重积分中轮换对称性的应用
三重积分的对称性总结
三重积分的对称性总结三重积分是多元函数积分的一种，它在数学和物理领域中有着广泛的应用。
在进行三重积分的计算时，我们经常会遇到对称性的问题。
对称性在数学中起着非常重要的作用，它可以帮助我们简化计算过程，提高计算效率。
因此，对于三重积分的对称性，我们需要进行总结和归纳，以便在实际问题中更好地应用。
首先，我们来看三重积分的轮换对称性。
对于三元函数f(x, y, z)，如果它在变量x、y、z之间是对称的，即f(x, y, z) = f(y, z, x) = f(z, x, y)，那么在计算三重积分时，我们可以利用轮换对称性来简化计算。
例如，当我们计算∫∫∫f(x, y,z)dxdydz时，可以先对x进行积分，然后对y和z进行轮换积分的顺序，这样可以减少计算的复杂度。
其次，三重积分的球面对称性也是非常重要的。
当我们在三维空间中进行积分时，如果函数f(x, y, z)在球面上是对称的，即f(x, y, z) = f(-x, -y, -z)，那么我们可以利用球面对称性来简化计算。
在球面坐标系下，球面对称性可以帮助我们将积分区域进行简化，从而减少计算的复杂度。
另外，三重积分的柱面对称性也是我们需要考虑的问题。
当函数f(x, y, z)在柱面上是对称的，即f(x, y, z) = f(x, -y, -z)，我们可以利用柱面对称性来简化计算。
在柱面坐标系下，柱面对称性可以帮助我们将积分区域进行简化，从而减少计算的复杂度。
总的来说，三重积分的对称性是我们在实际计算中需要重点考虑的问题。
通过对对称性的总结和归纳，我们可以更好地应用对称性来简化计算，提高计算效率。
在实际问题中，我们需要根据具体的情况来判断何种对称性可以应用，从而更好地解决问题。
综上所述，三重积分的对称性是一个非常重要的问题，它在实际计算中起着至关重要的作用。
通过对对称性的总结和归纳，我们可以更好地应用对称性来简化计算，提高计算效率。
希望本文对读者能有所帮助，谢谢！。
轮换对称性在积分中的应用
五、第二类曲线积分的轮换对称性
∫ ∫ ∫ 若积分曲线 # 关于 x , y , z 具有轮换对称性, 则: P ( x , y , z ) d x = P ( y , z , x ) d y = P( z , x ,
#
#
#
∫ y ) dz =
1 3
P( x, y, z ) dx +
#ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P( y, z , x) dy +
定义 1: 若 P ( x 1, x 2, …, x n ) ∈D n Rn ( n∈N ) , 有 P1 ( x i , x i+ 1 , …, x n, x 1, x 2…x i- 1 ) ∈D n ( i = 1, 2, …, n) 成立, 则称 D n 关于 x 1 , x 2, …x n 具有轮换对称性。
∫ ∫ ∫ x ) 时, f ( x , y ) ds = 2 f ( x , y ) ds , ( b) 当 f ( x , y ) = - f ( y , x ) 时, f ( x , y ) ds = 0
L
L1
L
∫ 2. 在第一类空间曲线积分 F( x , y , z ) ds 的计算过程中, 若积分曲线 # 关于 x , y , z 具有轮换 #
∫ ∫ 2
2- y2
所以: ( x + y ) d = 2 ( x + y ) d = 2 dy
(x +
1
1
D
D1
y) dx =
4 3
2- 1
( 2) 因为被积函数 f ( x , y ) = x - y , 满足: f ( x , y ) = - f ( y ,
x ) , 所以 ( x - y ) d = 0
重积分计算中对称性的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ８
高等数学研究
２０１９ 年 ３ 月
例２ 计算
∭ I ＝ (x２ ＋５xy２sin x２ ＋y２)dxdydz, Ω
其中
Ω
由Z
＝
１ ２
(x２
＋y２),Z
＝ １,Z
＝４围成．
分
析
Z
＝
１ ２
(x２
＋y２)是
一
张
旋转
抛
物
面
,关
于 ZOY 面对称,被积函数 f(x,y)整 体 看 上 去 并 不 是关于 x,y 的 奇 偶 函 数,但 是 将 f(x,y)拆 开,令 f(x,y)＝ f１(x,y)＋ f２(x,y),f１(x,y) ＝ x２,
第２２卷 第２期 ２０１９ 年 ３ 月
高 等 数 学 研 究 STUDIESIN COLLEGE MATHEMATICS
doi:１０．３９６９/j．issn．１００８Ｇ１３９９．２０１９．０２．００６
Vol．２２,No．２ Mar．,２０１９
重积分计算中对称性的应用
朱 玉
(安徽工业大学工商学院 数学教研室,安徽 马鞍山 ２３１０００)
R 命 题１[１] 设 D ⊂ n 关于xi ＝０(１≤i≤n)对
∫ 称,则当f(x)关于xi 为奇函数时有 f(x)dx ＝０． D
∫ 而当 f(x)关 于 xi 为 偶 函 数 时 有 f(x)dx ＝ D
∫２ D＋f(x)dx,其中 D＋ 是 D 对应xi ＞０的部分． ∬ 例１ 计算二重积分 yex２＋y２dxdy,其中D 由曲
１ 区域对称性
本 文 总 假 定f(x)在 区 域 上 是 可 积 的 ,且 主 要 针 对重积分的情形．在 使 用 对 称 性 的 时 候 需 要 判 断 两 点,第一 点 是 区 域 的 对 称 性,第 二 点 是 函 数 的 奇 偶 性．可能第一点在重 积 分 计 算 时 判 断 是 比 定 积 分 要 麻烦些,有 些 区 域 边 界 线 或 表 面 是 我 们 很 熟 悉 的, 这时做出 图 像,区 域 的 对 称 性 就 很 显 然 了,但 有 时
重积分中轮换对称性的应用
0
∫ ∫
e
f ( x)
1
1
dx e
0
- f ( y)
d y ≥ 1.
∫ ∫ dy, 则 A = e dx e e e d x d y, D ∶ 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 ∫ ∫ dy = κ 根据轮换对称性知 : A = κ e e dx dy = e e d x d y, 即 κ 1 1 A = e e dx dy + e e dx dy = dx dy +e e κ 2 κ 2 κe e
3
关键词 轮换对称性 ; 重积分 ; 定积分 中图分类号 O172. 2
文 [ 1 ] 研究了重积分证明定积分不等式的问题 , 实际是利用了轮换对称性 . 本文在此基础上不 仅给出了证明定积分不等式的新例子 , 也给出了轮换对称性在简化计算方面的应用 .
11 证明定积分不等式
例 1
[2 ]
设函数 f ( x ) 在 [ 0, 1 ] 上连续 , 证明
a b b a a b b a a D D D D D D
设 f ( x ) 在 [ a, b ] 上连续 , 且 f ( x ) > 0, 证明 b b 1 2 f ( x ) dx ・ dx ≥ ( b - a )
dx dy
于是
a
∫
b
f ( x) dx・
a
∫ f ( x)
b
1
dx = A ≥
D
24
高等数学研究 2006 年 3 月
a
∫
b
f ( x ) g ( x ) dx ・ f ( y ) g ( y ) dy =
a
∫
a
b
aபைடு நூலகம்
重积分中轮换对称性的应用
重积分中轮换对称性的应用重积分中轮换对称性的应用是数学中非常重要的一种方法，它可以大大简化计算过程，帮助解决很多不易求解的问题。
本文将介绍轮换对称性的概念以及它在重积分中的应用，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一方法。
一、轮换对称性的概念轮换对称性是指一个几何形体在经过若干个旋转操作之后仍然能够重合自身的性质。
例如，一个正方形有四个旋转对称轴，分别是自身中心点和每条边的中点，因此经过90°、180°、270°三次旋转后，形状仍然与最初一样。
这就是轮换对称性的体现。
在数学中，轮换对称性通常用群的概念表示。
群指的是一种代数结构，其中包含一个集合和一种二元运算，在满足一些公理的基础上，能够形成一些基本的性质和规律。
具体而言，群需要满足封闭性、结合律、单位元、逆元、交换律等条件。
对于轮换对称性而言，它的群是旋转群。
旋转群的定义是由所有在平面或空间中旋转一定角度的运动构成的群，它是一种对称性群。
旋转群可以分为有限群和无限群两种，其中有限群的元素数是有限的，可以表示为一个置换群；无限群的元素数是无限的，通常需要用连续的一种参数来表示。
轮换对称性在重积分中的应用可以从两个方面来考虑：一是对被积函数的函数值进行轮换，二是对积分区域进行轮换。
下面将分别介绍这两个方面的具体方法和应用场景。
1.对被积函数的函数值进行轮换对于一个具有轮换对称性的函数，我们可以利用旋转群对其函数值进行轮换，从而简化积分计算。
例如，对于在极坐标系下具有旋转对称性的函数f(r,θ)，我们可以将θ进行轮换，即将θ换成θ+2π/N，其中N是旋转对称性的级数，然后将整个函数对θ进行平均，得到的结果即为所求函数的极角平均值。
这种方法通常适用于对轮换对称性较高的函数进行积分计算，可以将计算复杂度大大降低，并且可以避免误差的累积。
例如，对于一个具有八重旋转对称性的立方体，我们可以将函数值进行轮换，然后对八个不同的面进行积分，由于不同面之间没有关联，因此每一面的积分都可以独立计算，计算结果相加即可得到最终的积分值。
对称性在积分计算中的应用规律
对称性在积分计算中的应用规律王庆东;刘磊【摘要】利用积分域的对称性简化积分计算是优先考虑的计算策略之一。
如果积分域由对称的两部分组成，首先考察积分域是否具有方向性，然后考察被积函数在对称点处的函数值是否相等或者相反。
当积分域无方向性时，若被积函数在对称点处的函数值相等，则积分简化成半个积分域上积分的2倍；若被积函数在对称点处的函数值相反，则积分为零。
当积分域有方向性时，结论正好与积分域无方向性时的结论相反。
如果积分域具有轮换对称性，当对被积函数做相应的坐标轮换时，积分值不变。
%Using the symmetry of integral domain to simplify integral calculation is one of the priority calculation strategies. If the integral domain is composed of two symmetrical parts,must examine whether the integral domain has directionality first,and then examine whether the value of integrand on the symmetrical points are equal or opposite.The integral twice times reduced to half an integral domain when the integral domain has no directionality and the value of integrand on the symmetrical points are equal.The integral is zero when the integral domain has no directionality and the value of integrand on the symmetrical points are opposite.When the integral domain has directionality,conclusion of integral is just the opposite of the integral domain with no directionality.If the integral domain has translatable symmetry,then the integral value unchanged when the integrand also be done the corresp-onding coordinate translation.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】4页(P17-20)【关键词】积分域;对称性;方向性;对称点;轮换对称性【作者】王庆东;刘磊【作者单位】商丘师范学院数学与信息科学学院，河南商丘 476000;商丘师范学院数学与信息科学学院，河南商丘 476000【正文语种】中文【中图分类】O172.2不论是定积分，还是重积分、线积分和面积分，利用积分域的对称性简化运算是需要优先考虑的计算策略之一.其中，多元函数积分的计算比定积分的计算更加繁琐，更需要利用积分域的对称性简化计算.针对这一问题，文献［1-6］等进行了研究，提出了一些方法，但不便于学生掌握.基于此，本文讨论对称性在积分计算中的应用规律，力求使结论更简明.设曲面方程为，只改变 1个变量的符号，可以确定曲面关于坐标面的对称性；改变 2个变量的符号，可以确定曲面关于坐标轴的对称性；改变3个变量的符号，可以确定曲面关于原点的对称性；若改变1个变量、2个变量、3个变量的符号，方程都不变，则曲面关于8个卦限对称.如若把z改为，则曲面关于xoy坐标面对称；若把，有，则曲面关于z轴对称；若把，有，则曲面关于原点对称.至于平面区域对称性的判断，这里不再赘述.如果积分域由对称的两部分组成，无论积分域无方向性（包括定积分、重积分、第一型曲线积分和第一型曲面积分），还是积分域有方向性（包括第二型曲线积分和第二型曲面积分），都可以应用对称性化简积分计算的统一规律进行相关计算，即定理1.定理1 设函数f在有界可度量几何体D上可积，D由关于某直线、某平面或原点对称的两部分D1和组成，p,p′为分别属于的任意一对对称点，分别表示上积分变量的微元（包括微元的符号），则（1）若在对称点处有（2）若在对称点处有简言之，当积分域由对称的两部分组成时，若在对称点处被积函数的函数值与积分变量微元（包括微元的符号）的乘积相等，则积分可简化成半个积分域上积分的2倍；若在对称点处被积函数的函数值与积分变量微元（包括微元的符号）的乘积互为相反数，则积分为零.证明用任一分割T把分成若干小积分域的度量为为细度，则′的度量为对称.任取对称的介点和（2）若证毕.为便于应用，分别讨论积分域有方向性或无方向性时定理1的具体形式.2.1 积分域无方向性的情形如果积分域无方向性，且由对称的两部分组成，则定理1表现为定理2.定理2 设函数f在有界可度量几何体D上可积，D无方向性，且由对称的两部分D1和 D2组成.当D分别是闭区间，平面区域、三维区域、光滑弧段或光滑曲面时，用dσ,σ′相应表示 D1，2D上积分变量的微元（定积分）、平面面积微元（二重积分）、体积微元（三重积分）、弧长微元（第一型曲线积分）或曲面面积微元（第一型曲面积分），则（1）若f在对称点处的函数值相等，则（2）若f在对称点处的函数值互为相反数，则简言之，当积分域由对称的两部分组成且积分域无方向性时，若对称点处被积函数的函数值相等，则积分简化成半个积分域上积分的2倍；若对称点处被积函数的函数值相反，则积分为零.证明若D无方向性，则在定理1的证明中，的度量相等，即从而1 i = .故结论成立. 证毕.特殊情形下，有推论1～4.推论1 设D是关于， xy轴都对称的平面区域，它由对称的两部分是D位于第一象限的部分，dσ表示平面区域的面积微元，则当f关于， xy都是偶函数时，当f 关于x或y是奇函数时，则事实上，按照推论1，多次“折叠”积分区域，就把问题归结到了第一象限.推论2 设D是关于直线对称的平面区域，它由对称的两部分是对称点， 1D是D位于y x= 上方的部分区域，dσ表示平面区域的面积微元，则当时，推论3 设D是关于xoy坐标面对称的三维区域，由对称的两部分1D和2D组成，1D是D位于xoy坐标面上方的部分，dσ表示三维区域的体积微元，则当 f关于z是偶函数时，；f关于z是奇函数时，推论4 设D是关于坐标面都对称的三维区域， 1D是D位于第一卦限的部分，dσ表示三维区域的体积微元，则当f关于x，y,z都是偶函数时，；当f关于x或y或z是奇函数时，则2.2 积分域有方向性的情形如果积分域有方向性，且由对称的两部分组成，则积分计算不仅要考虑f的对称性，还要考虑D的有向投影的对称性，这与D无方向性时不同.此时定理1表现为定理3.定理3 设D有方向性，当D分别是平面有方向曲线、空间有方向曲线或双侧曲面时，用dσ相应表示平面曲线弧长元素向量的某一分量（平面曲线上的第二型曲线积分）、空间曲线弧长元素向量的某一分量（空间曲线上的第二型曲线积分）或曲面面积元素向量的某一分量（第二型曲面积分）.D由关于dσ所在的坐标轴或坐标面对称的两部分 1D和 2D组成，则当f在对称点处的函数值相等时，；当f在对称点处的函数值互为相反数时，简言之，当积分域由对称的两部分组成，且积分域具有方向性时，应用对称性简化积分的规律恰好与积分域无方向性时相反.证明若积分域D有方向性，且D关于dσ所在的坐标轴或坐标面对称，则D1D2，在dσ所在的坐标轴或坐标面上的有向投影反方向，故，故结论成立. 证毕.特别地，当D是平面有向曲线，且由关于σ轴对称的 D1和 D2组成时，记σ⊥轴为另一坐标轴，若存在，则有定理4.定理4 设D是平面有向曲线，D由关于σ轴对称的 D1和 D2组成，σ⊥轴为另一坐标轴，存在，则当f在对称点处的函数值相等时，；当f在对称点处的函数值互为相反数时，简言之，当积分域是平面有方向曲线且关于某坐标轴对称时，关于另一个坐标轴的第二型线积分的对称性应用规律恰好与积分域无方向性时相同.证明因D是平面有向曲线，且D关于σ轴对称，故D1D2，在σ⊥轴上的有向投影同方向，因此，在，结论成立. 证毕.定义对于区域D，若对于任意点，则称D具有轮换对称性.在积分中，若积分域具有轮换对称性，利用坐标轮换本质是将坐标轴重新轮换命名，被积函数的变量也作相应的轮换，积分范围并没变化，差别仅仅在于所使用的积分变量的形式不同，由于积分只与被积函数及积分域有关，而与积分变量的形式无关，因此积分值不变.定理5 若积分域D具有轮换对称性，则（1）重积分：（2）第一型线积分：（3）第一型面积分：（4）第二型线积分：（5）第二型面积分：【相关文献】［1］马德炎.对称性在重积分及曲面积分中的应用［J］.高等数学研究，2011，14（4）：93-94 ［2］李治飞.多元函数积分的简化计算［J］.高等数学研究，2011，14（2）：34-36［3］常浩.对称性在积分学中的应用［J］.高等数学研究，2011，14（2）：59-63［4］吴克坚，李文潮，王连昌.积分计算中的对称性定理及应用［J］.高等数学研究，2008，11（2）：24-26，35［5］秦勇.再谈轮换对称性［J］.高等数学研究，2007，10（2）：20-22［6］王建刚.轮换对称性在解题中的应用［J］.高等数学研究，2005，8（2）：12-13。
轮换对称性在积分运算中的应用
龙源期刊网
轮换对称性在积分运算中的应用
作者：董红昌
来源：《课程教育研究》2017年第38期
【摘要】轮换对称性是解决高等数学一些特定积分问题的有效方法。
合理使用轮换对称性，可以使积分运算简单化，进而减少计算量。
本文讨论了轮换对称性在各类积分中的具体表达形式，并通过实例说明轮换对称性在积分运算中的应用。
【关键词】轮换对称性积分
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）38-0125-02
重积分、曲线积分和曲面积分的计算都有基本方法，具体内容在高等数学教材中有详细讲解。
但有些特定的积分，比如积分区域具有轮换对称性，合理使用性质可以化难为易，简化计算，收到事半功倍的效果。
本文讨论了轮换对称性在二重积分、三重积分、第一类曲线积分和第一类曲面积分中具体表达形式和解题中的应用。
参考文献：
[1]同济大学数学系.高等数学[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.
[2]常浩.对称性在积分学中的应用[J].高等数学研究2011，14（2）：59-63.
[3]秦勇.轮换对称性在积分中的应用[J].常州工学院学报，2015，28（3）：62-65.。
对称性在重积分计算中的应用
对称性在重积分计算中的应用作者：左俊梅来源：《大学教育》2014年第14期[摘要]在积分计算中，运用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，以及轮换对称性可以简化计算.对称性在重积分计算中具有多方面的应用.[关键词]对称性重积分积分计算[中图分类号] O172.2 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2014）14-0177-02一、对称性在二重积分计算中的应用对于二重积分，我们主要讨论积分区域关于x轴（或y轴）对称、关于原点对称以及轮换对称性的类型.定理1 设函数f（x，y）在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于x轴对称.如果函数f（x，y）是关于y的奇函数，即f（x，-y）=-f（x，y），（x，y）∈D则■f（x，y）dσ=0；如果f（x，y）是关于y的偶函数，即f（x，-y）=f （x，y），（x，y）∈D，则■f（x，y）dσ=2■f（x，y）dσ.其中D1是D在x轴上方的平面区域.同理可写出积分区域关于y轴对称的情形.当积分区域关于原点对称时，我们可以得到如下的定理.定理2 设函数f（x，y）在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于原点对称.如果f （-x，-y）=-f（x，y），（x，y）∈D，则■f（x，y）dσ=0；如果f （-x，-y）=f（x，y），（x，y）∈D，则■f（x，y）dσ=2■f（x，y）dσ=2■f（x，y）dσ，其中D1={（x，y）∈D|x≥0}，D2={（x，y）∈D|y≥0}.为了叙述的方便，我们给出区域关于x，y的轮换对称性的定义.定义1 设D为一有界可度量平面区域（或光滑平面曲线段），如果对于任意（x，y）∈D，存在（y，x）∈D，则称区域D（或光滑平面曲线段）关于（x，y）具有轮换对称性.关于区域的轮换对称性，有如下定理.定理3 设函数f（x，y）在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于x，y具有轮换对称性，则■f（x，y）dσ=■f（y，x）dσ.例1 计算二重积分I=■■ dσ，其中f（x）是区间[-1，1]上的正值连续函数，D={（x，y）|x2+y2≤1，x≥0，y≥0}.解由于积分区域D关于x，y具有轮换对称性，则由定理3得I=■■ dσ=■■ dσ，所以I=■■[■+■]dσ=■■dσ=■（a+b）.二、对称性在三重积分计算中的应用经过分析，我们可以很容易地看到对称性在三重积分计算中的应用与二重积分非常类似，根据对称性在二重积分计算中的结论可以得到下面的定理.定理4 设函数f（x，y，z）是定义在空间有界区域Ω上的连续函数，且Ω关于坐标平面x=0对称，则（1）若f（x，y，z）是关于变量x的奇函数，则■f（x，y，z）dV=0；（2）若f（x，y，z）是关于变量x的偶函数，则■f（x，y，z）dV=2■f（x，y，z）dV.其中Ω1是Ω的前半部分，Ω1={（x，y，z）∈Ω|x≥0}.同理可写出Ω关于坐标平面y=0（或z=0）对称时的情形.例2 计算三重积分I=■（x+z）dV，其中Ω是由曲面z=■与z=■所围成的区域.解I=■xdV+■zdV，由于Ω关于坐标面x=0对称，且x为关于变量x的奇函数，则由定理4知■xdV=0.则I=■zdV=■dθ■dφ■rcosφr2sinφdr=■.与二重积分类似，我们也可得到如下结论.定理5 设函数f（x，y，z）是定义在空间有界区域Ω上的连续函数，且Ω关于原点对称，则（1）若f（-x，-y，-z）=-f（x，y，z），（x，y，z）∈Ω，则■f（x，y，z）dV=0；（2）若f（-x，-y，-z）=f（x，y，z），（x，y，z）∈Ω，，则■f（x，y，z）dV=2■f（x，y，z）dV=2■f（x，y，z）dV=2■f（x，y，z）dV.其中Ω1={（x，y，z）∈Ω|x≥0}，Ω2={（x，y，z）∈Ω|y≥0}，Ω3={（x，y，z）∈Ω|z≥0}为了方便叙述，我们先给出一个空间几何体关于x，y，z的轮换对称性定义.定义2 设Ω是一有界可度量的几何体（Ω可为空间区域、空间曲线或曲面块），且它的边界光滑，若对任意的（x，y，z）∈Ω，都存在（y，z，x）∈Ω，存在（z，x，y）∈Ω，则称Ω关于x，y，z具有轮换对称性.关于空间区域的轮换对称性，我们有如下的定理.定理6 设函数y（x，y，z）是定义在空间有界区域Ω上的连续函数，且Ω关于x，y，z具有轮换对称性，则■f（x，y，z）dV=■f（y，z，x）dV=■f（z，x，y）dV.例3 计算■f（x+y+z）2dΩ.其中Ω为正方体0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1.解由于Ω关于x，y，z具有轮换对称性，由定理6知■x2dΩ=■y2dΩ=■z2dΩ，■2xydΩ=■2yzdΩ=■2zxdΩ，那么■（x+y+z）2dΩ=■（3x2+6xy）2dΩ=■dx■dy■（3x2+6xy）dz=■.[ 参考文献 ][1] 孙钦福.二重积分的对称性定理及其应用[J].曲阜师范大学学报，2008（29）：9-10.[2] 张仁华.二重积分计算中的若干技巧[J].湖南冶金职业技术学院学报，2008（2）：102-104.[3] 陈云新.轮换对称性在积分中的应用[J].高等数学研究，2001（4）：29-31.[4] 王宪杰.对称区域上二重积分和三重积分的计算[J].牡丹江师范学院学报，2007（4）：65-66.[责任编辑：林志恒]。
轮换对称性在积分计算中的应用
ｌ｛（ Ｙｄｄ ２厂 ｌ ，）ｘｙ
ｆ Ｙ Ｙ ） （，）＝ ，
Ｌ ０ ｆ ， ）＝ 一 Ｙ ） （ Ｙ ， ２ 三 重 积分 的轮换 对 称 性 ． 若 积分 区域 Ａ关 于 ， ：具有 轮换 对 称 性 ， Ｙ， 则
（ ，）ｙ＝ ｙ，ｘｚ ｚ，ｘｚ÷（ ，）ｆ，） １ ｙ ｄｄ ，）ｙ＝ ，）ｙ＝Ⅲ ｘ，＋ｙ，＋ ） ，ｘｚ ｚ ｄｄ （ ｙｄ ｘ ｚｄ ｘｄ ｘ ｄｄ ｙ （ｚ ｚ ｘ
Ｉ ｒ
厂 ，）ｓ； ｛ ． （ Ｙｄ
Ｌ
ｆｌ（ Ｙｄ ２厂 ）ｓ ，
０
厂 Ｙ （ ）＝厂Ｙ ） ， （，
厂 ， ） ：一厂 Ｙ， （ Ｙ （ ）
若 空 间 积分 曲线 Ｃ关 于 ， ， 具 有 轮换 对称 性 ， Ｙ： 则
Ｉ（，， ｄ ＝Ｉ（ ） ＝Ｉ（， ｙｄ＝ １ （ Ｙ：＋ （， ＋ （，， ） ； 厂 Ｙ： ｓ 厂 ｄ 厂 ） 厂 ，， 厂Ｙ： ） 厂： ｙ ｄ ） Ｙ ｓ ：， ｓ ｌ（ ） ， ）ｓ
）女 ， 州 毕 节 人 ， 节 师 专 数 学 系讲 师 ， 业 于 长 春 师 范学 院 数 学 系 ， 士 ， 要 从 事 函 数 论 等 方 面 的 教 ， 贵 毕 毕 学 主
Ｌ ０ ３ 第 一 型 曲线 积 分 的轮 换 对称 性 ． 若 平 面积 分 曲线 Ｃ关 于 ， Ｙ具有 轮 换对 称 性 ， 则
一
、
（） （ Ｙｄｄ Ｙ ｄ＠ ＝÷Ｉ厂 Ｙ ＋ （ ，）ｄ＠ １Ｉ ，）ｘｙ＝Ｉ（ ， ｘ ） ‘Ｉ （ ） ｆＹ ）ｘ （ ，
（ ） Ａ关 于 直线 Ｙ ＝ 对 称 ， Ａ位 于直线 Ｙ ＝ 上 半 部分 区域 为 Ａ ， ２若 令 。有
Ｉ（
，
轮换对称在多元函数微积分学中的应用
轮换对称在多元函数微积分学中的应用摘要：在学习重积分时，利用轮换对称是一种计算简便且效率很高的方法，本文对轮换对称性在多元函数微积分学中用法进行探索、追溯和总结。
关键字：轮换对称应用1.轮换对称的概念如果一个元代数式如果将字母以代替代替代替代替后表达式不发生改变，即，那么称这个代数为元轮换对称式，简称轮换式，例如显然是轮换对称式。
1.轮换对称的雏形在《高等数学》讲解旋转曲面的内容，例如，旋转抛物面是由坐标面上直线绕轴旋转而来。
我们来观察这张二次曲面方程形式，自变量形式是完全相同的，我认为这是轮换对称的雏形。
1.应用接下来我们通过例题，将轮换对称性在多元函数微积分学中的简化运算和应用进行简单举例说明。
3.1求偏导数例 1 设，求解由于而函数关于变量具有轮换对称性，则由于同理可得本题在求偏导数时，利用两个自变量的轮换对称性，将变量进行替换，运算量减半。
3.2 求极值多元函数求条件极值时，当表达式达到轮换对称性时，函数取相应的极值。
例2 将12分成三个正整数之和，使得为最大。
解令拉格朗日函数即则分别求四个一阶偏导数：解得唯一驻点故最大值为本题中采用了求条件极值一贯的思路，未展示求到驻点的过程。
不过只有上述部分，观察轮换对称性足够了。
很多学生开始认为变量是具有轮换对称性，其实大家观察四个一阶导数会发现，“三胞胎”应该是，因此结果才是6,4,2的关系，而不是4,4,4。
这里留下这样一个问题仅供思考，为什么满足轮换对称的不是呢。
3.3 简化重积分和曲线曲面积分运算在重积分和曲线曲面积分中，轮换对称性的用法比较简单。
我们以二重积分为例：若积分区域关于具有轮换对称性，则例3 计算二重积分其中解由于是双胞胎，因此例4 求其中是圆周解所求被积函数中只有项，而轮换对称是三胞胎存在的，因此例 5 计算 ,其中是由抛物面和球面所围成的空间闭区域。
解 ,其中是关于的奇函数，且关于面对称,是关于的奇函数，且关于面对称,同理注意：该处具有轮换对称性的变量只有两个,而不是三个变量。
轮换对称性在微分与重积分计算中的应用
８ ｙ
ａ ｚ
３ 利 用轮 换 对 称性 简 化 二 重 积 分
若 积分 区域 Ｄ关 于 ， 有轮换 对称性 ， ： Ｙ具 则
，
ｙ ｄｒ＝ ）ｔ
Ｄ
）＋ ） ］ ， ）如 ，
Ｄ
关于 直线 Ｙ ＝ 对称 ， Ｄ位 于直线 Ｙ＝ 上半 部分 区域 为 Ｊ 记 Ｄ ， 当 ，）＝ Ｙ Ｙ ，）时 ，
对于轮换对称函数 ： 若 盟 厂 ，，） 则 （ Ｙｚ ，
：
一
Ｏｘ
Ｄ
鱼 ！ ：２一旦 ！ 兰 ２ ＝ Ｙ ， ￡ 兰 兰 ：： ，，） （ ：：２一旦 ｉ ：２ 鱼 兰
ａ
ｚ ， ） ， Ｙ
、，
ｄ
例 １ 若 ｕ ＝ｌ（ ＋Ｙ 一３ｙ） 求 证 ： ＋ ＋Ｏ ＝ ｎｘ ＋ ｘｚ ， ＿ ｕ Ｅ ＿
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｉ ｈ ａ ｅ ，ｔ ｅ ａ ｔｏ ｉｅ ｈ ｏ ｃ ｐ ｄ ａ ｐ ｉ ａｉｎ ｃ ｎ ｉ ｏ ｆｔａ ｓａａ ｌ ｙ ｓｒ ｃ ｎ ｔ ｅ ｐ ｐ ｒ ｈ ｕ ｈ ｒ ｇｖ ｓ ｔ ｅ ｃ ｎ ｅ ｔ ａ ｐ ｌ ｔ ｏ ｄ ｔ ｎ ｏ ｒｎ ｌｔ ｂｅ ｓ ｍｍｅｒ ｎ Ｕ ｓ ｎ ｃ ｏ ｉ ｔ ａ ｄ ｉｕ — ｙ ｔ ｔｓ ａ ｓｍｐｉｉｄ ｃ ｌｕ ａｉｎ ａ ｏ ｔ ｉ ｅ ｅ ｔ ｔ ｎ ｏ ｕ ｃｉ ｎ ｏ ｍａ ｙ ｖ ｒ ｂ ｅ ｎ ｌ ｔ ｌ ｎｅ ｒ ｓ ｂ ｓ ｆ ｒｎ — ＿ ｅ ｉ ｌ ｅ ａｃ ｌ ｔ ｂ ｕ ｆ ｒｎ ｉ ｉ ｆｆ ｎ ｔ ｆ ｎ ａ ｉ ｌ ｓａ ｄ ｍｕ ｉ ｅ ｉ ｔｇ ａ ｙ ｕ ｅ ｏ ｔ ｓ ｒ ａ ｆ ｏ ｄ ａｏ ｏ ａ ｐ ｌ ａ ｌｔｂ ｅ ｓ ｍｅｒ ． ａ ａ ｌ ｙ ｍ ｔ ｙ
浅析轮换对称性在积分计算中的应用
【 关键词 】 轮换对称 性； 简化计算 ； 积分 ； 被积 函数 ； 积分
区域
【 中图分类号 】 ０ １ ７ ２ 【 文献识 Ｓ ｊ Ｌ ￣ ｑ ＿ 】 Ａ 【 基金项 目】 ２ ０ １ ５年北 京航 空航 天大学 “ 凡舟” 奖教 金
钟黛咿 麈
１ ０ ０ １ ９ １ ； １ ０ ０ １ ９ １ ）
◎李嘉骐 薛玉梅。 （ Ｉ ． 北京航 空航 天大学 自动化科 学与 电气工程 学院， 北京
２ ． 北 京航 空航 天 大 学 数 学与 系统科 学学院， 北京
ｆ ｆ （ ＋ Ｙ ） ｄ ｘ ｄ ｙ ＝ｆ Ｊ （ ＋ Ｙ ） ｄ ｘ ｄ ｙ ．
二、 问 题 讨 论
例２ ． ２计 算Ｉ Ｉ ｎ （ ＋ ｙ ） ｄ ｘ ｄ ｙ ， ｇ － 中 Ｄ 为 椭 圆 ≥＋ 告≤ １ ．
分析 （ ＋ ） ＝ ＋ ｙ ２ ＋ ２ ｘ ｙ ， 对于 而言， ２ ｘ ｙ 在椭
圆区域中是一个奇 函数 ， 因此 该部 分积分 值为 ０所 以本 例 的积 分结果与上例 中相 同．
简化计算． 但本题中被积函数为 。 ＋பைடு நூலகம்ｙ ２ ， 显然采用广义极坐
标变换求解更为容 易． 本例说 明了圆形积 分 区域简 化计 算 的一种思路 ， 但 并 非 最 简解 法．
、
引 言
在 定积分的计算 中， 我们 常利用积分 区间 的对称性 ， 结 合被积 函数 的奇 偶性 ， 可 以极 大地 简化计算 的过 程． 那么， 在重积分 的计算 中， 类似地 ， 我 们可 以利用积分 区域 的对称 性 与被 积函数的奇偶性使计算更 为简便． 相应地 ， 我 们还可 以发现 ， 在 曲线积分 中也有这样 的结果． 在解 决实际问题的过程 中， 我们不难发 现 ， 积分 区域 的 高度对称性 实际上表 明了变量 、 Ｙ 、 ｚ之 间的某种 可相互 替 代性 ， 这便是 轮换性． 一般来 说 ， 先使用 轮换 性 简化被 积 函 数或使其形 式易于化简 ， 之后再 利用对称 性来解决 问题 ， 可 以极大 地减 小我们在解决问题 中的工作量． 本 文将 从不同类 型的重积分 区域 和 曲线积 分人手 去探 讨轮换 对称性 在积分 计算 中 的应 用． 同时探究 被积 函数 的 形 式 为 变量 平 方 的 和 与变 量 和 的平 方 时 在 相 同 积 分 区 域 中 结 果 的异 同．
轮换对称性在积分计算中的应用
轮换对称性在积分计算中的应用
徐年方
【期刊名称】《河北能源职业技术学院学报》
【年(卷),期】2009(009)001
【摘要】本文首先给出轮换对称性的定义,将它应用于二重、三重积分及曲线、曲面积分的计算中,用统一的形式归纳出计算积分的简易方法,最后用轮换对称性证明定积分不等式.
【总页数】3页(P92-93,96)
【作者】徐年方
【作者单位】淮安市广播电视大学,江苏,淮安,223001
【正文语种】中文
【中图分类】G421
【相关文献】
1.浅析轮换对称性在积分计算中的应用 [J], 李嘉骐;薛玉梅;
2.轮换对称性在积分计算中的应用 [J], 张云艳
3.轮换对称性在微分与重积分计算中的应用 [J], 肖莉
4.坐标的轮换对称性在积分计算中的应用 [J], 李远东
5.对称性、轮换对称性在重积分计算中的应用 [J], 朱碧;李帅
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对称性在重积分计算中的应用
［ 收稿 时间］ ２ ０ １ ４ 一 Ｏ １ — １ ８ ［ 作者简介 】 左俊梅 （ １ ９ ８ ６ 一 ） ， 女， 河南周 口 人， 助教 ， 研 究生 ， 从 事分形 几何与 小波分析研 究。
１ ７ ７
彦 素
情 形．
关 于空ｆ ． ｑ 区 域 的 轮换 对 称 性 ， 我们有如 Ｆ 的定 理 ．
） ， ） ∈ Ｄ ， 则０ ， ｙ ） ｄ ｔ ｒ ＝ ２ 』 ， ｙ ） ． 其 中Ｄ 是Ｄ 在 轴
上方 的平 面区域 ． 同理 可写出积分区域关于 Ｙ轴对称 的情形 ． 当积分 区域关于原点对称时 ， 我们可 以得到如下 的定理 ． 定理 ２ 设 函数ｆ （ ｘ ， ｙ ） 在ｘ ｏ ｙ 平 面上 的有界 区域 Ｄ
ｊ ， ｙ ， ｚ ） ｄ ＝ Ｊ ｙ ， ， ） ｄ ＝ 皿 ｚ ， ， ｙ ） ｄ Ｖ ．
例 ３计 算 ｆ ＋ ｙ ） ． 其 中 Ｑ 为 正 方 体 ０ ≤ ≤
解 由于 ｎ 关于 ， Ｙ ， 具有轮换对称性 ，由定理 ６
知
解 Ｉ ＝ ｊ ｄ ＋ ｊ ｄ ， 由 于 Ｑ 关 于 坐 标 面 ＝ ０ 对 称 ，
具有多方面的应 用．
［ 关键词 ］ 对称性
［ 中图分类号 ］ Ｏ １ ７ ２ ． ２
一
、
对称性在 二重 积分计 算中的应 用
对 于二 重积 分 ，我们 主要讨 论积 分 区域关 于 轴
（ 或Ｙ 轴） 对称 、 关 于原点对称 以及轮换对称性 的类 型．
口
』 ） ， ， ） 如 ．
刍
＋ 啊
２ ８
２
二、 对称性在 三重积分计算 中的应 用 经过分析 ， 我们可 以很 容易地看到对称 性在三重积
轮换对称性在多元微分学中的应用
轮换对称性在多元微分学中的应用重积分是多元微积分中的一个重点模块，经常会出现在一些较为困难的计算题与证明题中。
此外，在物理学中也经常能见到重积分的身影。
在各大高校的研究生入学试题以及期末测试题中，重积分往往也是不可忽视的一部分。
本文在默认读者有着熟练计算二重积分的基础上，旨在通过几个例题来介绍一类典型的重积分问题：“具有轮换对称性的重积分”。
希望可以帮助到各位微积分学习者！我们首先先关注区域 D 的轮换对称性。
这里直接给出它的定义“若区域 D 关于直线y=x 对称，那么对于区域内的任意一点P1(x,y) ,都有P2(y,x)∈D,我们称这样的区域 D 具有轮换对称性。
”那么什么是二重积分的轮换对称性呢？这里有一个定理：“若 D 有轮换对称性，则∬Df(x,y)dxdy=∬Df(y,x)dxdy .”通过这个定理，我们可以解决很多关于二重积分的计算与证明题。
【例.1】求积分I=∬D(x2a2+y2b2)dxdy 的值，其中D:x2+y2≤R2. 解：注意到区域 D 具有轮换对称性，故I=∬D(x2a2+y2b2)dxdy=∬D(y2a2+x2b2)dxdy考虑求和，等式变为I=12[∬D(x2a2+y2b2)dxdy+∬D(y2a2+x2b2)dxdy]化简提出公因式，则变成I=12(1a2+1b2)∬D(x2+y2)dxdy此时后面的二重积分已经可以计算出，最终结果为I=πR44(1a2+1b2)【例.2】设f(x) 在[0,1] 上连续，且∫01f(x)dx=A,求积分I=∫01dx∫x1f(x)f(y)dy的值.解：遇见二次积分，第一反应先把它转化为二重积分，I=∬Df(x,y)dxdy ，其中 D 为直线x=0 ,直线y=x ,直线y=1 围成的区域。
显然，区域 D 是正方形：0≤x≤1, 0≤y≤1的对角线上半部分，我们将这个正方形区域补齐,考虑到正方形区域具有轮换对称性，所以有等式I=∫01dx∫1xf(x)f(y)dy所以这个二次积分满足I=12∫01dy∫01f(x)f(y)dx=12∫01f(y)dy∫01f(x)dx=12A2。
轮换对称性在积分中的应用
轮换对称性在积分中的应用秦勇【摘要】This article has proved some conclusions about cyclosymmetric property and introduced appli-cations of cyclosymmetric property in integral.%证明了轮换对称性的有关结论，并阐述了其在积分中的一些应用。
【期刊名称】《常州工学院学报》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】4页(P62-65)【关键词】轮换对称性;积分;区域;变量;双射【作者】秦勇【作者单位】常州工学院理学院，江苏常州 213002【正文语种】中文【中图分类】O172利用对称性计算积分在一般“高等数学”的教材中均未提及，主要在一些考研数学辅导书或数学竞赛辅导书上有介绍。
了解用对称性计算积分对改进“高等数学”的教学、简化积分的计算过程及提高学生的解题运算能力都有着实际的意义。
对称性计算积分主要包括两方面[1]：一是积分区域关于坐标面、坐标轴和原点对称情况下被积分函数具有奇偶性的积分；二是积分区域关于积分变量具有轮换对称性情况下的积分。
对于第1种情况比较好理解，因为多元函数的积分可以视为定积分在对称区间上积分的推广，而对于第2种情况则没有简单的理解方法且有关的结论也没有给出证明。
本文给出积分区域关于积分变量具有轮换对称性情况下积分的有关结论并给出证明，最后介绍其在计算积分中的一些应用。
定义设Ω⊆R3，如果∀(x,y,z)∈Ω，都有(z,x,y),(y,z,x)∈Ω，则称区域Ω关于变量x,y,z具有轮换对称性。
引理设区域Ω关于变量x,y,z具有轮换对称性，则存在Ω上的一个一一变换[2]。
证明因为Ω关于x,y,z具有轮换对称性，所以∀(x,y,z)∈Ω，有(z,x,y),(y,z,x)∈Ω，定义σ(x,y,z)=(z,x,y)∈Ω。
∀(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)∈Ω,若(x1,y1,z1)=(x2,y2,z2)，则有x1=x2，y1=y2，z1=z2，从而(z1,x1,y1)=(z2,x2,y2)，即σ(x1,y1,z1)=σ(x2,y2,z2)，所以σ是Ω到Ω的一个映射，从而σ是Ω上的一个变换。
轮换对称性在解题中的应用
*
[定义 1 ]
设对任意的点 P 1 ( x1, x2, +xn- 1, xn ) I 8 < R , P 2 ( x2, x3, +xn, x1 ) I 8 < R , , ,
n
n
n
P n (xn, x 1, + xn- 1 ) I 8 < R 成立, 则称区域 8 关于变量 x 1, x2, +xn 具有轮换对称性。 2 2 2 2 例如: 球形域 8: x + y + z [ R 关于 x, y, z 具有轮换对称性 1 [ 定义 2 ] 设函数 F ( x1, x2, +xn- 1, xn ) S F (x 2, x3, +xn, x1 ) S , S F (xn, x1, +xn- 1 ), 则称函数 F (x1, x2, + xn- 1, xn ) 关于变量 x 1, x2, +xn 具有轮换对称性 . 例如: u = x + y + z 关于 x, y, z 具有轮换对称性 1
2 2 2
QQ 计算 m ( x + y ) dM
0[ x[ 1 0[ y[ 1 1
k
2
f ( x) f( y) dx dy = 2 0 dx x f (x )f ( y) dy, 即
1
1 1 0
1
1
1
1
dx x f ( x) f (y ) dy .
0
f (x ) dx Q A 1 2
k
k
k
1
0 , 当 f ( x, y) = - f ( y, x) 2 . 设积分区域 8 关于 x, y, z 具有轮换对称性, 则有 f (x, y , z) dM= f ( y, z, x) dM= f ( z , x, y ) dM= 1 [ f (x, y , z) + f ( y, z, x) + f ( z , x, y ) ] dM 3 8 8 8 8