江苏省2019年高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
江苏省连云港市2019-2020学年度高二上学期期末考试试题 数学【含解析】
2.双曲线 的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据双曲线的渐近线的定义求得。
【详解】双曲线 的渐近线方程是 ，故选：B.
【点睛】此题是容易题，考查双曲线的基本定义。
3.“M＜N”是“ ” （ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【详解】因为 ， ， ，故 ， ，故选:BD。
【点睛】此题考查充分条件和必要条件的概念，属于基础题。
12.设P是椭圆C： 上任意一点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，则（ ）
A.PF1＋PF2＝ B. ﹣2＜PF1﹣PF2＜2
C. 1≤PF1·PF2≤2D. 0≤ ≤1
【答案】ACD
【解析】
【分析】
15.已知椭圆C： (a＞b＞0)的焦距为2．准线方程为x＝3，则该椭圆的标准方程是_______；直线 与该椭圆交于A，B两点，则AB＝_______．
【答案】 (1). (2).
【解析】
分析】
根据椭圆的定义和准线方程可求得第一问，联立椭圆和直线方程再通过韦达定理计算可求得第二问。
【详解】 ，解得 ，再解出 ，所以椭圆的标准方程是 。设A坐标为 ，B坐标为 ，直线AB的斜率为k。则
13.准线方程为 的抛物线的标准方程是．
【答案】
【解析】
抛物线的准线方程为 ，说明抛物线开口向左，且 ，所以抛物线的标准方程是 ．
14.中国古代数学某名著中有类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，毎天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了_______里．
2019学年江苏省扬州市高二上学期期末数学试卷【含答案及解析】
2019学年江苏省扬州市高二上学期期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 命题“ ” 的否定是 ________2. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比为2 ∶ 3 ∶ 5，现用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，样本中A 型号产品有 15件，那么样本容量n 为．3. 在区间上任取一个实数，则的概率是．4. 根据如图所示的伪代码，如果输入的值为0，则输出结果y为．5. 若，则6. 在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．7. 如图，该程序运行后输出的 y值为．8. 一个圆锥筒的底面半径为，其母线长为，则这个圆锥筒的体积为____________________ .9. 若双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上一点，，则．10. 设，是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若∥ ，，则②若∥ ，，，则∥③若，，则∥④若∥ ，，则其中真命题的序号有______________ ． ( 写出所有正确命题的序号 )二、解答题11. 已知抛物线的准线恰好是双曲线的左准线，则双曲线的渐近线方程为．三、填空题12. 已知可导函数的导函数满足，则不等式的解集是．13. 若椭圆的中心为坐标原点，长轴长为4，一条准线方程为，则该椭圆被直线截得的弦长为14. 若，且函数在处取得极值，则的最大值等于____四、解答题15. 某班名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．（学生成绩都在之间）（1）求频率分布直方图中的值；（2）估算该班级的平均分；（3 ）若规定成绩达到80分及以上为优秀等级，从该班级40名学生中任选一人，求此人成绩为优秀等级的概率．16. 如图，在四面体中，，．，，分别为棱，，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．17. 已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题（1）若“ 且”是真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．18. 已知函数 .（ 1 ）当时，求在处的切线方程；（ 2 ）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．19. 椭圆经过点，且离心率为，过点的动直线与椭圆相交于两点．(1) 求椭圆的方程；(2)若椭圆的右焦点是，其右准线与轴交于点 ,直线的斜率为，直线的斜率为 ,求证：；(3) 设点是椭圆的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．20. 已知函数，（1）求函数的单调递减区间；（2）若关于的方程在区间上有两个不等的根，求实数的取值范围；（3）若存在，当时，恒有，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
2019学年第一学期徐州市高二数学期末考试理科试题及答案共6页文档
江苏省徐州市2019－2019学年度第一学期期末考试高二数学(理)试题一、填空题：本大题共14小题，每题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．抛物线24y x =的焦点坐标是 ▲ ． 2．命题“2,10x x ∀∈>R +”的否定是 ▲ ．3．过点()3,2A 且与直线210x y -+=平行的直线方程是 ▲ ．4．已知直线1l ：230x my ++=与直线2l ：310x y --=相互垂直，则实数m 等于 ▲ ．5．已知正四棱柱的底面边长是3，侧面的对角线长是 为 ▲ ．6．已知点()8,6A -与圆22:25C x y =+，P 是圆C 上任意一点，则AP 的最小值 是 ▲ ．7．已知双曲线1422=-y m x 的一条渐近线方程为x y =，则实数m 等于 ▲ ． 8．棱长为1的正方体的外接球的表面积为 ▲ ． 9．曲线()232f x x x =-在1x =处的切线方程为 ▲ ．10．已知向量()()2,3,2,1,5,1=-=--a b ，则m +a b 与23-a b 相互垂直的充要条件为 ▲ ．11．椭圆()222210x y a b a b=>>+的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过点1F 且垂直于x 轴的弦的弦长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是 ▲ ．12．设,αβ为两个不重合的平面，,,l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,,m n l m l n αα⊂⊂⊥⊥，则l α⊥；②若,,l m m n αα⊥⊥P ，则l n P ；③若,l αβα⊂P ，则l βP ；④若,l l αβ⊥P ，则αβ⊥．其中正确命题的序号是 ▲ ．13．设F 为抛物线28x y =的焦点，点,,A B C 在此抛物线上，若FA FB FC =++0u u u r u u u r u u u r，则FA FB FC =++u u u r u u u r u u u r▲ ．14．如图，有一块半椭圆形的钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长 为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆 的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，则梯形ABCD 的面积S 的 最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知过点()1,4A -的圆的圆心为()3,1C ． ⑴求圆C 的方程；⑵若过点()2,1B -的直线l 被圆C 截得的弦长为45，求直线l 的方程． 16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，且,E F 分别是,BC CD 的中点． ⑴求证：平面PEF ⊥平面PAC ； ⑵求三棱锥P EFC -的体积． 17．(本小题满分14分)椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，一条直线l 经过点1F 与椭圆交于,A B 两点． ⑴求2ABF ∆的周长； ⑵若l 的倾斜角为4π，求2ABF ∆的面积． 18．(本小题满分16分)某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量()L p 关于行驶速度()km /h v 的函数解析式可以表示为：()3138012012800080p v v v =-+<≤．已知甲、乙两地相距100km ，设汽车的行驶速度为(km /h)x ，从甲地到乙地所需时间为()h t ，耗油量为()L y ． ⑴求函数()t g x =及()y f x =；(第14题图)(第16题图)⑵求当x 为多少时，y 取得最小值,并求出这个最小值． 19．(本小题满分16分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC BC =2BD AE ==，M 是AB 的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：⑴求证：CM EM ⊥；⑵求CM 与平面CDE 所成角的大小． 20．(本小题满分16分)已知函数()1ln sin g x x x θ=+g 在[)1,∞+上为增函数，且()0,θ∈π，()f x mx =-⑴求θ的值；⑵若函数()()y f x g x =-在[)1,∞+上为单调函数，求实数m 的取值范围； ⑶设()2eh x x=，若在[]1,e 上至少存在一个0x ，使得()()()000f x g x h x ->成立， 求实数m 的取值范围．江苏省徐州市2019－2019学年度第一学期期末考试高二数学(理)答案与评分标准一、填空题：1．()1,0 2．2,10x x ∃∈R +≤ 3．240x y --= 4．6 5．72 6．5 7．4 8．3π 9．0x y -= 10．171311．12 12．②③④ 13．12 14．2332r二、解答题：15．⑴圆C 半径r 即为AC ，所以()()2213415r AC ==---=+，……………2分所以圆C 的方程为()()223125x y --=+．……………………………………6分 ⑵圆心C 到直线l 的距离为()225255-=，……………………………………8分当直线l 垂直于x 轴时，方程为2x =，不满足条件，所以直线l 的斜率存在，10分 设直线l 的方程为()12y k x =-+，即210kx y k ---=， 由()22312151k k k ---=-+，解得12k =-，所以直线l 的方程为20x y +=．…14分(第19题图)16．⑴连结BD ，因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，因为E ，F 分别是BC ，CD 的中点，所以EF BD P ，所以EF AC ⊥，………………………4分因为PA ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ， 所以EF PA ⊥，因为PA AC A =I ， 所以PAC EF 平面⊥，因为EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面PAC ．…………………………8分 ⑵11111123323P EFC EFC V S PA -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=．……………………………………14分 17．由椭圆的定义，得12122,2AF AF a BF BF a +=+=，又AB BF AF =+11，所以，2ABF ∆的周长a BF AF AB 422=++=．又因为42=a ，所以2=a ，故2ABF ∆点周长为8．………………………………6分 ⑵由条件，得)0,1(1-F ，因为AB 的倾斜角为4π，所以AB 斜率为1， 故直线AB 的方程为1+=x y ．………………………………………………………8分由221,1,43y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得09672=--y y ，……………………………………10分设),(,),(2211y x B y x A ，解得12362362,y y +-==， 所以，2121211122122222ABF S F F y y ∆=⋅-=⨯⨯=．…………………………14分 18．⑴从甲地到乙地汽车的行驶时间为()()1000120t g x x x==<≤，………2分则()313100812800080y f x pt x x x ⎛⎫===-+⋅ ⎪⎝⎭()2180015012012804x x x =+-<≤．………………………………………8分 ⑵332280080640640x x y x x-'=-=，由0y '=，得80x =，列出下表： x()0,8080 ()80,120()f x ' -+()f x↓极小值11.25↑分答：当汽车的行驶速度为80km/h 时，耗油量最少为11.25L ．…………………16分 19．⑴分别以,CB CA 所在直线为,x y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．…………………………………………2分设AE a =，则()(),,0,0,2,M a a E a a --，所以()(),,0,,,CM a a EM a a a =-=-u u u u r u u u u r，………4分 所以()()00CM EM a a a a a ⋅=⨯-⨯⨯-=++u u u u r u u u u r，所以CM EM ⊥．…………………………8分 ⑵()()0,2,,2,0,2CE a a CD a a =-=u u u r u u u r，设平面CDE 的法向量(),,x y z =n ，则有20,220,ay az ax az -+=⎧⎨+=⎩即2,,z y x z =⎧⎨=-⎩令1y =，则()2,1,2=-n ，…………………12分21022cos ,23a a CM CM a CM ⨯--⨯⨯⋅===-⨯++u u u u r u u u u r u u u u rn n n，…………………14分 所以，直线CM 与平面CDE 所成的角为45︒．…………………………………16分 20．⑴由题意，()2110sin g x x x θ'=-+g ≥在[)1,∞+上恒成立，即2sin 10sin x x θθ⋅-⋅≥． 因为()0,θ∈π，所以sin 0θ>，故sin 10x θ⋅-≥在[)1,∞+上恒成立， 因为sin 1y x θ=⋅-是增函数，所以只要1sin 10θ⋅-≥，即sin 1θ≥，所以sin 1θ=，因为()0,θ∈π，所以2θπ=．…………………………………3分 ⑵由⑴得，()1ln g x x x =+，所以()()2ln mf xg x mx x x-=--．令()()()2ln mF x f x g x mx x x=-=--，则()222mx x m F x x -'=+． 因为()F x 在其定义域内为单调函数，所以220mx x m -+≥或者220mx x m -+≤在[)1,∞+上恒成立，…………5分220mx x m -+≥等价于()212m x x +≥，即221xm x +≥在[)1,∞+上恒成立， 而22211112x x x x x x==⋅++≤，当且仅当1x =是等号成立，所以1m ≥．…7分 对于220mx x m -+≤在[)1,∞+上恒成立，设()22x mx x m ϕ=-+，则①当0m =时，20x -≤在[)1,∞+上恒成立；②()0,11,1220,m m m ϕ⎧<⎪⎪<⎨⎪⎪=-<⎩解得0m <．所以0m ≤．综上，m 的取值范围是(][),01,-∞∞+U ．…………………………………………10分 ⑶设()()()()2e2ln m H x f x g x h x mx x x x=--=---． ①当0m ≤时，因为[]1,x e ∈，所以10m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，且2e 2ln 0x x --<，所以()0H x <，所以在[]1,e 上不存在一个0x ，使得()()()000f x g x h x ->成立．…………12分②当0m >时，()222222e 22em mx x m H x m x x x x -'=-=++++，因为[]1,e x ∈，所以2e 20x -≥，又20mx m >+， 所以()0H x '>在[]1,e 上恒成立，所以()H x 在[]1,e 上是单调增函数，()()max e 4emH x H e m ==--． 所以只要e 40e m m -->，解得24ee 1m >-． 故m 的取值范围是24e ,e 1⎛⎫∞ ⎪-⎝⎭+．…………………………………………………16分。
2019学年江苏省盐城市高二上学期期末文科数学卷【含答案及解析】
2019学年江苏省盐城市高二上学期期末文科数学卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 命题p：∀ x ∈ R，x 2 +1＞0的否定是___________ ．2. 抛物线y 2 =4x的准线方程是___________ ．3. 设复数z= （i为虚数单位），则复数z的虚部是___________ ．4. “x＜1”是“log 2 x＜0”的___________ 条件．（在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）5. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为___________ ．6. 函数f（x）=（x﹣3）e x 的单调递增区间是___________ ．7. 若x＞1，则x+ 的最小值是___________ ．8. 曲线在点（0，f（0））处的切线方程为___________ ．9. 记不等式x 2 +x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x ∈ A”是“x ∈ B”的充分条件，则实数a的取值范围为___________ ．10. 若不等式x 2 +px+q＜0的解集是{x|1＜x＜2}，则不等式≥0的解集是___________ ．11. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2 =a 2 +b 2 ．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN，如果用S 1 ，S 2 ，S 3 表示三个侧面面积，S 4 表示截面面积，那么你类比得到的结论是_________ ．12. 已知复数z=x+yi（x，y ∈ R，x≠0）且|z﹣2|= ，则的范围为_________ ．13. 函数f（x）=x 3 +ax 2 +bx+a 2 在x=1时有极值为10，则a+b的值为___________ ．二、选择题14. 已知椭圆： + =1，左右焦点分别为F 1 ，F 2 ，过F 1 的直线l交椭圆于A，B两点，若AF 2 +BF 2 的最大值为5，则椭圆方程为_________ ．三、解答题15. 已知z是复数，z+2i，均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai） 2 在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．16. 给出下面两个命题，命题p：方程 + =1表示焦点在x轴上的椭圆命题q：双曲线﹣ =1的离心率e ∈ （1，2）已知￢p ∨ ￢q为假，求实数m的取值范围．17. 已知f（x）= ．（1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求k的值；（2）若对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，求实数t的取值范围．18. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y= +10（x﹣6） 2 ，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ ）求a的值；（Ⅱ ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．19. 已知函数f（x）= x 2 +alnx．（1）若a=﹣1，求函数f（x）的极值，并指出极大值还是极小值；（2）若a=1，求函数f（x）在[1，e ] 上的最值；（3）若a=1，求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）= x 3 的图象下方．20. 如图，点F 1 ，F 2 分别是椭圆C：的左、右焦点．点A是椭圆C上一点，点B是直线AF 2 与椭圆C的另一交点，且满足AF 1 ⊥ x 轴，∠ AF 2 F 1 =30°．（1）求椭圆C的离心率e；（2）若△ ABF 1 的周长为，求椭圆C的标准方程；（3）若△ ABF 1 的面积为，求椭圆C的标准方程．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
2019-2020学年江苏省南通市高二(上)期末数学试卷+详解
2019-2020学年江苏省南通市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合{1A =，2}，{B a =，3}a -，若{1}A B = ，则实数(a =)A ．1-B ．1C ．4D ．1或42．（5分）已知复数z 满足(12)5z i +=，则复数(z =)A ．12i--B ．12i-+C ．12i-D ．12i+3．（5分）已知3log 4a =，1331log ,45b c -==，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b>>4．（5分）如图，点A ，B ，C ，P 均在正方形网格的格点上．若(,)AP AB AC R λμλμ=+∈，则2(λμ+=)A ．1B ．32C ．43D ．25．（5分）函数()cos f x x x =的图象大致为()A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知两圆的方程分别是22(3)(2)1x y -++=与22(7)(1)36x y -+-=，则这两圆的位置关系是()A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切7．（5分）八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏(páo )、竹”八类，每类又包括若干种乐器．现有“土、丝、竹“三类乐器，其中“土”包括“缶(fǒu )、埙(x ūn )“2种乐器：“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋“3种乐器．现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有()A ．24种B ．72种C ．144种D ．288种8．（5分）已知22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，右焦点为F ，直线11A B 与直线2B F 相交于点T ．若2A T 垂直于x 轴，则椭圆的离心率(e =)A ．13B C ．12D 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省无锡市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(含答案解析)
江苏省无锡市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习江苏省无锡市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析）1 设，则下列不等式一定成立的是A. B.C. D.【答案解析】 B【分析】直接利用不等式性质：在两边同时乘以一个负数时，不等式改变方向即可判断．【详解】，，，故选B．【点睛】本题主要考查了不等式的性质的简单应用，属于基础试题．2 已知向量，.若向量与向量平行，则实数的值是（）A. 6B. －6C. 4D. －4【答案解析】 D【分析】求出向量的坐标，利用向量共线定理即可得出．【详解】解：，又因为向量与向量平行所以存在实数，使得解得故选：【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3 已知椭圆C：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案解析】 B椭圆长轴为，焦点恰好三等分长轴，所以椭圆方程为，故选B.4 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（）A. 三分鹿之一 B. 三分鹿之二C. 一鹿D. 一鹿、三分鹿之一【答案解析】 A分析：本题考查阅读理解能力，抽象概括能力，解题关键是从题中得出5人所得依次成等差数列，其中，，要求，由等差数列的前项和公式易解得．详解：显然5人所得依次成等差数列，设公士所得为，则，解得．故选A．点睛：本题考查等差数列的应用，考查数学文化，《九章算术》是我国古代的数学名著，书中集成了许多数学问题，它的出现，标志着中国古代数学体系的形成．5 已知等比数列{an}为单调递增数列，设其前n项和为Sn，若，，则的值为（）A. 16B. 32C. 8D.【答案解析】 A【分析】利用等比数列的通项公式、前项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出．【详解】解：等比数列为单调递增数列，设其前项和为，，，，解得，，．故选：．【点睛】本题考查数列的第5项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．6 下列不等式或命题一定成立的是（）①；②；③；④最小值为2.A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④【答案解析】 C【分析】根据基本不等式的性质一一验证.【详解】解：①，由基本不等式可得当且仅当时取等号，故正确；②可以取负值，故不成立，故错误；③由基本不等式可得当且仅当时取等号，故正确；④当时故错误.故选：【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.7 已知关于的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案解析】 C【分析】由题意得出关于的不等式的解集为，由此得出或，在成立时求出实数的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数的取值范围.【详解】由题意知，关于的不等式的解集为.（1）当，即．当时，不等式化为，合乎题意；当时，不等式化为，即，其解集不为，不合乎题意；（2）当，即时．关于的不等式的解集为.，解得．综上可得，实数的取值范围是．故选C．【点睛】本题考查二次不等式在上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.8 设Sn为数列{an}的前n项和，满足，则（）A. 192B. 96C. 93D. 189【答案解析】 D【分析】根据可求数列的通项公式，利用等比数列的前项和求.【详解】解：当时，，解得，当时，，，故是以，的等比数列，故选：【点睛】本题考查利用求，以及等比数列的前项和，属于基础题.9 若正数a、b满足，设，则的最大值是（）A. 12B. －12C. 16D. －16【答案解析】 A【分析】根据则，将式子换元成关于的二次函数，利用二次函数的性质求最值，值得注意的取值范围.【详解】解：、解得当且仅当时取得最大值故选：【点睛】本题考查二次函数的性质，重要不等式的应用，属于中档题.10 正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，则的值为（）A. －2B. 4C. 2D. 1【答案解析】 D【分析】如图所示，，．代入，利用数量积运算性质即可得出．【详解】解：如图所示，，．．故选：．【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质、平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11 已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案解析】 A【分析】由结合椭圆离心率的定义可得，可求得，而，从而可求得离心率的取值范围．【详解】解：依题意，得，，又，，不等号两端同除以得，，，解得，又，．即故选：12 当n为正整数时，定义函数表示n的最大奇因数.如，则( ) A. 342 B. 345 C. 341 D. 346【答案解析】 A，而，，，，又，，故选A.13 命题“，都有”的否定：______.【答案解析】，使得【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．【详解】解：命题是全称命题，则命题的否定是：，有；故答案为：，有【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14 不等式的解集是______．【答案解析】【分析】将分式不等式转化为整式不等式，解得.【详解】解：故不等式的解集为：故答案为：【点睛】本题考查分式不等式的解法，属于基础题.15 已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为【答案解析】试题分析：因为双曲线的离心率为2，所以1+=4，=3，又双曲线焦点与椭圆的焦点相同，即焦点在x轴上，故双曲线的渐近线方程为．考点：本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程及几何性质．16 已知，那么的最小值为______.【答案解析】 10【分析】先根据条件消掉，即将代入原式得，再裂项并用贴“1”法，最后运用基本不等式求其最小值．【详解】解：因为，所以，，因此，，当且仅当：，即时，取“”，即的最小值为：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，涉及消元，裂项，凑配，贴1等恒等变形，以及取等条件的确定，属于难题．17 已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案解析】 (1)；(2)试题分析：（1）根据等差数列基本量的运算求得，故可得通项公式．（2）根据数列通项公式的特点利用裂项相消法求和．试题解析：（1）设等差数列的公差为，由题意得，解得（2）由（1）得18 已知，函数．（1）若对(0，2)恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a＝1时，解不等式．【答案解析】（1）；（2）.【分析】（1）分离参数a，构造函数利用均值不等式求最值即可；（2）分类讨论去绝对值，最后取并集即可．【详解】（1）∵f（x）≤2x对x∈（0，2）恒成立，∴a≤+2x对x∈（0，2）恒成立，∵+2x≥2，当且仅当=2x，即x=时等号成立，∴a（2）当a=1时，f（x）=1﹣，∵f（x）≥2x，∴1﹣≥2x，①若x＞0，则1﹣≥2x可化为：2x2﹣x+1≤0，所以x∈∅；②若x＜0，则1﹣≥2x可化为：2x2﹣x﹣1≥0，解得：x≥1或x≤﹣，∵x＜0，∴x≤﹣，由①②可得1﹣≥2x的解集为：（﹣∞，﹣]【点睛】本题考查了不等式恒成立及分类讨论思想，属中档题．19 在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的动点到点的距离减去M到直线的距离等于1.(1)求曲线C的方程；(2)若直线与曲线C交于A、B两点，求证：直线与直线的倾斜角互补.【答案解析】（1）；（2）见解析【分析】（1）利用抛物线定义“到定点距离等2于到定直线距离的点的轨迹”求动点的轨迹；（2）设直线与抛物线方程联立化为，．由于，利用根与系数的关系与斜率计算公式可得：直线与直线的斜率之和0，即可证明【详解】（1）曲线上的动点到点的距离减去到直线的距离等于1，所以动点到直线的距离与它到点的距离相等，故所求轨迹为：以原点为顶点,开口向右的抛物线；（2）证明：设.联立，得，（）∴，,，∴直线线与直线的斜率之和：因为∴直线与直线的斜率之和为，∴直线与直线的倾斜角互补.【点睛】本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20 某种汽车购买时费用为14．4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……，依等差数列逐年递增．（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f(n)，试写出f(n)的表达式；（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．【答案解析】（Ⅰ）;（Ⅱ）12年.【分析】（I）由已知中某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增，根据等差数列前n项和公式，即可得到f（n）的表达式；（II）由（I）中使用n年该车的总费用，我们可以得到n年平均费用表达式，根据基本不等式，我们易计算出平均费用最小时的n值，进而得到结论．【详解】(I)==(Ⅱ)设该车的年平均费用为S万元,则有仅当n=12时,等号成立.汽车使用12年报废为宜.【点睛】本题主要考查等差数列的应用，读懂题意，转化为等差数列求和，利用基本不等式求最值是解题的关键，属于中点题.21 如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，，且，，将它沿对称轴折起，使平面平面，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A、B两点)，连接并延长至点Q，使.(1)证明：平面；(2)若，求二面角的余弦值.【答案解析】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）建立空间直角坐标系，把证明平面的问题转化为证明，即可；（2）求出平面的法向量为和平面的一个法向量为，把求二面角的余弦值的问题转化为求与的夹角的余弦值的问题即可.【详解】(1)证明：由题设知，，两两垂直，所以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设的长为，则，，，，，).因为点为的中点，所以，所以，，.因为，，所以，，又与不共线，所以平面.(2)解因为，，所以，则，所以，.设平面的法向量为，由得令，则，，.易得平面的一个法向量为.设二面角的大小为，由图可知，为锐角，则，即二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查利用空间向量的有关知识证明线面垂直及求二面角的平面角问题，求出平面的法向量是解决问题的关键，属常规考题.22 已知椭圆：()，F为左焦点，A为上顶点，为右顶点，若，抛物线C2的顶点在坐标原点，焦点为F．（1）求C1的标准方程；（2）是否存在过F点的直线，与C1和C2交点分别是P，Q和M，N，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．【答案解析】（1）；（2）或分析：（1）由题设有，再根据可得的值，从而得到椭圆的标准方程.（2）因为，故，设直线方程为，分别联立直线与椭圆、直线与抛物线的方程，消去后利用韦达定理用表示，解出后即得直线方程.详解：（1）依题意可知，即，由右顶点为得，解得，所以的标准方程为.（2）依题意可知的方程为，假设存在符合题意的直线，设直线方程为，，联立方程组，得，由韦达定理得，则，联立方程组，得，由韦达定理得，所以，若，则，即，解得，所以存在符合题意的直线方程为或.点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题.。
江苏省扬州市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(后附答案与详细解析)
2019—2020学年高二第一学期期末检测试题参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线28y x =的准线方程是（）A．2x =-B．4x =-C．2y =-D．4y =-2.如果0,0a b <>，则下列不等式中正确的是（）A．22a b<B．22ab a b<<D．||||a b >3.已知命题:p 双曲线C 的方程为2214y x -=，命题:q 双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，则p 是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4.已知2a =+，2b =-a b ,的等比中项为（）A.B.1C.1- D.1±5.不等式102xx -≤+的解集为（）A．(]2,1-B．[]2,1-C．()[).21,-∞-⋃+∞D．(][),21,-∞-⋃+∞6.已知等差数列}{n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则1a 等于（）A．－4B．－6C．－8D．－107.空间向量(1,0,1)AB =- ，平面α的一个法向量(0,1,1)n =，则直线AB 与平面α所成角为（）A．6πB．3πC．6π或56πD．3π或23π8.如果关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,2)-,则关于x 的不等式20bx ax c -->的解集为（）A．(1,2)- B.(,1)(2,)-∞-⋃+∞ C.(,2)(1,)-∞-⋃+∞ D.(2,1)-9.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若3744a a =-=，，则（）A．46S S >B．45S S =C．65S S <D．65S S =10.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是坐标原点,若32=AF ，则AOB ∆的面积为（）A．22C．322D．11.已知0x >，0y >，228++=x y xy，则的最小值是（）B．2C．2D．412.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以12F F 为直径的圆与一条渐近线交于点P （P 在第一象限），1PF 交双曲线左支于Q ，若12QF PQ =，则双曲线的离心率为（）A．1012+B．C．512二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“x R ∃∈，2>x ”的否定是．14.已知数列{}n a 满足*+1111()n nn N a a -=∈,1=1a ,记+1n n n b a a =，则数列{}n b 的前10项和为．15.已知P 点是椭圆2214x y +=上的动点，Q 点是圆22(2)1x y +-=上的动点，则线段PQ 长度的最大值为．16.若关于x 的不等式2(2)(410)4120a x a x a -+-+->的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知命题p ：对任意(0,)x ∈+∞，不等式1a x x ≤+都成立，命题q ：方程2212x ya m a m +=---表示焦点在x 轴上的双曲线.（1）若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*1+1=1,21()n n a a S n N =+∈，等差数列{}n b 满足39b =，15272b b +=．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，且n n n c a b =⋅，求n T ．在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -中，11AB A B O = ，1112,AA AB A B AB BC ===⊥．（1）求直线1BB 与平面1A BC 所成的角；（2）若12,1A C BC ==，求三棱锥11C A BC -的体积．20.（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CA AA ====，点O 为AB 中点，点D 为1AA 中点．（1）求平面ABC 与平面1B CD 所成锐二面角的大小；（2）已知点E 满足(01)AE AC λλ=≤≤ ，当异面直线DE 与1CB 所成角最小时，求实数λ的值．已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，直线1:l y kx m =+与抛物线C 相切于点(6,6)．（1）求p 、k 、m 的值；（2）已知动直线21⊥l l ，且2l 与抛物线C 交于两个不同点,A B ，问抛物线上是否存在定点P （异于,A B ），使得直线,PA PB 的倾斜角互补，若存在，求出P 点坐标，若不存在，说明理由．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，两条准线之间的距离为3，过(1,0)M 的直线l 交椭圆于,A B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若OA OB ⊥，且直线l 与x 轴不垂直，求直线l 的斜率；（3）设N 为直线4x =上任意一点，记直线,,AN MN BN 的斜率分别为123,,k k k ，判断123,,k k k 是否成等差数列，并给出理由．2019—2020学年度第一学期期末检测试题1、A2、B3、A4、D5、C6、C7、A8、C9、B 10、C 11、B12、A13、x R ∀∈, 14、101115、+1316.41]3（，17、解：⑴因为对任意(0,)x ∈+∞，不等式1a x x ≤+成立，所以min 1a x x ⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦………………2分 因为(0,)x ∈+∞，所以12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号， …………………4分 所以2a ≤；…………………5分⑵因为方程2212x y a m a m +=---表示焦点在x 轴上的双曲线，所以020a m a m ->⎧⎨--<⎩，即2m a m <<+，…………………7分因为p 是q 的必要不充分条件，所以(](2)2m m +⊆-∞,，且(](2)2m m +≠-∞,， …………………9分 所以22m +≤，即0m ≤。
江苏省苏州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
江苏省苏州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，则22a b > C. 若0a b <<，则22a ab b << D. 若0a b <<，则11a b> 【答案】D 【解析】试题分析：A 中当0c 时不成立；B 中若0,1a b ==-不成立；C 中2,1a b =-=-不成立，所以D 正确 考点：不等式性质2.不等式()43x x -<的解集为（ ） A. {|1x x <或}3x > B. {0x x <或}4x > C. {}13x x << D. {}04x x <<【答案】A 【解析】 【分析】化成2430x x -+>即可求解.【详解】由题：等式()43x x -<化简为：2430x x -+>()()130x x -->解得：1x <或3x >. 故选：A【点睛】此题考查解一元二次不等式，关键在于准确求出二次函数的零点.3.双曲线221916y x -=离心率为（ ）A.53B.54C.3D.4【答案】A 【解析】 【分析】由题：3,4,5a b c ===，即可求得离心率.【详解】在双曲线221916y x -=中，3,4,5a b c ===所以离心率53c e a ==. 故选：A【点睛】此题考查根据双曲线方程求离心率，关键在于准确辨析基本量,,a b c 的取值. 4.椭圆的两个焦点分别为()18,0F -、()28,0F ，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为A. 22136100x y +=B. 22110036x y +=C. 221400336x y +=D. 2212012x y +=【答案】B 【解析】 【分析】由焦点坐标，可知椭圆的焦点在x 轴上，且c=8，再根据椭圆的定义得到a=10，进而求得b ，即可得椭圆的方程.【详解】已知两个焦点的坐标分别是F 1（-8，0），F 2（8，0）， 可知椭圆的焦点在x 轴上，且c=8，由椭圆的定义可得：2a=20，即a=10，由a ，b ，c 的关系解得b=22a c -=6∴椭圆方程是22110036x y +=,故选B【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的定义和性质，涉及到两焦点的距离问题时，常采用定义法求椭圆的标准方程.5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ， 22a ， 3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ） A. 7 B. 8C. 15D. 16【答案】C 【解析】 试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n 项和公式．考点：1．等比数列通项公式及前n 项和公式；2．等差中项．6.已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，直线1A E 与平面1B BC 所成角的正弦值为（ ） A.12B.13C.223【答案】B 【解析】 【分析】直线1A E 与平面1B BC 所成角即直线1A E 与平面1A AD 所成角，根据定义找出线面角即可. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，平面1B BC //平面1A AD ，所以直线1A E 与平面1B BC 所成角即直线1A E 与平面1A AD 所成角， 连接11,A E A D ，CD ⊥与平面1A AD ，所以1EA D ∠就是直线1A E 与平面1A AD 所成角， 在1Rt EA D ∆中，11tan 22DE EA D A D ∠== 所以11sin 3EA D ∠=. 故选：B【点睛】此题考查求直线与平面所成角的大小，根据定义找出线面角即可.7.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A. 174斤 B. 184斤C. 191斤D. 201斤【答案】B 【解析】 用128,,,a a a 表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列128,,,a a a 是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴1878179962a ⨯+⨯=， 解得165a =．∴865717184a =+⨯=．选B ．8.关于x 的不等式()221ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A. 3443,,2332⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B. 3443,,2332⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C. 3443,,2332⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D. 3443,,2332⎡⎫⎡⎫--⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】二次不等式作差，利用平方差公式因式分解，分析解集的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一个端点的范围. 【详解】由题：()221ax x -<()2210ax x --<()()()()11110a x a x +---<恰有2个整数解，所以()()110a a +->，即1a >或1a <-，当1a >时，不等式解为1111x a a <<+-，因为110,12a ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，恰有两个整数解即：1,2， 所以1231a <<-，22133a a -<≤-，解得：4332a ≤<；当1a <-时，不等式解为1111x a a <<+-，因为11,012a ⎛⎫∈- ⎪-⎝⎭，恰有两个整数解即：1,2--，所以1321a -≤<-+，()()21131a a -+<≤-+，解得：3423a -<≤-， 综上所述：4332a ≤<或3423a -<≤-. 故选：B【点睛】此题考查含参数的二次不等式，根据不等式的解集特征求参数范围，关键在于准确进行分类讨论.二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.下列判断中正确的是（ ）A. 在ABC ∆中，“60B =︒”的充要条件是“A ，B ，C 成等差数列”B. “1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C. 命题p ：“0x ∃>，使得210x x ++<”，则p 的否定：“0x ∀≤，都有210x x ++≥”D. 若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该动点的轨迹是一条抛物线 【答案】AB 【解析】 【分析】在ABC ∆中，A ，B ，C 成等差数列，即60B =︒，所以A 选项正确；2320x x -+=的解为1x =或2x =，所以B 选项正确；C 选项中p 的否定应该是：“0x ∀>，都有210x x ++≥”，所以该选项错误；D 选项中，若这个定点在这条定直线上，则动点的轨迹是一条直线，所以该选项错误. 【详解】A 选项：在ABC ∆中， “A ，B ，C 成等差数列”即2,3B AC B π=+=，等价于“60B =︒”，所以它们互为充要条件，该选项正确；B 选项：“2320x x -+=”即“1x =或2x =”，所以“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，该选项正确；C 选项： 命题p ：“0x ∃>，使得210x x ++<”，则p 的否定是：“0x ∀>，都有210x x ++≥”，所以该选项说法错误；D 选项：若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，当这个定点在定直线上时，该动点的轨迹是一条直线，所以该选项说法错误. 故选：AB【点睛】此题考查命题真假性的判断，涉及充分条件与必要条件和含有一个量词的命题的否定，关键在于准确判断其说法的正误.10.已知向量a b b c a c ⋅=⋅=⋅，()3,0,1b =-，()1,5,3c =--， 下列等式中正确的是（ ）A. ()a b c b c ⋅=⋅ B. ()()a b c a b c +⋅=⋅+C. ()2222a b ca b c ++=++ D. a b c a b c ++=--【答案】BCD 【解析】 【分析】根据坐标求出3030a b a c b c ⋅=⋅=⋅=-++=，根据向量的运算法则即可判定. 【详解】由题3030b c ⋅=-++=，所以0a b b c a c ⋅=⋅=⋅=()0,0a b c b c ⋅=⋅=不相等，所以A 选项错误；()()0a b c a b c a b b c a b a c +⋅-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅=，所以()()a b c a b c +⋅=⋅+，所以B 选项正确；()2222222222a b c a b c a b b c a c a b c ++=+++⋅+⋅+⋅=++，所以C 选项正确； ()2222222222a b ca b c a b b c a c a b c --=++-⋅+⋅-⋅=++，即()()22a b c a b c ++=--，a b c a b c ++=--，所以D 选项正确.故选：BCD【点睛】此题考查空间向量的运算，根据运算法则进行运算化简即可.11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2n n S a a =-（其中a 为常数），则下列说法正确的是（ ）A. 数列{}n a 一定是等比数列 B. 数列{}n a 可能是等差数列 C. 数列{}n S 可能是等比数列 D. 数列{}n S 可能是等差数列【答案】BD 【解析】 【分析】根据()2n n S a a =-，()112,,2n n S a a n N n --=-∈≥分析出12n n a a -=，对常数a 分类讨论进行辨析.【详解】()2n n S a a =-，()112,,2n n S a a n N n --=-∈≥，两式相减：122n n n a a a -=-，12n n a a -=，2n ≥若0a =，令()111,20n a a ==-，10a =，则0n a =，此时是等差数列，不是等比数列，若0a ≠，令()111,2n a a a ==-，12a a =，则12n n a a -=，2n ≥，此时不是等差数列， 所以数列{}n a 不一定是等比数列，可能是等差数列，所以A 错B 正确；又()()122,2,n n n n S a a S S a n n N *-=-=--≥∈，得122n n S S a -=+，要使{}n S 为等比数列，必有若0a =，已求得此时令()111,20n a a ==-，10a =， 则0,0n n a S ==，此时{}n S 是一个所有项为0的常数列，所以{}n S 不可能为等比数列，所以C 错误D 正确. 故选：BD【点睛】此题考查根据数列的前n 项和n S 和通项n a 的关系辨析数列特点，采用通式通法，对参数进行分类讨论.12.已知方程22mx ny mn +=和0mx ny p ++=（其中0mn ≠且,m n R ∈，0p >），它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是（ ）A. B. C. D.【答案】AC 【解析】 【分析】将直线和曲线方程化简成m p y x n n =--，221x y n m+=，结合每个选项依次对参数的正负分析.【详解】由题：0mn ≠且,m n R ∈，0p >，方程22mx ny mn +=即221x y n m+=，0mx ny p ++=即m p y x n n =--，斜率m n -，y 轴截距p n-， A 选项根据椭圆，0n m >>，直线斜率10m n -<-<，y 轴截距0pn-<，可能； B 选项根据椭圆，0m n >>，直线斜率1m n -<-，但是y 轴截距0pn->不可能，所以B 选项不可能；C 选项根据双曲线，0,0n m ><，直线斜率0m n ->， y 轴截距0pn-<，可能； D 选项根据双曲线，0,0m n ><，直线斜率应该0mn->，与图中不一致，所以该选项不可能. 故选：AC【点睛】此题考查直线与曲线方程以及图象关系的辨析，根据图象逐一分析.三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第15题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13.已知向量()1,4,3a =，()2,,6b t =--，若//a b ，则实数t 的值为_______． 【答案】-8 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示即可求出参数的值.【详解】向量()1,4,3a =，()2,,6b t =--， //a b ， 所以存在λ使b a λ=，()()2,,61,4,3t λ--=，即2463t λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得：28t λ=-⎧⎨=-⎩.故答案为：8-【点睛】此题考查根据向量平行的坐标表示求参数的值，属于简单题目.14.已知正实数x ，y 满足41x y +=，则11x y+的最小值为_______．【答案】9 【解析】 【分析】对11x y+乘以4x y +，利用基本不等式求解. 【详解】由题：41,0,0x y x y +=>>，则()11114x x y y y x +=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 414x y xy=+++14≥+ 9=当且仅当4y xx y=时，取得等号， 即224y x =时，取得等号，此时2x y =，41x y += 即11,36x y ==时，取得最小值9. 故答案为：9【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，注意利用基本不等式解题口诀“一正二定三取等”，求得最值要考虑能否取等号.15.早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．根据图上尺寸，在平面直角坐标系xOy 中，桥拱所在抛物线的方程为_______，溢流孔与桥拱交点 B 的坐标为_______．【答案】 (1). 280x y =-（或2180y x =-） (2). 510,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】①设桥拱所在抛物线的方程22x py =-，经过()20,5-即可求解；②根据四个溢流孔轮廓线相同，从右往左设第一个抛物线()21:142C x p y '-=-，第二个抛物线()22:72C x p y '-=-，根据曲线过点()20,5A -，先求抛物线方程，再求点B 的坐标. 【详解】①设桥拱所抛物线方程22x py =-，由图，曲线经过()20,5-，代入方程()22025p =-⨯-，解得：40p =，所以桥拱所在抛物线方程280x y =-；②四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线()21:142C x p y '-=-，第二个抛物线()22:72C x p y '-=-， 由图抛物线1C 经过点()20,5A -，则()()2201425p '-=-⨯-，解得185p '=， 所以()2236:75C x y -=-， 点B 即桥拱所在抛物线280x y =-与()2236:75C x y -=-的交点坐标， 设(),,714B x y x <<由()22803675714x yx y x ⎧=-⎪⎪-=-⎨⎪<<⎪⎩，解得：1054x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以点510,4B ⎛⎫-⎪⎝⎭. 故答案为：①280x y =-（或2180y x =-）；②510,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】此题考查根据实际意义求抛物线方程和交点坐标，关键在于合理建立模型正确求解. 16.已知一族双曲线n E ：2221x y n n-=+（n *∈N ，且2020n ≤），设直线2x =与n E 在第一象限内的交点为n A ，由n A 向n E 的两条渐近线作垂线，垂足分别为n B ，n C ．记n n n A B C ∆的面积为n a ，则1232020a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 【答案】5052021【解析】 【分析】设出n A 的坐标，依次表示出,n n n n A B B C 的长度，求出n n n A B C ∆的面积，即可求解. 【详解】由题：双曲线渐近线方程为y x =±，即0,0x y x y +=-=，两条渐近线互相垂直， 设()00,n A x y 是双曲线上的点，则220021x y n n-=+ ()00,n A x y 到两条渐近线的距离分别为：n n n n B C A A ==，n n n n A B A C ⊥，所以n n n A B C ∆的面积为()22002111112244n n n n n B C a A A x y n n =⋅==-=⨯+， 即11141n a n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭所以12320201111111422320202021a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11142021⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭5052021=故答案为：5052021【点睛】此题考查根据双曲线上点的坐标关系表示三角形面积，结合数列裂项相消求和，综合性比较强.四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.解下列不等式： （1）24120x x --≤； （2）223x x +<-． 【答案】（1）{}|26x x -≤≤ （2）{|3x x <或}8x > 【解析】 【分析】（1）因式分解成()()620x x -+≤，即可求出解集； （2）不等式变形2203x x +-<-，整理得803x x ->-，等价于解()()830x x -->. 【详解】解：（1）由24120x x --≤，可知()()620x x -+≤， 解得26x -≤≤，所以不等式的解集为{}|26x x -≤≤.（2）由223x x +<-可知2203x x +-<-，整理得803x x -+<-，即803x x ->-， 不等式等价于()()830x x -->，解得3x <或8x >，所以不等式的解集为{|3x x <或}8x >.【点睛】此题考查解二次不等式，关键在于进行因式分解，分式不等式一定转化为与之同解的整式不等式.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且35141350,,,S S a a a +=成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设{}nnb a 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =+；（2）3nn T n =⋅【解析】【详解】试题分析：（1）由3550S S +=，1413,,a a a 成等比数列求出等差数列{}n a 的两个基本量1a 及公差0d ≠从而得数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 是一个等差数列与一个等比较数列之积，用错位相减法求其和． 解题时注意不要混淆公式． 试题解析：（1）依题得1121113254355022(3)(12)a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪⎨⎪+=+⎩ 解得13{2a d ==，1(1)32(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=+，即21n a n ∴=+ （2）1113,3(21)3n n n nn n n b b a n a ---==⋅=+⋅ 2135373(21)3n n T n -∴=+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅①2313335373(21)3(21)3n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅②两式相减得：2312323232323(21)3n nn T n --=+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-+⋅13(13)32(21)31323n nn n n --=+⋅-+⋅-=-⋅ 3n n T n ∴=⋅考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列的通项公式；3.数列的前项和公式；4.错位相消法19.如图1，一个铝合金窗是由一个框架和部分外推窗框组成，其中框架设计如图2，其结构为上、下两栏，下栏为两个完全相同的矩形，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为()8cm ，上栏和下栏的框内矩形高度（不含铝合金部分）比为1:2，此铝合金窗占用的墙面面积为()220000cm ，设该铝合金窗的宽和高分别()a cm ，()b cm ，铝合金的透光部分的面积为()2S cm（外推窗框遮挡光线部分忽略不计）．（1）试用a ，b 表示S ；（2）若要使S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？【答案】（1）S 6420512243a b ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ （2）宽为4003cm ，高为150cm 【解析】 【分析】（1）根据题意设上栏框内高度为()h cm ，下栏框内高度为()2h cm ，则324h b +=，243b h -=，即可表示出透光面积； （2）根据基本不等式642051224205126400141123S a b ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭，等号成立的时刻即为所求.【详解】解：（1）铝合金窗的宽和高分别为()a cm ，()b cm ，0a >，0b >， 由已知20000ab =，①设上栏框内高度为()h cm ，下栏框内高度为()2h cm ， 则324h b +=，243b h -=，所以透光部分的面积()()()()22424241633b b S a a --=-+-6420512243a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）因为0a >，0b >，所以642464003a b +≥==， 所以642051224205126400141123S a b ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当64243a b =时等号成立，此时98b a =， 代入①式得4003a =，从而150b =，即当4003a =，150b =时，S 取得最大值.答：铝合金窗的宽度为4003cm ，高为150cm 时，可使透光部分的面积最大. 【点睛】此题考查函数模型的建立，根据函数关系利用基本不等式或勾型函数单调性求解最值.20.已知抛物线24x y =，过点()4,2P 作斜率为k 的直线l 与抛物线交于不同的两点M ，N ．（1）求k 的取值范围；（2）若OMN ∆为直角三角形，且OM ON ⊥，求k 的值．【答案】（1）2k >或2k <（2）12k =- 【解析】 【分析】（1）设直线的方程，联立直线和抛物线的方程得241680x kx k -+-=，解2420k k -+>即可；（2）结合韦达定理，计算0OM ON ⋅=的坐标表示即可. 【详解】解：（1）由题意，设直线l 方程为()24y k x -=-，联立方程组()2424x yy k x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，消去x 得241680x kx k -+-=，要使直线l 与抛物线交于不同的两点M ，N ，则()21641680k k ∆=-->，即2420k k -+>，解得2k >或2k <综上，k 的取值范围为2k >+2k <（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由（1）可知1x ，2x 是241680x kx k -+-=的两个根， 则124x x k +=，12168x x k =-，法一：因为OMN ∆为直角三角形，且OM ON ⊥， 所以0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，因为()()12124242y y kx k kx k =-+⋅-+()()()2212124242k x x k k x x k =--++-()()()()22221684424242k k k k k k =---+-=-，所以有()2168420k k -+-=， 解得12k =或12k =-， 当12k =时，直线过原点，O ，M ，N 不能够构成三角形， 所以12k =-.法二：因为OMN ∆为直角三角形，且OM ON ⊥， 所以0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，因为()2221212124416x x x x y y =⋅=，所以()21212016x x x x +=， 因为120x x ≠，所以1216x x =-， 即16816k -=-，解得12k =-， 此时满足（1）中k 的取值范围，所以12k =-. 【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，根据位置关系求解参数的范围，根据其中的几何关系结合韦达定理求解参数.21.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2AB =，AF t =，M 是线段EF 的中点．（1）求证：//AM 平面BDE ；（2）若1t =，求二面角A DF B --的大小；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF BE ⊥，求t 的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3π；（32. 【解析】 【分析】 （1）设ACBD O =，连结AM ，EO ，通过证明OAME 为平行四边形得//AM EO ，或者建立空间直角坐标系，利用向量证明平行；（2）建立空间直角坐标系，利用向量方法分别求出两个半平面的法向量的夹角即可得到二面角的大小；（3）根据向量的坐标表示，0PF BE ⋅=得()2210t λ--+=恒有解即可求出t 的范围.【详解】解：（1）法一：设ACBD O =，连结AM ，EO ，因为矩形ACEF 中M 是线段EF 的中点，O 是线段AC 的中点， 所以//EM AO ，EM AO =，所以OAME 为平行四边形， 故//AM EO ，又AM ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，所以//AM 平面BDE ；法二：由题意，正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直， 因为平面ABCD平面ACEF CA =，EC AC ⊥，所以EC ⊥平面ABCD ，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为2AB =，AF t =，M 是线段EF 的中点，则()2,0,0D，()2,2,0A，()0,2,0B ，()0,0,E t ，()2,2,Ft ，22,,22M t ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，从而22,,22AM t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,DE t =-，()2,2,0BD =-，()0,2,DF t =，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则由00n DE n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可知20220x tz x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，不妨令1x =，则1y =，2z =，从而平面BDE 的一个法向量为21,1,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 计算可知2220AM n ⋅=--+=，又AM ⊄平面BDE ， 所以AM n ⊥，从而//AM 平面BDE .（2）若1t =，则()2,2,0BD =-，()0,2,1DF =，平面ADF 的一个法向量为()1,0,0p =，设平面BDF 的法向量为(),,q x y z =，则由00q DF q BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可知20220y z x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，不妨令1x =，则1y =，2z =-，从而平面BDF 的一个法向量为()1,1,2q =-， 设二面角A DF B --的平面角为θ， 因为θ为锐角，所以11cos cos ,122p q θ===⨯， 所以二面角A DF B --的大小为3π. （3）因为点P 在线段AC 上，而()2,2,0CA =，设CP CA λ=，其中[]0,1λ∈， 则()2,2,0CP λλ=，从而P 点坐标为()2,2,0λλ，于是()22,22,PF t λλ=--，而()0,2,BE t =-，则由PF BE ⊥可知0PF BE ⋅=，即()2210t λ--+=， 所以()2212t λ=-≤，解得2t ≤，故t 的最大值为2.【点睛】此题考查立体几何中的证明和计算问题，利用空间向量解决二面角的大小和探索性的问题，解体更加简便.22.如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，P 为椭圆上在第一象限内一点．（1）若1221PF F PAF PBF S S S ∆∆∆==． ①求椭圆的离心率e ；②求直线1PF 的斜率．（2）若2PAF S ∆，12PF F S ∆，1PBF S ∆成等差数列，且130F BO ∠≤︒，求直线1PF 的斜率的取值范围．【答案】（1）①13e =；②3k = ；（2k ≤<【解析】【分析】 （1）①根据122PF F PAF S S ∆∆=得122F F F A =，即2a c c -=，可得离心率；②设1PF 的直线方程，由121PF F PBF S S ∆∆=，得111122PF PF =即可求得斜率； （2）根据130F BO ∠≤︒得离心率的范围1152e <≤，根据2PAF S ∆，12PF F S ∆，1PBF S ∆成等差数列，计算化简得6b k c a=-，平方处理成关于离心率e 的函数关系，利用函数单调性求范围. 【详解】解：（1）①因为122PF F PAF S S ∆∆=，所以122F F F A =，所以2a c c -=，即3a c =，所以13e =. ②设1PF 的直线方程为()y k x c =+，因为121PF F PBF S S ∆∆=，所以111122PF PF =， 所以2b kc kc -=，则2b kc kc -=±，因为P 在第一象限，所以0b k c <<， 所以3b kc =，因3a c =，所以b =，所以3k =. （2）设12PF F S t ∆=，则22PAF a c S t c ∆-=，因为P 在第一象限，所以b k c<，1122PBF PF F S b kc S kc ∆∆-==，所以12PBF b kc S t kc∆-=⋅， 因2PAF S ∆，12PF F S ∆，1PBF S ∆成等差数列，所以222a c b kc t t t c kc--=+⋅， 所以4kc ak ck b kc =-+-，所以()6k c a b -=，所以6b k c a=-， 所以6b b c a c <-，所以115e <<，又由已知130F BO ∠≤︒，所以11sin 2F BO ∠≤， 因为1sin F BO e ∠=，所以1152e <≤， 因为2222222236123612b a c k c ac a c ac a-==-+-+()2222113612161e e e e e --==-+-， 令61m e =-，所以16m e +=， 22221113526136m k m m m +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-- ⎪⎝⎭235111363535m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 因为1152e <≤，所以125m <≤， 所以1152m ≤<，所以232416k ≤<， 因为P 为椭圆上在第一象限内一点，所以0k >，所以4k ≤<【点睛】此题考查根据椭圆基本量的关系求离心率和直线斜率，根据直线与椭圆形成三角形面积关系，求解斜率范围，涉及函数与方程思想，转化与化归思想.。
2018-2019学年江苏省苏州市高二第一学期期末数学试卷〖详解版〗
2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）命题：∃x∈R，x2﹣x+1＝0的否定是．2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝8x的焦点坐标为．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，三点A（1，0），B（a，3），C（0，2）共线，则实数a的值为．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，方程表示的曲线是双曲线，则实数k的取值范围是．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0上，则OP的最小值为．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（2，2），则以线段AB为直径的圆的标准方程为．7．（5分）函数f（x）＝e x﹣x的单调递增区间为．8．（5分）已知直线l，m及平面α，l⊄α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的条件．（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）9．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在“堑堵”ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，若“阳马”B﹣A1ACC1的体积为20cm3，则“堑堵”ABC﹣A1B1C1的体积为cm3．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点．若AB⊥CF，则该椭圆离心率为．11．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③若m⊂β，α∥β，则m∥α．正确命题的序号是．12．（5分）已知y＝kx+b是函数f（x）＝lnx+x13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，B（0，），若在圆C上存在点P，使得∠14．（5分）若函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等腰梯形ABCD，AB∥DC，AD＝BC ＝4，AB＝8，DC＝6．以A，B为焦点的双曲线（a＞0，b＞0）过C，D两点．（1）求双曲线的方程；（2）写出该双曲线的离心率和渐近线方程．16．（14分）如图，AC，DF分别为正方形ABCD和正方形CDEF的对角线，M，N分别是线段AC，DF上的点，且AM＝MC，DN＝NF．（1）证明：MN∥平面BCF；（2）证明：MN⊥DC．17．（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0．（1）若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求切线l的方程；（2）已知点P（x1，y1）为直线y＝2x﹣6上一点，由点P向圆C引一条切线，切点为M，若PM＝PO，求点P的坐标．18．（15分）光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为k1，与光源距离的平方成反比，比例系数为k2（k1，k2均为正常数）．如图，强度分别为8，1的两个光源A，B之间的距离为10，物体P在连结两光源的线段AB上（不含A，B）．若物体P到光源A的距离为x．（1）试将物体P受到A，B两光源的总照度y表示为x的函数，并指明其定义域；（2）当物体P在线段AB上何处时，可使物体P受到A，B两光源的总照度最小？19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，右准线方程为x＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点A在第三象限内．M 为椭圆C的上顶点，记直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．①若直线l经过原点，且k1﹣k2＝，求点A的坐标；②若直线l过点（﹣2，﹣1），试探究k1+k2是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）＝alnx+b（x﹣1）（x﹣2），其中a，b∈R．（1）当b＝1时，若f（x）在x＝2处取得极小值，求a的值；（2）当a＝1时．①若函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，求b的取值范围；②若存在实数x0＞1，使得f（x0）＜0，求b的取值范围．2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以∃x∈R，x2﹣x+1＝0的否定是：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．故答案为：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．2．【解答】解：抛物线y2＝8x的开口向右，P＝4，所以抛物线的焦点坐标（2，0）．故答案为：（2，0）．3．【解答】解：由题意得：＝，解得：a＝﹣，故答案为：﹣．4．【解答】解：若方程表示的曲线为双曲线，则（2﹣k）（k﹣1）＜0，即（k﹣2）（k﹣1）＞0，解得k＜1，或k＞2，即k∈（﹣∞，1）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，1）∪（2，+∞）．5．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0上，∴OP的最小值为点O（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离：d＝＝2．故答案为：2．6．【解答】解：A（﹣2，0），B（2，2），则以线段AB为直径的圆的圆心为C（0，1），半径为r＝|AB|＝×＝，∴所求的圆的标准方程为x2+（y﹣1）2＝5．故答案为：x2+（y﹣1）2＝5．7．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣x的导数为f′（x）＝e x﹣1，由f′（x）＞0，即e x﹣1＞0，e x＞1＝e0，解得x＞0，故答案为：（0，+∞）．8．【解答】解：由“l⊥α“则直线l垂直平面α中的任意直线，又m⊂α，则“l⊥m”，即“l ⊥m”是“l⊥α”的必要条件，由“l⊥m”，则直线l不一定垂直平面α，即“l⊥m”是“l⊥α”的不充分条件，即“l⊥m”是“l⊥α”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件9．【解答】解：如图，连接A1C，根据等底等高，易得：＝，∵B﹣A1ACC1的体积为20cm3，∴ABC﹣A1B1C1的体积为30cm3，故答案为：30．10．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点．若AB⊥CF，可得：•＝﹣1，可得b2＝ac＝a2﹣c2，可得e2+e﹣1＝0，e∈（0，1），解得e＝．故答案为：．11．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在①中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故①错误；在②中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故②错误；在③中，若m⊂β，α∥β，则由面面平行的性质定理得m∥α，故③正确．故答案为：③．12．【解答】解：根据题意，直线y＝kx+b与函数f（x）＝lnx+x相切，设切点为（m，lnm+m），函数f（x）＝lnx+x，其导数f′（x）＝+1，则f′（m）＝+1，则切线的方程为：y﹣（lnm+m）＝（+1）（x﹣m），变形可得y＝（+1）x+lnm﹣1，又由切线的方程为y＝kx+b，则k＝+1，b＝lnm﹣1，则2k+b＝+2+lnm﹣1＝lnm++1，设g（m）＝lnm++1，其导数g′（m）＝﹣＝，在区间（0，2）上，g′（m）＜0，则g（m）＝lnm++1为减函数，在（2，+∞）上，g′（m）＞0，则g（m）＝lnm++1为增函数，则g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即2k+b的最小值为ln2+2；故答案为：ln2+2．13．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A（0，），B（0，），使得∠APB＝60°，可知P在以AB为弦的一个圆上，圆的圆心在AB的中垂线上，半径为：＝2，则P的方程为：（x﹣1）2+y2＝22，或：（x+1）2+y2＝22，已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2，若在圆C上存在点P和，使得∠APB＝60°，就是两个圆有公共点，可得：≤r+2，并且解得r∈[﹣2，4+2]．故答案为：[﹣2，4+2]．14．【解答】解：f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1，∴f′（x）＝（x﹣a）（3x﹣a﹣2）令f′（x）＝0，解得x＝a或x＝，∵f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1有三个不同的零点，∴f（x）极大值f（x）极小值＜0，∴f（a）f（）＜0，即（﹣a+1）[（﹣1）（﹣a）2﹣a+1]＜0，整理可得（a﹣1）2（）＞0，即4（a﹣1）2﹣27＞0，解得a＜1﹣或a＞1+故答案为：（﹣∞，1﹣）∪（1+，+∞）二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．【解答】解：（1）等腰梯形ABCD，AB∥DC，AD＝BC＝4，AB＝8，DC＝6，等腰梯形的高为＝，可得A（﹣4，0），B（4，0），C（3，），D（﹣3，），则CA＝＝8，CB＝＝4，由2a＝CA﹣CB＝4，即a＝2，又AB＝8，即c＝4，b＝＝2，则双曲线的方程为﹣＝1；（2）双曲线的离心率e＝＝2；渐近线方程为y＝±x．16．【解答】解：（1）证明：取DC的三等分点P，使DP＝，∵，∴MP∥AD，∴MP∥BC，∴MP∥平面FBC，∵，∴NP∥FC，∴NP∥平面FBC，∴平面MNP∥平面FBC，∴MN∥平面FBC；（2）∵CD⊥CB，CD⊥CF，∴CD⊥平面FBC，∴CD⊥平面MNP，∴CD⊥MN，即MN⊥DC17．【解答】解：（1）根据题意，圆C切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，则设切线方程为x+y＝a（a≠0），又圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝2，其圆心C（﹣1，2），半径r＝，则有＝，解可得：a＝﹣1或a＝3，故所求切线方程为x+y+1＝0或x+y﹣3＝0；（2）根据题意，由于PM为切线且M为切点，则PM2＝PC2﹣MC2，又由PM＝PO，则2PO2＝PC2﹣MC2，若点P（x1，y1），O（0，0），MC＝r＝，则（x1+2）2+（y1﹣2）2﹣2＝2（x12+y12），变形可得：x12+y12﹣2x1+4y1﹣3＝0，①，点P（x1，y1）为直线y＝2x﹣6上一点，则y1＝2x1﹣6，②联立①②可得：，变形可得：5x12﹣18x1+9＝0，解可得x1＝或x1＝3；当x1＝时，y1＝﹣，此时P的坐标为（，﹣），当x1＝3时，y1＝0，此时P的坐标为（3，0）则P的坐标为（，﹣）或（3，0）．18．【解答】解：（1）若物体P到光源A的距离为x，则物体P到光源B的距离为10﹣x，∵P在线段AB上且不与A，B重合，故0＜x＜10，∵光对物体的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，故P点受A光源的照度为：，P点受B光源的照度为：，故问题P收到A，B两光源的总照度y＝+，x∈（0，10）；（2）∵f（x）＝+，x∈（0，10），∴f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得：x＝，当0＜x＜时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）递减，当＜x＜10时，f′（x）＞0，故f（x）在（，10）递增，故当x＝时，f（x）取极小值，且是最小值，故在线段AB上距光源A为处，物体P受到A，B两光源的总照度最小．19．【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，右准线方程为x＝，∴，解得．又∵，∴椭圆C的标准方程为；（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），M为椭圆的上顶点，则M（0，1），∵直线l经过原点，由椭圆对称性可知，B（﹣x1，﹣y1），∵点A（x1，y1）在椭圆上，∴，即．∵，＝．∴．∴，解得或．∵点A在第三象限角，∴k1＞，则k1＝1．则直线MA的方程为y＝x+1．联立，解得或，∴A（）．②直线l过点（﹣2，﹣1），设其方程为y+1＝k（x+2）．联立方程组，消去y可得（4k2+1）x2+8k（2k﹣1）x+16k（k﹣1）＝0．当△＞0时，由韦达定理可知，，．∴＝＝＝＝2k+（1﹣2k）＝1．20．【解答】解：（1）当b＝1时，f（x）＝alnx+（x﹣1）（x﹣2），f′（x）＝+2x﹣3，∵f（x）在x＝2处取极小值，故f′（2）＝0，解得：a＝﹣2，此时，f′（x）＝，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）在x＝2处取极小值，故a＝﹣2符合题意；（2）当a＝1时，∵f（x）＝lnx+b（x﹣1）（x﹣2），∴f′（x）＝，令g（x）＝2bx2﹣3bx+1，①∵f（x）在（1，2）递增，∴f′（x）≥0在（1，2）恒成立，即g（x）≥0在（1，2）恒成立，1°当b＝0时，则g（x）＝1，满足题意，2°当b≠0时，g（x）的对称轴是x＝＜1，故，解得：﹣≤b＜0或0＜b≤1，综上，实数b的范围是[﹣，1]；②1°当b＝0时，f（x）＝lnx，与题意不符，2°当b＜0时，取x0＝3﹣，则x0＞1，令h（x）＝lnx﹣x+1，则h′（x）＝﹣1，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）递增，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）递减，故h（x）≤h（1）＝0，即lnx≤x﹣1，故f（x0）＝lnx0+b（x0﹣1）（x0﹣2）≤（x0﹣1）+b（x0﹣1）（x0﹣2）＝2b﹣1＜0，故b＜0符合题意；3°当0＜b≤1时，∵g（x）＝2bx2﹣3bx+1在（1，+∞）递增且g（1）＝1﹣b≥0，故f′（x）＝≥0在（1，+∞）恒成立，故f（x）在（1，+∞）递增，故f（x）≥f（1）＝0恒成立，与题意不符；4°当b＞1时，∵g（1）＝1﹣b＜0，g（2）＝2b+1＞0，由零点存在性原理可知，存在x1∈（1，2），使得g（x1）＝0，故当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，取x0＝x1＞1，则f（x0）＜f（1）＝0，符合题意，综上，实数b的范围是（﹣∞，0）∪（1，+∞）．。
江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷(解析版)
江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷（解析版）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.命题：，的否定是______．【答案】，【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，的否定是：，．故答案为：，．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查特称命题与全称命题的否定关系，考查基本知识的应用．2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点坐标为______．【答案】【解析】解：抛物线的开口向右，，所以抛物线的焦点坐标．故答案为：．直接利用抛物线的标准方程，求解抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．3.在平面直角坐标系xOy中，三点，，共线，则实数a的值为______．【答案】【解析】解：由题意得：，解得：，故答案为：．根据斜率的公式以及三点共线得到关于a的方程，解出即可．本题考查了三点共线问题，考查直线的斜率问题，是一道常规题．4.在平面直角坐标系xOy中，方程表示的曲线是双曲线，则实数k的取值范围是______．【答案】【解析】解：若方程表示的曲线为双曲线，则，即，解得，或，即，故答案为：．由双曲线方程的特点可得，解之可得k的范围．本题考查双曲线的简单性质，得出是解决问题的关键，属基础题．5.在平面直角坐标系xOy中，点在直线上，则OP的最小值为______．【答案】【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，点在直线上，的最小值为点到直线的距离：．故答案为：．OP的最小值为点到直线的距离．本题考查两点间的距离的最小值的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.在平面直角坐标系xOy中，，，则以线段AB为直径的圆的标准方程为______．【答案】【解析】解：，，则以线段AB为直径的圆的圆心为，半径为，所求的圆的标准方程为．故答案为：．求出线段AB的中点为圆心，半径为，再写出圆的标准方程．本题考查了圆的标准方程与应用问题，是基础题．7.函数的单调递增区间为______．【答案】【解析】解：函数的导数为，由，即，，解得，故答案为：．求出函数的导数，由导数大于0，结合指数函数的单调性，解不等式即可得到所求增区间．本题考查导数的运用：求单调区间，考查运算能力，属于基础题．8.已知直线l，m及平面，，，则“”是“”的______条件请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空【答案】必要不充分【解析】解：由““则直线l垂直平面中的任意直线，又，则“”，即“”是“”的必要条件，由“”，则直线l不一定垂直平面，即“”是“”的不充分条件，即“”是“”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件由线面垂直的性质定理可知：若““则直线l垂直平面中的任意直线，又，，得：“”是“”的必要条件，由线面垂直的判定定理可知：若“”，则直线l不一定垂直平面，本题考查了直线与平面垂直的判定，充分、必要条件，属简单题9.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥如图，在“堑堵”中，，若“阳马”的体积为，则“堑堵”的体积为______．【答案】30【解析】解：如图，连接，根据等底等高，易得：，的体积为，的体积为，故答案为：30．连接，C，把三棱柱分为体积相等的三个三棱锥，问题得解．此题考查了三棱柱，三棱锥的体积，难度不大．10.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点若，则该椭圆离心率为______．【答案】【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点若，可得：，可得，可得，，解得．故答案为：．利用已知条件，推出方程求出椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面下列命题中：若，，则；若，，则；若，，则．正确命题的序号是______．【答案】【解析】解：由m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在中，若，，则m与n相交、平行或异面，故错误；在中，若，，则或，故错误；在中，若，，则由面面平行的性质定理得，故正确．故答案为：．在中，m与n相交、平行或异面；在中，或；在中，由面面平行的性质定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.已知是函数的切线，则的最小值为______．【答案】【解析】解：根据题意，直线与函数相切，设切点为，函数，其导数，则，则切线的方程为：，变形可得，又由切线的方程为，则，，则，设，其导数，在区间上，，则为减函数，在上，，则为增函数，则，即的最小值为；故答案为：．根据题意，设切线的坐标为，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的方程为：，变形可得，分析可得，，进而可得，设，求出，利用函数的导数与单调性的关系，分析可得的最小值，即可得答案．本题考查利用导数分析切线的方程以及函数的单调性与最值，关键是掌握导数的几何意义．13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：和点，，若在圆C上存在点P，使得，则半径r的取值范围是______．【答案】【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，点，，使得，可知P在以AB为弦的一个圆上，圆的圆心在AB的中垂线上，半径为：，则P的方程为：，或：，已知圆C：，若在圆C上存在点P和，使得，就是两个圆有公共点，可得：，并且解得．故答案为：．点，，求出点P的轨迹方程，使得，通过两个圆的位置关系转化求解半径r的取值范围．本题考查直线与圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，中档题．14.若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：，令，解得或，有三个不同的零点，，极大值极小值，即，整理可得，即，解得或故答案为：求出导函数，利用函数的极值的符号，列出不等式组求解即可．本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用函数的导数的应用，极值的求法，考查分析问题解决问题的能力．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等腰梯形ABCD，，，，以A，B为焦点的双曲线过C，D两点．求双曲线的方程；写出该双曲线的离心率和渐近线方程．【答案】解：等腰梯形ABCD，，，，，等腰梯形的高为，可得，，，，则，，由，即，又，即，，则双曲线的方程为；双曲线的离心率；渐近线方程为【解析】由勾股定理求得等腰梯形的高，求出A，B，C，D的坐标，可得CA，CB的距离，由双曲线的定义可得a，再由a，b，c的关系可得b，即可得到双曲线的方程；由离心率公式和渐近线方程即可得到所求．本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查待定系数法和方程思想，以及运算能力，属于基础题．16.如图，AC，DF分别为正方形ABCD和正方形CDEF的对角线，M，N分别是线段AC，DF上的点，且，．证明：平面BCF；证明：．【答案】解：证明：取DC的三等分点P，使，，，，平面FBC，，，平面FBC，平面平面FBC，平面FBC；，，平面FBC，平面MNP，，即【解析】取DC的三等分点P，通过平面MNP平行平面FCB可得线面平行；利用DC垂直平面FBC，易证．此题考查了线面平行，线面垂直等，难度不大．17.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：．若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求切线l的方程；已知点为直线上一点，由点P向圆C引一条切线，切点为M，若，求点P的坐标．【答案】解：根据题意，圆C切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，则设切线方程为，又圆C：，其圆心，半径，则有，解可得：或，故所求切线方程为或；根据题意，由于PM为切线且M为切点，则，又由，则，若点，，，则，变形可得：，，点为直线上一点，则，联立可得：，变形可得：，解可得或；当时，，此时P的坐标为，当时，，此时P的坐标为则P的坐标为或．【解析】根据题意，利用待定系数法给出切线的截距式方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；根据题意，由直线与圆的位置关系可得，又由，则，代入点的坐标可得，变形可得：，，又由点为直线上一点，则，，联立，解可得的值，进而计算可得的值，即可得答案．本题考查直线与圆的方程以及应用，涉及直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，属于基础题．18.光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为，与光源距离的平方成反比，比例系数为均为正常数如图，强度分别为8，1的两个光源A，B之间的距离为10，物体P在连结两光源的线段AB上不含A，若物体P到光源A的距离为x．试将物体P受到A，B两光源的总照度y表示为x的函数，并指明其定义域；当物体P在线段AB上何处时，可使物体P受到A，B两光源的总照度最小？【答案】解：若物体P到光源A的距离为x，则物体P到光源B的距离为，在线段AB上且不与A，B重合，故，光对物体的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，故P点受A光源的照度为：，P点受B光源的照度为：，故问题P收到A，B两光源的总照度，；，，，令，解得：，当时，，故在递减，当时，，故在递增，故当时，取极小值，且是最小值，故在线段AB上距光源A为处，物体P受到A，B两光源的总照度最小．【解析】反比求出P点受A光源的照度，P点受B光源的照度，求和即可；求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．19.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，右准线方程为．求椭圆C的标准方程；已知斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点A在第三象限内为椭圆C的上顶点，记直线MA，MB的斜率分别为，．若直线l经过原点，且，求点A的坐标；若直线l过点，试探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．【答案】解：椭圆的离心率为，右准线方程为，，解得．又，椭圆C的标准方程为；设，，M为椭圆的上顶点，则，直线l经过原点，由椭圆对称性可知，，点在椭圆上，，即．，．．，解得或．点A在第三象限角，，则．则直线MA的方程为．联立，解得或，直线l过点，设其方程为．联立方程组，消去y可得．当时，由韦达定理可知，，．．【解析】由已知列关于a，c的方程组，求解可得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆C的标准方程可求；设，，M为椭圆的上顶点，则，由椭圆对称性可知，由点在椭圆上，得到，求出，结合，可得，则直线MA的方程可求，再与椭圆方程联立即可求得A的坐标；直线l过点，设其方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系即可得到是定值．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.已知函数，其中a，．当时，若在处取得极小值，求a的值；当时．若函数在区间上单调递增，求b的取值范围；若存在实数，使得，求b的取值范围．【答案】解：当时，，，在处取极小值，故，解得：，此时，，当时，，递减，当时，，递增，故在处取极小值，故符合题意；当时，，，令，在递增，在恒成立，即在恒成立，当时，则，满足题意，当时，的对称轴是，故，解得：或，综上，实数b的范围是；当时，，与题意不符，当时，取，则，令，则，当时，，递增，当时，，递减，故，即，故，故符合题意；当时，在递增且，故在恒成立，故在递增，故恒成立，与题意不符；当时，，，由零点存在性原理可知，存在，使得，故当时，，递减，取，则，符合题意，综上，实数b的范围是．【解析】代入b的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点，从而求出a的值即可；代入a的值，求出函数的导数，通过讨论b的范围求出函数的单调区间，从而确定b的范围即可；通过讨论b的范围，求出函数的导数，结合函数的单调性确定b的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查分类讨论思想，转化思想以及函数恒成立问题，是一道综合题，。
精品解析：江苏省2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
P 使 PA1 2c, PA2 2c 2a ，此时 PF1F2 为等腰三角形，
也且仅有一个点 P 使 PA2 2c, PA1 2c 2a ，此时 PF1F2 为等腰三角形，同理可得第二三四象限每
个象限也有且仅有两个点，一共八个，
所以 C 是真命题；
0
A1PA2 2
F1PF2 2
2
，根据焦点三角形面积的二级结论 SPF1F2
A. PA1 PA2 2a
B.
直线
PA1,
PA2
的斜率之积等于定值
b2 a2
C. 使得 PF1F2 为等腰三角形的点 P 有且仅有 8 个
b2 D. PF1F2 的面积为 tan A1PA2
2
【答案】BC 【解析】 【分析】 结合双曲线的几何性质和常见二级结论推导即可得解.
【详解】在 A1PA2 中，两边之差小于第三边，即 PA1 PA2 A1A2 2a ，所以 A 不是真命题；
1(a＞b＞0) 的离心率为
3 ，过右焦点 F 且斜率为 k(k＞0) 的直线与 C 相交于 2
A、B 两点．若 AF 3FB ，则 k
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
【答案】B
【解析】
因为 e c a
3 ，所以 c 2
3 2
a ，从而 b2
a2
c2
a2 4
，则椭圆方程为
x2 a2
+
4y2 a2
9.若 a 0,b 0, a b 2 ，则下列不等式,其中正确的有（ ）
A. ab 1
B. a b 2
C. a2 b2 2
【答案】ACD 【解析】 【分析】
D. 1 1 2 ab
2019年江苏省南通市启东高二上册期末数学试卷(有答案)-精编.doc
江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则的虚部是．2．（5分）命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入的值为．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是．5．（5分）抛物线2=4y的焦点到准线的距离为．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为．7．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为．8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．10．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”；命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）在平面直角坐标系Oy中，直线m﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆32+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值．13．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知为复数，+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数和||；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．16．（14分）已知命题p：∀∈R，t2++t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃∈[2，16]，tlog2+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t 的取值范围．17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求的值．18．（16分）已知圆O：2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P 为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥轴，且点B在轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．24．（10分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与轴的交点为N．求证：向量与共线．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则的虚部是﹣．【解答】解：复数=﹣=﹣=﹣﹣i，则的虚部=﹣．故答案为：．2．（5分）命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是∀∈R，2﹣2＞0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是：∀∈R，2﹣2＞0．故答案为：∀∈R，2﹣2＞0．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入的值为﹣1．【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（）=的值，当≥0时，y=2+1=1，解得=﹣1，不合题意，舍去；当＜0时，y=2﹣2=1，解得=±1，应取=﹣1；综上，的值为﹣1．故答案为：﹣1．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是0.1．【解答】解：数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：=×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：S2=×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．5．（5分）抛物线2=4y的焦点到准线的距离为2．【解答】解：抛物线2=4y的焦点到准线的距离为：p=2．故答案为：2．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为18．【解答】解：设从高二年级学生中抽出人，由题意得=，解得=18，故答案为：187．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n ∈N∗）．【解答】解：观察下列各式9﹣1=32﹣12=8=4×（1+1），16﹣4=42﹣22=12=4×（1+2），25﹣9=52﹣32=16=4×（1+3），36﹣16=62﹣42=20=4×（1+4），，…，分析等式两边数的变化规律，我们可以推断（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）故答案为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点为（±4，0），又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在轴上，且c=4，设其方程为﹣=1，又由双曲线的离心率e=2，即e==2，则a=2，b2=c2﹣a2=16﹣4=12，则双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．【解答】解：将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和不小于9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共有10个，∴出现向上的点数之和不小于9的概率：p=．故答案为：．10．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”；命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a=1．【解答】解：若命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”为真；则1﹣a≥0，解得：a≤1，若命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”为真，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a=1，故答案为：a≤﹣2，或a=111．（5分）在平面直角坐标系Oy中，直线m﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．【解答】解：直线m﹣y﹣3m﹣2=0过定点I（3，﹣2），圆（﹣2）2+（y+1）2=4的圆心坐标C（2，﹣1），半径为r=2．如图，∵|CI|=，∴直线m﹣y﹣3m﹣2=0被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．故答案为：．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆32+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值5．【解答】解：由椭圆32+4y2﹣12=0作出椭圆如图，由a2=4，b2=3，得c2=1，c=1，∴=，由椭圆的第二定义可得，椭圆上的点到左焦点的距离|PF1|与到左准线的距离的比值为e=，∴2|PF1|为椭圆上的点到左准线的距离，过A作AB⊥左准线l与B，交椭圆于P，则P点为使|PA|+2|PF1|最小的点，最小值为A到l的距离，等于1+=1+4=5．故答案为：5．13．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是{m|} ．【解答】解：如图，当D（0，3m）时，∠ADB=60°，故满足条件的点P必在以A、B、D三点所确定的圆周上，∴该圆圆心为M（0，m），要使圆C上存在点P，由两圆必有交点，即|r M﹣r C|≤|MC|≤|r M+r C|，如图，∴|r M﹣r C|2≤|MC|2≤|r M+r C|2，∴（2m﹣2）2≤（3）2+（m﹣5）2≤（2m+2）2，由m＞0，解得2．故答案为：{m|}．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围（，1）．【解答】解：设P（0，y0），M（M，y M），∵，∴=（0+c，y0）=（M+c，y M）∴M（0﹣c，y0），=（0﹣c，y0），∵PO⊥F2M，=（0，y0）∴（0﹣c）0+y02=0即02+y02=2c0，联立方程得：，消去y0得：c202﹣2a2c0+a2（a2﹣c2）=0，解得：0=或0=，∵﹣a＜0＜a，∴0=∈（0，a），∴0＜a2﹣ac＜ac解得：e＞，综上，椭圆离心率e的取值范围为（，1）．故答案为：（，1）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知为复数，+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数和||；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设=a+bi（a，b∈R），则+2i=a+（b+2）i，由+2i为实数，得b+2=0，则b=﹣2．由=为实数，得，则a=4，∴=4﹣2i，则；（2）由=4+3m+（m2﹣4）i在第四象限，得，解得．16．（14分）已知命题p：∀∈R，t2++t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃∈[2，16]，tlog2+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）∵∀∈R，t2++t≤0，∴t＜0且△=1﹣4t2≤0，解得∴p为真命题时，．…（6分）（2）∃∈[2，16]，tlog2+1≥0⇒∃∈[2，16]，有解．又∈[2，16]时，，∴t≥﹣1．…（8分）∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p真q假或p假q真，当p假q真，有解得；当p真q假，有解得t＜﹣1；∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时，t＜﹣1或．…（14分）17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求的值．【解答】解：（1）∵方程为+=1表示椭圆，则，解得∈（1，5）∪（5，9）…（6分）（未去5扣2分）（2）①当9﹣＞﹣1时，依题意可知a=，b=，∴c=，∵=，∴，∴=2；②当9﹣＜﹣1时，依题意可知b=，a=，∴c=，∵=，∴，∴=8；∴的值为2或8．（一种情况（4分）共8分）18．（16分）已知圆O：2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P 为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）设点P（，y），2+y2=4，，，因为，所以（﹣a）2+（y﹣2）2=λ2[（﹣m）2+（y﹣1）2]，化简得2a+4y﹣a2﹣8=λ2（2m+2y﹣m2﹣5），因为P为圆O上任意一点，所以，又m＞0，λ＞0，解得，所以常数．…（8分）（2）设M（0，y0），M是线段NE的中点，N（20﹣2，2y0﹣t），又M，N在圆C上，即关于，y的方程组有解，化简得有解，即直线n：8+4ty﹣t2﹣7=0与圆C：2+y2=1有交点，则，化简得：t4﹣2t2﹣15≤0，解得．…（16分）19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．【解答】解：（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a 1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、，使得，…5分则h2=22，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则2=2t2，所以也为偶数，则h、有公约数2，这与h、互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数．…10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分设公差为d，显然d≠0，则，消去d得，，…13分由n、m、p都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项．…16分．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥轴，且点B在轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．【解答】解：（1）由椭圆C：，得a2=16，b2=12，∴，则F（﹣2，0），由BF⊥轴，不妨设B（﹣2，﹣3），∵A（﹣4，0），∴直线AB：y=﹣（+4），又左准线l：=﹣8，∴P（﹣8，6），又=λ1，∴，得，由=λ2，得，得，又，∴，∵，由系数相等得，得；（2）证明：设点C（1，y1），D（2，y2），Q（0，y0），由=λ1，得（1+2，y1+3）=λ1（0﹣1，y0﹣y1），得，，代入椭圆方程：，得：，显然λ1≠0，∴，同理得：，又由（1），∴，整理得：0+y0+2=0，即点Q在定直线﹣y+2=0上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．【解答】解：（1）由=，∴2﹣2a=﹣4⇒a=3．（2）由（1）知M=，则矩阵M的特征多项式为令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为﹣1与4．当λ=﹣1时，∴矩阵M的属于特征值﹣1的一个特征向量为；当λ=4时，∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．（1分）∵∴，∴ρsinθ+ρcosθ=1．（2分）∴该直线的直角坐标方程为：+y﹣1=0．（3分）（Ⅱ）圆M的普通方程为：2+（y+2）2=4（4分）圆心M（0，﹣2）到直线+y﹣1=0的距离．（5分）所以圆M上的点到直线的距离的最小值为．（7分）23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣y，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为=（，y，），则，取=（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），∵|cos＜，＞|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．∴a=﹣，b=0，c=，∴=（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．24．（10分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与轴的交点为N．求证：向量与共线．【解答】解：（1）设P（0，y0），则S（﹣1，y0），∴=（0，y0）•（4，﹣y0）=4=0，∴．∴曲线C：y2=4．证明：（2）设Q（1，y1），则，y2=4，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），∵PQ过F，∴01=﹣=1，，∴，，∴=，=，∴=（）=（），=（1+1，y1）=（），假设=成立，∴，解得，∴，∴向量与共线．。
精品解析：江苏省2019-2020学年高二上学期期末数学试题(原卷版)
19．近年来，某企业每年消耗电费约 24 万元，为了节能减排，决定安装一个可使用 15 年的太阳能供电设
备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)不太阳能电池板的面积(单位：平方米)
成正比，比例系数约为 0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在
此模式下，安装后该企业每年消耗的电费 C (单位:万元)不安装的这种太阳能电池板的面积 x (单位:平
A． 充分丌必要条件
B． 必要丌充分条件
D． 12
C． 充要条件
D． 既丌充分也丌必要条件
5．已知 x 0 ， y 0 ，z
0
，且
y
4
z
1 x
1
，则
x
y
z
的最小值为(
)
A． 8
B． 9
C． 12
D． 16
6．关于 x 的丌等式 2ax2 ax 3 0 对一切实数 x 都成立，则 a 的取值范围是( ) 8
an
Sn n
2(n
1)(n
N
)
，则数列
S
n
1
3n
的前
10
项的
和是( )
A． 290
B． 9 20
C． 5 11
D． 10 11
二、多选题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分，请将答案写在答题卡相应位置上．)
9．若 a 0,b 0, a b 2 ，则下列丌等式，其中正确的有( )
2019—2020 学年第一学期高二期末考试数学模拟试题
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分，请将答案写在答题卡相应位置上．
1．丌等式 x2 2x 3的解集是
2019江苏省高二上学期数学期末考试试卷
高二数学第一学期期末调研测试试题（全卷满分160 分，考试时间120 分钟）注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5 分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1. 命题“x (0,2)，sin x 1”的否定是▲．2. 已知直线l过点A 11,、B2,0,则直线l的斜率为▲．3. 一质点的运动方程为S t210（位移单位：m；时间单位：s），则该质点在t 3时的瞬时速度为▲m/s．4. 课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4、12、8,若用分层抽样的方法抽取6个城市，则丙组中应抽取Read x的城市数为▲个.5. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y28x的准线方程为▲．x 3Then Ify 2x Else6. 执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为10，则输入的x的值y x21是▲．End If7.若a R, 则“a 3”是“直线l：ax y 10与l ：12a 1x2ay40垂直”的▲条件．（注：在“充要”、“既不Print y第6题）充分也不必要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选填一个）8. 函数f x x 33x2的单调递减区间为▲．9. 已知椭圆x2y21a b 0左焦点为F，左准线为l，若过F且垂直于xa2b2轴的弦的长等于点F到l的距离，则椭圆的离心率是▲1．10.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为▲．11.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的渐近线方程为▲．x2y21m m 1的一个焦点为3,0，则双曲线（11．．．3 12. 已知可导函数 f x 的定义域为R ， f 12，其导函数 f等式 f 2x 8x 1的解集为 ▲ ．x 满足fx3x2,则不13. 已知圆C : x 2y 126， AB 为圆C 上的两个动点，且 AB2 2， G 为弦 AB的中点.直线 l : x y 2 0 上有两个动点 PQ ，且 PQ 2 .当 AB 在圆 C 上运动时，PGQ 恒为锐角，则线段 PQ 中点 M 的横坐标取值范围为 ▲ ．14．函数f ( x ) x exa 在 (1,2) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是▲．二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤）15.（本小题满分 14 分）已知 m 为实数 . 命题 p ：方程x 2 y 21 3m 1 m 3表示双曲线；命题 q ：对任意 x R ，x 2 (m 2) x9 4 0恒成立.（1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若命题“ p 或 q ”为真命题、“ p 且 q ”为假命题，求实数 m的取值范围．16．（本小题满分 14 分）某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭。
2018-2019年江苏省南通市高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2018-2019学年高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=．7．（5分）等轴双曲线的离心率为．8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为．10．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p ∧q”为假，求实数a的取值范围．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是4y+1=0．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以：=，∴准线方程y=﹣=﹣，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．【解答】解：命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．故答案为：“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=1．【解答】解：由（3+4i）z=5i2016，得==，则|z|=．故答案为：1．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为14．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=10，∵随机抽得的第一个号码为003，∴被抽到号码l=10k+3，k∈N．∴在第三营区中被抽到的号码为363，373…493，∴第三个营区被抽中的人数为14．故答案为：14．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是9．【解答】解：执行程序框图，有A=1，S=1当满足条件A≤M，S=1+2+22+…+2M=1023由等比数列的求和公式，可知2M+1﹣1=1023，即可解得M=9．故答案为：9．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．【解答】解：类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，点P（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）的距离，代入数据可知点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．故答案为：27．（5分）等轴双曲线的离心率为．【解答】解：∵等轴双曲线中a=b∴c==a∴e==故答案为：8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的充分不必要条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．【解答】解：若a＞1，则x＞，而＜1，∴∈（1，+∞），是充分条件；若（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立，则x＞，只需≤1即可，∴a≥1，是不必要条件，故答案为：充分不必要．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．【解答】解：当直线l斜率为0时，A与M重合，B与N重合，此时OQ=4，由垂径定理定理得到Q为MN中点，连接OM，根据勾股定理得：QM==3，∴MN=2QM=6，此时直线l方程为y=4，符合题意；当直线l斜率不为0时，设为k，直线l方程为y﹣4=k（x﹣5），即kx﹣y+4﹣5k=0，由割线定理得到AB=MN=6，再由垂径定理得到C为AB的中点，即AC=AB=3，过O作OC⊥AB，连接OA，根据勾股定理得：OC==4，∴圆心O到直线l的距离d==4，解得：k=0（舍去）或k=，则此时直线l的方程为x﹣y+4﹣5×=0，即40x﹣9y﹣164=0，综上，直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．故答案为：y=4或40x﹣9y﹣164=010．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，要求双曲线的一个焦点为，在y轴上，可以设其标准方程为：﹣=1，且有a2+b2=c2=8，①其渐近线方程为：y=±x，又由该双曲线的渐近线方程为，则有=，②联立①、②可得：a2=6，b2=2，则要求双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．【解答】解：由题意，A（﹣a，0），B（a，0），设P（x，y），则，∴=∵椭圆的离心率，∴∴a2=4b2∴∴∴=﹣∴∴====故答案为：12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点（1，0）．【解答】解：设动圆的圆心到直线x=﹣1的距离为r，因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=﹣1，所以动圆圆心到直线x=﹣1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）．故答案为：（1，0）．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．【解答】解：设圆O1：（x﹣x1）2+（y﹣kx1）2=k2x12，圆O2：（x﹣x2）2+（y﹣kx2）2=k2x22，两方程相减可得：2ky=x1+x2﹣2x，与圆O1联立可得x2+y2=6，令y﹣2x=t，则y=2x+t，代入可得5x2﹣4tx+t2﹣6=0，△=30﹣t2≥0，可得﹣≤t≤，∵P到直线l的距离为，∴y﹣2x=t=﹣时，点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．故答案为：．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是（，1）．【解答】解：如图所示：过圆心M作横轴垂线，垂足为T，圆与横轴交点为N，H则MT=b，MH=r=，要使以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，只需TH＜a﹣即可，即MH2﹣MT2＜（a﹣）2，（）2﹣b2＜（a﹣）2，化简得c3﹣2a2c+a3＜0⇒e3﹣2e+1＜0⇒（e﹣1）（e2+e﹣1）＜0∵e＜1，∴e2+e﹣1＞0⇒e＞．椭圆的离心率e的取值范围是（，1）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴，解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，，解得a≥8；p假q真时，，解得；∴实数a的取值范围为：．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．【解答】解：（1）如图，AB中垂线方程为x=2，AC中垂线方程为y=x，联立，解得M（2，2），又|MA|=，∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=5；（2）∵•=0，∴∠PMQ=90°，则|PQ|=，∴M到直线mx﹣2y﹣（2m+1）=0的距离为．由，解得：m=．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），∴，，又a2=b2+c2，联立解得a2=4，b2=c2=2．∴椭圆的方程为：=1．（2）设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），C（﹣x1，0）．k AD==k AC==，k BD==﹣．又，，两式相减可得：=0，∴×=0，化为a2=2b2．∴椭圆的离心率e==．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r=2，设P（2b，b），因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，所以MP=，解得所以…4分（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP 为直径，其方程为：即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0由，…7分解得或，所以圆过定点…9分（Ⅲ）因为圆N方程为（x﹣b）2+（y﹣）2=即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0 …①圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0…②②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0 (11)分点M到直线AB的距离…13分相交弦长即：当时，AB有最小值…16分．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．【解答】解：（1）依题意，得c=1．于是，a=，b=1．…（2分）所以所求椭圆的方程为．…（4分）（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②．又设M（x，y），因，故…（7分）因M在椭圆上，故．整理得．将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得．所以，为定值．…（10分）（ii），故y12+y22=1．又，故x12+x22=2．所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3．…（16分）试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．【解答】解：由题意得：==，∴，解得a=3，b=2．∴M=，设矩阵M的特征值为λ，则f（λ）==0，化为（2﹣λ）（1﹣λ）﹣6=0，化为λ2﹣3λ﹣4=0，解得λ1=﹣1，λ2=4．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．【解答】解：（1）因为圆心为直线ρsi n（﹣θ）=与极轴的交点，所以令θ=0，得ρ=1，即圆心是（1，0），又圆C经过点P（，），P（，）的直角坐标为（，），所以圆的半径r==1．（2）圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，∵x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，∴圆C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，0，2），A1（0，0，6），F（0，2，4），从而=（2，0，2），=（0，2，﹣2）．…2分记与的夹角为θ，则有：cosθ=cos＜＞=﹣．由异面直线AE与A1F所成角的范围为（0，π），得异面直线AE与A1F所成角为60°．…4分（2）记平面AEF和平面ABC的法向量分别为和，则由题设可令=（x，y，z），且有平面ABC的法向量为，．由，取x=1，得=（1，2，﹣1）．…8分记平面AEF与平面ABC所成的角为β，则cosβ=|cos＜＞|=||=．∴平面AEF与平面ABC所成角的余弦值为．…10分．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a1=﹣1，．∴==3×．=1，∴数列是等比数列，首项为1，公比为3．（2）由（1）可得：=3n﹣1，可得a n+2=n•3n﹣1．b n==．+b n+2+…+b2n=+…+∴当n≥2，n∈N*时，b n+1下面利用数学归纳法证明：．①当n=2时，b3+b4==＜=．+b k+2+…+b2k＜﹣．②假设n=k∈N*，k≥2．b k+1则n=k+1时，b k+b k+3+…+b2k+b2k+1+b2k+2＜﹣++﹣=﹣+2＜﹣．∴n=k+1时，假设成立．综上可得：当n≥2，n∈N*时，．。
2019学年江苏省高二上学期期末考试数学试卷【含答案及解析】(1)
2019学年江苏省高二上学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 已知命题则为______________________________ ．2. 复数________________________ ．3. 女子国际象棋世界冠军中国江苏选手侯逸凡与某计算机进行人机对抗赛，若侯逸凡获胜的概率为 0． 65 ，人机和棋的概率为0．25 ，那么侯逸凡不输的概率为________．4. 若命题是假命题，则实数的取值范围是______________________________ ．5. 若双曲线的一条准线方程是，则实数的值是____________ _ ．6. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为的正方体，若其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为____________________________ ．7. 双曲线上的点 P 到点（5，0）的距离为 8．5 ，则点 P 到左准线的距离为____________ ____．8. 抛物线的弦过焦点，且的长为6，则的中点的纵坐标为_________________________________ ．9. 复数满足，则的最小值为_________________________________ ．10. 当a为任意实数时，直线（2a＋3）x＋y－4a＋2＝0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是__________________．11. 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率________________________ ．12. 已知椭圆E的左、右焦点分别为F 1 、F 2 ，过F 1 且斜率为2的直线交椭圆E 于P、Q两点，若△ PF 1 F 2 为直角三角形，则椭圆E的离心率为________ ．13. 若为的各位数字之和，如，，则；记，，… ，，，则______________ ．14. 设点，分别为椭圆：的左右顶点，若在椭圆上存在异于点，的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是____________________________ ．二、解答题15. 一个袋中有红、白两种球各若干个，现从中一次性摸出两个球，假设摸出的两个球至少有一个红球的概率为，至少一个白球的概率为，求摸出的两个球恰好红球白球各一个的概率．16. 设命题p：实数x满足x 2 －4ax＋3a 2 <0，其中a>0，命题q：实数x满足（1）若a＝1，且p ∧ q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17. 从含有两件正品a 1 ，a 2 和一件次品b 1 的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．（1）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；（ 2）如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回” ，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？18. 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M ．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在过点P（2，1）的直线l 1 与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足· ＝ 2 ？若存在，求出直线l 1 的方程；若不存在，请说明理由．19. 已知关于x的绝对值方程|x 2 ＋ax＋b|＝2，其中a，b ∈ R．（1）当a，b满足什么条件时，方程的解集M中恰有3个元素？（2）在条件（1）下，试求以方程解集M中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件．20. 已知椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．（1）求椭圆的方程；（2）设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；（3）在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值范围．21. 已知P是椭圆上的任意一点，F 1 、F 2 是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，求动点Q的轨迹方程．22. 已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10 ∶ 1．求展开式中含的项．23. 如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱的中点，求与平面所成的角的正弦值的大小；24. 是否存在 a 、 b 、 c 使得等式1·2 2 +2·3 2 +…+ n （ n +1） 2 =（ an 2 + bn + c ）对于一切正整数n都成立？证明你的结论．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
2019-2020学年江苏省苏州市高二上学期期末考试数学试卷及答案
综上， k 的取值范围为 k 2 2 或 k 2 2 .
（2）设 M x1, y1 ， N x2, y2 ，由（1）可知 x1 ， x2 是 x2 4kx 16k 8 0 的两
个根，则 x1 x2 4k ， x1x2 16k 8 ， 因为 OMN 为直角三角形，且 OM ON ，
设上栏框内高度为 hcm ，下栏框内高度为 2hcm ，
则 3h 24 b ， h b 24 ， 3
所以透光部分的面积 S a 24 2b 24 a 16 b 24
3
3
20512
24a
64 3
b
；
（2）因为 a 0 ， b 0 ，
所以 24a 64 b 2 24a 64 b 2 8a 64b 6400 ，
20．解：（1）由题意，设直线 l 方程为 y 2 k x 4 ，
联立方程组
x2 4 y
y
2
k
x
4
，消去
x
得
x2
4kx
16k
8
0
，
要使直线 l 与抛物线交于不同的两点 M ， N ，则 16k2 416k 8 0 ，
即 k2 4k 2 0 ，
解得 k 2 2 或 k 2 2 ，
；16．
505 2021
（2）由
x x
2 3
2
可知
x x
2 3
2
0
，整理得
x 8 x3
0
，即
x x
8 3
0
，
不等式等价于 x 8 x 3 0 ，
解得 x 3 或 x 8 ，所以不等式的解集为x | x 3 或 x 8 .
18．（1）依题得
3a1
2019学年江苏省高二上学期期末考试数学试卷【含答案及解析】(1)
又刍>0,所以富丘<3a,
弟二时l<x<3,
况一l&MO
配十为-"
若m的真，则p真且谟，航Z实数X&W值范围是h|2W3h
《2)设L—(z112-4ax + 3as<0fa>0} ?
[\‘一x—6W0 po，
则EW、又A= [x |a<x<3a}rB=h |20W3]』
参考答案及解析
第1题【答案】
五£R.如H1
【解析】
试题分析：命题的否定是1巴结论否定，同时存在蚩词与全ft®司熏互换-因此「P为女井=血"1■
第2题【答案】
【解析】
2-i(J—1乂1—H)2—①—.
t+才一(1—上乂14力〉—5—:
第3题【答案】
0. 9
1解析】
费就(T罄豚输”包含喉逸凡获胜"与“入机和炉两个互斥事件』因此
(1)若a = 1,且p A q为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
17.从含有两件正品a 1 , a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次.
(1)求取出的两件产 品中恰有一件次品的概率；
(2 )如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两
第7题【答案】
竺ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【解析】
试题分析！由已知£=质2=普，所以点（％。〉是双曲批的右焦点.，易双曲践左支上的点到右焦点
8A
5/===也£
的距离的最小值为4 + 5=9,因此『在右支上，心如 则尸到右准线掘蔼为5,S
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高二（上）期末数学试卷一、单项选择（每小题5分，共计60分）1．（5分）在△ABC中，已知A=60°，a=4，b=4，则∠B的度数是（）A．135°B．45°C．75°D．45°或135°2．（5分）若△ABC的三个内角A，B，C满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定3．（5分）已知等比数列{a n}满足a2=4，a6=64，则a4=（）A．﹣16 B．16 C．±16 D．324．（5分）已知等差数列{a n}中，a5+a9=2，则S13=（）A．11 B．12 C．13 D．145．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是（）A．|a|＞﹣b B．C．D．6．（5分）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．2607．（5分）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．558．（5分）设集合A={x|x﹣2＞0}，B={x|x2﹣2x＞0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．∃x0∈R，x03﹣x02+1≥0C．∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞010．（5分）椭圆上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则ON为（）A．2 B．C．8 D．411．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+3y﹣12=0 D．x+2y﹣8=012．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆+=1（k＞﹣1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共计20分）13．（5分）设x＞0，y＞0且x+2y=1，求+的最小值．14．（5分）过椭圆的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为．15．（5分）给出以下四个判断，其中正确的判断是（1）若“p或q”为真命题，则p，q均为真命题（2）命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y＜6，则x＜4且y ＜2”（3）若x≠300°，则cosx≠（4）命题“∃x0∈R，e≤0”是假命题．16．（5分）在△ABC中，已知b=，c=3，B=30°，则a=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c）（c ＞0），离心率e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2﹣，求椭圆的方程．18．（12分）已知△abc的周长为10，且sinB+sinC=4sinA．（Ⅰ）求边长a的值；（Ⅱ）若bc=16，求角A的余弦值．19．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．20．（12分）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足（x﹣3）（x﹣2）≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．21．（12分）已知等比数列{a n}中，s n为前n项和且a1+a3=5，s4=15，（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设b n=3log2a n，求b n的前n项和T n的值．22．（12分）已知椭圆过左焦点的直线l的倾角为45°与椭圆相交于A，B两点（1）求AB的中点坐标；（2）求△ABF2的面积．参考答案与试题解析一、单项选择（每小题5分，共计60分）1．（5分）在△ABC中，已知A=60°，a=4，b=4，则∠B的度数是（）A．135°B．45°C．75°D．45°或135°【解答】解：∵A=60°，a=4，b=4，∴由正弦定理得：sinB===，∵a＞b，可得A＞B，∴B=45°．故选：B．2．（5分）若△ABC的三个内角A，B，C满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定【解答】解：∵角A、B、C满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，∴根据正弦定理，整理得a：b：c=5：12：13，设a=5x，b=12x，c=13x，满足（5x）2+（12x）2=（13x）2因此，△ABC是直角三角形．故选：C．3．（5分）已知等比数列{a n}满足a2=4，a6=64，则a4=（）A．﹣16 B．16 C．±16 D．32【解答】解法一：∵等比数列{a n}满足a2=4，a6=64，∴，解得或，∴a4==16．故选：B．解法二：∵等比数列{a n}满足a2=4，a6=64，∴a42=a2a6=4×64=256，∵偶数项的符号相同，∴a4=16．故选：B．4．（5分）已知等差数列{a n}中，a5+a9=2，则S13=（）A．11 B．12 C．13 D．14【解答】解：∵在等差数列{a n}中，S n=∴S13====13故选C5．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是（）A．|a|＞﹣b B．C．D．【解答】解：∵a＜0，∴|a|=﹣a，∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴|a|＞﹣b，故结论A成立；取a=﹣2，b=﹣1，则∵，∴B不正确；，∴，∴C不正确；，，∴，∴D不正确．故选A．6．（5分）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260【解答】解：解法1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意得方程组，a1解得d=，a1=，∴s3m=3ma1+d=3m+=210．故选C．解法2：∵设{a n}为等差数列，∴s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列，即30，70，s3m﹣100成等差数列，∴30+s3m﹣100=70×2，解得s3m=210．故选C．a17．（5分）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．55【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x=5，y=15，此时z=55故选D8．（5分）设集合A={x|x﹣2＞0}，B={x|x2﹣2x＞0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵A={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}，B={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．故选A．9．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．∃x0∈R，x03﹣x02+1≥0C．∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0【解答】解：命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：∃x0∈R，x﹣x+1＞0，故选：C．10．（5分）椭圆上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则ON为（）A．2 B．C．8 D．4【解答】解：椭圆，可得a=5，∴|MF1|+|MF2|=2a=10，又|MF1|=2，∴|MF2|=8，∵N是MF1的中点，O为F1F2的中点，∴|ON|=|MF2|=4．故选：D．11．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+3y﹣12=0 D．x+2y﹣8=0【解答】解：设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则，两式相减再变形得又弦中点为（4，2），故k=，故这条弦所在的直线方程y﹣2=（x﹣4），整理得x+2y﹣8=0；故选D．12．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆+=1（k＞﹣1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由椭圆定义有4a=8∴a=2，所以k+2=a2=4∴k=2．从而b2=k+1=3，c2=a2﹣b2=1，所以，故选A二、填空题（每小题5分，共计20分）13．（5分）设x＞0，y＞0且x+2y=1，求+的最小值3+2．【解答】解：根据题意，x+2y=1，则=（x+2y）•（）=3+≥3+2=3+2，故答案为3+2．14．（5分）过椭圆的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为8．【解答】解：由椭圆，可得a=2；椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=4．∴△ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=8．故答案为：8．15．（5分）给出以下四个判断，其中正确的判断是（4）（1）若“p或q”为真命题，则p，q均为真命题（2）命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y＜6，则x＜4且y ＜2”（3）若x≠300°，则cosx≠（4）命题“∃x0∈R，e≤0”是假命题．【解答】解：（1）若“p或q”为真命题，则两个没有至少一个是真命题，所以判断p，q均为真命题是不正确的；（2）命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y＜6，则x＜4或y ＜2”，所以原判断不正确；（3）若x≠300°，则cosx≠，反例x=60°，cosx=，所以（3）不正确；（4）命题“∃x0∈R，e≤0”是假命题．由指数函数的值域可知，命题是假命题，所以（4）正确；故答案为：（4）．16．（5分）在△ABC中，已知b=，c=3，B=30°，则a=或2．【解答】解：∵b=，c=3，B=30°，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB可得：3=a2+9﹣2×a×3×cos30°，整理可得：a2﹣3a+6=0，∴a=或2．故答案为：或2．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c）（c ＞0），离心率e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2﹣，求椭圆的方程．【解答】解：∵e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2﹣，∴=，a﹣c=2﹣，解得a=2，c=，∴b2=a2﹣c2=1，由此可得椭圆的方程为．18．（12分）已知△abc的周长为10，且sinB+sinC=4sinA．（Ⅰ）求边长a的值；（Ⅱ）若bc=16，求角A的余弦值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）根据正弦定理，sinB+sinC=4sinA，可化为b+c=4a，…（3分）联立方程组，解得a=2．…（5分）所以，边长a=2．…（6分）（Ⅱ）由bc=16，又由（Ⅰ）得b+c=8，得b=c=4，…（8分）∴=．…（10分）因此，所求角A的余弦值是．…（12分）19．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．20．（12分）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足（x﹣3）（x﹣2）≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由（x﹣1）（x﹣3）＜0，得P={x|1＜x＜3}，（x﹣3）（x﹣2）≤0，可得Q={x|2≤x≤3}，由p∧q为真，即为p，q均为真命题，可得x的取值范围是2≤x＜3；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，由题意可得P={x|a＜x＜3a}，Q={x|2≤x≤3}，由Q⊊P，可得a＜2且3＜3a，解得1＜a＜2．21．（12分）已知等比数列{a n}中，s n为前n项和且a1+a3=5，s4=15，（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设b n=3log2a n，求b n的前n项和T n的值．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a3=5，s4=15，q≠1．∴a1（1+q2）=5，=15，联立解得a1=1，q=2．∴a n=2n﹣1．（2）b n=3log2a n=3（n﹣1）．∴数列{b n}的前n项和T n==﹣n．22．（12分）已知椭圆过左焦点的直线l的倾角为45°与椭圆相交于A，B两点（1）求AB的中点坐标；（2）求△ABF2的面积．【解答】解：（1）由椭圆方程：知，a=，b=，c==1∴F1（﹣1，0），F2（1，0）直线l的斜率k=tan45°，∴l的方程为y=x+1，，整理得：5x2+6x﹣3=0设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0）则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴x0==﹣，则y0=x0+1=，∴中点坐标为M（﹣，）；（2）F2到直线l距离d===，|AB|==∴S=|AB|×d=××=，△ABC∴△ABF2的面积．。