2020郑州二模理科数学
2020届河南省普通高中高三第二次质量检测数学(理)试卷及解析
2020届河南省普通高中高三第二次质量检测数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.2.全部答案在答题卡完成,答在本试题上无效.3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.参考公式:锥体的体积公式:13V Sh =（其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高）. 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,集合{}2|log 1A x x =<,{}2|0B x x x =->,则A B =（ ）A. {|12x x <<}B. {|2x x <}C. {|12x x ≤≤}D. {|14x x ≤<}【答案】A【解析】 求出不等式2log 1x <和20x x ->的解,然后根据集合的交集运算,即可得到本题答案.【详解】由2log 1x <,得02x <<,故{|02}A x x =<<,由20x x ->,得1x >或0x <,故{|1B x x =>或0}x <,所以,{|12}A B x x =<<.故选：A2.已知复数z 满足21i z i-=+,则z =（ ）A. 132i +B. 132i -C. 32i +D. 32i - 【答案】B【解析】利用复数的除法运算,即可得答案.【详解】∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i i z i i i ----===++-. 故选：B.3.由我国引领的5G 时代已经到来,5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对GDP 增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据,对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图,下列说法正确的是（ ）A. 5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B. 设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【答案】ABD【解析】本题结合图形即可得出结果．【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位,而后期是信息服务商处于领先地位,故C 项表达错误．故选：ABD ．4.411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A. 10B. 24C. 32D. 56。
河南省郑州市2020届高三第二次质量预测数学(理)试题 Word版含解析
高考资源网（ ） 您身边的高考专家
版权所有@高考资源网 - 1 - 2020年高中毕业年级第二次质量预测
理科数学试题卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{|135}A x a x a =+≤≤-，{|322}B x x =<<，且A
B A =，则实数a 的取值范围是（ ）
A. (,9]-∞
B. (,9)-∞
C. [2,9]
D. (2,9) 【答案】B
【解析】
【分析】
由A B A =得到A B ⊆，建立不等式，即可求出a 的取值范围．
【详解】解：{|135}A x a x a =+≤≤-，{|322}B x x =<<，且A B A = 所以A B ⊆，当A =∅时，135a a +>-解得3a <；
当A ≠∅时，
∴352213513a a a a -<⎧⎪+≤-⎨⎪+>⎩
解得39a ≤<
9a ∴<
故选：B 【点睛】本题考查集合的包含关系，考查解不等式，属于基础题． 2.已知复数32i z i +=
（i 其中是虚数单位，满足21i =-），则z 的共轭复数是（ ） A. 12i -
B. 12i +
C. 12i --
D. 12i -+ 【答案】C
【解析】
【分析】
由21i =-化简分母，然后再由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，则z 的共轭复数可求．
【详解】解：322222(2)12i i i i i z i i i i i i ++++=
====-+--， 则12z i =--．。
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷和答案(理科)
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|3＜x＜22}，且A ∩B＝A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，9]B．（﹣∞，9）C．[2，9]D．（2，9）2．（5分）已知复数z＝（其中i是虚数单位，满足i2＝﹣1）则z 的共轭复数是（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2+i D．﹣1+2i 3．（5分）郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20B．21C．20.5D．234．（5分）圆（x+2）2+（y﹣12）2＝4关于直线x﹣y+8＝0对称的圆的方程为（）A．（x+3）2+（y+2）2＝4B．（x+4）2+（y﹣6）2＝4C．（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4D．（x+6）2+（y+4）2＝4 5．（5分）在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为（）A．30米B．20米C．15米D．15米6．（5分）若α∈（，π），则2cos2α＝sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．1D．7．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）8．（5分）为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等•劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积，s为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2（x∈[0，1]），则Gini ＝；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3（x∈[0，1]），则Gini ＝．其中不正确的是（）A．①④B．②③C．①③④D．①②④9．（5分）2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（）A．96B．84C．120D．360 10．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，S n为数列{a n}的前n项和，则的最小值为（）A．4B．3C．2﹣2D．211．（5分）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．πB．2πC．6πD．24π12．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y ＝﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若＝2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（x+）6展开的所有项的系数和为，展开式中的常数项是．14．（5分）已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cosx﹣sinx，当x∈[﹣4π，4π]且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是．15．（5分）已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°．AD ＝l，BC＝2，M是AB边上的动点，则||的最小值为．16．（5分）设函数的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中0为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数m的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，S7＝77，且满足a112＝a1•a61．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，且，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用ξ表示所选4人中青春组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．附：；其中n＝a+b+c+d独立性检验临界表：P（K2＞k0）0.1000.0500.010K 2.706 3.841 6.63519．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将△ACD 折起，使得点D在平面ABC上的射影恰好落在边AB上．（1）求证：平面ACD⊥平面BCD；（2）当时，求二面角D﹣AC﹣B的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy内，动点A到定点F（3，0）的距离与A到定直线x＝4距离之比为．（Ⅰ）求动点A的轨迹C的方程；（Ⅱ）设点M，N是轨迹C上两个动点直线OM，ON与轨迹C 的另一交点分别为P，Q，且直线OM，ON的斜率之积等于﹣，问四边形MNPQ的面积S是否为定值？请说明理由．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数F（x）＝在（0，十∞）上的单调性．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2asinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a 的取值范围？[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣1|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）答案与解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】根据A∩B＝A可得出A⊆B，从而可讨论A是否为空集：A＝∅时，a+1＞3a﹣5；A≠∅时，，解出a的范围即可．【解答】解：∵A∩B＝A，∴A⊆B，且A＝{x|a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|3＜x＜22}，∴①A＝∅时，a+1＞3a﹣5，解得a＜3；②A≠∅时，，解得3≤a＜9，∴综上得，实数a的取值范围是（﹣∞，9）．故选：B．2．【分析】利用复数的运算法则化简z，再根据共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z＝＝﹣2﹣i，则z的共轭复数是﹣2+i．故选：C．3．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可．【解答】解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，所以中位数是×（20+21）＝20.5．故选：C．4．【分析】一个圆关于直线对称的圆是圆心坐标关于直线对称，半径相等，求出已知圆的圆心坐标及半径，设所求的圆的圆心，可得两个圆心的中垂线为已知直线，进而求出所求的圆心坐标，进而求出圆的方程．【解答】解：由圆（x+2）2+（y﹣12）2＝4可得圆心坐标（﹣2，12），半径为2，由题意可得关于直线x﹣y+8＝0对称的圆的圆心与（﹣2，12）关于直线对称，半径为2，设所求的圆心为（a，b）则解得：a＝4，b＝6，故圆的方程为：（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4，故选：C．5．【分析】如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，△PAD 是一个等腰直角三角形，∠APD＝90°．△OAB为等边三角形，可得OA＝30，利用等腰直角三角形的性质即可得出．【解答】解：如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，△PAD 是一个等腰直角三角形，∠APD＝90°．△OAB为等边三角形，∴OA＝30，∵OP⊥平面ABCDEF，∴∠OAP＝45°，∴OP＝OA＝30．要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为30m．故选：A．6．【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cosα﹣sinα，或cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．【解答】解：法1：∵α∈（，π），且2cos2α＝sin（﹣α），∴2（cos2α﹣sin2α）＝（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα＝﹣，或cosα﹣sinα＝0（根据角的取值范围，此等式不成立排除）．∵cosα+sinα＝，则有1+sin2α＝，sin2α＝﹣；故选：B．法2：∵α∈（，π），∴2α∈（π，2π），∴sin2α＜0，综合选项，故选：B．7．【分析】根据题意i＝3，循环三次，可通过循环三次解出x．【解答】解：根据结果，3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2≤82，且3{3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2}﹣2＞82，解之得2＜x≤4，故选：B．8．【分析】可由当Gini＝，则a越小，不平等区域越小，越公平，进行判断①，f（x）＜x，则对∀x∈（0，1），均有＜1，可由判断②，先积分求a，再求Gini，判断③④【解答】解：①：由题意知A为不平等区域，a表示其面积，s为△OKL的面积．当Gini＝，则a越小，不平等区域越小，越公平，①对，②：由图可知f（x）＜x，则对∀x∈（0，1），均有＜1，②错；③：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2（x∈[0，1]），a＝，Gini＝，③错，④：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3（x∈[0，1]），a＝，Gini＝，④对，故选：B．9．【分析】根据题意，由排除法分析：先计算将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行的排法数目，排除其中“0”在首位和数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前中重复的情况数目，分析可得答案．【解答】解：根据题意，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，“10”是一个整体，有A55＝120种情况，其中数字“0”在首位的情况有：A44＝24种情况，数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前的排法有：A44＝24种，则可以产生：120﹣24﹣24+12＝84种，故选：B．10．【分析】a1，a3，a13成等比数列，a1＝1，可得：a32＝a1a13，即（1+2d）2＝1+12d，d≠0，解得d．可得a n，S n．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：∵a1，a3，a13成等比数列，a1＝1，∴a32＝a1a13，∴（1+2d）2＝1+12d，d≠0，解得d＝2．∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．S n＝n+×2＝n2．∴＝＝＝n+1+﹣2≥2﹣2＝4，当且仅当n+1＝时取等号，此时n＝2，且取到最小值4，故选：A．11．【分析】由题意，PB为球的直径，求出PB，可得球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD．底面ABCD 为矩形，其中PD⊥底面ABCD．AB＝1，AD＝2，PD＝1．则该阳马的外接球的直径为PB＝．∴该阳马的外接球的表面积为：．故选：C．12．【分析】根据题意直线AB的方程为y＝（x﹣c）代入双曲线渐近线方程，求出A的坐标，进而求得B的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y＝（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y＝﹣x得A（，﹣），由＝2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣＝1，即＝1，整理可得c＝a，即离心率e＝＝．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】令x＝1得所有项的系数和，然后求出通项公式，结合常数项的条件进行求解即可．【解答】解：令x＝1得所有项的系数和为（1+2）6＝36＝729，通项公式T k+1＝C x6﹣k•（）k＝C•2k•x6﹣2k，k＝0，1， (6)令6﹣2k＝0得k＝3，即常数项为T4＝C•23＝20×8＝160，故答案为：729，16014．【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数；且g（0）＝0，g（π）＝﹣π；g（2π）＝2π；g（3π）＝﹣3π；g （4π）＝4π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．【解答】解：g′（x）＝cosx﹣xsinx﹣cosx＝﹣xsinx；令g′（x）＝0得x＝kπ，k∈Z．∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数；且g（0）＝0，g（π）＝﹣π；g（2π）＝2π；g（3π）＝﹣3π；g （4π）＝4π故作函数f（x）与g（x）在[0，4π]上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4π]上共有4个交点；又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，∴f（x）与g（x）在[﹣4π，4π]上共有8个交点，故f（x）＝g（x）有8个零点．故答案为：8．15．【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，求出向量+的模长表达式，再求最小值．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，设A（0，a），M（0，b），且0≤b≤a；则C（2，0），D（1，a）；所以＝（2，﹣b），＝（1，a﹣b）；所以+＝（3，a﹣2b），所以＝9+（a﹣2b）2，当且仅当a﹣2b＝0，即a＝2b时，||取得最小值为＝3．故答案为：3．16．【分析】曲线y＝f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）＝（x+1）lnx （x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到m的范围．【解答】解：假设曲线y＝f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴＝0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）＝0 ①．若方程①有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程①无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t）＝﹣t3+t2代入①式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）＝0，即t4﹣t2+1＝0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）＝lnt，代入①式得：﹣t2+（lnt）（t3+t2）＝0，即m＝（t+1）lnt②，令h（x）＝（x+1）lnx（x≥e），则h′（x）＝lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，∵t≥e，∴h（t）≥h（e）＝e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．∴对于m≥e+1，方程②总有解，即方程①总有解．故答案为：[e+1，+∞）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．【分析】本题第（Ⅰ）题先设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），然后根据题干可列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d 的值，即可计算出数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题由题干可得．根据递推公式的特点可用累加法计算出数列{}的通项公式，接着计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则解得．∴a n＝5+2•（n﹣1）＝2n+3，n∈N*．（Ⅱ）依题意，由，可得．则当n≥2时，＝（n﹣1）（n﹣2+5）+3＝n（n+2）．当n＝1时，，即＝3也满足上式，∴＝n（n+2），∴b n＝＝（﹣），n∈N*．T n＝b1+b2+b3+b4+…+b n﹣1+b n＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝．18．【分析】（I）作出2×2列联表，求出k2≈1.83＜2.706，从而没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．（Ⅱ）用A表示“至少有1人在青春组”，利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在青春组的概率．（III）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为，从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，ξ服从二项分布．由此能求出ξ的分布列、数学期望．【解答】解：（I）作出2×2列联表：青春组风华组合计男生7613女生51217合计121830由列联表数据代入公式得，因为1.83＜2.706，故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．（Ⅱ）用A表示“至少有1人在青春组”，则至少有1人在青春组的概率为．（III）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是ξ服从二项分布．ξ的取值为0，1，2，3，4．且．所以得ξ的分布列为：ξ01234P数学期望．19．【分析】（1）设点D在平面ABC上的射影为点E，连结DE推导出DE⊥BC，AB⊥BC，从而BC⊥平面ABD，进而BC⊥AD，又AD⊥CD，从而AD⊥平面BCD，由此能证明平面ACD⊥平面BCD．（2）过点D作AC的垂线，垂足为M，连结ME，则DE⊥AC，AC⊥平面DME，EM⊥AC，从而∠DMC是二面角D﹣AC﹣B的平面角，由此能求出二面角D﹣AC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）设点D在平面ABC上的射影为点E，连结DE，则DE⊥平面ABC，∴DE⊥BC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥AD，又AD⊥CD，∴AD⊥平面BCD，而AD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCD．解：（2）在矩形ABCD中，过点D作AC的垂线，垂足为M，连结ME，∵DE⊥平面ABC，∴DE⊥AC，又DM∩DE＝D，∴AC⊥平面DME，∴EM⊥AC，∴∠DMC是二面角D﹣AC﹣B的平面角，设AD＝a，则AB＝2a，在△ADC中，由题意得AM＝，DM＝a，在△AEM中，，解得EM＝a，∴cos∠DME＝＝．∴二面角D﹣AC﹣B的余弦值为．20．【分析】（I）先设A的坐标，然后根据题意列出方程，进行化简即可求解A的轨迹方程；（II）由已知结合直线的斜率公式进行化简，然后结合三角形的面积公式及已知椭圆的性质可求．【解答】解（I）设A（x，y），由题意，，化简得x2+4y2＝12，所以，动点A的轨迹C的方程为，（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则由斜率之积，得，，因为点M，N在椭圆C上，所以．所以＝（）（3﹣），化简得．直线AB的方程为（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2＝0，原点O到直线MN的距离为．所以，△MON的面积，根据椭圆的对称性，四边形MNPQ的面积S＝2|x1y2﹣x2y1|，所以，，＝4[﹣]，＝，所以S＝12．所以，四边形MNPQ的面积为定值12．21．【分析】（I）把a＝1代入后对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程．（II）先对F（x）求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，曲线．．x＝1时，切线的斜率为，又切线过点（1，0）所以切线方程为x﹣2y﹣1＝0，（Ⅱ），，当a＜0时，F'（x）＜0，函数F（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，令，，当△≤0时，即0＜a≤4，k（x）≥0，此时F'（x）≥0，函数F （x）在（0，+∞）上单调递增；当△＞0时，即a＞4，方程有两个不等实根x1＜x2，所以0＜x1＜1＜x2，此时，函数F（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增；在（x1，x2）上单调递减．综上所述，当a＜0时，F（x）的单减区间是（0，+∞）；当a＞4时，F（x）的单减区间是，单增区间是当0＜a≤4时，F（x）单增区间是（0，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C的标准方程，消去参数即可求直线l的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ＝2asinθ（a＞0）．∴ρ2＝2aρsinθ，即x2+y2＝2ay，即x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．则圆C的标准方程为x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．由，消去参数t得4x﹣3y+5＝0，即直线l的普通方程为4x﹣3y+5＝0；（Ⅱ）由圆的方程得圆心C（0，a），半径R＝a，则圆心到直线的距离d＝，∵．∴2≥a，即a2﹣d2≥a2，则d2≤，即d≤，则≤，则﹣≤≤，由得得≤a≤10．即实数a的取值范围是≤a≤10．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（Ⅰ）将a＝2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，f（x）＝，由f（x）的单调性及f（﹣）＝f（2）＝5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（5分）（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得≤，得a≥．（当且仅当x≥1或x≤﹣3时等号成立）故a的最小值为．…（10分）。
河南省郑州市2020年高中毕业年级第二次质量预测理科数学答案
，因为点 在椭圆 上，
所以 化简得 ． …………………………8分
直线 的方程为 ，据椭圆的对称性，四边形 的面积 ，……10分
所以，
，所以
所以，四边形 的面积为定值12． ……………………………………12分
21.解析：（Ⅰ）当 时，曲线
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即
不妨取 ，则 ， ，∴ .
而平面 的一个法向量为 ，…………………………………………10分
∴ .
故二面角 的余弦值为 .…………………………………………………12分
20.解(I)设 ，由题意， ， ……………………………2分
化简得 ，…（3分）所以，动点 的轨迹 的方程为 … 4分
整理得： 即 解得： ，
故实数a的取值范围为 ……………………………………10分
23.解：（Ⅰ）当a＝－2时，f(x)＝ ………………………3分
由f(x)的单调性及f(－ )＝f(2)＝5，
得f(x)＞5的解集为{x|x＜－ ，或x＞2}．……………………………………5分
（Ⅱ）由f(x)≤a|x＋3|得a≥ ………………………7分
………………………2分
时，切线的斜率为 ，又切线过点
所以切线方程为 …………………………4分
（Ⅱ） ，
………5分
当 时， ，函数 在 上单调递减；………………………7分
当 时，令 ，
当 时，即 ， ，此时 ，函数 在 上单调递增;
当 时，即 ，方程 有两个不等实根 ，
所以 ，
此时，函数 在 上单调递增；在 上单调递减.……………11分
显然 的取值为0，1，2，3, 4 . 且 .
河南省郑州市2020届高中毕业年级第二次质量预测(理数)
河南省郑州市2020届高中毕业年级第二次质量预测数 学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合}531|{-≤≤+=a x a x A ，}223|{<<=x x B ，且A B A =I ，则实数a的取值范围是 A ．]9,(-∞B ．)9,(-∞C ．]9,2[D ．)9,2(2．已知复数32iiz +=（其中i 是虚数单位，满足12-=i ），则z 的共轭复数是 A ．i 21- B ．i 21+ C ．i 21-- D ．i 21+-3．郑州市2019年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下： 则这组数据的中位数是 A ．20 B ．21 C ．20.5 D ．234． 圆4)12()2(22=-++y x 关于直线08=+-y x 对称的圆的方程为A ．4)2()3(22=+++y xB ．4)6()4(22=-++y xC ．4)6()4(22=-+-y xD ．4)4()6(22=+++y x5． 在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形， 要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为A ．30米B ．20米C ．215米D ．15米6．若⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，⎪⎭⎫⎝⎛-=απα4sin 2cos 2，则α2sin 的值为A ．87- B ．87 C ．81- D ．817．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入x 的取值范围是A ．),2(+∞B ．]4,2(C ．]10,4(D ．),4(+∞8． 为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨 曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示 收入完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示 收入完全不平等．记区域A 为不平等区域，a 表示其面积；S 为OKL ∆的面积，将SaGini =，称为 基尼系数．对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为)(x f y =，则对)1,0(∈∀x ，均有1)(>xx f ； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为])1,0[(2∈=x x y ，则41=Gini ； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为])1,0[(3∈=x x y ，则21=Gini ．其中正确的是： A ．①④ B ．②③ C ．①③④ D ．①②④ 9． 2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96 B ．84 C ．120 D ．360 10．已知等差数列}{n a 的公差0=/d ，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则362++n n a S 的最小值为A ．4B ．3C ．232-D ．2 11．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的 直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球 面上，则该球的表面积为A ．π6B ．π2C ．π6D ．π2412．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，过F 作直线x ab y -=的垂线，垂足为M ，且交双曲线的左支于N 点，若2=，则该双曲线的离心率为 A ．3B ．2C ．5D ．7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式62⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为 。
2020届河南省郑州市高三第二次质量预测数学(理)试题(解析版)
C． D．
【答案】C
【解析】写出已知圆的圆心坐标和半径，求出圆心坐标关于直线 的对称点的坐标，然后代入圆的标准方程得答案．
【详解】
解：圆 的圆心坐标为 ，半径为2，
设 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ．
，
则圆 关于直线 对称的圆的方程为 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查圆的标准方程，考查了点关于直线的对称点的求法，属于基础题．
故选：B.
【点睛】
本题考查排列组合，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
10．已知等差数列 的公差 ，且 成等比数列，若 ， 为数列 的前 项和，则 的最小值为（）
A．4B．3C． D．2
【答案】D
【解析】由题意得 ，求出公差 的值，得到数列 的通项公式，前 项和，从而可得 ，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．
5．在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为（）
A．30米B．20米C． 米D．15米
【答案】A
【解析】光源发出的光线构成一个圆锥形状，要使整个广场都照明，则底面圆是广场正六边形的外接圆，依题意可得广场外接圆的半径为30米，画出轴截面图，即可得解；
【详解】
解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，则
解得
（Ⅱ）由 ， ．
当 时，
．
对 也适合，
， ．
【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算，累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.
18．由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，线成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．
河南省郑州市2020年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题(含答案)
5
取总体数量较多，抽取 4 名学生可以看出 4 次独立重复实验，于是 服从二项分布 B(4, 2) . 5
………………………10 分
显然 的取值为 0，1，2，3,
4
.
且 P(
k
)
C4k
(
2 5
)k
(1
2 5
)4k
,
k
0,1, 2,3, 4 .
所以得分布列为：
0
1
2
3
4
81
216
216
96
16
P
625
625
625
625
625
数学期望 E 4 2 8 …………………………12 分 55
19.（Ⅰ）设点 D 在平面 ABC 上的射影为点 E ，连接 DE ，则 DE 平面 ABC ， ∴ DE BC .………………………………………………………………………2 分 ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AB BC ，∴ BC 平面 ABD ，∴ BC AD .
………………………………………………………………………………………4 分
又 AD CD ，所以 AD 平面 BCD ，而 AD 平面 ABD ，∴平面 ABD 平面 BCD .
………………………………………………………………………………………6 分
（Ⅱ）以点 B 为原点，线段 BC 所在的直线为 x 轴，线段 AB 所在的直线为 y 轴，建立空间
20.解(I)设 A x, y ，由题意， | x 4 | 2 ， ……………………………2 分
化简得 x2 4 y2
12
，…（3
分）所以，动点
A
的轨迹
C
的方程为
郑州市2020届高中毕业年级第二次质量预测理科数学试卷(含答案)
郑州市2020年高中毕业年级第二次质量预测理科数学 评分参考一、选择题BCCCA ABBBD CC 二、填空题13.160； 14.8； 15.3； 16. [1,).e ++∞三、解答题17.(1)设等差数列的公差为，则……………………3分{}n a d 1211172177,(60)(10),+=⎧⎨+=+⎩a d a a d a d 解得 ………………5分15,2 3.2,n a a n d =⎧∴=+⎨=⎩(2)由1111111,(2,).n n n n n n a a n n b b b b -+--=∴-=≥∈*N 当时，2n ≥1211122111111111111()()()-----=-+-++-+=++++n n n n n n n a a a b b b b b b b b b = …………………………8分(1)(25)3(2).n n n n --++=+对也适合， ………………………9分113=b…………………10分1111(2)()().22n n n n n N b b n n ∴=+∈∴=-+ 12分2111111131135(1)().2324222124(1)(2)n n n T n n n n n n +∴=-+-++-=--=+++++ 18. (I)作出列联表：22⨯青春组 风华组 合计 男生 7 6 13 女生 5 12 17 合计121830………………………3分由列联表数据代入公式得，…………………5分 22() 1.83()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=≈++++因为1.83<2.706，故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关. ………………………… 6分(Ⅱ) 用A 表示“至少有1人在青春组”，则. …………… 8分23257()110C p A C =-=(III)由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，又因为所122305=25取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是服从二项分布ξ.2(4,)5B ………………………10分显然的取值为0，1，2，3, 4 . 且.ξ4422()()(1),0,1,2,3,455ξ-==-=kk k P k C k 所以得分布列为：数学期望 …………………………12分28455ξ=⨯=E19.（Ⅰ）设点在平面上的射影为点，连接，则平面， D ABC E DE DE ⊥ABC ∴.………………………………………………………………………2分 DE BC ⊥∵四边形是矩形，∴，∴平面，∴. ABCD AB BC ⊥BC ⊥ABD BC AD ⊥………………………………………………………………………………………4分又，所以平面，而平面，∴平面平面. AD CD ⊥AD ⊥BCD AD ⊂ABD ⊥ABD BCD ………………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间B BC x AB y 直角坐标系，如图所示.设，则，∴，. AD a =2AB a =(0,2,0)A a (,0,0)C a 由（Ⅰ）知，又，∴，， AD BD ⊥2ABAD=30DBA ∠=︒60DAB ∠=︒∴，，， cos AE AD DAB =⋅∠12a =32BE AB AEa =-=sin DE AD DAB =⋅∠=∴，∴，.………………8分 3(0,)2D a a 1(0,)2AD a =- (,2,0)AC a a =-ξ0 1 2 3 4P 81625 216625 216625 96625 16625设平面的一个法向量为，ACD (,,)m x y z =则，即 00m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩10,220.ay ax ay ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩不妨取，则，.1z=y=x =m =而平面的一个法向量为，…………………………………………10分ABC (0,0,1)n =∴. cos ,m n ||||m n m n ⋅==14=故二面角的余弦值为.…………………………………………………12分 D AC B --1420.解(I)设……………………………2分(),A x y 化简得，…（3分）所以，动点的轨迹的方程为… 4分22412+=x y A C 22 1.123x y +=(Ⅱ)解：设，，则由斜率之积，得，………6分 ),(11y x A ),(22y x B 121214=-y y x x ，因为点在椭圆上，221221)()(||y y x x AB -+-=,M N C 所以化简得． …………………………8分 222212123,3.44x x y y =-=-221212+=x x 直线的方程为，原点到直线的距离为AB 0)()(21121212=-+---y x y x y x x x y y O MN.)()(2122121221y y x x |y x y x |d -+--=所以，的面积， ∆MON ||21||211221y x y x d AB S AOB -=⋅⋅=∆根据椭圆的对称性，四边形的面积，……10分 M N P Q S ||21221y x y x -=所以，)2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=，所以221212()144+=x x 12.S =所以，四边形的面积为定值12． ……………………………………12分 M N P Q21.解析：（Ⅰ）当时，曲线 1=a ()().1ln +=⋅=x xx x g x f y………………………2分()()()()221ln 1ln ln 1.11x x x x x x y x x ++-++'==++时，切线的斜率为，又切线过点 1x =12()1,0所以切线方程为…………………………4分 210x y --=（Ⅱ）， ()()()2111,()1''==+f x ax g x x ………5分 ()()()()()()2221111(,11x ax F x f x g x ax x ax x +-'''=-=-=++当时，，函数在上单调递减；………………………7分 0a <()0F x '<()F x ()0,+∞当时，令， 0>a ()21211⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭k x x x a a a 41,a ∆=-当时，即，，此时，函数在上单调递增; 0∆≤04<≤a ()0k x ≥()0F x '≥()F x ()0,+∞当时，即，方程有两个不等实根， 0∆>4>a 212110⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭x x a a a 12x x <所以，1201x x <<<12⎛== ⎝x x 此时，函数在上单调递增；在上单调递减.……………11分 ()F x ()()120,,,x x +∞()12,x x 综上所述，当时，的单减区间是；0a <()F x ()0,+∞当时，的单减区间是，4>a ()Fx单增区间是,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭当时，单增区间是.………………………12分 04a <≤()F x ()0,+∞22.（Ⅰ）C 的直角坐标方程为， ………………………2分222()y a x a +=-消t 得到………………………………………4分4350x y -+=（Ⅱ）要满足弦及圆的半径为a 可知只需圆心（0，a ）到直线l 的距离AB ≥12d a ≤…………7分12a ≤整理得：即解得：， 2111201000,a a -+≤(1110)(10)0a a --≤101011a ≤≤故实数a 的取值范围为……………………………………10分 101011a ≤≤23.解：（Ⅰ）当a ＝－2时，f (x )＝………………………3分13,1,3,11,31, 1.x x x x x x -<-⎧⎪--≤≤⎨⎪->⎩由f (x )的单调性及f (－)＝f (2)＝5，43得f (x )＞5的解集为{x |x ＜－，或x ＞2}．……………………………………5分43（Ⅱ）由f(x)≤a|x ＋3|得a≥………………………7分 |1|,|1||3|x x x +-++由|x －1|＋|x ＋3|≥2|x ＋1| 得≤，得a≥．|1||1||3|x x x +-++1212 故a 的最小值为．………………………………10分12。
郑州市2020高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题含答案
a2
a2 2
4a
,
a
2
a2 2
4a
,
当 0 a 4 时， F x 单增区间是 0, .………………………12 分
22.（Ⅰ）C 的直角坐标方程为 x 2 ( y a)2 a 2 ， ………………………2 分
消 t 得到 4x 3 y 5 0 ………………………………………4 分
= (n 1)(n 2 5) 3 n(n 2).
…………………………8 分
对 b1
1 3
也适合，
………………………9 分
1 bn
n(n
2)(n
N )bn
1 2
(1 n
n
1
). 2
…………………10 分
Tn
1 (1 1 1 1 1 1 ) 1 (3 1 1 ) 3n2 5n .
2
1 故 a 的最小值为 ．
2
………………………………10 分
所以，
MON
的面积
SAOB
1| 2
AB
|
d
1 2
|
x1 y2
x2 y1
|，
根据椭圆的对称性，四边形 M N P Q 的面积 S 2 | x1y2 x2 y1 | ，……10 分
所以， S 2 4(x1 y2 x2 y1)2 4(x12 y22 2x1x2 y1 y2 x22 y12 )
4 得 f (x )＞5 的解集为{x|x＜－ ，或 x＞2}．……………………………………5 分
3
（Ⅱ）由
f(x)≤a|x＋3|得
a≥
|
x
| 1
x |
1| |x
3
|
【精准解析】河南省郑州市2020届高三第二次质量预测数学(理)试题
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1.已知集合 A {x | a 1 x 3a 5} ， B {x | 3 x 22} ，且 A B A ，则实数 a 的
9.2019 年 10 月 1 日，中华人民共和国成立 70 周年，举国同庆.将 2，0，1，9，10 这 5 个数
字按照任意次序排成一行，拼成一个 6 位数，则产生的不同的 6 位数的个数为（ ）
A. 96
B. 84
C. 120
D. 360
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得所有不以 0 开头的排列数，再由以 1，0 相邻，且 1 在左边时所对应的排列数有一半是 重复的，求出对应的排列数，进而可求出答案.
有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，
则该球的表面积为
A. 6
B. 2
C. 6
D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】 由题可知该几何体为四棱锥 P﹣ABCD．底面 ABCD 为矩形，其中 PD⊥底面 ABCD，可得该阳马的 外接球的直径为 PB，计算得出结果即可. 【详解】如图所示，该几何体为四棱锥 P﹣ABCD．底面 ABCD 为矩形， 其中 PD⊥底面 ABCD．
5 ,选 C.
考点：1.双曲线的简单几何性质；2.平面向量的坐标运算.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
-9-
13.在
x
2 x
6
的展开式中常数项为_____________．
【答案】 160 【解析】
2020届河南省郑州市高三第二次质量预测数学(理)试题(解析版)
【点睛】
本题考查排列组合，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
10．已知等差数列 的公差 ，且 成等比数列，若 ， 为数列 的前 项和，则 的最小值为（）
A．4B．3C． D．2
【答案】D
【解析】由题意得 ，求出公差 的值，得到数列 的通项公式，前 项和，从而可得 ，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．
在 ， 上是减函数，在 ， 上是增函数，在 ， 上是减函数，
且 ， ； ； ；
故作函数 与 在 ， 上的图象如下，
结合图象可知，两图象在 ， 上共有3个交点；
又 ， 都是奇函数，且 不经过原点，
与 在 ， 上共有6个交点，故 有6个零点．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．
A．20B．21C．20.5D．23
【答案】C
【解析】根据茎叶图结合中位数的定义读出即可．
【详解】
解：由题意得，这组数据是：01，02，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，
故中位数是： ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了茎叶图的读法，考查中位数的定义，属于基础题．
4．圆 关于直线 对称的圆的方程为（）
① 越小，则国民分配越公平；
②设劳伦茨曲线对应的函数为 ，则对 ，均有 ；
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 ，则 ；
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 ，则 ．
其中不正确的是：（）
A．①④B．②③C．①③④D．①②④
【答案】B
【解析】依题意，利用微积分基本定理求出 的面积，即可判断；
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|135}A x a x a =+-剟，{|322}B x x =<<，且A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，9] B ．(,9)-∞C ．[2，9]D ．(2,9)2．（5分）已知复数22iz i+=（其中i 是虚数单位，满足21)i =-则z 的共轭复数是( ) A ．12i -B ．12i +C ．2i -+D ．12i -+3．（5分）郑州市2019年各月的平均气温()C ︒数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是()A ．20B ．21C ．20.5D ．234．（5分）圆22(2)(12)4x y ++-=关于直线80x y -+=对称的圆的方程为( ) A ．22(3)(2)4x y +++= B ．22(4)(6)4x y ++-= C ．22(4)(6)4x y -+-=D ．22(6)(4)4x y +++=5．（5分）在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为( ) A ．30米 B ．20米 C ．152 D ．15米6．（5分）若(2πα∈，)π，则2cos2sin()4παα=-，则sin 2α的值为( ) A ．18B ．78-C ．1D ．787．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是( )A ．(2,)∞B ．(2，4]C ．(4，10]D ．(4,)+∞8．（5分）为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收人完全平等g 劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等．记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，s 为OKL ∆的面积．将aGini S=，称为基尼系数对于下列说法： ①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则14Gini =； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则12Gini =． 其中不正确的是( )A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④9．（5分）2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为( ) A ．96B ．84C ．120D ．36010．（5分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为( )A ．4B ．3C ．232-D ．211．（5分）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A 6πB ．2πC ．6πD ．24π12．（5分）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 作直线b y x a=-的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若2FB FA =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为( )A 3B ．2C 5D 7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式62()x x+展开的所有项的系数和为 ，展开式中的常数项是 ．14．（5分）已知函数()2f x xπ=-，()cos sin g x x x x =-g ，当[4x π∈-，4]π且0x ≠时，方程()()f x g x =根的个数是 ．15．（5分）已知四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒．AD l =，2BC =，M 是AB 边上的动点，则||MC MD +u u u u r u u u u r的最小值为 ．16．（5分）设函数32,,x x x e y lnx x e m⎧-+<⎪=⎨⎪⎩…的图象上存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中0为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数m 的取值范围是 ．。
2020届河南省郑州市理科二模数学试卷分析
2020年郑州市高三年级理科数学二模试卷分析一整体分析2020年高三年级二模试卷数学试题，体现了新课程标准下的高考考查方向，以能力立意进行试题设计，重点考查主干知识的应用及解决问题的能力，试题考查知识点与高考考查方向一致，重难点得以凸显，试题层次分明，试题难度总体平稳，以考察基础知识为主，同时进行了适度创新，梯度适当，不偏不怪，稳中有新。
主要考察必修一到必修五以及选修2-1、2-2、2-3、4-4、4-5的内容二、知识点分值1.这次二模的试题在题型和分值上与高考大体一致。
出题风格完全符合考纲及大纲要求，与往年试题相比没有偏题、怪题，基本上绝大多数题目的考察形式都是学生比较熟悉的形式，做起来也会显得得心应手。
试题和2019年二模试题相比试题整体难度有所下降，试题的综合性有所降低，但细细看来却会发现，仍有少部分题目紧贴高考改革的“学科知识与生产、生活的联系”及“重点考查数学基础知识、基本概念的理解”的要求，可见高考改革的要求已经逐步渗入近年的高考中。
2.从具体的考察内容来看，本次测试主要还是以考察基础内容为主，并且重点突出考察“三角函数”、“数列与不等式”、“立体几何”、“概率统计”、“解析几何”、“函数与导数”，这六大板块依旧是考察的重点，且难度适当，依然体现了“以学生为本”，“在基础中考察能力”的要求。
同时文科和理科在命题上面的差异性也逐年减小，加大对知识本身的理解，减小计算的难度。
三、难度分析四、学习建议根据多位学生试卷得分情况统计分析情况来看，学生对于基础知识的理解和基础技能的掌握并不是十分的牢固，仍需要继续强化练习。
从知识点的得分情况来看，数列、三角函数、立体几何、导数这四部分需要学生掌握常见题型的解题思路和方法，圆锥曲线和函数依旧是学生得分最低的知识点，需要树立学生不畏惧、多得分的心态。
同时，因为计算不认真而造成的隐性失分依旧存在，需要老师督促部分学生树立认真做题的好习惯。
2020郑州二模-理数答案
a2
a2 2
4a
,
a
2
a2 2
4a
,
当 0 a 4 时， F x 单增区间是 0, .………………………12 分
22.（Ⅰ）C 的直角坐标方程为 x 2 ( y a)2 a 2 ， ………………………2 分
消 t 得到 4x 3y 5 0 ………………………………………4 分
故实数 a 的取值范围为 10 a 10 ……………………………………10 分 11
1 3 x, x 1, 23.解：（Ⅰ）当 a＝－2 时，f(x)＝ 3 x, 1 x 1, ………………………3 分
3 x 1, x 1.
4 由 f(x)的单调性及 f(－ )＝f(2)＝5，
所以 y12
3
x12 4
, y22
3
x22 4
. 化简得
x12
x22
12 ．
…………………………8 分
直线 AB 的方程为 ( y2 y1)x (x2 x1) y x2 y1 x1y2 0 ，原点 O 到直线 MN 的距离为
d
| x1 y2 x2 y1 |
.
(x2 x1 )2 ( y2 y1)2
12 分
18. (I)作出 2 2 列联表：
男生 女生 合计
青春组 7 5 12
风华组 6 12 18
合计 13 17 30 ………………………3 分
由列联表数据代入公式得 K 2
n(ad bc)2
1.83，…………………5 分
(a b)(c d)(a c)(b d)
因为 1.83<2.706，
………………………………………………………………………………………4 分
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|135}A x a x a =+-剟，{|322}B x x =<<，且A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，9] B ．(,9)-∞C ．[2，9]D ．(2,9)2．（5分）已知复数22iz i+=（其中i 是虚数单位，满足21)i =-则z 的共轭复数是( ) A ．12i -B ．12i +C ．2i -+D ．12i -+3．（5分）郑州市2019年各月的平均气温()C ︒数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是()A ．20B ．21C ．20.5D ．234．（5分）圆22(2)(12)4x y ++-=关于直线80x y -+=对称的圆的方程为( ) A ．22(3)(2)4x y +++= B ．22(4)(6)4x y ++-= C ．22(4)(6)4x y -+-=D ．22(6)(4)4x y +++=5．（5分）在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为( ) A ．30米 B ．20米 C ．152 D ．15米6．（5分）若(2πα∈，)π，则2cos2sin()4παα=-，则sin 2α的值为( ) A ．18B ．78-C ．1D ．787．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是( )A ．(2,)∞B ．(2，4]C ．(4，10]D ．(4,)+∞8．（5分）为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收人完全平等g 劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等．记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，s 为OKL ∆的面积．将aGini S=，称为基尼系数对于下列说法： ①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则14Gini =； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则12Gini =． 其中不正确的是( )A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④9．（5分）2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为( ) A ．96B ．84C ．120D ．36010．（5分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为( )A ．4B ．3C ．232-D ．211．（5分）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A 6πB ．2πC ．6πD ．24π12．（5分）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 作直线b y x a=-的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若2FB FA =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为( )A 3B ．2C 5D 7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式62()x x+展开的所有项的系数和为 ，展开式中的常数项是 ．14．（5分）已知函数()2f x xπ=-，()cos sin g x x x x =-g ，当[4x π∈-，4]π且0x ≠时，方程()()f x g x =根的个数是 ．15．（5分）已知四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒．AD l =，2BC =，M 是AB 边上的动点，则||MC MD +u u u u r u u u u r的最小值为 ．16．（5分）设函数32,,x x x e y lnx x e m⎧-+<⎪=⎨⎪⎩…的图象上存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中0为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，777S =，且满足211161a a a =g ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足111(*)n n n a n N b b +-=∈，且113b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（12分）由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用ξ表示所选4人中青春组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望． 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++；其中n a b c d =+++独立性检验临界表：20()P K k >0.100 0.050 0.010 K2.7063.8416.63519．（12分）如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD ∆折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ； （2）当2ABAD=时，求二面角D AC B --的余弦值． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 内，动点A 到定点(3,0)F 的距离与A 到定直线4x =距3． （Ⅰ）求动点A 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设点M ，N 是轨迹C 上两个动点直线OM ，ON 与轨迹C 的另一交点分别为P ，Q ，且直线OM ，ON 的斜率之积等于14-，问四边形MNPQ 的面积S 是否为定值？请说明理由．21．（12分）已知函数1(),()(0)lnx x f x g x x a x+==>． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x y x =在1x =处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数1()()()F x f x g x =-在(0,)∞上的单调性．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，圆C 的方程为2sin a ρθ= (0)a >．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且||3AB a …．求实数a 的取值范围？ [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1|||f x x a x l =+--． （Ⅰ）当2a =-时，解不等式()5f x >； （Ⅱ）若()|3|x a x +„，求a 的最小值．2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|135}A x a x a =+-剟，{|322}B x x =<<，且A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，9]B ．(,9)-∞C ．[2，9]D ．(2,9)【解答】解：A B A =Q I ，A B ∴⊆，且{|135}A x a x a =+-剟，{|322}B x x =<<，∴①A =∅时，135a a +>-，解得3a <；②A ≠∅时，3133522a a a ⎧⎪+>⎨⎪-<⎩…，解得39a <„，∴综上得，实数a 的取值范围是(,9)-∞．故选：B ．2．（5分）已知复数22iz i+=（其中i 是虚数单位，满足21)i =-则z 的共轭复数是( ) A ．12i - B ．12i + C ．2i -+ D ．12i -+【解答】解：复数222iz i i +==--，则z 的共轭复数是2i -+． 故选：C ．3．（5分）郑州市2019年各月的平均气温()C ︒数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是()A ．20B ．21C ．20.5D ．23【解答】解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为： 1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，所以中位数是1(2021)20.52⨯+=．故选：C ．4．（5分）圆22(2)(12)4x y ++-=关于直线80x y -+=对称的圆的方程为( ) A ．22(3)(2)4x y +++= B ．22(4)(6)4x y ++-= C ．22(4)(6)4x y -+-=D ．22(6)(4)4x y +++=【解答】解：由圆22(2)(12)4x y ++-=可得圆心坐标(2,12)-，半径为2，由题意可得关于直线80x y -+=对称的圆的圆心与(2,12)-关于直线对称，半径为2， 设所求的圆心为(,)a b 则21280221212a b b a -+⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩解得：4a =，6b =，故圆的方程为：22(4)(6)4x y -+-=， 故选：C ．5．（5分）在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为( ) A ．30米B ．20米C．D ．15米【解答】解：如图所示，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，PAD ∆是一个等腰直角三角形，90APD ∠=︒．OAB ∆为等边三角形，30OA ∴=， OP ⊥Q 平面ABCDEF ， 45OAP ∴∠=︒， 30OP OA ∴==．要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为30m ． 故选：A ．6．（5分）若(2πα∈，)π，则2cos2sin()4παα=-，则sin 2α的值为( ) A ．18B ．78-C ．1D ．78【解答】解：法1:(2πα∈Q ，)π，且2cos2sin()4παα=-，2222(cos sin )cos )2αααα∴-=-， 2cos sin αα∴+=，或cos sin 0αα-=（根据角的取值范围，此等式不成立排除）． 2cos sin αα+=Q ，则有11sin 28α+=，7sin 28α=-； 故选：B ． 法2:(2πα∈Q ，)π，2(,2)αππ∴∈， sin20α∴<，综合选项，故选：B ．7．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是( )A ．(2,)∞B ．(2，4]C ．(4，10]D ．(4,)+∞【解答】解：根据结果，3[3(32)2]282x ---„，且3{3[3(32)2]2}282x ---->，解之得24x <„， 故选：B ．8．（5分）为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收人完全平等g 劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等．记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，s 为OKL ∆的面积．将aGini S=，称为基尼系数对于下列说法： ①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则14Gini =； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则12Gini =． 其中不正确的是( )A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④【解答】解：①：由题意知A 为不平等区域，a 表示其面积，s 为OKL ∆的面积．当a Gini S=，则a 越小，不平等区域越小，越公平，①对， ②：由图可知()f x x <，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x<，②错； ③：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，1223100111()()|236a x x dx x x =-=-=⎰，116132Gini ==，③错，④：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，1324100111()()|244a x x dx x x =-=-=⎰，114122Gini ==，④对，故选：B ．9．（5分）2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为( ) A ．96B ．84C ．120D ．360【解答】解：根据题意，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，“10”是一个整体，有55120A =种情况，其中数字“0”在首位的情况有：4424A =种情况， 数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前的排法有：4424A =种， 则可以产生：12024241284--+=种，故选：B ．10．（5分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为( )A ．4B ．3C ．232-D ．2【解答】解：1a Q ，3a ，13a 成等比数列，11a =，23113a a a ∴=，2(12)112d d ∴+=+，0d ≠， 解得2d =．12(1)21n a n n ∴=+-=-．2(1)22n n n S n n -=+⨯=． ∴22216216(1)2(1)999122(1)24322111n n S n n n n n a n n n n +++-++===++-+⨯-=+++++…， 当且仅当911n n +=+时取等号，此时2n =，且2163n n S a ++取到最小值4，故选：A ．11．（5分）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A 6πB ．2πC ．6πD ．24π【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P ABCD -．底面ABCD 为矩形， 其中PD ⊥底面ABCD ．1AB =，2AD =，1PD =．则该阳马的外接球的直径为1146PB =++=∴该阳马的外接球的表面积为：264()6ππ⨯=． 故选：C ．12．（5分）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 作直线by x a=-的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若2FB FA =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为( )A 3B ．2C 5D 7【解答】解：设(,0)F c ，则直线AB 的方程为()a y x c b =-代入双曲线渐近线方程by x a=-得2(a A c ，)abc -， 由2FB FA =u u u r u u u r ，可得222(3c a B c +-，2)3ab c -，把B 点坐标代入双曲线方程22221x y a b-=，即2222222(2)4199c a a c a c+-=，整理可得5c a =，即离心率5ce a=故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式62()x x+展开的所有项的系数和为 729 ，展开式中的常数项是 ．【解答】解：令1x =得所有项的系数和为66(12)3729+==， 通项公式6621662()2k k k kk k k T C x C x x--+==g g g ，0k =，1，⋯，6，令620k -=得3k =，即常数项为33462208160T C ==⨯=g ， 故答案为：729，16014．（5分）已知函数()2f x xπ=-，()cos sin g x x x x =-g ，当[4x π∈-，4]π且0x ≠时，方程()()f x g x =根的个数是 8 ．【解答】解：()cos sin cos sin g x x x x x x x '=--=-； 令()0g x '=得x k π=，k Z ∈．()g x ∴在[0，]π上是减函数，在[π，2]π上是增函数，在[2π，3]π上是减函数，在[3π，4]π上是增函数；且(0)0g =，()g ππ=-；(2)2g ππ=；(3)3g ππ=-；(4)4g ππ= 故作函数()f x 与()g x 在[0，4]π上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4]π上共有4个交点； 又()f x ，()g x 都是奇函数，且()f x 不经过原点，()f x ∴与()g x 在[4π-，4]π上共有8个交点，故()()f x g x =有8个零点．故答案为：8．15．（5分）已知四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒．AD l =，2BC =，M 是AB 边上的动点，则||MC MD +u u u u r u u u u r的最小值为 3 ．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，设(0,)A a ，(0,)M b ，且0b a 剟； 则(2,0)C ，(1,)D a ；所以(2,)MC b =-u u u u r ，(1,)MD a b =-u u u u r； 所以(3,2)MC MD a b +=-u u u u r u u u u r， 所以22()9(2)MC MD a b +=+-u u u u r u u u u r，当且仅当20a b -=，即2a b =时， ||MC MD +u u u u r u u u u r取得最小值为93=．故答案为：3．16．（5分）设函数32,,x x x e y lnx x e m⎧-+<⎪=⎨⎪⎩…的图象上存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中0为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数m 的取值范围是 [1e +，)+∞ ．【解答】解：假设曲线()y f x =上存在两点P 、Q 满足题设要求，则点P 、Q 只能在y 轴两侧．不妨设(P t ，())(0)f t t >，则32(,)Q t t t -+， POQ ∆Q 是以O 为直角顶点的直角三角形， ∴0OP OQ =u u u r u u u rg，即232()()0t f t t t -++=①． 若方程①有解，存在满足题设要求的两点P 、Q ；若方程①无解，不存在满足题设要求的两点P 、Q ．若0t e <<，则32()f t t t =-+代入①式得：23232()()0t t t t t -+-++=， 即4210t t -+=，而此方程无解，因此t e …，此时1()f t lnt m=， 代入①式得：2321()()0t lnt t t m-++=，即(1)m t lnt =+②，令()(1)()h x x lnx x e =+…， 则1()10h x lnx x'=++>，()h x ∴在[e ，)+∞上单调递增， t e Q …，()h t h ∴…（e ）1e =+，()h t ∴的取值范围是[1e +，)+∞． ∴对于1m e +…，方程②总有解，即方程①总有解．故答案为：[1e +，)+∞．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，777S =，且满足211161a a a =g ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足111(*)n n n a n N b b +-=∈，且113b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，则 1211172177,(60)(10),a d a a d a d +=⎧⎨+=+⎩解得152a d =⎧⎨=⎩． 52(1)23n a n n ∴=+-=+g ，*n N ∈．（Ⅱ）依题意，由111n n n a b b +-=，可得1111(2,*)n n n a n n N b b ---=∈…． 则当2n …时，1211122111111111111()()()n n n n n n n a a a b b b b b b b b b -----=-+-+⋯+-+=++⋯++ (1)(25)3n n =--++ (2)n n =+．当1n =时，113b =，即113b =也满足上式，∴1(2)n n n b =+， 1111()(2)22n b n n n n ∴==-++，*n N ∈．12341n n n T b b b b b b -=++++⋯++11111111111111111(1)()()()()()2322423524621122n n n n =-+-+-+-+⋯+-+--++ 111111111111(1)23243546112n n n n =-+-+-+-+⋯+-+--++ 1111(1)2212n n =+--++ 2354(1)(2)n nn n +=++． 18．（12分）由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用ξ表示所选4人中青春组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望． 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++；其中n a b c d =+++独立性检验临界表：20()P K k >0.100 0.050 0.010 K2.7063.8416.635【解答】解：()I 作出22⨯列联表：青春组 风华组 合计 男生 7 6 13 女生 5 12 17 合计121830由列联表数据代入公式得22) 1.83()()()()K a b c d a c b d =≈++++，因为1.83 2.706<，故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．（Ⅱ）用A表示“至少有1人在青春组”，则至少有1人在青春组的概率为23257 ()110Cp AC=-=．()III由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为122305=，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是25，又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是ξ服从二项分布2(4,)5B．ξ的取值为0，1，2，3，4．且4422()()(1),0,1,2,3,455k k kP k C kξ-==-=．所以得ξ的分布列为：ξ01234P816252166252166259662516625数学期望28455Eξ=⨯=．19．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将ACD∆折起，使得点D在平面ABC 上的射影恰好落在边AB上．（1）求证：平面ACD⊥平面BCD；（2）当2ABAD=时，求二面角D AC B--的余弦值．【解答】证明：（1）设点D在平面ABC上的射影为点E，连结DE，则DE⊥平面ABC，DE BC∴⊥，Q四边形ABCD是矩形，AB BC∴⊥，BC∴⊥平面ABD，BC AD∴⊥，又AD CD⊥，AD∴⊥平面BCD，而AD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面BCD ．解：（2）在矩形ABCD 中，过点D 作AC 的垂线，垂足为M ，连结ME ，DE ⊥Q 平面ABC ，DE AC ∴⊥，又DM DE D =I ，AC ∴⊥平面DME ，EM AC ∴⊥， DMC ∴∠是二面角D AC B --的平面角，设AD a =，则2AB a =，在ADC ∆中，由题意得5AM a =，25DM a =， 在AEM ∆中，1tan 2EM BAC AM =∠=，解得5EM a =， 1cos 4EM DME DM ∴∠==．∴二面角D AC B --的余弦值为14．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 内，动点A 到定点(3,0)F 的距离与A 到定直线4x =距3． （Ⅰ）求动点A 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设点M ，N 是轨迹C 上两个动点直线OM ，ON 与轨迹C 的另一交点分别为P ，Q ，且直线OM ，ON 的斜率之积等于14-，问四边形MNPQ 的面积S 是否为定值？请说明理由．【解答】解()I 设(,)A x y 22(3)3x y -+=化简得22412x y +=，所以，动点A 的轨迹C 的方程为221123x y +=，（Ⅱ）解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则由斜率之积，得121214y y x x =-， 221212||()()AB x x y y =-+-M ，N 在椭圆C 上，所以222212123,344x x y y =-=-．所以2222121212()16()(3)(3)44x x x x y y ==--，化简得221212x x +=． 直线AB 的方程为21212112()()0y y x x x y x y x y ---+-=， 原点O 到直线MN的距离为d =．所以，MON ∆的面积122111||||22AOB S AB d x y x y ∆==-g g ，根据椭圆的对称性，四边形MNPQ 的面积12212||S x y x y =-，所以，2222221221121212214()4(2)S x y x y x y x x y y x y =-=-+， 2222221121214[(3)(3)()]442x x x x x x =-+--+，221212()144x x =+=，所以12S =．所以，四边形MNPQ 的面积为定值12． 21．（12分）已知函数1(),()(0)lnx x f x g x x a x+==>． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x y x =在1x =处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数1()()()F x f x g x =-在(0,)∞上的单调性．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()()1xlnxy f x g x x ==+g ．22(1)(1)1(1)(1)lnx x xlnx lnx x y x x ++-++'==++． 1x =时，切线的斜率为12，又切线过点(1,0) 所以切线方程为210x y --=，（Ⅱ）2111(),()()(1)f x ax g x x ''==+，222111(1)()()()()(1)(1)x axF x f x g x ax x ax x '+-''=-=-=++， 当0a <时，()0F x '<，函数()F x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，令2121()(1)k x x x a a a=+-+，41a =-V ，当△0„时，即04a <„，()0k x …，此时()0F x '…，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增； 当△0>时，即4a >，方程2121(1)0x x a a a+-+=有两个不等实根12x x <，所以1201x x <<<，12(x x == 此时，函数()F x 在1(0,)x ，2(x ，)+∞上单调递增；在1(x ，2)x 上单调递减． 综上所述，当0a <时，()F x 的单减区间是(0,)+∞；当4a >时，()F x 的单减区间是，单增区间是)+∞当04a <„时，()F x 单增区间是(0,)+∞．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，圆C 的方程为2sin a ρθ= (0)a >．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且||AB ．求实数a 的取值范围？ 【解答】解：（Ⅰ）2sin a ρθ=Q (0)a >．22sin a ρρθ∴=，即222x y ay +=，即222()x y a a +-=，(0)a >． 则圆C 的标准方程为222()x y a a +-=，(0)a >． 由3143x t y t =+⎧⎨=+⎩，消去参数t 得4350x y -+=，即直线l 的普通方程为4350x y -+=； （Ⅱ）由圆的方程得圆心(0,)C a ，半径R a =， 则圆心到直线的距离|53|5a d -==，Q ||AB ．∴，第21页（共21页）即22234a d a -…， 则224a d „， 即2a d „， 则|53|52a a -„， 则35252a a a --剟， 由35253552a a a a -⎧-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩„„得101110a a ⎧⎪⎨⎪⎩…„得101011a 剟． 即实数a 的取值范围是101011a 剟． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1|||f x x a x l =+--． （Ⅰ）当2a =-时，解不等式()5f x >； （Ⅱ）若()|3|x a x +„，求a 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当2a =-时，13,1()3,1131,1x x f x x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪->⎩剟， 由()f x 的单调性及4()3f f -=（2）5=， 得()5f x >的解集为4{|3x x <-，或2}x >．⋯（5分） （Ⅱ）由()|3|f x a x +„得|1||1||3|x a x x +-++…， 由|1||3|2|1|x x x -+++…得|1|1|1||3|2x x x +-++„，得12a …． （当且仅当1x …或3x -„时等号成立） 故a 的最小值为12．⋯（10分）。