必修五解三角形常考题型

必修五解三角形常考题型1.1正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理

【典型题剖析】

考察点1：利用正弦定理解三角形

例1在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.

例2在ABC中，已知，C=30°，求a+b的取值范围。

考察点2：利用正弦定理判断三角形形状

例3在△ABC中，2a·tanB=2b·tanA，判断三角形ABC的形状。

例4在△ABC 中，如果lg lg lg sin a c B -==-，并且B 为锐角，试判断此三角形的形状。

考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式

例5在△ABC 中，求证

222222

0cos cos cos cos cos cos a b b c c a A B B C C A

---++=+++.

例6在△ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，C=2B ，求证2

2

c b ab -=.

考察点4：求三角形的面积

例7在△ABC 中，a,b,c 分别是三个内角A,B,C 的对边，若2,,cos

4

25

B a

C π

==

=,求△ABC 的面积S.

例8已知△ABC 中a,b,c 分别是三个内角A,B,C 的对边，△ABC 的外接圆半径为12，且3

C π

=,

求△ABC 的面积S 的最大值。

考察点5：与正弦定理有关的综合问题

例9已知△ABC 的内角A,B 极其对边a,b 满足cot cot ,a b a A b B +=+求内角C

例10在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,且c=10,

cos 4

cos 3

A b

B a ==，求a,b 及△ABC

的内切圆半径。

『易错疑难辨析』

易错点 利用正弦定理解题时，出现漏解或增解

【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。 例1

（1） 在△ABC 中，6,30,;a b A B ===︒求

（2） 在△ABC 中，2,60,;a b A B ===︒求

易错点 忽略三角形本身的隐含条件致错

【易错点解析】解题过程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为180°等造成的错误。 例2在△ABC 中，若3,C B 求c

b

的取值范围。

『高考真题评析』

例1（2010·广东高考）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C

所对的边，若

1,2,a b A C B ==+=则sin _______C =

例2（2010·北京高考）如图1-9所示，在△ABC

中，若21,,3

b c C π=== 则_________.a =

1-9

例3（2010·湖北高考）在△ABC 中，15,10,60,a b A ===︒则cos B 等于（ ）

.3

A -

.3B .3C - 3D

例4（2010·天津高考）在△ABC 中，cos .cos AC B

AB C

= （1）求证 B C =；（2）若1cos 3A =-

，求sin 43B π⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭的值。

1.1.2 余弦定理

『典型题剖析』

考察点1： 利用余弦定理解三角形

例1：已知△ABC 中，3,30,b c B ===︒求A ，C 和a 。

例2：△ABC 中，已知6a b c ==+=A ，B ，C

考察点2： 利用余弦定理判断三角形的形状

例3：在△ABC 中，已知()()3,a b c a b c ab +++-=且2cos sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。

例4：已知钝角三角形ABC 的三边,2,4,a k b k c k ==+=+求k 的取值范围。

考察点3：利用余弦定理证明三角形中的等式问题 例5在中，a,b,c 分别是角A ，B ，C 的对边， （1）求证cos cos ;a B b A c +=（2）求证()2

21

cos cos .222

C A a a b c +=++

例6在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 。

（1）求证()222

sin ;sin A B a b c C --=（2）求证cos sin cos sin a c B B

b c A A

-=-

考察点4：正余弦定理的综合应用

例7：在ABC 中，已知)

1,30,b a C ==︒求,.A B

例8：设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222

,b c a +=+

（1）求A 的大小；（2）求()2sin cos sin B C B C --的值。

例9：设ABC 得到内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 3,sin 4.a B b A == （1）求边长a ；（2）若ABC 的面积S=10，求ABC 的周长l 。

『易错疑难解析』

易错点 利用余弦定理判断三角形的形状时出现漏解情况

【易错点辨析】在等式两边同时约去一个因式时，需要十分小心，当该因式恒正或恒负时可以约去，一定要避免约去可能为零的因式而导致漏解。

例1：在ABC 中，已知cos cos ,a A b B =试判断ABC 的形状

易错点 易忽略题中的隐含条件而导致错误

【易错点辨析】我们在解题时要善于应用题目中的条件，特别是隐含条件，全面、细致地分析问题，如下列题中的b ＞a 就是一个重要条件。

例2：在ABC 中，已知2,15,a b C ===︒求A 。

『高考真题评析』

例

1：（2011.山东模拟）在

ABC 中，D 为BC 边上一点，

3,135,BC BD AD ADB ==∠=︒若,AC =则__________.BD =

例2：（2010.天津高考）在

ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若

22,sin ,a b C B -==则A 等于（ ）

A ．30° B.60° C.120° D.150°