离散数学部分概念和公式总结
离散知识点公式总结
离散知识点公式总结1. 集合论集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象所组成的一个整体。
集合之间的运算包括并集、交集、差集、补集等。
其相关公式如下：- 并集：对于集合A和B，它们的并集定义为包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。
公式：A∪B={x|x∈A或x∈B}- 交集：对于集合A和B，它们的交集定义为同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。
公式：A∩B={x|x∈A且x∈B}- 差集：对于集合A和B，A与B的差集定义为属于A但不属于B的元素所组成的集合，记作A-B。
公式：A-B={x|x∈A且x∉B}- 补集：对于集合A，相对于全集合U而言，A的补集定义为全集合中不属于A的元素所组成的集合，记作A'。
公式：A'={x|x∈U且x∉A}2. 关系和函数关系是一种描述元素之间的对应关系的数学工具，而函数则是一种特殊的关系。
在离散数学中，关系和函数的定义和性质是非常重要的内容。
其相关公式如下：- 关系R：对于集合A和B，关系R定义为A和B的笛卡尔积中的元素对所组成的集合。
公式：R={(a,b)|a∈A且b∈B}- 函数f：对于集合A和B，如果f是从A到B的一个映射，那么对于任意元素a∈A，都有唯一的元素b∈B与之对应。
公式：f:A→B3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由顶点和边组成的数学结构。
图论的基本概念包括图的类型、路径和回路、连通性、树等。
其相关公式如下：- 有向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是有方向的，则称G为有向图。
公式：G=(V,E)，E={(u,v)|u,v∈V，u→v}- 无向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是无方向的，则称G为无向图。
公式：G=(V,E)，E={{u,v}|u,v∈V，u≠v}- 路径：在图G中，顶点v1,v2,...,vn的一个路径是图G中的一个顶点序列，其中相邻的顶点用一条边连接。
公式：v1,v2, (v)- 回路：在图G中，如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，则称其为回路。
离散数学重要公式定理汇总分解
离散数学重要公式定理汇总分解离散数学是计算机科学领域中的一门基础课程，它主要研究离散结构和离散对象之间的关系。
离散数学中有许多重要的公式和定理，这些公式和定理在计算机科学和其他领域中有广泛的应用。
下面是对离散数学中一些重要的公式和定理的汇总。
1.集合：-幂集公式：一个集合的幂集是所有它子集的集合。
一个集合有n个元素，那么它的幂集有2^n个元素。
-集合的并、交、差运算规则：并集运算满足交换律、结合律和分配律；交集运算也满足交换律、结合律和分配律；差集运算不满足交换律和结合律。
2.逻辑：-代数运算规则：多个逻辑表达式的与、或、非运算满足交换律、结合律和分配律。
-归结原理：对于一个给定的只包含“合取”和“析取”的合式公式集合，如果假设集合中的每个合式公式都为真，以及从这些前提出发，不能推导出这个集合中的一个假命题，则称这个假设集合是不一致的。
3.图论：-图的欧拉路径和欧拉回路：对于一个连通的图，如果它存在欧拉路径，那么这个图中最多只有两个度数为奇数的节点；如果一个连通的图存在欧拉回路，那么所有节点的度数都是偶数。
-图的哈密顿路径和哈密顿回路：对于一个图，如果它存在哈密顿路径，那么这个图中任意两个不相邻的节点u和v之间必然存在一条边；如果一个图存在哈密顿回路，那么从任意一个节点开始，可以经过图中的所有节点且最后回到起点。
4.代数结构：-子群定理：如果G是群H的一个子集，并且G是关于群H的运算封闭的，那么G是H的一个子群。
- 同态定理：如果f是从群G到群H的一个满射同态，那么G的核ker(f)是G的一个正规子群，而H是G/ker(f)的同构像。
5.排列组合：-排列公式：从n个元素中取出m个元素进行排列，有P(n,m)=n!/(n-m)!-组合公式：从n个元素中取出m个元素进行组合，有C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)以上只是离散数学中一小部分重要的公式和定理，这些公式和定理在计算机科学、密码学、图形学等领域中有广泛的应用。
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式∀x A和∃x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
离散数学定义(必须背)
命题逻辑▪令狐采学▪(论域)定义：论域是一个数学系统，记为D。
它由三部分组成：•(1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体；•(2) 一个关于D的函数集合F；•(3)一个关于D的关系集合R。
▪（逻辑连接词）定义•设n>0,称为{0,1}n到{0,1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词。
•若n =0，则称为0元函数。
▪（命题合式公式）定义：•(1).常元0和1是合式公式；•(2).命题变元是合式公式；•(3).若Q,R是合式公式，则(Q)、(Q R) 、(Q R) 、(Q R) 、(Q R) 、(Q R)是合式公式；•(4).只有有限次应用(1)—(3)构成的公式是合式公式。
▪（生成公式）定义1.5 设S是联结词的集合。
由S生成的公式定义如下：•⑴若c是S中的0元联结词，则c是由S生成的公式。
•⑵原子公式是由S生成的公式。
•⑶若n≥1，F是S中的n元联结词，A1,…,An是由S生成的公式，则FA1…An是由S生成的公式。
▪（复杂度）公式A的复杂度表示为FC(A)•常元复杂度为0。
•命题变元复杂度为0，如果P是命题变元，则FC (P)=0。
•如果公式A=B，则FC (A)=FC(B)+1。
•如果公式A=B1 B2，或A=B1 B2，或A=B1B2，或A=B1 B2，或A=B1 B2，或则FC (A)=max{FC(B1), FC(B2)}+1。
▪命题合式公式语义•论域：研究对象的集合。
•解释：用论域的对象对应变元。
•结构：论域和解释称为结构。
•语义：符号指称的对象。
公式所指称对象。
合式公式的语义是其对应的逻辑真值。
▪（合式公式语义）设S是联结词的集合是{，，，，，}。
由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下：•⑴v(0)=0, v(1)=1。
•⑵若Q是命题变元p，则v(A)= pv。
•⑶若Q1,Q2是合式公式▪若Q= Q1，则v(Q)= v(Q1)▪若Q=Q1 Q2，则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪若Q=Q1∨Q2，则v(Q)=v(Q1)∨v(Q2)▪若Q=Q1Q2，则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪若Q=Q1 Q2，则v(Q)=v(Q1) v(Q2)▪若Q=Q1Q2，则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪（真值赋值）由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下：•⑴若Q是S中的0元联结词c，则v(Q)=c。
离散数学基本公式
离散数学基本公式离散数学是数学的一个重要分支，它主要研究的是非连续的、分离的对象，如集合、图论、数论、逻辑等。
在这些领域中，一些基本的公式和定理是理解和应用离散数学的关键。
以下是一些离散数学的基本公式：1、德摩根定律德摩根定律是布尔代数中的基本公式之一，它表示对于任何逻辑运算，如果我们把所有的否命题和原命题结合在一起，我们就会得到一个恒等式。
用符号表示为：P ∧ Q) ∨(¬P ∧¬Q) ≡ P ∨ QP ∨ Q) ∧(¬P ∨¬Q) ≡ P ∧ Q2.集合论中的互补律在集合论中，互补律表示对于任何集合A和它的补集A'，我们有：A ∪ A' = U,其中U是全集A ∩ A' = ∅,其中∅表示空集3.图论中的欧拉公式欧拉公式是图论中的一个基本公式，它表示对于一个连通无向图G，其顶点数v、边数e和欧拉数euler(G)之间有以下关系：euler(G) = v + e - 2其中euler(G)是图G的欧拉数，v是图G的顶点数，e是图G的边数。
这个公式在计算图的欧拉数或者判断一个图是否连通等方面都有重要应用。
4.数论中的费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理，它表示对于任何正整数n，如果它是质数p的幂次方，那么我们可以找到一个整数x，使得x的n 次方等于1（模p）。
用数学语言表示为：x^n ≡ x (mod p)其中n是正整数，p是质数，x是整数。
这个定理在密码学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
5.逻辑中的排中律和反证法排中律是指对于任何命题P，P或非P必定有一个是真命题。
反证法则是通过假设相反的命题成立来证明原命题的一种方法。
在证明过程中，如果假设的相反命题成立会导致矛盾，那么原命题就一定是正确的。
这些公式和定理只是离散数学中的一小部分，但它们是理解和应用离散数学的基础。
在学习的过程中，我们还需要掌握更多的公式和定理，以及它们的应用方法。
离散数学公式范文
离散数学公式范文离散数学是一门关于离散结构及其运算规则的数学课程。
它研究的对象包括离散对象（如集合、图、函数等）和离散运算（如关系、代数运算等），以及这些对象和运算之间的关系和性质。
离散数学具有广泛的应用领域，如计算机科学、信息技术、电子通信等。
本文将介绍一些离散数学中常用的公式及其应用。
一、集合公式1.交集运算：对于集合A和B，它们的交集记作A∩B，定义为A和B 中都包含的元素所组成的集合。
A∩B={x，x∈A且x∈B}2.并集运算：对于集合A和B，它们的并集记作A∪B，定义为A和B 中所有元素所组成的集合。
A∪B={x，x∈A或x∈B}3.差集运算：对于集合A和B，它们的差集记作A-B，定义为属于A 但不属于B的元素所组成的集合。
A-B={x，x∈A且x∉B}4.对称差运算：对于集合A和B，它们的对称差记作A△B，定义为属于A或属于B但不同时属于A和B的元素所组成的集合。
A△B={x，(x∈A且x∉B)或(x∉A且x∈B)}二、数学归纳法数学归纳法是一种证明方法，用于证明一类命题对于所有正整数成立。
它的基本思想是通过证明基本情况成立，然后证明如果对于一些正整数n成立，则对于n+1也成立，从而得出结论对于所有正整数成立。
数学归纳法的三个步骤：1.基础步骤：证明当n取最小值时命题成立。
2.归纳假设：假设当n=k时命题成立，即P(k)成立。
3.归纳步骤：证明当n=k+1时命题也成立，即P(k+1)成立。
三、逻辑公式逻辑公式是描述命题之间关系的数学表达式。
常用的逻辑公式有如下几种：1.否定：对于命题p，它的否定记为¬p，表示p是假的。
2.合取：对于命题p和q，它们的合取记为p∧q，表示p和q同时为真时整个表达式才为真。
3.析取：对于命题p和q，它们的析取记为p∨q，表示p和q至少有一个为真时整个表达式才为真。
4.蕴含：对于命题p和q，它们的蕴含记为p→q，表示如果p为真，则q也为真；如果p为假，则整个表达式为真。
离散数学的基础知识点总结
离散数学的基础知识点总结离散数学是研究离散结构和离散对象的数学分支。
它以集合论、图论和逻辑等为基础，涉及了许多重要的基础知识点。
下面是对离散数学的基础知识点进行的总结。
1. 集合论（Set theory）：集合论是离散数学的基础，涉及了集合的概念、运算和恒等关系，以及集合的分类、子集、幂集和笛卡尔积等基本概念和性质。
2. 逻辑（Logic）：逻辑是离散数学的重要组成部分，涉及了命题逻辑和谓词逻辑的基本概念和推理规则，包括命题的真值表、谓词的量化、逻辑等价和逻辑蕴含等概念。
3. 函数（Functions）：函数是离散数学中的核心概念之一，涉及了函数的定义、域和值域、函数的性质、特殊的函数（如恒等函数、常值函数、单射函数和满射函数等）以及函数的复合和逆函数等。
4. 关系（Relations）：关系是离散数学中的另一个核心概念，涉及了关系的定义、关系的特性（如自反性、对称性、传递性和等价关系等）、关系的闭包和自反闭包、关系的图示表示和矩阵表示、等价关系和偏序关系等。
5. 图论（Graph theory）：图论是离散数学的重要分支，涉及了图的基本概念（如顶点、边、路径和圈等）、图的表示方法（如邻接矩阵和邻接表等）、图的遍历算法（如深度优先和广度优先等）、图的连通性和可达性、最小生成树和最短路径等基础知识。
7. 代数结构（Algebraic structures）：代数结构是离散数学的一个重要方向，涉及了群、环、域和格等基本代数结构的定义、性质和分类，以及同态映射和同构等概念。
8. 数论（Number theory）：数论是离散数学的一个重要分支，涉及了自然数的性质和结构，包括质数和素数、最大公因数和最小公倍数、同余和模运算、欧几里得算法和扩展欧几里得算法、费马小定理和欧拉函数等。
9. 排序和选择（Sorting and selection）：排序和选择是离散数学中的一类重要问题，涉及了各种排序算法（如冒泡排序、插入排序、快速排序和归并排序等）和选择算法（如选择排序和堆排序等），以及它们的复杂度分析和应用。
离散数学必备知识点总结汇总
离散数学必备知识点总结汇总
1.集合论：集合的概念、元素、子集、交集、并集、差集、补集、空集、集合的运算、集合的等价关系、集合的序关系等。
2.命题逻辑：命题的概念、命题的联接词（与、或、非）、命题的否
定形式、命题的蕴涵、等价命题、命题的充分条件和必要条件、命题的合
取范式和析取范式、蕴涵式、逻辑等价式、命题的否定形式的推理。
3.谓词逻辑：谓词的概念、谓词的量化、全称量化和存在量化、谓词
逻辑的等价式和推理规则、归纳定理和应用。
4.关系：关系的概念、关系的性质、关系的运算、关系的性质和关系
的代数结构。
5.图论：图的概念、图的表示、连通图、树、度数和定理、欧拉图、
哈密顿图、图的平面性质等。
6.混合图：有向图、无向图、有向图和无向图的表示、混合图的回路、可达矩阵、连通度、强连通图等。
7.布尔代数：布尔运算、布尔函数、布尔代数的运算规则、完备性和
最小化。
8.代数结构：半群、群、环、域的定义和性质、同态和同构。
9.组合数学：排列组合、二项式系数、排列、组合、分配原理、鸽巢
原理、生成函数、容斥原理等。
10.图的着色：图的着色问题、邻接矩阵、边界点、图的着色问题的
算法、四色定理等。
11.概率论：基本概念、概率的性质、条件概率、独立事件、贝叶斯定理、随机变量、概率分布函数、期望、方差、协方差、相关系数、大数定理和中心极限定理等。
12.递归：递归关系、递归函数、递归算法、递归树、递归求解等。
离散数学知识点(可编辑修改word版)
1.内容及范围主要来自 ppt，标签对应书本2.可能有错，仅供参考离散数学知识点说明：定义：红色表示。
定理性质：橙色表示。
公式：蓝色表示。
算法: 绿色表示页码：灰色表示数理逻辑：1.命题公式：命题，联结词(⌝，∧，∨，→，↔)，合式公式，子公式2.公式的真值：赋值，求值函数，真值表，等值式，重言式，矛盾式3.范式：析取范式，极小项，主析取范式，合取范式，极大项，主合取范式4.联结词的完备集：真值函数，异或，条件否定，与非，或非，联结词完备集5.推理理论：重言蕴含式，有效结论，P 规则，T 规则， CP 规则，推理6.谓词与量词:谓词，个体词，论域，全称量词，存在量词7.项与公式:项，原子公式，合式公式，自由变元，约束变元，辖域，换名，代入8.公式语义:解释，赋值，有效的，可满足的，不可满足的9.前束范式:前束范式10.推理理论:逻辑蕴含式，有效结论，∀-规则（US），∀+规则（UG），∃-规则(ES)，∃+规则(EG), 推理集合论：1.集合: 集合, 外延性原理, ∈, ⊆, ⊂, 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补, 对称差2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包 r(R),对称闭包 s(R), 传递闭包 t(R)4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射，反函数, 复合函数7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集代数结构：1.运算及其性质：运算，封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的，幺元,零元,逆元2.代数系统：代数系统，子代数，积代数，同态，同构。
离散数学代数结构部分
离散数学代数结构部分离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的、分离的、离散化的对象和结构。
其中代数结构是离散数学的一个重要部分，涉及到一些常见的代数结构，如群、环和域等。
下面将从群、环和域三个方面展开，对离散数学中的代数结构进行详细介绍。
一、群群是离散数学中的一个基本代数结构，它由三个主要部分组成：集合、运算和满足一定性质的公理。
具体地，一个群G是一个非空集合，也即G={a,b,c,...}，其中的元素a、b、c等叫做群的元素。
除此之外，群还具有一个二元运算，记作"·"，满足以下四个公理：1.封闭性公理：对于群的任意两个元素a、b，它们的乘积c=a·b仍然属于G，即c∈G。
2.结合律公理：对于群的任意三个元素a、b、c，(a·b)·c=a·(b·c)。
3.单位元公理：群中存在一个特殊的元素e，称为单位元，满足对于任意元素a，有a·e=e·a=a。
4.逆元公理：对于群中任意元素a，存在一个元素b，使得a·b=b·a=e，其中e是群的单位元。
群结构的研究对于解决各类数学问题具有重要意义。
例如，在密码学中，通信双方使用群的运算来实现加密和解密的功能。
二、环环是另一个重要的代数结构，在离散数学中有广泛的应用。
一个环R由一个非空集合以及两个满足一定条件的二元运算分别组成。
对于一个环R={G,+,·}，其中G是一个非空集合，"+"和"·"分别是R上的两个二元运算，满足以下四个公理：1.集合G关于"+"构成一个阿贝尔群，即对于任意的a、b、c∈G，满足以下性质：(a+b)+c=a+(b+c)，存在单位元0，对于任意元素a，有a+0=0+a=a，对于任意元素a，存在一个元素-b，使得a+(-b)=-b+a=0，且满足交换律性质：a+b=b+a。
离散数学知识点
离散数学知识点摘要：离散数学是计算机科学和数学的一个分支，它专注于非连续结构的研究。
本文旨在概述离散数学的核心知识点，包括集合论、逻辑、关系、函数、图论、组合数学和递归等。
1. 集合论- 集合的基本概念：集合是离散数学的基础，它是一组明确的、无重复的对象的集合。
- 集合运算：包括并集、交集、差集、补集等。
- 幂集：一个集合所有子集的集合。
- 笛卡尔积：两个集合所有可能的有序对的集合。
2. 逻辑- 命题逻辑：研究命题（声明的真值）和它们之间的关系，如合取、析取、否定等。
- 谓词逻辑：使用量词（如全称量词和存在量词）来表达更复杂的逻辑关系。
- 逻辑推理：包括直接证明、间接证明和归谬法等。
3. 关系- 关系的定义：一个集合到另一个集合的有序对的集合。
- 关系的类型：自反性、对称性和传递性等。
- 关系的闭包：在给定关系下，集合的最小闭包。
4. 函数- 函数的定义：一个集合到另一个集合的映射，每个元素有唯一的像。
- 函数的类型：单射、满射和双射。
- 复合函数：两个函数可以组合成一个新的函数。
5. 图论- 图的基本概念：由顶点（节点）和边组成的结构。
- 图的类型：无向图、有向图、连通图、树等。
- 图的算法：如最短路径、最小生成树、图的着色等。
6. 组合数学- 排列和组合：从n个不同元素中取出r个元素的不同排列和组合的数量。
- 二项式定理：描述了二项式的幂展开的系数。
- 生成函数：一种编码序列的方法，用于解决复杂的计数问题。
7. 递归- 递归定义：一个对象通过引用比自己更小的版本来定义。
- 递归函数：在计算机程序中，一个函数调用自身来解决问题。
结论：离散数学为理解和设计计算机系统提供了基础工具和理论。
它的知识点广泛应用于算法设计、数据结构、编程语言理论和数据库等领域。
掌握离散数学对于任何希望在计算机科学领域取得进展的人来说都是至关重要的。
本文提供了一个简洁的离散数学知识点概述，每个部分都直接针对一个主题，避免了不必要的背景信息和解释。
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、数理逻辑等领域都有着广泛的应用。
下面就来对离散数学的一些重要知识点进行整理。
一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合是由一些确定的、彼此不同的对象所组成的整体。
集合的表示方法有列举法和描述法。
列举法就是将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来。
描述法是通过描述元素所具有的性质来确定集合。
集合之间的关系包括子集、真子集、相等。
如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集；如果 A 是 B 的子集且 A 不等于 B，那么 A 是 B 的真子集；如果集合 A 和集合 B 的元素完全相同，那么 A 和 B 相等。
集合的运算有并集、交集、差集和补集。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同的元素组成的新集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的新集合；补集是在给定的全集 U 中，去掉集合 A 中的元素所得到的新集合。
二、关系关系是集合论中的一个重要概念，它描述了两个集合元素之间的某种联系。
关系可以用关系矩阵和关系图来表示。
关系矩阵是一个二维矩阵，用于表示两个有限集合之间的关系；关系图则是用顶点和边来表示关系。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
自反性是指集合中的每个元素都与自身有关系；反自反性则是集合中的每个元素都与自身没有关系；对称性是如果 a 与 b 有关系，那么 b 与 a 也有关系；反对称性是如果 a 与 b 有关系且 b 与 a 有关系，那么 a 等于 b；传递性是如果 a 与 b 有关系，b 与 c 有关系，那么 a 与 c 有关系。
等价关系是一种具有自反性、对称性和传递性的关系，它可以将集合划分为等价类。
偏序关系是一种具有自反性、反对称性和传递性的关系，它可以引出偏序集的概念。
三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
离散数学(一)知识梳理
离散数学（一）知识梳理逻辑和证明部分命题逻辑题型命题符号化问题将自然语言转为符号化逻辑命题用命题变量来表示原子命题用命题联结词来表示连词命题公式的类型判断判断命题公式是否是永真式、矛盾式、可能式利用真值表判断利用已知的公式进行推理判断利用主析取和合取范式判断定理：A为含有n个命题变元的命题公式，若A的主析取范式含有2^n个极小项，则A为重言式，若极小项在0到2^n之间，则为可满足式，若含有0个极小项，则A为矛盾式；若A的主合取范式含有2^n个极大项，则A为矛盾式，若极小项在0到2^n之间，则为可满足式，若含有0个极小项，则A为重言式翻译：一个命题公式化成主范式后，若所有项都分布在主析取范式中（主合取范式为1）则为重言式；若所有项都分布在主合取范式中（主析取范式为0）则为矛盾式；若均有分布，则为可满足式。
【思想来源：真值表法求主范式】一个质析取式是重言式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式；一个质合取式是矛盾式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每项都是矛盾式；一个合取范式是重言式当且仅当它的每项都是重言式求（主）析取或合取范式等值演算法1. 利用条件恒等式消除条件（蕴含和双条件）联结词，化简得到一个范式2. 在缺项的质项中不改变真值地添加所缺项，化简得到一个主范式3. 找出包含所有命题变元排列中剩余项，凑出另一个主范式（思想上类似于真值表法）真值表法1. 画出命题公式真值表2. 根据真值表结果求出主范式主析取范式：真值为1的所有项，每一项按对应01构成极小项主合取范式：真值为0的所有项，每一项按对应01构成极大项形式证明与命题推理利用推理规则构造一个命题公式的序列，证明结论形式证明：命题逻辑的论证是一个命题公式的序列，其中每个公式或者是前提，或者是由它之前的公式作为前提推得的结论，序列的最后一个是待证的结论，这样的论证也称为形式证明。
核心方法把非条件语句全部转为条件语句利用条件的逆否命题和双条件的拆分利用重言式/矛盾式来不改变真值地添项蕴含证明规则：A1,A2, …, An⇒ A → B 等价于A1,A2, …,An,A⇒ B【意义：使用结论的前提时应标为附加前提】（适用：结论为条件语句）反证法：若要证A1,A2, …, An⇒ B，将ØB加入前提，通过证明：A1,A2, …, An, ØB⇒ C, ØC完成证明。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结1. 集合论- 集合的基本概念：集合、元素、子集、幂集、并集、交集、差集、补集。
- 集合的运算：德摩根定律、分配律、结合律、交换律。
- 有限集合和无限集合：可数与不可数集合、阿列夫零、阿列夫一。
2. 数理逻辑- 命题逻辑：命题、联结词、真值表、逻辑等价、逻辑蕴含、逻辑独立。
- 一阶谓词逻辑：量词、谓词、解释、满足、逻辑公式、全称量词、存在量词。
- 证明方法：直接证明、间接证明、反证法、数学归纳法。
3. 递归关系和函数- 递归定义：递归方程、初始条件、递归函数。
- 递归函数的例子：阶乘、斐波那契数列。
- 函数的性质：单射、满射、双射、复合函数。
4. 图论- 图的基本概念：顶点、边、路径、回路、图的同构。
- 图的类型：无向图、有向图、简单图、多重图、连通图、强连通图。
- 图的算法：欧拉路径、哈密顿回路、最短路径（Dijkstra算法）、最小生成树（Prim算法、Kruskal算法）。
5. 组合数学- 排列与组合：排列数、组合数、二项式定理。
- 组合恒等式：Pascal三角形、组合恒等式。
- 组合问题：计数原理、Inclusion-Exclusion原理。
6. 布尔代数- 布尔运算：AND、OR、NOT、XOR、NAND、NOR、XNOR。
- 布尔表达式的简化：卡诺图、奎因-麦克拉斯基方法。
- 布尔函数的表示：真值表、卡诺图、逻辑表达式。
7. 关系论- 关系的基本概念：笛卡尔积、自反性、对称性、传递性。
- 关系的类型：等价关系、偏序关系、全序关系。
- 关系的闭包：自反闭包、对称闭包、传递闭包。
8. 树和森林- 树的基本概念：节点、边、根、叶、子树、兄弟、祖先、子孙。
- 特殊类型的树：二叉树、平衡树、B树、B+树。
- 树的遍历：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历。
9. 算法复杂度- 时间复杂度：最好情况、最坏情况、平均情况、大O表示法。
- 空间复杂度：算法空间需求的分析。
- 渐进分析：渐进紧确界、大Θ表示法、小o和大O的非正式描述。
离散数学基本公式
离散数学基本公式离散数学是数学中的一个重要分支，主要研究离散对象及其关系的数学结构。
离散数学中有很多基本公式，下面将介绍一些常用的公式。
1.排列公式：排列是从一个集合中取出特定元素组成一定长度的有序排列。
对于n个不同元素中取r个元素排列的个数表示为P(n,r)，其计算公式为：P(n,r)=n!/(n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*12.组合公式：组合是从一个集合中取出特定元素组成一定长度的无序组合。
对于n个不同元素中取r个元素组合的个数表示为C(n,r)，其计算公式为：C(n,r)=n!/(r!*(n-r)!)3.二项式定理：二项式定理是将一个二次多项式展开为一系列项的求和，其公式为：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+C(n,2)*a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)*a^0*b^n4.递推公式：递推公式是通过前一项或前几项的值求得下一项的值。
在离散数学中，递推公式经常用来求解递归关系式。
例如，斐波那契数列的递推公式为：F(n)=F(n-1)+F(n-2)其中，F(n)表示斐波那契数列的第n项，F(0)=0，F(1)=15.布尔代数公式：布尔代数是离散数学中研究命题逻辑的一种代数结构。
布尔代数中有一些常见的公式，如德·摩根定律：¬(p∧q)=¬p∨¬q¬(p∨q)=¬p∧¬q其中，¬表示取非操作，∧表示逻辑与操作，∨表示逻辑或操作。
6.常用等式：在离散数学中，还有一些常用的等式，如：a+(a*b)=aa∨(a∧b)=aa∧(a∨b)=a这些等式在布尔代数、集合论等离散数学的领域中经常被使用。
7.容斥原理：容斥原理是离散数学中常用的一种求解集合问题的方法，其公式为：A1∪A2∪...∪An，=，A1，+，A2，+...+，An，-，A1∩A2，-，A1∩A3，-...+(-1)^(n+1)*，An-1∩An，+...+(-1)^(n+1)*，A1∩A2∩...∩A其中，A，表示集合A的元素个数。
离散数学知识点归纳
离散数学知识点归纳一、集合论。
1. 集合的基本概念。
- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如，A = {1,2,3}，其中1、2、3是集合A的元素。
- 集合的表示方法有列举法（如上述A的表示）和描述法（如B={xx是偶数且x < 10}）。
2. 集合间的关系。
- 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆ B。
例如，{1,2}⊆{1,2,3}。
- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。
- 真子集：如果A⊆ B且A≠ B，则A是B的真子集，记作A⊂ B。
3. 集合的运算。
- 并集：A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。
例如，A = {1,2}，B={2,3}，则A∪B={1,2,3}。
- 交集：A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}。
对于上述A和B，A∩ B={2}。
- 补集：设全集为U，集合A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。
二、关系。
1. 关系的定义。
- 设A、B是两个集合，A× B的子集R称为从A到B的关系。
当A = B时，R称为A上的关系。
例如，A={1,2}，B = {3,4}，R={(1,3),(2,4)}是从A到B的关系。
2. 关系的表示。
- 关系矩阵：设A={a_1,a_2,·s,a_m}，B={b_1,b_2,·s,b_n}，R是从A到B的关系，则R的关系矩阵M_R=(r_ij)，其中r_ij=<=ft{begin{matrix}1,(a_i,b_j)∈ R0,(a_i,b_j)∉ Rend{matrix}right.。
- 关系图：对于集合A上的关系R，用节点表示A中的元素，若(a,b)∈ R，则用有向边从a指向b。
3. 关系的性质。
- 自反性：对于集合A上的关系R，如果对任意a∈ A，都有(a,a)∈ R，则R 是自反的。
例如，A={1,2,3}，R = {(1,1),(2,2),(3,3)}是自反关系。
离散数学公式大全总结
离散数学公式大全总结离散数学是数学中的一个分支，涵盖了许多概念和公式。
以下是一些离散数学中常见的公式和概念的总结：1. 集合理论：集合并：$A \cup B = {x | x \in A \text{或} x \in B}$集合交：$A \cap B = {x | x \in A \text{且} x \in B}$集合补：$A' = {x | x \notin A}$集合差：$A - B = {x | x \in A \text{且} x \notin B}$幂集：如果$A$有$n$个元素，$P(A)$有$2^n$个子集。
容斥原理：$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$2. 排列和组合：排列数：$P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}$组合数：$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}$二项定理：$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}C(n, k)a^{n-k}b^k$3. 图论：手握定理：$2 \cdot \text{边数} = \sum \text{度数}$欧拉图：一个连通图是欧拉图，当且仅当每个顶点的度数都是偶数。
哈密顿图：包含图中每个顶点的圈。
图着色：给定图中的顶点，用尽量少的颜色对它们进行着色，使得相邻的顶点颜色不相同。
图的最短路径：Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法用于找到图中的最短路径。
4. 布尔代数：布尔变量：$0$表示假，$1$表示真。
逻辑与：$A \land B$逻辑或：$A \lor B$逻辑非：$\lnot A$逻辑与门：$AND$逻辑或门：$OR$逻辑非门：$NOT$布尔恒等定律：$A \land 1 = A$，$A \lor 0 = A$德·摩根定律：$\lnot (A \land B) = \lnot A \lor \lnot B$，$\lnot (A \lor B) = \lnot A \land \lnot B$5. 树和图：树的顶点数与边数关系：$V = E + 1$二叉树的性质：最多有$2^k$个叶子节点，高度为$h$的二叉树最多有$2^{h+1} - 1$个节点。
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离散数学部分概念和公式总结命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式∀x A和∃x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
特殊关系：（1）、空关系：Φ（2）全域关系：EA={<x, y> | x∈A ∧y∈A }= A×A（3）恒等关系：IA={<x, x> | x∈A}（4）小于等于关系：LA={<x, y>| x, y∈A∧x≤y∈A },A ⊆ R（5）整除关系：R⊆ ={<x, y>| x，y∈ψ∧x ⊆ y} ,ψ是集合族二元关系的运算：设R是二元关系，（1）R中所有有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域dom R = { x |∃y（<x , y>∈R）} （2）R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的值域ranR = {y |∃x（<x , y>∈R）} （3）R的定义域和值域的并集称为R的域fld R= dom R∪ran R二元关系的性质：自反性，反自反性，对称性，反对称性，传递性。
等价关系：如果集合A上的二元关系R是自反的，对称的和传递的，那么称R是等价关系。
设R是A上的等价关系，x , y是A的任意元素，记作x～y。
等价类：设R是A上的等价关系，对任意的∀x∈A，令[x]R={ y| y∈A∧x R y }，称[x]R 为x关于R的等价类。
偏序关系：设R是集合A上的二元关系，如果R是自反的，反对称的和传递的，那么称R 为A上的偏序，记作≤；称序偶< A ,R >为偏序集合。
函数的性质：设f: A→B，（1）若ran f = B，则称f 是满射（到上）的。
（2）若∀y∈ ran f 都存在唯一的x∈A 使得f(x)=y,则称f 是单射（——）的。
（3）若f既是满射又是单射的，则称f是双射（——到上）的。
无向图：是一个有序的二元组<V, E>，记作G，其中：(1) V≠Ф称为顶点集，其元素称为顶点或结点。
(2) E为边集，它是无序积V&V的多重子集，其元素称为无向边，简称边。
有向图：是一个有序的二元组<V,E>,记作D,其中(1) V同无向图。
(2) E为边集，它是笛卡尔积V⨯V的多重子集，其元素称为有向边。
设G=<V,E>是一个无向图或有向图。
有限图：若V, E是有限集，则称G为有限图。
n阶图：若| V |=n，称G为n阶图。
零图：若| E |=0，称G为零图,当| V |=1时，称G为平凡图。
基图：将有向图变为无向图得到的新图，称为有向图的基图。
图的同构：在用图形表示图时，由于顶点的位置不同，边的形状不同，同一个事物之间的关系可以用不同的图表示，这样的图称为图同构。
带权图：在处理有关图的实际问题时，往往有值的存在，一般这个值成为权值，带权值的图称为带权图或赋权图。
连通图：若无向图是平凡图，或图中任意两个顶点都是连通的，则称G是连通图。
否则称为非连通图。
设D是一个有向图，如果D的基图是连通图，则称D是弱连通图，若D中任意两个顶点至少一个可达另一个，则称D是单向连通图。
若D中任意两个顶点是相互可达的，则称D是强连通图。
欧拉图：通过图中所有边一次且仅一次并且通过所有定点的通路（回路），称为欧拉通路（回路）。
存在欧拉回路的图称为欧拉图。
哈密顿图：经过图中每个顶点一次且仅一次的通路（回路），称为哈密顿通路（回路），存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。
平面图：一个图G如果能以这样的方式画在平面上：出定点处外没有变交叉出现，则称G 为平面图。
画出的没有边交叉出现的图称为G的一个平面嵌入。
二部图：若无向图G=〈V, E〉的顶点集合V可以划分成两个子集V1和V 2（V1∩V2 =φ），使G中的任何一条边的两个端点分别属于V1和V2，则称G为二部图（偶图）。
二部图可记为G = < V1, V 2 , E >, V1和V 2称为互补顶点子集。
树的定义：连通无回路的无向图称为无向树，简称树，常用T表示树。
平凡图称为平凡树。
若无向图G至少有两个连通分支，每个连通都是树，则称G为森林。
在无向图中，悬挂顶点称为树叶，度数大于或等于2的顶点称为分支点。
树的性质：性质1、设G=<V,E>是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的：（1）G是树（2）G中任意两个顶点之间存在唯一的路径（3）G中无回路且m=n-1. （4）G是连通的且m=n-1. （5）G是连通的且G中任何边均为桥。
（6）G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的一个含新边的圈。
性质2、设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证：设T有x片树叶，由握手定理及性质1可知，2(n-1)=∑d(vi)≥x+2(n-x)由上式解出x≥2. 最小生成树：设T是无向图G的子图并且为树，则称T为G的树。
若T是G的树且为生成子图，则称T是G的生成树。
设T是G的生成树。
e∈E(G)，若e∈E(T)，则称e为T的树枝，否则称e为T的弦。
并称导出子图G[E(G)-E(T)]为T的余树，记作T。
最优二元树：设2叉树T有t片树叶v1,v2,…,vt，权分别为w1,w2,…,wt，称W(t)=wil(vi)为T的权，其中l(vi)是vi的层数。
在所有有t片树叶，带权w1,w2,…,wt的2叉树中，权最小的2叉树称为最优2叉树。
最佳前缀码：利用Huffman算法求最优2叉树，由最优2叉树产生的前缀码称为最佳前缀码，用最佳前缀码传输对应的各符号能使传输的二进制数位最省。
集合恒等式：P61幂等律：A∪A=A ；A∩A=A结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C) ；(A∩B)∩C=A∩(B∩C)交换律：A∪B=B∪A ；A∩B=B∩A分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)同一律：A∪φ =A ；A∩E=A零律：A∪E =A ；A∩φ= φ排中律：A∪~A=E矛盾律：A∩~A =φ吸收律：A∩(A∪B)=A；A∪(A∩B)=A德摩根定律：A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)；A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)~(B∪C)= ~B∩~C；~(B∩C)= ~B∪~C；~φ=E；~E=φ双重否定律：~（~A)=A二元关系的运算：设F,G,H是任意的关系，（1）（F -¹) -¹= F （2）dom(F -¹)=ran F ；ran (F -¹)=dom F（3）（F ◦G ) ◦H = F ◦(G ◦H ) （4）（F ◦G ) - ¹ =G -¹◦ F -¹设R是A上的关系（幂运算）（1）Rº= {<x，x>| x∈A} （2）R ^n = R ^(n-1) ◦R，n≥1 （3）R ◦Rº= Rº◦R = R 图的矩阵表示：（1）无向图的关联矩阵：设无向图G=<V,E>, V={v1,v2,…,v n}, E={e1,e2,…,e m}，令m ij为顶点v i与边的关联次数，则称（m ij ）n⨯ m为G的关联矩阵。
记为M(G)。
（2）有向图的关联矩阵：设无向图D=<V,E>, V={v1,v2,…,v n}, E={e1,e2,…,e m}，1, vi是ej的始点m ij=0, vi与ej不关联-1，vi是ej的终点则称（m ij ）n⨯ m为D的关联矩阵。
记为M(D) 。