公式如下：
∬f(x, y)dxdy = ∬g(r, θ)drdθ
其中，f(x, y)是原函数，在极坐标系下表达为g(r, θ)。
r 和θ 分别代表极径和极角。
dxdy 是直角坐标系下的面积元素，而drdθ 是极坐标系下的面积元素。
因此，极坐标变换的积分顺序为先对θ 进行积分，再对 r 进行积分。
这是因为在极坐标系下，积分的顺序与直角坐标系下的积分相反。
总结起来，极坐标变换的积分顺序为先积极角，后积极径。
二重积分在极坐标系下的计算
2R
{ x ≥ 0, y ≥ 0}
显然 D1 ⊂ S ⊂ D2
因为 e
所以
− x2 − y2
> 0,
− x2 − y2
∫∫ e D
1
− x2 − y2
dxdy ≤ ∫∫ e
S
dxdy ≤ ∫∫ e
D2
− x2 − y2
dxdy .
又因为 I = ∫∫ e
S
R
− x2 − y2
d xd y
R − y2
计算方法——化为二次积分 化为二次积分 计算方法
D : ρ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ρ 2 (θ ), α ≤ θ ≤ β
其中ρ1 (θ ), ρ 2 (θ ) ∈ C [α , β ], 0 ≤ ρ1 (θ ) ≤ ρ 2 (θ ), 0 ≤ β − α ≤ 2 π.
ρ = ρ2(θ)
D
ρ = ρ1(θ) β α
所围成的图形的面积 .
解
根据对称性 S D = 4 S D1 . ( x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) ⇒ ρ = a 2 cos 2θ
x2 + y2 = a2 ⇒ ρ = a
D1
ρ = a 2 cos 2θ π 得交点 (a , ). 6 ρ = a
S = ∫∫ dxdy = 4 ∫∫ dxdy
θ + dθ
ρdθ
dρ
θ
∆σ ≈ ρdρdθ
ρ ρ + dρ
ρ
dxdy = ρdρdθ
x = ρ cosθ y = ρ sinθ
θ + dθ
二重积分的变量从直角 坐标到极坐标的变换公式
二重积分的坐标变换
r = ϕ1 (θ)
r = ϕ2 (θ)
α ≤θ ≤ β,
D
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
o
β
α
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
A
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ 2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
2. 微元变换： dσ = dxdy = rdrdθ 微元变换：
3. 区域变换： Dxy → Drθ 区域变换：
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ .
D D
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二重积分化为二次积分的公式: 型区域 二重积分化为二次积分的公式 θ-型区域
结束
3. 原点在区域的内部 区域特征如图 π 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
r = ϕ (θ )
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
D
o
2π
A
= ∫ dθ ∫
0
ϕ (θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
极坐标系下区域的面积 σ =
π 2
2
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例 6 求曲线 ( x 2 + y 2 )2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) 所围成的图形的面积. 和 x 2 + y 2 ≥ a 2 所围成的图形的面积
解 根据对称性有 D = 4D1
在极坐标系下
二重积分极坐标转换为直角坐标(3篇)
第1篇在数学分析中，二重积分是计算平面区域上函数总和的一种方法。
极坐标和直角坐标是两种常见的坐标系，它们在处理不同类型的几何问题时各有优势。
本文将探讨如何将极坐标下的二重积分转换为直角坐标系下的积分，并分析转换过程中需要注意的问题。
1. 极坐标与直角坐标的关系在直角坐标系中，一个点的坐标表示为 (x, y)。
而在极坐标系中，一个点的坐标表示为(r, θ)，其中 r 是该点到原点的距离，θ 是该点与正 x 轴的夹角。
两者之间的关系可以表示为：\[ x = r \cos \theta \]\[ y = r \sin \theta \]2. 极坐标下的二重积分在极坐标系中，一个二重积分可以表示为：\[ \iint_D f(r, \theta) r \, dr \, d\theta \]其中，D 是积分区域，f(r, θ) 是定义在 D 上的函数。
3. 极坐标转换为直角坐标要将极坐标下的二重积分转换为直角坐标系下的积分，我们需要首先将积分区域 D 和被积函数f(r, θ) 转换为直角坐标系下的表示。
3.1 积分区域的转换设积分区域 D 在极坐标系下为：\[ D = \{(r, \theta) | a \leq r \leq b, \alpha \leq \theta \leq \beta\} \]在直角坐标系下，D 的表示为：\[ D = \{(x, y) | x = r \cos \theta, y = r \sin \theta, a \leq r \leq b, \alpha \leq \theta \leq \beta\} \]进一步化简得：\[ D = \{(x, y) | x = r \cos \theta, y = r \sin \theta, r^2 = x^2 + y^2, a \leq r \leq b, \alpha \leq \theta \leq \beta\} \]3.2 被积函数的转换在极坐标系下，被积函数为f(r, θ)。
二重积分的变量变换公式 用极坐标计算二重积分
hk J (u, v) hk
因此面积元素的关系为 d J (u , v) d u d v 从而得二重积分的换元公式:
D f ( x, y) d x d y f ( x(u, v), y (u, v)) J (u, v) d u d v D
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
例3. 计算
I
D
d 1 x2 y2
2 2
其中
D: x y R .
2
例4. 求球体 x2 y2 R x 解
V 4
D
被圆柱面
所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 由对称性可知
R 2 x 2 y 2 d 4
D
R2 r 2 r d r d
y2 2 d xd b
y
( x, y ) a cos J b sin ( r , )
a r sin abr b r cos
V 2 c
D
1 r 2 a b r d r d
2
2 abc
0
d
1
0
4 1 r r d r abc 3
D
r
f ( x , y ) d x d y
D
f ( r cos , r sin ) r d r d
(i) 若原点在 D 外，D : r1 ( ) r r2 ( ), , 则
D
f ( r cos , r sin )r d r d
2 2
T
y
M4
D
M3 M2
M1
令 h k , 则 x x2 x1 x(u h, v) x(u, v) h o( ) u (u , v)
直角坐标系下二重积分计算的四种方法
直角坐标系下二重积分计算的四种方法
直角坐标系下二重积分是数学分析中的一个重要概念，它在计算物理量、求解微分方程等方面有着广泛的应用。
在计算二重积分时，我们可以采用以下四种方法：
1. 矩形法：将积分区域划分为若干个矩形，然后在每个矩形内
求出对应的积分值，最后将这些积分值相加即可得到二重积分的值。
2. 改变积分次序：将二重积分中的积分顺序改变，然后利用Fubini 定理将其化为两次一重积分，最后再分别求解两次一重积分，最终得到二重积分的值。
3. 极坐标变换法：将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系
下的二重积分，然后再利用极坐标下的积分公式进行计算。
4. 牛顿-莱布尼茨公式：利用牛顿-莱布尼茨公式，将原函数在
积分区域的两个端点处的函数值相减，即可得到二重积分的值。
这四种方法各有优劣，具体使用哪种方法取决于积分区域的形状、积分被积函数的特点等因素。
熟练掌握这些方法，有助于提高二重积分计算的效率和准确度。
- 1 -。
二重积分的极坐标变换
二重积分的极坐标变换二重积分的极坐标变换，这听起来有点高大上，似乎跟我们日常生活没有啥关系。
但是，别急，听我慢慢说来，这其实是个有趣的数学小故事，像是给生活加了一点调味料，哎哎，快坐好，咱们要开始了。
想象一下一个广阔的平面，那里有各种各样的点，像是在热闹的集市上，形形色色的摊位琳琅满目。
咱们的任务就是在这个平面上找出一个区域，比如说一个圆。
哈哈，圆就像是个圆饼，外边圆滑滑的，中心那块儿是甜甜的果馅。
可问题来了，咱们怎么去计算这个圆里面的面积呢？这就需要咱们用到二重积分了，听起来有点复杂，其实就像在包饺子，先把面团擀平，再放馅，最后捏紧封口。
说到二重积分，它就像是把平面上的每一个小块都给累加起来，找出总和。
这个过程呢，就像是在用放大镜观察每一个细节。
但是，平面坐标系里，横纵坐标都得用，动不动就搞得复杂。
不过，咱们聪明的数学家们早就想到了一个好办法：极坐标。
极坐标就像是为我们的集市指了一条明路，转个角，换个思路，简单得多。
极坐标到底是啥呢？简单来说，极坐标就是把我们原来的直角坐标系，转变成以某个点为中心的坐标系。
就像在舞会上，大家围着舞池转，那个中心点就是咱们的原点。
用极坐标表示的时候，咱们只需要两个东西：一个是到中心点的距离r，另一个是与某个固定方向的夹角θ。
是不是感觉一下子明亮了许多？这就像是把复杂的程序简化成了一个个小方块，轻轻松松就能拼出图案。
咱们要把这个极坐标运用到二重积分中。
普通的二重积分计算，要在x和y的范围内累加，麻烦得很。
而用极坐标，咱们只需要在r和θ的范围内来回切换。
比如，圆的半径r就是从0到某个具体的值，而θ则是从0转到2π，嘿嘿，真是顺畅得像在滑冰场上飞速滑行呢。
想象一下，咱们现在有一个圆盘，半径为R，想要计算这个圆盘的面积。
在极坐标下，面积的计算变得简单许多。
只需要用到这个公式：面积= ∫∫ dA = ∫∫ r dr dθ。
把这个公式想象成一碗丰盛的麻辣火锅，r就像火锅底料，dr和dθ是你往里面加的各种食材，最后煮出来的，就是美味的圆盘面积。
极坐标系怎么化为直角坐标系二重积分
极坐标系怎么化为直角坐标系二重积分## 极坐标系怎么化为直角坐标系二重积分在数学中，极坐标系和直角坐标系是两种常见的坐标系。
极坐标系常用于描述圆形对称的问题，而直角坐标系则常用于描述直线方程。
当需要计算极坐标系下的二重积分时，有时需要将其转化为直角坐标系下的积分形式。
本文将介绍如何将极坐标系化为直角坐标系下的二重积分。
要将极坐标系化为直角坐标系二重积分，我们需要使用雅可比行列式的概念。
雅可比行列式描述了一个坐标变换中的缩放因子。
对于从极坐标系到直角坐标系的转换，雅可比行列式可以写为：J = r其中，r 是极坐标系中的极径。
根据雅可比定理，二重积分的转换公式可以写为：∬f(r,θ) dA = ∬f(x,y) J dx dy其中，f(r,θ) 是极坐标系下的函数， f(x,y) 是其在直角坐标系下的函数。
dA 是极坐标系下的面积元素， dx dy 是直角坐标系下的面积元素。
下面我们通过一个具体的例子来说明如何将极坐标系化为直角坐标系二重积分。
假设我们想计算在极坐标系下一个圆形区域的面积，圆心位于原点，半径为R。
在极坐标系下，面积元素可以表示为dA = r dr dθ，其中 r 表示极径，θ 表示极角。
根据转换公式，我们可以写出转换后的积分形式：∬f(r,θ) dA = ∬f(x,y) J dx dy对于圆形区域，我们可以将函数f(r,θ) 取为常数 1，表示该区域上的面积。
∬f(r,θ) dA = ∬1 dA = ∬1 r dr dθ为了计算这个二重积分，我们需要确定直角坐标系下的积分限。
在直角坐标系中，圆形区域的方程为x^2 + y^2 ≤ R^2。
根据极坐标系和直角坐标系之间的关系，我们可以将其转化为极坐标系的方程：r^2 ≤ R^2由于我们要计算整个圆形区域的面积，所以积分限为整个圆域：0 ≤ r ≤ R0 ≤ θ ≤ 2π将积分限和函数代入转换后的积分形式，我们可以计算二重积分：∬f(r,θ) dA = ∬1 r dr dθ = ∫[0,2π] ∫[0,R] r dr dθ依次进行积分计算，我们可以得到最终结果：∬f(r,θ) dA = ∫[0,2π] ∫[0,R] r dr dθ= ∫[0,2π] [1/2 r^2] [0,R] dθ= ∫[0,2π] 1/2 R^2 dθ= 1/2 R^2 ∫[0,2π] dθ= 1/2 R^2 [θ] [0,2π]= 1/2 R^2 (2π - 0)= π R^2所以，圆形区域的面积为π R^2。
二重积分的极坐标及球坐标形式
二重积分的极坐标及球坐标形式二重积分是高等数学中的重要概念之一，它广泛应用于物理、工程等领域。
在二重积分的研究中，极坐标和球坐标形式是常用的计算方法。
本文将分别介绍二重积分的极坐标和球坐标形式，并探讨其应用。
一、二重积分的极坐标形式在笛卡尔坐标系中，平面上的点可以用坐标(x,y)表示。
而在极坐标系中，平面上的点可以用极径r和极角θ表示。
极径r表示该点到原点的距离，极角θ表示该点与x轴正半轴的夹角。
为了方便讨论，我们假设极径r和极角θ的取值范围为[0,∞) 和[0,2π)。
在极坐标系下，我们可以得到点(x,y)和(r,θ)之间的关系：x = rcosθy = rsinθ二重积分的极坐标形式可以通过变量替换来推导得出。
假设有一个二元函数f(x,y)，要计算其在平面区域D上的二重积分∬Df(x,y)dxdy。
我们可以通过极坐标变换将其转化为对极坐标的积分。
首先，确定极坐标变换的雅可比行列式。
在极坐标变换中，雅可比行列式为r。
然后，将函数f(x,y)用r和θ表示：f(x,y) = g(r,θ)。
通过雅可比行列式的变换，可得二重积分的极坐标形式为：∬Dg(r,θ)rdrdθ。
在计算二重积分的极坐标形式时，先固定θ的范围，将区域D投影到极径r上，得到r的取值范围。
然后，在每个r值下计算g(r,θ)关于r的积分，得到在该r值下的g(r,θ)r的积分。
最后，对θ进行积分，即可得到二重积分的极坐标形式的结果。
二、二重积分的球坐标形式在三维空间中，点可以用球坐标(r,θ,φ)表示。
球坐标(r,θ,φ)表示该点到原点的距离r，极角θ和方位角φ。
为了方便讨论，我们假设极径r和极角θ、方位角φ的取值范围为[0,∞)、[0,π]和[0,2π)。
在球坐标系下，我们可以得到点(x,y,z)和(r,θ,φ)之间的关系：x = rsinθcosφy = rsinθsinφz = rcosθ类似于极坐标的推导过程，我们可以通过球坐标变换将二重积分转化为对球坐标的积分。
二重积分坐标平移规则
二重积分坐标平移规则在进行二重积分计算时，经常会碰到需要进行坐标平移的情况。
坐标平移是一种常见的积分方法，它可以简化积分运算，减少计算量，提高计算效率。
本文将介绍二重积分坐标平移规则的基本概念和具体应用。
1. 坐标平移的基本概念在二维平面上，我们通常用直角坐标系来描述点的位置。
设平面上的一个点为(x,y)，则在坐标平移中，我们可以将点的位置平移至新的位置(x+a,y+b)。
这就是坐标平移的基本概念。
在二重积分中，我们经常需要对被积函数进行坐标平移，以简化积分运算。
2. 二重积分坐标平移规则假设我们要计算如下形式的二重积分：$$ \\iint_D f(x, y) \\, dx \\, dy $$其中D是一个平面区域，f(x,y)是定义在D上的函数。
为了简化积分运算，我们可以对被积函数进行坐标平移。
设(u,v)是(x,y)经过平移得到的新坐标，则可以得到关于(u,v)的新二重积分：$$ \\iint_{D'} f(u-a, v-b) \\, du \\, dv $$其中D′是D经过平移(a,b)后得到的区域。
根据积分的性质，上式等于原来的积分表达式，即：$$ \\iint_{D'} f(u-a, v-b) \\, du \\, dv = \\iint_D f(x, y) \\, dx \\, dy $$这就是二重积分坐标平移规则的基本形式。
通过坐标平移，我们可以将原积分转化为一个更简单的形式，从而简化积分运算。
3. 二重积分坐标平移规则的具体应用下面我们通过一个具体的例子来说明二重积分坐标平移规则的应用。
考虑如下二重积分：$$ \\iint_D (x+y)^2 \\, dx \\, dy $$其中D是由 $0 \\leq x \\leq 1, 0 \\leq y \\leq 1$ 所确定的区域。
为了简化积分运算，我们可以对(x,y)进行坐标平移，令u=x+y,v=x−y。
则原积分变为：$$ \\iint_{D'} u^2 \\, du \\, dv $$其中D′是经过坐标平移后的区域。
直角坐标二重积分转换极坐标
直角坐标二重积分转换极坐标1. 引言在数学的学习中，我们经常会遇到直角坐标系和极坐标系。
二重积分是微积分中的重要内容之一，而将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的积分是一个常见且有用的技巧。
本文将深入探讨直角坐标系下的二重积分如何转换为极坐标系下的积分，并解释其原理和应用。
2. 直角坐标系与极坐标系直角坐标系是我们最常见的坐标系之一，通常用来描述平面上的点的位置。
在直角坐标系中，一个点的位置由它到x轴和y轴的距离来确定。
而极坐标系则是另一种描述平面点位置的方式，它使用点到原点的距离和点与x轴正向的夹角来确定点的位置。
3. 直角坐标系下二重积分在直角坐标系中，二重积分表示对一个平面区域上的函数进行积分。
当我们需要计算某个特定区域的面积或者求解该区域上的函数平均值时，二重积分就派上了用场。
直角坐标系下的二重积分可以用累次积分的方式进行计算，通过在x轴方向和y轴方向进行积分得到结果。
4. 极坐标系下的二重积分将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的积分是一种常见的技巧。
在极坐标系下，二重积分的计算可以更加简洁和直观。
通过将积分区域用极坐标表示，并对极角和极径进行积分，求解直角坐标系下的二重积分变为求解极坐标系下的积分问题。
这种转换可以让一些复杂的积分问题变得更容易解决。
5. 转换原理和应用转换直角坐标系下的二重积分为极坐标系下的积分的原理在于利用极坐标系下的面积元素和直角坐标系下的面积元素之间的关系，将被积函数由直角坐标系下的变量转化为极坐标系下的变量。
这样做的好处在于能够简化被积函数，使得计算变得更加方便和直观。
在工程、物理等领域中，极坐标系下的二重积分转换常常能够简化问题，提高计算效率。
6. 个人观点从直角坐标系到极坐标系的转换是微积分学习中重要的一环，掌握这一技巧可以帮助我们更好地理解和运用二重积分。
在实际问题中，通过合理选择合适的坐标系和进行坐标转换，可以使得复杂的问题变得简单化。
我认为学习并掌握直角坐标系二重积分转换为极坐标系下积分是非常有益的。
21(3)二重积分的极坐标计算方法.
o
x
结束
x k o( ) x4 x1 x(u, v k ) x(u, v) v (u , v) 同理得 y2 y1 y h o( ) u (u , v) y k o( ) y4 y1 v (u , v) 当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 x2 x1 y2 y1 M 1M 2 M 1M 4 x4 x1 y4 y1
2 c
D
1 x2
a
2
y2 2 d xd b
y
D : r 1 , 0 2 ( x, y ) a cos a r sin J abr b sin b r cos ( r , )
V 2 c
D
1 r a b r d r d
(3)在变换下确定u,v的范围
D
;
(4)代入变换替换公式，化为关于u,v的二重积分;
(5)用§2求二重积分化为累次积分的方法求出其值。
题型一：引入变量替换后，化为累次积分； P242习题3
题型二：作适当的变量替换，计算二重积分。
P242习题4
d x d y , 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 e y 所围成的闭域. x y 2 解: 令 u y x , v y x , 则 D o x vu vu ( D D ) x ,y v v2 2 2 1 D ( x, y ) 1 1 2 2 u v uv J 1 1 (u , v) 2 2 2 o u
§4 二重积分的变量交换
教学内容： 1.二重积分的换元法; 2.二重积分的极坐标变换; 教学重点： 二重积分的变量变换: 1.线性变换;
二重积分和极坐标转换
二重积分和极坐标转换
二重积分和极坐标转换是数学中非常重要的内容，它们可以用于从一个函数变换到另一个函数，从而让理论变得简单化，并节省计算时间。
下面我们就对它们进行具体的讨论：
一、二重积分
1. 定义：二重积分是指对通过双重微积分，在给定的极限值范围内，进行两个定义域的积分操作，可以得到更精确的结果。
2. 应用范围：二重积分可以应用于物理、化学和工程方面，用于预测、实验设计、学习模型等等，追求精确、权威的结果。
3. 求和准则：二重积分要求在双重定义域内，先逐步进行求和，再在求和的结果上，再进行一次积分操作，从而求得所需的精确结果。
二、极坐标转换
1. 定义：极坐标转换是把直角坐标系中的点，利用极坐标表示。
使用极坐标系可以更容易地表示曲线或复杂曲线等函数，从而以准确的方式表示这些函数。
2. 应用范围：极坐标转换经常用于几何学分析中，常被用来描述圆形、椭圆形、偏心圆形、余弦曲线和正弦曲线等各种几何图形。
3. 转换公式：使用极坐标转换的时候，只需对直角坐标的极坐标系中的每一点应用下列公式，即可轻松转换成极坐标：x=r cosθ ； y=r sinθ，其中r 表示极坐标
系的半径，θ 为弧度。
综上所述，二重积分和极坐标转换是数学中不可或缺的重要内容，它们有着广泛的应用范围，可以用于简化复杂理论、节省计算时间，可以用于更容易地描述各
种几何图形。
由于它们的重要性，学习者在学习和使用它们的时候，要更加努力，以达到最好的精确结果。
二重积分的坐标变换
二重积分的坐标变换在数学中，二重积分是一种对二维平面区域上的函数进行积分的方法。
在计算二重积分时，坐标变换是一种常用的技巧。
通过适当选择新的坐标系，可以简化计算过程，使得原本复杂的积分变得更加容易处理。
1. 矩形坐标系下的二重积分首先，我们来回顾在矩形坐标系下的二重积分表示形式。
设函数f(x,y)在矩形区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分可以表示为：$$ \\iint\\limits_{D}f(x, y)\\,dx\\,dy $$其中，D可以表示为$D=\\{(x, y)|a \\leq x \\leq b, c \\leq y \\leq d\\}$。
2. 极坐标系下的坐标变换现在，假设我们要在极坐标系下计算函数f(x,y)在D上的二重积分。
对于极坐标系，我们可以进行如下的坐标变换：$$ \\begin{aligned} x & = r\\cos{\\theta} \\\\ y & = r\\sin{\\theta}\\end{aligned} $$其中，$0 \\leq r \\leq R$，$0 \\leq \\theta \\leq 2\\pi$。
这里R是极坐标中r 的最大值。
3. 极坐标系下的二重积分表示在极坐标系下，f(x,y)可以表示为$f(r\\cos{\\theta}, r\\sin{\\theta})$，且$dx\\,dy$可以表示为$r\\,dr\\,d\\theta$。
因此，在极坐标系下，f(x,y)在D上的二重积分可以表示为：$$ \\iint\\limits_{D}f(x, y)\\,dx\\,dy = \\iint\\limits_{D}f(r\\cos{\\theta},r\\sin{\\theta})\\,r\\,dr\\,d\\theta $$4. 坐标变换的应用通过坐标变换，我们可以将原本在矩形坐标系下复杂的二重积分转化为在极坐标系下更简单的形式。
二重积分的坐标变换
ar br
cos , sin ,
其中a 0, b 0, r 0, 0 2.
在这变换下 D D {(r, ) 0 r 1 , 0 2},
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结束
J ( x, y) abr.
(r, ) J 在 D内仅当 r 0 处为零， 故换元公式仍成立，
D
1
x2 a2
(2) 在 D 上雅可比式 J (u,v) ( x, y) 0; (u, v )
(3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f ( x, y)dxdy f [ x(u,v), y(u,v)]J (u,v)dudv.
D
D
证明见本课件末,不做要求.
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结束
yx
例题7 计算 e yx dxdy,其中D是由x轴、y 轴和支线 x y 2 D
换是一对一的．
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结束
定理 设 f ( x, y) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x(u,v), y y(u,v) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D， 且满足
(1) x(u,v), y(u,v) 在 D 上具有一阶连续偏导数；
1, 2
22
故
y x
e y xdxdy
e
u v
1
dudv
D
D
2
1
2
2
dv
0
u v
e v du
1
v
2
2(e e1 )vdv
0
e e1.
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二重积分的计算法直角坐标
二重积分的计算法直角坐标二重积分是计算二元函数在平面区域上的积分。
在直角坐标系中，二重积分的计算通常涉及到积分区域的边界方程、坐标变换、积分次序以及积分方法等。
首先，我们需要确定积分区域的边界方程。
对于一个平面区域D，其边界可以由直线、抛物线、圆和其他型曲线组成。
我们需要将边界方程进行参数化以便于积分求解。
具体的参数化方法视具体情况而定，这里以圆为例进行解释：若积分区域D被圆x^2+y^2=a^2所围成，我们可以将边界方程参数化为x=a*cosθ，y=a*sinθ，其中θ的取值范围为0到2π。
这样，我们就可以将二重积分的计算问题转化为对参数θ的积分。
接下来，我们需要进行坐标变换。
坐标变换的目的是将原有的直角坐标系转化为新的坐标系，以便于积分计算。
常用的坐标变换有极坐标变换和直角坐标系的转换。
在极坐标变换中，我们可以将二重积分的计算问题转化为极坐标系中的积分。
通过将原有的直角坐标系中的x和y用极坐标的r和θ表示，便可以将二重积分转化为极坐标系下的积分。
极坐标变换公式如下：x = r*cosθ，y = r*sinθ。
在直角坐标系的转换中，我们需要利用雅可比行列式对原有的直角坐标系进行转换。
例如，若引入新的变量u和v，则有：x=Φ(u,v)，y=Ψ(u,v)。
对于这种情况，我们需要计算雅可比行列式的值，ΦuΨv - ΦvΨu。
根据直角坐标的转换公式，我们可以计算出du和dv之间的关系。
然后，通过坐标变换将二重积分转化为新的变量u和v上的积分。
在确定了积分区域的边界方程和进行了坐标变换后，我们需要确定积分的次序。
二重积分的次序可以按照水平方向或者垂直方向进行。
选择合适的次序可以简化计算过程，提高计算效率。
对于次序的选择，可以根据积分函数本身的特点，以及积分区域的形状和边界方程进行判断。
通常情况下，我们选择次序是按照从内层到外层的顺序进行。
最后，我们需要选择适当的积分方法对二重积分进行计算。
常用的积分方法有直接计算、分部积分、换元积分、数值积分等。
椭圆二重积分极坐标
椭圆二重积分极坐标
广义极坐标变换：x=a rcost，y=b rsint，直角坐标(x，y) 极坐标（r，t），面积元素dxdy= a b r drdt，面积= t：0-->2pi，r：0-->1 被积函数是abr 的二重积=∫【0,2π】dt∫【0,1】abrdr=2π*ab*(1/2)=πab
根据极坐标和直角坐标的转化公式，代人D的不等式中即可，极坐标的基本公式x=rcosθ,y=rsinθ，由此可知x²+y ²=r^2，代人x²+y²≦x+y中有r^2≤rcosθ+rsinθ，由于r≥0，所以0≦r≦sinθ+cosθ。
注意事项：
熟记二重积分的性质，在运算中占有重要作用，特别是在繁琐的工科计算中，性质决定成败。
在给定条件下，学会画区域图像，画的越标准，越好，可以借助画图工具，图像画好，成功了一半。
区分此图像是X型还是Y型，X型平行于Y轴，Y型平行于X轴。
确定了之后根据各自的公式计算，切记一定要细心。
积分完成后，一定不要忘记相减，还有正负号的变正。
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D
i
d rdrd
o
极坐标下的面积元素
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd
D
D
A
rd d
d
dr r
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极坐标变换的适用情形:
积分区域为圆域或圆域的一部分,或被积函数形如 f ( x2 y2 )
注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下
1 ( )
r 2()
A
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(2) 区域特征如图
,
r 1( )
D
1( ) r 2( ).
f (r cos ,r sin )rdrd
D
o
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
2
2
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二重积分化为二次积分的公式: r-型区域
区域特征如图
2(r)
r1 r r2 ,
1(r) 2(r).
r2 D
r1
o r1
1(r)
r2 A
f (r cos ,r sin )rdrd
D
r2 rdr 2(r) f (r cos , r sin )d .
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若 f ≡1 则可求得D 的面积
d 1 2 2 ( ) d
D
20
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1) y r ( )
(2) y r ( )
D
D
o
x
ox
答: (1) 0 ; (2)
二重积分的变量代换
极坐标变换 一般变量代换
广义极坐标变换
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一、利用极坐标系计算二重积分
i
1 2 (ri
ri
)2
i
1 2
ri
2
i
1 2
(
2ri
ri
)ri
i
r ri ri r ri
i i i
ri ri i o(ri i ),
A
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3. 原点在区域的内部
区域特征如图
0 2, 0 r ( ).
D
f (r cos ,r sin )rdrd
D
o
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
r ( ) A
极坐标系下区域的面积 rdrd . D
的二重积分需要进行“三换”：
1.
坐 标 变 换 ： xy
r cos r sin
2. 微元变换：d dxdy rdrd
3. 区域变换：Dxy Dr
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
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y
解 在极坐标系下
D：0 r a，0 2
ex2 y2dxdy
2
d
a e r2 rdr
D
0
0
(1 ea2 ).
ax
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例 3 求广义积分 ex2dx . 0
解 D1 {( x, y) | x2 y2 R2 }
所以圆方程为 r 1,
直线方程为r
1
x y1
,
sin cos
f ( x, y)dxdy
2 d
1
1
f (r cos ,r sin )rdr.
0
D
sin cos
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例 2 计算 ex2 y2dxdy，其中 D 是由中心在
D
原点，半径为 a的圆周所围成的闭区域.
4
I2 ex2 y2 dxdy
D2
(1 e 2R2 ); 4
I1 I I2,
(1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1 e 2R2 );
4
0
4
当R 时,
I1
4
,
I2
4
,
故当R 时, ( e x2 dx)2 即 e x2 dx
0
4
0
2
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例 4 计算 ( x2 y2 )dxdy ，其 D 为由圆
D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {( x, y) | 0 x R,0 y R}
R 2R
{ x 0, y 0} 显然有 D1 S D2
e x2 y2 0,
e x2 y2 dxdy e x2 y2 dxdy ex2 y2dxdy.
D1
S
D2
又 I e x2 y2 dxdy R ex2dx R e y2dy ( R e x2 dx)2
0
0
0
S
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由上题结论
I1 e x2 y2 dxdy D1
2 d
R e r2 rdr
0
0
(1 e R2 )
r1
1 (r )
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例 1 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下
x y
r r
cos sin
x2 y2 1
1 ( )
r 2( )
A
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2. 原点在区域的边界上
区域特征如图 , 0 r ( ).
D
f (r cos ,r sin )rdrd
D
o
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
r ( )
二重积分化为二次积分的公式: θ-型区域
1. 原点在区域的外面
(1) 区域特征如图
r 1()
,
D
1( ) r 2( ).
o
f (r cos ,r sin )rdrd
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.