第14章线性动态电路的复频域分析PPT课件
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第十四章线性动态电路的复频域分析
te–stdt
0–
–
0–
e–stdt] =
§14 —2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性性质 若：L[f1(t)]=F1(s) L[f2(t)]=F2(s)
则： L[A1f1(t)+A2f2(t)]=A1F1(s)+A2F2(s) 证： L[A1f1(t)+A2f2(t)] = [A1f1(t)+A2f2(t)]e–stdt
N(s) k1= (s–p2)‥‥‥(s–pn) s=p1
1
1
k2=(s–p2)F(s) s=p 2 kn=(s–pn)F(s) s=p
n
例1:
求:L–1[
s2+2s–2 ] s(s+2)(s+3)
k1 k2 k3 s2+2s–2 解: F(s)= s(s+2)(s+3) = s + s+2 + s+3
k11=[(s–p1)mF(s)] s=p
1
k12= d [(s–p1)mF(s)] s=p ds 1
1 d2 mF(s)] k13= [(s – p ) 1 s=p1 2 ds2
m–1 1 d mF(s)] k1m= [(s – p ) 1 s=p1 (m–1)！dsm–1
……
例： 求：L–1[ s–2 3] s(s+1) k22 k21 k1 k23 解： F(s)= s + + + 2 s+1 (s+1) (s+1)3 s– 2 = –2 k1= 3 (s+1) s=0 2 =3 k21= s– s s= –1 2 s – 2 d = 2 s= –=2 k22= ds [ s ]s= –1 1 s k23= 1 d [ 2 ] =2 2 ds s2 s= –1
电路第14章 线性动态电路的复频域分析
L[ d (t)]
dt
s 1 (t)
s
0
1
07:14
14
三. 积分性质
设：L[ f (t)] F (s)
证
L[ t f ( )d ] 1 F(s)
0
s
应用微分性质
0
例
L[t] L[ t ( )d ] 0
L[ (t)] 1
s s2
07:14
象函数的一般形式：
F(s)
F1 ( s ) F2 ( s)
a0sm a1sm1 am b0sn b1sn1 bn
(n m)
07:14
20
F(s)
F1 ( s ) F2 ( s)
a0sm a1sm1 am b0sn b1sn1 bn
15
四.延迟性质 (时域平移) f(t)(t)
f(t-t0)(t-t0)
t
设：L[ f (t)] F (s)
t t0
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F(s)
07:14
16
证
例：
f(t) 1
Tt
07:14
est0 延迟因子
f (t) (t) (t T)
一.积分变换法 采用经典法列解微分方程去分析动态电路时，必须知道变量
及其各阶导数(直至n-1阶)在t=0+时刻的值，即变量的初始条件 。而电路中给定的初始状态是各电感电流和电容电压在t=0+时 刻的值，从这些值求得所需变量的初始条件工作量很大，也很 困难，高阶动态电路中尤为突出。
积分变换法是通过积分变化，把已知的时域函数变换为频域函 数，从而把时域的微分方程化为频域函数的代数方程。求出函数 的频域解后，再做反变换，返回时域，求出满足电路初始条件的 原微分方程的时域解，而不需要确定变量的初始条件，即积分常 数。拉普拉斯变换和傅立叶变换都是积分变换，但拉普拉斯变换 比傅立叶变换有更广泛的适用性，所以拉普拉斯变换法是求解任 意激励下高阶线性动态电路的有效而重要的方法之一。
第14章_线性动态电路的复频域分析
1 L[e ] sa
at
8
§13. 2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性性质
设 f1(t) 和 f2(t) 是两个任意的时间函数，它们 的象函数分别为F1(s) 和F2(s) ，A1和A2是两个任意 实常数，则: L[A1 f1(t)+ A2 f2(t)] = A1L [f1(t) ] + A2L[f2(t)] = A1 F1(s) + A 2F2(s)
解：
f(t)= f ’(t)+ f ’’(t)
=Aε(t) - Aε(t-T)
L[f(t)]= A/s - A/s · -sT e
O t
f ’’(t)
O t
18
五、位移性质
求函数 f(t) 与 eat 乘积的象函数:
若 则
L[f(t)]= F(s) L[f (t) eat] = F(s-a)
位移性质
m
m 1
用部分分式展开真分式时， 需要对分母多项式作因式分解， 求出D(s)=0的根。 D(s)=0的根可能是 单根 共轭复根 重根 针对三种情况分别进行分析。
28
• D(s)=0 具有单根的情况
N (s) F (s ) D(s)
如果D(s)=0有n个单根，假设n个单根分别是p1 、 p2 、…、pn 。 于是F(s)可以展开为
则
t f ( )d F ( s ) L 0 s
15
积分性质
t f ( )d F ( s ) L 0 s
例：利用积分性质求函数 f(t) = t 的象函数
解：f(t) = t
( )d
0
t
1 1 L[f(t)] = s s 1 2 s
线性动态电路的复频域分析
kn k1 k2 F (s) = + +⋯ + s − P1 s − P2 s − Pn
k 1、 k 2 、⋯ 、 k n 为待定系数
k i = [( s − p i ) F ( s ) ]s = p i N ( pi ) = D ′( p i )
i = 1 , 2 ,⋯ , n
∴
f (t ) = L − 1 [F (s )] =
§14 - 2 拉普拉斯变换的基本性质
1. 线性性质
L [ A1 f 1 ( t ) + A2 f 2 ( t ) ] = A1 L [ f1 ( t ) ] + A2 [ f 2 ( t ) ]
= A1 F1 ( s ) + A 2 F 2 ( s )
例14-3：若（1） f (t ) = sin ω t ,（2） f (t ) = K (1 − e −α t ), t ∈ [0, ∞) , 求其象函数。 解:（1） L[sin ω t ] = L 2 j (e jω t − e − jω t ) = 2 j [ s − jω − s + jω ] = 2 2 s +ω
s =0
= 0.1 同理 k2 = 0.5, k3 = −0.6
故 f (t ) = 0.1 + 0.5 e −2t − 0.6 e −5t
② D(s) = 0 具有共轭复根，p1 = α + jω , p2 = α - jω , 则 N (s − α − jω )F ( s ) ]s =α + jω = D ((s )) s =α + jω k1 = [ ′ s N (s) k 2 = [(s − α + j ω )F ( s ) ]s =α − jω = s =α − jω
理学线性动态电路的复频域分析
0
注：此例说明拉氏变
0
(t)es0dt
1
0
换式可以计及t=0时f(t) 所包含的冲激。
6
§14-2 拉普拉斯变换的基本性质
本节介绍一些分析线性非时变电路时有用的基本性质。 利用它们可以容易求得较复杂的原函数的象函数。
性质 1 唯一性
象函数F(s)与定义在区间 [0, ] 上的时域函数f(t)存在
一一对应的关系。 注：唯一性这一性质对于拉氏变换的所有应用都适用。
1 (s a)n1
原函数f(t)
sint
ebt sint sin(t )
1 t neat n!
象函数F(s) 原函数f(t)
s
s2 2
s b
(s b)2 2
cost
ebt cost
s cossin s2 2
e t0s s
cos(t )
(t t0 )
18
§14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
(s
3 1)3
3 s 2
k2
(s 1)F(s)
s 1
s4 (s 2)3
3 s 1
因此查拉氏变换表可得：
f (t) 3e2t 3te2t t e2 2t 3et
30
§14-4 运算电路
本节的主要内容是利用拉氏变换把求解线性微分方程转 化为求解线性代数方程。
一、R，L(M)，C 等电路元件的运算形式。
p1, p2, … pn 。F(s)可以展开为：
F (s) k1 k2 ... kn
s p1 s p2
s pn
注：式中 ki 是待定系数，可按下述二方法确定：
方法一
ki s pi F(s) spi
线性动态电路的复频域分析
3. 重根
K 13 N ( s) K 12 K 11 K2 F ( s) 3 2 3 ( s p1 ) ( s p2 ) s p1 ( s p1 ) ( s p1 ) s p2
( s p1 )3 F ( s ) K 13 ( s p1 )2 K 12 ( s p1 ) K 11
+ u1 L1
M
i2
+ L2 u2 -
di1 di 2 u1 L1 dt M dt u L di2 M di1 2 2 dt dt
U 1 ( s ) sL1 I 1 ( s ) L1 i1 (0 ) sMI2 ( s ) Mi2 (0 ) U 2 ( s ) sL2 I 2 ( s ) L2 i2 (0 ) sMI1 ( s ) Mi1 (0 )
L[ε( t )] 1 2 L[t ] L[0 ε( )d ] s s
t
4. 时域延迟性质
f(t-t0)(t-t0) f(t)(t-t0)
f(t)(t)
t t0
t t0
st0
t
L[ f (t )] F ( s )
L[ f (t t0 )ε(t t0 )] e
I1(s) + U1(s) L1i1(0-) + sM I2(s) +
sL1 Mi2(0-) + -
sL2 Mi1(0-) +
L2i2(0-) +
U2(s)
-
1 uC uC (0 ) C
t
0
iC dt
iC
+ uC IC(s)
+ 1/sC uC(0-)/s + -
第十四章线性动态电路的复频域分析(一)
am bn
b 0 s b1 s
求其反变换 f(t) 的基本思路是∶
作部分分式展开 查表得之
要求∶ n > m
, 否则, 先化为真分数(用分式除法)
二、部分分式法求反拉氏变换
F (s) N (s) D (s) a0s
m n
a1 s
m 1 n 1
am bn
n
ki s pi
i 1
有
f (t )
n
kie
pi t
i 1
例题 已知
F (s) s
2
F (s) s
4s 5 5s 6
4s 5
2
5s 6
4s 5 ( s 2 )( s 3 ) k1 s 2 k2 s3
5 s 其中： k ksi 2 [(4ss)( 3p i )(4sF35)( s )]s3 p i ( ) (s 2 s )
di 1 dt di 2 dt
M M
di 2 dt di 1 dt
u 2 L2
L1i1(0_)
+ +
L2i2(0_)
Mi1(0_) + (b) +
Mi2(0_)
§14—5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路 一、运算法的基本思想:
运算法与相量法的基本思想类似。 相量法把正弦量变换为相量(复数)，从而把求解线性电路的正 弦稳态问题归结为以相量为变量的线性代数方程。 运算法把时间函数变换为对应的象函数，从而把问题归结为求 解以象函数为变量的线性代数方程。当电路的所有独立初始条件为 零时，电路元件VAR的相量形式与运算形式是类似的，加之KCL和 KVL的相量形式与运算形式也是类似的，所以对于同一电路列出的 相量方程和零状态下的运算形式的方程在形式上 相似，但这两种方 程具有不同的意义。在非零状态条件下，电路方程的运算形式中还 应考虑附加电源的作用。当电路中的非零 独立初始条件考虑成附加 电源之后，电路方程的运算形式与相量方程类似。 可见相量法中各种计算方法和定理在形式上完全可以移用于运 算法。在运算法中求得象函数之后，利用拉氏反变换就可以求得对 应的时间函数。
14第十四章线性动态电路的复频域分析
运算电路解题时注意附加电源!
§14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
解题步骤: 1. 根据时域电路作出频域电路:在非零状态
时，注意附加电源的存在,注意其方向! 2. 在频域电路中利用电路分析的一般方法及
定理解出所求电量； 3. 将所求电量根据题意变换为时间函数。
例：RC 并联电路，换路前为零状态，t=0 时接通单位阶跃电流源，
4
A,
uC (0 ) R2i1(0 ) 5 4 20 V
R1
L1
R2
+ i1 + C
+
E
uC
R3 K uK
- 图(a)
图(b)：
(
R1
1 SL1
SC
R2
1
R3
)UC
(S)
E S L1i1(0 ) SC uC (0 )
R1 SL1 R1 SL1
第十四章 线性动态电路的 复频域分析
概述：本章主要学习用复频域分析 法（运算法）来处理动态电路。
§14-1 拉普拉斯变换的定义
一、积分变换法
利用积分变换把时域函数变换为频域函数， 使得时域的微分方程变为频域的代数方程， 方便求解。
拉普拉斯变换（拉氏变换）
F(S) f (t)eStdt 0
2. 若D(s)=0有共轭复根p1=a+jω，p2=a- jω
F (s) K1 K2
式中：
s p1 s p2
K1
(s (a
j )) F (s)
sa j
N (s) D(s)
sa j
K1 e j1
《电路》第14章线性动态电路的复频域分析PPT课件
相
量
... I1 + I2 = I
时域的正弦运 算变换为复数 运算。
13.11.2020
4
③拉氏变换
对应
f(t) (时域原函数)
F(s) (频域象函数)
结束
拉氏变换法的核心是把 f(t)与 F(s)联系起来，把 时域问题通过数学变换化为复频域问题。
2.两个特点
①把时间域的高阶微分方程变换为复频域的 代数方程；
第十四章 线性动态电路的复频域分析
结束
拉氏变换
网络函数
反变换
运算电路
运算法求 复频域解
13.11.2020
部分分式 展开
定义与类型 零、极点
与冲激响 应的关系
与频率响 应的关系
知识结构框图
1
重点
结束
①KL、元件VCR的运算形式，运算电路； ②运算法的求解步骤； ③网络函数的定义与类型、极点与零点的概念； ④网络函数与冲激响应、频率响应的关系。
1 2
(1+ e-t cost-e-t sint) A
13.11.2020
21
例2 稳态时闭合S。求 t≥0时的 uL(t)。
(t=0) S R1 5 R2 5
③画运算电路
结束
+
iL(t)
us1
L
- 2e–2t V 1H
++ uL us2 - - 5V
解：①求初值
iL(0-)
=
us2 R2
=1A
②求激励的象函数
ℒ [10 ] = 10/s
I(s) 2
0.3s
1.5V -+
3
+ 10
s
第14章1线性动态电路的复频域分析精品PPT课件
正变换 反变换
0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。
0
0
积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。
今后讨论的拉氏变换均为 0 拉氏变换,计及t=0时f(t)包含 的冲击。
返回 上页 下页
简写 F f((tS))
f(t) 1F( S)
正变换 反变换
注 1 F ( S ) f ( t) e s d t 0 t f ( t) e s d t tf ( t) e s d t
1est 1 s 0s
返回 上页 下页
(2)单位冲激函数的象函数
f(t)(t)
F (s)[ (t) ] 0
(t)e sd t t00(t
)estdt
es0 1
(3)指数函数的象函数
f(t )eat
F (s)e at e ae t sd t t
0
s
1 e( a
sa
)t
0
1 sa
证 A 1 f 1 ( t ： ) A 2 f 2 ( t) 0 A 1f1 (t) A 2f2 (t)e sd t
0 A 1f1 (t) e sd t t0 A 2f2 (t) e sd t t
A 1 F 1 (S ) A 2 F 2 (S )
返回 上页 下页
根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个 函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行 计算。
f(t)M cte t [0, )
则 f(t)estd t M(s ec)tdt M
0
0
sC
总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值，即 f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。
返回 上页 下页
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0-
0-
A1F1(s)
A2F2(s)
12.08.2020
9
P346 例14-2 若 f1(t)=sin(wt)， f2(t)=K(1-e-at)的定
义域为[0， ]，求其象函数。 解：
结束
ℒ [ f1(t)] = ℒ [sin(wt)] 欧拉公式 ℒ
线性性质
1 2j
ℒ
[ejwt]
-ℒ
[e-jwt
]
则重复应用积分性质可得n重积分的象函数
ℒ
tt
t
dt dt ··· f (t) dt
0- 0-
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程 较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电 路分析中得到广泛应用。
12.08.2020
5
1. 定义
一个定义在 [0, +∞] 区间的函数 f(t)，它的拉普拉斯 结束 变换式 F(s) 定义为：
∞
F(s)=ℒ [f(t)]= f(t)e-stdt
0-
式中s=s+jw为复数，被称为复频率；
12.08.2020
4
§14-1 拉普拉斯变换的定义
1. 引言
结束
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心 是把时间函数 f(t) 与复变函数 F(s) 联系起来， 把时域问题通过数学变换化为复频域问题。
两个特点：一是把时间域的高阶微分方程变换 为复频域的代数方程；二是将电流和电压的初 始值自动引入代数方程中，在变换处理过程中， 初始条件成为变换的一部分。
ℒ[K(1-e-at)]= NhomakorabeaKa
s(s+a)
12.08.2020
10
2. 微分性质
若 ℒ [ f(t)]=F(s)，则 ℒ [ f ' (t)] = sF(s)-f(0-)
结束
证：ℒ [ f ' (t)] =
∞ df(t) e-st dt =
∞
e-st df(t)
0- dt
∞∞
0- ∞
F(s)
= e-st f(t) - f(t) de-st = -f(0-)+ s f(t) e-st dt
3
难点
①拉普拉斯反变换的部分分式展开法；
结束
②电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用。
③零点、极点与冲激响应的关系
④零点、极点与频率响应的关系
与其它章节的联系
拉氏变换：解决电路的动态分析问题。即解决第七章 的问题，称之为运算法，是后续各章的基础，前几章 基于变换思想的延续。
网络函数部分以拉氏变换为基础，是叠加定理的一种 表现。冲激响应参见第 7 章、频率响应参见第 11章。
①了解拉普拉斯变换的定义，会用拉普拉斯 变换的基本性质求象函数。
②掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法、 基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运 算导纳、运算电路。
③掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方 法和步骤。
④理解网络函数的的定义和极点、零点的概念；
⑤掌握网络函数的零点、极点与冲激响应的关系；
⑥掌握网络函数的零点、极点与频率响应的关系；
第十四章 线性动态电路的复频域分析
结束
主要内容 ①拉普拉斯变换及其与电路分析有关的性质； ②反变换的方法； ③KCL、KVL和VCR的运算形式； ④拉氏变换在线性电路中的应用； ⑤网络函数的定义与含义； ⑥极点与零点对时域响应的影响； ⑦极点与零点与频率响应的关系。
12.08.2020
1
基本要求
结束
则ℒ
t
f (t) dt
0-
=
1
s
F(s)
t
证：设 g(t) = f (t) dt
0-
则有g'(t)= f (t)，且g(0)=0
由微分性质
结束
ℒ [g'(t) ] = sℒ [g(t)]-g(0)
= sℒ [g(t)]
ℒ [g(t) ] =
1 s
ℒ
[g'(t)
]
推论：设 ℒ [ f(t)]=F(s)
F(s)称为f(t)的象函数， f(t)称为F(s)的原函数。
由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为：
f(t)= ℒ -1[F(s)]= 1 2pj
c+j
F(s) est dt
c-j
式中c为正的有限常数。
12.08.2020
6
结束
结束
§14-2 拉普拉斯变换的基本性质
1. 线性性质
w s2+w2
ℒ [e(t)] = 1/s，
ℒ [cos(wt)]=ℒ
1
w
dsin(wt)
dt
=
1
w
s
w s2+w2
- sin(0-)
ℒ [cos(wt)] =
s
s2+w2
ℒ [d(t)] =ℒ
de(t) dt
=
s
(
1 s
-
0)
=
1
12.08.2020
12
3. 积分性质
若 ℒ [ f(t)]=F(s)
结束
设：ℒ [ f1(t)]=F1(s)，ℒ [ f2(t)]=F2(s) A1、A2 是两个任意实常数。
则：ℒ [A1 f1(t)+A2 f2(t)] = A1F1(s)+A2F2(s)
证： 左 = [A1 f1(t) + A2 f2(t)] e-st dt
0-
∞
∞
= A1 f1(t) e-st dt + A2 f2(t) e-st dt = 右
0- 0-
0-
推论：ℒ [ f (n)(t)]=snF(s)-sn-1f(0-)-sn-2f '(0-)- -f (n-1)(0-) 特别，当 f(0-) = f '(0-) = =f (n-1)(0-)= 0 时 则有 ℒ [ f ' (t)] = sF(s)，，ℒ [f (n)(t)] = snF(s)
12.08.2020
2
重点
结束
①拉普拉斯反变换部分分式展开； ②基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、
运算电路； ③应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。 ④网络函数的的定义和极点、零点的概念； ⑤网络函数的零点、极点与冲激响应的关系； ⑥网络函数的零点、极点与频率响应的关系。
12.08.2020
1 2j
(ejwt-e-jwt
)
引用
ℒ
[eat ]
=
1 s-a
=
1 2j
1
s-jw
-
1
s+jw
=
w s2+w2
ℒ [sin(wt)] = w s2+w2
ℒ [ f2(t)] = ℒ [K(1-e-at)] 线性性质ℒ [K]-ℒ [Ke-at]
引用阶跃函数和指数函数的结论
=
K s
-
K s+a
=
Ka
s(s+a)
该性质可将f (t)的微分方程化为F(s)的代数方程， 是分析线性电路(系统)的得力工具。
12.08.2020
11
P347 例14-3 用微分性质求cos(wt)和d(t)的象函数。
解： dsin(wt) =w cos(wt)
de(t) = d(t)
结束
dt
dt
利用微分性质和已知结果：
ℒ [sin(wt)] =