2019民大附中自主招生数学试题
「精品」北京市中央民族大学附属中学2019届高三数学10月月考试题理(无答案)
北京市中央民族大学附属中学2019届高三数学10月月考试题 理（无答案）时量 120分钟 总分 150分一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集=U R ，{|1},{|2},Mx x P x x =≤=≥ 则()U M P =ðA.{|12}x x <<B.{|1}x x ≥C.{|2}x x ≤D.{|12}x x x ≤≥或 2.计算：55sin 175cos 55cos 5sin -的结果是（ ）A. 21- B.21C. 23-D. 233．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，312S =，则7S 等于( )A ．14B ．28C ．56D ．112 4．已知命题p ：(,0)x ∃∈-∞使23x x <；命题q ：(0,)2x π∀∈，都有tan sin x x >，下列命题为真命题的是A p q ∧B ()p q ⌝∨ C ()p q ⌝∧ D ()p q ⌝∧5. 下列函数中为偶函数且在(0,)+∞上是增函数的是（ ）A. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B. ln y x = C. 22x y x =+ D. 2xy -=6． 已知函数2,4()(1),4x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩ 则2(2log 3)f +的值为A. 24B. 16C. 12D. 117．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是A B C D8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下在该市用丙车比用乙车更省油 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.21i=+_____ . 10.在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = sin A = . 11．已知不等式||1x m -<成立的充分不必要条件是1132x <<，则实数m 的取值范围是12.将函数sin 2yx =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是13．设向量)cos 3,1(),1,(cos θθ==b a，且b a //，则θ2cos = ．14．定义一种运算 12341423(,)(,)a a a a a a a a ⊗=- ,将函数())(cos ,cos 2)f x x x x =⊗的图象向左平移n(n>0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分。
北京市中央民族大学附中自主招生考试数学试卷
北京市中央民族大学附中自主招生考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知某公司去年的营业额约为四千零七十万元，则此营业额可表示为（）A. 元B. 元C. 元D. 元2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.3.已知整数m满足m＜＜m+1，则m的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 74.若一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a-b的值为（）A. B. 63 C. 179 D. 1815.如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=95°，则∠2的度数为（）A.B.C.D.6.则不等式＞（其中，，，为常数）的解集为（）A. B. C. D. 无法确定7.方程x2+3x-1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程x3+2x-1=0的实根x0所在的范围是（）A. B. C. D.8.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，且AF=2，则点F到边DC的距离为（）A. 1B.C. 2D.9.如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，则小正方形的边长为何？（）A.B.C. 5D. 610.如图，A、B、C是反比例函数y=（k＜0）图象上三点，作直线l，使点A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.若==（x，y，z均不为0），=1，则m的值为______ ．12.为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞100条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有______ 条鱼．13.如图，在扇形OAB中，∠AOB=105°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则折痕BC的长为______ ．14.小明原有63元，如图记录了他今天所有支出，其中饮料支出的金额被涂黑．若每5______ 元．15.E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，EM+FN=，则直径AB的长为______ ．16.如图，在平面直角坐标系xOy中，当A1（0，3）、A2（-2，0）、A3（2，0）为旋转中心时，点P（0，4）绕着点A1旋转180°得到P1点；点P1绕着点A2旋转180°得到P2点；点P2绕着点A3旋转180°得到P3点；点P3绕着点A1转180°得到点P4点…．继续如此操作若干次得到点P5、P6、…，则点P2的坐标为______ ，点P2017的坐标为______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：（Ⅰ）用含有t的式子填写下表：（Ⅱ）当t为何值时，两种计费方式的费用相等？（Ⅲ）当330＜t＜360时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．四、解答题（本大题共9小题，共66.0分），并把解集在数轴上表示出来．18.解不等式组＜19.先化简，再求值：（x-1）÷（-1），其中x为方程x2+3x+2=0的根．20.保障房建设是民心工程，某市从2011年开始加快保障房建设进程，现统计了该市2011年到2015年5月新建保障房情况，绘制成如图所示的折线统计图和不完整的条形统计图．（1）小明看了统计图后说：“该市2014年新建保障房的套数比2013年少了．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由；（2）请补全条形统计图；（3）求这5年平均每年新建保障房的套数．21.如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，与边AC的延长线相交于点E，以DE为直径作⊙O交AE于点F．（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；（2）连接CD，交⊙O于点G（如图2）．求证：点G是CD的中点．22.已知直线l：y=kx+2与直线m：y=x相交于P点，且点P的横坐标为1，直线l与x轴交于点D，与反比例函数G：y=的图象交于点M，N（点M在点N的左侧），若DM+DN＜3，求n的取值范围．23.已知关于x的一元二次方程mx2-（2m+1）x+2=0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；（3）若此方程的两个实数根分别为x1、x2，求代数式m（x15+x25）-（2m+1）（x14+x24）+2（x13+x23）+5的值．24.在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC=x°，∠BAD=y°．（1）当D为边BC上一点，并且CD=AB，x=40，y=30时，求证：AB=AC．（2）若CD=CA=AB，请写出y与x的关系式及x的取值范围．（不写解答过程，直接写出结果）25.在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于点P（m，n），若点Q（2-m，n-1），则称点Q为点P的“δ点”．例如：点（-2，5）的“δ点”坐标为（4，4）．（1）某点的“δ点”的坐标是（-1，3），则这个点的坐标为______ ；（2）若点A的坐标是（2-m，n-1），点A的“δ点”为A1点，点A1的“δ点”为A2点，点A2的“δ点”为A3点，…，点A1的坐标是______ ；点A2015的坐标是______ ；（3）函数y=-x2+2x（x≤1）的图象为G，图象G上所有点的“δ点”构成图象H，图象G与图象H的组合图形记为“图形Ю”，当点（p，q）在“图形Ю”上移动时，若k≤p≤1+2，-8≤q≤1，则k的取值范围是______ ．26.已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E点，DF平分∠ADC交线段AE于F点．（1）如图1，若AE=AD，求证：CD=AF+BE；（2）如图2，若AE：AD=a：b，试探究线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论．答案和解析1.【答案】C【解析】解：四千零七十万元，则此营业额可表示为4.07×107元，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.【答案】B【解析】解：A、a3•a2=a5≠a6，本选项错误；B、（a3）2=a6，本选项正确；C、a2+a4=a2（1+a2）≠2a2，本选项错误；D、（3a）2=9a2≠a6，本选项错误．故选B．结合幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法的概念和运算法则进行求解即可．本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法等知识点，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则．3.【答案】C【解析】解：由题意∵∴当m=6时，则m+1=7适合．故选C．本题从的整数大小范围出发，然后确定m的大小．本题考查了无理数的大小问题，本题从的大小出发，很容易求出m的值．4.【答案】D【解析】解：x2-2x-3599=0，移项得：x2-2x=3599，x2-2x+1=3599+1，即（x-1）2=3600，x-1=60，x-1=-60，解得：x=61，x=-59，∵一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且a＞b，∴a=61，b=-59，∴2a-b=2×61-（-59）=181，故选D．配方得出（x-1）2=3600，推出x-1=60，x-1=-60，求出x的值，求出a、b的值，代入2a-b求出即可．本题考查了有理数的混合运算和解一元二次方程的应用，能求出a、b的值是解此题的关键，主要培养学生解一元二次方程的能力，题型较好，难度适中．5.【答案】B【解析】解：∵∠A=60°，∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°，∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，∴∠1+∠2=240°-120°=120°，∵∠1=95°，∴∠2=120°-95°=25°，故选：B．首先根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，然后计算出∠1+∠2的度数，进而得到答案．此题主要考查了翻折变换，关键是根据题意得到翻折以后，哪些角是对应相等的．6.【答案】A【解析】解：∵-m2-1＜2，-2＜n2+1，∴函数y=kx+b中y随x的增大而增大，又∵函数经过点（1，0），∴kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）的解集为：x＞1．故选A．首先根据函数的值确定一次函数的增减性，然后根据函数经过点（1，0），即可进行判断．本题考查一次函数的性质，解题时应认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．7.【答案】C【解析】解：方程x3+2x-1=0，∴x2+2=，∴它的根可视为y=x2+2和的图象交点的横坐标，当x=时，y=x2+2=2，y==4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=时，y=x2+2=2，y==3，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=时，y=x2+2=2，y==2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；当x=1时，y=x2+2=3，y==1，此时抛物线的图象在反比例函数上方．故方程x3+2x-1=0的实根x所在范围为：＜x＜．故选：C．首先根据题意推断方程x3+2x-1=0的实根是函数y=x2+2与的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x3+2x-1=0的实根x所在范围．此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．8.【答案】B【解析】解：过F作FG⊥DC于G，连接DF、BF，∵四边形ABCD为菱形，∴∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∵EF为AB的垂直平分线，∴AF=BF=2，∴∠FBA=∠BAC=40°，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠DAB=180°，∴∠ABC=180°-80°=100°，∴∠FBC=100°-40°=60°，∵四边形ABCD为菱形，∴DC=BC，∠DCA=∠BCA，∵FC=FC，∴△DFC≌△BFC，∴∠FDC=∠FBC=60°，DF=BF=2，在Rt△DFG中，∠DFG=30°，∴DG=DF=1，∴FG==，则点F到边DC的距离为，故选B．作辅助线，构建全等三角形和直角三角形，先根据菱形的性质：菱形的每一条对角线平分一组对角，得∠BAC=40°，由线段垂直平分线的性质得AF=BF=2，证明△DFC≌△BFC，得∠FDC=∠FBC=60°，DF=BF=2，由30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理依次求出DG、FG的长．本题考查了菱形和线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是关键：①菱形的四边相等，②菱形的每一条对角线平分一组对角，③垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；本题求点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长．9.【答案】B【解析】解：在△BEF与△CFD中∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3∵∠B=∠C=90°，∴△BEF∽△CFD，∵BF=3，BC=12，∴CF=BC-BF=12-3=9，又∵DF===15，∴=，即=，∴EF=故选B．先根据相似三角形的判定定理得出△BEF∽△CFD，再根据勾股定理求出DF 的长，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．本题考查的是相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意得出△BEF∽△CFD是解答此题的关键．10.【答案】D【解析】解：如解答图所示，满足条件的直线有4条，故选D．如解答图所示，满足条件的直线有两种可能：一种是与直线BC平行，符合条件的有两条，如图中的直线a、b；还有一种是过线段BC的中点，符合条件的有两条，如图中的直线c、d．本题考查了点到直线的距离、平行线的性质等知识点，考查了分类讨论的数学思想．解题时注意全面考虑，避免漏解．11.【答案】4【解析】解：设===a，∴x=2a，y=3a，z=am，∵==1，∴m=4，故答案为：4．可以设===a，进而可以得出x、y、z的值，代入所要求的方程中即可得出答案．本题考查了比例的性质，解决此类问题要求不拘泥于形式，能够根据不同的条件来得出不同的求解方法．在平时要多加练习，熟能生巧，解题会很方便．12.【答案】4000【解析】解：100÷=4000（条）．故答案为：4000．捕捞200条，若其中有标记的鱼有5条，说明有标记的占到，而有标记的共有100条，根据所占比例即可解答．．此题考查了用样本估计总体，本题体现了统计思想，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息．13.【答案】9+9【解析】解：连接OD，由题意得，OB=BD，OD⊥BC，∵OD=OB=BD，∴三角形OBD为等边三角形，∴∠DOB=60°，∵∠AOB=105°，∴∠COE=45°，在Rt△OBE中，∵∠OEB=90°，OB=OA=18，∠EOB=60°，∴∠EBO=30°，∴OE=OB=9，EB==9，在Rt△CEO中，∵∠CEO=90°，∠COE=45°，∴∠OCE=∠EOC=45°，∴CE=OE=9，∴BC=EC+EB=9+9．故答案为9+9．连接OD，首先证明△OBD是等边三角形，分别在Rt△EOB，Rt△EOC中，求出CE、EB即可解决问题．本题考查翻折变换、等边三角形的性质、直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．14.【答案】3、8或13【解析】解：设小明买了x瓶饮料（x＞0），则剩下的钱为63-（10+15+20+5x）元，整理后为（18-5x）元，∵18-5x≥0，x为正整数，∴1≤x≤3，当x=1时，18-5x=18-5=13；当x=2时，18-5x=18-5×2=8；当x=3时，18-5x=18-5×3=3．故答案为：3、8或13．设小明买了x瓶饮料（x＞0），则剩下的钱为63-（10+15+20+5x）元，根据18-5x≥0、x为正整数，即可求出x的取值范围，再逐一分析即可得出可能剩下的钱数．此题主要考查了一元一次不等式的应用，利用已知表示出剩下的钱是解题关键．15.【答案】6【解析】解：如图，延长ME交⊙O于G，∵E、F为AB的三等分点，∠MEB=∠NFB=60°，∴FN=EG，过点O作OH⊥MG于H，连接MO，∵⊙O的直径AB=x，∴OE=OA-AE=x-x=x，OM=x，∵∠MEB=60°，∴OH=OE•sin60°=×=，在Rt△MOH中，MH====，根据垂径定理，MG=2MH=2×=，即EM+FN==．解得x=6，故答案为：6．延长ME交⊙O于G，根据圆的中心对称性可得FN=EG，过点O作OH⊥MG 于H，连接MO，根据圆的直径求出OE，OM，再解直角三角形求出OH，然后利用勾股定理列式求出MH，再根据垂径定理可得MG=2MH，从而得解．本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，以及解直角三角形，作辅助线并根据圆的中心对称性得到FN=EG是解题的关键，也是本题的难点．16.【答案】（-4，-2）；（0，2）【解析】解：如图所示，点P2的坐标为：（-4，-2），∵由图形可得出：P点与P6重合，∴P点每6次循环一次，∵2017÷6=336…1，∴点P2017的坐标与P1坐标相同为：（0，2），故答案为：（-4，-2），（0，2）．利用已知得出对应点坐标，进而得出P点坐标变换规律，进而得出答案．此题主要考查了几何变换以及点的坐标确定位置，得出P点坐标变化规律是解题关键．17.【答案】0.25t+20.5；0.25t+20.5；0.19t+21.5【解析】解：（Ⅰ）①当150＜t＜350时，方式一收费：58+0.25（t-150）=0.25t+20.5；②当t＞350时，方式一收费：108+0.25（t-350）=0.25t+20.5；③方式二当t＞350时收费：88+0.19（t-350）=0.19t+21.5．（Ⅱ）∵当t＞350时，（0.25t+20.5）-（0.19t+21.5）=0.06t-1＞0，∴当两种计费方式的费用相等时，t的值在150＜t＜350取得．∴列方程0.25t+20.5=88，解得t=270．即当主叫时间为270分时，两种计费方式的费用相等．（Ⅲ）方式二．①当350＜t＜360时，方式一收费-方式二收费y=0.25t+20.5-0.19t-21.5=0.06t-1，当350＜t＜360时，y＞0，即可得方式二更划算．②当t=350时，方式一收费108元，大于方式二收费88元，故方式二划算；③当330＜t＜350时，方式一收费=0.25t+20.5，此时收费＞103，故此时选择方式二划算．（I）根据两种方式的收费标准进行计算即可；（II）先判断出两种方式相等时t的大致范围，继而建立方程即可得出答案．（III）计算出两种方式在此取值范围的收费情况，然后比较即可得出答案．此题考查了一元一次方程的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，难度一般，要将实际问题转化为数学问题来求解．18.【答案】解：，＜∵解不等式 得：x≤1，解不等式 得：x＞-2，∴不等式组的解集为：-2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：【解析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．19.【答案】解：原式=（x-1）÷=（x-1）÷=（x-1）×=-x-1．由x为方程x2+3x+2=0的根，解得x=-1或x=-2．当x=-1时，原式无意义，所以x=-1舍去；当x=-2时，原式=-（-2）-1=2-1=1．【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20.【答案】解：（1）小明的说法不正确，理由如下：∵2014年新建保障房的套数比2013年增加了20%，而2013年新建保障房的套数为750套，∴2014年新建保障房的套数为750×（1+20%）=900套，∴小明的说法不正确；（2）2011年新建保障房的套数为：600÷（1+20%）=500套，条形统计图补充如下：（3）这5年平均每年新建保障房的套数为=784套．【解析】（1）根据2014年新建保障房的套数比2013年增加了20%，求出2014年新建保障房的套数，即可得出答案；（2）根据2012年新建保障房的增长率及2012年新建保障房的套数，即可求出2011年新建保障房的套数；所求结果可补全条形统计图；（3）根据（2）中所求求出平均数即可．本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，折线统计图表示的是事物的变化情况，如增长率．21.【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，由勾股定理得：AC=4，∵AB=5，BD=3，∴AD=8，∵∠ACB=90°，DE⊥AD，∴∠ACB=∠ADE，∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADE，∴==∴==∴DE=6，AE=10，即⊙O的半径为3；过O作OQ⊥EF于Q，则∠EQO=∠ADE=90°，∵∠QEO=∠AED，∴△EQO∽△EDA，∴=，∴=，∴OQ=2.4，即圆心O到弦EF的距离是2.4；（2）连接EG，∵AE=10，AC=4，∴CE=6，∴CE=DE=6，∵DE为直径，∴∠EGD=90°，∴EG⊥CD，∴点G为CD的中点．【解析】（1）根据勾股定理求出AC，证△ACB∽△ADE，得出==，代入求出DE=6，AE=10，过O作OQ⊥EF于Q，证△EQO∽△EDA，代入求出OQ即可；（2）连接EG，求出EG⊥CD，求出CE=ED，根据等腰三角形的性质求出即可．本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．22.【答案】解：如图1，当x =1时，y =1，∴P （1，1），把P （1，1）代入y =kx +2中得：1=k +2，k =-1，∴直线l ：y =-x +2，分两种情况：当n ＞0时，如图2，∵直线l ：y =-x +2与x 轴交于D （2，0），与y 轴交于A （0，2），∴AD = =2 ，∵DM +DN ＜3 ，∴只要y =-x +2与y =有两个交点即可，∴-x +2= ，x 2-2x +n =0，b 2-4ac =4-4n ＞0，n ＜1，∴0＜n ＜1；当n ＜0时，如图3，当DM +DN =3 时，AM +DN = ， ∵直线l ：y =-x +2与x 轴交于D （2，0），与y 轴交于A （0，2），则M （- ， ），xy =n =- × =-， ∴- ＜n ＜0，综上所述：n 的取值范围是0＜n ＜1或- ＜n ＜0．【解析】先求P 点的坐标（1，1），代入y=kx+2中可求得k=-1，分两种情况进行讨论：①当n ＞0时，如图2，求出AD=2，所以交点M 、N 都能满足DM+DN ＜3，所以列方程求△＞0即可；②当n ＜0时，如图3，因为n 越小离两坐标轴越远，所以求DM+DN=3时的n值即可．本题考查了一次函数、反比例函数的交点问题，有难度，本题采用了分类讨论的思想，反比例函数系数的不同与一次函数交点的距离也不同，根据数形结合的思想进行计算．23.【答案】解：（1）∵△=[-（2m+1）]2-4m•2=（2m-1）2，∴不论m为何值，（2m-1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）设方程的两个根为x1，x2，则x1+x2==2+，x1•x2=，∵此方程的两个实数根都是整数，∴m的整数值为±1；（3）∵x1、x2是方程mx2-（2m+1）x+2=0的两个实数根，∴mx12-（2m+1）x1+2=0，mx22-（2m+1）x2+2=0，则mx15-（2m+1）x14+2x13=0，mx25-（2m+1）x24+2x23=0，以上两式相加可得m（x15+x25）-（2m+1）（x14+x24）+2（x13+x23）=0，∴m（x15+x25）-（2m+1）（x14+x24）+2（x13+x23）+5=5．【解析】（1）由根的判别式△=[-（2m+1）]2-4m•2=（2m-1）2即可知；（2）根据韦达定理知x1+x2==2+，x1•x2=，由方程的两个实数根都是整数可得答案；（3）根据方程的解得定义得mx12-（2m+1）x1+2=0、mx22-（2m+1）x2+2=0，继而知mx15-（2m+1）x14+2x13=0，mx25-（2m+1）x24+2x23=0，两式相加可得．本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．24.【答案】（1）证明：如图，在BC上取点E，使BE=CD=AB，连接AE，则∠AEB=∠EAB=（180°-40°）=70°，∴∠AEB=∠ADE=70°，∴AD=AE，∴∠ADB=∠AEC=180°-70°=110°，∵BD=BE-DE，CE=CD-DE，∴BD=EC，在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴AB=AC．（2）解： 当点D在边BC上时，∵∠ABC=x°，CA=AB，∴∠C=∠ABC=x°，∵CD=CA，∴∠ADC=∠CAD==90°-x°，∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴90-x=x+y，即：y=-x+90（0＜x≤60）（取等号时B、D重合）当点D在BC的延长线上时，如图1，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=x°，∵AC=CD，∴∠ACB=2∠D，∴∠D=∠ACB=x°，在△ABD中，∠B+∠BAD+∠D=180°，∴x+y+x=180，即：y=-x+180，（0＜x＜90）③当点D在CB延长线上时，如图2，∵∠BAD=y°，∠ABC=x°，∴∠D=∠ABC-∠BAD=x°-y°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=x°，∵CD=AC，∴∠CAD=∠D=x°-y°，在△ACD中，∠D+∠C+∠CAD=180°，∴x-y+x+x-y=180，∴3x-2y=180，∴y=x-90（60＜x＜90）（取等号时B、D重合）．【解析】（1）首先在BC上取点E，使BE=CD=AB，连接AE，易证得AD=AE，继而可得△ADB≌△AEC（SAS），则可证得结论；（2）①由CD=CA，可表示出∠ADC的度数，又由三角形外角的性质，可得∠ADC=∠B+∠BAD，则可得方程：90-x=x+y，继而求得答案；②先确定出∠D=x，最后根据三角形的内角和即可得出结论．③同①②的方法即可得出结论．此题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，解（1）的关键是作出辅助线判断出△ADB≌△AEC，解（2）的关键是分情况讨论，是一道中等难度的中考常考题．25.【答案】（3，4）；（m，n-2）；（4-m），n-2016）；-2≤k≤1【解析】解：（1）设这个点坐标为（m，n），∵这个点的“δ点”的坐标是（-1，3），∴2-m=-1，n-1=3，∴m=3，n=4，∴这个点的坐标为（3，4），故答案为（3，4）．（2）由题意A1（m，n-2），A2（m-2，n-3），A3（4-m，n-4），A4（m-2，n-5），A5（4-m，n-6），…由此规律可知A2015（4-m，n-2016）．故答案分别为（m，n-2），（4-m，n-2016）．（3）如图，由题意图象G的解析式为y=-x2+2x，（x≤1），图象H的解析式为y=-（x-1）2，（x≥1）对于函数y=-x2+2x，当y=-8时，-x2+2x=-8，解得x=-2或8（舍弃），∴x=-2，当y=1时，-x2+2x=1，解得x=1，∵当点（p，q）在“图形Ю”上移动时，若k≤p≤1+2，-8≤q≤1，∴由图象可知，-2≤k≤1．故答案为-2≤k≤1．（1）设这个点坐标为（m，n），根据“δ点”的定义，列出方程即可解决问题．（2）从特殊到一般，先探究规律，利用规律即可解决问题．（3）画出图象，图象G的解析式为y=-x2+2x，（x≤1），图象H的解析式为y=-（x-1）2，（x≥1），对于函数y=-x2+2x，当y=-8时，-x2+2x=-8，解得x=-2或8（舍弃），当y=1时，-x2+2x=1，解得x=1，观察图象，即可解决问题．本题考查二次函数综合题、解题的关键是理解题意，学会从特殊到一般探究规律，利用规律解决问题，学会利用图象解决问题，属于中考压轴题．26.【答案】解：（1）证明：延长EA到G，使得AG=BE，连接DG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，∵AE⊥BC于点E，∴∠AEB=∠AEC=90°，∴∠AEB=∠DAG=90°，∴∠DAG=90°，在△ABE和△DGA中，∴△ABE≌△DGA，∴∠1=∠2，DG=AB，∠B=∠G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠ADC，∵∠B+∠1=∠ADC+∠2=90°，∠3=∠4，∴∠GDF=90°-∠4，∠GFD=90°-∠3，∴∠GDF=∠GFD，∴GF=GD=AB=CD，∵GF=AF+AG=AF+BE，∴CD=AF+BE；（2）bCD=aAF+bBE理由是：延长EA到G，使得=，连接DG，即AG=BE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，∵AE⊥BC于点E，∴∠AEB=∠AEC=90°，∴∠AEB=∠DAG=90°，∴∠DAG=90°，即∠AEB=∠GAD=90°，∵==，∴△ABE∽△DGA，∴∠1=∠2，=，∴∠GFD=90°-∠3，∵DF平分∠ADC，∴∠3=∠4，∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180°-∠FAD-∠3=90°-∠3．∴∠GDF=∠GFD，∴DG=GF，∵=，AB=CD（已证），∴bCD=aDG=a（BE+AF），即bCD=aAF+bBE．【解析】（1）延长EA到G，使得AG=BE，连接DG，根据四边形ABCD是平行四边形，推出AB=CD，AB∥CD，AD=BC，求出∠DAG=90°=∠GAD，根据SAS证△ABE≌△DAG，推出DG=AB=CD，∠1=∠2，求出∠AFD=∠GDF，推出DG=GF=AF+AG即可；（2）延长EA到G，使得=，连接DG，根据两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似，推出△ABE∽△DGA，推出∠1=∠2，DG=AB，代入即可求出答案．本题综合考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，角平分线定义，平行线的性质，平行四边形的性质等知识点的运用，本题综合性比较强，有一定的难度，但主要考查学生的类比推理的思想，主要检查学生能否找出解题思路，注意：解题思路的相似之处啊．。
中央民族大学附中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试卷Word版含解析
中央民族大学附中2019-2020学年上学期10月月考高一数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．设集合A={1，2，4，6}，B={2，3，5}，则韦恩图中阴影部分表示的集合（）A．{2} B．{3，5} C．{1，4，6} D．{3，5，7，8}2．下列函数中与函数y=x表示同一函数的是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=3．下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．B．y=x3C．y=﹣x2D．4．设集合A={x|0≤x≤6}，B={y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则f不是映射的是（）A．f：x B．f：x C．f：x D．f：x5．函数y=+x的图象是（）A．B．C．D．6．已知函数（取整函数），，则f（g（π））的值为（）A．1 B．0 C．2 D．π7．已知函数f（x）=﹣x2+6x+a2﹣1，那么下列式子中正确的是（）A．B．C．D．8．将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个（）A．115元B．105元C．95元D．85元9．已知函数f（x）=kx+1在区间（﹣1，1）上存在零点，则实数k的取值范围是（）A．﹣1＜k＜1 B．k＞1 C．k＜﹣1 D．k＜﹣1或k＞110．函数f（x）=﹣|x﹣1|，g（x）=x2﹣2x，定义，则F（x）满足（）A．既有最大值，又有最小值B．只有最小值，没有最大值C．只有最大值，没有最小值D．既无最大值，也无最小值二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．函数的定义域为{0，1}，则值域为．12．若，则c= ．13．设f（x）=，若f（x）=3，则x= ．14．已知偶函数f（x）在[0，+∞）上是单调函数，且图象经过A（0，﹣1），B（3，1）两点，f（x）＜1的解集为．15．函数f（x）=x2﹣2bx+3在x∈[﹣1，2]时有最小值1，则实数b= ．16．已知函数y=f（x）是定义在[a，b]上的增函数，其中a，b∈R，且0＜b＜﹣a．设函数F （x）=[f（x）]2﹣[f（﹣x）]2，且F（x）不恒等于0，则对于F（x）有如下说法：①定义域为[﹣b，b]②是奇函数③最小值为0④在定义域内单调递增其中正确说法的序号是．（写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知集合A={a2，a+1，﹣3}，B={﹣3+a，2a﹣1，a2+1}，若A∩B={﹣3}，求实数a的值及A∪B．18．设全集是实数集R，A={x|x2﹣4x+3≤0}，B={x|x2﹣a＜0}．（1）当a=4时，求A∩B和A∪B；A，求实数a的取值范围．（2）若B⊆∁R19．已知函数（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明．20．已知函数f（x）=x•|x|﹣2x．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）求函数f（x）的零点；（3）画出y=f（x）的图象，并结合图象写出方程f（x）=m有三个不同实根时，实数m的取值范围；（4）写出函数f（x）的单调区间．21．如果函数f（x）满足：在定义域D内存在x0，使得对于给定常数t，有f（x+t）=f（x）•f（t）成立，则称f（x）为其定义域上的t级分配函数．研究下列问题：（1）判断函数f（x）=2x和g（x）=是否为1级分配函数？说明理由；（2）问函数φ（x）=）（a＞0）能否成为2级分配函数，若能，则求出参数a的取值范围；若不能请说明理由；（3）讨论是否存在实数a，使得对任意常数t（t∈R）函数φ（x）=（a＞0）都是其定义域上的t级分配函数，若存在，求出参数a的取值范围，若不能请说明理由．中央民族大学附中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．设集合A={1，2，4，6}，B={2，3，5}，则韦恩图中阴影部分表示的集合（）A．{2} B．{3，5} C．{1，4，6} D．{3，5，7，8}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】根据题意，分析可得，阴影部分的元素为属于B但不属于A的元素，根据已知的A、B，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得，阴影部分的元素为属于B但不属于A的元素，A）∩B，即阴影部分表示（CU又有A={1，2，4，6}，B={2，3，5}，A）∩B={3，5}，则（CU故选B．2．下列函数中与函数y=x表示同一函数的是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．【解答】解：C．∵=x，与已知函数y=x的定义域和对应法则完全一样，∴二者是同一函数．故选C．3．下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．B．y=x3C．y=﹣x2D．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】满足定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，在由f（x）与 f（﹣x）的关系判定．【解答】解：对于A、B，满足定义域关于原点对称，f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，排除A、B；对于C，满足定义域关于原点对称，f（﹣x）=f（x）是偶函数，排除C；对于D，定义域不关于原点对称既不是奇函数，也不是偶函数，符合题意；f故选：D．4．设集合A={x|0≤x≤6}，B={y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则f不是映射的是（）A．f：x B．f：x C．f：x D．f：x【考点】映射．【分析】通过举反例，按照对应法则f，集合A中的元素6，在后一个集合B中没有元素与之对应，故选项A不是映射，从而选出答案．【解答】解：A不是映射，按照对应法则f，集合A中的元素6，在后一个集合B中没有元素与之对应，故不满足映射的定义．B、C、D是映射，因为按照对应法则f，集合A中的每一个元素，在后一个集合B中都有唯一的一个元素与之对应，故B、C、D满足映射的定义，故选 A．5．函数y=+x的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】本题考查的知识点是分段函数图象的性质，及函数图象的作法，由绝对值的含义化简原函数式，再分段画出函数的图象即得．【解答】解：函数可化为：当x＞0时，y=1+x；它的图象是一条过点（0，1）的射线；当x＜0时，y=﹣1+x．它的图象是一条过点（0，﹣1）的射线；对照选项，故选D．6．已知函数（取整函数），，则f（g（π））的值为（）A．1 B．0 C．2 D．π【考点】函数的值．【分析】先求出g（π）=0，从而f（g（π））=f（0），由此能求出结果．【解答】解：∵函数（取整函数），，∴g（π）=0，f（g（π））=f（0）=[]=1．故选：A．7．已知函数f（x）=﹣x2+6x+a2﹣1，那么下列式子中正确的是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的性质．【分析】f（x）=﹣x2+6x+a2﹣1=﹣（x﹣3）2+a2﹣10，对称轴为x=3，开口向下，即可得出结论．【解答】解：f（x）=﹣x2+6x+a2﹣1=﹣（x﹣3）2+a2﹣10，对称轴为x=3，开口向下，∴，故选C．8．将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个（）A．115元B．105元C．95元D．85元【考点】函数模型的选择与应用．【分析】根据题意，设售价定为（90+x）元，由利润函数=（售价﹣进价）×销售量可得关于x的函数方程，由二次函数的性质可得答案．【解答】解：设售价定为（90+x）元，卖出商品后获得利润为：y=（90+x﹣80）=20（10+x）（20﹣x）=20（﹣x2+10x+200）；∴当x=5时，y取得最大值；即售价应定为：90+5=95（元）；故应选：C．9．已知函数f（x）=kx+1在区间（﹣1，1）上存在零点，则实数k的取值范围是（）A．﹣1＜k＜1 B．k＞1 C．k＜﹣1 D．k＜﹣1或k＞1【考点】函数零点的判定定理．【分析】讨论k是否为0，根据零点的存在性定理列不等式解出．【解答】解：当k=0时，f（x）=1，∴f（x）无零点，不符合题意；当k≠0时，f（x）为单调函数，∵f（x）=kx+1在区间（﹣1，1）上存在零点，∴f（﹣1）f（1）＜0，即（﹣k+1）（k+1）＜0，解得k＜﹣1或k＞1．故选：D．10．函数f（x）=﹣|x﹣1|，g（x）=x2﹣2x，定义，则F（x）满足（）A．既有最大值，又有最小值B．只有最小值，没有最大值C．只有最大值，没有最小值D．既无最大值，也无最小值【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】作出f（x）和g（x）的函数图象即可得出F（x）的函数图象，根据图象判断最值．【解答】解：作出f（x）与g（x）的函数图象如图所示：∵，∴F（x）的函数图象如下：由图象可知F（x）只有最小值，没有最大值．故选B．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．函数的定义域为{0，1}，则值域为{0， } ．【考点】函数的值域．【分析】根据x的取值，求出对应的f（0），f（1）的值即可．【解答】解： =1﹣，若f（x）的定义域为{0，1}，x=0时，f（0）=0，x=1时，f（1）=，故函数的值域是{0， }，故答案为：{0， }．12．若，则c= 2 ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意，方程组的解为（0，2），代入y=3x+c，可得c的值．【解答】解：由题意，方程组的解为（0，2），代入y=3x+c，可得c=2．故答案为2．13．设f（x）=，若f（x）=3，则x= ．【考点】函数的值．【分析】根据已知中分段函数的解析式，我们分x≤﹣1时、﹣1＜x＜2时、x≥2时三种情况，分别构造方程，解出满足条件的x值，即可得到答案．【解答】解：当x≤﹣1时，即x+2=3，解得x=1（舍去）当﹣1＜x＜2时，即x2=3，解得x=，或x=﹣（舍去）当x≥2时，即2x=3，解得x=（舍去）故当f（x）=3，则x=故答案为：14．已知偶函数f（x）在[0，+∞）上是单调函数，且图象经过A（0，﹣1），B（3，1）两点，f（x）＜1的解集为（﹣3，3）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数f（x）的图象经过A（0，﹣1），B（3，1）两点可知f（0）=﹣1，f（3）=1，根据函数f（x）为偶函数则f（﹣3）=f（3）=1，函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，然后讨论x的正负，根据函数单调性解不等式即可．【解答】解：∵函数f（x）的图象经过A（0，﹣1），B（3，1）两点∴f（0）=﹣1，f（3）=1设x≥0，则f（x）＜1=f（3）∵函数f（x）在[0，+∞）上是增函数∴0≤x＜3∵函数f（x）为偶函数∴f（﹣3）=f（3）=1，函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数设x＜0，则f（x）＜1=f（﹣3）∴﹣3＜x＜0综上所述：f（x）＜1的解集为（﹣3，3）；故答案为：（﹣3，3）．15．函数f（x）=x2﹣2bx+3在x∈[﹣1，2]时有最小值1，则实数b= ﹣或．【考点】二次函数的性质．【分析】讨论f（x）的对称轴与区间[﹣1，2]的关系，判断f（x）的单调性，根据最小值为1列方程计算b．【解答】解：f（x）的对称轴为x=b，（1）若b≤﹣1，则f（x）在[﹣1，2]上单调递增，∴f（x）=f（﹣1）=1，即4+2b=1，∴b=﹣．min（2）若b＞2，则f（x）在[﹣1，2]上单调递减，∴f（x）=f（2）=1，即7﹣4b=1，∴b=（舍）．min（3）若﹣1＜b＜2，在f（x）在[﹣1，2]上先减后增，∴f（x）=f（b）=1，即﹣b2+3=1，解得b=或b=﹣（舍）．min综上，b=﹣或b=．故答案为：．16．已知函数y=f（x）是定义在[a，b]上的增函数，其中a，b∈R，且0＜b＜﹣a．设函数F （x）=[f（x）]2﹣[f（﹣x）]2，且F（x）不恒等于0，则对于F（x）有如下说法：①定义域为[﹣b，b]②是奇函数③最小值为0④在定义域内单调递增其中正确说法的序号是①②．（写出所有正确的序号）【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】对于①，根据F（x）的解析式以及f（x）的定义域，可得a≤x≤b，a≤﹣x≤b，又由0＜b＜﹣a，可得F（x）定义域，可得①正确；对于②，先求出F（﹣x），可得F（﹣x）=﹣F（x），再结合F（x）的其定义域，可得F（x）为奇函数，②正确；对于③，举出反例，当f（x）＞1时，可得F（x）的最小值不是0，故③错误；对于④，由于F（x）是奇函数，结合奇函数的性质，可得④错误；综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，对于F（x）=f2（x）﹣f2（﹣x），有a≤x≤b，a≤﹣x≤b，而又由0＜b＜﹣a，则F（x）=f2（x）﹣f2（﹣x）中，x的取值范围是﹣b≤x≤b，即其定义域是[﹣b，b]，则①正确；对于②，F（﹣x）=f2（﹣x）﹣f2（x）=﹣F（x），且其定义域为[﹣b，b]，关于原点对称，则F（x）为奇函数，②正确；对于③，由y=f（x）无零点，假设f（x）=2x，F（x）=22x﹣2﹣2x=22x﹣无最小值，故③错误；对于④，由于F（x）是奇函数，则F（x）在[﹣b，0]上与[0，b]上的单调性相同，故F（x）在其定义域内不一定单调递增，④错误；故答案为①②．三、解答题：本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知集合A={a2，a+1，﹣3}，B={﹣3+a，2a﹣1，a2+1}，若A∩B={﹣3}，求实数a的值及A∪B．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】由A，B，以及A与B的交集确定出a的值，进而求出A与B的并集即可．【解答】解：∵A={a2，a+1，﹣3}，B={﹣3+a，2a﹣1，a2+1}，且A∩B={﹣3}，B中a2+1≥1，∴a﹣3=﹣3或2a﹣1=﹣3，解得：a=0或a=﹣1，①当a=0时，A={0，1，﹣3}，B={﹣3，﹣1，1}，不满足题意舍去；②当a=﹣1时，A={1，0，﹣3}，B={﹣4，﹣3，2}，满足题意，综上所述：实数a的值为﹣1，A∪B={﹣4，﹣3，0，1，2}．18．设全集是实数集R，A={x|x2﹣4x+3≤0}，B={x|x2﹣a＜0}．（1）当a=4时，求A∩B和A∪B；A，求实数a的取值范围．（2）若B⊆∁R【考点】子集与交集、并集运算的转换；集合关系中的参数取值问题．【分析】（1）先化简集合A，B，然后利用集合的运算求A∩B和A∪B．A，求实数a的取值范围．（2）利用B⊆∁R【解答】解（1）根据题意，由于A={x|x2﹣4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，B={x|x2﹣a＜0}．当a=4时，B=（﹣2，2），而A=[1，3]，所以A∩B=[1，2），A∪B=（﹣2，3]．A，若B=∅，则a≤0，（2）∵B⊆∁RA=（﹣∞，1）∪（3，+∞），若B≠∅，则B=（﹣）⊆∁R∴，∴0＜a≤1，综上，a≤1．19．已知函数（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明．【考点】函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法．【分析】（1）根据二次根式的被开方数大于或等于0，求出f （x ）的定义域； （2）利用单调性的定义即可证明函数f （x ）在定义域上为增函数．【解答】解：（1）要使函数有意义，需使x ≥1，所以函数的定义域为[1，+∞）；（2）函数在定义域[1，+∞）上为增函数，证明：任取x 1，x 2∈[1，+∞），且△x=x 2﹣x 1＞0，则===；因为x 2﹣x 1＞0且＞0，所以△y=f （x 2）﹣f （x 1）＞0，所以函数f （x ）在[1，+∞）上是增函数．20．已知函数f （x ）=x •|x|﹣2x ． （1）判断函数f （x ）的奇偶性，并证明； （2）求函数f （x ）的零点；（3）画出y=f （x ）的图象，并结合图象写出方程f （x ）=m 有三个不同实根时，实数m 的取值范围；（4）写出函数f （x ）的单调区间．【考点】分段函数的应用；函数奇偶性的判断；函数的图象；函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）对于函数f（x），先分析其定义域，进而分析可得f（﹣x）=﹣f（x），即可证明函数f（x）为奇函数；（2）令f（x）=0，x•|x|﹣2x=0，解可得x的值，由函数零点的定义，即可得答案；（3）将f（x）的解析式变形可得f（x）=x•|x|﹣2x=，据此作出函数的图象；若方程f（x）=m有三个不同实根，则函数f（x）的图象与直线y=m有三个不同的交点，由图象可得实数m的取值范围；（4）由图象，分析可得函数的单调区间，即可得答案．【解答】解：（1）函数f（x）为奇函数，证明：对于函数f（x）=x•|x|﹣2x，其定义域为R，关于原点对称；任取x∈R，﹣x∈R，有f（﹣x）=﹣x•|﹣x|+2x=﹣x•|x|+2x，而﹣f（x）=﹣x•|x|+2x，f（﹣x）=﹣f（x），函数f（x）为奇函数；（2）令f（x）=0，x•|x|﹣2x=0，所以x（|x|﹣2）=0，解得x=0或|x|=2所以函数的零点为﹣2，0，2；（3）f（x）=x•|x|﹣2x=，其图象如图：若方程f（x）=m有三个不同实根，则函数f（x）的图象与直线y=m有三个不同的交点，由图象可得实数m 的取值范围为（﹣1，1）；（4）f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），f （x ）的单调递减区间为（﹣1，1）．21．如果函数f （x ）满足：在定义域D 内存在x 0，使得对于给定常数t ，有f （x 0+t ）=f （x 0）•f （t ）成立，则称f （x ）为其定义域上的t 级分配函数．研究下列问题：（1）判断函数f （x ）=2x 和g （x ）=是否为1级分配函数？说明理由；（2）问函数φ（x ）=）（a ＞0）能否成为2级分配函数，若能，则求出参数a 的取值范围；若不能请说明理由；（3）讨论是否存在实数a ，使得对任意常数t （t ∈R ）函数φ（x ）=（a ＞0）都是其定义域上的t 级分配函数，若存在，求出参数a 的取值范围，若不能请说明理由． 【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）若是1级分裂函数，则存在非0实数x 0，使得，得x 0若f （x ）=2x 是1级分裂函数，即存在实数x 0，使得 2（x 0+1）=2x 0•2，解得x 0，（2）由题意，a ＞0，D=R ．存在实数x 0，使得，所以化简得当a=5时，x 0=﹣1，符合题意当a ＞0且a ≠5时，由△≥0得16a 2﹣4（a ﹣5）（5a ﹣5）≥0，化简得a 2﹣30a+25≤0，解得实数a 的取值范围（3）当t=0时，满足条件的a=1，若存在实数a 满足题意，a 只能取1．再验证a=1是否满足条件．【解答】解：（1）若是1级分裂函数，则存在非0实数x 0，使得，即x 0=﹣2，所以函数是1级分裂函数．若f （x ）=2x 是1级分裂函数，即存在实数x 0，使得 2（x 0+1）=2x 0•2，解得x 0=1， 故f （x ）=2x 是1级分裂函数（2）由题意，a ＞0，D=R ．存在实数x 0，使得，所以化简得当a=5时，x 0=﹣1，符合题意；当a ＞0且a ≠5时，由△≥0得16a 2﹣4（a ﹣5）（5a ﹣5）≥0，化简得a 2﹣30a+25≤0，解得．综上，实数a 的取值范围是．（3）存在，a=1当t=0时，满足条件的a=1，若存在实数a 满足题意，a 只能取1． 下面验证a=1是否满足条件．∵f （x 0+t ）=f （x 0）•f （t ），∴（x+t ）2+1=（x 2+1）（t 2+1）⇒t=0或t=， 故t 可取任意实数，故a=1满足条件．。
重点中学自主招生数学试题 (2)
2021年统一招生考试数 学 试 题一、选择题:〔此题共36分, 每题3分〕 1. 14的算术平方根是〔 〕 A ．12- B ．12 C ．12± D ．1162. 不等式组⎩⎨⎧≤-<03,12x x 的解集是〔 〕A ．21<x B ．21>x C.3≤x D ．321≤<x3. 如下图的立体图形是由假设干个小正方体组 成，那么这个立体图形中有小正方体〔 〕个 A. 9 B. 10 C. 11 D. 124. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，假设AC =23, AB =4，那么∠BCD 的度数为〔 〕A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 5. 假设一次函数y =kx +b 的图象经过第一象限，且 与y 轴负半轴相交，那么〔 〕A ．k <0，b >0B ．k <0，b <0C ．k >0，b >0D ．k >0，b <0 6. 二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．37. 如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C，假设AB =8cm ， OC =3cm ，那么⊙O 的半径长为〔 〕A. 4 cmB. 5 cmC. 8 cmD. 10 cm小正方体立体图形 ABCDED CBADE F B AC8. 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于平面直角坐标系的原点O ，点D 的坐标为(3，2)，那么点的坐标为〔 〕A. (-3，2)B. (-2，-3)C. (-2，3)D. (-3，-2) 9. 如图，这是某花农 2006年和 2007年种植百合、康乃馨判断以下说法合理的是〔 〕A. 2007年三种花的产量比2006年都有增加B. 2007年郁金香与康乃馨的产量之和为70万支C. 2006年郁金香产量大约是百合产量的九分之一D. 2006年和2007年的百合产量根本持平 10. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，CD 平分∠ACB 交 AB 于D 点，AE ∥DC 交BC 的延长线于点E ，已 知∠E =36°，那么∠B 的度数为〔 〕 A. 36° B. 45° C. 72° D. 75°11. 下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：A. 80B. 85C. 90D. 80，90 12.某社区从2021年1月份开始,每月举行一次“迎奥运健身走〞活动，1月份有 200人参加了健身走活动，平均步行距离为2km ，在大家的带动下有更多的居 民参加了这项活动，参加健身走的人数增长率是其平均步行距离的增长率 的2倍，2月份总步行距离为1 200km ，那么平均步行距离的增长率是〔 〕 A. 20% B.30% C. 50% D. 60%二、填空题:〔此题共16分, 每题4分 〕13. 如下图摆放一副三角板，那么图中∠1= 度．14. 点P (x , y )位于第二象限，并且y ≤x +4，x , y 为整数，写出一个．．符合 上述条件的点P 的坐标： ．15. 如图，E 为平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结AE ，交CD 于F . 在不添加辅助线的情况下，请 写出图中一对相似三角形： ．116．如图, 平行四边形ABCD 中BC 边及此边长上的高 均为a , 平行四边形GCEF 中CE 边及此边长上的高均为b , 点B 、C 、E 在一条直线上，D 是CG上一点，那么图中阴影局部的面积为 ．三、解答题:(此题共68分;第17题10分，第18题8分, 第19题4分，第20题5分，第21题7分，第22题、第23题各8分, 第24题、第25题各9分) 解答题应写出必要的解题步骤.17. 计算：〔1〕计算： 22＋(4－7)÷32 +︒⋅60sin 12； 解：〔2〕先化简, 再求值: 221111a a a a a a -÷----, 其中a =12.解：18. 解以下方程或方程组：〔1〕2412-=+-x x x ; 〔2〕⎩⎨⎧=+=-.42,5y x y x 解：解：①②19. 如图是44 正方形网格，请你用两种不同的方法，在其中选取两个白色 的正方形并涂黑，使图中黑色局部是一个中心对称图形． 解：20. 如图，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请对你的判断加以证明． 解：21. 如图表示登山爱好者甲与游客乙沿相同的路线同时从山脚下出发到达山顶的过程中，两人各自行进的路程随时间变化的图象．请你根据图象提供的信息解答以下问题：〔1〕试写出在登山过程中，甲行进的路程S 1〔km 〕与时间t 〔h 〕之间的函数关系式为 ；乙行进的路程S 2〔km 〕与时间t 〔h 〕之间的函数关系式为 ；〔不需写出自变量t 的取值范围〕〔2〕当甲到达山顶时，乙行进到山路上某点A 处，求点A 距山顶的距离； 〔3〕在〔2〕条件下, 设乙从A 处继续登山, 甲到达山顶后休息1h ，沿原路下山, 在点B 处与乙相遇, 此时点B 与山顶的距离为1km, 相遇后他们 各自按原来的路线下山或上山,求乙到达山顶时,甲离出发地点多少km?解：BCDA EF22. 如图，点A 、B 、C 、D 是直径为AB 的⊙O 上四个点，CAC 交BD 于点E ，AE =2，EC =1． 〔1〕求证：DEC △∽ADC △； 〔2〕求⊙O 的直径；〔3〕AB 的延长线与⊙O 的切线CF 交于点F ，求∠F 的度数. 解：23. 设m 是不小于1-的实数，关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x . 〔1〕假设21x 622=+x ，求m 值；〔2〕求代数式22212111x mx x mx -+-的最大值.解：24．如图1，AB =CB , ∠ABC =90︒, 点D 在AC 上，ED ⊥AC 于D ，交AB于E ，点M 为EC 的中点.〔1〕猜测线段BM 与DM 之间有什么关系? 写出你的猜测，并加以证明.解：图1〔2〕如图2，将△ADE 绕点A 逆时针旋转180︒，第〔1〕问中的结论是否仍然成立？请说明理由. 解：图2〔3〕按如下要求操作：将△ADE 绕点A 逆时针旋转 〔图3所示〕，请在图4画出相应图形，并直接写出线段 BM 与DM 之间的关系.解：图3 图4α︒α︒A BC DEM BCMD AE25．如图，抛物线的顶点为A ()1,3 ，且经过原点O ，与x 轴的另一个交 点为B ．〔1〕求抛物线的解析式；(2) 假设点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为菱形，求D 点的坐标； 〔3〕在x 轴上方的抛物线上是否存在点P , 使得△OPB 是底角为30°的等腰 三角形, 假设存在，求出P 点的坐标；假设不存在，说明理由． 解：备用图。
北京市中央民族大学附属中学2019-2020学年高二12月月考数学试题
…装…………○…___姓名：___________班级：…装…………○…绝密★启用前 北京市中央民族大学附属中学2019-2020学年高二12月月考数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．在平行六面体ABCD －1111A B C D 中，用向量1,,AB AD AA u u u r u u u r u u u r 来表示向量1AC u u u u r （ ） A ．11AC AB AD AA =-+u u u u r u u u r u u u r u u u r B ．11AC AB AD AA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r C ．11AC AB AD AA =+-u u u u r u u u r u u u r u u u r D ．11AC AB AD AA =--u u u u r u u u r u u u r u u u r 2．双曲线22194x y -=的渐近线方程是（ ） A ．23y x =± B ．49y x =± C ．32y x =± D ．94y x =± 3．设数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则3a 的值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．104．抛物线24y x =的焦点坐标为（ ） A ．(0,2) B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,16⎛⎫- ⎪⎝⎭ 5．()()2018ln f x x x =+，若()0'2019f x =，则0x 等于（ ） A ．2e B ．1 C ．ln 2 D ．e 6．已知ABC V 的顶点A 、C 在椭圆22196x y +=上，顶点B 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在AC 边上，则ABC V 的周长是（ ）A ．B ．6C ．D ．12 7．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是（ ）A ．αβ⊥且m α⊂B ．//m n 且n β⊥C ．αβ⊥且//m αD ．m n ⊥且//αβ8．设双曲线22221x y a b -=与22221(0,0)y x a b b a -=>>的离心率分别为1,e 2e ，当a ，b 变化时，2212e e +最小值是（ ）A ．4B ．CD ．2第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．函数1()ln f x x x =+的导函数为________．10．不等式240x ax -+<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 11．已知向量()()2,1,3,1,2,1a b =-=-v v ，若()a a b λ⊥-v v v ，则实数λ的值为______. 12．已知()x f x e ax =-在[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是________．22x y………装………__________姓名：_______………装………的一个交点，且∠PF 1F 2＝2∠PF 2F 1，则这个椭圆的离心率是________. 14．已知数列{}n a 满足：431n a -=，410n a -=，2n n a a =，*n N ∈，则2019a =________，2020a =________． 三、解答题 15．已知{}n a 为等差数列，且44,a =-72a =．（1）求{}n a 的通项公式； （2）若等比数列{}n b 满足18,b =-2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式． 16．已知函数321()212f x x x x =--+ （1）求函数321()212f x x x x =--+在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 17．如图，在三棱锥P-ABC 中，PA PB =，PA PB ⊥，AB BC ⊥，30BAC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ． （1）求证：PA ⊥平面PBC ； （2）求二面角P-AC-B 的余弦值； （3）求直线BC 与平面P AC 所成角的正弦值． 18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(2,0)F ，且椭圆过点122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆C 的右焦点(2,0)F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于M ，若1:OMA OAF S S k =V V （OMA S V 为OMA V 的面积，OAF S V 为OAF △的面积），2||||MB k FB =，参考答案1．B【解析】因为1111AC AC CC AB AD CC AB AD AA =+=++=++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ， 故选B 2．A【解析】【分析】 将方程22194x y -=变为22094x y -=，解出来即可 【详解】 因为双曲线的方程为22194x y -= 所以其渐近线方程为：22094x y -= 即23y x =± 故选：A【点睛】由双曲线的标准方程得渐近线，只需将右边的1换成0，然后解出来即可.3．B【解析】【分析】由332a S S =-求出即可【详解】因为2n S n n =+所以3321266a S S =-=-=故选：B【点睛】本题考查的是数列的前n 项和与通项公式的关系，较简单.4．C【解析】【分析】 将抛物线方程化为24y x =即可得出 【详解】 抛物线方程可化为：24y x =，则124p = 所以18p = 所以抛物线24y x =的焦点坐标为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：C【点睛】 本题考查的是由抛物线的方程得焦点坐标，较简单.5．B【解析】【分析】可求出导函数()2019f x lnx '=+，从而根据0()2019f x '=即可得出0x 的值．【详解】()12018f x lnx '=++，00()20192019f x lnx ∴'=+=，00lnx ∴=，解得01x =．故选：B【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式，积的导数的计算公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于容易题．6．D【解析】【分析】画出图形，利用椭圆的定义即可解出【详解】由椭圆的方程可知：3,a b c ===如图，1,F B 为椭圆的左右焦点所以由椭圆的定义：1126,26CF CB a AF AB a +==+==所以1112CF CB AF AB +++=即12CA CB AB ++=即ABC V 的周长是12故选：D【点睛】本题考查的是椭圆的定义，较简单.7．B【解析】【分析】根据A 、B 、C 、D 所给条件，分别进行判断即可【详解】若αβ⊥且m α⊂，则m β⊂，或//m β，或m 与β相交，故A 不成立若//m n 且n β⊥，则m β⊥，故B 成立若αβ⊥且//m α，则m β⊂，或//m β，或m 与β相交，故C 不成立由m n ⊥且//αβ得不到m β⊥，故D 不成立故选：B【点睛】本题考查的是立体几何中平行和垂直有关的判断，较简单.8．A【解析】【分析】求出2122e e +，利用基本不等式求出其最小值即可【详解】 因为2222222121,b e b a a b e a ++== 所以222222222222212224a b a b b a e a b a b e +++=+=++≥+= 当且仅当a b =时等号成立所以2212e e +最小值是4故选：A【点睛】1.本题考查的是双曲线的离心率，属于比较典型的题.2.基本不等式常用来求最值9．211()f x x x '=- 【解析】【分析】利用导数的计算法则直接求出即可【详解】 因为1()ln f x x x =+所以211()f x x x'=- 故答案为：211()f x x x '=- 【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单.10．4a >或4a <-【解析】【分析】由题意可得2160a ∆=->，解出即可【详解】因为不等式240x ax -+<的解集不是空集所以2160a ∆=->解得4a >或4a <-故答案为：4a >或4a <-【点睛】本题考查的是一元二次不等式的知识，较简单.11．2【解析】【分析】由题意知，向量()a a b λ⊥-v v v ，所以()0a a b v v v λ⋅-=，由空间向量的坐标运算，即可求解． 【详解】由题意知，向量()a a b λ⊥-v v v ，所以()0a a b v v v λ⋅-=， 又由()()()222112311470a a b a a b v v v v v v λλλλ⎡⎤⋅-=-⋅=--⨯-+⨯+⨯=-=⎣⎦，解得2λ=．【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 12．a e ≤【解析】【分析】条件转化为()0x f x e a '=-≥在[1,)+∞上恒成立，即x a e ≤在[1,)+∞上恒成立，然后求出右边的最小值即可【详解】因为()x f x e ax =-在[1,)+∞上是增函数所以()0x f x e a '=-≥在[1,)+∞上恒成立即x a e ≤在[1,)+∞上恒成立因为x y e =在[1,)+∞上单调递增所以a e ≤故答案为：a e ≤【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性，较典型.131【解析】【分析】由已知可得12PF F ∆为直角三角形，且216PF F π∠= 。
(完整)2019重点高中自主招生数学模拟试卷一
第10题2019重点高中自主招生数学模拟试题一（满分120分。
考试时间共90分钟）一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知实数,a b 满足2217404a b a b +-++=，那么ab -的平方根是 ( )2．若210x x --=,则3225x x -+的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．53．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（ ） A ． 40% B ．13 C ．12D ． 30% 4．方程组223x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的实数解的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．对于每个自变量x ，y 是21211y x y x =+=-，两个值中的最小值，则当32x -≤≤时，函数y的最小值与最大值的和是（ ） A ．2-B ．1C ．2D ．36．如图，在□ABCD 中，AB ＝2BC ，BE ⊥AD 于E ，F 为CD 中点， 设DEF α∠=，EFC β∠=，则下面结论成立的是（ ）A ．3βα<B ．4βα＞C ．3βα=D ．4βα=二、填空题 (本题有6个小题，每小题6分，共36分) 7．在2，2-，0三个整数中，任取一个，恰好使分式x x-+22有意义．．．的概率是 ． 8．已知一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多为 ．9．求()22(sin 20)sin 70tan 28tan 62++=o o o o ．10．如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC=90︒，BC=6，BA=8，现以AC 为边在AC 的右侧作正方形ACDE ，则BE 的长为 ．第8题ABCD E F第8题11．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20, 若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 ．12．抛物线221236y x tx t =-+-与x 轴有两个交点A 、B ，线段AB （含端点）上有若干个横坐标为整数的点，且这些点的横坐标之和为21，则t 的取值范围是 ． 三、解答题(本大题共4题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 13．（本题满分12分）（Ⅰ）已知,,a b c 均不为0，且232757a b b c c a +--==，求223c bb a-+的值； （Ⅱ）已知：0x >，且70x y -=，求xy的值．14．（本题满分12分） 如图，点A 是函数111(0,0)k y k x x=>>图象上的任意一点，过点A 作AB ⊥x 轴，交另一个函数222(0,0)k y k x x =<＞的图象于点B ，在y 轴上取点C ，使四边形ABCO 是平行四边形．（Ⅰ）求证：平行四边形ABCO 的面积为定值；（Ⅱ）设直线CB 与函数222(0,0)k y k x x=<＞的图象相交于另一点D ，若不论点A 在何处，都有CB BD =，试求12k k 与的关系式．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H．（Ⅰ）当直线FH与⊙O相切时，求AE的长；（Ⅱ）若直线FH交⊙O于点G，（ⅰ）当FH∥BE时，求AE的长；（ⅱ）在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由．如图，Rt △ABC 的斜边AB 在x 轴上，AB ＝4，点B 的坐标为（－1，0），点C 在y 轴的正半轴．若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点A ，B ，C ． （Ⅰ）求y 关于x 的函数解析式；（Ⅱ）设对称轴与抛物线交于点E ，与AC 交于点D 。
中央民大附中2019—2020学年第一学期9月考试试题卷
1中央民大附中2019—2020学年第一学期9月考试试题卷年级高三科目数学时量 120 分钟总分 150 分一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1．函数( ) A ． B ． C ． D ． 2. 已知角α的终边经过点(3,4)-，则cos α= ( )A.35B. 35-C. 45D.45- 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是 ( ) A. 22y x x =+ B. 3y x = C.ln y x = D.2y x =4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )5. 3πα=是1cos 2α=的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．函数()2x f x e x =+-的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)7．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时，2121[()()][]0f x f x x x -⋅-<恒成立，设1((2),(3)2a fb fc f =-==，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c8. 一个国际象棋棋盘（由88⨯个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不1()1f x x =-[0,)+∞(1,)+∞[0,1)(1,)+∞[0,1)2确定）. “L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示. 现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则 ( ) A. 至多能剪成19块“L”形骨牌B. 至多能剪成20块“L”形骨牌C. 一定能剪成21块“L”形骨牌D. 前三个答案都不对二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 已知向量(1,2)=-a ，(2,)m =b ，若 ，则m =. 10．已知函数3()log ()f x x a =+的图象过点(2,1)，那么a =____． 11.o sin 225=_________12．能够说明“设a ,b 是任意非零实数．若1ba>，则b >a ”是假命题的一组整数．．a ,b 的值依次为________．13．函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，φ∈R )的部分图象如图所示，那么(0)f ＝________14. 已知函数()f x 定义域为R ，设()()1,()1() 1.f f x f x F x f x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，，①若22()1x f x x =+，则(1)_______f F =； (13题图)②若()e 1a xf x -=-，且对任意x ∈R ，()()f F x f x =，则实数a 的取值范围为__________ .三、解答题共6小题，共80分。
2019年人大附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析2019.8
(xb)|xc|图象，在他输入一组a，b，c的值之后，得到了如图所示的2019年人大附中新高一分班考试数学试题-真题2019.8一、选择题（本大题共17小题，共34分）1.小雨利用几何画板探究函数y=a函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足()A.a>0，b>0，c=0B.a<0，b>0，c=0C.a>0，b=0，c=0D.a<0，b=0，c>0第1题图第3题图2.大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是103，则m的值是()A.9B.10C.11D.123.如图，AB是半圆O的直径，按以下步骤作图：(1)分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于点P，连接OP与半圆交于点C；(2)分别以A，C为圆心，大于1AC长为半径作弧，两弧交于点Q，连接OQ与半圆交于点D；2(3)连接AD，BD，BC，BD与OC交于点E．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD平分∠ABC；②BC//OD；③CE=OE；④AD2=OD⋅CE；所有正确结论的序号是()A.①②B.①④C.②③D.①②④4.图1的摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟．若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟後，9号车厢才会运行到最高点？()A.10B.20C.15D.245 25.某旅行团到森林游乐区参观，如表为两种参观方式与所需的缆车费用．已知旅行团的每个人皆从这两种方式中选择一种，且去程有15人搭乘缆车，回程有10人搭乘缆车．若他们缆车费用的总花费为4100元，则此旅行团共有多少人？()参观方式去程及回程均搭乘缆车单程搭乘缆车，单程步行缆车费用300元200元A.16B.19C.22D.256.如图，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与方程式y=2的图形交于B、C两点，△ABC为正三角形．若A点坐标为(−3,0)，则此抛物线与y轴的交点坐标为何？()A.(0,9)B.(0,27)C.(0,9)D.(0,19)22第6题图第7题图第8题图7.如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？()A.40°B.45°C.50°D.60°8.如图，菱形ABCD的边长为10，圆O分别与AB、AD相切于E、F两点，且与BG相切于G点．若AO=5，且圆O的半径为3，则BG的长度为()A.4B.5C.6D.7C. D.B. C. D.9.桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升？()A.80B.110C.140D.22010.如图，坐标平面上，二次函数y=−x2+4x−k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k>0.△若ABC△与ABD的面积比为1：4，则k值为何？()A.1B.144235第10题图第11题图11.如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为何？()A.43812325712.图(一)、图(二)分别为甲、乙两班学生参加投篮测验的投进球数直方图．若甲、乙两班学生的投进球数的众数分别为a、b；中位数分别为c、d，则下列关于a、b、c、d的大小关系，何者正确？()A.a>b，c>dB.a>b，c<dC.a<b，c>dD.a<b，c<d16. 如图的矩形 ABCD 中，E 为AB 的中点，有一圆过 C 、D 、E 三点，且此圆分别与AD 、BC 相交于 P 、Q (甲) 作∠DEC 的角平分线 L ，作DE 的中垂线，交 L 于 O 点，则 O 即为所求； (乙) 连接PC 、QD，两线段交于一点 O ，则 O 即为所求13. 如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为 2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？( )A. 1B. 235C. 2 − √3D. 4 − 2√3第 13 题图第 14 题图14. 如图的矩形 ABCD 中，E 点在 CD 上，且AE < AC.若 P 、Q 两点分别在 AD 、AE 上，AP ：PD = 4：1，AQ ：QE = 4：1，直线 PQ 交 AC 于 R 点，且 Q 、R 两点到 CD 的距离分别为 q 、r ，则下列关系何者正确？( )A. q < r ，QE = RCC. q = r ，QE = RCB. q < r ，QE < RCD. q = r ，QE < RC15. 下表为小洁打算在某电信公司购买一支 MA T 手机与搭配一个号码的两种方案．此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下：若通话费超过月租费，只收通话费；若通话费不超过月租费，只收月租费．若小洁每个月的通话费均为 x 元，x 为 400 到 600 之间的整数，则在不考虑其他费用并使用两年的情况下，x 至少为多少才会使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜？()号码的月租费(元)MA T 手机价格(元)甲方案40015000乙方案60013000注意事项：以上方案两年内不可变更月租费A. 500B. 516C. 517D. 600. . .两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心 O ，其作法如下：.. .对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？()A. 两人皆正确C. 甲正确，乙错误B. 两人皆错误D. 甲错误，乙正确O 1317.如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？()A.1B.2C.2√3−2D.4−2√3二、填空题（本大题共3小题，共9分）18.如图，正方形ABCD的边长是3，P，Q分别在AB，BC的延长线上，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与CD，BC交于点F，E，连接AE.下列结论：①AQ⊥DP②OA2=OE⋅OP③S△AOD =S四边形ECF④当BP=1时，tan∠OAE=16其中正确结论的序号是______．19.在等边△ABC中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点(不与端点重合)，对于任意等边△ABC，下面四个结论中：①存在无数个△MNP是等腰三角形；②存在无数个△MNP是等边三角形；③存在无数个△MNP是等腰直角三角形；④存在一个△MNP在所有△MNP中面积最小．所有正确结论的序号是______．20.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，记x=AC，y=BC−AC，在平面直角坐标系xOy中，定义(x,y)为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点(x,y)对应的直角三角形．有下列结论：①在x轴正半轴上的任意点(x,y)对应的直角三角形均满足AB=√2BC；②在函数y=2019(x>0)的图象上存在两点边P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；x③对于函y=(x−2020)2−1(x>0)的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y=−2x+2020(x>0)的图象上存在无数对点P，Q(P与Q不重合)，使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共 9 小题，第 21-26 题每题 6 分，第 27-29 题，每题 7 分，共 57 分）21. 如图，AM △是 ABC 的中线，D 是线段 AM 上一点(不与点 A 重合). DE//AB 交 AC 于点 F ，CE//AM ，连结 AE ．(1)如图 1，当点 D 与 M 重合时，求证：四边形 ABDE 是平行四边形；(2)如图 2，当点 D 不与 M 重合时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由．(3)如图 3，延长 BD 交 AC 于点 H ，若BH ⊥ AC ，且BH = AM ．①求∠CAM 的度数；②当FH = √3，DM = 4时，求 DH 的长．22. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和⊙ M ，给出如下定义：若⊙ M 上存在两个点 A ，B ，使AB =2PM ，则称点 P 为⊙ M 的“美好点”．(1)当⊙ M 半径为 2，点 M 和点 O 重合时．①点P 1(−2,0)，P 2(1,1)，P 3(2,2)中，⊙ O 的“美好点”是______；②若直线y = 2x + b 上存在点 P 为⊙ O 的“美好点”，求 b 的取值范围；(2)点 M 为直线y = 4上一动点，以 2 为半径作⊙ M ，点 P 为直线y = x 上一动点，点 P 为⊙ M 的“美好点”，求点 M 的横坐标 m 的取值范围．23. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过⊙ T 外一点 P 引它的两条切线，切点分别为 M ，N ，若60° ≤∠MPN < 180°，则称 P 为⊙ T 的环绕点．(1)当⊙ O 半径为 1 时，①在P 1(1,0)，P 2(1,1)，P 3(0,2)中，⊙ O 的环绕点是______；②直线y = 2x + b 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，若线段 AB 上存在⊙ O 的环绕点，求 b 的取值范围；(2) ⊙ T 的半径为 1，圆心为(0, t )，以(m, √3 m)(m > 0)为圆心，√3 m 为半径的所有圆构成图形 H ，若33在图形 H 上存在⊙ T 的环绕点，直接写出 t 的取值范围．24. 在平面直角坐标系 xOy 中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点A(p, q)、B(m, n)(m ≤ n)满足关于 x 的多项式x 2 + px + q 能够因式分解为(x + m)(x + n)，则称点 B 是 A 的分解点．例如A(3,2)、B(1,2)满足x 2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)，所以 B 是 A 的分解点．(1)在点A 1(5,6)、A 2(0,3)、A 3(−2,0)中，请找出不存在分解点的点：______；(2)点 P 、Q 在纵轴上(P 在 Q 的上方)，点 R 在横轴上，且点 P 、Q 、R 都存在分解点，若△ PQR 面积为 6，请直接写出满足条件的△ PQR 的个数及每个三角形的顶点坐标；(3)已知点 D 在第一象限内，D 是 C 的分解点，请探究△ OCD 是否可能是等腰三角形？若可能请求出所有满足条件的点 D 的坐标；若不可能，请说明理由．25.已知关于x的一元二次方程1x2+bx+c=04(1)c=2b−1时，求证：方程一定有两个实数根．(2)有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，利用列表法或者树状图，求b、c的值使方程1x2+bx+c=0两个相等的实数根的概率．426.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx−1(k≠0)与函数y=m(x>0)的图象交于点xA(3,2)．(1)求k，m的值；(2)将直线l沿y轴向上平移t(t>0)个单位后，所得直线与x轴，y轴分别交于点P，Q，与函数y=m(x>0)的图象交于点C．x①当t=2时，求线段QC的长．②若2<QC<3，结合函数图象，直接写出t的取值范围．PQ27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2ax+a2−a+4的顶点为A，点B，C为直线y=3上的两个动点(点B在点C的左侧)，且BC=3．(1)求点A的坐标(用含a的代数式表示)；(2)若△ABC是以BC为直角边的等腰直角三角形，求抛物线的解析式；(3)过点A作x轴的垂线，交直线y=3于点D，点D恰好是线段BC三等分点且满足BC=3BD，若抛物线与线段BC只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．28.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点C关于直线AB的对称点为D，连接BD，CD，过点B作BE//AC交直线AD于点E．(1)依题意补全图形；(2)找出一个图中与△CDB相似的三角形，并证明；(3)延长BD交直线AC于点F，过点F作FH//AE交直线BE于点H，请补全图形，猜想BC，CF，BH之间的数量关系并证明．29.新定义：在平面直角坐标系xOy中，若几何图形G与⊙A有公共点，则称几何图形G的叫⊙A的关联图形，特别地，若⊙A的关联图形G为直线，则称该直线为⊙A的关联直线．如图，∠M为⊙A的关联图形，直线l为⊙A的关联直线．(1)已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线y=2x+2；②直线y=−x+3；③双曲线y=2，是⊙O的关联图形的是______(请直接写出正x确的序号)．(2)如图1，⊙T的圆心为T(1,0)，半径为1，直线l：y=−x+b与x轴交于点N，若直线l是⊙T的关联直线，求点N的横坐标的取值范围．(3)如图2，已知点B(0,2)，C(2,0)，D(0,−2)，⊙I经过点C，⊙I的关联直线HB经过点B，与⊙I的一个交点为P；⊙I的关联直线HD经过点D，与⊙I的一个交点为Q；直线HB，HD交于点H，若线段PQ 在直线x=6上且恰为⊙I的直径，请直接写出点H横坐标h的取值范围．由图中可知，当x<m时，y>0，|x−c|>0，所以当x>m时，y<0，|x−c|>0，所以(x−b)>0；(x−b)<0，2019年人大附中新高一分班考试数学试题真题答案和解析1.【答案】B【解析】解：设虚线为x=m(显然，m>0)，aa可得(x−b)在m的左右两侧时，符号是不同的，即b=m>0当x<b时，x−b<0，而y>0，所以a<0显然另外一条分割线为x=0=c；故选：B．从函数整体图象，发现部分图象有类似反比例函数，再从y轴右侧图象，判断图象虚线代表的意义，即可求解．本题考查函数的图象，要求学生根据学过的反比例函数、分式等知识，通过函数图象，大致发现图象的一些特征，此类题目难度较大．2.【答案】B【解析】【分析】本题题是数字规律应用的考查，重点考查分析问题和解决问题以及计算方面的能力，确定每一个“拆分数”中第一个数构成的数列的规律是关键．观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数103的是从3开始的第52个数，然后确定出52所在的范围即可得解．【解答】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m3有m个奇数，∵2n+1=103，n=51，∴奇数103是从3开始的第52个奇数，∵(9−1)(9+2)=44，(10+2)(10−1)=54，22∴第52个奇数是底数为10的数的立方分裂的奇数的其中一个，⏜ ⏜即m = 10．故选：B ．3.【答案】D【解析】解：由作图可知，OP 垂直平分线段 AB ，OQ 平分∠AOC ，故①正确，∴ OP ⊥ AB ，∴ ∠AOC = ∠BOC = 90°，∴ ∠AOD = 1 ∠AOC = 45°，2∵ OB = OC ，∴ ∠OBC = 45°，∴ ∠AOD = ∠OBC = 45°，∴ OD//BC ，故②正确，∴ OD = OE < 1，BCEC∴ OE < EC ，故③错误，连接 CD ．∵ ∠DCE = ∠DCO ，∠CDE = ∠COD = 45°，∴△ DCE∽△ OCD ，∴ CD = CE ，OCCD∴ CD 2 = OD ⋅ CE ，∵ ∠AOD = ∠DOC ，∴ AD = CD ，∴ AD = CD ，∴ AD 2 = OD ⋅ CE ，故④正确，故选：D ．由作图可知，OP 垂直平分线段 AB ，OQ 平分∠AOC ，利用平行线的判定，相似三角形的性质一一判断即可．本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．36×30=20(分钟)．4.【答案】B【解析】解：36219所以经过20分钟後，9号车厢才会运行到最高点．故选：B．先求出从21号旋转到9号旋转的角度占圆大小比例，再根据旋转一圈花费30分钟解答即可．本题主要考查了生活中的旋转现象，理清题意，得出从21号旋转到9号旋转的角度占圆大小比例是解答本题的关键．5.【答案】A【解析】解：设此旅行团有x人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有y人，根据题意得，200x300y=4100(15y)(10y)=x，x=7解得，y=9，则总人数为79=16(人)故选：A．设此旅行团有x人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有y人，根据题意列出二元一次方程，求出其解．本题是二元一次方程组的应用，主要考查了列二元一次方程组解应用题，关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程组．6.【答案】B【解析】解：设B(3m,2)，C(3m,2)，(m>0)∵A点坐标为(3,0)，∴BC=2m，∵△ABC为正三角形，∴AC=2m，∠DAO=60°，∴m=2√3 32∴C(3√3,2)3设抛物线解析式y=a(x+3)2，a(−3+2√3+3)2=2，3∴a=3，2∴y=3(x+3)2，2当x=0时，y=27；2故选：B．设B(−3−m,2)，C(−3+m,2)，(m>0)，可知BC=2m，再由等边三角形的性质可知C(−3+2√3,2)，3设抛物线解析式y=a(x+3)2，将点C代入解析式即可求a，进而求解；本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质；结合函数图象将等边三角形的边长转化为点的坐标是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：在DO延长线上找一点M，如图所示．∵多边形的外角和为360°，∴∠BOM=360°−220°=140°．∵∠BOD+∠BOM=180°，∴∠BOD=180°−∠BOM=180°−140°=40°．故选：A．在DO延长线上找一点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠BOM=140°，再根据邻补角互补即可得出结论．本题考查了多边形的内角与外角以及邻补角，解题的关键是根据多边形的外角和为360°找出∠BOM= 140°．8.【答案】C【解析】解：连接OE，∵⊙O与AB相切于E，∴∠AEO=90°，∵AO=5，OE=3，∴AE=√AO2−OE2=4，∵AB=10，∴BE=6，∵BG与⊙O相切于G，∴BG=BE=6，故选C．连接OE，由⊙O与AB相切于E，得到∠AEO=90°，根据勾股定理得到AE=√AO2−OE2=4，根据切线长定理即可得到结论．本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：设甲杯中原有水a毫升，乙杯中原有水b毫升，丙杯中原有水c毫升，a+c−40=2a{a+b+c+180=3b ①②②−①，得b−a=110，故选B．根据题意可以分别设出甲、乙、丙三个杯子内原有水的体积，然后根据题意可以列出方程组，然后作差即可得到原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升，本题得以解决．本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是明确题目中的等量关系，列出相应的方程组，巧妙变形，得到所求问题的答案．10.【答案】D【解析】解：∵y=−x2+4x−k=−(x−2)2+4−k，∴顶点D(2,4−k)，C(0,−k)，∴OC=k，∵△ABC的面积=1AB⋅OC=1AB⋅k△，ABD的面积=1AB(4−k)△，ABC△与ABD的面积比为1：4，222∴k=1(4−k)，4解得：k=4．5故选：D．求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．BN②，将AE=4代入②，得：31=4BN，将AE的长代入可求得BN．2×a2，11.【答案】D【解析】解：∵四边形DEFG是正方形，∴DE//BC，GF//BN，且DE=GF=EF=1，∴△ADE∽△ACB△，AGF∽△ANB，∴AE=DE①，AEEF=AB BC ABGF由①可得，AE=1，解得：AE=4，4333解得：BN=12，7故选：D．41BN，由DE//BC可得AE=DE求出AE的长，由GF//BN可得AEEF=AB BC ABGF本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出A E的长是解题的关键．12.【答案】A【解析】解：由图(三)、图(四)可知a=8，b=6⇒a>b，甲班共有5152015=55(人)，乙班共有2551510=55(人)，则甲、乙两班的中位数均为第28人，得c=8，d=7⇒c>d．故选A．根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，确定众数；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；依此即可求解．此题考查了众数与中位数的知识．解题的关键是熟记众数与中位数的定义．13.【答案】D【解析】解：设丁的一股长为a，且a<2，∵甲面积乙面积=丙面积丁面积，∴2a2a=1×2221∴4a=21a22，2 = 8±4√3 =4 ± 2√3，根据矩形的性质得到AB//CD ，根据已知条件得到∴ a = 8±√(8)24×1×42 ∵ 4 + 2√3 > 2，不合题意舍，42√3 < 2，合题意，∴ a = 4 2√3．故选 D ．设出丁的一股为 a ，表示出其它，再用面积建立方程即可．此题是一元二次方程的应用题，主要考查了一元二次方程的解，解本题的关键是列出一元二次方程．14.【答案】D【解析】解：∵在矩形 ABCD 中，AB//CD ，∵ AP ：PD = 4：1，AQ ：QE = 4：1，∴ AP = AQ ，PDQE∴ PQ//CD ，∴ AR = AQ = 4，RCQE∵平行线间的距离相等，∴ q = r ，∵ AR = AQ = 4，RCQE∴ QE = CR = 1，AEAR 5∵ AE < AC ，∴ QE < CR ．故选：D ．AP PD= AQ ，根据平行线分线段成比例定理得到PQ//CD ，QEAR RC= AQ = 4，根据平行线间的距离相等，得到q = r ，证得QE = CR = 1，于是得到结论．QE AE AR 5本题考查了平行线分线段成比例定理，矩形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．15.【答案】C【解析】解：∵ x 为 400 到 600 之间的整数，∴若小洁选择甲方案，需以通话费计算，若小洁选择乙方案，需以月租费计算，解：甲，∵ ED = EC ， ∴ L 为CD 之中垂线， ∴ PC 、QD 为此圆直径，∴ PC 与QD 的交点 O 为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．由已知得：24x + 15000 > 27400，解得：x > 516 2，即 x 至少为 517．3故选 C ．由 x 的取值范围，结合题意找出甲、乙两种方案下两年的总花费各是多少，再由乙方案比甲方案便宜得出关于 x 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是结合题意找出关于x 的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式(方程或方程组)是关键．16.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是确定圆的条件，掌握线段垂直平分线的性质、圆周角定理是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质判断甲，根据90°的圆周角所对的弦是直径判断乙．【解答】. .∴△ DEC 为等腰三角形，.∴ O 为两中垂线之交点，即 O △为 CDE 的外心，∴ O 为此圆圆心．乙，∵ ∠ADC = 90°，∠DCB = 90°，. .. .故选 A ．17.【答案】C= 1 3 + √3 = √3 − 11 1 【解析】解：如图，连接 PF ，QF ，PC ，QC ，∵ P 、Q 两点分别为△ ACF △、 CEF 的内心，∴ PF 是∠AFC 的角平分线，FQ 是∠CFE 的角平分线，∴ ∠PFC = 1 ∠AFC = 30°，∠QFC = 1 ∠CFE = 30°，22∴ ∠PFC = ∠QFC = 30°，同理，∠PCF = ∠QCF∴ PQ ⊥ CF ，∴△ PQF 是等边三角形，∴ PQ = 2PG ；△易得 ACF≌△ ECF ，且内角是30°，60°，90°的三角形，∴ AC = 2√3，AF = 2，CF = 2AF = 4，∴ △?? ACF = 2 AF × AC = 2 × 2× 2√3 = 2√3，过点 P 作PM ⊥ AF ，PN ⊥ AC ，PQ 交 CF 于 G ，∵点 P △是 ACF 的内心，∴ PM = PN = PG ，∴ △?? ACF = △?? PAF + △?? PAC + △?? PCF1 1 1= AF × PM + AC × PN + CF × PG2 2 2 1 1 × 2 × PG + × 2√3 × PG + ×4 × PG2 2 2= (1 + √3 + 2)PG= (3 + √3)PG= 2√3，∴ PG =2√3∴ PQ = 2PG = 2(√3 − 1)=2√3−2．故选：C．先判断出PQ⊥CF，再求出AC=2√3，AF=2，CF=2AF=4，利用△ACF的面积的两种算法即可求出PG，然后计算出PQ即可．此题是三角形的内切圆与内心，主要考查了三角形的内心的特点，三角形的全等，解本题的关键是知道三角形的内心的意义．18.【答案】①③④【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∵BP=CQ，∴AP=BQ，在△DAP△与ABQ中，AD=AB∠DAP=∠ABQ，AP=BQ∴△DAP≌△ABQ(SAS)，∴∠P=∠Q，∵∠Q+∠QAB=90°，∴∠P+∠QAB=90°，∴∠AOP=90°，∴AQ⊥DP；故①正确；∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，∴∠DAO=∠P，∴△DAO∽△APO，∴AO=OP，OD OA∴AO2=OD⋅OP，∵AE>AB，∴AE>AD，∴OD≠OE，在△ CQF △与BPE 中∠FCQ = ∠EBP ∠Q = ∠P ，CQ = BP∴△ CQF≌△ BPE(AAS)，∴ CF = BE ，∴ DF = CE ，在△ ADF △与DCE 中，AD = CD∠ADC = ∠DCE ， DF = CE∴△ ADF≌△ DCE(SAS)，∴ △?? ADF − △?? DFO = △?? DCE − △?? DOF ，即△?? AOD = S 四边形OECF ；故③正确；∵ BP = 1，AB = 3，∴ AP = 4，∵△ PBE∽△ PAD ，∴ PB = PA = 4，EBDA 3∴ BE = 3，4∴ QE = 13，4∵△ QOE∽△ PAD ，∴ QO= OE = QE = PA AD PD1345，∴ QO = 13，OE = 39，520∴ AO = 5 − QO = 12，5∴ tan∠OAE = OE=OA39 20 12 5= 13，故④正确，16故答案为①③④．由四边形 ABCD 是正方形，得到AD = BC ，∠DAB = ∠ABC = 90°，根据全等三角形的性质得到∠P =∠Q ，根据余角的性质得到AQ ⊥ DP ；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO 2 = OD ⋅ OP ，由OD ≠OE ，得到OA 2 ≠ OE ⋅ OP ；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF = BE ，DF = CE ，于是得到△?? ADF − △?? DFO = △?? DCE − △?? DOF ，即△?? AOD = S 四边形OECF ；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE =3，求得QE=13，QO=13，OE=39，由三角函数的定义即可得到结论．44520本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．19.【答案】①②③【解析】解：如图1中，满足AM=BN=PC，可证△PMN是等边三角形，这样的三角形有无数个．如图2中，当NM=NP，∠MNP=90°△时，MNP是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个．故①②③正确，△PNM的面积不存在最小值．故答案为①②③．利用图象法，画出图形判定即可解决问题．本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】①③④【解析】解：①∵在x轴正半轴上的任意点(x,y)，∴y=0，∴AC=BC，②设P({x 1,2019)，Q(x , 2019)， x 1x 2+2019x +20192 (x 1−2020)2−1 = 若两个三角形相似，则有 (x 2−2020)2−1，②设P({x 1, 2019)，Q(x, 2019)，则对应的直角三角形的直角边分别为x 1，x 1 + 2019；x x 1x 2 x 1=x 2+2019，可得x 22 = x 12，当x > 0时x 1 = x − 2020)2 − 1)，则对应的直角三角形的直角边分别为x +− 2020)2 − 1，若两个三角形相似，则有(x 2−2020)2−1，(x 1− x 22∴ AB = √2BC ；2则对应的直角三角形的直角边分别为x 1，x 1 +2019 x 1；x2，x2+ 2019，x 2若两个三角形相似，则有x∴ x 2 = x 1 ，∵ x > 0， x 1= x 2x 1 x 2 ，∴ x 1 = x2，∴不存在两点边 P ，Q ，使得它们对应的直角三角形相似；③设P(x 1, (x 1 − 2020)2 − 1)，Q(x− 2020)2 − 1)，, (x22则对应的直角三角形的直角边分别为x 1 + (x 1 − 2020)2 − 1，x 1；x 2 ，x 2+ (x 2− 2020)2 − 1，x 1x 2∴ (x 1 − x2)(x 1x2+ 1 − 20202) = 0，∵ x > 0，∴ x 1x2+ 1 = 20202， ∴图象上的任意一点 P ，都存在该函数图象上的另一点 Q ，使得这两个点对应的直角三角形相似； ④设P(x 1, −2x 1 + 2020)，Q(x2, −2x2+ 2020)，则对应的直角三角形的直角边分别为x 1，−x 1 + 2020；x 2，−x2+ 2020，若两个三角形全等，则有x 1 = −x+ x 1 = 2020，∴ x22+ 2020，x2= −x 1 + 2020，∵ x > 0，∴图象上存在无数对点 P ，Q ，使得它们对应的直角三角形全等；故答案为①③④．①在 x 轴正半轴上的任意点(x, y)，则y = 0，所以AC = BC ，由勾股定理可得AB = √2BC ；2若两个三角形相似，则有xx 1 x 2x 1 x 22 ； 2 ，x 2 + 2019， x 2③设P(x 1, (x 1 − 2020)2 − 1)，Q(x 2 , (x21(x 1 − 2020)2 − 1，x 1；x2，x2+ (x2x 1(x 1−2020)2−1=x 22第23页，共39页+2020)，则对应的直角三角形的直角边分别为x，−x+2④设P(x1,−2x1+2020)，Q(x2,−2x2112020；x2，−x2+2020，若两个三角形全等，则有x1=−x+2020，可得x2+x1=2020．本题考查函数的性质，新定义，三角形性质；能够理解题意，将问题转化为直角三角形相似与全等，利用相似与全等的关系结合直角三角形的性列出正确的等式，再能正确求解方程是解题的关键．21.【答案】(1)证明：如图1中，点D与M重合，∵DE//AB，∴∠EDC=∠ABD，∵CE//AM，∴∠ECD=∠ADB，∵AM△是ABC的中线，且D与M重合，∴BD=DC，∴△ABD≌△EDC(ASA)，∴AB=ED，∵AB//ED，∴四边形ABDE是平行四边形．(2)结论：成立．理由如下：如图2中，过点M作MG//DE交CE于G．∵CE//AM，√3x =∴四边形DMGE是平行四边形，∴ED=GM，且ED//GM，由(1)可知AB=GM，AB//GM，∴AB//DE，AB=DE，∴四边形ABDE是平行四边形．(3)①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，∵BM=MC，∴MI△是BHC的中位线，∴MI//BH，MI=1BH，2∵BH⊥AC，且BH=AM．∴MI=1AM，MI⊥AC，2∴∠CAM=30°．②设DH=x，则AH=√3x，AD=2x，∴AM=4+2x，∴BH=4+2x，∵四边形ABDE是平行四边形，∴DF//AB，∴HF=HD，HA HB∴√3x4+2x，解得x=1+√5或1−√5(舍弃)，∴DH=1+√5．【解析】(1)只要证明AB=ED，AB//ED即可解决问题；(2)成立．如图2中，过点M作MG//DE交CE于G.由四边形DMGE是平行四边形，推出ED=GM，且ED//GM，由(1)可知AB=GM，AB//GM，可知AB//DE，AB=DE，即可推出四边形ABDE是平行四边形；(3)①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，只要证明MI=1AM，MI⊥AC，即可解决问题；2②设DH=x，则AH=√3x，AD=2x，推出AM=4+2x，BH=4+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF//AB，推出HF=HD，可得√3=HA HB√3xx4+2x，解方程即可；本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角的判定、平行线分线成比例定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．22.【答案】P1和P2【解析】解：(1)①如图1中，∵OP1=2=r，OP2=√2<r，OP3=2√2<r，根据⊙M的“美好点”的定义可知，P1，P2是⊙M的“美好点”．故答案为P1和P2．②当直线y=2x+b与⊙O相切时，设切点为T，该直线交x轴于K，交y轴于E．由题意E(0,b)，K(−b,0)，2∴OE=b，OK=b，EK=√5b，22∵sin∠TKO=TO=OE，OK EK，∴2b2=b√5b2∴b=2√5，根据对称性可知：当直线与⊙O在下方相切时，OF=OE=2√5，∴b=−2√5，∴b的取值范围为：−2√5≤b≤2√5．(2)如图2中，当直线y=4与⊙M相切时，切点分别为E或E′，连接ME，M′E′，∵EM=E′M′=2，∴M′(2,2)，m(6,6)，∴满足条件的m的取值范围为2≤m≤6．(1)①根据⊙M的“美好点”即可判断．②求出直线y=2x+b与⊙M相切时，b的值即可解决问题；(2)当直线y=4与⊙M相切时，求出点M的坐标，有两个值，由此即可解决问题；本题属于圆综合题、直线与圆的位置关系、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会在取特殊位置解决问题，属于中考压轴题．23.【答案】P2，P3【解析】解：(1)①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN．当∠MPN = 60°时，∵ PT 平分∠MPN ，∵ ∠TPM = ∠TPN = 30°，∵ TM ⊥ PM ，TN ⊥ PN ，∴ ∠PMT = ∠PNT = 90°，∴ TP = 2TM ，以 T 为圆心，TP 为半径作⊙ T ，观察图象可知：当60° ≤ ∠MPN < 180°时，⊙ T 的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆设的点不包括小圆上的点)．如图 1 中，以 O 为圆心 2 为半径作⊙ O ，观察图象可知，P 2，P 3是⊙ O 的环绕点， 故答案为P 1，P 2．②如图 2 中，设小圆交 y 轴的正半轴与于 E ．当直线y = 2x + b 经过点 E 时，b = 2．当直线y=2x+b与大圆相切于K(在第二象限)时，连接OK，由题意B(0,b)，A(−b,0)，2∴OB=b，OA=b，AB=√OA2+OB2=√(b)2+b2=√5b，222∵OK=2，1⋅AB⋅OK=1⋅OA⋅OB，22∴1⋅√5b×2=1⋅b⋅b，2222解得b=2√5，观察图象可知，当2<b≤2√5时，线段AB上存在⊙O的环绕点，根据对称性可知：当−2√5≤b<−2时，线段AB上存在⊙O的环绕点，综上所述，满足条件的b的值为2<b≤2√5或−2√5≤b<−2．(2)如图3中，不妨设E(m,√3m)，则点E在直线y=√3x时，33∵m>0，∴点E在射线OE上运动，作EM⊥x轴，∵E(m,√3m)，3∴OM=m，EM=√3，3∴以E(m,√3m)(m>0)为圆心，√3m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，33观察图象可知，以E(m,√3m)(m>0)为圆心，√3m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内33部，包括射线OM，ON上．当⊙T的圆心在y轴的正半轴上时，假设以T为圆心，2为半径的圆与射线ON相切于D，连接TD．∵tan∠EOM=EM=√3，OM3∴∠EOM=30°，。
民大附中招生入学考试【数学备考资料】专题四 图形的变换
民大附中招生入学考试【数学备考资料】专题四 图形的变换一、选择题1. （ 4分）如果圆柱的底面半径为4cm ，底面为5cm ，那么它的侧面积等于【 】A. 220cm πB. 240cm πC. 20cm 2D. 40cm 22. （ 4分）如果圆锥的底面半径为3cm ，母线长为4cm ，那么它的侧面积等于【 】（A ）24πcm 2 （B ）12πcm 2 （C ）12cm 2 （D ）6πcm 23. （ 4分）将如图所示的圆心角为90 的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是【 】4. （ 4分）下图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是【 】5. （ 4分）已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如左图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是【 】6. （4分）若下图是某几何体的三视图，则这个几何体是【】A.圆柱B.正方体C.球D.圆锥7. （4分）美术课上，老师要求同学们将下图所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下列四个示意图中，只有一个．．．．符合上述要求，那么这个示意图是【】8. （4分）下图是某个几何体的三视图，该几何体是【】二、填空题1. （4分）如果圆锥母线长为6cm，底面直径为6cm，那么这个圆锥的侧面积是 cm2．2. （4分）一种圆筒状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为20cm×60m，经测量这筒保鲜膜的内径Φ1、外径Φ的长分别为3.2cm，4.0cm，则该种保鲜膜的厚度约为 cm（π取3.14，结果保留两位有效数字）．3. （4分）如图，圆锥的底面半径为2cm，母线长为4cm，那么它的侧面积等于 cm2。
民大附中招生入学考试【数学备考资料】专题十 四边形
民大附中招生入学考试【数学备考资料】专题十四边形一、选择题1. （4分）如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB=6，BC=4，则AE：EF：FB为【】2. （4分）如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，作EF∥BC，交AC于点F．如果EF=4，那么CD的长为【】3. （4分）如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是【】4. （4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是【】A、∠AEF=∠DECB、FA：CD=AE：BCC、F A：AB=FE：ECD、AB=DC5. （4分）若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为【】A. 20B. 16C. 12D. 106.（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的AOCO值为【】二、填空题1. （4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，如果AD=4，BC=8，∠B=60°，那么这个等腰梯形的周长等于。
2.（4分）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为 .三、解答题1. （7分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，延长CB到E，使EB=AD，连接AE．求证：AE=CA．2. （7分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E点，EC=1，sinB=513，求四边形AECD的周长．3. （5分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF。
请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。
（1）连接___________（2）猜想：__________=__________。
民大附中初中试卷数学
一、选择题（每题5分，共25分）1. 已知下列数中，有理数是（）A. $\sqrt{3}$B. $\pi$C. $2.5$D. $\frac{1}{3}$2. 如果一个数的倒数是它本身的相反数，那么这个数是（）A. 0B. 1C. -1D. 23. 下列各组数中，成比例的是（）A. 2, 4, 6, 8B. 1, 3, 5, 7C. 2, 4, 6, 12D. 3, 6, 9, 124. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 矩形B. 正方形C. 等腰三角形D. 圆5. 下列函数中，一次函数的是（）A. $y=2x+3$B. $y=\sqrt{x}$C. $y=\frac{1}{x}$D. $y=x^2$二、填空题（每题5分，共25分）6. 互为相反数的两个数相加，和为______。
7. 已知等腰三角形的底边长为8cm，腰长为6cm，则该三角形的周长为______cm。
8. 一个数是它的倒数的______倍。
9. 若$a^2+b^2=1$，则$(a+b)^2$的值为______。
10. 一个等腰三角形的底角为40°，则顶角为______°。
三、解答题（每题15分，共45分）11. （10分）已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=1$，$x_2=-3$，求该方程的系数$a$、$b$、$c$。
12. （10分）已知三角形ABC中，$AB=6cm$，$AC=8cm$，$BC=10cm$，求三角形ABC的面积。
13. （15分）已知一次函数$y=kx+b$的图像经过点A（1，2）和点B（-2，5），求该一次函数的解析式。
四、附加题（15分）14. （15分）已知正方形ABCD的边长为4cm，点E、F分别在AB、AD上，且AE=2cm，AF=3cm，求四边形AEFC的面积。
答案：一、选择题1. C2. C3. C4. D5. A二、填空题6. 07. 208. 19. 210. 140三、解答题11. （10分）由题意知，$x_1=1$，$x_2=-3$是方程$ax^2+bx+c=0$的解，所以有：$a(1)^2+b(1)+c=0$，即$a+b+c=0$；$a(-3)^2+b(-3)+c=0$，即$9a-3b+c=0$。
2019年自主招生数学模拟试卷含答案解析(已核已印)
2019年高中学校自主招生数学试卷一．选择题（共10小题）1．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（）A．白B．红C．黄D．黑2．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（）A．在A的左边B．介于A、B之间C．介于B、C之间D．在C的右边3．已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．4．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．2或205．对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是（）A．B．C．D．6．如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3 B．C．D．27．半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．直线y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（）A．6条B．7条C．8条D．无数条10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③二．填空题（共8小题）11．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2019个单项式是．12、＝．13．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按照逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按照逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OP n（n为正整数），则点P8的坐标为．14．已知t1、t2是关于t的二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，且，那么y与x间的函数关系式为15．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝．16．如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是．17．直线l：y＝kx+5k+12（k≠0），当k变化时，原点到这条直线的距离的最大值为．18．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为．三．解答题（共6小题）19．先化简分式：（a﹣）÷•，再从﹣3、﹣3、2、﹣2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值．20．已知关于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p、q都是实数．（1）若q＝0时，方程有两个不同的实数根x1x2，且，求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，且，求实数p和q的值．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：AP＝BC．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．23．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0）、B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点点B、C重合），经过点O、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时如图3，求点P的坐标（直接写出结果即可）．24．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx+s﹣1（k，s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2﹣2b+，试求t的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（）A．白B．红C．黄D．黑【分析】先判断出共有6种颜色，再根据与白相邻的颜色有黑、绿、黄、红判断出白的对面是蓝，与绿相邻的有白、黑、蓝、红判断出绿的对面是黄，与红相邻的有绿、蓝、黄、白判断出红的对面是黑，从而得解．【解答】解：由图可知，共有黑、绿、白、红、蓝、黄六种颜色，与白相邻的颜色有黑、绿、黄、红，所以，白的对面是蓝，与绿相邻的有白、黑、蓝、红，所以，绿的对面是黄，与红相邻的有绿、蓝、黄、白，所以，红的对面是黑，综上所述，涂成绿色一面的对面的颜色是黄．故选：C．2．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（）A．在A的左边B．介于A、B之间C．介于B、C之间D．在C的右边【分析】由A、B、C三点表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出b＝a+3，c＝b+5，再根据原点O与A、B的距离分别为4、1，即可得出a＝±4、b＝±1，结合a、b、c间的关系即可求出a、b、c的值，由此即可得出结论．【解答】解：∵|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，∴b＝a+3，c＝b+5，∵原点O与A、B的距离分别为4、1，∴a＝±4，b＝±1，∵b＝a+3，∴a＝﹣4，b＝﹣1，∵c＝b+5，∴c＝4．∴点O介于B、C点之间．故选：C．3．已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：因为关于x的不等式组有解，可得：，所以得出a＞5，因为a取≤9的整数，可得a的可能值为6，7，8，9，共4种可能性，所以使关于x的不等式组有解的概率为，故选：C．4．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．2或20【分析】由于实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a，b 可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，根据根与系数的关系得a+b＝8，ab＝5，然后把通分后变形得到，再利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，∴a，b可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8，ab＝5，＝＝＝＝﹣20．故选：A．5．对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是（）A．B．C．D．【分析】y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），可求抛物线与x轴的两个交点坐标，所以|A n B n|＝﹣，代入即可求解；【解答】解：y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），∴A n（，0），B n（，0），∴|A n B n|＝﹣，∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|＝+++…+＝1﹣＝，故选：C．6．如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3 B．C．D．2【分析】根据平行线间的距离处处相等得到：△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，所以由三角形的面积公式和图形间的面积的数量关系进行证明即可．【解答】证明：∵AD∥BE，AD∥FC，FC∥BE，∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，∴S△ADF＝S△ADC，S△BEF＝S△BEC，S△AEF＝S△BEF﹣S△ABE＝S△BEC﹣S△ABE＝S△ABC∴S△DEF＝S△ADE+S△ADF+S△AEF＝S△ABD+S△ADC+S△ABC＝2S△ABC．即S△DEF＝2S△ABC．∵S△ABC＝1，∴S△DEF＝2，故选：D．7．半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由勾股定理可求BC，AC的值，通过证明△ACB∽△PCQ，可得，可得CQ＝，当PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝．【解答】解：∵AB是直径，∴AB＝5，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，且BC：CA＝4：3，∴BC＝4，AC＝3，∵∠A＝∠P，∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴△ACB∽△PCQ，∴，∴CQ＝，∴当PC最大时，CQ有最大值，∴PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝，故选：B．8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x＝＜1，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，当x＝1时，a+b+c＝2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c＝2，则2a+2b+2c＝4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选：D．9．直线y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（）A．6条B．7条C．8条D．无数条【分析】联立直线y＝px与直线y＝x+10，求出p的取值范围即可求得结果．【解答】解：联立直线y＝px与直线y＝x+10，，得px＝x+10，x＝，∵x为整数，p也为整数．∴P的取值范围为：﹣9≤P≤11，且P≠1，P≠0．而.10＝2×5＝1×10，0＜P≤11，有四条直线，P≠0，﹣9≤P＜0，只有三条直线，那么满足条件的直线有7条．10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③【分析】①易证△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；②证明∠BGE＝60°＝∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC＝∠DGC＝60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S＝S四边形CMGN，易求后者的面积．四边形BCDG③过点F作FP∥AE于P点．根据题意有FP：AE＝DF：DA＝1：3，则FP：BE＝1：6＝FG：BG，即BG＝6GF．【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB＝AD．∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形．∴∠A＝∠BDF＝60°．又∵AE＝DF，AD＝BD，∴△AED≌△DFB；②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°＝∠BCD，即∠BGD+∠BCD＝180°，∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC＝∠BDC＝60°，∠DGC＝∠DBC＝60°．∴∠BGC＝∠DGC＝60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．∴CM＝CN，∵，∴△CBM≌△CDN，（HL）∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN．S＝2S△CMG，四边形CMGN∵∠CGM＝60°，∴GM＝CG，CM＝CG，∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2××CG×CG＝CG2．③过点F作FP∥AE于P点．∵AF＝2FD，∴FP：AE＝DF：DA＝1：3，∵AE＝DF，AB＝AD，∴BE＝2AE，∴FP：BE＝1：6＝FG：BG，即BG＝6GF．故选：D．二．填空题（共8小题）11．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2019个单项式是4037x2019．【分析】根据题目中的式子可以系数为连续的奇数，未知数x的次数从1次、2次依次递增，从而可以得到第2019个单项式，本题得以解决．【解答】解：∵x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…∴第n个式子是（2n﹣1）x n，当n＝2019时，对应的式子为4037x2019，故答案为：4037x2019．12．＝612.5 ．【分析】仔细观察，知原式还可以是．又+＝1，（+）+（+）＝2，+＝3，…依此类推可知，将原式倒过来后再与原式相加，问题就转化为．【解答】解：设s＝，①又s＝，②①+②，得2s＝1+2+3+4+…+49，③2s＝49+48+47+…+2+1，④③+④，得4s＝50×49＝2450，故s＝612.5；故答案为：612.5．13．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按照逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按照逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OP n（n为正整数），则点P8的坐标为（256，0）．【分析】先根据伸长的变化规律求出OP8的长度，再根据每8次变化为一个循环组，然后确定出所在的位置，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍解答即可．【解答】解：由题意可得，OP0＝1，OP1＝2×1＝2，OP＝2×2＝22，2OP＝2×22＝23，3OP＝2×23＝24，4…OP＝2×27＝28＝256，8∵每一次都旋转45°，360°÷45°＝8，∴每8次变化为一个循环组，∴P8在x4的正半轴上，P8（256，0），故答案为（256，0）．14．已知t1、t2是关于t的二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，且，那么y与x间的函数关系式为y＝（x＞0）【分析】由于t1、t2是二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，利用根与系数的关系可以得到t1+t2＝2，又x＝10t1，y＝10t2，利用同底数幂的乘法法则计算即可解决问题．【解答】解：∵t1、t2是二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，∴t1+t2＝2，而x＝10t1，y＝10t2，∴xy＝10t1×10t2＝10t1+t2＝102＝100，∴y＝（x＞0）．故答案为：y＝（x＞0）．15．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝1+．【分析】连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，Rt△ABO中，易知∠BAO ＝∠OCB＝60°，已知了OA＝，即可求得OB的长；过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC＝OD+CD求出OC的长．【解答】解：连接AB，则AB为⊙M的直径．Rt△ABO中，∠BAO＝∠OCB＝60°，∴OB＝OA＝×＝．过B作BD⊥OC于D．Rt△OBD中，∠COB＝45°，则OD＝BD＝OB＝．Rt△BCD中，∠OCB＝60°，则CD＝BD＝1．∴OC＝CD+OD＝1+．故答案为：1+．16．如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是16+12．【分析】此题首先能够把问题转化到三角形中进行分析．根据锐角三角函数的概念可以证明三角形的面积等于相邻两边的乘积乘以夹角的正弦值，根据这一公式分析面积的最大值的情况．然后运用勾股定理以及直角三角形的斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边求得长方形的长和宽，进一步求得其周长．【解答】解：连接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N．根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现：矩形的面积是三角形AOD的面积的4倍．因为OA，OD的长是定值，则∠AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，即∠AOD＝90°，则AD＝6，根据三角形的面积公式求得OM＝4，即AB＝8．则矩形ABCD的周长是16+12．17．直线l：y＝kx+5k+12（k≠0），当k变化时，原点到这条直线的距离的最大值为13 ．【分析】通过化简解析式能确定直线经过定点（﹣5，12），原点与定点的距离是原点到直线的最大距离；【解答】解：y＝kx+5k+12＝k（x+5）+12，∴直线经过定点（﹣5，12），∴原点与定点的距离是原点到直线的最大距离13；故答案为13；18．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为 6 ．【分析】先列出方程10x+9y+6z＝108，再根据x，y，z是正整数，进行计算即可得出结论．【解答】解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数，则10x+9y+6z＝108，∴x＝＝，∵0＜x＜10，且为整数，∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝10或z＝（舍）或z＝7或z＝（舍）或z＝4或z ＝（舍）或z＝1，当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3当z＝1时，y＝8，x＝3，当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝5或z＝（舍）或z＝2或z＝（舍）当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，∴z＝（舍）即：满足条件的不同的装法有6种，故答案为6．三．解答题（共6小题）19．先化简分式：（a﹣）÷•，再从﹣3、﹣3、2、﹣2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值．【分析】将括号里通分，除法化为乘法，约分，代值时，a的取值不能使原式的分母、除式为0．【解答】解：原式＝••＝a+3，当a＝﹣3时，原式＝﹣3+3＝．20．已知关于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p、q都是实数．（1）若q＝0时，方程有两个不同的实数根x1x2，且，求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，且，求实数p和q的值．【分析】（1）根据根与系数的关系可得△＝（2p）2﹣4（﹣3p2+5）＝16p2﹣20＞0，x1+x2＝﹣2p，，代入可得关于p的方程，解方程即可；（2）由方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，可得x3＝﹣p，x1、x2是方程x2+2px ﹣3p2+5＝q的两根；由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2p，，x3＝﹣p．△＝（2p）2﹣4（﹣7p2+10）＝32p2﹣40＞0，进而得到关于p的方程，解出p即可求出q的值．【解答】解：（1）若q＝0，则方程为x2+2px﹣3p2+5＝0．因该方程有两个不同的实数x1、x2，可得△＝（2p）2﹣4（﹣3p2+5）＝16p2﹣20＞0，x1+x2＝﹣2p，解得p2＞；由，得，解得p＝5或．（注意5﹣3p2≠0）因为p2＞，所以p＝5．（2）显然q＞0．方程可写成x2+2px﹣3p2+5＝±q．因该方程有三个不同的实数根，即函数与y2＝±q的图象有三个不同的交点，∴可得：，即q＝4p2﹣5．x1、x2是方程x2+2px﹣3p2+5＝q的两根，即x2+2px﹣7p2+10＝0．则x1+x2＝﹣2p，，x3＝﹣p．△＝（2p）2﹣4（﹣7p2+10）＝32p2﹣40＞0，解得p2＞．由，得，解得p2＝2＞，所以，q＝4p2﹣5＝3．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：AP＝BC．【分析】作辅助线，构建全等三角形和平行四边形，先证明四边形ACFD是平行四边形，得DF＝AC＝BD，DF∥AC，再证明△BDF是等边三角形，证明△ABC ≌△BAF（SAS），可得结论．【解答】证明：延长AP至点F，使得PF＝AP，连结BF，DF，CF，∵P是CD中点，∴CP＝DP，∴四边形ACFD是平行四边形，∴DF＝AC＝BD，DF∥AC，∴∠FDB＝∠BAC＝60°，∴△BDF是等边三角形，∴BF＝DF＝AC，∠ABF＝60°，∴∠ABF＝∠BAC，在△ABC和△BAF中，∵，∴△ABC≌△BAF（SAS），∴AF＝BC，∴AP＝AF＝BC．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）由DC2＝CE•CA和∠ACD＝∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD＝∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD＝∠CBD，所以∠CDB＝∠CBD，于是利用等腰三角形的判定可得BC＝DC；（2）连结OC，如图，设⊙O的半径为r，先证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到＝2，则PC＝2CD＝4，然后证明△PCB∽△PAD，利用相似比得到，再利用比例的性质可计算出r的值．【解答】（1）证明：∵DC2＝CE•CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；（2）解：连结OC，如图，设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴＝，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△PAD，∴，即，∴r＝4，即⊙O的半径为4．23．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0）、B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点点B、C重合），经过点O、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时如图3，求点P的坐标（直接写出结果即可）．【分析】（1）根据题意得，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；（2）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P ≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；（3）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m和t的关系，即可求得t的值，得出P点坐标．【解答】解：（1）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t．∵OP2＝OB2+BP2，即（2t）2＝62+t2，解得：t1＝2，t2＝﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（2，6）；（2）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC＝180°，∴∠OPB+∠QPC＝90°，∵∠BOP+∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ，又∵∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴＝，由题意设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11﹣t，CQ＝6﹣m．∴＝，∴m＝t2﹣t+6（0＜t＜11）；（3）过点P作PE⊥OA于E，如图3，∴∠PEA＝∠QAC′＝90°，∴∠PC′E+∠EPC′＝90°，∵∠PC′E+∠QC′A＝90°，∴∠EPC′＝∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴＝，在△PC′E和△OC′B′中，，∴△PC′E≌△OC′B′（AAS），∴PC'＝OC'＝PC，∴BP＝AC'，∵AC′＝PB＝t，PE＝OB＝6，AQ＝m，EC′＝11﹣2t，∴＝，∵m＝t2﹣t+6，∴3t2﹣22t+36＝0，解得：t1＝，t2＝故点P的坐标为（，6）或（，6）．24．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx+s﹣1（k，s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2﹣b+，试求t的取值范围．【分析】（1）根据“梦之点”的定义得出m的值，代入反比例函数的解析式求出n的值即可；（2）根据梦之点的横坐标与纵坐标相同，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，则x2，x2为此方程的两个不等实根，由|x1﹣x2|＝2得到﹣2＜x1＜0时，根据0≤x1＜2得到﹣2≤x2＜4；由于抛物线y＝ax2+（b﹣1）x+1的对称轴为x＝，于是得到﹣3＜＜3，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，∴m＝2，∴P（2，2），∴n＝2×2＝4，∴这个反比例函数的解析式为y＝；（2）由y＝3kx+s﹣1得当y＝x时，（1﹣3k）x＝s﹣1，当k＝且s＝1时，x有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个；当k＝且s≠1时，方程无解，此时的“梦之点”不存在；当k≠，方程的解为x＝，此时的“梦之点”存在，坐标为（，）；（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，则x2，x2为此方程的两个不等实根，由|x1﹣x2|＝2，又﹣2＜x1＜2得：﹣2＜x1＜0时，﹣4＜x2＜2；0≤x1＜2时，﹣2≤x2＜4；∵抛物线y＝ax2+（b﹣1）x+1的对称轴为x＝，故﹣3＜＜3，由|x1﹣x2|＝2，得：（b﹣1）2＝4a2+4a，故a＞；t＝b2﹣b+＝（b﹣1）2+，y＝4a2+4a+＝4（a+）2+，当a＞﹣时，t随a的增大而增大，当a ＝时，t＝，∴a＞时，t＞．。
附中数学试题及答案
附中数学试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 圆的周长公式是：A. C = πdB. C = 2πrC. C = πr²D. C = 4πr3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x²B. f(x) = x³C. f(x) = x^4D. f(x) = x4. 以下哪个选项表示的是等比数列？A. 1, 2, 4, 8B. 1, 3, 5, 7C. 2, 4, 6, 8D. 1, 1/2, 1/3, 1/45. 以下哪个选项是二次方程的解？A. x = 2B. x = 0C. x = -1D. x = 1/2答案：1. B2. B3. B4. A5. A二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个直角三角形的两个直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是________。
7. 函数f(x) = 2x - 3的零点是________。
8. 等差数列1, 4, 7, ...的第10项是________。
9. 抛物线y = ax² + bx + c的顶点坐标是(1, -4)，那么a的值是________。
10. 已知集合 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B = ________。
答案：6. 57. 3/28. 279. -410. {2, 3}三、解答题（每题5分，共20分）11. 解方程：3x - 7 = 8。
12. 证明：如果一个角是直角，那么它的余弦值是0。
13. 计算：(3x² - 2x + 1) / (x - 1) 当x = 2时的值。
14. 画出函数y = sin(x)在区间[0, 2π]的图像，并标出所有极值点。
答案：11. x = 512. 证明略13. 514. 图像略，极值点为(π/2, 1), (3π/2, -1)结束语：希望这份试题能帮助同学们更好地复习和掌握数学知识。
云南民族大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学试题(理)
云南民族大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学试题（理）第Ⅰ卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．设集合U ＝{x |x <5，x ∈N *}，M ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，则∁U M ＝( ) A ．{1，4}B ．{1，5}C ．{2，3}D ．{3，4}2．复数2＋i1－2i的共轭复数是( )A ．－35iB ．35i C ．－i D ．i3．在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A ．－2 B ．－ 2 C ．±2 D ． 24．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A ． 5B ．4 2C ．3D ．55．阅读如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．0B ．1＋ 2C ．1＋22D ．2－1 6．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34B ．34C ．－43D ．437．若，则下列结论正确的是( ) A ． B ． C ． D ．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．14＋2 2B ．14＋2 3C ．18D ．209．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( ) A ．22 B ．23 C ．36 D ．2610．点在椭圆上，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，1260F PF ∠=︒，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是( ) A ．B ． C. D ． 11．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|，|AB →|＝|AC →|＝3，则CB →·CA →的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－92D ．9212．已知函数，，如果对于任意的m ，1[2]2n ∈，，都有()()f m g n ≥成立，则实数的取值范围为( )A ．[1)-+∞，B ．(1)-+∞，C ．1[)2-+∞， D ．1()2-+∞，第Ⅱ卷(01)x ∈，122lg xx x >>122lg xx x >>122lg xx x >>12lg 2xx x >>P 22221(0)x y a b a b+=>>12F PF ∆2||PF 1||PF 12||F F 45342312()2ln f x ax x x =+32()21g x x x =--a二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝ ．14．P 为曲线y ＝ln x 上的一动点，Q 为直线y ＝x ＋1上的一动点，则|PQ |的最小值是 ． 15．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为 ．16．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，当n 为正奇数时，－n 2，当n 为正偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于 ．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2A ＋sin A sin B －6sin 2B ＝0． (1)求ab的值；(2)若cos C ＝34，求sin B 的值．18．（本题满分12分）某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算样本的平均值μ＝85，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值．已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于μ－3σ或车速大于μ＋2σ是需矫正速度． (1)从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆需矫正速度的概率； (2)从样本中任取2辆车，求这2辆车均需矫正速度的概率；(3)从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中需矫正速度的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（本题满分12分）如图，四边形为菱形，，平面，为中点．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值．20．（本题满分12分）已知F 1，F 2为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (1，32)在椭圆E 上，且|PF 1|＋|PF 2|＝4．ABCD60=∠ABC ⊥PA ABCD E PCABCDEPBED ⊥ABCD PBA EBD(1)求椭圆E的方程；(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得1|AC|，λ，1|BD|成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．21．（本题满分12分）已知函数f(x)＝sin x－x cos x(x≥0)．(1)求函数f(x)在区间[0，2π]上的最大值；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，不等式f(x)<ax3恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2． (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数f (x )＝|3x ＋2|． (1)解不等式|x －1|＜f (x )；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n ＞0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a ＞0)恒成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】17．解：(1)因为sin 2A ＋sin A sin B －6sin 2B ＝0，sin B ≠0， 所以⎝⎛⎭⎫sin A sin B 2＋sin A sin B －6＝0，得sin A sin B ＝2或sin A sin B ＝－3(舍去)． 由正弦定理得a b ＝sin A sin B＝2.(2)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝34.①将ab ＝2，即a ＝2b 代入①，得5b 2－c 2＝3b 2， 得c ＝2b .由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得cos B ＝b2＋2b 2－b 22×2b ×2b＝528，则sin B ＝1－cos 2B ＝148. 18．解：(1)记事件A 为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆需矫正速度”． 因为μ－3σ＝78.4，μ＋2σ＝89.4，由样本条形图可知，所求的概率为P (A )＝P (X <μ－3σ)＋P (X >μ＋2σ)＝P (X <78.4)＋P (X >89.4)＝1100＋4100＝120. (2)记事件B 为“从样本中任取2辆车，这2辆车均需矫正速度”． 由题设可知样本容量为100，又需矫正速度的个数为5辆车， 故所求概率为P (B )＝C 25C 2100＝1495.(3)需矫正速度的个数ξ服从二项分布，即ξ～B ⎝⎛⎭⎫2，120， ∴P (ξ＝0)＝C 02⎝⎛⎭⎫1200⎝⎛⎭⎫19202＝361400，P (ξ＝1)＝C 12⎝⎛⎭⎫1201⎝⎛⎭⎫19201＝19200，P (ξ＝2)＝C 22⎝⎛⎭⎫1202⎝⎛⎭⎫19200＝1400， 因此ξ的分布列为∴数学期望E (ξ)＝2×120＝110.19．(1)证明：如图，连接AC 交BD 于O 点，连接EO，∵四边形ABCD 是菱形，， ∵E 为PC 中点，，平面ABCD ，平面ABCD ， 平面BED ，∴平面平面ABCD ．………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：∵四边形ABCD 是菱形，， 平面ABCD ， ，，如图4，建立空间直角坐标系， …………………………………………（8分）AO CO =∴EO PA ∴∥PA ⊥∵EO ⊥∴EO ⊂∵BED ⊥AC BD ⊥∴EO ⊥∵EO AC ⊥∴EO BD ⊥O xyz -∵y 轴⊥平面BED ，∴平面BED 的法向量为． 设F 为AB 中点，连接CF ，菱形ABCD 的边长为， 则，平面P AB ，∴平面P AB的法向量为302CF a ⎫=-⎪⎪⎝⎭uu u r ，，，cos ||||u CF u CF θ==uu ur r g uu u r r g ∴，∴平面PBA 与平面EBD． ……………（12分） 20．解 (1)∵|PF 1|＋|PF 2|＝4， ∴2a ＝4，a ＝2. ∴椭圆E ：x 24＋y 2b 2＝1.将P (1，32)代入可得b 2＝3，∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当AC 的斜率为零或斜率不存在时，1|AC |＋1|BD |＝13＋14＝712；②当AC 的斜率k 存在且k ≠0时，AC 的方程为y ＝k (x ＋1)， 代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，并化简得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2.|AC |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝12(1＋k 2)3＋4k 2.∵直线BD 的斜率为－1k ，∴|BD |＝12[1＋(－1k )2]3＋4(－1k )2＝12(1＋k 2)3k 2＋4.∴1|AC |＋1|BD |＝3＋4k 212(1＋k 2)＋3k 2＋412(1＋k 2)＝712. (010)u =，，2a CF AB ⊥CF ⊥∴综上，2λ＝1|AC |＋1|BD |＝712， ∴λ＝724.故存在常数λ＝724，使得1|AC |，λ，1|BD |成等差数列．21．解：(1)∵f ′(x )＝x sin x ，∴0<x <π时，f ′(x )>0，π<x <2π时f ′(x )<0∴f (x )在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数 ∴f (x )max ＝f (π)＝π(2)f (x )<ax 3⇒sin x －xcos x －ax 3<0. 令g(x )＝sin x －x cos x －ax 3，则g ′(x )＝x sin x －3ax 2＝x (sin x －3ax )， 又令h (x )＝sin x －3ax ， 则h ′(x )＝cos x －3a .①当3a ≤－1，即a ≤－13时，h ′(x)≥0恒成立，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )>h (0)＝0，∴g ′(x )>0， ∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴g (x )>g (0)＝0(不合题意)． ②当3a ≥1，即a ≥13时， h ′(x )≤0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴h (x )<h (0)＝0，∴g′(x)<0， ∴g (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴g (x )<g (0)＝0(符合题意)．③当－1<3a <1，即－13<a <13时，由h ′(0)＝1－3a >0，h ′(π)＝－1－3a <0，∴在(0，π)上，∃x 0使h ′(x 0)＝0，且x ∈(0，x 0)时，h ′(x )>0⇒g ′(x )>0，∴g (x )在(0，x 0)上单调递增， ∴存在g (x )>g (0)＝0(不符合题意)， 综上，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫13，＋∞.高三上学期期中考试数学试题22．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π). 4分 (2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以C (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线CD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3. 8分故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3， 即⎝⎛⎭⎫32，32. 10分 23．解：(1)依题设，得|x －1|＜|3x ＋2|，所以(x －1)2＜(3x ＋2)2，则x ＞－14或x ＜－32， 故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＞－14或x ＜－32.4分 (2)因为m ＋n ＝1(m ＞0，n ＞0)，所以1m ＋1n ＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝2＋m n ＋n m ≥4， 当且仅当m ＝n ＝12时，等号成立． 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2＋a ，x ＜－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x ＞a ， 8分则x ＝－23时，g (x )取得最大值23＋a ， 要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4. 解得a ≤103. 又a ＞0，因此0＜a ≤103. 10分。
云南民族大学附属中学2019-2020学年中考数学模拟学业水平测试试题
云南民族大学附属中学2019-2020学年中考数学模拟学业水平测试试题一、选择题1．下列命题错误的是（ ）A ．平分弦的直径垂直于弦B ．三角形一定有外接圆和内切圆C ．等弧对等弦D ．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心2．如图，在菱形ABCD 中，∠BAC=60°，AC 与BC 交于点O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD=DE ，连接BE 分别交AC 、AD 于点F 、G ，连接OG ，则下列结论中一定成立的是（ ）．①OG=AB ；②与△EGD 全等的三角形共有5个；③S 四边形ODGF ＞S △ABF ；④由点A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形．A.①③④B.①④C.①②③D.②③④3．下列说法正确的是（ ）A ．367人中至少有2人生日相同B ．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨C ．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数的概率是13 D ．某种彩票中奖的概率是11000，则买1000张彩票一定有1张中奖 4．下列方程中，一定有实数解的是（ ）A.490x +=B.2230x x --=C.2311x x x +=-- 10=5．据统计，截止2019年2月，长春市实际居住人口约4210000人，4210000这个数用科学记数法表示为( )A.542.110⨯B.54.2110⨯C.64.2110⨯D.74.2110⨯6．如图，矩形OABC 的边AB 与x 轴交于点D ，与反比例函数y=k x （k ＞0）在第一象限的图象交于点E ，∠AOD=30°，点E 的纵坐标为1，△ODE ，则k 的值是（ ）ABC． D ．37．如果数m 使关于x 的不等式组12260x x m ＜⎧⎪⎨⎪-≥⎩有且只有四个整数解，且关于x 的分式方程311x m x x-=--有整数解，那么符合条件的所有整数m 的和是（ ） A ．8B ．9C ．﹣8D ．﹣9 8．如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，过AC 上一点作DE ⊥AC ，EF ⊥BC ，若∠BDE ＝140°，则∠DEF ＝（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°9．已知x a ＝2，x b ＝﹣3，则x 3a ﹣2b ＝（ ）A ．23B ．89C ．-23D ．89- 10．若两个连续整数x ，y 满足x1＜y ，则这两个整数是（ ）A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．4和511．如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则cos ∠OBD ＝()A ．12B ．34C ．45D ．3512．如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝135°，DH ⊥AB 于H ，交对角线AC 于E ，过E 作EF ⊥AD 于F ．若△DEF 的周长为2，则菱形ABCD 的面积为（ ）C.2D.2二、填空题 13．如图，点A ，C 在反比例函数()2y x 0x =-<的图象上，点B ，D 在反比例函数()k y k 0x=<的图象上，AB ∥CD ∥X 轴，已知AB ＝2CD ，△OAB 与△ACD 的面积之和为3，则k 的值为__________.14．把多项式34x x -分解因式的结果是______.15．如果分式12x -有意义，那么实数x 的取值范围是______． 16．一组数据3，4，x ，5，8的平均数是6，则该组数据的中位数是__________． 17．计算：|﹣3|+（﹣2）3+10＝_____．18．如图，点,,A B C 都在圆O 上，OC OB ⊥，点A 在劣弧上，且OA AB =，则ABC ∠=________度.三、解答题19．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F ．（1）求证：△AEC ≌△ADB ；（2）若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．20．如图1，点A 在x 轴上，OA ＝4，将OA 绕点O 逆时针旋转120°至OB 的位置．（1）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的函数解析式；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点P 使得以P 、O 、B 三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）如图2，OC ＝4，⊙A 的半径为2，点M 是⊙A 上的一个动点，求MC+12OM 的最小值．21．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个．因受库存影响，每批次进货个数不得超过180个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价多少元？22．如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，延长CA到O，使AO＝AC，以O为圆心，OA 长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．23．我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．（1）求A、B两种型号电动自行车的进货单价；（2）若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进A 型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．写出y与m之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？24．如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，求证：BE＝DC．25．如图，已知点A、B分别在反比例函数1yx=-（x＞0），kyx=（k＜0，x＞0）的图象上．点B的横坐标为4，且点B在直线y＝x﹣5上．（1）求k 的值；（2）若OA ⊥OB ，求tan ∠ABO 的值．【参考答案】***一、选择题13．-614．(2)(2)x x x +-15．x≠216．517．﹣4．18．15︒三、解答题19．（1）见解析；（2）BF ＝2．【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC 与三角形ADE 全等，以及AB ＝AC ，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS 得到三角形AEC 与三角形ADB 全等即可；（2）根据∠BAC ＝45°，四边形ADFC 是菱形，得到∠DBA ＝∠BAC ＝45°，再由AB ＝AD ，得到三角形ABD 为等腰直角三角形，求出BD 的长，由BD ﹣DF 求出BF 的长即可．【详解】解：（1）由旋转的性质得：△ABC ≌△ADE ，且AB ＝AC ，∴AE ＝AD ，AC ＝AB ，∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC+∠BAE ＝∠DAE+∠BAE ，即∠CAE ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中， AE AD CAE DAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEC ≌△ADB （SAS ）；（2）∵四边形ADFC 是菱形，且∠BAC ＝45°，∴∠DBA ＝∠BAC ＝45°，由（1）得：AB ＝AD ，∴∠DBA ＝∠BDA ＝45°，∴△ABD 为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD 2＝2AB 2，即BD ＝，∴AD ＝DF ＝FC ＝AC ＝AB ＝2，∴BF ＝BD ﹣DF ＝﹣2．【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．20．（1）y ＝6x 2﹣3x ；（2）存在△POB 为等腰三角形，符合条件的点P 只有一个，坐标为（2，3）MC+12OM 的最小值为CK ＝5． 【解析】【分析】 （1）设出抛物线解析式，利用待定系数法求出拋物线解析式即可(2)设点P 的坐标为(2，y)，分三种情况讨论，①OB=OP ，②2OB=PB ，③OP=PB ，分别求出y 的值，即可得出点P 的坐（3）在OA 上取点K ，使AK ＝1，连接CK 交圆与点M ，连接OM 、CM ，利用△AKM ∽△AMO ，求出MC+12OM ＝MC+KM ＝CK ，即可解答 【详解】（1）如图1，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，∴∠BDO ＝90°，∵OA 绕点O 逆时针旋转120°至OB ，∴OB ＝OA ＝4，∠AOB ＝120°，B 在第二象限，∴∠BOD ＝60°，∴sin ∠BOD ＝BD OB =，cos ∠BOD ＝102OD B = ，∴BD ＝，OD ＝12 OB ＝2，∴B （﹣2，），设过点A （4，0），B （﹣2，O （0，0）的抛物线解析式为y ＝ax 2+bx+c ，∴1640420a b ca b cc++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得：abc⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为y＝6x2﹣3x；（2）存在△POB为等腰三角形，∵抛物线与x轴交点为A（4，0），O（0，0），∴对称轴为直线x＝2，设点P坐标为（2，p），则OP2＝22+p2＝4+p2，BP2＝（2+2）2+（p﹣）2＝p2﹣，①若OP＝OB＝4，则4+p2＝42解得：p1＝p2＝﹣当p＝﹣POA＝60°，即点P、O、B在同一直线上，∴p≠﹣∴P（2，），②若BP＝OB＝4，则p2﹣＝42解得：p1＝p2＝，∴P（2，）；③若OP＝BP，则4+p2＝p2﹣，解得：p＝，∴P（2，）；综上所述，符合条件的点P只有一个，坐标为（2，（3）在OA上取点K，使AK＝1，连接CK交圆与点M，连接OM、CM，此时，MC+12OM＝MC+KM＝CK为最小值，理由：∵AK＝1，MA＝2，OA＝4，∴AM2＝AK•OA，而∠MAO＝∠OAM，∴△AKM∽△AMO，∴KMOM＝12，即：MC+12OM＝MC+KM＝CK，CK＝5，即：MC+12OM的最小值为CK＝5．【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，勾股定理和三角形相似，综合性较大21．商店若准备获利2000元，则应进货100个，定价60元．【解析】【分析】利用销售利润2000＝售价﹣进价，进而求出即可．【详解】设每个小家电的增加是x元，由题意，得（52+x﹣40）（180﹣10x）＝2000，解得x1＝8，x2＝﹣2∵180﹣10x≤180，∴x≥0，∴x＝8，则180﹣10x＝100（个），52+8＝60（元），答：商店若准备获利2000元，则应进货100个，定价60元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．22．（1）见解析；（2）S阴影＝23π．【解析】【分析】（1）连接OD，求出∠OAD＝60°，得出等边三角形OAD，求出AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠O＝60°，求出∠ADC＝∠ACD＝12∠OAD＝30°，求出∠ODC＝90°，根据切线的判定得出即可；（2）求出OD，根据勾股定理求出CD长，分别求出三角形ODC和扇形AOD的面积，相减即可．【详解】（1）证明：连接OD，∵∠BCA＝90°，∠B＝30°，∴∠OAD＝∠BAC＝60°，∵OD＝OA，∴△OAD是等边三角形，∴AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠O＝60°，∴∠ADC＝∠ACD＝12∠OAD＝30°，∴∠ODC＝60°+30°＝90°，即OD⊥DC，∵OD为半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝4，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴OD＝OA＝AC＝12AB＝2，由勾股定理得：CD==∴S阴影＝S△ODC﹣S扇形AOD＝216022223603ππ⨯⨯⨯⨯=．【点睛】本题考查了扇形的面积，切线的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，综合性比较强，有一定的难度．23．（1）A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元、3000元；（2）y＝﹣200m+15000；（3）m＝20时，y有最大值，最大值为11000元．【解析】【分析】（1）设A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元（x+500）元，构建分式方程即可解决问题；（2）根据总利润＝A型的利润+B型的利润，列出函数关系式即可；（3）利用一次函数的性质即可解决问题；【详解】（1）设A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元（x+500）元．由题意：5000060000500x x=+，解得x＝2500，经检验：x＝2500是分式方程的解．答：A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元3000元．（2）依题意，得：2500m+300030-m80000m30≤⎧⎨≤⎩（）解得：20m30≤≤∴y=（2800-2500）m+（3500-3000）（30-m）=15000-200m答：y与x之间的函数关系式为： y=15000-200m（20m30≤≤）（3）设购进A型电动自行车m辆，∵最多投入8万元购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元、3000元，∴2500m+3000（30﹣m）≤80000，解得：m≥20，∴m的取值范围是：20≤m≤30，∵y＝300m+500（30﹣m）＝﹣200m+15000，∵﹣200＜0，∴m＝20时，y有最大值，最大值为11000元．【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题．24．见解析.【解析】【分析】只需要证明△CBE ≌△ACD ，即可解答【详解】解：由题意知∠CAD+∠ACD ＝90°，∠ACD+∠BCE ＝90°，∴∠BCE ＝∠CAD ．在△CBE 与△ACD 中，CEB ADC BCE CAD BC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△CBE ≌△ACD （AAS ）．∴BE ＝DC ．【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，难度不大25．（1）k ＝-4；（2）tan ∠ABO=12． 【解析】【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，求得B 点的坐标，然后根据待定系数法即可求得k 的值；（2）过A 作AC 垂直于y 轴，过B 作BD 垂直于y 轴，易证△AOC ∽△OBD ，利用反比例函数k 的几何意义求出两三角形的面积，进一步求得OA 与OB 的比值，在直角三角形AOB 中，利用锐角三角函数定义即可求出tan ∠B 的值．【详解】解：（1）∵点B 的横坐标为4，且点B 在直线y ＝x ﹣5上．∴点B 的纵坐标为y ＝4﹣5＝﹣1，∴B （4，﹣1），∵B 在反比例函数y ＝k x（k ＜0，x ＞0）的图象上 ∴k ＝4×（﹣1）＝﹣4；（2）过A 作AC ⊥y 轴，过B 作BD ⊥y 轴，可得∠ACO ＝∠BDO ＝90°，∴∠AOC+∠OAC ＝90°，∵OA ⊥OB ，∴∠AOC+∠BOD ＝90°，∴∠OAC ＝∠BOD ，∴△AOC ∽△OBD ，∵点A 、B 分别在反比例函数y ＝1x（x ＞0），y ＝k x （x ＞0）的图象上， ∴S △AOC ＝12，S △OBD ＝2k ， ∴S △AOC ：S △OBD ＝1：|k|，∴2114 OAOB k⎛⎫==⎪⎝⎭，∴12 OAOB=，则在Rt△AOB中，tan∠ABO＝12 OAOB=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．。
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统 一 招 生 考 试 数 学 试 题
一、选择题（本题共30分， 3每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 下列运算正确的是
A.525±=
B.12734=-
C.9218=÷
D. 62
3
24=⋅
2．平面直角坐标系中，与点（2，-3）关于原点中心对称的点是
A ．（-3，2）
B ．（3，-2）
C ．（-2，3）
D ．（2，3） 3．正八边形的每个内角为（ ）
A ．120°
B ．135°
C ．140°
D ．144°
4. 分式方程
1
13-+=-x x x x 的解为 A ．x =1
B ．x = -
C ．x = - 3
D ． x =3
5. 如图所示，函数||1x y =和2=
y （-1，1），（2，2）两点．当21y y >时，x 的取值范是
A ．x < -1
B ．-1< x <2
C ．x >2
D ．x <-1或x >2
6．某市旅游局对今年第一季度游客在本市区的旅游时间作抽样调查,统计如下：
将统计情况制成扇形统计图，则表示旅游时间为“4~7天”的扇形圆心角的度数为
A ．96°
B ．120°
C ．144°
D ．150°
7．如图为反比例函数x
y 1
=
在第一象限的图象，点A 为此图象 上的一动点，过点A 分别作AB ⊥x 轴和AC ⊥y 轴，垂足分别 为B 、C , 则四边形OBAC 周长的最小值为 A ．5 B ．4 C ．3
D ．
8. 如图①, 将某四边形纸片ABCD （其中AB ＜BC ）沿BD 对折，点A 恰好落在 BC 上，展开后出现折痕BD ，如图②．如图③,再将图片对折，使得B 、D 两 点重合，展开后出现折痕AE ，如图④．根据图④判断下列关系正确的是
E D
B
A
C (
D )D
C A
B
D
① ② ③ ④
A ．AB//CD
B ．AD//B
C C ．∠ADB =∠BDC
D ．∠ADB >∠BDC 9. 小颖同学想用“描点法”画二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象，取自变量x
的5个值，分别计算出对应的y 值，如下表：
由于粗心，小颖算错了其中的一个y 值，则这个算错的y 值所对应的x 为 A. -2 B. -1 C. 1 D.2
10．如图，已知正方形ABCD 的边长为2, △EFG 的边GE 在 直线AB 上，且EF =EG =2，∠FEG ＝90︒，动点E 从点A 开始沿直线AB 向右平移，直到点G 与点B
AE 的长为x ，△EFG 与正方形ABCD 重合部分(部分)的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是
A B C D
二、填空题（本题共24分，每小题4分）
11. 已知a 、b 为两个连续的整数，且a <15< b ，则a + b = ．
12. 如图，含︒30角的直角三角尺DEF 放置在△ABC 上，︒30角 的顶点D 在边AB 上，AB DE ⊥．若B ∠为锐角，DF BC //，
则B ∠=___________.
13. 右图是某超市滚动电梯示意图．其中AB 、CD 分
别表示地下一层、地上一层电梯口处地面的水 平线，∠ABC =150°，BC 的长约是16m ，则乘 电梯从点B 到点C 上升的高度h 是 m ．
14．以半圆的一条弦BC (非直径)为对称轴将弧BC 折叠
后与直径AB 交于点D ，若2
1
tan =B ，且4=AD ， 则AB = .
15．如图，A 、C 两点在直线l 上，AC =6，D 为射
线CM 上一点，CD =7. 若在A 、C 两点之间 拴一根橡皮筋,“奋力牛”Q 拉动橡皮筋在平 面内爬行，爬行过程中始终保持Q A = n Q C .
① 若n =3，点Q 在直线l 上，直接写出QC 的长度： ； ② 在“奋力牛”爬行过程中，n Q D + Q A 的最小值是 ．
16. 将1，2，3，…，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则第一张卡片上的另一个数是 ；从三张卡片中任意抽取一张卡片，卡片上数字之和为偶数的概率是 ．
三、解答题（本题共66分，第17题、第18题各5分, 第19题6分，第20题、 第21题各7分，第22题8分，第23题、第24题各9分，25题10分） 17．已知
)(51
1b a b
a ≠=+，求)()(
b a a b b a b a ---的值．
18. 已知: 如图，直线x y 31
=与双曲线x
k y =交于A 、B 两点， 且点A 的坐标 为 (6, m )．
（1）求双曲线k
y x
=
的解析式； （2）点C (,4n )在双曲线k
y x
=上，求△AOC 的面积；
（3）在（2）的条件下，设点P 在y 轴上, 且△AOC
的面积等于△AOP 的面积的二倍．请直接写出．．．．所 有符合条件的点P 的坐标．
19．已知关于x 的一元二次方程x 2 + 2x + k +1=0的两个实数根是x 1和x 2. （1）求k 的取值范围；
（2）如果x 1+x 2-x 1x 2＜-1且k 为整数，求k 的值.
20. 如图，在 Rt △ABC 中,∠ACB ＝90︒, D 是AB 边上的一点，以BD 为直径的 ⊙O 与边AC 相切于点E ，连接DE 并延长，与BC
（1）求证：BD = BF ;
（2）若 BC = 6, AD = 4，求BF 的长．
21. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶. 设行驶的时间为x (h)，两车之间的距离为y (km)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y 与x 之间的函数关系．
（1）根据图中信息，求线段AB 所在直线的解析式和甲乙两地之间的距离； （2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶60km ，若快车从甲地到达乙地所 需时间为t 时，求t 的值；
（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在 图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y 关于x 的函数的大致图象.
22．如图，正方形ABCD 的边长为5，点E , F 是正方形外两点，
AE =CF =4，BE =DF =3，求EF 的值.
23. 如图, 抛物线k m x y ++=2)(的顶点坐标为M (1, -4)，且抛物线与x 轴的交
F
E
A D
B C
点为A , B .
（1）求点A , B 的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P , 使得△ABP 为等边三角形，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得
到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答： 当直线b x y +=
3
与此
图象有两个公共点时，b 的取值范围.
24. 如图，△ABC ，AB =AC ，点D 、E 分别在BC 、AC 上，BE 与AD 交于点F , 且∠BAC =120°，∠BAD =80°，∠ABE =20°. （1）求证: AF =EF ;
（2）求∠ADE 的度数.
25. 抛物线4
11
21412++-=x x y 与y A ，顶点为B ，对称轴BC 与x 轴交
于点C ．点P 交x 轴于点Q ，作直线BQ ． （1）若含45°C 重合，直
角顶点D 在BQ PQ 上，求直线BQ 的函数解析式； （2）若含30°C 重合，直角顶点D 在直线BQ
上（点D 不与点Q 重合），E 在PQ 上，直接写出点P 的坐标．
备用图 备用图
y B
A
x
A
B
y O C C O y B
A
x
A B C D F E。