概率论第三章：二维随机变量及其联合分布

第三章 二维随机变量及其联合概率分布

考试内容：

二维随机变量的联合分布函数 / 离散型二维随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布 / 连续型二维随机变量的联合概率密度、边缘密度/ 随机变量的独立性和相关性 / 常见二维随机变量的概率分布 / 两个随机变量的函数的概率分布 考试要求：

1、理解二维随机变量的联合分布函数的概念和基本性质。

2、理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式：离散型二维随机变量联合概率

分布和连续型二维随机变量联合概率密度。掌握已知两个随机变量的联合分布时分别求它们的边缘分布的方法。

3、理解随机变量的独立性和相关性的概念，掌握随机变量独立的条件；理解随机变量的不相关性与独

立性的关系。

4、掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义。

5、掌握根据两个随机变量的联合概率分布求其函数概率分布的方法。

一、知识要点

1、二维随机变量的分布函数

),(Y X 的联合分布函数 },{),(y Y x X P y x F ≤≤=， 性质:1),(0≤≤y x F ，单调不减，右连续，

0),(=-∞-∞F ，0),(=-∞y F ，0),(=-∞x F ，1),(=+∞+∞F ； X 的边缘分布函数：),()(+∞=x F x F X ； Y 的边缘分布函数：),()(y F y F Y +∞=.

2、二维离散型随机变量),(Y X

联合分布律：ij j p y Y x X P ===),(1， ,2,1,=j i ，一般用矩形表格列出； 边缘分布律：⋅===∑i j

ij

i p p

x X P 记)(， ,2,1=i

j i

ij

j p p

y Y P ⋅==

=∑记)(， ,2,1=j .

3、二维连续型随机变量),(Y X

若⎰⎰

∞-∞

-=

x y

v u v u f y x F d d ),(),(，称),(y x f 为),(Y X 的联合密度函数；

),(y x f 的性质:

(1) 0),(≥y x f ；

(2)

1d d ),(=⎰⎰

∞+∞-∞

+∞

-y x y x f ；

(3)若),(y x f 连续，则

),()

,(2y x f y

x y x F =∂∂∂； (4)⎰⎰=

∈D

y x y x f D Y X P d d ),(}),{(；

边缘密度: ⎰

∞

+∞

-=

y y x f x f X d ),()(；⎰

∞

+∞

-=

x y x f y f Y d ),()(；

二维均匀分布：⎪⎩

⎪⎨⎧∈=其它 , 0),( , 1

),(D

y x S y x f D ，D S 为D 的面积；

二维正态分布);,;,(2

22

121ρσσμμN ：

⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=2

22

221121122212)1(21exp 121),(σμσμσμρσμρρσπσy y x x y x f 其边缘分布分别为一维正态分布),(~211σμN X ，),(~2

22σμN Y .

4、随机变量的独立性

若)()(),(y F x F y x F Y X ⋅=，称X 与Y 相互独立； 离散型：j i ij p p p ⋅⋅=. ， ,2,1,=j i ；

连续型：)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=)()(y f x f Y X ⋅=，R y x ∈,.

5、条件分布

离散型：在j y Y =条件下X 的条件分布为

j

ij j i p p y Y x X P ⋅=

==)|(， ,2,1=j .

6、二维随机变量函数的分布

主要研究Y X Z +=的分布： 连续型，卷积公式：⎰

∞

+∞

--=

x x z x f z f Z d ),()(或⎰

∞

+∞

--=y y y z f z f Z d ),()(；

若Y X ,相互独立，则⎰

∞

+∞

--=

x x z f x f z f Y X Z d )()()(或⎰

∞+∞

--=y y f y z f z f Y X Z d )()()(；

可加性定理：

(1) 设),(~p m B X ，),(~p n B Y ，且Y X ,相互独立，则),(~p n m B Y X ++； (2) 设)(~1λP X ，)(~2λP Y ，且Y X ,相互独立，则)(~21λλ++P Y X ;

(3) 设),(~2

11σμN X ，),(~2

22σμN Y ，且Y X ,相互独立，则有

),(~2

22121σσμμ+++N Y X ;

推广到有限多个，若),(~2

i i i N X σμ，n i ,,2,1 =，且n X X X ,,,21 相互独立，则有

∑∑∑====n i n

i i i i i n i i i a a N X a Z 1

1

221

),(~σμ，

称为正态分布的可加性.

二、典型例题

题型1：二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布

【例1】 (研97) 设两个随机变量X 和Y 相互独立且同分布：2

1}1{}1{=

-==-=Y P X P ，