艺术生高考数学专题讲义：考点7 指数与指数函数

考点七 指数与指数函数

知识梳理

1．根式

如果a ＝x n ，那么x 叫做a 的n 次实数方根(n >1且n ∈N *)，当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数的n 次实数方根是一个负数，记为：n

a ；当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，它们互为相反数，记为：±n a .式子n

a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (1)两个重要公式

① n

a ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （n 为奇数），|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a <0）（n 为偶数）； ② (n a )n ＝a (注意a 必须使n

a 有意义)． (2)0的任何次方根都是0． (3)负数没有偶次方根． 2．分数指数幂 (1)分数指数幂的概念：

①正分数指数幂：a m n

＝n

a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a

m n -＝

1

a m n

＝

1n a m

(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋

s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a r s (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．无理数指数幂

一般地，无理数指数幂a r (a >0，r 是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 4．指数函数的图象与性质

图象

定义域 R 值域

(0，＋∞)

性质

过点(0,1)，即x ＝0时y ＝1

当x >0时，y >1； 当x <0时，00时，01 是R 上的增函数

是R 上的减函数

典例剖析

题型一 指数幂的化简与求值 例1 的值是 ．

答案 －3 解析

.

变式训练 下列各式正确的是 ．(填序号) ① ②

④a 0＝1

答案

解析 根据根式的性质可知

正确．

，a ＝1条件为(a ≠0)，故①、②、④错．

例2 化简或求值

(1)

(2)

(a 2

3

·b －1

)

12

-·a

1

2

-

·b

1

3

6

a ·

b 5

解析 (1)原式=

=

.

(2)原式＝

a

13

-

b 12

·a 12

-b

13

a 16

b

56

＝a

111326

---·b

115

236

+-＝1a

. 解题要点 指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．题型二指数函数的图象和性质

例3函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是．(填序号)

①a>1，b<0 ②a>1，b>0 ③00 ④0

答案④

解析由f(x)＝a x－b的图象可以观察出函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0

变式训练指数函数y=恒过的定点为．

答案(，2)

解析由函数y=a x恒过(0，1)点,

可得当3x－2=0，即时，y=2恒成立,

故函数恒过点(，2).

故答案为：(，2)．

题型三指数值的大小比较

例4设，则y1、y2、y3的大小关系是．

答案y1＞y3＞y2

解析．

因为函数y=2x在定义域上为单调递增函数，所以y1＞y3＞y2．

变式训练若，则x的取值范围是．

答案(－∞，－3)

解析原不等式可化为，而指数函数y=是定义在R上的减函数,

所以x＜－3.

解题要点比较大小时，首先要观察有无同底或是同指数的，①若指数相同，底数不同，则利用幂函数的单调性；②若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性；③若底数不同，指数也不同，应寻找中间值(常用0，1)进行比较.

当堂练习

1．

11

2

22

111

323

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，，的大小关系是________．

答案

11 2

22 111 332⎛⎫⎛⎫⎛⎫

<<

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

解析函数

1

3

x

y

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

是减函数，由

1

2

3

>，知

1

2

2

11

33

⎛⎫⎛⎫

<

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

；

又

11

22

1

2

1

2

11

3

22

1

12

1

3

3

⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎛⎫

⎝⎭==>

⎪ ⎪

⎝⎭

⎪

⎛⎫

⎝⎭

⎪

⎝⎭

，由函数

3

2

x

y

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

的性质，知

1

2

3

1

2

⎛⎫

>

⎪

⎝⎭

，故

11

22

11

23

⎛⎫⎛⎫

>

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

；

所以

11

2

22 111 332

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

<<

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.

2．函数y＝a x－3＋3恒过定点________．

答案(3，4)

解析当x＝3时，f(3)＝a3－3＋3＝4，所以f(x)必过定点(3，4)．

3. 已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域．

答案[1,9]

解析由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.

4．化简的结果是．

答案

解析

5．若指数函数y=(a－2)x在(－∞，+∞)上是减函数，那么解得．

答案A