《数列的函数特性》PPT课件
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高中数学第一章数列2数列的函数特性课件必修5高二必修5数学课件
12/7/2021
第七页，共二十八页。
数列与函数 (1)数列是一个函数，它的很多性质，如定义域、解析式、值域、 表示方法等都可以从函数的角度去解释，但它又是特殊函数， 特殊在定义域上：正整数集 N＋(或它的有限子集{1，2，3，…， n})且自变量必须从小到大依次取值，所以不能单纯地用函数知 识解决数列问题，注意区分数列与一般函数的不同． (2)从图像上来看，往往函数的图像是连续或部分连续的，而数 列的图像是由一系列孤立的点构成，每一部分都不连续.
所以该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{4，5，6，7，…} 上是递增的．
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第十四页，共二十八页。
判断数列的增减性时，可以根据给出的通项公式画出图像，观 察图像的变化趋势得出结论．
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第十五页，共二十八页。
2.(1)设 an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中 的最大项的值是( )
12/7/2021
第二十二页，共二十八页。
2．已知数列{an}满足：a1<0，aan＋n 1＝12，则数列{an}是(
)
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．不确定
解析：选 A.因为 a1<0，aan＋n 1＝12，所以 an<0，且aan＋n 1<1. 所以 an＋1>an，所以数列{an}是递增数列，故选 A.
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第二十三页，共二十八页。
3．已知数列{an}的通项公式为 an＝4n－102，那么数列{an}中小 于零的项共有________项． 解析：令 4n－102<0，得 n<2512，所以数列{an}中小于零的项共 有 25 项．
答案：25
数列的函数特性课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册
在数值与首项相同的项?
分析 画出函数y=x2-10x+10的图象,数列{an}的各点都在该函数图象上,
可借助图象求解.
解:数列{an}的各点都在函数y=x2-10x+10的图
象(如图1-1-2)上.
由图1-1-2可得,这个数列从第5项起各
项的数值逐渐增大,从第9项起各项的数
值均为正值,第9项是与首项相同的项.
4
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防
范?
提示:上述解法,把数列单调递增完全等同于所在的函数单调递增,忽视了
二者的区别,事实上,数列单调递增,所在函数不一定单调.
正解:由题意,点(n,an)分布在分段函数f(x)=
(3-)-3, ≤ 7,
的图象上.因此
-6
, > 7
称ak是数列{an}的“峰值”,k是数列{an}的“峰值点”.在数列{an}中,若
an=
8
+
A.2
B.3
− 9 ,下面哪些数不能作为数列{an}的“峰值点”(
答案:ACD
C.6
D.12
).
4-12
4.已知数列{an}的通项公式为an= 2-7 ,则数列{an}的最大项为
最小项为
.
4-8 4-12
提示:一定是递增数列,反之,不一定成立,例如an=n2但f(x)=x2-
5
2 x在区间[1,+∞)上不是增函数.
5
n(n∈N+)是递增数列,
2
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)数列{an}图象上的点的横坐标一定是正整数.( √ )
分析 画出函数y=x2-10x+10的图象,数列{an}的各点都在该函数图象上,
可借助图象求解.
解:数列{an}的各点都在函数y=x2-10x+10的图
象(如图1-1-2)上.
由图1-1-2可得,这个数列从第5项起各
项的数值逐渐增大,从第9项起各项的数
值均为正值,第9项是与首项相同的项.
4
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防
范?
提示:上述解法,把数列单调递增完全等同于所在的函数单调递增,忽视了
二者的区别,事实上,数列单调递增,所在函数不一定单调.
正解:由题意,点(n,an)分布在分段函数f(x)=
(3-)-3, ≤ 7,
的图象上.因此
-6
, > 7
称ak是数列{an}的“峰值”,k是数列{an}的“峰值点”.在数列{an}中,若
an=
8
+
A.2
B.3
− 9 ,下面哪些数不能作为数列{an}的“峰值点”(
答案:ACD
C.6
D.12
).
4-12
4.已知数列{an}的通项公式为an= 2-7 ,则数列{an}的最大项为
最小项为
.
4-8 4-12
提示:一定是递增数列,反之,不一定成立,例如an=n2但f(x)=x2-
5
2 x在区间[1,+∞)上不是增函数.
5
n(n∈N+)是递增数列,
2
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)数列{an}图象上的点的横坐标一定是正整数.( √ )
数列的函数特性课件-北师大版高中数学必修5
(1)1，12，13，…，n1，…； (2)1，2，22，…，263，…； (3)1，－0.1，0.12，…，(－0.1)n－1，…； (4)0，10，20，…，1 000； (5)－1，1，－1，1，…； (6)6，6，6，….
【解析】 (1)是无穷递减数列(1n>n＋1 1)． (2)是无穷递增数列(项随着序号的增加而增大)． (3)是无穷数列，由于奇数项为正，偶数项为负，故为摆动数 列． (4)是有穷递增数列． (5)是无穷数列，也是摆动数列． (6)是无穷数列，且是常数列．
【思路分析】 因为 an＝(n＋1)(1110)n 是积幂式子的形式且 an>0，所以可用比商法比较 an 与 an－1 的大小．
【解析】
(1)令aan－n 1≥1(n≥2)，即（nn·＋（1）1110（）11n10－）1 n≥1.
整理得n＋n 1≥1110.解得 n≤10.
令aan＋n 1≥1，即（（nn＋＋21））（（11111010））n＋n1≥1.
【解析】 (5)是有穷数列； (1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列； (2)是递增数列； (1)(4)是递减数列； (6)是摆动数列； (3)(5)是常数列．
题型二 数列的单调性 例 2 已知数列{an}的通项公式为 an＝n2n＋2 1.求证此数列为递 增数列．
【证明】 ∵an＋1－an＝（（n＋n＋1）1）2＋2 1－n2n＋2 1 ＝（n＋1）[（2（n＋n21＋）12）＋－1]（n2[n（2＋n＋1）1）2＋1] ＝[（n＋1）22＋n＋11]（n2＋1）， 由 n∈N*，得 an＋1－an>0，即 an＋1>an. ∴数列{an}是递增数列．
整理得nn＋＋21≥1110.解得 n≥9.又 a9＝a10， ∴从第 1 项到第 9 项递增，从第 10 项起往后递减． (2)由(1)知 a9＝a10＝1101190最大．
【解析】 (1)是无穷递减数列(1n>n＋1 1)． (2)是无穷递增数列(项随着序号的增加而增大)． (3)是无穷数列，由于奇数项为正，偶数项为负，故为摆动数 列． (4)是有穷递增数列． (5)是无穷数列，也是摆动数列． (6)是无穷数列，且是常数列．
【思路分析】 因为 an＝(n＋1)(1110)n 是积幂式子的形式且 an>0，所以可用比商法比较 an 与 an－1 的大小．
【解析】
(1)令aan－n 1≥1(n≥2)，即（nn·＋（1）1110（）11n10－）1 n≥1.
整理得n＋n 1≥1110.解得 n≤10.
令aan＋n 1≥1，即（（nn＋＋21））（（11111010））n＋n1≥1.
【解析】 (5)是有穷数列； (1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列； (2)是递增数列； (1)(4)是递减数列； (6)是摆动数列； (3)(5)是常数列．
题型二 数列的单调性 例 2 已知数列{an}的通项公式为 an＝n2n＋2 1.求证此数列为递 增数列．
【证明】 ∵an＋1－an＝（（n＋n＋1）1）2＋2 1－n2n＋2 1 ＝（n＋1）[（2（n＋n21＋）12）＋－1]（n2[n（2＋n＋1）1）2＋1] ＝[（n＋1）22＋n＋11]（n2＋1）， 由 n∈N*，得 an＋1－an>0，即 an＋1>an. ∴数列{an}是递增数列．
整理得nn＋＋21≥1110.解得 n≥9.又 a9＝a10， ∴从第 1 项到第 9 项递增，从第 10 项起往后递减． (2)由(1)知 a9＝a10＝1101190最大．
1.1.2数列的函数特性(同步课件)高二数学(北师大版2019选择性必修第二册)
1.1.2数列的函数特性
温故知新 一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中
的每一个数叫作这个数列的项.数列一般形式可以写成
简记为数列 ，其中数列的第1项 也称首项；
是数列的第n项，也叫数列的通项.
引入新课 请看下面例子
新中国成立后，我国1952～1994年间部分年份进
出口贸易总额（亿美元）数据排成一数列：
[解析] ∵an＋1－an＝－4(n＋1)＋10－[－4n＋10]＝ －4<0.
∴an＋1<an，∴数列为递减数列．
1．数列的单调性
(1)单调性理解，数列是特殊的函数，特殊在于其定义域为正整
数集或它的子集．有些数列不存在单调性如an＝(－1)n或常数 数 列 ． 有 些 数 列 在 正 整 数 集 上 有 多 个 单 调 情 况 ， 如 an ＝ (n － 10)2在n∈{1,2，…，10}上单调递减．在n∈{10,11，…}单调 递增．有些数列在正整数集上单调性一定如an＝2n＋1. (2)判断方法：①比较an＋1与an的大小(即定义法)
(2)递推公式存在一定的弊端，不能直接写出指定的某一项的值， 有时需转化成通项公式，往往需运用归纳猜想或逻辑推理的方 法得到．
3．函数与数列的联系与区别
一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用 函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特 殊问题．
另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N＋或它
为递减数列；数列⑥称为常数列. 思考：你是否能归纳一下递增数列、递减数列、常数列的
概念呢？ 一般地，一个数列{an}，如果从第2项起,每一项都大
于它前面的一项，即an+1> an,那么这个数列叫作递增数列. 如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项，即
温故知新 一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中
的每一个数叫作这个数列的项.数列一般形式可以写成
简记为数列 ，其中数列的第1项 也称首项；
是数列的第n项，也叫数列的通项.
引入新课 请看下面例子
新中国成立后，我国1952～1994年间部分年份进
出口贸易总额（亿美元）数据排成一数列：
[解析] ∵an＋1－an＝－4(n＋1)＋10－[－4n＋10]＝ －4<0.
∴an＋1<an，∴数列为递减数列．
1．数列的单调性
(1)单调性理解，数列是特殊的函数，特殊在于其定义域为正整
数集或它的子集．有些数列不存在单调性如an＝(－1)n或常数 数 列 ． 有 些 数 列 在 正 整 数 集 上 有 多 个 单 调 情 况 ， 如 an ＝ (n － 10)2在n∈{1,2，…，10}上单调递减．在n∈{10,11，…}单调 递增．有些数列在正整数集上单调性一定如an＝2n＋1. (2)判断方法：①比较an＋1与an的大小(即定义法)
(2)递推公式存在一定的弊端，不能直接写出指定的某一项的值， 有时需转化成通项公式，往往需运用归纳猜想或逻辑推理的方 法得到．
3．函数与数列的联系与区别
一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用 函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特 殊问题．
另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N＋或它
为递减数列；数列⑥称为常数列. 思考：你是否能归纳一下递增数列、递减数列、常数列的
概念呢？ 一般地，一个数列{an}，如果从第2项起,每一项都大
于它前面的一项，即an+1> an,那么这个数列叫作递增数列. 如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项，即
高中数学第一章数列第1节数列1.2数列的函数特性课件北师大版必修5
(2)作商比较法： ①若 an＞0，则 当aan＋n 1＞1 时，数列{an}是递增数列； 当aan＋n 1＜1 时，数列{an}是递减数列； 当aan＋n 1＝1 时，数列{an}是常数列．
②若 an＜0，则 当aan＋n 1＜1 时，数列{an}是递增数列； 当aan＋n 1＞1 时，数列{an}是递减数列； 当aan＋n 1＝1 时，数列{an}是常数列．
数列增减性的判断
数列．
已知数列{an}的通项公式为 an＝ n－ n＋1，求证：此数列为递增
【精彩点拨】 根据数列单调性的定义，只需证明 an＋1－an＞0.
判断函数增减性的方法 (1)作差比较法： ①若 an＋1－an＞0 恒成立，则数列{an}是递增数列； ②若 an＋1－an＜0 恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若 an＋1－an＝0 恒成立，则数列{an}是常数列．
2．数列的单调性
名称
定义
判断方法
递增数列 从第 2 项起，每一项都 大于 它前面的一项 递减数列 从第 2 项起，每一项都 小于 它前面的一项
常数列 各项都 相等
an＋1＞an an＋1＜an an＋1＝an
数列的图像
[小组合作型]
在数列{an}中，an＝n2－8n， (1)画出{an}的图像； (2)根据图像写出数列{an}的增减性． 【精彩点拨】 (1)画图像时利用列表、描点、连线三步去画． (2)根据图像的上升或下降判断增减性．
来解决数列的最值问题，但此时应注意“n∈N＋”这一条件．
1．已知数列{an}满足 an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．不能确定
【解析】 由条件得 an＋1－an＝3＞0，可知 an＋1＞an，所以数列{an}是递增 数列．
高中数学第一章数列1.1数列1.1.2数列的函数特性课件北师大版必修5
∴an+1>an, ������ ∴数列 3������+1 是递增数列.
3������ +4������
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二 画数列的图像 【例2】 已知数列{an},an=n2-8n. (1)画出数列{an}的图像; (2)根据图像写出数列{an}的增减性. 分析:(1)当n∈N+时,分别在平面直角坐标系中描出点(n,an)即 可.(2)图像的上升或下降显示数列的增减性. 解:(1)列表:
9 2 ������4 105 + . 8
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
判断数列的单调性
2 3 4 【例1】 写出数列1 , , , , … 的通项公式, 并判断它的增减性. 3 5 7 分析:观察得到数列的通项公式,用作差法判断an与an+1之间的大 小关系.
解 :题中数列的通项公式为 an=
∵an+1-an= 2������+1 − 2������-1 = ∴an+1<an, ∴数列{an}是递减数列.
【做一做1】 已知数列{an},an=n+1,则数列{an}是( ). A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 解析:∵an+1-an=[(n+1)+1]-(n+1)=1>0, ∴{an}为递增数列. 答案:A 【做一做2】 数列{-2n2+9n+3}中的最大项为 . 解析:由题意知an 因为n为正整数,所以当n取2时,an取到最大值,为13. 故数列{-2n2+9n+3}的最大项为a2=13. 答案:13 =-2n2+9n+3= -2
北师大版高中数学必修五第一章数列1.1.2数列的函数特性课件
9 2 ������4
+
105 . 8
-4-
1.2 数列的函数特性
题型一 题型二 题型三 题型四
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一
判断数列的单调性
2 3 4 【例1】 写出数列1 , , , , … 的通项公式, 并判断它的增减性. 3 5 7 分析:观察得到数列的通项公式,用作差法判断an与an+1之间的大 小关系.
∴an+1>an, ������ ∴数列 3������+1 是递增数列.
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3������ +4� 题型二 题型三 题型四
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
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IANLITOUXI
S随堂演练
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题型二 画数列的图像 【例2】 已知数列{an},an=n2-8n. (1)画出数列{an}的图像; (2)根据图像写出数列{an}的增减性. 分析:(1)当n∈N+时,分别在平面直角坐标系中描出点(n,an)即 可.(2)图像的上升或下降显示数列的增减性. 解:(1)列表:
-3-
1.2 数列的函数特性
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Z 知识梳理 D典例透析
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【做一做1】 已知数列{an},an=n+1,则数列{an}是( ). A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 解析:∵an+1-an=[(n+1)+1]-(n+1)=1>0, ∴{an}为递增数列. 答案:A 【做一做2】 数列{-2n2+9n+3}中的最大项为 . 解析:由题意知an 因为n为正整数,所以当n取2时,an取到最大值,为13. 故数列{-2n2+9n+3}的最大项为a2=13. 答案:13 =-2n2+9n+3= -2
+
105 . 8
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1.2 数列的函数特性
题型一 题型二 题型三 题型四
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Z 知识梳理 D典例透析
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题型一
判断数列的单调性
2 3 4 【例1】 写出数列1 , , , , … 的通项公式, 并判断它的增减性. 3 5 7 分析:观察得到数列的通项公式,用作差法判断an与an+1之间的大 小关系.
∴an+1>an, ������ ∴数列 3������+1 是递增数列.
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3������ +4� 题型二 题型三 题型四
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Z 知识梳理 D典例透析
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题型二 画数列的图像 【例2】 已知数列{an},an=n2-8n. (1)画出数列{an}的图像; (2)根据图像写出数列{an}的增减性. 分析:(1)当n∈N+时,分别在平面直角坐标系中描出点(n,an)即 可.(2)图像的上升或下降显示数列的增减性. 解:(1)列表:
-3-
1.2 数列的函数特性
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
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S随堂演练
UITANGYANLIAN
【做一做1】 已知数列{an},an=n+1,则数列{an}是( ). A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 解析:∵an+1-an=[(n+1)+1]-(n+1)=1>0, ∴{an}为递增数列. 答案:A 【做一做2】 数列{-2n2+9n+3}中的最大项为 . 解析:由题意知an 因为n为正整数,所以当n取2时,an取到最大值,为13. 故数列{-2n2+9n+3}的最大项为a2=13. 答案:13 =-2n2+9n+3= -2
《数列的函数特征》课件
有界性是指数列的项在一定范围内变化，不会无限增大或减小；周期性是指数列的项按照一定的周期重复出现； 对称性是指数列的项在正序和倒序时相同或呈现一定的对称关系。
02
等差数列
等差数列的定义
总结词
等差数列是一种常见的数列类型，其特点是任意两个相邻项 的差相等。
详细描述
等差数列是一种有序的数字序列，其中任意两个相邻项的差 是一个常数，这个常数被称为公差。在等差数列中，第一个 项和第二个项之间的差等于第二个项和第三个项之间的差， 以此类推。
$y=kx+b$，其中$k$和$b$为常数， $k neq 0$。
数列与一次函数的关联
实例
等差数列${ a_{n}}$，其中 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$，可以转化为 一次函数形式$y=dn+a_{1}-d$。
一次函数在数列中可以表示等差数列 ，其中$k$表示公差，$b$表示首项。
数列与二次函数的关系
一个数列，从第二项起，每一项与它 的前一项的比都等于同一个常数，这 个数列就叫做等比数列。
等比数列的表示方法
用符号“a_n”表示第n项的值，用符 号“q”表示公比，则等比数列的一般 形式可以表示为“a_n=a_1*q^(n1)”。
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式是“a_n=a_1*q^(n1)”，其中“a_1”是首项，“q”是公比， “n”是项数。
《数列的函数特征》ppt课件
目录
• 数列的定义与性质 • 等差数列 • 等比数列 • 数列的函数特征 • 数列与函数的关系
01
数列的定义与性质
数列的基本概念
总结词
数列是按照一定次序排列的一列数。
详细描述
02
等差数列
等差数列的定义
总结词
等差数列是一种常见的数列类型，其特点是任意两个相邻项 的差相等。
详细描述
等差数列是一种有序的数字序列，其中任意两个相邻项的差 是一个常数，这个常数被称为公差。在等差数列中，第一个 项和第二个项之间的差等于第二个项和第三个项之间的差， 以此类推。
$y=kx+b$，其中$k$和$b$为常数， $k neq 0$。
数列与一次函数的关联
实例
等差数列${ a_{n}}$，其中 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$，可以转化为 一次函数形式$y=dn+a_{1}-d$。
一次函数在数列中可以表示等差数列 ，其中$k$表示公差，$b$表示首项。
数列与二次函数的关系
一个数列，从第二项起，每一项与它 的前一项的比都等于同一个常数，这 个数列就叫做等比数列。
等比数列的表示方法
用符号“a_n”表示第n项的值，用符 号“q”表示公比，则等比数列的一般 形式可以表示为“a_n=a_1*q^(n1)”。
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式是“a_n=a_1*q^(n1)”，其中“a_1”是首项，“q”是公比， “n”是项数。
《数列的函数特征》ppt课件
目录
• 数列的定义与性质 • 等差数列 • 等比数列 • 数列的函数特征 • 数列与函数的关系
01
数列的定义与性质
数列的基本概念
总结词
数列是按照一定次序排列的一列数。
详细描述
高中数学第一章数列2数列的函数特性课件必修5高一必修5数学课件
类型二 判断数列的单调性
【例 2】 设函数 f(x)＝a3x－－6，axx>－73，，x≤7， 数列{an}满足 an＝f(n)，n∈N＋，且数列{an}是递增数列，则实数 a 的取值范围 是__(_2_,3_)___．
【思路探究】 分段数列递增先是确保各段递增，再使得两 段相邻处满足一定的条件即可．
第五页，共六十五页。
12/9/2021
第六页，共六十五页。
知识点一 数列的单调性
[填一填] (1)数列按照项与项之间的大小关系可分为 递增 数列， 递减 数列， 摆动 数列和 常 数列；
(2)一般地，一个数列{an}，如果从第 2 项起，每一项都大于 它前面的一项，即 an＋1>an ，那么这个数列叫作 递增 数列；
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3．分段数列单调与相应的分段函数单调不同，除了确保各 段单调，还要使得两段之间满足一定的条件，如本例中数列{an} 递增要满足 a7<a8，而若函数 f(x)递增则要满足 f(7)≤a7－6，要注 意两类问题的区别．
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已知函数 f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足 f(log2an)＝－2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)讨论数列{an}的单调性，并证明你的结论．
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解：(1)∵f(x)＝2x－2－x， f(log2an)＝－2n， ∴2log2an－2－log2an＝－2n， 即 an－a1n＝－2n. ∴a2n＋2nan－1＝0， 解得 an＝－n± n2＋1. ∵an>0，∴an＝ n2＋1－n.
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数列的函数特性PPT
§1.2 数列的函数特性
1．了解递增数列、递减数列、常数列概念． 2．掌握判断数列单调性的方法.
观察下列数列：
1）3，4，5，6，7，8，9
2）1, 1 , 1 , 1 , 357
3）100，100，100，…，100
名称
定义
表达式
递增数列 递减数列
常数列
从第2项起每一项都大于它前面的一项 an+1>an
1.下列叙述中正确的个数为( )
①数列{2}是常Biblioteka 列；√②数列{(-1)n·1 }是摆动数列；√
③数列{
n
n
}是递增数列；√
2n+1
④若数列{an}是递增数列，则数列{an·an+1}也是
递增数列.×
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【例3】已知函数
f (x)
x2 x2 1
，设
f (n) an (n N )
站号
1 2 345678
邮件剩余数 7 12 15 16 15 12 7 0
【例5】已知数列｛an｝的通项公式为an=3n2-28n。
（1）写出数列的第4项； 是，第7项
（2）-49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？ 68是否是？ 不是
（3）该数列中是否存在最小的项，若有，求出最小
项。
存在，第5项
1.课本第10页5，6题；
从第2项起每一项都小于它前面的一项 an+1<an
各项都相等
an+1=an
【例1】判断下列无穷数列的增减性。
（1）2，1，0，-1，…，3-n， …
(2) 1 , 2 , 3 ,, n , 2 3 4 n1
1．了解递增数列、递减数列、常数列概念． 2．掌握判断数列单调性的方法.
观察下列数列：
1）3，4，5，6，7，8，9
2）1, 1 , 1 , 1 , 357
3）100，100，100，…，100
名称
定义
表达式
递增数列 递减数列
常数列
从第2项起每一项都大于它前面的一项 an+1>an
1.下列叙述中正确的个数为( )
①数列{2}是常Biblioteka 列；√②数列{(-1)n·1 }是摆动数列；√
③数列{
n
n
}是递增数列；√
2n+1
④若数列{an}是递增数列，则数列{an·an+1}也是
递增数列.×
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【例3】已知函数
f (x)
x2 x2 1
，设
f (n) an (n N )
站号
1 2 345678
邮件剩余数 7 12 15 16 15 12 7 0
【例5】已知数列｛an｝的通项公式为an=3n2-28n。
（1）写出数列的第4项； 是，第7项
（2）-49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？ 68是否是？ 不是
（3）该数列中是否存在最小的项，若有，求出最小
项。
存在，第5项
1.课本第10页5，6题；
从第2项起每一项都小于它前面的一项 an+1<an
各项都相等
an+1=an
【例1】判断下列无穷数列的增减性。
（1）2，1，0，-1，…，3-n， …
(2) 1 , 2 , 3 ,, n , 2 3 4 n1
高中数学 第一部分 第一章 §1 1.2 数列的函数特性课件 北师大版必修5
(或
)，有无正整数解来判断．
n－ 97 4．已知数列{an}的通项公式为 an＝ (n∈N＋)，则在 n－ 98 数列{an}的前 30 项中，最大项和最小项分别是( A．a30，a1 C．a10，a9 B．a1，a30 D．a10，a30 )
解析：由于数列中的项是函数 an＝f(n)图 像上的一些孤立的点， 用图像可以反映数 98－ 97 列的构成规律， 且 an＝1＋ ，故 n－ 98 可作出图像．显然 a9 最小，a10 最大．
1．数列是一个特殊的函数，因此，与函数一样，数列
也可以用图像、列表等方法来表示．数列的图像是一群孤 立的点． 2．数列象函数一样，有些具备单调性，有些不具备 单调性．判断数列的增减性主要有两种方法：
(1)图像法：利用数列的函数图像的升、降趋势进行判
断． (2)定义法：根据相邻两项an，an＋1的大小关系来判断.
数列的图像可直观地反映数列各项的变
化趋势，从而判断数列的增减性．
1． 根据下面 3 个数列的通项公式， 分别作出它们的图像， 并判断它们是递增数列还是递减数列． －1 n 2n (1)an＝－ ；(2)bn＝ ；(3)cn＝ n . 4 3
n
解：(1)图像如图(1)，由图像知数列{an}为递减数列． (2)图像如图(2)，由图像知数列{bn}为递增数列． (3)图像如图(3)，由图像观察表示数列{cn}的各点在横轴上、 下摆动，它不是递增数列，也不是递减数列．
①若an＋1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列；
②若an＋1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列．
(2)利用作商比较法： ①若 an＞0，则 an＋1 当 a ＞1 时，数列{an}是递增数列； n an＋1 当 a ＜1 时，数列{an}是递减数列； n an＋1 当 a ＝1 时，数列{an}是常数列． n
高中数学北师大版必修5课件：1.1.2数列的函数特性
������ (2) 证明 ������+1 ������������
=
(������+1)2 +1-(������+1) ������2 +1-������
=
������2 +1+������ (������+1) +1+(������+1)
2
<1.
∵an>0,∴an+1<an. ∴数列{an}是递减数列.
9 2 ������4 105 + . 8
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
判断数列的单调性
2 3 4 【例1】 写出数列1 , , , , … 的通项公式, 并判断它的增减性. 3 5 7 分析:观察得到数列的通项公式,用作差法判断an与an+1之间的大 小关系.
解 :题中数列的通项公式为 an=
∵an+1-an= 2������+1 − 2������-1 = ∴an+1<an, ∴数列{an}是递减数列.
【做一做1】 已知数列{an},an=n+1,则数列{an}是( ). A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 解析:∵an+1-an=[(n+1)+1]-(n+1)=1>0, ∴{an}为递增数列. 答案:A 【做一做2】 数列{-2n2+9n+3}中的最大项为 . 解析:由题意知an 因为n为正整数,所以当n取2时,an取到最大值,为13. 故数列{-2n2+9n+3}的最大项为a2=13. 答案:13 =-2n2+9n+3= -2
北师版选择性必修第二册1.1.2数列的函数特性【课件】
10 11
9
＝
1010 119
.
方法归纳
1．数列{an}中，若存在m∈N＋，对任意n∈N＋都有am≥an恒成立， 则am为数列{an}中的最大项；若存在t∈N＋，对任意n∈N＋都有at≤an 恒成立，则at为数列{an}中的最小项.
2．求数列的最大(小)项，其实质就是求相应函数的最大(小)值，但 要注意数列中的n∈N＋.
判断数列增减性的方法
(1)根据给出的通项公式画出图象，观察图象的变化趋势； (2)作差法：用数列的后一项减去前一项，an－an－1(n≥2，n∈N＋)或 an＋1－an，若结果为正，则是递增数列，若结果为负，则是递减数列； (3)作商法：在确定an为正或为负的情况下，作商，比较商值与1的关 系，从而确定数列的单调性； (4)借助数列通项公式对应函数的单调性进行判断.
1．2 数列的函数特性
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点] 要点一 数列与函数 可以把一个数列视作定义在__正__整__数__集(或其子集)上的函数，因此 可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点 的坐标为__(k_，__a_k)__，k＝1，2，3，….
跟踪训练2 已知数列{an}的通项公式an＝n2n+1(n∈N＋)，试判断该数 列的增减性，并说明理由．
解析：{an}为递减数列，理由如下：
an＋1－an＝
n+1 n+1 2+1
− n2n+1＝
n+1
n2+1 −n n+1 2+1
n+1 n2+1
2+1
＝
−n2−n+1 n+1 2+1 n2+1
1.1.2数列的函数特性课件(北师大版必修五)(精)
示…1ft績体分的述程中出3丰晁轨・请关刖踊有幻灯八・立久打升可正含"・*<情境、导❼不便，W学习目标.1 •知识目标：理解递增、递减、常数列概念；会判断数列的增减性；理解利用解析式、表格、图像表示数列的异同.2•能力目标：学会观察、分析、猜测、归纳，数形结合法的应用.3•情感目标：在学习数列函数特性的过程中，增强学生认识事物的能力，逐步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度.叵弓I入靳课1.数列的概念是什么.2.数列的通项公式的含义是什么.以有件疋乂域i为止整数集N+（或它的有限子集）的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.而数列的通项公式就类似于函数的解析式，因此研究数列的性质我们就可以借助数列的通项公式，而且数列的表示形式也和函数一样，有多种表示方法，下面来看几个例子.」亘课堂探究£课堂探究丄数列的函数特性请看下面例子新中国成立后，我国1952〜1994年间部分年份进出口贸易总额（亿美元）数据排成一数列：19. 4, 31. 0, 42. 5, 45. 9, 147. 5, 381. 4, 696. 0, 1 154. 4, 2 367. 3.2我们可以把一个数列用图像来表示:枣1县数列①：3. 4.乩6. 7.氏9的图像58 6 4 O 246 n贸易总27002 367. 32100 1800 1500 12001154. 4yoo 600 300 19. 431. 00 1952 1957 1965 19701975 1980 1985 1990 1994年份/由上图可以看出我国1952〜1994年部分年份，各 时期进出图3是数列⑥：2100,2100,2100,-, 2100的图像.Cl n2100―1 1 1 1 1 Illi!.1 2 3 4 5 67 8 9 10 H图3思考:通过这几个例子你是否发现用图像来表示数列的好处.从图中可以看岀，数列①的函数图像上升，称这样的这样的数列为递减数列；数列⑥称为常数列.思考：你是否能归纳一下递增数列、递减数列、常数列的概念呢？一般地，一个数列｛a,,｝,如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即那么这个数列叫作递增数列.如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即盼0〃,那么这个数列叫作递减数列.如果数列｛〜｝的各项都相等，那么这个数列叫作常数列.1 *3 Q(1)2,1,0,-1，…,3-仏…⑵〒亍亍…，齐解⑴设勺=3-弘那么©+] =3 —(/1 +1) = 2 —n,。
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an＞0 an＜0
aan＋n 1＞1 递增数列
递减数列
aan＋n 1＜1 递减数列
递增数列
aan＋n 1＝1 常数列
常数列
工具
第一章 数列
2．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2n＋2 1.求证此数列为
(2)方法一(作差法)：
∵an＋1－an＝ n＋12＋1－(n＋1)－( n2＋1－n) ＝ n＋12＋1－ n2＋1－1
＝[
n＋12＋1－ n2＋1][ n＋12＋1＋ n＋12＋1＋ n2＋1
n2＋1]－1
工具
第一章 数列
＝
n＋1＋n n＋12＋1＋
n2＋1－1
显然 n＋12＋1＞n＋1， n2＋都
相等，那么这个数列叫做
常数列．
工具
第一章 数列
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A．1，12，13，14，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－12，－14，－18，… D．1， 2， 3，…， n 答案： C
工具
第一章 数列
2．数列{an}的通项公式an＝3n2－28n，则数列{an}各项中最 小的项是( )
＝ n＋1n22＋＋11＋ ＋nn＋1＜1
∴an＋1＜an.∴数列{an}是递减数列．
工具
第一章 数列
[题后感悟] 数列{an}增减性的判定方法： (1)作差比较法 ①若an＋1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列； ②若an＋1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列． (2)作商比较法
解析： 列表
n1
2
3
4
5
6
7
8… k
…
an －8 －14 －18 －20 －20 －18 －14 －8 … k2－9k …
工具
第一章 数列
图像
由图像直观地看出它在{1,2,3,4}是递减的，在{5,6,7,8，…} 上是递增的．
工具
第一章 数列
已知函数 f(x)＝x－1x.数列{an}满足 f(an)＝－2n，且 an＞ 0.
工具
第一章 数列
5．已知数列{an}的通项公式为 an＝ n2＋1，证明数列 {an}为递增数列．
证明： ∵an＝ n2＋1，∴an＋1＝ n＋12＋1，
∴an＋1－an＝ n＋12－1－ n2＋1
＝
2n＋1 n＋12＋1＋
n2＋1＞0.
∴an＋1＞an，∴数列{an}为递增数列．
工具
第一章 数列
＜f(x2)成立，则称 f(x)是单调递增函数．
工具
第一章 数列
4．数列也可以看作定义域为正整数集N＋(或它的有限子集 {1,2,3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数 对应的一列函数值就构成一个数列．
工具
第一章 数列
1．数列的表示方法
(1) 数 列 可 用 图 像 来 表 示 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ， 以 序 号 为 横标 ，相应的项为 纵标 描 点 画 图 ， 其 图 像 是 相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一群孤立的点．
1．2 数列的函数特性
工具
第一章 数列
1．了解数列的几种简单的表示方法(列表、图像、通项公 式)．
2．了解递增数列、递减数列、常数列的概念． 3．掌握判断数列增减性的方法．
工具
第一章 数列
1．判断数列的增减性(重点) 2．利用数列的增减性求最大、最小项(难点) 3．三种考查方式均有可能出现，属中档题.
∴
n＋1＋n n＋12＋1＋
n2＋1＜1
∴an＋1－an＜0，即 an＋1＜an. ∴数列{an}是递减数列．
工具
第一章 数列
方法二：(作商法)
∵an＞0，
∴aan＋n 1＝
n＋12＋1－n＋1 n2＋1－n
＝
[ n＋12＋1－n＋1] n2＋1＋n[ n＋12＋1＋n＋1] n2＋1－n n2＋1＋n[ n＋12＋1＋n＋1]
(1)求数列{an}的通项公式． (2)判断数列{an}的增减性．
先将条件看作：关于an的方程，通过解方程求出an，再用作 差法或作商法判断增减性．
工具
第一章 数列
[解题过程] (1)∵f(x)＝x－1x，f(an)＝－2n. ∴an－a1n＝－2n.即 an2＋2nan－1＝0， 解得 an＝－n± n2＋1， ∵an＞0，∴an＝ n2＋1－n.
A．第4项
B．第5项
C．第6项
D．第7项
答案： B
3 ． 已 知 an ＋ 1 － an － 3 ＝ 0 ， 则 数 列 {an} 是 ________ 数 列 ( 填 “递增”或“递减”)
答案： 递增
工具
第一章 数列
解析： an＋1－an＝bcn＋n＋11＋ 1－bnc＋n 1 ＝bn＋b＋c1bn＋1＞0， ∴an＋1＞an. 答案： an＋1＞an
(2) 从 函 数 的 观 点 看 ， 数 列 的 表 示 方 法 有 列表法、图像法、解析法．
工具
第一章 数列
2．数列的函数特性
一个数列{an}，如果从第 二项 起，每一项都 大于 它前面的一项，即an＋1＞an，那么这个数列叫做 递增数列．
如果从 第二项 起，每一项都 小于它前面的一项，
即an＋1＜an，那么这个数列叫做
工具
第一章 数列
把正奇数按从小到大的顺序构成的数列1,3,5,7，…用列表法 表示出来，并在直角坐标系中画出它的图像，根据图像指出它 的增减性．
先列表，描点得到图像，再观察图像得到数列的增减性．
工具
第一章 数列
[解题过程] 列表
n 12345…
k
…
an 1 3 5 7 9 … 2k－1 …
图像：
工具
第一章 数列
工具
第一章 数列
1．若数列{an}的前 4 项分别为－12，16，－112，210，则其
一个通项公式为 an＝n－n＋11n.
2．若{an}的通项公式 an＝3n－1，则 an＋1＝3n＋2，an＋1
－an＝3，an 与 an＋1 的大小关系为 an＋1＞an.
3．对于函数 f(x)，若对于定义域内任意 x1＜x2，总有 f(x1)
由图像知，从第2项起，每一项都大于它前面的一项，所以
是递增数列．
工具
第一章 数列
[题后感悟] (1)数列的表示方法有列表法、图像法、解析法， 这同函数的表示方法相一致．
(2)利用图像可直观判断数列的增减性．
工具
第一章 数列
1．把数列{n2－9n}用列表法表示出来，并在直角坐标系中 画出它的图像，并根据图像指出它的增减性．