新人教版必修一2.3幂函数课件
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新人教版高一数学必修1课件2.3幂函数
2.3 幂函数
一、基础知识讲解
观察： y x y x2 y x3
1
y x2 y x1
思考：这些函数是不是 指数函数？
思考2：这些函数的共同 特点是什么？
一、基础知识讲解
1、幂函数的定义：
一般的，函数 y = x α 叫做幂函数，其中 x 是
自变量，α 是常数。
随练：判断下列函数哪些是幂函数？
3.14
1
1
3.142 2
2 (0.38)3与(0.39)3
解：幂函数y x3在,是增函数 0.38 0.39 -0.383 0.393
小结
三、例题分析
31.251与1.221
解：y x1在(, 0)和(0, )上减函数
1.25 1.22 1.251 1.221
4 (1)0.25 与 (1)0.27
1
1 y 0.2x; √2 y x3; 3 y 3x5;
4 y x x; 5 y ( x)2
二、例题分析
例1、已知幂函数的图像过点(2, 2)，试求出此 函数的解析式。
解：由已知，可设幂函数的解析式为 f (x) x
f (x)的图像过点 2, 2
f 2 2, 即 2 2,
解得 1
3
3
解：y
1 3
x
在
,
上是减函数，
0.25 0.27
1
0.25
3
1 3
0.27
四、课堂小结 1、定义：一般地，函数 f(x)=x 叫做幂函数，其
中 x 是自变量， 是常数。
2、注意 ①幂函数的概念及其指数函数表达式的区别 ②常见幂函数及其幂函数的性质
3、幂函数 f(x)=x的性质：
五、课堂作业 课本P82 复习参考题A组 10
一、基础知识讲解
观察： y x y x2 y x3
1
y x2 y x1
思考：这些函数是不是 指数函数？
思考2：这些函数的共同 特点是什么？
一、基础知识讲解
1、幂函数的定义：
一般的，函数 y = x α 叫做幂函数，其中 x 是
自变量，α 是常数。
随练：判断下列函数哪些是幂函数？
3.14
1
1
3.142 2
2 (0.38)3与(0.39)3
解：幂函数y x3在,是增函数 0.38 0.39 -0.383 0.393
小结
三、例题分析
31.251与1.221
解：y x1在(, 0)和(0, )上减函数
1.25 1.22 1.251 1.221
4 (1)0.25 与 (1)0.27
1
1 y 0.2x; √2 y x3; 3 y 3x5;
4 y x x; 5 y ( x)2
二、例题分析
例1、已知幂函数的图像过点(2, 2)，试求出此 函数的解析式。
解：由已知，可设幂函数的解析式为 f (x) x
f (x)的图像过点 2, 2
f 2 2, 即 2 2,
解得 1
3
3
解：y
1 3
x
在
,
上是减函数，
0.25 0.27
1
0.25
3
1 3
0.27
四、课堂小结 1、定义：一般地，函数 f(x)=x 叫做幂函数，其
中 x 是自变量， 是常数。
2、注意 ①幂函数的概念及其指数函数表达式的区别 ②常见幂函数及其幂函数的性质
3、幂函数 f(x)=x的性质：
五、课堂作业 课本P82 复习参考题A组 10
人教A版高中数学 2.3 幂函数课件 新人教A版必修1.ppt
证明: 函数定义域为 R ，对任意的 x R . Q f (x) (x)3 x3 f (x),
y f (x) x3 为奇函数.
二、五个常用幂函数的图象： y x, y x2, y x1
(-2,4)
y y x3
4
y x2
(2,4)
yx
1
y x2 , y x3
3
1
2
y x2
y x1
若将它们的自变量用 x来表示,函数值用 y来表
示,则它们的函数关系式将是:
以上几个函数有什么共同特征？
(1) y x
(2) y x2
(3) y x3
1
(4) y x 2
(5) y x1
x ①底数都是自变量 ;
②指数都是常数; ③幂的系数都是1.
y ax
是不是指数 函数啊
问题
指数函数与幂函数有什么区别？
1
-4
-3
-2
-1
o
(1,1)
1
2
y x1
3
4x
(-1,-1)
-1
XX
…0
3 2
1
2 -1
1 12
02
1
3
23 14 2……
-2 yy xx123 …0-3.308.7-11 -01.13 1.041 01.1.733 1 2 3.3…8 …
-3
解析式
图象
定义 域
值域 奇偶
性 单调
性 定点
观察图象，将你发现的结论填在下表中
3、下列命题中，不正确的是（ C ）
(A)幂函数 y x1是奇函数
(B)幂函数 y x2 是偶函数
(C)幂函数 y x 既是奇函数，又是偶函数
y f (x) x3 为奇函数.
二、五个常用幂函数的图象： y x, y x2, y x1
(-2,4)
y y x3
4
y x2
(2,4)
yx
1
y x2 , y x3
3
1
2
y x2
y x1
若将它们的自变量用 x来表示,函数值用 y来表
示,则它们的函数关系式将是:
以上几个函数有什么共同特征？
(1) y x
(2) y x2
(3) y x3
1
(4) y x 2
(5) y x1
x ①底数都是自变量 ;
②指数都是常数; ③幂的系数都是1.
y ax
是不是指数 函数啊
问题
指数函数与幂函数有什么区别？
1
-4
-3
-2
-1
o
(1,1)
1
2
y x1
3
4x
(-1,-1)
-1
XX
…0
3 2
1
2 -1
1 12
02
1
3
23 14 2……
-2 yy xx123 …0-3.308.7-11 -01.13 1.041 01.1.733 1 2 3.3…8 …
-3
解析式
图象
定义 域
值域 奇偶
性 单调
性 定点
观察图象，将你发现的结论填在下表中
3、下列命题中，不正确的是（ C ）
(A)幂函数 y x1是奇函数
(B)幂函数 y x2 是偶函数
(C)幂函数 y x 既是奇函数，又是偶函数
3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)
1
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
高中数学 2.3幂函数课件 新人教版必修1
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则
f (x1) f (x2 ) x1 x2
(
x1
x2 )( x1
x2 )
x1 x2
x1 x2 x1 x2
除了作差，还有没 有其它方法呢？
因为x1 x2 0, x1 x2 0, 所以f (x1) f (x2 ),即幂函数 f (x) x在[0,)上是增函数 .
(4) 当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时， 幂函数为偶函数．
例3：已知y1＝x2，y2＝ x ，试求满足不等式 x2< x 的x的解集。
解: 因为x2< x ，即y1<y2
由图象知x的解集为
{x | 0 x 1}
y
y1
y2
1
o
1
x
例4：若幂函数 y xm22m3(m Z) 的图像如图 所示， 求m的值。
2.3 幂函数
首先，通过数学中常见的函数关系，让学生观察它们所具 有的特征，然后，总结得到幂函数的概念 ，从而引入课题； 引导学生对幂函数和指数函数进行区别，理解幂函数的结构 形式，然后，配以适当的练习题进行训练；讲解过程中，先 从学生熟悉的函数图象入手，然后，根据函数图象，让学生 观察得到幂函数的性质，这样顺水推舟，得到幂函数的基本 性质，然后，配以例题，进行专项训练，并及时总结解题规 律，得到相应的结论.
解：由题意得m2 m 1 1
化简为m2 m 2 0
解得m 2或m 1 小结：根据幂函数<结0构
f (x)在（0,)单调递 特征减和幂函数的单调性
m2 2m 3 0
代入检验得m 2
求参数值时,可先列方程 求参数，再检验参数值 。
幂函数概念
高中数学人教A版必修一2.3幂函数定义及性质 课件
出它们的函数图像.
3
5
4
(1) y x 2 (2) y x 3 (3) y x 3
分析：(1)① x[0， )
y
②奇偶性： 非奇非偶函数
2.8
③ 单调性：
任取x 1 ， x 2 [0 ， )且 x 1 x 2
0x1x2x13x23x13 x23 1
即 f(x1)f(x2)
0.4
fx 在 [0 ， )上 单 调 递 增 . 0 0.5 1
③ 单调性：
任取 x 1 ， x 2 (0 ， )且 x 1 x 2
0x1x23 x13
x2
1 3 x1
1 3 x2
即 f(x1)f(x2)
f(x)在 (0， )上单调递减。
④ 列表取点 x 0.5 1 2
y 1.3 1 0.8
1
(8) y x 2
y
1.3 1 0.8
0 0.5 1
2 x
4
(7) y x 3
〔2〕当 >0时，
p q
奇数 偶数
时，f(x)为非奇非偶函数，图像只在第一象限；如：
1
yx2
3
yx4
p q
偶数 奇数
时，f(x)为偶函数，图像在第一和第二象限；
2
如： yx3
p q
奇数 奇数
时，f(x)为奇函数，图像在第一和第三象限；
1
如： yx3
4
yx3
3
yx5
〔3〕当 <0时，f(x)呈双曲线型。
〔0，+∞〕上是减函数。
〔3〕在第一象限，图象向上与 y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。
练习2、比较大小：
3
人教A版数学必修一2.3幂函数课件1.pptx
数为自变量x；
幂函数：解析式，y底数为x自a 变量x，指数为常数
α，α∈R；
判一判
判断下列函数是否为幂函数.
(1)y=x4
1 (2) y x2
1
(4) y x 2
(5)y=2x
(3)y=-x2
(6)y=x3+2
下面研究幂函数 y xa .
结合图象，研究性质：定义域、值域、
单调性、奇偶性、过定点的情况等。
空白演示
在此输入您的封面副标题
第二章基本初等函数（I） 2.3幂函数
y=x (1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需 要支付P=____w__元 __P__是__w__的函数
(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=___a_²
__S__是__a__的函数
y=x2
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=__a_³_
例2.利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8与5.30.8
（2）0.20.3与0.30.3
(3)
-2
-2
2.5 5 与 2.7 5
解:(1)y=x0.8在(0,+∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴5.20.8<5.30.8 (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴0.20.3<0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
2
4
6
-3
-4
(-2,4)
4
3
2
1
(-1,1)
y=x3 (2,4) y=x2
幂函数：解析式，y底数为x自a 变量x，指数为常数
α，α∈R；
判一判
判断下列函数是否为幂函数.
(1)y=x4
1 (2) y x2
1
(4) y x 2
(5)y=2x
(3)y=-x2
(6)y=x3+2
下面研究幂函数 y xa .
结合图象，研究性质：定义域、值域、
单调性、奇偶性、过定点的情况等。
空白演示
在此输入您的封面副标题
第二章基本初等函数（I） 2.3幂函数
y=x (1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需 要支付P=____w__元 __P__是__w__的函数
(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=___a_²
__S__是__a__的函数
y=x2
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=__a_³_
例2.利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8与5.30.8
（2）0.20.3与0.30.3
(3)
-2
-2
2.5 5 与 2.7 5
解:(1)y=x0.8在(0,+∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴5.20.8<5.30.8 (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴0.20.3<0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
2
4
6
-3
-4
(-2,4)
4
3
2
1
(-1,1)
y=x3 (2,4) y=x2
人教版高中数学必修一2.3《幂函数》ppt课件
奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
R上 增函数
(, 0)减 (0, ) 增
R上 增函数
[0, ) 增
(, 0) 减 (0, ) 减
（1,1）
幂函数性质
y y x3 y x2
4
1
yx
(1)函数 y x, y x2 , y x3, y x 2
3
1
y x1在(0,+∞)上都有定义，
培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的 能力，培养学生合作交流的意识.
学习重点
从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用.
学习难点
概括幂函数的性质.
问题情境
问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，
a 那么她需要付的钱数p＝ w 元，这里p是w的函数 y x
S 问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积
S= a 2 ， 这里S是a的函数
y x2
问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积
V
aa
S
V= a3 ，这里V是a的函数
y x3
问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边 1 1
长a= S 2 ，这里a是S的函数
y x2
问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车
的速度 v = t 1 km/s. 这里v是t的函数
y y x3
4
y x2
(2,4)
yx
1
y x2 , y x3
3
1
2
y x2
1
-4
-3
-2
-1
o
(1,1)
1
2
y x1
高中数学 2.3幂函数精品课件 新人教A版必修1
2)要确定一个幂函数，需要一个条件就可以，即把常数
确定下来;
3)幂函数和指数函数的异同：两者都具有幂的形式，但 指数函数的自变量位于指数上，幂函数的自变量是底数.
新课讲解. 二.幂函数的图象及性质
在同一平面直角坐标系内作
出
y
x
1 2
，y
x ，1
y x y x2 ， y x，3
y x2
，
的图像
增 [0, ) 增
上增
增 (0, )
上减
(, 0]
上减
(, 0)
上减
（1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （0，0） （0，0） （0，0） （0，0）
新课讲解. 二.幂函数的图象及性质
幂函数性质：
1)所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过 点（1，1）；
2)当α ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且 在[0，+∞)上是增函数 (从左往右看，函数图象逐渐上升) 当α＜0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数. (从左往右看，函数图象逐渐上升)
应用举例.
例3.比较下列各组数的大小
1)3
5 2
和3.1
5 2
2)
8
7 8
和
(
1
)
7 8
9
3)(
2
)
2 3
和(
3
)
2 3
3
4
1
1
0.93 和0.82呢？
应用举例.
例4.如图，幂函数 y xi (i 1,2,3,4,5)
在第一象限对应的图像分别是C1, C2 , C3 ,
C4 , C5 ，则 i 大小如何排列?
确定下来;
3)幂函数和指数函数的异同：两者都具有幂的形式，但 指数函数的自变量位于指数上，幂函数的自变量是底数.
新课讲解. 二.幂函数的图象及性质
在同一平面直角坐标系内作
出
y
x
1 2
，y
x ，1
y x y x2 ， y x，3
y x2
，
的图像
增 [0, ) 增
上增
增 (0, )
上减
(, 0]
上减
(, 0)
上减
（1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （0，0） （0，0） （0，0） （0，0）
新课讲解. 二.幂函数的图象及性质
幂函数性质：
1)所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过 点（1，1）；
2)当α ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且 在[0，+∞)上是增函数 (从左往右看，函数图象逐渐上升) 当α＜0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数. (从左往右看，函数图象逐渐上升)
应用举例.
例3.比较下列各组数的大小
1)3
5 2
和3.1
5 2
2)
8
7 8
和
(
1
)
7 8
9
3)(
2
)
2 3
和(
3
)
2 3
3
4
1
1
0.93 和0.82呢？
应用举例.
例4.如图，幂函数 y xi (i 1,2,3,4,5)
在第一象限对应的图像分别是C1, C2 , C3 ,
C4 , C5 ，则 i 大小如何排列?
3.3 幂函数-(新教材人教版必修第一册)(33张PPT)
性质，培养逻辑推
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 理的数学素养.
自主预习 探新知
1．幂函数的概念 一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x 是自变量， α 是常数． 2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12， y＝x－1的图象如图所示：
谢谢~
数．( )
(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上
是减函数．( )
2．幂函数的图象过点(2， 2)， 则该幂函数的解析式是( )
A．y＝x－1 B．y＝x12 C．y＝x2 D．y＝x3
B [设f(x)＝xα，则2α＝ 2， ∴α＝12，∴f(x)＝x12. 选B.]
3．函数 y＝x54的图象是( )
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象
多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．
(2)设f(x)＝xα，∵f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴f12＝
12log23＝13.]
幂函数的图象及应用 【例2】 点( 2，2)与点－2，－12分别在幂函数f(x)，g(x)的图象 上，问当x为何值时，有： (1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．
m2＋2m－2＝1，
[解] 由题意得m2－1≠0， 2n－3＝0，
m＝－3， 解得n＝32，
所以m＝－3，n＝32.
判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xαα为常数的 形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：1指数为常数；2 底数为自变量；3系数为1.
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k>1 0<k<1
３.如果k<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数;
K<0
幂函数图象在第一象限的分布情况：
1
0 1
思考：如何借 助幂函数在第 一象限的图像 做出完整的函 数图像？
0
四、例题研究
1、求下列幂函数的定义域,并画出其草图：
（1）y=x （3）y=x
奇函数
（-∞，0）和； （0，+∞）↘
y x 1
三、幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式 中α 的不同而各异. 思考:通过以上特例，你能归纳出幂函数的一般性质 吗？ １.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1);
２.如果k>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) 并在(0,+∞)上为增函数;
2 5
3 4
（ 2 ） y =x
1 3
（4）y=x-2
2、已知幂函数 y f ( x )的图象过点 ( 2, 2 ), 试求出这个函数的解析 式.
3、如果函数 f ( x) (m m 1) x
2
m 2 2 m 3
是幂函数，
且在区间（ 0 ， +∞ ）内是减函数，求满足条件
形的边长 a S
1 2
y x
1 2
(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均
速度 V t 1 km / s
y x 1
以上问题中的函数有什么共同特征？
(1)
(2) (3) (4) (5)
y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1
（1）均是以自变量为底 的幂； （2）指数为常数； （3）自变量前的系数为1;
问题引入
我们先看几个具体问题:
yx (1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她
需要支付p= w 元
(2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 y S xa
2 2
33 y x a (3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方
（1）若(a+1)-2>(3-2a)-2，求实数a 的取值范围。 2-2m-3 m （2）已知幂函数y=x （m∈N) 的图像与x轴、y轴都没有公共点， 且关于y轴对称，求m的值。
小结
1、幂函数的定义 及图象特征? 2、幂函数的性质
记住第一象限函数图像
α>0,在(0,+∞)上为增函数;
α<0,在(0,+∞)上为减函数
判断下列函数哪几个是幂函数？
1 2 2 （1）y 3 ; (2) y 2 ; (3) y 2 x ; (4) y x 1; x 1 0 (5) y 1; (6) y ; (7) y x x
x
答案（2）（6） （7）
二、几个常见幂函数的图象和性质 在同一坐标系内画出幂函数
上述问题中涉及的函数，都是形如 y x 的函数。
新课讲解.
一般地，函数 y x 叫做幂函数 是常数. （power function），其中x是自变量，
几点说明： 1)
一.幂函数的定义
yx
中 x 前面系数是1,并且后面也没有常数项；
2)要确定一个幂函数，需要一个条件就可以，即把常数 确定下来; 3)幂函数和指数函数的异同：两者都具有幂的形式，但 指数函数的自变量位于指数上，幂函数的自变量是底数.
2 3 1 2
y x, y x , y x , y x , y x
1
的图象
观察所作图象，讨论函数性质，将你发 现的结论写在P78的表格内。
y x3
y x2
yx
yx
1 2
y x 1
几个幂函数的性质:
yx
y x2
定义域
yx
y x3
值域 R
yx
1 2
的实数m的集合。
4、证明幂函数f ( x) x在[0,)上是增函数.
5、如图，幂函数 y x (i 1,2,3,4,5) 在第 一象限对应的图像分别是C1, C2 , C3 , C4 , C5 ，则 i 大 小如何排列?
i
5 4 1 2 3
课堂练习：
图象过定点(1,1)
3、思想与方法
数形结合
y x 1
单调性 公共点 增函数 (0,0),(1,1)
（-∞，0）↘； （0，+∞）↗
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
R R R
yx
2 3
y0
R
(0,0),(1,1)来自yxyx增函数 (0,0),(1,1)
(0,0),(1,1) (1,1)
1 2
x0 x0
y 0 非奇非偶 增函数 y0
３.如果k<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数;
K<0
幂函数图象在第一象限的分布情况：
1
0 1
思考：如何借 助幂函数在第 一象限的图像 做出完整的函 数图像？
0
四、例题研究
1、求下列幂函数的定义域,并画出其草图：
（1）y=x （3）y=x
奇函数
（-∞，0）和； （0，+∞）↘
y x 1
三、幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式 中α 的不同而各异. 思考:通过以上特例，你能归纳出幂函数的一般性质 吗？ １.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1);
２.如果k>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) 并在(0,+∞)上为增函数;
2 5
3 4
（ 2 ） y =x
1 3
（4）y=x-2
2、已知幂函数 y f ( x )的图象过点 ( 2, 2 ), 试求出这个函数的解析 式.
3、如果函数 f ( x) (m m 1) x
2
m 2 2 m 3
是幂函数，
且在区间（ 0 ， +∞ ）内是减函数，求满足条件
形的边长 a S
1 2
y x
1 2
(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均
速度 V t 1 km / s
y x 1
以上问题中的函数有什么共同特征？
(1)
(2) (3) (4) (5)
y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1
（1）均是以自变量为底 的幂； （2）指数为常数； （3）自变量前的系数为1;
问题引入
我们先看几个具体问题:
yx (1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她
需要支付p= w 元
(2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 y S xa
2 2
33 y x a (3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方
（1）若(a+1)-2>(3-2a)-2，求实数a 的取值范围。 2-2m-3 m （2）已知幂函数y=x （m∈N) 的图像与x轴、y轴都没有公共点， 且关于y轴对称，求m的值。
小结
1、幂函数的定义 及图象特征? 2、幂函数的性质
记住第一象限函数图像
α>0,在(0,+∞)上为增函数;
α<0,在(0,+∞)上为减函数
判断下列函数哪几个是幂函数？
1 2 2 （1）y 3 ; (2) y 2 ; (3) y 2 x ; (4) y x 1; x 1 0 (5) y 1; (6) y ; (7) y x x
x
答案（2）（6） （7）
二、几个常见幂函数的图象和性质 在同一坐标系内画出幂函数
上述问题中涉及的函数，都是形如 y x 的函数。
新课讲解.
一般地，函数 y x 叫做幂函数 是常数. （power function），其中x是自变量，
几点说明： 1)
一.幂函数的定义
yx
中 x 前面系数是1,并且后面也没有常数项；
2)要确定一个幂函数，需要一个条件就可以，即把常数 确定下来; 3)幂函数和指数函数的异同：两者都具有幂的形式，但 指数函数的自变量位于指数上，幂函数的自变量是底数.
2 3 1 2
y x, y x , y x , y x , y x
1
的图象
观察所作图象，讨论函数性质，将你发 现的结论写在P78的表格内。
y x3
y x2
yx
yx
1 2
y x 1
几个幂函数的性质:
yx
y x2
定义域
yx
y x3
值域 R
yx
1 2
的实数m的集合。
4、证明幂函数f ( x) x在[0,)上是增函数.
5、如图，幂函数 y x (i 1,2,3,4,5) 在第 一象限对应的图像分别是C1, C2 , C3 , C4 , C5 ，则 i 大 小如何排列?
i
5 4 1 2 3
课堂练习：
图象过定点(1,1)
3、思想与方法
数形结合
y x 1
单调性 公共点 增函数 (0,0),(1,1)
（-∞，0）↘； （0，+∞）↗
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
R R R
yx
2 3
y0
R
(0,0),(1,1)来自yxyx增函数 (0,0),(1,1)
(0,0),(1,1) (1,1)
1 2
x0 x0
y 0 非奇非偶 增函数 y0