第二学期高等数学期中考试试卷答

第二学期高等数学期中考试试卷答案

一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．

1．已知球面的一直径的两个端点为()532，，-和()31

4-，，，则该球面的方程为______________________________． 2．设()222y x xy y x f +=

，，则=⎪⎭

⎫ ⎝⎛

x y f ，1 ______________________．

3．设二元函数y x xy z 3

2

+=，则

=∂∂∂y

x z

2_______________． 4．若函数()y x f ，在矩形区域1010≤≤≤≤y x D ，：上连续，且

()()12

-=⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛⎰⎰y x f dxdy y x f xy D ，， ， 则()=y x f ，________________． 5．设222ln z y x u ++=，则()=u grad div ___________________．

答案：

⒈ ()()()211132

2

2

=-+++-z y x ；

⒉

2

22y

x xy

+； ⒊ 2

32x y +； ⒋ 14+xy ；

⒌ 2

221

z y x ++．

二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．

1．下列直线中平行xOy 坐标面的是________ ．

（A ）．23

3211+=+=-z y x ； （B ）．⎩⎨⎧=--=--04044z x y x ； （C ）．1

0101z

y x =-=+； （D ）．3221=+=+=z t y t x ，，． 2．旋转曲面12

22=--z y x 是______________ ． （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．

3．()y x f xy

，''与()y x f yx ，''在点()00y x ，处连续是()()0000y x f y x f yx xy ，，''=''的______________ ．

（A ）．必要条件 ； （B ）．充分条件 ；

（C ）．充分必要条件 ； （D ）．既非充分条件，又非必要条件．

4．设平面区域D 由直线0=x ，0=y ，2

1

=

+y x ，1=+y x 围成，若 ()[]⎰⎰+=D

dxdy y x I 71ln ，()⎰⎰+=D

dxdy y x I 72，()[]⎰⎰+=D

dxdy y x I 7

3sin

则1I ，2I ，3I 之间的关系是___________ ．

（A ）．321I I I <<； （B ）．123I I I <<； （C ）．231I I I <<； （D ）．213I I I <<．

5．设曲线L 是任意不经过0=y 的区域D 内的曲线，为使曲线积分

(

)()

⎰+-+L

a a

dy y x y

x dx y x y x 222222 与路径无关，则=a ___________ ． （A ）．2

1

-； （B ）．31-； （C ）．25； （D ）．23．

答案：

⒈ （D ）； ⒉ （A ）； ⒊ （B ）； ⒋ （C ）； ⒌ （A ）．

三．（本题满分6分）

已知直线⎪⎩⎪⎨⎧==+011x c z b y l ：，⎪⎩⎪⎨⎧==-0

12y c z a x l ：，求过1l 且平行于2l 的平面方程．

解：

直线1l 与2l 的方向向量分别为

{}⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-=⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧=b c c b 1100011101，，，，，，

s ρ

， {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=a c

c a 101

0101012，，，，，，s ρ，

作 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⨯=221111c bc ca

，，s s n ρρρ，

取直线1l 上的一点()c P ，，001，则过点1P 且以⎭

⎬⎫⎩⎨⎧--=2111c bc ca ，，n ρ为法向量的平面 01=+--c

z

b y a x ， 就是过1l 且平行于2l 的平面方程．

四．（本题满分6分）

求球面62

2

2

=++z y x 与抛物面2

2

y x z +=的交线在点()211，，处的切线方程． 解：

由方程组⎩⎨⎧+==++2

22226

y

x z z y x 两端对x 求导，得 ⎪⎩

⎪⎨⎧

=-+=++0

220222dx dz

dx dy y x dx dz z dx dy y x

即 ⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+x dx dz dx dy y x dx dz z dx dy

y 22222， 解得，yz y xz x dx dy 22--+=，0=dx dz 所以，()1211-=，，dx dy ，()

0211=，，dx dz

因此，曲线在点()211

，，处的切线方程为 0

2

1111-=

--=-z y x ． 五．（本题满分6分）

计算二重积分

()⎰⎰

+D

dxdy y x ，其中D 为x y x 22

2≤+． 解：

作极坐标变换 θθsin cos r y r x ==， 则有

()()⎰⎰⎰⎰-

+=+θ

π

πθθθcos 20

2

2

2

sin cos dr r d dxdy y x D

()⎰-+=22

33cos 8sin cos π

π

θθ

θθd

⎰⎰-

-

+=22

3

2

2

4cos sin 38cos 38π

π

π

πθθθθθd d

π=

六．（本题满分7分）

证明：曲面()()()()

y x y b x a z ϕϕϕϕ++=

，2

22c y x =+，0=z 所围立体的体积等于

()b a c +2

2

1π，其中()u ϕ是连续的正值函数，且0>a ，0>b ，0>c ．