清华大学讲义-摄象机模型和外极线几何
确定摄像机内参和外参的方法分析
学位论文独创性声明本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
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其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。
作者签名：日期：学位论文使用授权声明本人完全了解南京财经大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。
保密的论文在解密后遵守此规定。
作者签名：导师签名：日期：第一章绪论1.1国内外研究方法和现状在计算机视觉领域中，摄像机标定技术是从二维图像中获取三维空间信息的重要且必要的步骤，因此该技术被广泛用于摄影测量、三维重建、导航系统以及视觉监控等一些科研和工程中。
就摄像机标定分类而言，其主要可分为三类: 传统标定[1-4]、主动视觉标定[5-11]和自标定[12-21]。
但此三种标定方法都存在某些方面的优缺点，其具体分析如下：1.1.1传统标定方法1．最优化算法标定方法最优化算法标定方法的优点是，在确定摄像机内参和外参的过程中，可以假设复杂摄像机模型，其中成像的过程亦可假设其复杂性。
但前面起初阶段的假设复杂性却给后面的求解过程带来的不便，归纳如下:1)：优化算法程序运行时间可能较长与一般线性的求解方法相比，无法实时得到精确的标定结果，而在一定情况下不能较快的得到准确的结果，则此算法就无实用性可言；2)：求解摄像机内参和外参最终结果一定程度上取决于所给参数的初值，如所给参数和理想求解值相差较大，则优化算法也较难标定出准确的摄像机参数。
在传统的摄影测量学方法中构造摄像机成像模型如文献[10]的算法。
此方法在进行摄像机标定和三维重建时精度较高，但计算过程复杂且计算量较大。
其中直接线性变换方法(DLT)也属最优化算法标定方法。
如Abdal-Aziz和Karara[11]，提出DLT摄像机定标的方法，此方法中几何关系的线性模型的建立于图像和环境物体之间的关系，但整个求解过程都是在没有考虑到摄像机非线性畸变的情况下，确定方程的线性解和线性模型参数的估计。
一种结合遗传算法和LM算法的摄像机自标定方法
线的 ， 并且不需要摄像机做特殊运动 ， 因此摄像机 自 标 定技 术 具有相 当大 的理 论价 值和 实用 价值 。本文 设计并实现了一种结合 Ｌ Ｍ算法和遗传算法 （ Ａ） Ｇ
的摄像 机 自标 定 方法 。首 先利 用 Ｇ Ａ获得 若 干组摄 相机 内外 参数 的初 始 值 ， 着 利 用 Ｌ 算 法 对 每 一 接 Ｍ 组参 数进 行优 化 ， 然后 选 取 映 射 误 差最 小 的那 组 参
ｌ读入 ｌ ｌＩＴ算法 ｌ ｌＫ — ｅ Ｆ Ｓ ｄｔ ｅ ｌ ｌ Ａ Ｓ Ｃ ｌ ｒ ＮＡ Ｒ ｌ 多视点 提取 — — ｌ 算法匹配 ｌ 去除误匹 １ — ］
ｌ图像 ｌ ｌ特征 点 ｌ ｌ特征 点 Ｉ ｌ 特征点 ｌ ｌ 配
合。摄像机 自标定 概念 的提 出使得摄像 机标定 在 场景 未知 和摄像 机运 动未 知 时成为 可能 。相 比于
以上两 种摄像 机 标定 技 术 ， 像 机 自标 定技 术 是 在 摄
系， 再通过 投影到图像平面， 可以得到投影点 ｍ 。
１２ 极 线 几 何 ．
在 多视 点视 频 中 ， 立体 匹配 是一项 关键 技术 ， 极
１ 摄 像 机 标 定 模 型 和 极 线 几 何
１ １ 摄 像机标定模型 ．
假设空间一点 ， 在世界坐标系上 的坐标为 ［
ｙｚ ］ 点 在 图像平 面上 的相 应投 影点 为 ｍ， ， ｍ在
２ 摄 像 机 自标 定
图 ２显 示 了摄 像 机标 定 的总体 流 程 ， 括 两部 包
Ｈ标磊 像 差荸畲
图 １ 摄 像 机 标 定 模 型 （ 、 和 ｚ 表 世 界 ｙ 代
图 ２ 摄 像 机 自标 定 算 法 的 总体 流 程
坐标 系，
摄像机成像几何
无穷单应 极点1
DLT算法 点对应: m=(u,v,1) m’=(u’,v’,1)
m’T F m = 0 从8对以上点对应,确定F的线性解
极线对应
l ¢= F (q ? l )
F [q ]´ l
纯平移运动下的基本矩阵
P = K (I , 0), P ¢= K (I , t ) F = [e ⅱKK - 1 = [e ] = [e ] ]创
无穷远平面到像平面的单应
在欧氏坐标系下，摄像机 矩阵的前3列构成的子阵 是无穷远平面到像平面的 单应，简称无穷单应。
二次曲线
二次曲线的支 撑平面到像平 面的单应：
C
若二次曲线在支撑平面的表示为C，则它的像曲线为：
绝对二次曲线的图像（IAC）
反向投影
二次曲面
绝对二次曲面的图像
无穷远平面单应H： H (H )T=KKT = * (H )-T (H )-1= K-T K-1 = 绝对二次曲线的图像： =K-T K-1
s m’= H m m’ (H m) = 0 从4对以上点对应,确定H的线性解
无穷远单应
H H , H T K T K 1 H 1 1 KK T T K K T KT K * *
单应的一般表示
*
已知圆心的圆
恢复绝对欧氏结构
例如：已知物体平面有两个全等的图形； 圆：已知圆心和半径
9.5 极几何
：极平面
：对应极线
：对应点 ：对极点
C
C’
基本矩阵
称为基本矩阵
F m lm’ e m’
l’m
ç T ç0 桫
t÷ ÷X ÷ 1÷
极点2 无穷单应 本质矩阵
清华大学机械制图课件chapter4
4 2
分形体 两两求交
求1、2交线
19
1
2
12
20
3 1
4
2
分形体 两两求交 求检1、查2交加线深
求1、3交线 求2、4交线 求3、4交线
21
例 圆柱与圆锥相交
PW
交线分析
辅助面 选择原则
光投滑影空分间析曲线
辅助面与二
W投面投影影作已图知
回转体表面
方—法求光找找V滑中利特、2连间殊:用H面接点点“辅投曲三助影线面平共面点法圆PP”的圆圆直柱锥原线面理==交=圆交 为线直直线上线线的的或投点圆影
54
要注意投影图中反映形体之间 连接关系的图线
实线
虚线
55
有线 相交
无线 相切
56
看图方法 例
形体分析法
抓特征分解形体
从特征投影入手 将形体分解成几部分
对投影确定形状
用“三等”关系对投影 确定各部分的形状
57
综合起来想整体 分析各块间相对位置及表面连接关系，
综合起来想象物体的整体形状
58
面形分析法
根据平面体和曲面体的投影规律:
投影图上一 一般情况下 平面
的投影
个封闭线框
光滑曲面
不同线框之间的关系, 反映了形体 表面的变化
利用这个规律分析和表示形体表面 形状，这种方法, 称为面形分析法
59
例
取线框 对投影 分平曲
“三等”关系 确定表面形状及 相对位置关系
想象物体形状
60
看图举例 求第三投影
Байду номын сангаас
•
相信相信得力量。20.10.242020年10月 24日星 期六1 时24分3 1秒20. 10.24
清华大学高等数学讲义
2019/11/10
8
3.Rn中 的 收 敛 点 列
定 义 ：(收 敛 点 列)
设{Xm }(m 1,2,)是Rn中的点列，X0是Rn中 一个确定的点。
如果距离d( Xm , X0 ) 0(m ),则称点列
{ Xm }收敛于点X0.
称{
X
m
}是R
n中
的
收
敛
点
列, 称X
为
0
点
列
{
X
m
使 当m N时, 有d ( X m , X 0 ) .
则 称 点 列{ X m }收 敛 于 点X 0 .
设X m Rn , m 1,2,, 若 存 在 正 数M , 使 得
X m M成 立 ， 则 称{ X m }是Rn中 的 有 界 点 列 。
2019/11/10
10
4.Rn 中 的 开 集 与 闭 集
P, Q都 能 用 完 全 在D中 的 连 续 曲 线 连 接 起 来,则 称D是 连 通 集.
D
E
连通集
非连通集
[例3] (1) R1中 的 任 意 非 空 区 间 是 连通 集. (2) 全平面R“2 挖去”原点: R2 \ {0}是连通集. (3) 全平面R“2 剪一条缝”
R2 \ {(x, y) R2 , y 0}不是连通集.
d( X ,Y )
X Y
n
(
( xi
yi
)
2
)
1 2
i1
性质：
(1) X ,Y , 有 d( X ,Y ) 0,
且 d(X,Y ) 0 X Y
(2) d( X ,Y ) d(Y , X )
计算摄像学专题第2讲
-60-
动态范围小 景深小 对高速运动无能为力 模糊问题 其他光谱信息丢失 …… 后面的课程会一一介绍
Z
r1TT r2TT
u0
v0
1
矩阵在不考虑最后一列的情况下，前两行相互正交。
第二讲提纲
-18-
一 相机的成像原理
二 真实相机模型
三 相机的可控对象及摄像学属性
相机模型的发展
-19-
回顾：小孔成像
相机模型的发展
-20-
小孔成像—孔径大小的影响
小孔成像的缺陷
K
R,RT
Xw Yw Zw 1
更简洁的表示为 p KR,RT P ，R 和 T 被称为相机运动或
者相机外参数，M KR,RT，被称为投影矩阵。
弱透视投影相机
-16-
对于弱透视投影，我们可以得到
xim yim 1
坐标之间的依赖关系为线性关系
相机感光
-10-
CCD 相机
矩形网格——信号收集单元
光子投射到硅单元时，产生电子信号，形成 图像
图像坐标系统
-11-
将坐标p=[x,y,f]T 转化至图像坐标系统 pim=[xim,yim]T,
其中xim 和 yim 是以像素为单位的图像坐标。 sx 是x方向 上单位长度的像素个数，sy 是y方向上单位长度的相机个 数。对于CCD相机，像素为正方形小块，即 sx sy 。
薄透镜成像原理
-25-
高斯公式
11 1 io f
• f 是透镜的焦距——反映透镜对光线的折 射能力
清华大学微积分讲座刘坤林视频讲义
1. ys2002090701.htm 1.1 函数与基本不等式函数关系，定义域与值域，反函数与复合函数四类初等性质（广义奇偶性）1.2 极限定义与性质序列与函数极限定义与等价描述极限性质：唯一性，有界性，保号性及推论，比较性质1.3 三个极限存在准则1.4 两个标准极限1.5 无穷小量比阶等价无穷小量，同阶无穷小量与高阶无穷小量。
1.6 极限相关知识点导数概念，变限积分，级数，微分方程，广义积分等。
1.7 连续函数基本概念，定义，连续性与极限的关系，连续性等价描述，连续性的判别闭区间上连续函数的性质，零点定理，最大最小值定理。
2. ys2002090702.htm 1.1 函数与基本不等式函数关系，定义域与值域，反函数与复合函数四类初等性质（广义奇偶性）1.2 极限定义与性质序列与函数极限定义与等价描述极限性质：唯一性，有界性，保号性及推论，比较性质1.3 三个极限存在准则1.4 两个标准极限1.5 无穷小量比阶等价无穷小量，同阶无穷小量与高阶无穷小量。
1.6 极限相关知识点导数概念，变限积分，级数，微分方程，广义积分等。
1.7 连续函数基本概念，定义，连续性与极限的关系，连续性等价描述，连续性的判别闭区间上连续函数的性质，零点定理，最大最小值定理。
3. ys2002090703.htm例15. 设与在有定义，在有间断点，在上连续，且，则（A）在上必有间断点;（B）在上必有间断点;（C）在上必有间断点;（D）在上必有间断点.例16.设，且至少存在一点，使，证明在上有正的最大值。
例17.设，，，证明（1）存在；（2）收敛。
例18.若，则（A）且；（B）且；（C）且；（D）且；例19.若存在, 则 B(A) 。
(B) 之去心邻域, 使当时, 。
(C) 之邻域, 使当时, 。
(D) 。
例20.设定义在, 且都在处连续,若, 则 D(A) 且,(B) 且(C) 且,(D) 且例21.设当是比高阶的无穷小量, 则 A(A) , (B)(C) , (D)4. ys2002090704.htm例15. 设与在有定义，在有间断点，在上连续，且，则（A）在上必有间断点;（B）在上必有间断点;（C）在上必有间断点;（D）在上必有间断点.例16.设，且至少存在一点，使，证明在上有正的最大值。
1000170553
热态锻件结构光三维测量技术赵 毅 王明辉 马品奎 宋家旺吉林大学,长春,130025摘要:介绍了结合计算机视觉、结构光光栅投影、移相测量原理的热态锻件结构光三维测量技术,该测量技术采用数字滤色技术解决热态工件本身发光干扰的难点,实现热态工件的三维非接触测量。
实验设备可以一次测量1000mm ×800mm 左右的面积,测量时间仅5s ,测量点距1mm 左右,并可以达到0125mm 的精度,这不仅能在车间就近对工件进行高温测量,而且为在线测量的研究提供了技术基础。
关键词:结构光;三维测量;塑性成形;热态工件中图分类号:TG 3 文章编号:1004—132X(2006)S2—0125—04S tr uct ured Light 3D Measurement T echnology of H ot ForgingZhao Y i W ang Minghui Ma Pi nkui Song JiawangJili n Universit y ,Changchun ,130025A bstract :The three dimensional measurement of hot forging part is significant for decreasing met al al 2lowance ,ensuring forging quality and researchi ng t he rule of forging.A new 3D measuri ng met hod usi ng computer vision ,st ructured light ,f ringe projection ,phase shifting and digit al optical filter technology i s pro 2posed for non -contact measurement of hot forging part s.The experimental i nstallation can scan a area of 1000mm ×800mm in a si ngle view ,t he measurement process takes only 5seconds ,and t he accuracy is wit hin 0125mm.K ey w ords :struct ured light ;3D measurement ;plastic forming;hot part收稿日期6—8—8基金项目中国博士后科学基金资助项目(53)0 引言为了有效控制热锻压过程的质量,需对热态锻件进行现场测量。
基础矩阵
基础矩阵及其求法同一三维场景在两个不同视点处得到的两幅二维图像之间的几何关系——极几何以及极几何的代数表示——基础矩阵。
两幅图像可以是由两个摄像机在不同位置同时采集的，也可以是同一摄像机顺序采集的，例如摄像机相对场景移动。
对于这两种情况，几何上认为是相等的。
一般地，同一世界坐标系下的同一物体的图像间存在一种几何上的对极约束关系。
在立体视觉中，可以利用图像点的匹配来恢复这种几何关系，反过来，也可以利用这种几何关系来约束匹配，使得对应点的搜索范围由二维平面降低到对应一维极线，使得匹配的鲁棒性、精度都得到很大提高。
对极几何关系在数学上可以用基础矩阵F 来表示，因此，对极几何问题就转化为对基础矩阵F 的估计问题。
精确地计算F 对于标定、寻找精确匹配和三维重建都有重要意义。
2.1 基础矩阵假设在一个立体视觉系统中，有两个摄像机，如图2.1所示，设C和C’分别为两个摄像机的光心，两个摄像机获得的图像分别为I和I’，M为三维空间中任意一点，m和m’是点M 在两个图像上的像点（投影点），称m和m’为一对对应点。
连接光心C和C’的直线称为基线。
空间点M和两个光心C和C’共面，设它们所在的平面为π，该面称为极平面。
极平面与图像平面的交线l和l’称为极线。
因为m（m’）也同时在平面π和像平面I（I’）上。
从这里可以看出，寻找m（m’）的对应点m（m’）时，不必在I（I’）整幅图像中寻找，只需在m（m’）在I（I’）的极线上寻找即可。
这就提供了一个重要的极线约束，将对应点的搜索空间从二维降到了一维。
当三维空间点M移动时，产生的对所有极线都穿过极点e(e’)，极点是极线与图像平面的交点。
图2.1两幅图像间的对极几何2.1.1 参考坐标系为了描述基础矩阵，首先需要定义四个参考坐标系：图像坐标系、成像平面坐标系、摄像机坐标系和世界坐标系。
摄像机采集的数字图像在计算机内可以存储为数组，数组中的每一个元素（称为像素，pixel）的值即是图像点的亮度。
清华大学物理光学课件(第11节)
1 精密仪器与机械学系 精密仪器系2013-5-291精密仪器与机械学系 精密仪器系2013-5-292精密仪器与机械学系 精密仪器系一、晶体的双折射现象晶体对两个相互垂直 振动矢量的光n不同 而产生两束折射光 寻常 (o) 光和非寻常(e)光 o 光——遵守折射定律， 在入射面内 e 光——不遵守折射定律， 一般不在入射面内2013-5-29（以单轴晶体为例）方解石（单轴晶体） 天然结构为平行六面体3精密仪器与机械学系 精密仪器系o光和e光与晶体不可分 折射定律的含义:sin i1 v1 = n21 = • 角关系 sin i2 v2• • 入射光线/折射光线与法线共面 界面两侧频率相同2013-5-294精密仪器与机械学系 精密仪器系二、晶体特性1、光轴 双折射晶体中的一个特殊方向， 光束沿这个方向传播时不发生双折射 光轴方向上， o 光和 e 光都遵守折射定律 且：no=ne ， o 、e光 k 相同，v 相同 光轴是一个方向2013-5-29 5精密仪器与机械学系 精密仪器系 2、主截面： 光轴和晶体表面法线确定的平面 当光线在主截面内入射（不与光轴重合）时 o光和e光都在主截面内，但no≠ne光线在一般情况下入射晶体， o光和e光不同面2013-5-29 6精密仪器与机械学系 精密仪器系 3、主平面：光线和光轴组成的面 o 光：振动方向垂直于 o 光主平面 e 光：振动方向在 e 光主平面内 入射光在主截面内时， o光、e光主平面 均为主截面实际使用中， 取入射面与主截面重合2013-5-29 7精密仪器与机械学系 精密仪器系 4、晶体的各向异性 vo>ve，为正晶体；o光 e光 光轴 o光vo<ve，为负晶体e光正：no<ne，e光波面（椭球）在o光波（球）面内 负：no>ne，e光波面（椭球）在o光波（球）面外2013-5-29 8精密仪器与机械学系 精密仪器系 5、晶体的介电张量ur u r 各向同性媒质中， ε 是常数，D // E各向异性媒质中，不同方向光波电矢量的 ε 值不同， 为一个二阶张量，称介电张量ur u r D =εE⎡Dx ⎤ ⎡ε xx ε xy ε xz ⎤ ⎡Ex ⎤ ⎢D ⎥ = ⎢ε ε ε ⎥ ⎢E ⎥ [ε ] = ⎡εij ⎤， ⎢ y ⎥ ⎢ yx yy yz ⎥ ⎢ y ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ Dz ⎥ ⎢ε zx ε zy ε zz ⎥ ⎢ Ez ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ur u r D 随 E 而异2013-5-29 9精密仪器与机械学系 精密仪器系 在晶体中可找到x，y，z三个互相垂直的方向 （晶体的主轴方向），建立（主轴）坐标系， 使 ⎡εij ⎤为一对称张量： ⎣ ⎦⎧ Dx = ε x Ex ur ⎪ 主轴坐标系中， D 表示为 ⎨Dy = ε y Ey ⎪D = ε E ⎩ z z z2013-5-29 10⎡ε x 0 0 ⎤ ⎡εij ⎤ = ⎢ 0 ε y 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 εz ⎥ ⎣ ⎦主介电常数(ε x , ε y , ε z )结论1：在各向异性晶体中，由于，仅当沿着三主轴之一方向时，光学各向同性晶体单轴晶体双轴晶体//D Eu r u r E u r //D u r Eu rx y z εεε≠≠x y zεεε==x y zεεε=≠x y zεεε≠≠1、法线速度/光线速度晶体中一单色平面波麦克斯韦方程＋晶体中物质方程传播特点B E D t D H j B t∂∇×=−∇⋅=∂∂∇×=+∇⋅=∂u r u r ur uruu r r u r 000exp[()]exp[()]exp[()]E E i t k r H H i t k r D D i t k r ωωω⎧=−−⋅⎪⎪=−−⋅⎨⎪=−−⋅⎪⎩r r r r r r r r r r rr D E B Hεµ==u r u r u r u u r 代入麦氏方程和物质方程：三、单色平面波在晶体中的传播彼此垂直成一右手螺旋系得：,0,0k E H k H D H k E k D D k H k H ωµω⎫×=⎪⎧×=−⊥⎪⎪⇒⎬⎨⋅=⊥⎪⎪⎩⎪⋅=⎭r u r uu rr uu r ur uu r r u r r ur r uu r r r uu r ,,D H k ur uu r r波印廷矢量S E H=×v v v9成一右手螺旋系，故在同一垂直于的平面内。
清华大学机械制图教程制图的基本知识
2
A
3 B
4
5
6
N
⑷ 由A和B分别与奇数（或偶数）分点连线并与外 接圆相交，依次连接各交点。
二、斜度与锥度
⒈ 斜度
斜度是指直线或平面对另一直线或平面的倾斜程度。
a
斜度=tga=H:L=1:H/L
L
例：画下面的图形
1:5
10
H
h
1单位
80
斜度符号画法：
5单位
30°
h=字高
20
1单位
D 1.4h
d
⒉ 锥度
⒍ 断面为正方形结构的标注
16
16×16
18
18×18
⒎ 均匀厚度板状零件的标注 t2
不必另画视图表示厚度
1.2 尺规几何作图
一、正多边形
⒈ 正六边形
⒉ 正N边形（以正7边形为例）
⑴ 画外接圆 ⑵ 将外接圆直径等分为N等份 ⑶ 以N点为圆心，以外接圆直径为半径作圆与水
平中心线交于点A,B。
1
尺寸线
尺寸界线超出箭头约2毫米
⑴ 尺寸线为细实线，一端或两端带有终端（箭头
或斜线）符号。
≈4d
d
尺寸线
字高
d=图中粗实线宽度
45°
16 10
89
⑵ 尺寸线不能用其它图线代替，也不得与其它图 线重合或画在其延长线上。
⑶ 标注线性尺寸时尺寸线必须与所标注线段平行。
⒊ 尺寸数字 C1.5
尺寸数字
C1.5
⒉ 直径尺寸
⑴ 标注直径尺寸时，应在尺寸数字前加注
符号“”。
10
10
5 5 20
注：直径尺寸可以标注在非圆视图上。
⑵ 标注球面直径时，应在符
清华大学物理系研究生数理方法讲义(王怀玉)基础回顾
0.2.1 三维空间的正交曲线坐标系 直角坐标系是坐标系的一种特殊形式。最一般的是曲线坐标系。 线元的定义： dsi = hi dqi
L= r× p
是一个常量。将此角动量对时间微分 dL dr dp = × p+r× dt dt dt d d d d 由 于 p = m r ， 所 以 L 的 第 一 项为 零 。 代 入 p = F ， 得 到 L 的表达式为 dt dt dt dt d d L = r × F 。在有心力场中，F 与 r 同向，得到 L = 0 即角动量为恒定量。这意味着， dt dt 位矢 r 以及整个轨道都处在三维空间的固定平面上。这一结果本质上就是开普勒第二定 律，并往往用面积速度守恒来表述。(开普勒三定律。开普勒是如何确定太阳与行星之 间的距离的呢？) 下面讨论具体的有心场，万有引力场。 dv k m =− 2 n r dt 这里的 n 为 r 方向上的单位向量，k 为常数。左边为 dr d dr dn v= = ( rn ) = n + r dt dt dt dt 角动量 dr dn d L = r × p = rn × mv = mrn × ( n + r ) = mr 2 n × n dt dt dt 再考虑
向量在原来的基下的坐标 A 与两次旋转得到的基下的坐标 A′的关系为 A′ = RA 定理 标量积在正交变换下不变 证明
X ′ ⋅ Y ′ = ∑ xi′ yi′ = ∑ aik ail xk yl = ∑ δ kl xk yl = ∑ xk yk = X ⋅ Y
i i , k ,l k ,l k
例，三维旋转矩阵。
′ ,e2 ′ ,e3 ′ ) ，得到旋转矩阵为 首先绕 X3 轴逆时针旋转ϕ弧度，得到新的基 (e1
清华大学讲义-摄象机模型和外极线几何
附录B 摄象机模型和外极线几何B.1 摄象机模型B.1.1 针孔模型和透视投影 B.1.2 摄象机外参数B.1.3 摄象机内参数和归一化摄象机 B.1.4 透视矩阵的一般形式 B.2 透视投影的各种线性近似B.2.1 正投影（orthographic projection ） B.2.2 弱透视（weak perspective ）B.2.3 平行透视（paraperspective projection ） B.2.4 仿射摄象机B.3 透视投影下的外极线几何 B.3.1 外极线几何中的概念B.3.2 归一化坐标系中的外极线方程 B.3.3 像素坐标系中的外极线方程 B.3.4 投影矩阵下的外极线方程 B.3.5 基础矩阵和外极几何变换B.1 摄象机模型在大部分应用环境中可以用理想的针孔模型来近似实际摄象机。
针孔模型的几何关系就是透视投影。
下面我们先介绍透视投影的几何关系。
B.1.1 针孔模型和透视投影针孔摄象机的模型在第五章中已有介绍。
在那里我们使用了矢量代数的表示方法，下面我们用坐标变换的方法来推导之。
我们定义的第一个坐标系是摄象机坐标系。
该坐标系的原点在焦心C ，X 、Y 、Z 轴由A 、H ’和V ’决定，其中A 为光轴方向，H ’和V ’是正交的方向，三者组成右手直角坐标系。
三维点在该坐标系中的坐标M c 记为(X c ,Y c ,Z c )T 。
为表示透视模型我们还需要在图象平面中建立图象坐标系。
这是一个二维坐标系，其原点位于光轴和图象平面的交点c （称为主点，principal point ），两坐标轴与H ’和V ’平行且反向。
在该坐标系中像点m 的坐标表示为(u,v)T 。
在定义了这两个坐标系后，投影模型可表示为cccZ f Y v X u == (B.1)其中f 为焦心到图象平面的距离，即焦距。
摄象机坐标系和图象坐标系如图B.1所示。
图B.1 针孔模型，其中过焦心C 和图象平面平行的平面称为焦平面在实际应用中物体离焦心的距离一般都远大于焦距。
双目鱼眼摄像机噪声分析与外参标定
O1X1Y1Z1 和 O2 X2Y2Z2J，JJJ第JG 一个摄像机到第二个摄像 机的平移向量为 T = O1O2 ，坐标系 O1X1Y1Z1 到坐标 系 O2 X2Y2Z2 的旋转矩阵为 R 。设 M1,k 为空间点 M 在 坐标系 O1X1Y1Y1 下的坐标， M2,k 为空间点 M 在坐标 系 O2 X2Y2Y2 下的坐标，目标点 M 在两个鱼眼摄像机 下相应的单位球面点坐标分别为
在视觉定位中，摄像机的标定是计算机视觉获 取三维空间信息的前提与基础，是双目视觉研究的 主要部分，对于精确测量目标的三维空间信息是必 需的。摄像机的标定包括内参数，外参数和畸变参
此项工作得到国家自然科学基金(60904066)和国家“973”计划项目 (2010CB327904)资助。
数[3]，准确的获得了摄像机的内外参数就可以实现 对空间目标的定位。
双目鱼眼摄像机在大空间和大范围的导航定位 中有其独特的优势，而为了实现定位功能，摄像机 的外参数的标定是必需的。 本文主要研究双目鱼眼 摄像机外参数的标定。文中假设两个鱼眼摄像机的 内参数和畸变参数已经标定完成。针对外参的标定， 本文分析了由获得的图像点坐标到其对应的单位球 面点坐标之间的噪声传递及其对求解本质矩阵的影 响，指出标定双目鱼眼摄像机外参数时，应尽量选 择入射角相对小的点。最后给出了仿真验证，仿真 结果表明本文对噪声传递及对求解本质矩阵的影响 的分析合理有效。
Abstract: Since fisheye lens has a large field of view, it can be applied in principle to positioning in a wide range and a large space. Based on fisheye camera’s internal parameters known a prior, the principle of calibrating the fisheye camera’s external parameters is proposed first. Then the noise distribution of the fish-eye camera image points coordinates in the unit sphere corresponding to the image point coordinates and the impact on essential matrix solution are analyzed. Furthermore, it is pointed out that these points with relatively small incidence angle result in more high-precision external parameters. The simulation results indicate that the analysis on the noise transmission and the impact on the essential matrix solution are reasonable and effective. Key Words: binocular, fisheye camera, noise analysis, external parameters calibration
【课件】TEM(清华大学)
清华大学化学系
表面与材料实验室
25
电子衍射
• 所用的电子束能量在102～106eV的范围内。 • 电子衍射与X射线一样，也遵循布拉格方程。
• 电子束衍射的角度小，测量精度差。测量晶体 结构不如XRD。
• 电子束很细，适合作微区分析 • 因此，主要用于确定物相以及它们与基体的取 向关系以及材料中的结构缺陷等。
• 在样品表面滴上一滴丙酮，然后用AC纸贴在样品表面， 不留气泡，待干后取下。反复多次清除样品表面的腐 蚀物以及污染物。最后一张AC纸就是需要的塑料一级 复型。 • 把复型纸的复型面朝上固定在衬纸上。利用真空镀膜 的方法蒸镀上重金属，最后再蒸镀上一层碳，获得复 合复型。
• 将复合复型剪成直径3mm的小片，放置到丙酮溶液中， 待醋酸纤维素溶解后，用铜网将碳膜捞起。经干燥后， 样品就可以进行分析了。详细过程见图。
• 每一振幅极大值都可看作是次级相 干波源，由它们发出的波在像平面 上相干成像，这就是阿贝光栅成像 原理。
清华大学化学系
表面与材料实验室
5
与光学显微镜的比较
• 光学显微镜的分辨率不可能高于200nm，限制因素是光波 的波长。 • 加速电压为100 KV的电子束的波长是0.0037nm。最小分 辨率可达0.002nm左右，因此，电子波的波长不是分辨率 的限制因素。球差和色差是分辨率的主要限制因素。 • 透射电镜可以获得很高的放大倍数150万倍。可以获得原 子象。
• 对于透射电镜常用的加速电压100KV，如果样品是金 属其平均原子序数在Cr的原子附近，因此适宜的样品 厚度约200纳米。
清华大学化学系 表面与材料实验室 13
样品制备
• 对于块体样品表面复型技术和样品减薄技术是制 备的主要方法。 • 对于粉体样品，可以采用超声波分散的方法制备 样品。 • 对于液体样品或分散样品可以直接滴加在Cu网上；
清华大学机械制图课件chapter3
圆柱体
形成
圆沿与其垂直
O 底面
的直线拉伸形成 矩形绕其边旋
转形成
轴线
圆柱面
L
轴线
O
母线
素线
圆柱面的形成
11
圆柱体的投影
O
V
W
O
H
对V面的外 对W面的外 形轮廓线 形轮廓线
外形轮廓线投 影的对应关系
圆柱面投影 可见性判断
12
圆柱体表面取点取线
例 圆柱体表面一点M ，已知m′求m ，m"
O
V
“三等”关系
6
在棱柱表面取点
例：棱柱表面上一点A，已知a′，求a、a"
A
a" a'
基本方法
面内取点方法
a
注意分析点所 在表面的位置
7
棱锥
锥顶
侧棱面
棱线
形成
由多边形沿直线 拉伸而成。但拉 伸过程中多边形 大小均匀变化
底面 底边
棱锥的棱线相交于锥顶
L
m
8
棱锥的投影
s'
s"
VS W
a'
b' c' a"(c") b"
单体单面
基本形式
单体多面 多体多面
分别分析单面 与单体交线
截平面与截平面 之间的交线分析
体与体连接处的 交线分析
39
求截交线的基本方法步骤
定性分析 截交线的形状分析与投影分析
截交线画法
平面体 棱线法
回转体
非圆曲线
找特殊点 找中间点 光滑连线并判断可见性
40
检查方法
类似图形检查 “三等”关系检查 回转体外形轮廓线投影的检查 孔的交线问题
清华大学机械制图全部1—15章PPT课件
实形性（当空间的面、线与
投影面平行时）。
a a d
c c
b eb e
P
《机械制图》
第1章 绪论
11
按投射线与投影面的相对位置，平行投影可分为： 斜角投影—投射线不垂直于投影面 直角投影—投射线垂直于投影面
在本书中，我们只介绍平行投影法，其中正投影法 被广泛用于绘制各种工程图样，如无特别说明，书中所 称的“投影”，均指正投影。
第1章 绪论
20
2.1.4 图线（GB/T 4457.4 - 2002）
《机械制图》
第1章 绪论
17
纸边界线
图框线
标题栏
周边
有装订边图纸（X型） 的图框格式
有装订边图纸（Y型） 的图框格式
图框尺寸
幅面代号 B×L e c a
A0
A1
841×1189 594×841
20
10
A2 420×594
25
A3
A4
297×420 210×297
10
5
《机械制图》
第1章 绪论
18
2.1.2 标题栏（GB/T 10609.1）
比值大于1的比例，如2:1等，为放大比例；
比值小于1的比例，如1:2等，为缩小比例。
比例系列
常用比例
种类 原值比例 放大比例
缩小比例
1:1
5:1 5×10n :1
1:2 1:2×10n
比
例
2:1 2×10n :1
1:5 1:5×10n
1×10n :1 1:10
1:10×10n
注：n 为正整数
必要时允许选取的比例
B
投射线 s
投影条件及标注：
模拟电子技术基础-清华大学-全套完整版
结电容不是常量！若PN结外加电压频率高到一定程 度，则失去单向导电性！
清华大学 华成英
华成英
问题
• 为什么将自然界导电性能中等的半导体材料制 成本征半导体，导电性能极差，又将其掺杂， 改善导电性能？
• 为什么半导体器件的温度稳定性差？是多子还 是少子是影响温度稳定性的主要因素？
第一个集成电路及其发明者 （ Jack Kilby from TI ）
1958年9月12日，在德州仪器公司 的实验室里，实现了把电子器件集成 在一块半导体材料上的构想。42年以 后， 2000年获诺贝尔物理学奖。 “为现代信息技术奠定了基础”。
华成英
二、模拟信号与模拟电路
1. 电子电路中信号的分类
➢ 实际工程需要证明其可行性。强调定性分析。
➢ 实际工程在满足基本性能指标的前提下总是容许存 在一定的误差范围的。 定量分析为“估算”。
➢ 近似分析要“合理”。 抓主要矛盾和矛盾的主要方面。 ➢ 电子电路归根结底是电路。不同条件下构造不同模型。
2. 实践性
➢ 常用电子仪器的使用方法 ➢ 电子电路的测试方法 ➢ 故障的判断与排除方法 ➢ EDA软件的应用方法
有利于漂移运动，形成漂移电 流。由于电流很小，故可近似 认为其截止。
华成英
四、PN 结的电容效应
1. 势垒电容
PN结外加电压变化时，空间电荷区的宽度将发生变 化，有电荷的积累和释放的过程，与电容的充放电相 同，其等效电容称为势垒电容Cb。
2. 扩散电容
PN结外加的正向电压变化时，在扩散路程中载流子 的浓度及其梯度均有变化，也有电荷的积累和释放的 过程，其等效电容称为扩散电容Cd。
• 如何判断二极管的工作状态？ • 什么情况下应选用二极管的什么等效电路？
摄像机标定方法综述
摄像机标定方法综述摘要：首先根据不同的分类方法对对摄像机标定方法进行分类，并对传统摄像机标定方法、摄像机自标定方法等各种方法进行了优缺点对比，最后就如何提高摄像机标定精度提出几种可行性方法。
关键字：摄像机标定，传统标定法，自标定法，主动视觉引言计算机视觉的研究目标是使计算机能通过二维图像认知三维环境，并从中获取需要的信息用于重建和识别物体。
摄像机便是3D 空间和2D 图像之间的一种映射，其中两空间之间的相互关系是由摄像机的几何模型决定的，即通常所称的摄像机参数，是表征摄像机映射的具体性质的矩阵。
求解这些参数的过程被称为摄像机标定[1]。
近20 多年，摄像机标定已成为计算机视觉领域的研究热点之一，目前已广泛应用于三维测量、三维物体重建、机器导航、视觉监控、物体识别、工业检测、生物医学等诸多领域。
从定义上看，摄像机标定实质上是确定摄像机内外参数的一个过程，其中内部参数的标定是指确定摄像机固有的、与位置参数无关的内部几何与光学参数，包括图像中心坐标、焦距、比例因子和镜头畸变等；而外部参数的标定是指确定摄像机坐标系相对于某一世界坐标系的三维位置和方向关系，可用3 ×3 的旋转矩阵R 和一个平移向量t 来表示。
摄像机标定起源于早前摄影测量中的镜头校正，对镜头校正的研究在十九世纪就已出现，二战后镜头校正成为研究的热点问题，一是因为二战中使用大量飞机，在作战考察中要进行大量的地图测绘和航空摄影，二是为满足三维测量需要立体测绘仪器开始出现，为了保证测量结果的精度足够高，就必须首先对校正相机镜头。
在这期间，一些镜头像差的表达式陆续提出并被普遍认同和采用，建立起了较多的镜头像差模型，D.C.Brown等对此作出了较大贡献，包括推导了近焦距情况下给定位置处径向畸变的表达式及证明了近焦距情况下测得镜头两个位置处的径向畸变情况就可求得任意位置的径向畸变等[2]。
这些径向与切向像差表达式正是后来各种摄像机标定非线性模型的基础。
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B.2.4 仿射摄象机
B.3 透视投影下的外极线几何
B.3.1 外极线几何中的概念
B.3.2 归一化坐标系中的外极线方程
B.3.3 像素坐标系中的外极线方程
B.3.4 投影矩阵下的外极线方程
B.3.5 基础矩阵和外极几何变换
摄象机坐标系和图象坐标系如图B.1所示。
图B.1 针孔模型，其中过焦心C和图象平面平行的平面称为焦平面
在实际应用中物体离焦心的距离一般都远大于焦距。因此我们常在光轴上和实际图象平面关于焦心对称的位置上设置一个虚拟图象平面，如图B.2。并在该虚拟平面上建立二维坐标系。原点在光轴和该平面的交点，两坐标轴与H’和V’平行并且方向相同。把像平面上的点经焦心作中心对称映射到该虚拟平面上。这样该平面上点的二维坐标与三维点的摄象机坐标系坐标同样满足上面的投影模型。以后我们一般把此虚拟平面称为像平面。
透视投影还有一种误差更小的线性近似，即正透视（orthoperspective）。同样从两阶段过程来考虑，正透视与平行透视的区别在于第一阶段的投影平面不是与图象平面平行，而是经过质心和CG（即焦心和质心的连线）垂直。它也可被看作以下三步操作的合成：
1.摄象机绕焦心C旋转，直至光轴与CG重合；
2.进行弱透视投影；
在实际应用中为简化公式，我们常常使用所谓的归一化坐标系。该坐标系也是定义在图象平面上的二维坐标系，如果用该坐标系表示图象平面上的点，则投影矩阵PN有非常简单的形式 (B.8)
对摄象机坐标系中的点(Xc,Yc,Zc)，其像点的归一化坐标(xN,yN)满足
xN=Xc/Zc, yN=Yc/Zc(B.9)
根据PN和Pnew的定义，我们可以看到PN和Pnew满足
我们可以看到有两种原因带来误差，一是 ，即物体的深度信息；二是 ，即位置信息。误差对物体的不同部分是不同的。在实际应用中为使用弱透视模型，一般要求Z0>10*|Z|。
B.2.3 平行透视（paraperspective projection）
在弱透视投影中，三维点先被正投影到过物体质心并与图象平面平行的平面上。这一过程中丢失了物体的位置信息。如果物体离光轴较远，弱透视带来的误差是很大的。在平行透视中，投影过程仍可分为两步，第一步仍是把物体平行投影到过质心且与象平面平行的平面上，不过这次的投影线不是平行于光轴，而是平行于质心G和焦心C的连线CG。
附录B 摄象机模型和外极线几何
B.1 摄象机模型
B.1.1 针孔模型和透视投影
B.1.2 摄象机外参数
B.1.3 摄象机内参数和归一化摄象机
B.1.4 透视矩阵的一般形式
B.2 透视投影的各种线性近似
B.2.1 正投影（orthographic projection）
B.2.2 弱透视（weak perspective）
(B.13)
其中 (B.14)
其中A，R，t如上两节所述。
透视矩阵P为3*4矩阵，由于可相差一个尺度，因此只有11个独立参量。
记pij为P中i行j列的元素，消去尺度因子s，我们得到
(B.15)
(B.16)
上两式可用于标定摄象机。如果有六个以上的像点和三维点的对应就可求出P，然后从P中分解出内外参数。这方面的内容就不详述了。
仿射摄象机的另一个重要性质是它把三维点集的质心投影为对应二维投影点的质心。这也是透视投影不具有的性质。
仿射摄象机的缺点是几何意义不明显。它当然是前几节介绍的各种透视投影线性近似的推广。这种推广可按下面两种方式来理解：
(1)允许三维物体作某种非刚性变形。实际上，如果对PA右乘 这样的三维仿射变换，其中M为3*3矩阵，而t为三维列向量，相乘的结果仍是仿射摄象机。
Pnew=APN(B.10)
其中， (B.11)
而归一化坐标(xN,yN)T和像素坐标(u,v)T满足
(B.12)
使用归一化坐标系实际是把摄象机的内外参数分解开来考虑，这样当我们关注于摄象机的外参数变化的情况(例如运动视觉)时就不必考虑使用的是什么样的摄象机。
B.1.4 透视矩阵的一般形式
同时考虑摄象机的内外参数，即建立像素坐标系中点m与三维对应点在世界坐标系中的坐标值Mw之间的映射关系，我们有
令 (B.19)
则弱透视模型可写成与透视投影类似的形式
。将摄象机的内外参数都考虑进来，我们有
，其中s为一比例因子，A和D如上节定义。消去比例因子，我们看到二维点和三维点的对应关系确实是线性的。
下面我们来推导这种近似带来的误差。现在我们又回到归一化坐标系和摄象机坐标系。设三维点M的真正深度值为Z=Z0+Z。该点按透视模型投影为mp，而弱透视的结果为mwp，我们用泰勒公式把Z在Z0处展开并略去高阶项，得到两者的差merror为
图B.2 使用虚拟图象平面的针孔模型
对任一坐标值x=(x1,x2,…)T，我们用 表示x的齐次坐标。它由x的所有分量加上一个为1的元素生成，即 。
在投影模型中如果我们使用m点的齐次坐标(U,V,S)T，则有
(B.2)
其中U,V,S满足S0且u=U/S，v=V/S。另外，我们用Pc表示3*4矩阵 ，则上式可写成线性形式
从上节的讨论可以知道，透视投影实际是一个非线性映射。这在实际求解时可能需要大的计算量；更重要的是，如果透视效果并不明显，直接使用该模型可能会使实际问题称为病态问题。另外，在某些条件下，例如，摄象机的视场很小，并且物体的尺寸相对于到观察者的距离也很小，透视模型可以很好地用线性模型近似。这种近似可大大简化推导和计算。
容易得到平行透视的公式为
(B.20)
其中(X0,Y0,Z0)为质心的三维坐标。
为将该模型写成与透视投影类似的形式，我们令
(B.21)
则 。即使考虑了摄象机的内外参数，二维点与三维点间的对应关系也仍是线性的。
最后我们也来看看平行透视引入的误差。令(X,Y,Z)T=(X0+X,Y0+Y,Z0+Z)T，我们用与上节类似的方法得到
正投影的公式为x=X, y=Y。
B.2.2 弱透视（weak perspective）
如果物体的尺寸相对其到摄象机的距离很小的话，物体上各点的深度可以用一共同的深度值Z0近似，这个值一般取物体质心的深度。这样透视模型可近似为
(B.18)
这种近似可以看作两阶段投影的合成。第一步，整个物体按平行于光轴的方向正投影到经过物体质心并与图象平面平行的平面上；第二步，再按透视模型投影到图象平面上，这一步实际是全局的放缩。因此，弱透视也被称为放缩正投影（scaled orthographic projection）。
(B.3)
其中s=S为一比例因子。
B.1.2 摄象机外参数
上面的讨论都是在摄象机坐标系(C,Xc,Yc,Zc)中进行的，不过在实际应用中，摄象机的位置和方向并不总是固定,Y,Z)来表示三维点。记Pc在世界坐标系中的坐标为M=(X,Y,Z)T，则两坐标系的关系可用Mc=RM+t来表示，R是旋转矩阵，它表示摄象机的方向；t则与摄象机的位置有关，它实际是世界坐标系原点在摄象机坐标系中的坐标。这两者被称为摄象机的外参数。
如果我们使用齐次坐标，上面的坐标系间的关系可写成
(B.4)
其中 ，03=[0,0,0]T(B.5)
结合(B.3)和(B.4)式，我们有
(B.6)
其中P=PcD为世界坐标系中的投影矩阵。
B.1.3 摄象机内参数和归一化摄象机
下面我们考虑图象平面上的坐标变换。它在实际应用中十分重要，这是因为：
像素坐标系的原点不一定与光轴和图象平面的交点（即主点）重合；
(2)无需标定摄象机内参数。实际上，对PA左乘 这样的二维仿射变换，其中B1为2*2矩阵，而b为二维列向量，相乘的结果也仍是仿射摄象机。
即使不标定摄象机的内参数，我们仍能从图象中提取出如平行性、定长度比这样的仿射度量。对于某些视觉任务来说，这样的仿射度量就足够了。
图B.3 摄象机的内参数，图象平面上的坐标变换
令mold=[x,y]T为图象坐标系中的坐标值，mnew=[u,v]T则是像素坐标。显然有
，
其中 。另外，根据(B.3)式，我们有 ，代入上式，得
其中 (B.7)
Pnew即像素坐标表示的投影矩阵。从中我们可以看到真正起作用的是u=fku和v=fkv，即焦距的变化和像素尺度的变化在最终的图象上是不可区分的。
如果用非齐次坐标，仿射摄象机可表示为
m=TAM+tA(B.23)
其中TA为一2*3矩阵，其元素Tij=Pij/P34，而tA为二维向量[P14/P34,P24/P34]T。
仿射摄象机的一个重要性质是保平行性：三维空间的平行线投影为二维空间的平行线。这和透视投影是不同的。证明很简单：设M1()=Ma+*u和M1()=Mb+*u是三维空间的两平行线，其中u是三维方向向量，和是直线参数。投影结果为m1()=(TAMa+tA)+TAu和m2()=(TAMb+tA)+TAu，显然它们都平行于方向向量TAu。
为简单起见，如果不作特别说明的话，下面的讨论都认为像点用其归一化坐标表示，三维点用其在摄象机坐标系中的坐标表示。
B.2.1 正投影（orthographic projection）
最简单的线性近似称为正投影。这种近似完全忽略了深度信息。在这种投影方式下，物体到摄象机的垂直距离（深度信息）和物体到光轴的距离（位置信息）都完全丢失了。因此，它只在这两种信息确实可以忽略时才可使用。
3.将摄象机旋转回原位置，这引起图象平面上的一个仿射变换。
正透视的数学表示形式很复杂，在这里就不给出其公式了。
B.2.4 仿射摄象机
观察在正投影、弱透视和平行透视下的投影矩阵，我们发现它们都具有如下的形式：
(B.22)
PA是一3*4矩阵，它决定了一个三维空间到二维平面的线性映射（用齐次坐标表示），所以我们把PA称为仿射摄象机。与透视投影矩阵类似，PA也可相差一个尺度因子，因此它只有8个自由参量。它可由4组二维点和三维点的对应决定。