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2010年10月12日

瘦腿

第六周作业数学概念形成/同化的教学设计:函数的单调性

2010-10-16 19:31:37| 分类：学习| 标签：函数的单调性的教学设计|字号大中小订阅

一、创设情境，引入课题

1. 如图为某市一天内的气温变化图：

（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．

（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？

引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．

问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；

(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.

在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，是很有帮助的．

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．

〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．

二、归纳探索，形成概念

1．借助图象，直观感知

问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

归纳：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识．

〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．

2．探究规律，理性认识

问题1：下图是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？

学生的困难是难以确定分界点的确切位置．

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．

〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．

问题2：如何从解析式的角度说明函数为增函数？

〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.

3．抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．

【设计意图】这一阶段教师领导学生对函数单调性的概念进行了剖析，带领学生深入定义的表达形式，探索概念的本质。实现学生将概念从具体的图形表达形式化到一般的数学表达形式，实现了从具体到抽象的转化。事实上，这一阶段是对函数单调性的概念进行了第四次归纳——由数学符号叙述抽象到了形式化。

4．做一些判断题：

通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。

④函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在整个区间上是增（或减）函数．

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?

说明：要说明一个命题是正确的，必须给出完整的证明。说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可。

〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.

三、掌握证法，适当延展

出一些例题：

1．分析解决问题

针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流

2．归纳解题步骤

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形（因式分解、配方、不等式等）断号、定论．

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．

(2) 证明方法和步骤：求函数的定义域，设元、作差、变形、断号、定论．

(3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．

2．作业

书面作业：

课后探究：