曲线积分和路径的无关性
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（iii）微分式 Pdx Qdy 在 D 内是某一个函数
Ux, y 的全微分，即 dU Pdx Qdy ；
（iv） P Q 在 D 内处处成立。
y x
证明
当曲线积分和路径无关时，即满足上面的诸条件，如
令点 Ax0, y0 固定而点 Bx, y 为区域 D 内任意一点，
那么由积分所定义的函数
Ux, y 使 dU Pdx Qdy ，同时 Pdx Qdy 的曲
线积分与路径无关。在区域 D 内固定一点 M x0, y0 ，
对 点
D M
内任何点M x,
的积分，得
y
，沿两条直线
U x, y x Px, x0
y
l1 和
dx
y
y0
l2
Q
从点
x0 , ydx
M0 C
到
其中 C U x0, y0 ，同样不难验证 Ux, y 也是 Pdx Qdy
U x, y
x,y
Pdx Qdx
x0 , y0
在 D 内连续并且单值。这个函数 Ux, y 为 Pdx Qdy
的一个原函数，它和定积分中所述原函数相仿并有以下性 质：
1’ dUx, y Pdx Qdy .这由刚才的证明即得。
2’利用原函数 Ux, y 来计算曲线积分
Pdx AB
Qdx
周围作一环路使它不包含其他奇点，则沿闭路的积分 i 就是一个循环常数。区域 D 共有 n 个循环常数1, ,n,
，若 C 为任意的含在 D 内的闭路，它环绕点 Mi 的周
数为 ki ki 0,1,2, ，这里 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi 的算法和上述的 n
相同，则
n
c Pdx Qx, ydy kii i1
所有沿 D 内任意闭路的积分都有这样的形式。
闭路中包含一奇点，格林公式就不能应用。我们考虑两条 闭路 l ， L 都逆时针绕奇点 M 一圈，可用线段 AB 将l
和 L 联结起来，在 L 及 l 上沿逆时针方向积分，即得
LPdx Qdy l Pdx Qdx
Pdx Qdx 0
BB'B''B BA
AA'' A' A
AB
所以
LPdx Qx, ydy t Pdx Qdy
即环绕某一奇点的任两条闭路沿同一方向的积分相等。因
此，对区域 D 中任何闭路 C ，它或者不绕过奇点 M ， 或者绕过 n 周，这时积分值就是
t Pdx Qdy
的 n倍。只环绕奇点 M 一周的闭路上的积分值叫做区域
D 的循环常数，记为 ，于是，对 D 内任一闭路 ，
C
这里 为沿闭路 cP按dx逆 Q时d针y 方n向绕
的一个原函数。以下考虑非单连通区域的情形，并引进一
个重要概念：循环常数，在曲线积分与路径无关的定理中，
它的理论是建立在两个假定之上（i）所考虑区域 是D单 连通的，即没有“洞”；（ii）函数 P， Q及其偏导数
在 D 内连续。如果这两个条件被破坏了，一般来说，上 面的那些断言将不会成立。
现在讨论区域内有一个奇点 M 的情形。这时，如果
例 计算
I
xdy ydx l x2 y2
的圈数。例如当
n时
C
M
n2
cPdx Qdy
Pdx Qdx
Pdx Qdx
EA' A''E
EB'B''E
如果它按逆时针 方2向绕
的圈数为 ，按顺时
M
n1
针方向绕 M 的圈数为 n2 ，那么 n n1 n2 。
如果 D 内有 n 个奇点 M1, , Mn, ，在 Mi i 1,2, ,n
U
B
U
A
U
M
B A
这里 U B U xB , yB ，U A U xA, yA ， xA, yA 和
xB , yB
分别为
A
，B
点的坐标。
U M B
A
是一个
记号，它等于 UBUA 。
剩下来还要说明如何求 Pdx Qdy 的原函数。设 P 和
Q 满足定理的条件
P Q y x
。因此必存在原函数
定理 若函数 Px, y,Qx, y 在区域 D 上有连续的
偏导数， D 是单连通区域，那么以下四条相互等价：
（i）对任一全部含在 D 内闭路 C ，
cPx, ydx Qx, ydy 0
（ii）对任一全部含在 D 内的曲线 l ，曲线积分
l Px, ydx Qx, ydy
与路径无关（只依赖曲线的端点）；
Ux, y 的全微分，即 dU Pdx Qdy ；
（iv） P Q 在 D 内处处成立。
y x
证明
当曲线积分和路径无关时，即满足上面的诸条件，如
令点 Ax0, y0 固定而点 Bx, y 为区域 D 内任意一点，
那么由积分所定义的函数
Ux, y 使 dU Pdx Qdy ，同时 Pdx Qdy 的曲
线积分与路径无关。在区域 D 内固定一点 M x0, y0 ，
对 点
D M
内任何点M x,
的积分，得
y
，沿两条直线
U x, y x Px, x0
y
l1 和
dx
y
y0
l2
Q
从点
x0 , ydx
M0 C
到
其中 C U x0, y0 ，同样不难验证 Ux, y 也是 Pdx Qdy
U x, y
x,y
Pdx Qdx
x0 , y0
在 D 内连续并且单值。这个函数 Ux, y 为 Pdx Qdy
的一个原函数，它和定积分中所述原函数相仿并有以下性 质：
1’ dUx, y Pdx Qdy .这由刚才的证明即得。
2’利用原函数 Ux, y 来计算曲线积分
Pdx AB
Qdx
周围作一环路使它不包含其他奇点，则沿闭路的积分 i 就是一个循环常数。区域 D 共有 n 个循环常数1, ,n,
，若 C 为任意的含在 D 内的闭路，它环绕点 Mi 的周
数为 ki ki 0,1,2, ，这里 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi 的算法和上述的 n
相同，则
n
c Pdx Qx, ydy kii i1
所有沿 D 内任意闭路的积分都有这样的形式。
闭路中包含一奇点，格林公式就不能应用。我们考虑两条 闭路 l ， L 都逆时针绕奇点 M 一圈，可用线段 AB 将l
和 L 联结起来，在 L 及 l 上沿逆时针方向积分，即得
LPdx Qdy l Pdx Qdx
Pdx Qdx 0
BB'B''B BA
AA'' A' A
AB
所以
LPdx Qx, ydy t Pdx Qdy
即环绕某一奇点的任两条闭路沿同一方向的积分相等。因
此，对区域 D 中任何闭路 C ，它或者不绕过奇点 M ， 或者绕过 n 周，这时积分值就是
t Pdx Qdy
的 n倍。只环绕奇点 M 一周的闭路上的积分值叫做区域
D 的循环常数，记为 ，于是，对 D 内任一闭路 ，
C
这里 为沿闭路 cP按dx逆 Q时d针y 方n向绕
的一个原函数。以下考虑非单连通区域的情形，并引进一
个重要概念：循环常数，在曲线积分与路径无关的定理中，
它的理论是建立在两个假定之上（i）所考虑区域 是D单 连通的，即没有“洞”；（ii）函数 P， Q及其偏导数
在 D 内连续。如果这两个条件被破坏了，一般来说，上 面的那些断言将不会成立。
现在讨论区域内有一个奇点 M 的情形。这时，如果
例 计算
I
xdy ydx l x2 y2
的圈数。例如当
n时
C
M
n2
cPdx Qdy
Pdx Qdx
Pdx Qdx
EA' A''E
EB'B''E
如果它按逆时针 方2向绕
的圈数为 ，按顺时
M
n1
针方向绕 M 的圈数为 n2 ，那么 n n1 n2 。
如果 D 内有 n 个奇点 M1, , Mn, ，在 Mi i 1,2, ,n
U
B
U
A
U
M
B A
这里 U B U xB , yB ，U A U xA, yA ， xA, yA 和
xB , yB
分别为
A
，B
点的坐标。
U M B
A
是一个
记号，它等于 UBUA 。
剩下来还要说明如何求 Pdx Qdy 的原函数。设 P 和
Q 满足定理的条件
P Q y x
。因此必存在原函数
定理 若函数 Px, y,Qx, y 在区域 D 上有连续的
偏导数， D 是单连通区域，那么以下四条相互等价：
（i）对任一全部含在 D 内闭路 C ，
cPx, ydx Qx, ydy 0
（ii）对任一全部含在 D 内的曲线 l ，曲线积分
l Px, ydx Qx, ydy
与路径无关（只依赖曲线的端点）；