名师讲义 必修四：诱导公式

[答案]1
[解析]∵tank°·tan(90°－k°)＝tank°·cotk°＝1，
∴tan1°·tan2°…tan89°＝(tan1°·tan89°)(tan2°·tan88°)…(tan44°·tan46°)·tan45°＝1.
8．设φ(x)＝sin2 ＋cos2 ＋cot(19π－x)，则φ ＝________.
5．化简 的结果是()
A．sin3－cos3B．cos3－sin3
C．±(sin3－cos3)D．以上都不对
[答案]A
[解析]
＝
＝ ＝|cos3－sin3|.
∵ <3<π，∴sin3>0>cos3.
∴原式＝sin3－cos3.
6．记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()
A． B．－
C． D．－
答案：
（15年1月·东城期末·12）已知 ，则 的值是．
答案：
＝
＝
＝ · ＝1.
9．已知cos(75°＋α)＝ ，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．
[解析]∵cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]
＝－cos(75°＋α)＝－ ，
sin(α－105°)＝－sin[180°－(75°＋α)]
＝－sin(75°＋α)，
[答案]B
[解析]解法一：∵cos(－80°)＝k，∴cos80°＝k，∴sin80°＝ ，
∴tan80°＝ ，∴tan100°＝－tan80°＝－ .
解法二：由cos(－80°)＝k，得cos80°＝k>0，∴0<k<1.
又sin280°＋cos280°＝1，∴tan280°＋1＝ .
∴tan280°＝ －1＝ .∴tan80°＝ .
C． D．－
[答案]A
[解析]sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，
∴sinα＋cosα＝m，
而sin(180°＋α)·cos(180°－α)
＝(－sinα)·(－cosα)＝sinαcosα
＝ ＝ .
2．若tan(7π＋α)＝a，则 的值为()
A． B．
C．－1D．1
[答案]B
[解析]tan(7π＋α)＝tanα＝a，
例3(综合应用)已知 ，且 为第四象限角，求 的值.
导思：（1）角 与角 有什么关系？
（2） 与 有什么关系？
（3）已知 如何求 ？应注意什么问题？
解：由题意知 为第三象限角，故
，故 .
点评：本题主要考查诱导公式的灵活运用和同角三角函数的基本关系.本题的易错点是开平方运算中的符号问题，即 的范围的确定，应注意到已知条件 中的隐含信息.
6．计算sin ·cos ·tan 的值是()
A．－ B．
C．－ D．
[答案]A
[解析]sin ·cos ·tan
＝sin(π＋ )·cos(4π＋ )·tan(π＋ )
＝－sin ·cos ·tan
＝－ × ×1＝－ .
二、填空题
7．化简tan1°·tan2°·tan3°·…·tan89°＝________.
＝－ × － × ＝－1.
(2)原式＝－sin60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°)
＝－ －cos45°－tan45°
＝－ － －1
＝－ .
拓展提升
一、选择题
1．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于()
A． B．
又∵α∈ ，∴cosα＝ ＝ .
∴tanα＝－ ，∴tan(2π－α)＝－tanα＝ .
二、填空题
5．sin ＋2sin ＋3sin 等于________．
[答案]0
[解析]原式＝－sin ＋2sin ＋3sin
＝－sin －2sin ＋3sin ＝0.
6．求值： ＝________.
[答案]
[解析]原式＝
1．已知sin(α－ )＝ ，则cos 的值为()
A． B．－
C． D．－
[答案]B
[解析]∵sin ＝
∴cos ＝cos
＝－sin ＝－ ，
故选B.
2．已知sin110°＝a，则cos20°的值为()
A．aB．－a
C． D．－
[答案]A
[解析]sin110°＝sin(90°＋20°)＝cos20°＝a.
＝
＝
＝ ＝ .
三、解答题
7．已知tan(π＋α)＝－ ，求下列各式的值．
(1) ；
(2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)．
[解析]tan(π＋α)＝－ ⇒tanα＝－ ，
(1)原式＝ ＝
＝ ＝－ .
(2)原式＝－sinα·(－cosα)
＝sinα·cosα＝ ＝
＝ ＝－ .
8．化简： .
[解析]原式＝
∴θ是第一象限角．
4．已知tanθ＝2，则 ＝()
A．2B．－2
C．0D．
[答案]B
[解析]原式＝ ＝
∵tanθ＝2，∴原式＝ ＝－2，故选B.
5．化简 · · ＋sin(－θ)的结果为()
A．0B．1
C．2D．
[答案]A
[解析]原式＝ · · －sinθ
＝cosθ·(－tan2θ)(－cotθ)－sinθ＝sinθ－sinθ＝0.
练习：若 ，且 为第三象限角，求 的值.
（答案： ）
类型二：利用诱导公式化简三角函数式
例3(直接应用)化简 .
解：原式 .
练习：化简： ；（答案： ）
例4(变式应用)求值 .
解：当 为奇数时，原式
.
当 为偶数时，原式
.
点评：因为诱导公式对于 加 的奇数倍和偶数倍是不同的，故用诱导公式求值时，若遇到 的整数倍，必须对整数分奇数和偶数进行讨论.
A．－ B．
C．－ D．
[答案]C
[解析]sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240°
＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－ .
2．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝()
A． B．－
C． D．－
[答案]B
[解析]由题意，知cosθ＝ ＝ ，
∴cos(π－θ)＝－cosθ＝－ .
＝－sin840°cos1 470°＋cos420°sin930°
＝－sin(2×360°＋120°)cos(4×360°＋30°)＋cos(360°＋60°)sin(2×360°＋210°)
＝－sin120°cos30°＋cos60°sin210°
＝－sin(180°－60°)cos30°＋cos60°sin(180°＋30°)＝－sin60°cos30°－cos60°sin30°
3．已知点P(sin(π＋θ)，sin( －θ))在第三象限，则角θ所在的象限是()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
[答案]A
[解析]sin(π＋θ)＝－sinθ，
sin( －θ)＝sin[π＋( －θ)]
＝－sin( －θ)＝－cosθ，
∵点P在第三象限，∴－sinθ<0，－cosθ<0，∴sinθ>0，cosθ>0，
3．设A、B、C是一个三角形的三个内角，则在①sin(A＋B)－sinC；②cos(A＋B)＋cosC；③tan(A＋B)＋tanC；④cot(A＋B)－cotC(C≠ )，这四个式子中值为常数的有()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
[答案]C
[解析]∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.
∴sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，
答案：C
（2015年1月·海淀期末·11）.已知 ，且 ，则 =
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
答案：A
（2015年1月·海淀期末·2） =
A. B. C. D.
答案：D
（2015Fra Baidu bibliotek1月·丰台期末·4）已知 ， 是第一象限角，则 的值为（）
A． B． C． D．
答案：C
（2015年1月·房山期末·13）已知 ，且 为第二象限的角，则 .
C．3个D．4个
[答案]B
[解析]1 125°＝1 080°＋45°，则1 125°是第一象限的角，所以sin1 125°>0；因 ＝2π＋ π，则 π是第三象限角，所以tan π>0，sin π<0，故tan π·sin π<0；因3弧度的角在第二象限，则sin3>0.tan3<0，故 <0；因 <1< ，则sin1－cos1>0.∴②③为负数．因此选B.
例5(综合应用)已知 为第三象限角，且 .
（1）化简 ；
（2）若 ，求 的值；
（3）若 ，求 的值.
导思：（1）负角的三角函数如何化简？
（2）与 、 有关的三角函数名称变不变？符号又该如何确定？
解：（1）由题意 .
（2）用诱导公式化简 ，得 ，故由题意得 ，
故 ，故 .
（3）因 ，故
.
练习一
一、选择题
[答案]1－
[解析]∵φ(x)＝cos2x＋sin2x＋cot(－x)＝1－cotx，
∴φ ＝1－cot ＝1－ .
三、解答题
9．已知角α终边上一点P(－4,3)，
求 的值．
[解析]
＝
＝
＝ ＝tanα，
由题意得tanα＝－ .
∴ ＝－ .
练习二
一、选择题
1．(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)sin600°＝()
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，
cot(A＋B)＝cot(π－C)＝－cotC，故选C.
原题四个式子中①②③式为常数．
4．下列各三角函数值：
①sin1 125°；
②tan ·sin ；
③ ；
④sin1－cos1.
其中为负值的个数是()
A．1个B．2个
练习：求 的值.（答案： ）
例2(变式应用)求 的值
思路：负角三角函数 正角三角函数 ～ 角三角函数 锐角三角函数 求值.
解：原式
点评：解决这类问题要注意观察角的特点，然后把角化为 ， ， 等形式，最后再利用诱导公式求解.
练习：求 .（答案： ）
提示：按口诀：“负化正，大化小，化到锐角再求值”进行求值即可.
[答案]
[解析]cosα＝ ＝ ＝－ ，
cos(540°－α)＝cos(180°－α)＝－cosα＝ .
三、解答题
9．求下列三角函数式的值：
(1)sin(－840°)cos1 470°－cos(－420°)sin(－930°)；
(2)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°.
[解析](1)sin(－840°)·cos1470°－cos(－420°)sin(－930°)
∵cos(75°＋α)＝ >0，
又∵α为第三象限角，∴α＋75°为第四象限角，
∴sin(75°＋α)＝－
＝－ ＝－ ，
∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)
＝－ ＋ ＝ .
备选题目：
（2015年1月·密云期末·2）
A． B． C． D．
答案：A
（2015年1月·顺义期末·2） 的值等于
A. B. C. D.
原式＝ ＝
＝ ＝ .
3．化简 (n∈Z)得到的结果是()
A．0B．－2secα
C．2cscαD．2secα
[答案]B
[解析]原式＝ ＝－2secα.
4．已知sin(π－α)＝log8 ，且α∈ ，则tan(2π－α)的值为()
A．－ B．
C．± D．
[答案]B
[解析]∵log8 ＝log232－2＝－ ，∴sinα＝－ ，
经典例题
类型一：利用诱导公式求值
例1(直接应用)求下列各三角函数值
（1） ； （2） .
解：（1）原式 .
（2）原式
.
点评：对于负角的三角函数求值，可先用诱导公式化为正角的三角函数.若转化得到的正角大于 ，则再利用诱导公式化为 范围内的角的三角函数；若这时的角是 范围内的角，再利用有关的诱导公式化为 范围内的角的三角函数.口诀：负化正，大化小，化到锐角再求值.
∴tan100°＝－tan80°＝－ .
二、填空题
7．已知cos(π＋α)＝－ ，则tan(α－9π)＝________.
[答案]±
[解析]cos(π＋α)＝－cosα＝－ ，
cosα＝ ，∴tanα＝± ，
tan(α－9π)＝－tan(9π－α)
＝－tan(π－α)＝tanα＝± .
8．已知角α的终边上一点P(3a,4a)，a<0，则cos(540°－α)＝________.
诱导公式
目的
1.理解四组诱导公式及其探究思路
2.学会利用四组诱导公式求解任意角的三角函数值，会进行简单
的化简与证明。
内容
（一）诱导公式
诱导公式一:
（其中 ）
诱导公式二：
（其中 ）
诱导公式三:
（其中 ）
诱导公式四：
（其中 ）
作用：实现正弦（切）函数和余弦（切）函数的互化。
口决：奇变偶不变，符号看象限．