2018版 江苏高考数学预测试题(三)(含答案)

2018年江苏高考预测试题(三)(限时：120分钟)参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ni ＝1 (x i －x )2，其中x ＝1n ni ＝1x i . 棱柱的体积V ＝Sh ，其中S 是棱柱的底面积，h 是高． 棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 是高．数学Ⅰ试题一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中模线上)1．已知A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A )∩B ＝________.{－2，－1} [因为集合A ＝{x |x ＞－1}，所以∁R A ＝{x |x ≤－1}， 则(∁R A )∩B ＝{x |x ≤－1}∩{－2，－1,0,1} ＝{－2，－1}．]2．若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模等于________．5 [因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以x ＋y i ＝3＋4i i ＝(3＋4i )(－i )i (－i )＝4－3i ，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5.]3．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________． 30 [由题意840＝n40＋10＋40＋60，解得n ＝30.]4．如图1所示，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．图11－2π [设OA ＝OB ＝2，如图，由题意得S 弓形AC ＝S 弓形BC ＝S 弓形OC ，所以S 空白＝S △OAB ＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2. 所以P ＝S 阴影S 扇形OAB ＝π－2π＝1－2π.] 5．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈[0,2π))的图象和直线y ＝12的交点的个数是________.【导学号：56394125】2 [令y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝12，解得x ＋π3＝π6＋2k π，或x ＋π3＝5π6＋2k π，k ∈Z ；即x ＝－π6＋2k π，或x ＝π2＋2k π，k ∈Z ； ∴同一直角坐标系中，函数y 的图象和直线y ＝12 在x ∈[0,2π)内的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6，12，共2个．]6．如下是一个算法的伪代码，则输出的结果是________．7．现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm ，最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n ＝________.16 [设对应的数列为{a n }，公差为d (d ＞0)．由题意知a 1＝10，a n ＋a n －1＋a n －2＝114，a 26＝a 1a n ，由a n ＋a n －1＋a n －2＝114，得3a n －1＝114，解得a n －1＝38，又(a 1＋5d )2＝a 1(a n －1＋d )，即(10＋5d )2＝10(38＋d )，解得d ＝2，所以a n －1＝a 1＋(n －2)d ＝38，即10＋2(n －2)＝38，解得n ＝16.] 8．设α为锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________. 2425[∵0＜α＜π2，∴π6＜α＋π6＜2π3，－π3＜α－π3＜π6. ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35＜32，故α＋π6＜π3，∴α＜π6. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45；又∵－π3＜α－π3＜π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝35， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－45.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝45×35＋45×35＝2425.]9．已知实数x ，y 满足不等式⎩⎨⎧2x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤3，则2x 3＋y 3x 2y 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，559 [ω＝2x 3＋y 3x 2y ＝2x y ＋y 2x 2.令t ＝y x ，由图可知13≤t ≤2， 则ω＝t 2＋2t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，令ω′＝2t －2t 2＝0，则t ＝1.ω在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上为减函数，在t ∈[1,2]上为增函数，t ＝1时，ω有最小值3，t ＝13时，ω有最大值559，故t 的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，559.]10．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点为A ，过双曲线E 的右焦点F 作与实轴垂直的直线交双曲线E 于B ，C 两点，若△ABC 为直角三角形，则双曲线E 的离心率为________．2 [如图，由题意得∠BAC ＝90°，∠BAF ＝∠F AC ＝45°，从而AF ＝BF .将x ＝c 代入双曲线方程得y B ＝b 2a ，AF ＝a ＋c ，从而b 2a ＝a ＋c ，即b 2＝a 2＋ac ，则c 2－ac －2a 2＝0，即e 2－e －2＝0，从而e ＝2.]图211．如图2，三棱锥S －ABC 中，∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，则以下结论中： ①异面直线SB 与AC 所成的角为90°； ②直线SB ⊥平面ABC ； ③平面SBC ⊥平面SAC ； ④点C 到平面SAB 的距离是12a . 其中正确结论的序号是________．①②③④ [由题意知AC ⊥平面SBC ，故AC ⊥SB ，SB ⊥平面ABC ，平面SBC ⊥平面SAC ，①②③正确；取AB 的中点E ，连接CE ，可证得CE ⊥平面SAB ，故CE 的长度12a 即为C 到平面SAB 的距离，④正确．]12．在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝3，AC ＝23，且AD →＋2BD →＝0，则AC →·CD →＝________.－6 [如图所示，△ABC 中，A ＝30°，AB ＝3，AC ＝23，∴cos 30°＝323＝32， ∴∠ABC ＝90°， ∴BC ＝3； 又AD →＋2BD →＝0，∴A (0,3)，D (0,1)，C (3，0)； ∴AC →＝(3，－3)，CD →＝(－3，1)， ∴AC →·CD →＝3×(－3)－3×1＝－6.]13．已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为4，则f (x )在[－1,0]上的最小值为________．－32 [由a ，b 为正实数，可得函数y ＝ax 3＋bx 的导函数y ′＝3ax 2＋b ＞0，即可得函数y ＝ax 3＋bx 在R 上是增函数，由此可得函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在R 上是增函数，又由函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为f (1)＝a ＋b ＋2＝4，可得a ＋b ＝2，∴函数f (x )在[－1,0]上的最小值为f (－1)＝－a －b ＋12＝－2＋12＝－32.]14．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)1,1,3,3 [假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝2，x 2＋x 32＝2，∴⎩⎨⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4.又s ＝14[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2] ＝12(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(4－x 2－2)2＋(4－x 1－2)2 ＝122[(x 1－2)2＋(x 2－2)2] ＝1，∴(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2. 同理可求得(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝2.由x 1，x 2，x 3，x 4均为正整数，且(x 1，x 2)，(x 3，x 4)均为圆(x －2)2＋(y －2)2＝2上的点，分析知x 1，x 2，x 3，x 4应为1,1,3,3.]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足a ＝3b cos C . (1)求tan Ctan B 的值；(2)若a ＝3，tan A ＝3，求△ABC 的面积．[解] (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R 及a ＝3b cos C 可得2R sin A ＝3×2R sin B cos C ，即sin A ＝3sin B cos C .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝3sin B cos C ， ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝3sin B cos C ， ∴cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴cos B sin C sin B cos C ＝2，故tan Ctan B＝2.6分(2)法一：由A ＋B ＋C ＝π，得tan(B ＋C )＝tan(π－A )＝－3， 即tan B ＋tan C1－tan B ·tan C＝－3，将tan C ＝2tan B 代入得3tan B 1－2tan 2B＝－3，解得tan B ＝1或tan B ＝－12. 根据tan C ＝2tan B ，得tan C ，tan B 同号， 又tan C ，tan B 同时为负数不合题意， ∴tan B ＝1，tan C ＝2，∴sin B ＝22，sin C ＝255，sin A ＝31010， 由正弦定理可得331010＝b22，∴b ＝5， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×5×255＝3.法二：由A＋B＋C＝π，得tan(B＋C)＝tan(π－A)＝－3，即tan B＋tan C1－tan B·tan C＝－3，将tan C＝2tan B代入得3tan B1－2tan2B＝－3，解得tan B＝1或tan B＝－12.根据tan C＝2tan B得tan C，tan B同号，又tanC，tan B同时为负数不合题意，∴tan B＝1，tan C＝2.又∵a＝3b cos C＝3，∴b cos C＝1，∴ab cos C＝3，∴ab cos C tan C＝6，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×6＝3. 14分16．(本小题满分14分)如图3，四棱锥E－ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD.图3(1)求证：AB⊥ED；(2)线段EA上是否存在点F，使DF∥平面BCE？若存在，求出EFEA的值；若不存在，说明理由.【导学号：56394126】[解](1)证明：取AB中点O，连接EO，DO、∵EA＝EB，∴EO⊥AB.∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ， ∴BO ∥CD ，BO ＝CD .又AB ⊥BC ，∴四边形OBCD 为矩形，∴AB ⊥DO . ∵EO ∩DO ＝O ，∴AB ⊥平面EOD . ∴AB ⊥ED .6分(2)存在点F ，当F 满足EF EA ＝12，即F 为EA 中点时，有DF ∥平面BCE . 理由如下：取EB 中点G ，连接CG ，FG ，DF . ∵F 为EA 中点，∴FG ∥AB ，FG ＝12AB .∵AB ∥CD ，CD ＝12AB ，∴FG ∥CD ，FG ＝CD . ∴四边形CDFG 是平行四边形，∴DF ∥CG . ∵DF ⊄平面BCE ，CG ⊂平面BCE ， ∴DF ∥平面BCE .14分17．(本小题满分14分)如图4，有一块半径为R 的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD 和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE ，其中O 为圆心，A ，B 在圆的直径上，C ，D ，E 在圆周上．图4(1)设∠BOC ＝θ，征地面积记为f (θ)，求f (θ)的表达式； (2)当θ为何值时，征地面积最大？[解] (1)连接OE ，OC ，可得OE ＝R ，OB ＝R cos θ，BC ＝R sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴f (θ)＝2S 梯形OBCE ＝R 2(sin θcos θ＋cos θ)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.6分(2)求导数可得f ′(θ)＝－R 2(2sin θ－1)(sin θ＋1)， 令f ′(θ)＝0，则sin θ＝12，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6时，f ′(θ)＞0，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，f ′(θ)＜0，∴θ＝π6时，f (θ)取得最大，即θ＝π6时，征地面积最大.14分18．(本小题满分16分)已知{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，q ≠±1，正整数组E ＝(m ，p ，r )(m ＜p ＜r )． (1)若a 1＋b 2＝a 2＋b 3＝a 3＋b 1，求q 的值；(2)若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且a m ＋b p ＝a p ＋b r ＝a r ＋b m ，求q 的最大值．(3)若b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，a m ＋b m ＝a p ＋b p ＝a r ＋b r ＝0，试写出满足条件的一个数组E 和对应的通项公式a n .(注：本小问不必写出解答过程)[解] (1)∵a 1＋b 2＝a 2＋b 3＝a 3＋b 1，∴a 1＋b 1q ＝a 1＋d ＋b 1q 2＝a 1＋2d ＋b 1，化为：2q 2－q －1＝0，q ≠±1. 解得q ＝－12.4分(2)a m ＋b p ＝a p ＋b r ＝a r ＋b m ，即a p －a m ＝b p －b r ，∴(p －m )d ＝b m (q p －m －q r －m )， 同理可得：(r －p )d ＝b m (q r －m －1)．∵m ，p ，r 成等差数列，∴p －m ＝r －p ＝12(r －m )，记q p －m ＝t ，则2t 2－t －1＝0，∵q ≠±1，t ≠±1，解得t ＝－12，即q p －m ＝－12，∴－1＜q ＜0， 记p －m ＝α，α为奇数，由公差大于1，∴α≥3.(3)满足题意的数组为E ＝(m ，m ＋2，m ＋3)，此时通项公式为：a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫38n －38m －1，m ∈N *. 例如E ＝(1,3,4)，a n ＝38n －118.16分19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝13x 3－ax ＋1.(1)若x ＝1时，f (x )取得极值，求a 的值； (2)求f (x )在[0,1]上的最小值；(3)若对任意m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线 y ＝f (x )的切线，求a 的取值范围． [解] (1)因为f ′(x )＝x 2－a ，当x ＝1时，f (x )取得极值，所以f ′(1)＝1－a ＝0，a ＝1. 又当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，即a ＝1符合题意. 4分(2)当a ≤0时，f ′(x )＞0对x ∈(0,1)成立，所以f (x )在[0,1]上单调递增，f (x )在x ＝0处取最小值f (0)＝1， 当a ＞0时，令f ′(x )＝x 2－a ＝0，x 1＝－a ，x 2＝a ， 当0＜a ＜1时，a ＜1，x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， x ∈(a ，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 所以f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝1－2a a3. 当a ≥1时，a ≥1，x ∈[0,1]时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 所以f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝43－a .综上所述，当a ≤0时，f (x )在x ＝0处取最小值f (0)＝1；当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝1－2a a3； 当a ≥1时，f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝43－a .10分(3)因为∀m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线y ＝f (x )的切线，所以f ′(x )＝x 2－a ≠－1对x ∈R 成立，只要f ′(x )＝x 2－a 的最小值大于－1即可， 而f ′(x )＝x 2－a 的最小值为f (0)＝－a ， 所以－a ＞－1，即a ＜1. 所以a 的取值范围是(－∞，1).16分20．(本小题满分16分)已知点P (4,4)，圆C ：(x －m )2＋y 2＝5(m ＜3)与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有一个公共点A (3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．(1)求m 的值与椭圆E 的方程；(2)设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP →·AQ →的取值范围．图5[解] (1)点A 代入圆C 方程，得(3－m )2＋1＝5. ∵m ＜3，∴m ＝1. 圆C ：(x －1)2＋y 2＝5. 设直线PF 1的斜率为k ， 则PF 1：y ＝k (x －4)＋4， 即kx －y －4k ＋4＝0. ∵直线PF 1与圆C 相切，∴|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5. 解得k ＝112或k ＝12.当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4， ∴c ＝4.F 1(－4,0)，F 2(4,0)．2a ＝AF 1＋AF 2＝52＋2＝62，a ＝32，a 2＝18，b 2＝2. 椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.10分(2)AP →＝(1,3)，设Q (x ，y )，AQ →＝(x －3，y －1)， AP →·AQ →＝(x －3)＋3(y －1)＝x ＋3y －6. ∵x 218＋y 22＝1，即x 2＋(3y )2＝18， 而x 2＋(3y )2≥2|x |·|3y |， ∴－18≤6xy ≤18.则(x ＋3y )2＝x 2＋(3y )2＋6xy ＝18＋6xy 的取值范围是[0,36]． x ＋3y 的取值范围是[－6,6]．∴AP →·AQ →＝x ＋3y －6的取值范围是[－12,0].16分 数学Ⅱ(附加题)21．[选做题](本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域内作答．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)图6A ．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图6，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .若设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径.【导学号：56394127】[解] 如图，连接DE ，交BC 于点G.由弦切角定理，得∠ABE ＝∠BCE ，而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，所以BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为圆的直径，∠DCE ＝90°. 由勾股定理可得DB ＝DC . 因为∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ， 故DG 是BC 边的中垂线，所以BG ＝32.设DE 的中点为O ，连接BO ，则∠BOG ＝60°，从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32.10分B ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 2. 求满足条件AM ＝B 的矩阵M 及曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 对应变换下的曲线方程C ′. [解] 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， AM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b a ＋c b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 232， 得⎩⎨⎧a ＝0，a ＋c ＝3，b ＝2，b ＋d ＝2，∴a ＝0，b ＝2，c ＝3，d ＝0.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 0. 设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵M 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)， 则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y 3x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴⎩⎨⎧2y ＝x ′，3x ＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ′2，x ＝y ′3，代入曲线C ：x 2＋y 2＝1， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ′32＝1. ∴曲线C ′的方程是x 24＋y 29＝1.10分C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ≤2π)上，当线段AB 最短时，求点B 的极坐标．[解] 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系， 则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2的直角坐标为(0,2)，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝0.AB 最短时，点B 为直线x －y ＋2＝0与直线l 的交点，联立⎩⎨⎧ x －y ＋2＝0，x ＋y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝1，所以点B 的直角坐标为(－1,1)．所以点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.10分 D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分) 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)．若f (3)＜5，求a 的取值范围． [解] f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a ＞3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)＜5，得3＜a ＜5＋212. 当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ， 由f (3)＜5，得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.10分[必做题](第22题，第23题，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)22．(本小题满分10分)已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，点D 为AC 的中点，点E 在线段AA 1上．图7(1)当AE ∶EA 1＝1∶2时，求证：DE ⊥BC 1；(2)是否存在点E ，使二面角D －BE －A 等于60°，若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：连接DC 1，因为ABC －A 1B 1C 1为正三棱柱，所以△ABC 为正三角形，又因为D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC ，又平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥DE . 因为AE ∶EA 1＝1∶2，AB ＝2，AA 1＝3，所以AE ＝33，AD ＝1， 所以在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，在Rt △DCC 1中，∠C 1DC ＝60°，所以∠EDC 1＝90°，即ED ⊥DC 1，所以ED ⊥平面BDC 1，BC 1⊂平面BDC 1，所以ED ⊥BC 1. 4分(2)假设存在点E 满足条件，设AE ＝h .取A 1C 1的中点D 1，连接DD 1，则DD 1⊥平面ABC ，所以DD 1⊥AD ，DD 1⊥BD ，分别以DA ，DB ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)， E (1,0，h )，所以DB →＝(0，3，0)，DE →＝(1,0，h )，AB →＝(－1，3，0)，AE →＝(0,0，h )， 设平面DBE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DB →＝0，n 1·DE →＝0，即⎩⎨⎧3y 1＝0，x 1＋hz 1＝0，令z 1＝1， 得n 1＝(－h,0,1)，同理，平面ABE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AB →＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎨⎧－x 2＋3y 2＝0，hz 2＝0.令y 2＝1，得 n 2＝(3，1,0)．所以cos 〈n 1，n 2〉＝|－3h |h 2＋1·2＝cos 60°＝12.解得h ＝22＜3，故存在点E ，当AE ＝22时，二面角D －BE －A 等于60°.10分23．(本小题满分10分)已知(x ＋2)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n (n ∈N *)．(1)求a 0及S n ＝ni ＝1a i ；(2)试比较S n 与(n －2)3n ＋2n 2的大小，并说明理由．[解] (1)令x ＝1，则a 0＝3n ，令x ＝2，则ni ＝0a i ＝4n ，所以S n ＝ni ＝1a i ＝4n －3n .2分(2)要比较S n 与(n －2)3n ＋2n 2的大小，只要比较4n 与(n －1)3n ＋2n 2的大小． 当n ＝1时，4n ＞(n －1)3n ＋2n 2，当n ＝2或3时，4n ＜(n －1)3n ＋2n 2， 当n ＝4时，4n ＜(n －1)3n ＋2n 2， 当n ＝5时，4n ＞(n －1)3n ＋2n 2.猜想：当n ≥5时，4n ＞(n －1)3n ＋2n 2.下面用数学归纳法证明： ①由上述过程可知，当n ＝5时，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N *)时结论成立，即4k ＞(k －1)3k ＋2k 2，两边同乘以4，得4k ＋1＞4[(k －1)3k ＋2k 2]＝k 3k ＋1＋2(k ＋1)2＋[(k －4)3k ＋6k 2－4k －2]，而(k －4)3k ＋6k 2－4k －2＝(k －4)3k ＋6(k 2－k －2)＋2k ＋10＝(k －4)3k ＋6(k －2)(k ＋1)＋2k ＋10＞0，所以4k ＋1＞[(k ＋1)－1]3k ＋1＋2(k ＋1)2， 即n ＝k ＋1时结论也成立.8分由①②可知，当n ≥5时，4n ＞(n －1)3n ＋2n 2成立．综上所述，当n ＝1时，S n ＞(n －2)3n ＋2n 2；当n ＝2或3或4时，4n ＜(n －1)3n ＋2n 2，S n ＜(n －2)3n ＋2n 2； 当n ≥5时，S n ＞(n －2)3n ＋2n 2.10分。