相似三角形判定与性质

相似三角形专讲

【知识要点】

1．对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 2．相似三角形的判定：

①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。 ③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 3．相似三角形具有下述性质：

①相似三角形对应角相等、对应边成比例；

②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比； ④相似三角形面积的比等于相似比的平方。

4．熟悉如图中形如“A ”型，“X ”型，“子母型”等相似三角形。

5.射影定理

AC 2=AD ·BD BC 2=BD ·BA

CD 2=AD ·BD

6.位似：如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做 位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比.

【典型例题】

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36º，BD 平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD 相似 三角形是（ ）。 A ．△ABC B ．△DAB C ．△ADE D ．△BDC 2．如图2，AB ∥CD ∥EF ，则图中相似三角形的对数为（ ）。

A ．1对

B ．2对

C ．3对

D ．4对

3．如图3，已知在△ABC ，P 为AB 上一点，连结CP ，以下各条件中不能判定△ACP ∽△ABC 的是（ ）。

A ．∠ACP ＝∠

B B ．∠AP

C ＝∠ACB C ．

AC AP ＝AB AC D ． AC AB ＝CP

BC

图1 图2 图3

4．如图4，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点P 应在（ ）。

A ．P 1处

B ．P 2处

C ．P 3处

D ．P 4处

5．如图5，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 四点中的（ ）。

A ．F

B ．G

C ．H

D ．O

6．如图6，梯形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，若S ΔAOD ：S ΔACD =1：4，则S ΔAOD ：S ΔBOC 的值为（ ）。 A ．1：3 B ．1：4 C ．1：9 D ．1：16

图4 图5 图6

7．在等腰△ABC 和等腰△DEF 中，∠A 与∠D 是顶角，下列判断正确的是（ ）。 ①∠A=∠D 时，两三角形相似； ②∠A=∠E 时，两三角形相似； ③

EF

DE BC

AB 时，两三角形相似； ④∠B=∠E 时，两三角形相似。

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

8．在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，则AC ∶BC=2∶3，则AD ∶BD=（ ）。

A ．2∶3

B ．4∶9

C ．2∶3

D ．不能确定

9．如图7，P 是Rt ΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 作直线截ΔABC ，使截得的三角形与ΔABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）。

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条

10．如图8，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直

线行走14米到点B 时，人影长度（ ）。

A ．变短3.5米

B ．变长1.5

米 C ．变长3.5米 D ．变短1.5米

图7

二、填空题（每小题4分，共24分）

图

8

C

B

1．地图上某地的面积为100cm 2，比例尺是1∶500，则某地的实际面积是_________m 2

。 2．在Rt △ABC 中，AD 为斜边上的高，ABD ABC S S ∆∆=4，则AB ∶BC ＝_________。

3．如图9，DE ∥BC ，AD ∶DB= 2 ∶3 ，则ΔADE 与ΔABC 的周长之比为_________；面积之比为_________。 4．如图10，在平行四边形ABCD 中，AB=8cm ，AD=4cm ，E 为AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ，则AF=_________cm 。

5.如图11，一油桶高0.8 m ，桶内有油，一根木棒长1m ，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m ，则桶内油的高度为_________。

图9 图10 图11

6．在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝15，D 为AB 上一点，BD ＝

3

1AB ，在AC 上取一点E ，得△ADE ，当AE 的长为

_________时，图中的两个三角形相似。

三、解答下列各题（第8题16分，其余每小题 10分，共86分） 1．如图，在ABC ∆中，EF//DC ，DE//BC ，求证：AF ：FD=AD ：DB 。

2．如图,正方形ABCD 中,E 是CD 的中点,EF ⊥AE 。求证:(1)EF 平分∠AFC ；(2)BF=3FC 。

3.如图，正方形MNPQ 的顶点在三角形ABC 的边上，当边BC=a 与高AD=h. 满足什么条件时，正方形MNPQ 的面积是三角形ABC 面积的一半？

4.在△ABC 中，∠ACB=Rt ∠，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：CD 3

=AE ·BF ·AB ．

A

C D B

E